第4节 n阶常系数线性差分方程
线性差分方程
线性差分方程内容提要:1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)1-4 齐次线性差分方程2 线性差分方程3 例子本文主要参考文献.由于最近需要用到一些线性差分方程，所以这里做一个复习小结.注:由于阶数为 2 或者 2 以上，处理方法毫无区别，所以我们集中火力搞定 2 阶情形，一般情形则不加证明给出结果. 但不难由 2 阶情形照搬证明过去.1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的一阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} ,式中 a_1 为实数.\bullet 显然这个方程的解为z_t =C a_1^t . C 为任意实数.1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的二阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} ,式中 a_1, a_2 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ 1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}称为齐次线性差分方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的特征方程，而它的两个根\lambda_{1},\lambda_{2} （可能有重根）叫做特征根.[特解]z_{t}=\lambda_{i}^{t} ( i=1,2 ) 为方程的特解.[证明] 由\lambda_{i}^{2}=a_{1}\lambda_{i}+a_{2} ，两边同时乘以 \lambda_{i}^{t-2} ，得\lambda_{i}^{t}=a_{1}\lambda_{i}^{t-1}+a_{2}\lambda_{i}^{t-2}因此z_{t}=\lambda_{i}^{t} （ i=1,2 ）满足原方程.1-2-1 不等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1}\ne\lambda_{2} , 那么，方程z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}.[证明] 由于\begin{array}{llll} a_{1}z_{t-1}+a_{2}z_{t-2}\\=a_{1}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-1}+C_{2}\lambda_{2}^{t-1}\right)+a_{2}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-2}+C_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\left( a_{1}\lambda_{1}^{t-1}+a_{2}\lambda_{1}^{t-2} \right)+C_{2}\left( a_{1}\lambda_{2}^{t-1}+a_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}\\=z_{t} \end{array}所以对任意的常数 C_{1},C_{2}, 我们都有z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t} 是方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2}的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值 z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}+C_{2}=z_{0}\\C_{1}\lambda_{1}+C_{2}\lambda_{2}=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 \\\lambda_{1} & \lambda_{2}\end{array}\right| \not=0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}. 1-2-2 相等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1} = \lambda_{2}= \lambda , 那么，方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_t =(C_1 +C_2t) \lambda^t .[证明] 由于 \lambda 是特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}的二重根 ,所以它也是 \lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的二重根. 把\lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的两边对 \lambda 求导，得t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-3}，因为重根求导之后仍为根，所以 \lambda 是 t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1 \right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2 \right)\lambda^{t-3} 的根，两边乘以 \lambda 得到\lambda 也是t\lambda^{t}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-1}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-2} 的根，即z_{t}=t\lambda^{t} 也是特解. 容易验证z_t=(C_1 +C_2t) \lambda^t 都是方程 z_t =a_1z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}=z_{0}\\C_{1}\lambda+C_{2}\lambda=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为 \left|\begin{array}{cccc} 1& 0 \\ \lambda & \lambda\end{array}\right|\ne0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}.1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)延续上一节的记号.