浙教版圆的基本性质知识点总结

浙教版九年级上册《圆的基本性质圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结

《圆的基本性质:圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结1.圆的定义;在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。

固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”2、与圆有关的概念（1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径）（2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆），大于半圆的弧叫优弧（优弧用⌒和三个字母表示）、小于半圆的弧叫劣弧（用⌒和两个字母表示）。

（3）等弧：能够互相重合的两段弧（4）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆）（5）点和圆的位置关系：如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则：（1）d<r → 圆内（2）d=r → 圆上（3）d>r → 圆外（6）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

过不在同一条直线上的三点做圆，能找出圆的圆心（7）三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。

三角形的外心到各顶点距离相等。

一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。

3、图形的旋转：原图形上的所有点都绕着一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。

图形经过旋转所得到的图形和原图形全等。

对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。

旋转作图基本步骤：1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）；2、找出关键点；3、找出关键点的对应点；4、作出新图形；5、写出结论。

4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

浙教版九年级上第3章圆的基本性质复习提纲

第三章圆的根本性质复习一、点和圆的位置关系：如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，那么：〔1〕d<r →〔2〕d=r →〔3〕d>r →1、两个圆的圆心都是O ，半径分别为1r 、2r ，且1r ＜OA ＜2r ，那么点A 在〔〕A 、⊙1r 内B 、⊙2r 外C 、⊙1r外，⊙2r 内 D 、⊙1r 内，⊙2r 外2、一个点到圆的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，那么该圆的半径是〔〕A 、2.5 cm 或6.5 cmB 、2.5 cmC 、6.5 cmD 、5 cm 或13cm3. ⊙0的半径为13cm ，圆心O 到直线l 的距离d=OD=5cm ．在直线l 上有三点P,Q,R ，且PD = 12cm , QD<12cm , RD>12cm ，那么点P 在，点Q 在，点R 在 .4. AB 为⊙0的直径，C 为⊙O 上一点，过C 作CD ⊥AB 于点D ，延长CD 至E ，使DE=CD ，那么点E 的位置〔〕A ．在⊙0 内B ．在⊙0上C ．在⊙0外D ．不能确定二、几点确定一个圆问题：〔1〕经过一个点可以画多少个圆？〔2〕经过两个点可以画多少个圆？这样的圆的圆心在怎样的一条直线上？〔3〕过同在一条直线上的三个点能画圆吗？定理：经过确定一个圆。

1、三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是〔〕A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定2、作以下三角形的外接圆：3、找出以下图残破的圆的圆心二、圆的轴对称性：1、垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧2、推论1：平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧3、推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦1、，⊙O 的半径OA 长为5,弦AB 的长8,OC ⊥AB 于C,那么OC 的长为 _______.2、，⊙O 中，弦AB 垂直于直径CD ，垂足为P ，AB=6，CP=1，那么 ⊙ O 的半径为。

圆的基本性质复习ppt 浙教版

圆的基本性质复习（一）
知识复习
有关概念
圆心、半径、直径弧、弦、弦心距
等圆、同心圆
圆心角、圆周角三角形外接圆、圆的内接三角形、四边形的外接圆、圆的内接四边形点和圆的位置关系不在同一直线上的三点确定一个圆
圆的定义
圆的基本性质
圆的中心对称性和旋转不变性
圆的轴对称性
垂径定理
圆心角定理
圆周角定理
B
这个四边形叫做这个圆的内接四边形。
E A O
B C F
D

圆的中心对称性和旋转不变性：圆心角定理：
AOB= COD
AB=CD
OE=OF （OE AB于E

AB =CD
推论
OF
CD于F）
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
A
C A O
O
B
推论：
B C
半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90圆周角所对的弦是直径。

