数列极限部分较难习题

数列极限部分书后较难的作业解答: 一.( （书

293

P）第10题)证明数列

1

n

x=+++-

L

有极限

证明:(一) 因为

1

n n

x x

+

-==

>=

故{}n x单减.

(二) 由不等式

=<=

2

>()

1,2,

n=L

所以有

2222

n

x>++++-

L

22022

=->-=-.

故{}n x有下界.因此根据单调有界原理知,{}n x有极限.

二.设常数0

a>

,

n

n

x=

个

证明: {}n x收敛,且求lim n

n

x

→∞

.

解:(一)假设{}n x收敛,并记lim.

n

n

x A

→∞

=由已知得递推关系式

: n

x=令n→∞,利用

1

lim lim

n n

n n

x x A

-

→∞→∞

==,得

A=即20,

A A a

-+=解方程得

A=

又因为0

n

x>,

故取

1

2

A=.

即1lim 2

n n x →∞

=

(二)下面返证{}n x 收敛.

1.

由12,x x ==L 显然21x x >()0a >Q .归纳地设1n n x x ->,

则

1,n n x x +=>=即{}n x 单增. 2.再证{}n x 有上界.B 那么如何取B 呢? 既然{}n x

单增且有极限12A +=

,

那么12

A +=就应是{}n x 的一个上界.

下面仍然用归纳法证明A =

{}n x 的上界.

事实上显然1x =<

;

设n x <

则

1n x +=<

==

12

+<

=

故{}n x 单增且有上界,因此{}n x 收敛.

注意:这里{}n x 上界的找法似乎依赖于{}n x 的极限值.为了使上述解法更符合逻辑,一般教科书往往先证(2),再求(1)的方法,不过(2)中的上界的选取实际上是事先计算出的极限.当然若{}n x 为单减的,则事先计算出的极限值就是数列的一个下界了.

注意:同理可将上例推广到一般情形:

设10,x

a =>()0,2,3,,n x

b n =>=L 则数列{}n x

收敛且

lim n n x →∞

=

其中

(1)当12,

x x =即a

=12a

=

时,12

n x ≡

(2)当12,x x <即a =12

a +<

时, {}n x 单增,且

12

+为上界;

(3)当12,x x >即a =12

a >

时, {}n x 单减,且以0或

为下界;

有趣的是数列n x 10x a =>并无关系.这说明在一个收敛的迭代数列中,不管数列的初值1x 如何选取,数列总收敛到相同的极限值,这也正是迭代算法的存在价值.

三.(295P 第13题(3))设0b a >>,数列{}{},n n x y 由下式所确定:

1111,,2

n n

n n x y x a y b x y +++==== 证明它们有公共的极限.

证明:(一)由0b a >>可知,()0,0.1,2,n n x y n >>=L

因而 ()111,2,2

n n

n n x y y x n +++=

≥==L

显然对于,n ∀ 112n n

n n x y y x +++=≥=，又因为110y x >>，故

对于,n ∀ .n n y x >所以1n n x x +≥= (1) 因此, {}n x 单调递增. 同理:因为122

n n n n

n n x y y y y y +++=

≤=, (2) 因此{}n y 单调递减.

(二)由于11,n n a x x y y b =≤≤≤=因此{}n x 有上界b ,且{}n y 有下界a ,根据单调有界原理知, 数列{}{},n n x y 均有极限. (三).设lim ,lim .n n n n x c y d →∞

→∞

==对12

n n

n x y y ++=

两边取极限,得 ,2

c d

d +=

于是,,c d =即lim lim .n n n n x y →∞→∞=

四.294P 第12题设0x a =和1x b =已知实数,令

()111,2,2

n n

n x x x n -++=

=L (1)

证明数列{}n x 收敛且2lim .3

n n a b

x →∞

+= 证明:由(1)式, ()()010121110112222x x x x x x x x x b a +-⎛⎫⎛⎫

-=

-==--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

; (2) ()()2

12123222111;2222x x x x x x x x x b a +-⎛⎫⎛⎫

-=-==--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (3)

()()3

23234333211;2222x x x x x x x x x b a +-⎛⎫⎛⎫

-=-==--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (4)

M

()1

11.2n n n x x b a --⎛⎫

-=-- ⎪

⎝⎭

()n

上述()2—()n 相加,得:

()231

111112222n n x x b a -⎡⎤

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣

⎦L

()

()1

1

1112211113212n n b a b a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=----⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪

⎝⎭

故()()111111

1113232n n n x x b a b b a --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=----=----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

()12lim .33

n n a b

x b b a →∞

+=-

-=

五. (294P 第13题(1))设()

()11310,1,2,3n n n

x x c x n x ++=>=

=+L ,证明数列

{}n x 收敛,

且lim n n x →∞

=

证明:(一) 显然()()

()1313103,

1,2,333n n n n n

x x x n x x +++<=

<==++L

(二)由对于任何的2n ≥,