\bullet (i) 若特征方程有两不等实根 \lambda_1,\lambda_2 ，那么这个方程的解为z_t =C_1 \lambda_1^t+C_2 \lambda_2^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (ii) 若特征方程有两相等实根 \lambda_1=\lambda_2 = \lambda ，那么这个方程的解为z_t =(C_1+C_2t) \lambda^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (iii) 若特征方程有两共轭复根 \lambda_1=re^{iw}, \lambda_2=re^{-iw}, 那么两个特解为z_t=r^{t}e^{iwt} ,z'_t=r^{t}e^{-iwt}，由欧拉公式有z_t=r^{t}[cos(wt)+isin(wt)],z'_t=r^{t}[cos(wt)-isin(wt)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，可以凑出新的两个特解r^{t}cos(wt)与 r^{t}sin(wt) , 因此通解为z_t =C_1r^{t}cos(wt) +C_2 r^{t}sin(wt) .1-4 齐次线性差分方程[齐次线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \t\in \mathbb{Z} \} 的齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cccccc} a_1 & a_2 &a_3&\cdots &a_{p-1} & a_p\\ 1 & 0 & 0&\cdots &0 & 0\\ 0 & 1 & 0&\cdots &0 & 0\\ \cdots &\cdots &\cdots&\cdots &\cdots &\cdots \\ 0 & 0 & 0&\cdots &1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{p}=a_{1}\lambda^{p-1}+a_{2}\lambda^{p-2} +\cdots +a_p称为齐次线性差分方程 ( ) 的特征方程，而它的 p 个非零根\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{p} （可能有重根）叫做特征根.\bullet 如果 \lambda_{i} 为两两不等的实根, 那么，方程( ) 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}+\cdots +C_{p}\lambda_{p}^{t}.2 线性差分方程[线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in\mathbb{Z} \} 的线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p}+h( t). ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数而 h(t) 为t 的已知函数. 并且称方程:z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )为( )的导出齐次线性差分方程.\bullet 线性差分方程( )的解为导出齐次线性差分方程( )的通解和特解之和.3 例子[例1] (等差数列) 等差数列z_{t+1}=z_{t}+d 为一阶线性差分方程.它的导出齐次方程为 z_{t+1}=z_{t} , 特征根为 \lambda=1 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = dt , 那么全部解为 z_{t} = dt+C.[例2] z_{t}= 2 z_{t-1}+1 .它的导出齐次方程为 z_{t}=2z_{t-1} , 特征根为\lambda=2 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C2^t.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = 2^t-1 , 那么全部解为z_t=C2^t-1.。
常系数线性差分方程的解
常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n kn =+++-++（1）其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（1）为常系数线性方程。
又称方程0...110=+++-++n k k n kn x a x a x a（2）为方程（1）对应的齐次方程。
如果（2）有形如nnx λ=的解，带入方程中可得：0 (11)10=++++--k k k k a a a a λλλ（3）称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。
显然，如果能求出（3）的根，则可以得到（2）的解。
基本结果如下：（1） 若（3）有k 个不同的实根，则（2）有通解：nkk nnn c c c x λλλ+++=...2211，（2） 若（3）有m 重根λ，则通解中有构成项：nm m nc n c c λ)...(121----+++（3）若（3）有一对单复根βαλi ±=，令：ϕρλi e±=，αβϕβαρarctan,22=+=，则（9）的通解中有构成项：nc n c nnϕρϕρsin cos 21--+（4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e±=，则（2）的通项中有构成项：n nc n c c n nc n c c nm m m m nm m ϕρϕρs i n )...(c o s )...(1221121---++---+++++++综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程（2）的通解中必有k 个独立的任意常数。
通解可记为：-n x 如果能得到方程（1）的一个特解：*n x ，则（1）必有通解：=n x -nx +*n x （4）特解可通过待定系数法来确定。
差分方程方法总结
a1
k
k 1
a2
k 2
