宁夏银川市第二中学2020届高三第四次模拟考试数学(文)试题答案
2020年宁夏银川市高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)
2020年宁夏银川市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合P={0,1，−√2}，Q={y|y=cosx,x∈R}，则P∩Q=()A. {0}B. {1}C. {0,1}D. {−1,1}2.设复数z满足(i−2)z=5，则复数z−=()A. i+2B. −2−iC. i−2D. 2−i3.已知向量a⃗=(−1,2),b⃗ =(1,−1)，则(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=()A. 4B. −4C. 8D. 54.某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是()A. 15B. 25C. 35D. 7105.已知圆(x−3)2+(y+4)2=4和直线y=kx相交于P，Q两点，O为坐标原点，则|OP|⋅|OQ|的值为()A. 211+k2B. 1+k2C. 4D. 216.若a,b∈R，下列命题中正确的是()A. 若a>b，则a2>b2B. 若a>|b|，则a2>b2C. 若|a|>b，则a2>b2D. 若a≠b，则a2≠b27.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)+f(x)=0.当x∈[0,2]时，f(x)=4−x2，则函数ℎ(x)=f(x)−12x+1的所有零点之和为()A. 4B. 6C. 8D. 108.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.将函数f(x)=2cos(2x+π6)的图象向左平移t(t>0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为()A. 2π3B. π6C. π2D. π310.已知cosα=−35(α∈(π2,π))，则tan(α+π4)=()A. −17B. 17C. −7D. −4311.抛物线y2=8x的焦点F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，A(m,n)(n>0)为抛物线上一点，直线AF与双曲线有且只有一个交点，若|AF|=8，则该双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √512.已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)=e22(其中e为自然对数的底数)，对任意实数x，都有f′(x)>f(x)，则不等式2f(x)<e x+1的解集为()A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (1,e)D. (e,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=2x+cosx在点(π6,f(π6))处的切线的斜率为________．14.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：(1)b2014是数列{a n}的第________项；(2)b2k−1=________.(用k表示)15.△ABC中，已知AB=2，BC=4，∠B的平分线BD=√6，则AC边上的中线BE=______．16.已知圆锥的母线长为2，高为√3，则该圆锥的外接球的表面积是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.改革开放以来，伴随着我国经济持续增长，户均家庭教育投入(户均家庭教育投入是指一个家庭对家庭成员教育投入的总和)也在不断提高．我国某地区2012年至2018年户均家庭教育投入(单位：千元)的数据如表：年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 户均家庭教育投入y3.43.84.14.95.35.76.4(1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2012年至2018年该地区户均家庭教育投入的变化情况，并预测2019年该地区户均家庭教育投入是多少．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)2，a ̂=y −−b̂t −．18. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F分别是线段AD 、PB 的中点，PA =AB =1． (1)证明：EF//平面DCP ； (2)求三棱锥F −DCP 的体积．19.已知等比数列{a n}满足a3−a2=10，a1a2a3=125．(Ⅰ)求数列a n的前n项和S n；(Ⅱ)设b n=n(S n+56)，T n=b1+b2+b3+⋯+b n，求T n．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点(1,32)在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点F作互相垂直的两条直线l1、l2，其中直线l1交椭圆于P、Q两点，直线l2交直线x=4于M点，求证：直线OM平分线段PQ．21.已知函数f(x)=ln(x+1)−ax1−x(a∈R)．(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若−1<x<1时，均有f(x)≤0成立，求实数a的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23. 已知函数f(x)=|x +2a 2+1a|+|x −a|(a >0)(Ⅰ)证明：f(x)≥2√3；(Ⅱ)当a =1时，求不等式f(x)≥5的解集．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：Q={y|y=cosx,x∈R}={y|−1≤y≤1}，则P∩Q={0,1}，故选：C根据集合的基本运算即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：C解析：根据复数代数形式的运算法则，计算即可．本题考查了复数的代数形式运算问题，是基础题．解：复数z满足(i−2)z=5，则z=5i−2=5(−2−i)(−2)2−i2=−2−i，复数z−=−2+i．