（BC=BD）
例1、已知圆O的半径为5，弦长为 8，求 AB弦心距的长。
A C B
.O
小结：求圆中弦（或弦心距）的长，常作圆心到弦的垂线段这一辅助线，这样就可出现与半径相关的直角三角形，利用垂径定理来求
例2、半径为５的圆中，有两条平行弦AB 和CD，并且AB 等于６,CD等于８，求AB和CD间的距离.
r
d<r
P
P在圆内；
r
O r P P
d=r
P在圆上；
d>r
P在圆外。
问题：（1）经过一个已知点可以画多少个圆？（2）经过两个已知点可以画多少个圆？这样的圆的圆心在怎样的一条直线上？（3）过同在一条直线上的三个点能画圆吗？

2017学年浙教版九年级上册《圆的基本性质》的知识框图及常见考点

20171、圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫，线段OA 叫做2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类相等的弧：能够的圆弧称为相等的弧3、过一点可作个圆。

过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。

过三点可作个圆。

过四点可作个圆。

4、旋转与旋转中心的概念一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转圆圆的相关计算圆的相关证明概念5、图形旋转的性质（1）图形旋转所得到的图形和原图形全等（2）对应点到旋转中心的距离相等。

（3）任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度6、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分垂径定理的逆定理1：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分垂径定理的逆定理2：平分弧的直径 7、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的圆心角定理的关系定理（为了便于记忆，我个人这样称呼的）：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么都相等。

注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。

在题目中，若让你求⌒AB ，那么所求的是弧长 8、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是圆周角定理推论2：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的也相等9、如果一个四边形的的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

圆内接四边形有以下的性质定理：圆内接四边形的对角互补【圆内接平行四边形是】10、① 我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形② 我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆内接多边形。

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。

浙教版九年级圆知识点

浙教版九年级圆知识点圆是一种基本的几何图形，它在我们日常生活中无处不在。

在浙教版九年级数学课本中，关于圆的知识点主要包括圆的定义、圆的性质、圆的元素、弧长与扇形面积等内容。

本文将逐一介绍并详细解释这些知识点。

1. 圆的定义圆是由平面内与一个确定点的距离相等于一定长度的所有点组成的图形。

圆通常由一个圆心和半径来确定，圆心即为圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。

2. 圆的性质（1）圆的任意两点之间的距离都相等，这就是圆的最重要的性质，也被称为圆周上两点之间的弦长。

（2）圆的半径相等的两个或多个弦相等。

（3）半径垂直于弦，并且平分弦。

（4）圆周角是由圆周上的两条弧所对应的角，圆周角的大小等于其所对应的弧所对的圆心角的一半。

3. 圆的元素一个完整的圆通常包括圆心、半径、直径、弧、弦和切线等元素。

（1）圆心：圆的中心点。

（2）半径：从圆心到圆上任意一点的距离。

（3）直径：穿过圆心的线段，它的两个端点在圆上。

（4）弧：圆上的一段弧线，可以用圆心角度数或弧长来表示。

（5）弦：圆上连接两个点的线段，它的两个端点在圆上。

（6）切线：与圆只有一个交点，且与半径垂直的直线。

4. 弧长与扇形面积（1）弧长：弧长是指圆上一段弧线所对应的弧长，可以用度数或弧长来表示。

（2）扇形面积：扇形是由圆周上的弧和两条半径所围成的图形，扇形的面积可以通过圆心角的度数来计算。

通过以上的阐述，我们对浙教版九年级数学课本中关于圆的知识点有了更深入的理解。

圆作为一种常见的几何图形，在生活中存在着广泛的应用和意义。

通过学习圆的定义、性质、元素以及弧长和扇形面积的计算方法，我们可以更好地理解并运用圆的相关概念。

在解决生活和学习中的问题时，我们可以运用这些知识点，帮助我们更好地理解和分析几何图形的性质和关系，提升数学解题能力。

新浙教版初三上第三章《圆的基本性质》各节知识点及典型例题

圆的基本性质第一节圆第二节图形的旋转第三节垂径定理（选学）第四节圆心角第五节圆周角第六节圆内接四边形第七节正多边形第八节弧长及扇形的面积十二大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、旋转的概论及性质4、垂径定理5、垂径定理的逆定理及其应用6、圆心角的概念及其性质【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的叫做圆，定点O 叫做，线段OP 叫做圆的，以点O 为圆心的圆记作，读作圆O 。