ak 0
称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根 称为特征根。
33
2018年10月15日
2018年10月15
一 .常系数线性差分方程
2.常系数线性非齐次差分方程
常系数线性非齐次差分方程的一般形式:
xn a1 xn1 a2 xn2 ak xnk f (n) (2) 其中 k 为差分方程的阶数，ai (i 1,2,, k ) 为差分
方程的系数， ak 0(k n) ， f (n) 为已知函数。
7
2018 年 10 月 15日 2018 年10 月 15 日
二 差分方程的平衡点及其稳定性
1. 一阶线性常系数差分方程的平衡点
一阶线性常系数差分方程的一般形式:
xk 1 axk b, k 0,1,2, * 它的平衡点为 x ax b 的解，不妨记为 x 。
f ( xk 1 ) f ( xk 1 ) 中心差： f ( xk ) (k 1, 2, xk 1 xk 1
13
, n)
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三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f ( x) 在点 xk 处的函数值 f ( xk )(k 0,1,, n) ， 且在 [a, b] 上可积，试求 f ( x) 在 [a, b] 上的积分值
根据定义，则有一般的求积公式:
b
a
f ( x)dx 。
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
1.3 常系数线性差分方程
同一个差分方程，边界条件不同，所求的h(n)表达 式不同。即：
同一个差分方程，边界条件不同，其对应的系统 是不同的。
二、常系数线性差分方程的求解
解得：此系统不是线性系统，也不是移不变系统。 结论：常系数线性差分方程，其所对应的
系统并不一定是线性移不变的。
一些关于差分方程的结论
一个差分方程不能唯一确定一个系统 常系数线性差分方程描述的系统不一定
利用查找表实现4bit x 4bit
4bit x 4bit 乘法器
用D触发器实现延时器
1. 己知差分方程，作出系统运算结构
2. 己知系统运算结构，求差分方程表达式
例：已知某系统结构如下所示，求此系统所对应的 差分方程。
四、系统运算结构的实现
当输入x(n)=nR10(n)，求输出y(n)。
(输入和输出信号均为8件编程
课后自训
某线性移不变离散时间系统的单位抽样响应序 列h(n)=R3(n)，
1.求此系统对应的差分方程； 2.作出此系统的运算结构； 3. 分别用硬件电路和软件编程实现此系统，
当输入信号x(n)＝nR10(n)时，求出输出 信号y(n)。（输入输出信号均用8bit表示）
1.3 常系数线性差分方程
(3) y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
(使用3之前要证明此系统是线性移不变系统)
一、常系数线性差分方程的定义
二、常系数线性差分方程的求解
二、常系数线性差分方程的求解
二、常系数线性差分方程的求解
解得：
二、常系数线性差分方程的求解
解得：
是线性移不变的 不一定是因果的 不一定是稳定的
在今后的讨论中，通常假设常系数 线性差分方程就代表线性移不变系统， 且多数代表可实现的因果系统。
第一、二节差分方程的基本概念 一阶常系数线性差分方程
二阶线性常系数非齐次差分方程
2 yt + 3 − 3 yt + 2 + 4 yt +1 − 5 yt = 0
t t t t
三阶线性齐次差分方程
五.线性差分方程解的基本定理 线性差分方程解的基本定理 定理10.1 定理 如果 y1 ( t ), y2 ( t ),L , ym ( t ) 是齐次线性差分方程 的 m 个解 则它们的线性组合 个解,则它们的线性组合
2 2
解 ∆yt = f ( t + 1) − f ( t )
= [( t + 1) 2 + 2( t + 1)] − ( t 2 + 2t )
= 2t + 3
∆ yt = f ( t + 2) − 2 f ( t + 1) + f ( t )
2
= [( t + 2) + 2( t + 2)] − 2[( t + 1) + 2( t + 1)]
F ( t , y t , ∆y t , ∆2 y t , ∆3 y t , L , ∆n y t ) = 0
定义10.2 定义
含有自变量 t 和两个或两个以上
的函数值 yt , yt +1 ,L , yt + n的方程 称为差分方程 的方程,称为差分方程 称为差分方程. 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差, 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差 称为差分方程的阶. 称为差分方程的阶
F ( t , yt , yt +1 , yt + 2 ,L , yt + n ) = 0
注 两个定义不完全等价 例如
∆ y t + ∆y t = 0
第4节 n阶常系数线性差分方程
其重数为 k ( 2 k ≤ n ) , 则
r t cos ω t , t r t cos ω t , L , t k − 1 r t cos ω t t r sin ω t , t r t sin ω t , L , t k − 1 r t sin ω t 为齐次方程(2)的 个线性无关的特解 个线性无关的特解， 为齐次方程 的2k个线性无关的特解，其中 b 2 2 r = a + b , tan ω = , ω ∈ ( 0 , π ) a
相应齐次方程的通解为
yc ( t ) = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
π
2
t + C 3 sin
π = B ， 入原方程得 B = 1 ， 一特解为 yt = 1 ， 代 方程得 得
故原方程通解为
yt = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
4
阶常系数非齐次线性差分方程的解法 非齐次线性差分方程的 二、 n 阶常系数非齐次线性差分方程的解法
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = b
对应齐次方程 (1)
常数， 其中 a1 , L , a n −1 , a n , b 为常数，且 a n ≠ 0 , b ≠ 0 ，
3
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
λn + a1λn−1 +Lan−1λ + an = 0
(2) (3)
上述特解共有n个 将它们用任意常数组合起来， 上述特解共有 个，将它们用任意常数组合起来， 即得齐次方程(2)的通解 的通解. 即得齐次方程 的通解.
