第四章 弯曲应力解析
第四章弯曲应力解析
3 2 1KN
MC
MC (左侧)
FAy
2 M0
q 1 1 2
3KN.m
34
M0 8KN.m
q=2KN/m
A
E
C
B
1m 1m
FAy
2m FBy 1m
P=2KN
F D
1m
B左 截面：
FSB左 FAy q 3 3KN
M B左
FAy
4
M0
q
3
3 2
5KN.m
35
M0 8KN.m
FByF 3FAy Nhomakorabea5F 3
FSE
Fy 0
2F
FSE
5F 3
FSE
F 3
ME
ME 0
2F
a 2
ME
5F 3
3a 2
FAy
ME
3Fa 2
29
FSE O
FAy
ME
O
FSE
ME FBy
FAy
5F 3
FBy
F 3
FBy 分析右段得到(设正法) ：
Fy 0 FSE FBy 0
FSE
FBy
F 3
Mo 0
FS
截面上的剪力对梁上任
+
意一点的矩为顺时针转向时，
剪力为正；反之为负。
截面上的弯矩
使梁呈向下凸变形 为正；反之为负。
+
FBy
_
_
28
例题
求图示简支梁E 截面的内力
解：1. 确定支反力
Fy 0 FAy FBy 2F
MA 0
FAy
FBy FBy 3a Fa 2F a
2. 用截面法研究内力(设正法)
材料力学弯曲应力知识点总结
材料力学弯曲应力知识点总结弯曲应力是材料力学中重要的概念之一，它描述了材料在受到弯曲力作用时所承受的内部力状态。
了解和掌握弯曲应力的知识对于工程领域的设计和分析具有重要意义。
本文将对材料力学中弯曲应力的相关知识点进行总结。
一、弯曲应力的基本概念弯曲应力是指在材料受到弯曲作用时，在横截面上单位面积所承受的力的大小，通常用σ表示。
弯曲应力的大小与施加在材料上的弯曲力以及截面形状和尺寸有关。
二、弯矩和截面性质1. 弯矩：在弯曲过程中，作用在材料上的弯曲力会产生一个力矩。
弯矩的大小等于力矩除以截面法线距离。
弯矩的单位通常是N·m。
2. 惯性矩和截面模量：惯性矩描述了截面抵抗变形的能力，通常用I表示。
截面模量描述了材料在弯曲过程中的刚度，通常用W表示。
惯性矩和截面模量与截面的形状和尺寸有关。
三、材料的截面形状对弯曲应力的影响材料的截面形状对弯曲应力有着重要的影响，以下是几种常见截面形状的弯曲应力分析：1. 矩形截面：矩形截面的弯曲应力呈线性分布，最大弯曲应力出现在截面内边缘。
2. 圆形截面：圆形截面的弯曲应力均匀分布，在截面上的任意一点的弯曲应力都相同。
3. T型截面：T型截面的弯曲应力最大出现在截面顶部和底部的交接处。
4. I型截面：I型截面的弯曲应力主要集中在截面中轴线部分。
四、弯曲应力与应变的关系弯曲应力和应变之间的关系可以通过杨氏模量进行描述。
弯曲应力和应变的关系可以用以下公式表示：σ=M*y/I，其中M为弯矩，y为截面的纵向距离，I为截面的惯性矩。
五、弯曲应力的计算方法根据弯曲应力的定义和性质，可以采用以下方法来计算弯曲应力：1. 等效应力法：将弯矩和弯曲力矩转化为等效应力，然后根据截面形状计算弯曲应力。
2. 梁理论：基于材料的截面形状和尺寸，使用梁理论来计算弯曲应力。
通过计算截面的惯性矩和截面模量来获得弯曲应力。