故选：C．3.答案：C解析：解：向量a⃗=(−1,2),b⃗ =(1,−1)，则(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=(−2,3)⋅(−1,2)=2+6=8．故选：C．通过向量的坐标运算，结合向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的坐标运算，是基本知识的考查．4.答案：D解析：本题考查古典概型的计算，是基础题．基本事件总数n =C 52=10，A 或B 被选中的对立事件是A 和B 都没有被选中，由此能求出A 或B 被选中的概率．解：某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人， 赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n =C 52=10，A 或B 被选中的对立事件是A 和B 都没有被选中， 则A 或B 被选中的概率是P =1−C 32C 52=710．故选：D ．5.答案：D解析：解：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，由{(x −3)2+(y +4)2=4y =kx 消去y ，整理得(k 2+1)x 2+(8k −6)x +21=0， ∴x 1+x 2=−8k+6k 2+1，x 1x 2=21k 2+1．由此可得y 1y 2=kx 1⋅kx 2=k 2x 1x 2，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2=(1+k 2)⋅21k +1=21．∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线同向，∴|OP|⋅|OQ|=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =21． 故选：D设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，将直线方程与圆的方程联解消去y ，整理得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系算出x 1x 2用k 表示的式子，进而得到y 1y 2用k 表示的式子，再利用向量数量积公式加以计算，可得答案．本题考查了直线与圆的关系、平面向量数量积的运算及其性质，属于中档题．同时考查了数学转化思想和整体运算思想，在直线和圆的交点问题常采用设而不求的方法，使问题迎刃而解．6.答案：B解析： ∵a >|b |，∴a >|b |≥0，根据不等式性质易知a 2>b2.7.答案：D解析：本题主要考查了函数奇偶性，周期性，对称性的运用，函数零点与方程根的关系，考查了数形结合思想，属于中档题．由题意，可得f(x)的周期为8，再根据f(x+4)+f(−x)=0得到f(x)的图象关于点(2,0)对称，则ℎ(x)=f(x)−12x+1的零点，即为函数y=f(x)与y=12x−1图象的交点的横坐标，作出函数大致图象，由此可得结论．解：因为f(x+4)=−f(x)，所以f(x)=−f(x−4)，所以f(x+4)=f(x−4)，即f(x)=f(x+8)，可知f(x)的周期为8，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x+4)+f(−x)=0，可得f(x)的图象关于点(2,0)对称，作出f(x)的大致图象，如图所示，则ℎ(x)=f(x)−12x+1的零点，即为函数y=f(x)与y=12x−1图象的交点的横坐标，由图可知x1+x4=4，x2+x3=4，即零点之和为2+4+4=10．故选D．8.答案：A解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线和平面的垂直的位置关系是解决本题的关键．根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直和面面垂直的性质进行判断即可．解：根据面面垂直的判定定理得若m⊥β则α⊥β成立，即充分性成立，若α⊥β则m⊥β不一定成立，即必要性不成立，故m⊥β是α⊥β的充分不必要条件，故选：A ．9.答案：B解析：解：将函数f(x)=2cos(2x +π6)的图象向左平移t(t >0)个单位长度，可得y =2cos(2x +2t +π6)的图象；∵所得图象对应的函数为奇函数，∴2t +π6=kπ+π2，求得t =kπ2+π6，k ∈Z ，则t 的最小值为π6， 故选：B ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得t 的最小值． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．10.答案：A解析： 【试题解析】本题考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan(α+π4)的值． 解：∵cosα=−35，且α∈(π2,π)， ∴sinα=√1−cos 2α=45，∴tanα=sinαcosα=−43， 则tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=−17， 故选A ．11.答案：C解析：本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查渐近线方程的运用，以及离心率的求法，化简运算能力，属于中档题．求得抛物线的焦点坐标和准线方程，以及双曲线的渐近线方程，由抛物线的定义可得A的坐标，由直线AF与双曲线有且只有一个交点，可得直线AF与渐近线bx−ay=0平行，由两直线平行的条件和离心率公式可得所求值．解：抛物线y2=8x的焦点F(2,0)，即双曲线的右焦点为(2,0)，双曲线x2a −y2b=1的渐近线方程分别为bx−ay=0，bx+ay=0，抛物线的准线方程为x=−2，由A(m,n)(n>0)为抛物线上一点，可得m>0，且|AF|=m+2=8，解得m=6，n=4√3，即A(6,4√3)，由直线AF与双曲线有且只有一个交点，可得直线AF与渐近线bx−ay=0平行，可得k AF=4√3−06−2=√3=ba，则双曲线的离心率为e=ca =√1+b2a2=√1+3=2．故选：C．12.答案：A解析：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及解不等式问题，恰当的构造函数是关键，是较难题．