1-3时域离散系统的差分方程描述
an , h(n) = 0,
n≥0 n<0
a <1 稳 系 是 定 统
求差分方程描述的系统的单位抽样响应——MATLAB 求差分方程描述的系统的单位抽样响应
2.2 时域离散系统 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程 差分方程与系统结构 差分方程的求解 差分方程描述的系统 的线性、 的线性、非时变性 求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
x(n)
⊗ ⊕
b0
b0 x(n)
b0 x(n)-a1y(n-1)
y(n)
-a1y(n-1)
⊗
-a1
Z
−1
y(n-1)
求解差分方程——递推法 递推法 求解差分方程
2.2 时域离散系统 时域离散系统 的差分方程描述
线性常系数差分方程 差分方程与系统结构 差分方程的求解 差分方程描述的系统 的线性、 的线性、非时变性 求差分方程描述的系 统的单位抽样响应
求解差分方程y(n)=ay(n-1)+ x(n)，y(-1)=1。 求解差分方程 ， 。 MATLAB代码： 代码： 代码 a=0.8;ys=1 %设a=0.8 设 xn=[1,zeros(1,30)]; %设x(n)= δ(n),长度 长度N=31 设 长度 B=1;A=[1,-a]; xi=filtic(B,A,ys); yn=filter(B,A,xn,xi); n=0:length(yn)-1; subplot(3,2,1);stem(n,yn,’.’) title(‘(a)’);xlabel(‘n’);ylabel(‘y(n)’)
或者 ai y (n − i ) = ∑ bi x(n − i ), a0 = 1 ∑
i =0 i =0 N M
§7.4 常系数线性差分方程的求解
(
) u(n)
2、若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值y+(0)， 若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值 (0)， 始样值y (0)=1应满足方程 应满足方程： 则y+(0)=1应满足方程： y(n)-3y(n-1)= u(n) <0时 迭代法得： 当n<0时，由迭代法得： y+(n)=0 当n ≥ 时，则有： 0 则有： y+(0)= 1 +3y y+(1)= u(1) +3y+(0)=1+3*1=4
y − (− 1) = 1 1 y − (0 ) = 3 3 2 1 1 y − (− 2 ) = y − (− 1) = 3 3
…...
1 1 y − (n ) = y − (n + 1) = 3 3
−n
假设系统是因果系统， 假设系统是因果系统， 由于激励u n=0 由于激励u(n)在n=0接 那么,此解就是n 入，那么,此解就是n<0 时系统的零输入响应。 时系统的零输入响应。
如果系统起始样值 如果系统起始样值y-(n) ≠ 0，则系统差分方程的完全 起始样值y 0，则系统差分方程的完全 解将不满足线性时不变的特性。 解将不满足线性时不变的特性。 今后我们规定，所有初值如无下标 值如无下标， 今后我们规定，所有初值如无下标，则一律按初始 样值处理。 样值处理。
返回
种方法） 二、差分方程的解法（前3种方法） 差分方程的解法（
y+(2)= u(2) +3y+(1)=1+3+32=13 +3y …... 1 2+……+3n = (3 n +1 − 1) y+(n)= u(n) +3y+(n-1)=1+3+3 +3y 2 1 n +1 则方程的解为： 则方程的解为： y(n)= (3 − 1) u(n)
7.4 常系数线性差分方程的求解资料教程
§7.4 常系数线性差分方程的求解
• 迭代法 • 时域经典法 • zi、zs 分解法 •变换域求解法（Ch8）
2
第
解法
页
1. 迭代法
2. 时域经典法：齐次解 + 特解； 3. 零输入响应 + 零状态响应
利用卷积求系统的零状态响应
4. z 变换法 反变换 y(n)
3
一．迭代法
第 页
利用差分方程本身的递推关系，逐一求出y(n)。
但 得 不 yn输 到出 序 列 的 解 析 式
4
第 页
5
第
解的三种形式
页
1 .无 重 r 1 r 2 根 r n n 阶 方 程
y n C 1 r 1 n Hale Waihona Puke C 2 r 2 n C n r n n
2.有重根：r是特征方程的k重根。
y n C 1 n k 1 C 2 n k 2 C k 1 n C k r n
xnrn
ynCrn