六、弯曲应力的影响因素弯曲应力受到以下因素的影响：1. 弯曲力的大小和方向2. 材料的弹性模量3. 材料的截面形状和尺寸4. 材料的力学性质和力学行为5. 材料的应变率和应变历史七、弯曲应力的应用弯曲应力在工程设计和分析中具有广泛的应用，例如：1. 结构设计：通过对材料的弯曲应力进行分析，可以确定结构的合理尺寸和截面形状，以满足设计要求。
第四章 弯曲应力(I)-56学时
3.剪力方程和弯矩方程 剪力和弯矩沿轴向的变化方程，称为剪力方程 和弯矩方程。 例题
* Fs、M的简单计算方法
m F1
Fn
F2
Fk+2
Fk
Fk+1
m
M M, R=R
M’ R C M R’
R= Fi
i=1i
i=k+1
n
M= Mi
i=k+1
第四章 弯曲应力
一、基本概念
等直杆在包含杆轴线的纵向平面内，承受垂 1.弯曲： 直于杆轴线的力或力偶作用时，杆的轴线在 变形后成为曲线，这种变形称为弯曲变形。 2.梁： 以弯曲为主要变形的杆件。 3.对称弯曲：具有纵向对称面的梁，当外力均作用 于此对称面内时，产生的弯曲。
4.平面弯曲： 变形后的轴线所在平面与外力所 在平面平行或重合的弯曲变形。 5.工程中常见的梁 简支梁 悬臂梁 外伸梁
二、梁的内力及内力方程 梁的内力 1.梁内力的求解方法： 截面法
2.Fs、M符号的规定
动() 使被保留部分顺时针转 Fs 与τ的符号规定相同 动() 使被保留部分逆时针转
维受压，下部纤维受拉 ( ) 使被保留部分的上部纤 M 维受拉，下部纤维受压 ( ) 使被保留部分的上部纤
侧并将重叠部分剪掉已实现叠加。
3．平面刚架和曲杆的内力图 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。
剪力图、轴力图： 可画在刚架轴线的任一侧，须 注明正、负号。
拉纤维一侧）。
作图步骤： 1．列出分段的剪力、弯矩方程 2．找出控制点的数值 3．根据曲线（方程）的几何性质画出图线 4．标注关键点数据及正、负值
例题
四、荷载、剪力、弯矩间的关系 五、剪力、弯矩的简便作图法 1．利用荷载、剪力、弯矩间关系的结论作图 2．利用叠加法作图 叠加时，若叠加部分同号则画在x轴两侧 已实现叠加；若叠加部分异号则画在x轴同
弯曲应力_精品文档
弯曲应力引言弯曲应力是材料受到弯曲力作用时产生的应力。
在工程中，许多结构和元件都会承受弯曲力，因此对于弯曲应力的研究非常重要。
本文将介绍弯曲应力的概念、产生原因、计算方法以及对材料性能的影响。
一、概念与定义弯曲应力是由外力在材料截面上产生的弯曲时引起的内力分布所导致的。
当材料受到垂直于其截面的力作用时，材料会发生形变，产生内部应力以抵消外力的作用。
这些应力在截面上沿纵横两个方向分布，形成应力分布图。
在该图中，对于一切外力小于弯曲应力时，材料会发生弹性形变，当外力超过弯曲应力时，材料开始发生塑性变形。
二、弯曲应力产生原因弯曲应力的主要产生原因是施加在材料上的弯曲力。
当一个材料受到作用力时，由于横向收缩和纵向伸展，材料会发生变形。
在弯曲过程中，材料的上面受到压力，下面受到拉力。
这种压力和拉力导致了截面上的应力分布，形成弯曲应力。
三、弯曲应力的计算方法为了计算弯曲应力，需要了解材料的弯曲刚度和外力大小。
根据材料的力学性质，可以使用欧拉-伯努利梁理论计算等效弯曲应力。
该理论基于以下假设：材料在弯曲过程中保持线弹性，纵向扰动被忽略，并且任何截面都在弯曲过程中垂直于轴线。