令g(x)=2f(x)e x+1−1，求出函数的导数，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．解：令g(x)=2f(x)e x+1−1，则g′(x)=2[f′(x)−f(x)]e x+1>0，故g(x)在R上单调递增，而g(1)=2f(1)e2−1=0，故不等式2f(x)<e x+1，即g(x)<g(1)，故x<1，故选：A．13.答案：32解析：本题考查导数的几何意义，属于基础题.求出切点处的导数值即可．解：f′(x)=2−sinx，∴f′(π6)=2−12=32．答案32．14.答案：(1)5035；(2)5k(5k−1)2解析：本题考查了以三角形数为载体的数列问题；由已知三角形数得到数列{a n}的通项公式，由题意得到新数列{b n}，从一般的发现规律，得到所求．解：(1)a n=1+2+⋯+n=n(n+1)2，b1=4×52=a4，b2=5×62=a5，b3=9(2×5)2=a9，b4=(2×5)×112=a10，b5=14×(3×5)2=a14，b6=(3×5)×162=a15，…b2014=(20142×5)(20142×5+1)2=a5035．(2)由(1)知b2k−1=(2k−1+12×5−1)(2k−1+12×5)2=5k(5k−1)2．故答案为(1)5035；(2)5k(5k−1)2．15.答案：√312解析：设AD =x ，利用三角形角平分线的性质，可求AC =3x ，利用余弦定理可求x 的值，即可得解AC 的值，利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，即可解得BE 的值．本题考查三角形角平分线的性质，考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，考查了数形结合思想和转化思想． 解：如图，设AD =x ，∵AB =2，BC =4，∠B 的平分线BD =√6，∴由ABBC =ADDC ，可得：24=xDC ，解得：DC =2x ，则AC =AD +DC =3x ， ∵∠ABD =∠DBC ，∴cos∠ABD =cos∠DBC ， ∴由余弦定理可得：AB 2+BD 2−AD 22AB⋅BD=BD 2+BC 2−DC 22BD⋅BC，即4+6−x 22×2×√6=16+6−(2x)22×4×√6，解得：x =1，AC =3，∵BE 是AC 边上的中线，∴32+(2BE)2=2(4+16)，解得：BE =√312．故答案为√312．16.答案：163π解析：解：∵圆锥的母线长为2，高为√3， ∴该圆锥的底面半径为r =√4−3=1， 由题意，圆锥轴截面的顶角为60°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O 的半径为R ， 由勾股定理可得R 2=(√3−R)2+12， 解得R =2√33， ∴球O 的表面积为4πR 2=4π×(2√33)2=163π．故答案为：163π．通过题意，求出圆锥的底面半径，求出底面周长，然后求出该圆锥的外接球的表面积．本题考查圆锥的外接球的表面积的求法，考查圆锥及其外接球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．17.答案：解：(1)由所给数据计算得：t −=17×(1+2+3+4+5+6+7)=4，y −=17×(3.4+3.8+4.1+4.9+5.3+5.7+6.4)=4.8，故∑(7i=1t i −t −)2=9+4+1+0+1+4+9=28，∑(7i=1t i −t −)(y i −y −)=14，故b ̂=∑(7i=1t i −t −)(y i −y −)∑(7i=1t i −t −)2=1428=0.5， â=y −−b ̂t −=4.8−0.5×4=2.8， 故所求的回归方程是：y ̂=0.5t +2.8； (2)由(1)知，b =0.5>0，故2012年至2018年该地区户均家庭教育投入逐年增加， 平均每年增加0.5千元，将2019年的年份代号t =8代入(1)中的方程得： ŷ=0.5×8+2.8=6.8， 故预测该地区2019年户均家庭教育投入为6.8千元．解析：本题考查了求回归方程问题，考查函数代入求值以及转化思想，是一道常规题． (1)根据所给数据及公式求出回归方程的参数，求出回归方程即可； (2)代入t 的值，预测2019年该地区户均家庭教育投入即可．18.答案：(1)证明：取PC 的中点为G ，连接DG ，FG ，∵四边形ABCD 是正方形，E ，F ，G 分别是线段AD ，PB ，PC 的中点， 所以DE//BC 且DE =12BC ，FG//BC 且FG =12BC ，∴DE//FG且DE=FG，∴四边形DEFG为平行四边形，∴EF//DG，∵EF⊄平面DCP，DG⊂平面DCP，∴EF//平面DCP．(2)解：由(1)知，V F−DCP=V E−DCP=V P−CDE，∴V P−CDE=13×AP×12×DE×CD=13×1×12×12×1=112．解析：本题考查直线与平面平行的判断定理，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．(1)取PC的中点为G，连接DG，FG，证明四边形DEFG为平行四边形，然后证明EF//平面DCP；(2)由题意知V F−DCP=V E−DCP=V P−CDE，然后求解即可．19.答案：解：(Ⅰ)设等比数列{a n}的公比为q，由a1a2a3=125．可得a2=5，又a3−a2=10，∴a3=15∴q=a3a2=3∴a1=a2q =53∴S n=53(1−3n)1−3=56(3n−1)(Ⅱ)由(Ⅰ)知，b n=n(S n+56)=n[56(3n−1)+56]=56n⋅3n∴T n=56(1×3+2×32+⋯+n⋅3n)设A n=1×3+2×32+⋯+n⋅3n①3A n= 1×32+⋯+(n−1)⋅3n + n⋅3n+1②②−①得2A n=−3−32−33−⋯−3n+n⋅3n+1=−3−3n+11−3+n⋅3n+1∴A n=−12×3−3n+11−3+n2⋅3n+1=2n−14⋅3n+1+34∴T n =56A n =10n −58⋅3n +58解析：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3=125.可得a 2=5，又a 3−a 2=10，a 3=15求出首项与公比及前n 项和．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，b n =n(S n +56)=n[56(3n −1)+56]=56n ⋅3n 利用错位相减求出前n 项和． 本题考查数列通项公式及前n 项和的求法，求和的关键是先求通项，据通项特点选择合适的方法，属于一道中档题．