算术平均数与几何平均数

我们称 a b 为a,b的算术平均数. 2
(2) ab可以看作是两个正数a,b的等比中项, 我们称 ab为a,b的几何平均数.
两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数
可以用几何方法证明: a b ab 2
如图,以a b长的线段为直径作圆,在直径AB上
取点C,使AC a,CB b,过点C作弦DD' AB,
ab
加设权Ha平,b均；1R算2,Q术1 平均a2a；a2 几bbb何2 平;2A2均aa；bab调b和;平Ga均b的a关Gb系;,
ab
2
2
H G1 2 .求H证,:Q QA GA H G H.
证 明
(
a
a
b
2
b
wenku.baidu.com)2
a2
b2 2ab 4
a2
b2
a2 4
b2
a2
b2 2
a2 b2 a b Q A, A G,
x 1600
297600 .
x
4.一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜
园,问这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最
大,最大面积是多少?
解: 设矩形靠墙一边的长为xm,
x l 2x
则另一边为(l 2x)m,
依题意矩形的面积为 S x(l 2x)
S x(l 2x) 1 2x(l 2x)
D
连结AD, BD.
由垂径定理和相交弦定 理得, DC CD', DC CD' ACCB,
ab C
A a bB
DC 2 AC CB ab,
D’
DC ab. DC 1 DD' 1 AB a b ,
2 当C与圆心重合时 ,等号成立.
2
a
b
2
ab.
2
练习.P11 1.已知a,b,c都是正数,
解: 0 x 1, 1 x 0,
y x2 (1 x) 4 x x (1 x) 22
x x 1 x
4( 2 2
)3
4
3
27
构造三 个数相
加等于 定值.
当 x 2
1
x,
x
2 时, 3
ymax
4 27
.
练习: (2)当0 x 1时,求函数y x(1 x2 )的最大值.
解: 0 x 1, 1 x2 0,
1
a) 2
a 2x
a
V 4x (a 2x) (a 2x)
即当剪去的
4
1 [ 4x (a 2x) (a 2x)]3 2a3
4
3
27
小正方形边 长为 a 时,铁
6
当且仅当4x
a
2x,
x
a 6
时,Vm a x
2a3 27
合的最大容 积是 2a3 .
练习: (1)当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值.
xy
y x 2 yx 2 x y xy
例: 已知a,b, c, d都是正数,求证 :
(ab cd)(ac bd) 4abcd.
证明: a,b, c, d R ,
ab cd ab cd 0, 2
ac bd ac bd 0, 2
(ab cd)(ac bd) abcd, 4
当x 1 时,函数的4最大值为1 .
4
8
当为例4且:80仅某0工 m当3厂x, 深要为1建63x0造m0一 ,,如即个果x长池方4底0时体每无,1ym盖有2的贮最造水小池价值为, 其 219容 5706积元00,.
因池此壁,每当1m水2的池造的价底为面12是0元边,问长怎为样40设m计的水正池方能形使时总,
当且仅当ay xb ,即 x xy y
a时, ( x b
y)min
(
a
b)2
练习:已知0 x 1 ,求函数y x(1 2x)的最大值. 2
解: 0 x 1 , x,1 2x 0,
2
y 1 2x(1 2x)
2
1 (2x 1 2x)2 1.
22
8
当且仅当2x 1 2x, x 1 时,等号成立.
水造解价池: 最设的水低总池,最造底低价面总一最造边低的价,最长是度低多总为少x?造m,价则另为一29边7的60长0元为.
4800 m,水池总造价为 y元, 3x
依题意, 得
y 150 4800 x 120(23x 23 4800)
3x
240000
720(x
1600)
3x
x 240000 720 2
定理 : 如果a,b是正数, 那么 a b ab 2
(当且仅当 a b时取“”号) 平均不等式 证明: ( a )2 ( b )2 2 ab
a b 2 ab
即 a b ab 2
当且仅当a b时, a b ab 2
注意:
(1) a b 可以看作是两个正数a,b的等差中项, 2
当a b时，(a b)2 0(2)
综合(1),(2),得 (a b)2 0,
a2 b2 2ab
注意: (1)a, b R (2)当a b时取“”号.
定理2 : 如果a, b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc (当且仅当a b c时,取“”号)
证明: a3 b3 c3 3abc (a b)3 c3 3a2b 3ab2 3abc
求证(a b)(b c)(c a) 8abc.
证明: a b 2 ab 0, b c 2 bc 0,
c a 2 ac 0,
(a b)(b c)(c a) 8 ab bc ca 8abc. 2.已知x, y R ,求证 y x 2.
xy
证明: x, y R y , x R ,
1
1
(2x
l
2
2x)2
1
l2.
24 当且仅当2x l 2x, x
l
8 时, 矩形的面积最大.
4
4.一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜
园,问这个矩有的长,宽各为多少时,菜园的面积最
大,最大面积是多少?
另解: 设矩形靠墙一边的长为xm,
x
l 2x
则另一边为(l 2x)m,
依题意矩形的面积为 S x(l 2x)
的最大值是2 4 3.
练习: 求函数y x 1 的值域.
x
解: (1)当x 0时, x 1 2 x 1 2
x
x
(2)当x 0时,x, 1 R ,
x
x 1 2 (x)( 1) 2
x
1
x 2
y
x (,2] [2,).
x
练习:已知0 ,求证tan cot的最小值是2.
2x2 lx 2(x l )2 1 l 2.