通过这些假设，可以得到以下弯曲应力的计算公式：σ = (M * y) / I其中，σ是应力，M是弯矩，y是离轴心的距离，I是截面的惯性矩。
这个公式表示弯曲应力与弯矩成正比，与截面惯性矩成反比。
因此，在设计结构时，可以通过调整截面形状或增加材料的截面尺寸来减小弯曲应力。
四、弯曲应力对材料性能的影响弯曲应力对材料性能有重要影响。
首先，弯曲应力会导致材料发生弹性或塑性变形。
在弯曲应力作用下，材料的内部结构发生改变，导致材料的力学性能发生变化。
其次，弯曲应力还会导致材料的疲劳断裂。
当材料受到长期的反复弯曲作用时，弯曲应力超过了材料的疲劳极限，材料会产生裂纹，最终导致断裂。
因此，在设计和使用材料时，必须考虑到弯曲应力对材料的影响，并采取相应的措施来避免材料破坏。
材料力学(给排水)第四章-弯曲应力
弯曲应力的计算方法
1 梁弯曲公式
常用于计算直梁受弯时的应力分布和最大应 力值。
2 等强度法
常用于计算不同形状截面的梁受弯时的应力 分布。
弯曲应力的分布特点
1 最大应力出现在最远离中性轴的位置
2 中性轴附近应力应变
2 下表面拉应变
3 中性面应变为0
弯曲应力的应力-应变关系
1 胡克定律
当弯曲应力小于材料的弹性极限时，应力与 应变成正比关系。
2 弹性模量
描述了材料在受力时的变形程度。
材料力学中常见的弯曲应力计算问题
1 悬臂梁的最大弯曲应力计算
2 叠木梁的弯曲应力分布计算
3 榀形梁的弯曲应力计算
弯曲应力的工程应用及实例
1 建筑结构设计
弯曲应力的分析和计算对 于设计坚固和稳定的建筑 结构至关重要。
2 桥梁工程
弯曲应力的研究可以帮助 工程师设计和评估桥梁的 结构和安全性。
3 车辆设计
在汽车和飞机等交通工具 的设计过程中，弯曲应力 是一个重要的考虑因素。
材料力学(给排水)第四章 -弯曲应力
在材料力学中，弯曲应力是一个重要的概念，它涉及到物体在受力时的弯曲 情况。本章将介绍弯曲应力的定义、计算方法、分布特点、应变状态、应力应变关系以及其工程应用及实例。
弯曲应力的定义
1 弯曲应力
当一个物体受到外力作用而发生弯曲时，物体内部会出现垂直于弯曲面的应力，这种应 力即为弯曲应力。
11第四章弯曲应力(4)分析
（3）各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校
2020/11核/9 剪应力。
17
(4)薄壁梁、跨度小的高梁（ l/h 较小）或支座附近 有较大集中力——除校核正应力强度条件外，还 应校核切应力强度条件。
2020/11/9
6
（1）工字形截面上的弯曲切应力
主要考虑腹板上的弯曲切应力
翼缘
FS
max
min
FS
S
zm
ax
Izb b(Iz
其中
S z max
FS
/
S
zm
ax)
ydA
h
zH
max
A
腹板
b
min
B y
A*
y
2020/11/9
7
腹
板
m in
max
Fs A
; Af —腹板的面积。
f
max
结论： 翼缘部分max « 腹板上的max，只计算腹板上的max。
铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且max≈ min
故工字钢最大剪应力
max
FS A
;
f
翼缘部分主要承担截面的弯矩.