2、弦和直径：连接圆上任意叫做弦，其中经过圆心的弦叫做，是圆中最长的弦。

3、弧：圆上任意叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做。

小于半圆的弧叫做，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。

4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则：点P 在⊙O 外⇔ ；点P 在⊙O 上⇔ ；点P 在⊙O 内⇔ 。

6、线段垂直平分线上的点距离相等；到线段两端点距离相等的点在上7、过一点可作个圆。

过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。

8、过的三点确定一个圆。

9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的。

三角形的外心是三角形三条边的【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。

浙教版-数学-九年级上册-圆的知识点小结

圆的知识点小结(1) (2)(3) (4)(4) ∵ CD=AD=BD ∴ ΔABC 是RtΔ5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例： ∵ ABCD 是圆内接四边形∴ ∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180°几何B 级概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题) 一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、扇形、圆锥不、侧面积、全面积二定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三公式：1．有关的计算：(1)圆的周长C=2πR ；(2)弧长L=180Rn π；(3)圆的面积S=πR 2. (4)扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；(5)弓形面积S弓形=扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.(如图)2．圆柱与圆锥的侧面展开图：(1)圆柱的侧面积：S圆柱侧=2πrh；(r:底面半径；h:圆柱高)1. (L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径)(2)圆锥的侧面积：S圆锥侧=LR2四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形.2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心；三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心. 7．关于圆的常见辅助线：。

浙教九年级圆知识点

浙教九年级圆知识点圆是数学中的一个重要概念，是几何形体中常见的一个形状。

它具有独特的性质和应用，对于学生来说，掌握圆的知识点对于解决几何问题非常重要。

在本文中，我们将探讨浙教九年级圆知识点，帮助学生更好地理解和应用这些知识。

一、圆的定义和基本性质首先，我们来了解圆的定义和基本性质。

圆是由平面上所有距离等于半径的点组成的集合。

圆由圆心和半径确定，其中圆心是圆上所有点的中心点，半径是圆心到圆上任意点的距离。

除了定义之外，圆还具有一些基本的性质。

例如，圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，直径等于半径的两倍。

圆的周长是围绕圆的线段的长度，等于2π乘以半径。

圆的面积是圆内部所包围的平面区域的大小，等于π乘以半径的平方。

二、圆的相关定理和推论在学习圆的知识过程中，我们还需要了解一些相关的定理和推论。

其中，最基本的定理之一是圆的切线定理。

这个定理指出，通过圆上一点的切线与半径垂直，切线与切点之间的线段是切线长所对应的半径的垂直平分线。

圆内接四边形定理是另一个重要的定理。

这个定理指出，如果一个四边形的四个角都在圆上，那么这个四边形是内接四边形，并且相对的两条边和相对的两个角互为补角。

圆锥曲线也是与圆相关的一个重要的数学概念。

圆锥曲线是平面上除了直线之外的其他曲线，由圆上的不同点所确定。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线等。

三、圆的应用圆的应用非常广泛，在日常生活和各个行业都有重要的应用。

在建筑领域，圆被广泛应用于设计和建造圆形的建筑物，如圆形剧院和圆型广场。

在物理学中，圆的运动被广泛地应用于描述天体运动和粒子运动的轨迹。

在工程学中，圆的应用也非常重要。

例如，土木工程师常常使用圆的知识点来设计桥梁和隧道的曲线形状。

电子工程师也需要掌握圆的性质，以设计圆形的电路和电子器件。

此外，圆也在数学的其他分支中应用广泛。

在数据分析和统计学中，圆可用于绘制散点图和回归分析。

在微积分中，圆被用于描述极坐标系和旋转曲线。

总结：通过对浙教九年级圆知识点的探讨，我们可以看到圆的重要性和应用广泛性。

浙教版圆的基本性质知识点总结

《圆的基本性质》知识点总结1.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。

固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”2、与圆有关的概念（1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径）（2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆），大于半圆的弧叫优弧（优弧用⌒和三个字母表示）、小于半圆的弧叫劣弧（用⌒和两个字母表示）。