xnrn（r与特征根重）
y n C 1 n rn C 2 rn
7
三．零输入响应+零状态响应 d
第 页
1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次
齐次解：C r n
C由初始状态定（相当于0-的条件）
2.零状态响应：初始状态为0，即
y 1 y 2 0
求解方法
不讲了。
经典法：齐次解+特解 卷积法
3.有共轭复数根：当作不同的根，解可化简。
6
第
2.特解
（此表书上没有）
页
线性时不变系统输入与输出有相同的形式：
输入
xnea n
输出
ynAaen
xnejn xnco sn xns inn
常系数线性差分方程
同步骤1），由
y3 (n
1)
1 a
[
y3 (n)
x3 (n )]
得y3(n) an1，n 1
y3(n) (1 a) (n) (1 a a2 )an1u(n 1)
an1u(n 1)
4）结论：
当输入x1(n) (n)时，输出
y1(n) (1 a)anu(n) an1u(n 1) 当输入x2 (n) (n 1)时，输出
y2 (n) an1(a2 1)，n 1
同步骤1），由
y2 (n
1)
1 a
[
y2
(n)
x2 (n)]
得y2 (n) an1，n 1
y2 (n) a (n) (1 a2 )an1u(n 1) an1u(n 1)
3）令输入x3(n) x1(n) x2 (n) (n) (n 1)，
例1：已知常系数线性差分方程
y(n) ay(n 1) x(n)
若边界条件
y(1) 0
求其单位抽样响应。
解：令输入x(n) (n)，则输出y(n) h(n)，
又已知y(1) 0
由y(n) ay(n 1) x(n)，得
y(0) ay(1) x(0) 1 y(1) ay(0) x(1) a y(2) ay(1) x(2) a2
y1(n) an (a 1)，n 0
由y1 (n
1)
1 a
[
y1(n)
x1(n)]，得
y1 ( 2)
1 a
[
y1(1)
x1(1)]
a 1
y1 ( 3)
1 a
[
y1(2)
x1(2)]
a 2
差分方程基本知识
3. 常系数线性差分方程及解的性质
定义4 形如
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f ( x)
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
a1 , a2 , , an 为常数，且 an 0, f (t )为已知函数.
当 f (t) 0时，差分方程(1)称为齐次的，
例如，
yt2 2 yt1 yt 3t
是一个二阶差分方程， 可以化为
yt 2 yt1 yt2 3t2.
如果将原方程的左边写为
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为 2 yt 3t.
若 f (t) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性
差分方程.
1. 常系数齐次线性差分方程的通解 对于一阶常系数齐次线性差分方程
yt1 ayt 0
(4)
通常有如下两种解法.
(1) 迭代法求解： 设 y0 已知，则
yn ayn1 a(ayn2 ) a2 yn2 an1 y1 an y0 ,
由于 a 1 , b 5 , a b,
22
故可设其特解为： yt* kbt .
代入方程，解得：k c 1 ,
ba 2
故原差分方程通解为：
yt
Y
yt*
A
1 t 2
1 2
5 t 2
.
(三) f (t) ctn (c为常数)， 则差分方程为
2
于是原方程的通解为
其中C为任意常数.
yt
C(
1)t , 2
时间序列分析第四章ARMA模型的特性 王振龙第二版
j 0
C11j C22j Cnnj at j
j 0
从上式可看出： I.若对所有i(i=1,2…n)都有| λ i |<1(即特征根全在单位圆内), 则系统是渐进稳定的,从而是平稳的； II.若至少有一个i(i=1,2…n)使得| λ i |>1(即特征根全在单位圆 外),则系统是不稳定的,从而是非平稳的； III.若| λ i |≤1 (i=1,2…n)且至少有一个取等号,则系统是临界 稳定的,从而可能平稳也可能不平稳。
= 1.1
X
= -1.1
24 20 20 16 15 12 8 4 0 -4 25 50 75 10 5 0 -5 -10 100 125 150-15 175 200 225 250 X -20 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 X