（2）圆形、圆环形截面上的弯曲切应力
FS
最大切应力在中性轴处：
y
z
max
4 FS 3A
4
3
K
y
max
y 任意水平线上某点处
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。 max
3 2
FS A
1.5
2020/11/9
5
二、其它截面梁横截面上的剪应力
1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：
FS SZ
蔡中兵《材料力学》4弯曲应力
FS
m 盐城工学院力dx学课程组
材料力学
2.弯矩符号
mechanics of materials
+ Mm
M
当dx 微段的弯曲上凹下凸（即该段的下 半部受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
- 当dx 微段的弯曲上凸下凹（即该段的
下半部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
m
（受拉）
m
m（受压）
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材料力学
mechanics of materials
第四章 弯曲应力
§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
一、弯曲的概念
盐城工学院力学课程组
材料力学
mechanics of materials
q
P
受力特点：外力垂直于杆件的轴线。 —— 称为横向力
变形特点：杆件的轴线由直线变成曲线 以弯曲变形为主的杆件——梁
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
(0 x l)
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材料力学
mechanics of materials
q
FS
(x)
ql 2
qx
(0 x l)
A
剪力图为一倾斜直线
x
FRA
l
x=0
处
，
FS
ql 2
x= l 处 ,
FS
ql 2
ql/2
+
绘出剪力图
B
FRB
ql/2
材料力学
mechanics of materials
例题 图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作
材料力学弯曲应力
材料力学弯曲应力材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时所产生的应力。
弯曲应力的研究对于工程结构设计和材料选用具有重要意义。
本文将从弯曲应力的概念、计算公式、影响因素等方面进行详细介绍。
弯曲应力是指在材料受到弯曲载荷作用下，横截面上的应力分布情况。
在弯曲过程中，材料上部受到压应力，下部受到拉应力，而中性面则不受应力影响。
根据梁的理论，弯曲应力与弯矩、截面形状以及材料性质有关。
在工程实践中，我们通常使用梁的弯曲应力公式来计算弯曲应力的大小。
梁的弯曲应力公式可以表示为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，c为截面中性轴到受拉或受压纤维的距离，I为截面的惯性矩。
从公式中可以看出，弯曲应力与弯矩成正比，与截面形状和材料性质有关，截面越大，惯性矩越大，弯曲应力越小。
影响弯曲应力的因素有很多，主要包括载荷大小、截面形状、材料性质等。
首先是载荷大小，当外力作用在梁上时，产生的弯矩大小将直接影响弯曲应力的大小。
其次是截面形状，截面形状不同将导致截面惯性矩不同，进而影响弯曲应力的大小。
最后是材料性质，材料的弹性模量、屈服强度等参数也会对弯曲应力产生影响。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来选择合适的截面形状和材料类型，以使得结构在受到弯曲载荷时能够满足强度和刚度的要求。
同时，还需要合理设计结构，减小弯曲应力集中的区域，避免出现应力集中而导致的破坏。
综上所述，弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时产生的应力，其大小与弯矩、截面形状和材料性质有关。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来计算和分析弯曲应力，以保证结构的安全可靠。
同时，合理设计结构和选择合适的材料也是降低弯曲应力的重要手段。
希望本文对于弯曲应力的理解和应用能够有所帮助。