（3）等弧：能够互相重合的两段弧（4）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆）3、点和圆的位置关系：如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则：（1）d<r →圆内（2）d=r →圆上（3）d>r →圆外4、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

过不在同一条直线上的三点做圆，能找出圆的圆心5、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。

三角形的外心到各顶点距离相等。

一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。

6、原图形上的所有点都绕着一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。

图形经过旋转所得到的图形和原图形全等。

对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。

旋转作图基本步骤：1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）；2、找出关键点；3、找出关键点的对应点；4、作出新图形；5、写出结论。

7、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

注：用于计算时，一般先连结过弦的一个端点的半径或者作弦心距，构造Rt △，再结合勾股定理求解. 推论：圆中两平行弦所夹的弧相等8、圆心角定理（顶点在圆心的角）：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

浙教版初中数学九年级《圆的基本性质》全章复习与巩固—知识讲解(基础)

《圆的基本性质》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系.2. 认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质.3. 理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理.4. 理解圆内接四边形的性质.5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积.6. 会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.（3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.点与圆的位置关系判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.4．与圆有关的角圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.5. 圆内接四边形圆内接四边形的对角互补.要点二、图形的旋转在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点三、正多边形各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．要点四、弧长及扇形的面积圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为．【解析】由已知得BC ∥x 轴，则BC 中垂线为2412x -+== 那么，△ABC 外接圆圆心在直线x=1上，设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为P(1,0)则 r PA ===【总结升华】三角形的外心是三边中垂线的交点，由B 、C 的坐标知：圆心P （设△ABC 的外心为P ）必在直线x=1上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P （1，0）；连接PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°，求CD 的长．【答案与解析】作OF ⊥CD 于F ，连接OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ 32ABOA ==，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．在Rt △OEF 中，∵ ∠DEB ＝60°，∴ ∠EOF ＝30°，∴ 112EF OE ==，∴ OF =．在Rt △DFO 中，OF OD ＝OA ＝3，∴DF ===(cm)． ∵ OF ⊥CD ，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF＝cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作OF ⊥CD 于F ，构造Rt △OEF ，求半径和OF 的长；连接OD ，构造Rt △OFD ，求CD 的长．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M 、N 分别为AB 、AC 的中点（垂径定理），则MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于点A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．【答案】65°.【解析】连结OD ，则∠D OB = 40°，设圆交y 轴负半轴于E ，得∠D OE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：【变式】如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（）N MO C BA（第3题）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、图形的旋转4．如图，图B是图A旋转后得到的，旋转中心是，旋转了 .【思路点拨】确定图形的旋转时，首先要确定旋转前后的对应点，即可确定旋转中心，对应点连线的夹角即为旋转角.【答案】X，180°.【解析】解：观察图形中Z点对应点的位置是图A绕旋转中心X按逆时针旋转180°得到的．故答案为：X；180°．【总结升华】本题考查了图形的旋转变化，主要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，对应点的连线是否过旋转中心，对应点连线的夹角为旋转角．类型四、圆中有关的计算5．（2016•十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm【思路点拨】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【答案】D．【解析】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高==20．故选D．【总结升华】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB所在圆的圆心为O．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．【答案与解析】连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交AB于点F，如图(2)．由垂径定理，可知E是AB中点，F是AB的中点，∴ 12AE AB ==EF ＝2．设半径为R 米，则OE ＝(R-2)m ．在Rt △AOE 中，由勾股定理，得222(2)R R =-+．解得R ＝4．∴ OE ＝2，12OE AO =，∴ ∠AOE ＝60°，∴ ∠AOB ＝120°． ∴ AB 的长为120481803ππ⨯=(m)．∴ 帆布的面积为8601603ππ⨯=(m 2)．【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AB 的长．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm ，水最深的地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径.【答案】①作法略.如图所示.②如图所示，过O 作OC ⊥AB 于D ，交于C ，∵ OC ⊥AB ，∴.由题意可知，CD=4cm. 设半径为x cm ，则.在Rt △BOD 中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为10cm.。