=1
= -1 AR(1)模型的平稳性条件？
X t 1 X t 1 2 X t 2 at 1at 1
2
采用后移算子 ，上式等价为：
或 令
(1 1 B 2 B ) (1 1B) G j B
2 1
(1 1 B 2 B ) X t (1 1B)at 2 1 X t (1 1 B 2 B ) (1 1B)at
ARMA(n,m)模型的后移算子表达式为：
其中：
(B) 1 1B 2 B n B
2
( B) X t ( B)at
n
(B) 1 1B 2 B2 m Bm
设(B)所对应的特征方程的特征根分别为： λ i ，i=1,2,…,n， 于是 从而
n阶不等距常系数线性差分方程的解
乘 积． 实施演 算过 程 中将使得 左平 移消 失掉 ， 在 即
ａ＾ ０ 岛ｚ＋ 口 ｈ＇ １ ｂｘ＋ 口 卢 ＋ … ＋ ａ 一 一 ＋ ｎ — ｈ ， ｌ ２ ２ １ １ 厂， ，
其 中 ＝ －ａ ， 一０ １ … ，． ＝ ＝ ， Ｊ ， ， 即有
一 Ｆ Ｉ丽 ． 而 可 ＿ ’
其 中 ａ ， … ， 为复数 ，。 。ａ ， ａ ，
”， 为复数 ，
一 ｍａ ｛ ， ， ， ｝ ｘ ｏ １ … ．
＞ ０，ｉ 一０， ， … ， 口 ≠ ０ ａ ≠ ０ ，一 ｛ ｝ １ ２， ｏ ， ， ，（） ∈Ｃ ，
由于在 自然嵌 入下 ， ｃＱ， 因此 在如 下 的算符 演算 中 ， 函数类 放 大到 Ｌ， （ ） 将 将 １ 式转 化 为算 符方
Ｑ２ ， Ｉ ｌ Ｑ２ ， ｍ ｌ Ｑ １ ｒ ．
ａ 岛 ＋ ｎ ＾ ｏ １ 岛＋ … ＋ ａ 一 ＾ 一 ａ １ 一 十
一 ．
Ｑ１ ． ．
．
一 ＿ 二 ＝
十…十 ＿ 二 ＝
１ …
Ｉ
十 ＿ 二 ＝
Ｉ
十… 十 ＿ 二 ＝
十 ＿ 二 ＝
十 …十 ＿ ＝ 二
对 于数值 系数 的移动 算符 级数
∑ ａ 以 ∑ ａ ＾ 一 ｈ ， （ ）
其中 ＞ｏ 为 数， ０１ ， 恒为 复 ｉ ，， …， 算符收 ． 别地， 数 ∑ … 恒为 ＝ ２ 敛特 级 ｈ 算符收 敛（为复数） ， 且
（ －ｐ 一（ ＋ｐ １ ｈ ） １ ｈ ＋ ｈ ＋… ） ， 一１ 因此 有
［ 摘 要 ］ 利用 Ｍｉｕｉｓ ｉ ｋ ｓ ｋ 的算 符 演 算 理 论 和 移 动算 符 的幂 级 数 表 示 ， 出 了 ”阶 不 等 距 常 系数 线 性 差 ｎ 给
常系数线性差分方程的求解
1
比较两边系数得
33DD12
2 2D
1
1
解得
D1
2 3
,
D2
1 9
完全解为 y(n) c(2)n 2 n 1
39
代入边界条件y(1) ，求1 c
1 c(2)n 2 (1) 1
3
9
y(n) 8 (2)n 2 n 1
Байду номын сангаас
9
39
得 c8 9
经典法不足之处
(1).若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 (2).若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 (3).若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 (4).这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。
上式称为k齐0 次微分方程的特征方程，其根 1,2, N
称为差分方程的特征根。
非重根时的齐次解 N
C11n
C2
n 2
C
N
n N
Ck
n k
k 0
K次重根时的齐次解
K
(C1nK1 C2nK2 CK1n CK )1n
Ci
n
K
i n 1
i 1
共轭根时的齐次解 1,2 a jb e j0
差分方程的边界条件不一定由 y(0), y(1), y(2), , y(N 1) 这一组数字给出。对于因果系统，常给定
y(1), y(2), y(3), , y(N) 为边界条件。 若激励信号在n=0时接入系统，所谓零状态是指 y(1), y(2), y(3都),等,于y(零N，) 而不是指
y(0), y(1), y(2),等,于y(零N。1)
a0 y(n) a1y(n 1) aN1y(n N 1) aN y(n N) 0
中山大学高等数学三教学大纲(09学年度开始执行)
《高等数学三》教学大纲课程名称：高等数学三Advanced Mathematics (3)课程类别：必修课总学时：68+68 学分：4+4主编姓名：李艳会单位：数学系职称：副教授主审姓名：贾保国单位：数学系职称：副教授授课对象：本科生专业：年级：岭南学院：经济学、财政学、保险学、金融学、国际经济与贸易、物流管理、国际商学院：经济学、工商管理、传播学院：艺术设计学、管理学院：旅游管理(酒店管理)、旅游管理（2+2合作办学）、市场营销、财务管理、工商管理、会计学、工商管理(企业人力资源管理)、电子商务。