弯曲应力材料力学解析PPT学习教案
力
s T max
M max Iz
y1
=
2500 111108
5.16 102
116.2 106 Pa
116.2MPa
截面上缘受最大压应力
弯曲应 力
s C max
M max Iz
y2
2500 111108
1.84 102
41.4 106
Pa
41.4MPa
第7页/共27页
例 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计 弯曲应
(B
b)h2 ]
t min
FQ 8I zb
(BH2
Bh2 )
第12页/共27页
弯曲应 力
7.2.3 圆形截面梁
t max
FQ
S
* z
Izb
FQd 3 /12y (d 4 / 64)d
4 3
FQ A
式 中 ： A为 圆 截面 面积
对 于 等 直 杆 ，最大 切应力 的统一 表达式 为：
弯曲应 力
例7-5 螺栓压板夹紧装置如图所示。已知板长 3a=150mm，压板材料的弯曲许用应力为[σ]=140MPa 。试确定压板传给工件的最大允许压紧力F。
解：压板可简化为图所示的外伸梁
作弯矩图如图所示。最大弯矩在截面B上
Mma MB Fa
Iz
3 x2 3 12
1.4 23 12
1.07cm4
Wz
O曲率中心
dq
M
m1 m2
y O1 a1
n1 dx
O2 dq
a2' a2 dl n2
sy M e2
e1
m2 x
2.物 理 关 系 (虎 克定 律)
工程力学-弯曲应力解析
6 弯曲应力1、平面弯曲梁横截面上的正应力计算。
正应力公式是在梁纯弯曲情况下导出的，并被 推广到横力弯曲的场合。
横截面上正应力公式为j zM y I σ=横截面上最大正应力公式为 max zM W σ=2、横力弯曲梁横截面上的切应力计算，计算公式为*2z QS I bτ= 该公式是从矩形截面梁导出的，原则上也适用于槽形、圆形、工字形、圆环形截面梁横截面切应力的计算。
3、非对称截面梁的平面弯曲问题，开口薄壁杆的弯曲中心。
4、梁的正应力强度条件和切应力强度条件为[]max σσ≤[]max ττ≤根据上述条件，可以对梁进行强度校核、截面设计和容许荷载的计算，与此相关的还要考虑梁的合理截面问题。
5、梁的极限弯矩6.1图6-6所示简支梁用其56a号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板部分在与翼板交界处的切应力。
图 6.1[解]作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC段，其值为max7575000Q kN N==利用型钢表查得，56a号工字钢*247.7310z zS I m-=⨯,最大切应力在中性轴上。
由此得以下求该横截面上腹板与翼板交界处C的切应力。
此时*zS是翼板面积对中性轴的面积矩，由横截面尺寸可计算得*3435602116621()9395009.401022zS mm m-=⨯⨯-==⨯由型钢表查得465866zI cm=,腹板与翼板交界处的切应力为*max max maxmax23*max7500012600000126.47.731012.510zazzzQ S QMPII d dSτ--=====⨯⨯⨯⨯aMP6.12解题范例483750009.40108.6658661012.510fc a MP τ---⨯⨯==⨯⨯⨯6.2长为L 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F ，已知b ＝120mm ，h ＝180mm 、L ＝2m ，F ＝1.6kN ，试求B 截面上a 、b 、c 各点的正应力。
弯曲变形区的应力与应变状态分析
从应变角度看，窄板弯曲时应变状态是立体的（三向的）， 宽板弯曲时应变状态是平面的。
第四章 弯曲
三、弯曲变形区的应力与应变状态分析
2、应力状态 切向1：内侧纤维受压， 1 为压应力；而外侧纤维受拉， 1 为拉应力。
图4-6 弯曲前后坐标网格的变化 a）弯曲前 b）弯曲后
第四章 弯曲
二、弯曲变形时材料的流动情况
3、变形区材料厚度变薄的现象
弯曲变形程度较大时，变形区外
侧材料受拉伸长，使得厚度方向
（垂直方向）的材料减薄；变形
区内侧材料受压，使得厚度方向
的材料增厚。由于中性层位置的
内移，外侧的减薄区域随之扩大，
内侧的增厚区域逐渐缩小，外侧
第四章 弯曲
一、弯曲过程与特点
V形弯曲:是最基本的弯曲变形，任何复杂弯曲都可看成是由N个
V形弯曲组成。
当坯料上受到凸模压力（弯曲力矩）时，坯料的曲率半径 发生变化。弯曲过程如图4-3所示，其受力情况如图4-4，变形 过程分解如图4-5所示。