浙教版初中数学圆的知识点综合

浙教版初中数学圆的知识点综合圆是初中数学中重要的几何图形之一、在浙江教育版初中数学教材中，圆的知识点主要包括圆的构造、性质以及与圆相关的计算题。

一、圆的构造1.圆的定义：圆是平面内到一个定点距离恒定的点的轨迹。

2.圆心和半径：a.圆心：一个圆内部所有点到圆心的距离相等。

b.半径：从圆心到圆上任意一点的距离称为半径，用字母r表示。

3.圆的直径：通过圆心并且两端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的长度是半径的两倍。

4.圆的弦：在圆上连接两个点得到的线段称为圆的弦。

5. 圆的弧：圆上两个点之间的部分称为圆的弧，弧可以用度(°)或弧度(rad)来表示。

二、圆的性质1.圆的性质一：圆内任意两点的距离小于等于直径的长度。

2.圆的性质二：圆内任意一点与圆心的距离等于半径的长度。

三、圆的计算题1.圆的周长：圆的周长是圆上任意一点到该点顺时针或逆时针绕圆一周所经过的距离。

周长公式：C=2πr，其中C是圆的周长，r是圆的半径，π是一个常数，约等于3.142.圆的面积：a.圆的面积定义：圆的面积是圆上任意一点到该点的两条弧所围成的部分的面积。

b.面积公式：S=πr²，其中S是圆的面积，r是圆的半径。

3.圆的扇形面积：a.扇形：由圆心和圆上两点所围成的部分称为扇形。

b.扇形面积公式：S=1/2πr²θ，其中θ是扇形的角度(以弧度为单位)。

4.圆的弧长：a.弧长定义：圆的弧长是圆上任意两点之间的弧长。

b.弧长公式：L=2πrθ，其中L是弧长，θ是弧对应的圆心角的度数。

综合例题：1. 一个半径为5cm的圆的周长是多少？解答：周长C=2πr=2×3.14×5≈31.4㎝。

2.一个直径为8㎝的圆的面积是多少？解答：半径r=直径/2=8/2=4㎝，面积S=πr²=3.14×4²=50.24㎝²。

3. 一个扇形的圆心角是120°，半径为6cm，求扇形的面积。

浙教版九年级圆的知识点

浙教版九年级圆的知识点浙教版九年级数学课本中，圆是一个重要的几何概念。

本文将以简洁明了的方式介绍九年级数学课本中关于圆的知识点。

一、圆的定义和相关术语圆是平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。

在圆中，有以下几个重要的术语：1. 圆心：圆的中心点，用大写字母O表示。

2. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用小写字母r表示。

3. 直径：通过圆心的两个点之间的线段叫做直径，直径的长度是半径的两倍。

4. 弧：圆上的一段弧叫做弧，可以用弧上的两个端点来表示。

5. 弦：圆上两个点之间的线段叫做弦，可以通过弦的两个端点来表示。

6. 弦长：弦的长度。

7. 弧长：弧所对的圆心角所对应的弧长。

二、圆的性质1. 圆的半径相等：圆上任意两条半径的长度都是相等的。

2. 圆的直径是最长的：在同一个圆中，任意两个点之间的距离都不会大于直径的长度。

3. 圆的弦与直径的关系：通过圆心的直径分割弦，弦长相等的弦所对应的圆心角也相等。

4. 弧长与圆心角的关系：在同一个圆中，两个圆心角相等的弧，它们的弧长也相等。

5. 圆的周长和面积公式：- 周长：圆的周长等于圆周率π乘以直径的长度，即C = πd。

- 面积：圆的面积等于圆周率π乘以半径的平方，即A = πr²。

三、圆的计算例题1. 如图，在半径为6cm的圆中，一条弧长为12π cm的弧所对应的圆心角是多少度？- 解答：根据弧长公式可求得圆心角的度数：弧长 = 圆心角的度数/ 360° × 2πr。