年级：一年级编写日期：2009-5-18一．课程目的与教学基本要求：本课程是为我校经济，管理类有关专业开设的一门必修基础课。
内容包括微积分、无穷级数、常微分方程与线性代数。
通过教学使学生熟悉与了解上述内容的最基本知识，有助于培养逻辑清晰、思维严谨的判断分析能力，同时为学生以后学习数理统计、运筹学和相关的专业课以及今后的工作，提供一定的数学基础。
通过教学，要求学生理解所传授的数学知识，数学思想和方法，能有意识地运用学到的知识去联系、理解或解决他们专业中所出现的相关问题。
二．课程内容：本课程讲授时间是一学年，每周为4学时,共136学时，其中微积分部分占100 学时，线性代数部分占36 学时。
下面是讲授内容与学时分配第一部分微积分第一章函数及其图形4学时第一节预备知识第二节函数第三节函数的几种基本特性第四节反函数第五节复合函数第六节初等函数第七节简单函数关系的建立本章重点讲授复合函数与初等函数，并介绍分段函数。
本章内容均要求牢固掌握。
第二章极限和连续10学时第一节数列极限第二节函数极限第三节极限的运算法则第四节无穷小和无穷大第五节极限存在准则和两个重要极限第六节函数的连续性及连续函数第七节函数的间断点本章的重点是求极限的一般方法，两个重要极限及函数的连续性，要求牢固掌握。
难点是极限的定义，要求一般掌握。
第三章导数和微分10学时第一节导数概念第二节求导法则第三节基本导数公式第四节高阶导数第五节函数微分第六节导数和微分在经济学中的简单应用本章重点是导数概念、导数的基本公式与运算法则，尤其是复合函数的求导法则，要求学生牢固掌握。
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(3)
1. 若(3)有一实特征根 λ ,其重数为 m ( m ≤ n ) ,则 )
λ , tλ , L , t
t
λ
t
为齐次方程(2)的 个线性无关的特解 个线性无关的特解； 为齐次方程 的m个线性无关的特解； 2. 若(3)有一对共轭复根： λ = a ± b i ( b > 0 ) 有一对共轭复根： 有一对共轭复根
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
t
t 将 yt = λ 代入方程 (2), 得
(2)
的特解. 下面来寻找方程 (2)的形如 y t = λ ( λ ≠ 0) 的特解.
(λ + a1λ
n
n −1
+ L a n −1λ + a n ) λ = 0 ,
3
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
λn + a1λn−1 +Lan−1λ + an = 0
(2) (3)
上述特解共有n个 将它们用任意常数组合起来， 上述特解共有 个，将它们用任意常数组合起来， 即得齐次方程(2)的通解 的通解. 即得齐次方程 的通解.
t
而 λ ≠ 0 ,于是有
t
λn + a1λn−1 +Lan−1λ + an = 0
(3)
代数方程(3)称为差分方程 的特征方程, 代数方程 称为差分方程(2)的特征方程, 称为 它的根称为特征根 特征根( 特征值). 它的根称为特征根(或特征值).
2λ + a1λn Nhomakorabeat
n−1
+Lan−1λ + an = 0
相应齐次方程的通解为
yc ( t ) = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
π
2
t + C 3 sin
π
2
t) .
设特解为 y t = B ， 入原方程得 B = 1 ， 一特解为 yt = 1 ， 代 方程得 得
故原方程通解为
yt = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
故原方程通解为
yt = (C1 + C 2 t )( −1) + C 3 + C 4 t + t .
t 2
9
例3 求三阶差分方程 yt + 3 + 3 yt + 2 + 4 yt +1 + 12 yt = 13 + 20t
的通解. 的通解.
解 例1已求出相应齐次方程的通解为 已求出相应齐次方程的通解为
π
2
t + C 3 sin
π
2
t) + 1 ,
8
其中 C1 , C 2 , C 3 为任意常数 .
的通解. 例2 求 四 阶差分方程 y t + 4 − 2 y t + 2 + y t = 8 的通解.