20.答案：解：(1)由e =c a =12得a =2c ，所以b 2=3c 2，由点(1,32)在椭圆上得14c 2+943c 2=1，解得c =1，则b =√a 2−c 2=√3， 所求椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)当直线l 1的斜率不存在时，直线OM 平分线段PQ 成立，当直线l 1的斜率存在时，设直线l 1方程为y =k(x −1)，联立方程得{y =k(x −1)x 24+y 23=1，消去y 得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 因为l 1过焦点，所以Δ>0恒成立，设P(x 1,y 1)，Q(x 1,y 1)，则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3， y 1+y 2=k(x 1−1)+k(x 2−1)=k(x 1+x 2−2)=−6k4k 2+3，所以PQ 的中点坐标为(4k 24k 2+3,−3k4k 2+3)直线l 2方程为y =−1k (x −1)，M(4,y M )，可得M(4,−3k )， 所以直线OM 方程为y =−34k x ，(4k 24k 2+3,−3k4k 2+3)满足直线OM 方程，即OM 平分线段PQ ， 综上所述，直线OM 平分线段PQ ．解析：本题考查的是直线与椭圆的位置关系，椭圆的性质和几何意义，属于中档题． (1)由e =ca =12得a =2c ，所以b 2=3c 2，由点(1,32)在椭圆上得14c 2+943c 2=1解得c =1，椭圆方程即可求得．(2)当直线l 1的斜率存在时，设直线l 1方程为y =k(x −1)，联立方程得{y =k(x −1)x 24+y 23=1，又l 1过焦点，所以Δ>0恒成立，PQ 的中点坐标为(4k 24k 2+3,−3k 4k 2+3)直线l 2方程为y =−1k (x −1)，M(4,y M )，可得M(4,−3k)，所以直线OM 方程为y =−34k x ，(4k 24k 2+3,−3k4k 2+3)满足直线OM 方程，即OM 平分线段PQ ． 21.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)的定义域为(−1,1)∪(1,+∞)，f′(x)=1x+1−1(1−x)2=x(x−3)(x−1)2(x+1)，当−1<x <0或>3时，f′(x)>0，当0<x <1或1<x <3，f′(x)<0， 所以函数f(x)的增区间为(−1,0)，(3,+∞)，减区间为(0,1)，(1,3) (Ⅱ)f′(x)=x 2−(a+2)x+1−a (x−1)2(x+1),−1<x <1，当a ≤0时，f′(x)>0恒成立，故0<x <1时，f(x)>f(0)=0，不符合题意． 当a >0时，由f′(x)=0，得x 1=a+2−√a 2+8a2，x 2=a+2+√a2+8a2．若0<a <1，此时0<x 1<1，对0<x <x 1，有f′(x)>0，f(x)>f(0)=0，不符合题意． 若a >1，此时−1<x 1<0，对x 1<x <0，有f′(x)<0，f(x)>f(0)=0，不符合题意． 若a =1，由(Ⅰ)知，函数f(x)在x =0处取得最大值0，符合题意， 综上实数a 的取值为1．解析：(Ⅰ)当a =1时，f(x)的定义域为(−1,1)∪(1,+∞)， 求出f′(x)=1x+1−1(1−x)=x(x−3)(x−1)(x+1)，即可求单调区间； (Ⅱ)f′(x)=x 2−(a+2)x+1−a (x−1)2(x+1),−1<x <1，分(1)a ≤0，(2)当a >0，讨论单调性及最值即可． 本题考查了导数的综合应用，属于难题，22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ， 即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)． 即：F(0,1)，所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ． 得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0． 所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0， 且|AF|=3|FB|， 故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33， 由于：0<α≤π， 故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：(Ⅰ) 证明：因为a >0，所以f(x)=|x +2a 2+1a|+|x −a|≥|x +2a +1a −x +a|=3a +1a≥2√3a ×1a=2√3，当且仅当3a =1a 即a =√33时取等号;(Ⅱ)解：当a =1时，f(x)≥5即|x +3|+|x −1|≥5， 当x ≥1时，有x +3+x −1≥5，解得x ≥32， 当−3<x <1时，有x +3−x +1≥5，无解，当x≤−3时，有−x−3−x+1≥5，解得x≤−72，综上，不等式的解集为{x|x≤−72或x≥32}．解析：本题考查绝对值不等式与基本不等式．(Ⅰ)由绝对值的三角不等式及基本不等式即可求解; (Ⅱ)零点分区间讨论求解即可．。
宁夏银川市2019-2020学年高考数学四模试卷含解析
宁夏银川市2019-2020学年高考数学四模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数2,0()0x x f x x -⎧⎪=>„，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0]-C ．(1,)-+∞D ．(,0)-∞【答案】B 【解析】 【分析】对0x 分类讨论，代入解析式求出0()f x ，解不等式，即可求解. 【详解】函数2,0()0xx f x x -⎧⎪=>„，由()02f x <得00220x x -⎧<⎪⎨⎪⎩„或02x <>⎪⎩ 解得010-<x „. 故选:B. 【点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题.2．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,7]-∞D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】求出()f x 在(2,22]x n n ∈+的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案. 