12π = 圆心角的度数/ 360° × 2π × 6，可得圆心角的度数为 120°。

2. 如图，已知一条弦的长度为8cm，它与圆心夹角为60°。

求这条弦的距离圆心的距离是多少？- 解答：根据弦长公式可求得距离圆心的距离：弦长 = 2 ×距离圆心的距离 × sin(夹角的一半)。

浙教版圆知识点总结

浙教版圆知识点总结圆是我们数学中非常重要的一个概念，它在生活中也有着广泛的应用。

在浙教版数学教材中，圆是一个重点内容，学生需要掌握圆的定义、性质、相关定理和应用等知识点。

接下来，我将对浙教版圆的知识点进行总结，希望能对学生的学习有所帮助。

一、圆的定义在我们的日常生活中，我们经常可以看到圆形的物体，比如圆桌、圆形蛋糕、圆形的铁环等等。

那么，什么是圆呢？在数学中，我们可以这样定义圆：平面上到一个定点距离等于定长的所有点的集合叫做圆。

这个定点叫做圆心，定长叫做半径，两倍的定长叫做直径。

二、圆的性质1. 圆心角：圆周上的任意两点和圆心所围成的角叫做圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数，即θ = s/r，其中θ是角的度数，s是弧的长度，r是半径。

2. 弦：在圆上，两点之间的线段叫做弦。

弦的长度小于直径，大于半径。

3. 切线：过圆上一点并且与圆相切的直线叫做切线。

切线与半径的夹角等于90°。

4. 两条平行切线的性质：两条平行切线所夹的弧相等，它们所夹的圆心角相等，在切点处的两条切线相等。

5. 相交弦的性质：两条相交弦所夹的圆心角相等，它们所夹的两个弧的和等于180°，在相交弦与圆的交点处，所夹的两条弦相等。

三、圆的相关定理1. 切线与半径的垂直定理：切线与半径的夹角等于90°。

2. 同弧相等定理：同一个圆上，相等的弧所对的圆心角相等，反之亦成立。

3. 弦长定理：相等的圆心角所对的弦相等，反之亦成立。

4. 圆心角与弧长的关系：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

5. 弦切定理：切线与过切点的弦的夹角等于这条弦所对的圆心角。

6. 直径定理：如果一个三角形的一个顶点在圆上，另外两个顶点在圆的两条切线上，那么这个三角形是直角三角形，且直角在与顶点在圆上的直径上。

四、圆的应用圆在我们的生活中有着广泛的应用，比如建筑、制图、物理、工程等各个领域都有圆的应用。

1. 圆的建筑应用：在建筑中，圆形的建筑物比如圆形的大厅、圆形的塔楼等都是圆的应用，圆形的建筑物更加稳固和美观。

2020浙教版九年级数学上《圆的基本性质》章节知识点复习专题

- 1 -【文库独家】圆的基本性质章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图4图5- 2 -三、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD四、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。