48
当x l 时,矩形的最大面积是1 l2.
4
8
其思想方法是利用二次函数
推论: a b c 3 abc(a,b, c R ) 3
(1)abc为定值时
a b c 33 abc
当且仅当a b c时,等号成立.
(2)a b c为定值时
abc ( a b c)3 3
当且仅当a b c时,等号成立.
(5)将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四
个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使
其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最
大容积是多少？
x
解:设剪去的小正方形的边长为 x
则其容积为 : V x(a 2x)2 , (0 x
3x(8 3x) (3x 8 3x )2 16 2
当且仅当3x 8 3x, x 4 时等号成立. 3
当x 4 时函数f (x)的最大值是4. 3
练习: 求证 : 在直径为 d的圆的内接矩形中 ,面积最
大的为正方形 ,这个正方形的面积等于 1 d 2.
证明一 如图,设矩形的一边长为x,
2
证明 0 ,tan , cot R ,
2
tan cot 2 tan cot 2,
即(tan cot )min 2.
注: 当且仅当tan cot , 450
时等号成立.
练习: 设0 x 2,求函数f (x) 3x(8 3x)
的最大值,并求相应的x值.
解: 0 x 2,3x,8 3x R ,
构造三个
由y x(1 x2 ), 得 y2 x2 (1 x2 )2
数相 加 等于定值.
1 2x2 (1 x2 )(1 x2 )
2
1 (2x2 1 x2 1 x2 )3 4
2
3
27
当2x2 1 x2 , x
3 时, 3
y2 max
4 27
,
ymax
2 9
3.
练习: (3)求函数y 2x2 3 , (x 0)的最小值.
(a,b, c R ) a3 b3 c3 3abc
推论: 如果a,b, c R , 那么a b c 3 abc (当且仅当a b c时,取“3”号)
证明: (3 a )3 (3 b )3 (3 c )3 33 a 3 b 3 c
a b c 33 abc
a b c 3 abc 3
即(ab cd)(ac bd) 4abcd.
练习: a,b R ,且a b.求证 2ab ab ab
证明: a b, a b 2 ab
2ab 2ab ab a b 2 ab
或 2ab ab 2ab (a b) ab
ab
ab
2ab 2 ab ab
ab
0
2ab ab
2
则另一边长为 d 2 x2
dx
面积S x d 2 x2 x2 (d 2 x2 )
x2 (
d2
x2 )2
1 d2
2
2
当且仅当 x2 d 2 x2 , x 2 d时等号成立 .
即当这个矩形为正方形时,其2最大面积为1 d 2.
2
练习: 求证 : 在直径为 d的圆的内接矩形中 ,面积最
积xy有最大值 (xy)max
(
x
2
y
)2
1 4
S 2.
用极值定理求最值的三个必要条件 :
一“正”、二“定”、三“相等”
相乘 定值 最小值,相加 定值 最大值.
练习: 3.已知x 0,求x2 8x12 的最小值.
解: x 0,
x
2
,
81 x2
R
,
由平均不等式 ,得x2 81 2 x2 81 18
2 2 Q A G,
极值定理: 已知x, y都是正数,求证 :
(1)如果积xy是定值P, 那么当x y时,和x y有最小值 2 P; (2)如果和x y是定值S, 那么当x y时,积xy有最大值1 S 2.
4
证明: x, y R x y xy
2
(1)当xy为定值P时,有 x y P,即x y 2 P; 2
x2
x2
当且仅当x2
81 x2
,
x
3时,
x2 8x12 的最小值为18.
(4)已知a,b, x, y R且 a b 1,求x y的最小值. xy
解:
x y (x y) 1 (x y)( a b ) a b ay bx
xy
xy
a b 2 ay xb ( a b)2 xy
(a b c)[(a b)2 (a b)c c2 ] 3ab(a b c)
(a b c)[a 2 2ab b2 ac bc c2 3ab]
(a b c)(a 2 b2 c2 ab bc ca)
1 (a b c)[(a b)2 (b c)2 (c a)2 ] 0 2
解:
x
y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4
x
xx
xx
ymin 33 4 (错解:原因是取不到等号) 正解:
y 2x 2 3 2x 2 3 3 33 2x 2 3 3 33 9 3 3 36
x
2x 2x
2x 2x 2 2
当且仅当2x2 3 , x 2x
算术平均数与几何平均数
a1 a2 an 叫做这n个数的算术平均数 n
n a1a2 an叫做这n个数的几何平均数
a b ab(a,b R ) 2
定理1: 如果a,b R, 那么a2 b2 2ab (当且仅当a b时取“”号)
证明: a 2 b2 2ab (a b)2
当a b时，(a b)2 0(1)
3 时, 2
ym in
3 2
3
36 .
练习:已知x 0,求证2 3x 4的最大值是2 4 3.
证明
x
0,3x,
4
R
x
,
x
3x 4 2 3x 4 4 3,
x
x
2 3x 4 2 (3x 4) 2 4 3,
x
x
当且仅当3x 4 , x 2 3 时,2 3x 4
x
3
x
当且仅当 x y时, “”号成立.
(2)当x y为定值S时,有 xy x y S ,即xy 1 S 2
22
4
当且仅当 x y时, “”号成立.
极值定理可以理解为: (1)当两个正数x与y的积xy是定值P且x y时,
和x y有最小值(x y)min 2 xy 2 P;
(2)当两个正数 x, y的和x y为定值S且x y时,