【详解】当(2,22]x n n ∈+时，2(0,2]x n -∈，()2(2)2(2)(22)n nf x f x n x n x n =-=----，max ()2n f x =，又40489<<，所以m 至少小于7，此时3()2(6)(8)f x x x =---， 令40()9f x =，得3402(6)(8)9x x ---=，解得193x =或233x =，结合图象，故193m ≤. 故选：B. 【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题. 3．已知函数()cos 2321f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 【答案】D 【解析】 【分析】先将函数()cos 2321f x x x =++化为()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】Q ()cos 2321f x x x =++可得13()2cos 2sin 212sin 2126f x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，()f x 的最小正周期为22||2T πππω===,故A 正确； 对于B ，由1sin 21x π⎛⎫-≤+≤，可得1()3f x -≤≤，故B 正确；对于C ，Q 正弦函数对称轴可得：()02,62x k k Z πππ+=+∈解得：()0,612x k k Z ππ=+∈， 当0k =，06x π=，故C 正确；对于D ，Q 正弦函数对称中心的横坐标为：()02,6x k k Z ππ+=∈解得：()01,212x k k Z ππ=+∈ 若图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则12124k πππ+=-解得：23k =-，故D 错误； 故选：D. 【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-r u r u u r，且a =r λ=（ ）A ．－1B ．2C ．0或－1D ．2或－1【答案】D 【解析】 【分析】利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数λ的值. 【详解】由于a =r 23a =r ，即()2123e e λ-=u r u u r ，2222112222cos6013e e e e λλλλ-⋅+=-⋅+=o u r u r u u r u u r ，即220λλ--=，解得2λ=或1λ=-.故选：D 【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.5．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．8【答案】C 【解析】求得A 点坐标，由此求得直线AF 的方程，联立直线AF 的方程和抛物线的方程，求得B 点坐标，进而求得AB 【详解】抛物线焦点为()2,0F ，令1x =，28y =，解得y =±(A ，则直线AF 的方程为))2212y x x =-=---，由)228y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得((,4,A B -，所以9AB ==.故选：C 【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.6．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'，又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.7．2-31ii =+（ ） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．()()()()231231515111222i i i i z i i i i -----====--++-． 故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．8．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可； 【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力． 9．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ）A B ．1C ．2D 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ，即可根据复数的模计算公式求出||z ． 【详解】∵22)1121(1z i i i i i=-+=+=+++，∴||z == 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用，10．已知变量的几组取值如下表：若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（ ） A ．74B ．114C ．94D ．134【答案】B 【解析】 【分析】求出,x y ，把坐标(,)x y 代入方程可求得a ． 【详解】 据题意，得()()151191234, 2.4 4.3 5.374244x y =+++==+++=，所以1950.842a =⨯+，所以114a =． 故选：B ． 【点睛】本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点(,)x y 可计算参数值．11．已知f(x)=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f(x-3)<f(9-x 2)的解集为（ ）A ．(-2,6)B ．(-6,2)C ．(-4,3)D ．(-3,4)【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得1a =，进而可知()f x 在R 上为增函数，转化条件得239x x -<-，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为()1x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，所以()()011f f +-=，即11101e e e a a e--+=++，解得1a =，即()12111x x xe f x e e -==-++， 易知()f x 在R 上为增函数.