第四章 弯曲
一、弯曲过程与特点
图4-3所示为一副常见的
Ｖ形件弯曲模。其弯曲过程
径向2：弯曲时变形区域曲率不断增大，以及金属各层之间的相 互挤压作用，从而引起变形区内的径向压应力2 ，在材料表面2 =0，由表及里逐渐递增，至中性层处达到最大值。
宽度方向3：窄板的宽度方向可以自由变形，因而无论内侧还是 外侧， 3 =0；而宽板的宽度方向受到材料的制约作用，内区由 于宽度方向的伸长受阻，故3为压应力；外区由于宽度方向的收 缩受阻，故3为拉应力。
图4-6 弯曲前后坐标网格的变化 a）弯曲前 b）弯曲后
第四章 弯曲应力知识总结
1 Fl 4
+
三、采用变截面梁
四、合理利用材料
混凝土
x
x
x
钢筋
钢筋混凝土材料在合理使用材料方面是最优越 的
• 进行弯曲强度计算的一般步骤：
• 1、根据梁的约束性质，分析梁的受力，确定约束力 • 2、画出梁的弯矩图，根据弯矩图，确定可能的危险 截面 • 3、根据应力分布和材料的拉伸和压缩强度是否相等， 确定可能的危险点 • 4、应用强度条件校核
三、梁的切应力
• 横力弯曲梁既有正应力又有切应力，现在 按梁截面的形状讨论剪应力。 • 两个假设： • 1）横截面上的剪应力平行于剪力 • 2）剪应力沿截面宽度均匀分布
知识要点
横力弯曲： 横截面上既有弯矩，又有切力。
A
F a
C D
F
a
B
F
纯弯曲： 横截面上弯矩为常量，而切力为零。
应力分布研究方法： 实验观察
F
Fa
作出假设
理论分析
实验验证
1、梁上的纵向线都弯曲成圆弧曲线，靠 近梁凹侧一边的纵向线缩短，而靠近凸 侧一边的纵向线伸长 2、梁上的横向线仍为直线，各横向线间 发生相对转动，不再相互平行，但仍与 梁弯曲后的轴线垂直
横力弯曲的正应力
纯弯曲
Mzy Iz
两个假设 l/h>5
正应力 剪应力
横力弯曲
纵向纤维 正应力 平面翘曲
梁的正应力强度条件
对梁的某一截面：
max
max
Mymax M Iz WZ
M max ymax M max Iz Wz
对全梁（等截面）：
max
M max Wz
q
A
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m dx
2.弯矩符号
+ Mm
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉 ） 时,横截面m-m上的弯矩为正；
m （受拉）
- 当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半部受压）
m
时,横截面m-m上的弯矩为负.
m （受压）
例题 图示梁的计算简图.已知 F1、F2,且 F2 > F1 ,尺寸a、b、c和 l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处的剪力和弯矩.
x
M (x) Fx (0 x l)
F M
x
例题 图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的 剪力图和弯矩图.
解：
q
（1） 求支反力
A
B
FRA
FRB
ql 2
x
FRA
l
FRB
（2）列剪力方程和弯矩方程.
Q(x)
FRA
qx
ql 2
qx
(0 x l)
M
(x)
FRA x
qx
x 2
qlx 2
M E0
解得
FRB(l c) F1(a c) F 2(bc) M E 0
QE FRA
+
M E FRAc
+
FRA a
F1
F2
A
C
D
B
E
F
c
d
b
l
QF MF
F d
FRB
B
计算F点横截面处的剪力QF 和弯矩MF .
Fy 0, QF FRB 0 MF 0, MF FRBd 0
- 解得： QF FRB
解：（1）求梁的支反力 FRA 和 FRB
MA 0
FRA
FRBl F1a F2b 0
A
MB 0
FRAl F1(l a) F2(l b) 0
a
F1
F2
FRB
E c
b
C
D
B
F
d
l
FRA
F1 ( l
a)
l
F2 ( l
b)
FRB
F1a
l
F2b
记 E 截面处的剪力为QE 和 弯矩 ME ，且假设QE 和弯矩ME 的指向和转向均为正值.
FRAx A
FRAy
F B
F B
FRB
求内力——截面法
Fy 0 , Ml a) l
M FRAy x
弯曲构件内力
剪力
FRAx A
FRAy x
1.弯矩M
弯矩
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于
截面的内力偶矩.