浙教版圆的基本性质知识点总结

浙教版圆的基本性质知识点总结圆的基本性质是几何学中的一项基础知识，对于圆的性质的理解和掌握在圆的相关题目的解答和应用中扮演着重要的角色。

下面将对浙教版圆的基本性质进行总结。

一、圆的定义与术语1.定义：平面上距离其中一点恒定的点的轨迹叫做圆。

2.直径：圆上任意两点之间的线段叫做圆的直径。

直径的两个端点叫做圆的端点。

3.弦：圆上两点之间的线段叫做圆的弦。

4.弧：圆上两点之间的部分叫做圆的弧。

圆上的弦所确定的弧叫做弦所对应的弧。

5.弧长：弧的长度叫做弧长。

弦所对应的弧长叫做弦长。

二、圆的性质1.圆的半径相等性质：圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离叫做圆的半径。

2.圆的直径性质：直径是圆的一条特殊的弦，它通过圆心且分割圆成两个相等的半圆。

3.圆的弦性质：等长的弦所对应的弧长相等。

4.圆的弦长性质：相等的弦所对应的弧长相等。

5.圆心角性质：圆心角对应的弧长相等。

6.弧度与弧长的关系：单位圆上的弧长等于弧度。

三、圆内角与弧长关系1.圆心角的度数等于所对应的弧度。

2.锐角的圆心角小于90°，所对应的弧长小于四分之圆的周长。

3.直角的圆心角等于90°，所对应的弧长等于四分之圆的周长的四分之一4.钝角的圆心角大于90°，所对应的弧长大于四分之圆的周长。

四、圆的周长与面积1.周长：圆的周长等于圆周上的任意弧长。

2.面积：圆的面积等于圆的半径平方乘以π。

五、圆的切线性质1.点到圆的切线长度是点到圆心的半径长度的倍数。

2.切线与半径的关系：切线与半径垂直。

3.切线与圆心角的关系：切线与圆心角所对应的弦垂直。

六、两圆的位置关系1.外切圆：外切圆对应的半径、切点和切线垂直。

2.内切圆：内切圆对应的半径、切点和切线垂直。

3.相交圆：相交圆对应的半径、切点和切线不垂直。

总结：浙教版圆的基本性质主要涉及圆的定义与术语、圆的性质、圆内角与弧长关系、圆的周长与面积、圆的切线性质以及两圆的位置关系等方面。

浙教版九年级下册数学圆知识点

浙教版九年级下册数学圆知识点圆是数学中的一个重要概念，也是我们日常生活中经常接触到的几何图形之一。

浙教版九年级下册数学教材中也详细介绍了圆的知识点，本文将从圆的定义、圆的性质以及圆的应用等方面进行论述。

一、圆的定义圆是由平面上到固定点的距离等于常数的所有点的集合。

这个固定的点叫圆心，这个距离叫半径。

根据圆的定义，我们可以了解到圆是一个由无数个点组成的封闭曲线，它的每个点到圆心的距离都相等。

二、圆的性质1. 圆的直径是圆中任意两点之间的最长的一条线段，它等于半径的两倍。

2. 圆的半径垂直于圆的切线，也垂直于切点处的半径。

3. 圆上任意一条弦，其垂直于该弦的半径平分该弦。

4. 在同一个圆中，或在相等的圆中，圆心角相等的弧相等，弧所对的圆心角相等的扇形相等。

5. 相等的圆，它们的圆心角、弧长、面积都相等；扇形的面积等于所对的圆心角的一半乘以半径的平方。

6. 在同一个圆或相等的圆中，圆周角相等的弧相等，圆周角所对的弧相等。

三、圆的应用圆在日常生活中有着广泛的应用。

其中一种是在建筑设计中，圆形的窗户、拱门和圆顶等都能起到美化建筑外形的作用。

另外，圆的性质还被广泛应用于测量工作中。

例如，测量房间面积时，可以利用测量半径来计算出圆形房间的面积；在现代生产中，利用圆的性质可以制作各种不同的机械传动装置，如齿轮、皮带等。

此外，在数学的研究和科学的探索中，圆也扮演着重要的角色。

圆的性质在几何学、物理学、天文学等领域都有着广泛的应用，为科学家们提供了研究和探索的基础。

总结起来，圆作为数学的一个重要知识点，在我们的生活中有着广泛的应用。

通过学习圆的定义、性质以及应用，我们能够更好地理解圆的概念，培养几何思维和推理能力，为将来的学习和工作打下坚实的基础。

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