故选：C. 【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题. 12．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．93 B ．123 C ．163 D ．183【答案】B 【解析】 【分析】设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，利用22222OA OO O A =+，可得224163h x =-，进一步得到侧面积3S xh =，再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，则23O A x =，在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-，3S xh =Q ，()222222221291212124322x x S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭…，当且仅当6x =时取等号，此时123S =故选：B. 【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
宁夏银川高三第四次模拟考试数学(文)试题Word版含答案
绝密★启用前宁夏银川高三第四次模拟考试数学文 科 数 学(银川一中第四次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |-1≤y≤1}，则右图中阴影部分表示的集合为 A ．{x |x <－1或x >2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x ≤1} D ．{x |0≤x ≤1} 2．复数1＋i4＋3i的虚部是A ．125iB ．125C ．－125D ．－125i3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于A ．1B ．35C ．2-D ．3 文科数学试卷 第1页(共6页)4．命题“α＝π6”是命题“cos 2α＝12”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．若实数x，y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11yyxxy且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m －n等于A．5 B．6 C．7 D．86．函数y＝x sin x在[－π，π]上的图象是7．如图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是腰长为2的等腰三角形，侧(左)视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是A．π B.π3 C. 3π D.3π38．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是A．20 B．18 C．3 D．09．执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是A．k≤6? B．k≤7? C．k≤8? D．k≤9?10．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数11．已知P点是以F1，F2为焦点的双曲线x2a2－y2b2＝1上的一点，且PF1→·PF2→＝0，tan∠PF1F2＝2，则此双曲线的离心率等于1A1D1C 1BDBCAA. 5 B ．5 C ．2 5 D ．312．定义在R 上的函数)(x f 满足1)()2(+=+x f x f ，且]1,0[∈x 时，)2,1(,4)(∈=x x f x 时，xf x f )1()(=，令]2,6[,4)(2)(-∈--=x x x f x f ,则函数)(x g 的零点个数为 A ．6 B ．7 C ． 8 D ． 9第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(1,),(,9)a t b t ==r r ，若b a ϖρ//，则t ＝ 14．设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________． 15．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 . 16. 已知函数x x y cos sin +=，则下列结论中，正确的序号是_____________①两函数的图像均关于点（4π-，0）成中心对称； ②两函数的图像均关于直线4π-=x 成轴对称； ③两函数在区间（4,4ππ-）上都是单调增函数； ④两函数的最小正周期相同； ⑤两函数的最大值相同三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．(本小题满分12分)已知等比数列{}n a 满足23132a a a =+，且23+a 是42,a a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若nn n a a b 1log 2+=，求}{n b 的前n 项和为n S18．(本小题满分12分)下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：文科数学试卷 第3页(共6页)（1）求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量x、y 的线性回归方程19．(本小题满分12分)已知D、E分别在平面ABC的同侧，且DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，DC=2,ΔABC是边长为2的正三角形，F是AD中点.(1)当BE等于多少时，EF∥平面ABC；(2)当EF∥平面ABC时，求证CF⊥EF.20．(本小题满分12分)已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为32，椭圆C 与y 轴交于A，B 两点，且｜AB｜＝2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P是椭圆C上的一个动点，且直线PA，PB与直线x＝4分别交于M ，N 两点．是否存在点P，使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由。