FRAy
m
m
Q M
C
2. 剪力Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于 截面的内力.
M F FRBd +
三、剪力方程和弯矩方程
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作 剪力方程和弯矩方程.
1.剪力方程 2.弯矩方程
Q= Q(x) M= M(x)
五、剪力图和弯矩图
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪 力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图
作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该 纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
纵向对称面 A
F1
F2
梁的轴线 B
FRB
FRA 梁变形后的轴线与
外力在同一平面内
4.梁的力学模型的简化
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
（2）载荷类型
集中力 集中力偶
分布载荷
（3） 支座的类型
M C
Q
F
B FRB
F FRB
二、内力的符号规定
1.剪力符号
+m Q
使dx 微段有左端向上而右端向下的相对错动时,横
Q
截面m-m上的剪力为正.或使dx微段有顺时针转动趋势
m
的剪力为正.
dx
-m
使dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时,横截 Q 面m-m上的剪力为负.或使dx微段有逆时针转动趋势的
Q(x)
M(x)
x
O
x
Q图的坐标系
O
M 图的坐标系
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
弯矩图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
例题 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此梁的剪力
图和弯矩图.
F
A
B
x
解: 列出梁的剪力方程 和弯矩方程
l
Q(x) F (0 x l) Q
A
可动铰支座1个约束，2个自
由度。
A
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠
轴承等。
A
A FRA
固定铰支座
A
2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止推滚
A
珠轴承等。 A
固定端
3个约束，0个自由度。 如：游泳池的跳水板支座、车刀架、木桩 下端的支座等。
FRAy FRAx A
FRy
FRx M
向心推 力轴承
简化实例 滚珠轴承
Fy 0,FRA Q E 0
FRA
a
F1
F2
FRB
A
CD
B
E
F
c
d
b
l
M E 0, M E FRA c 0
解得
QE FRA M E FRAc
FRA
QE
ME
A
E
c
FRA
QE
ME
A
E
c
取右段为研究对象
F1
QE
ME
EC
F2
FRB
D
B
a-c b-c l-c
Fy 0
QE FRB F1 F 2 0
ql/2
两支座内侧横截面上剪力
绝对值为最大
ql 2 8
Qmax
ql 2
例题 图示的简支梁在C点处受集中荷载 F 作用(b> a) 试作此梁的剪力图和弯矩图.
解: （1）求梁的支反力
FRA
F
FRB
车床主轴示意图
5.静定梁的基本形式 简支梁 外伸梁
悬臂梁
§4-2 剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图
一、内力计算
[例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力.
a 解: 求支座反力
Fx 0 , FRAx 0
A l
MA 0 ,
FRB
Fa l
Fy 0 ,
FRAy
F (l a) l
A
B
x
x l, M 0
FRA
l
FRB
令 dM ( x) ql qx 0 dx 2
ql 2
得驻点 x l 2
+
8
弯矩的极值
M max
M
x l 2
ql 2 8
l/2
绘出弯矩图
q A
FRA x
l ql/2
+
+
l/2
由图可见，此梁在跨中截面上 B 的弯矩值为最大
FRB
M
max
ql 2 8
但此截面上 Q= 0
qx2 2
(0 x l)
q
Q(x) ql qx (0 x l)
2
A
剪力图为一倾斜直线
x
FRA
l
x=0 处 ， Q ql 2
x= l 处 , Q ql 2
绘出剪力图
ql/2
+
B
FRB
ql/2
M
(
x)
FRA
x
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
弯矩图为一条二次抛物线
(0 x l)
q
x 0， M 0
第四章 弯曲应力
§4.1 弯曲的概念及计算简图
一、工程实例(Example problem)
镗刀杆
车削工件
火车轮轴
铁路桥
二、基本概念
1.弯曲变形
（1） 受力特征
外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. （2） 变形特征
变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2.梁 (Beam)
以弯曲变形为主的杆件 3.平面弯曲