解 特征方程为 λ4 − 2λ2 + 1 = 0 ⇒ ( λ 2 − 1) 2 = 0 , 特征根为 λ1 = λ2 = −1 , λ3 = λ4 = 1 相应齐次方程的通解为
7
例1 求三阶差分方程 yt + 3 + 3 yt + 2 + 4 yt +1 + 12 yt = 20 的通解. 的通解 . 解 特征方程为 λ 3 + 3λ 2 + 4λ + 12 = 0
⇒ ( λ + 3)(λ 2 + 4) = 0 , 特征根为 λ1 = −3, λ2 = 2i , λ3 = −2i
4
阶常系数非齐次线性差分方程的解法 非齐次线性差分方程的 二、 n 阶常系数非齐次线性差分方程的解法
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = b
对应齐次方程 (1)
常数， 其中 a1 , L , a n −1 , a n , b 为常数，且 a n ≠ 0 , b ≠ 0 ，
yc ( t ) = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
π
2
t + C 3 sin
π
2
t) .
设特解为 yt = B0 + B1 t ，代入原方程可得 B0 = 0 , B1 = 1 ，
得一特解为 yt = t ，
故原方程通解为
yt = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
若 n + ( n − 1)a1 + L + 2a n −1 + a n ≠ 0 ， 则得 (1)的特解
b yt = . n + (n −1)a1 +L+ 2an−1 + an
若 n + ( n − 1)a1 + L + 2an−1 + an = 0 ， 则再改设(1)的
2 特解 yt = B t ,
5
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = b
(1)
为待定常数 代入(1)得 常数. 设特解为 y t = B ，B 为待定常数 代入 得
(1 + a1 + L + a n−1 + a n ) B = b .
则得(1)的特解 若 1 + a1 + L + a n−1 + a n ≠ 0 ，则得 的特解
(1)的对应齐次方程为 的对应齐次方程为
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
(2)
(1)、(2)可与二阶常系数线性差分方程类似地求解. 、 可与二阶常系数线性差分方程类似地求解 可与二阶常系数线性差分方程类似地求解.
1
阶常系数齐次线性差分方程的解法 齐次线性差分方程的 一、 n 阶常系数齐次线性差分方程的解法
yc ( t ) = (C1 + C 2 t )( −1) t + C 3 + C 4 t .
直接验证可知， 都不是原方程的解， 直接验证可知， y t = B 和 y t = B t 都不是原方程的解，
2 2 得一特解 yt = t ， 方程得 设特解为 y t = B t ， 入原方程得 B = 1 ， 代
如此继续下去，至多到设 有特解 如此继续下去，至多到设(1)有特解 y t = B t 求得(1)的一个特解 求得 的一个特解. 的一个特解
n −1
，必可
为多项式函数, 若 f ( t )为多项式函数,指数函数正弦-余弦型三角函 为多项式函数 指数函数正弦以及它们的线性组合等情形,可类似地进行. 数,以及它们的线性组合等情形,可类似地进行.
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
是方程(1)的一个特解 的一个特解, 设 y t 是方程 的一个特解,
(2)
yc (t ) 是(2)的通解, 的通解, 的通解
那么方程(1)的通解为 那么方程 的通解为
yt = yc (t ) + yt .
问题归结为求方程(1)的一个特解. 问题归结为求方程 的一个特解. 的一个特解 用待定系数法求解. 待定系数法求解. 求解
b yt = . 1+ a1 +L+ an−1 + an
若 1 + a1 + L + an−1 + an = 0 ， 则改设 (1)的特解 yt = B t ,
[n + ( n − 1)a1 + L + 2a n−1 + a n ]B = b .
6
[n + ( n − 1)a1 + L + 2a n −1 + a n ]B = b
π
2
t + C 3 sin
π
2
t) + t ,
其中 C1 , C 2 , C 3 为任意常数 .
10
练习： 练习：
P384 习题十
11
其重数为 k ( 2 k ≤ n ) , 则
r t cos ω t , t r t cos ω t , L , t k − 1 r t cos ω t t r sin ω t , t r t sin ω t , L , t k − 1 r t sin ω t 为齐次方程(2)的 个线性无关的特解 个线性无关的特解， 为齐次方程 的2k个线性无关的特解，其中 b 2 2 r = a + b , tan ω = , ω ∈ ( 0 , π ) a
第四节 n 阶常系数线性差分方程
n 阶常系数线性差分方程一般形式
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = f (t ) (1)
常数， 其中 a1 , L , a n−1 , a n 为常数，且 an ≠ 0 ，
函数 f (t ) 为 t 的已知函数，当 t = 0, 1, 2, L 时有定义 的已知函数， 时有定义.