固体的电性质：输运过程

固体的电性质：输运过程

6 导体

导体、半导体和超导体的严格分类必须由四面体中电子贡献的总电流密度j

来判定。

在电子的能带理论中，四面体中的总电流密度j

也必须通过所有电子能带中的非平衡统计进行计算：

()()

33

31

,,4n n n

d k j d r g r k t ev k V

π⎡⎤=

-⎣⎦

∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 6-1

(

)()()()()

,,,n n

F D n c df g r k t f k e E r t v k k d ετε-⎛⎫⎡⎤⎡⎤≈--⋅ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭

6-2

已知固体中的电子总数为a L Zn N ，所有电子的量子态将由低能到高能填充到各条能带中去。在非铁磁的固体中（自旋上下的能带不分裂），一条能带总共可以填充2L N 个电子的量子态，因此总能带数约为2a Zn （由于能带的交叠，这个数量是近似而不准确的）。内层电子的大多数能带都是满带的，但是有一条或几条价电子的能带是半满带。

满带中所有电子贡献的总电流密度为

()()

33

04F D

n n n d k

j f k ev k επ

-⎡⎤⎡⎤=

-≡⎣⎦⎣⎦

⎰⎰⎰

6-3

这意味着，满带对固体电导没有贡献。

在绝缘体和半导体中，接近0K 时所有的能带都是满带或者空带；常温下，满带的电子被部分激发到空带，使得它们俩同时变成了半满的能带，从而具有了一定的导电能力。

半满带中，非平衡统计会偏移费米统计，但从统计上说，经过弛豫时间F τ，非平衡统计(

)

,,n

g r k t

会回到平衡状态()F D n f ε-：

F F F F eEl k eE k ετ⇔∆≈

6-4

其中，F F F l v τ=是位于费米面上的电子的平均自由程。

在半满能带中的所有布洛赫电子贡献的总电流密度是：

()()

3

2304F

n n n d k df j e v k v k E d τπε⎛⎫

=-⋅≠

⎪⎝⎭

⎰⎰⎰

6-5

由此可见，固体中总电流都是由半满能带贡献的。在能带论中，总的电导率矩阵是：

()()

()(

)

2

3

1

1

2

3,,4F F n n n ne d k df e v k v k m m n k

d m

αβαβαβ

τστπε--*

*

''*

'

⎛⎫'=-≈= ⎪⎝⎭∑

⎰⎰⎰

6-6

在金属中，载流子就是价电子，总的导电电子的密度是常数： ()

33

4F D

n n

N d k

n f k V

επ

-⎡⎤=

=

⎣⎦

∑⎰⎰⎰

6-7

值

得

注意的是

，

方

程

()()()(

)

2

3

1

1

2

3,,4F F n n n ne d k df e v k v k m m n k

d m

αβαβαβ

τστπε--*

*

''*

'

⎛⎫'=-≈= ⎪⎝⎭∑

⎰⎰⎰

6-6中的价

电子平均有效质量m *与费米面上的有效质量F m *

是不同的， F m *

更依赖于费米面的特性，而m *

则体现了整个半满能带的整体性质：

()()()

3222

3

33422F F F n

F

F

d k

n g n m

εδεεεππ

ε*=

-≈

⇒=

∑⎰⎰⎰

6-8

材料的弛豫时间的物理解释包括两个方面：一是缺陷的贡献；一是原子振动的贡献。根据麦特海森规则，两部分的电阻率有加和性：

1

11

2

2

c d F d F

d

m

m

ne ne ρρρτ

ττττ*

*

---=+=

+

⇒=+

6-9

F g τ∆ 6-10 F g τ∆ 6-11

F g τ∆

6-12

7 半导体

7.1 半导体的特性

半导体的热导率k 与良导体的同量级，与陶瓷绝缘体很不同。在金属中，M etal k 取决于电子的，其数量级由维德曼－弗兰茨定律估计；在半导体和绝缘体中，k 取决于声子的输运：

()()2

220

~1010,~1010M V x k L T W

m K k

C v W

m K στ=-⋅=-⋅

7-1

半导体的有效质量比金属的更为复杂。讨论金属的能带及各种性质时常用费米面上的有效质量和价带的平均质量；讨论半导体时更常用的则是有效质量矩阵中的一些矩阵元，以及矩阵元的平均值。在带边(

)c c k ε 和()

v v k ε 附近，分别有一条导带（定义c m *

）和二到三条价