宁夏银川市2019-2020学年高考第四次适应性考试数学试题含解析
宁夏银川市2019-2020学年高考第四次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．7【答案】B 【解析】 【分析】在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得3a ，再由等差数列通项公式求得公差. 【详解】在等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()155********a a S a a +===⇒=则3123272a a d d d =+=+=⇒= 故选：B 【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.2．已知函数())33x x f x x -=+-，不等式()2(50f f x ++„对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(,2]-∞-C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为2a ⎫=-，利用双勾函数单调性求最值得到答案. 【详解】())33(),()x x f x x f x f x --=+-=-是奇函数，())3333x x x x f x x --=+=+--，易知,33x x y y y -==-=均为减函数，故()f x 且在R 上单调递减，不等式()22(4)50f a x f x +++„，即()22(4)5f a x f x +--„，结合函数的单调性可得2245a x x +--…，即222251444x a x x x ⎛⎫--=-++ ⎪++⎝⎭…， 设24t x =+，2t ≥，故1y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭单调递减，故22max 15424x x ⎛⎫-++=- ⎪+⎝⎭， 当2t =，即0x =时取最大值，所以52a -…. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.3．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．433C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，三棱锥的高为3，所以该几何体的体积113223132V =⨯⨯⨯⨯⨯=，故选C ．4．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.5．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：在等差数列{a n }中，若a 2＞a 1，则d ＞0，即数列{a n }为单调递增数列， 若数列{a n }为单调递增数列，则a 2＞a 1，成立， 即“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”充分必要条件， 故选C ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．6．设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]5,3-B ．[]2,3C ．[)2,+∞D ．(],3-∞【答案】C 【解析】 【分析】首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中z 的取值范围. 【详解】由题知x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，可行域如下图所示，可知目标函数在点()2,0A 处取得最小值， 故目标函数的最小值为2z x y =+=， 故z x y =+的取值范围是[)2,+∞. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题. 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A ．23 B ．25C ．28D ．29【答案】D 【解析】 【分析】由981S =可求59a =，再求公差，再求解即可. 【详解】解：{}n a Q 是等差数列95981S a ∴==59a ∴=，又45a =Q ， ∴公差为4d =，410629a a d ∴=+=，故选：D 【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.8．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A ．134B ．866C ．300D ．500【答案】A 【解析】分析：设三角形的直角边分别为13. 解析：设三角形的直角边分别为132，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为)231423=-∴42323--=.∴落在黄色图形内的图钉数大约为2310001342⨯≈.故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．9．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v（）A ．4B ．6C ．23D ．43【解析】 【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【详解】 如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，∴|||3302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.． 10．已知复数21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ） A ．12i -+ B ．1C ．5D 5【答案】D 【解析】 试题分析：由21aibi i-=-,得()21,1,2ai i bi b i a b -=-=+∴=-=,则()2212,12125a bi i a bi i +=-+∴+=-+=-+= D.考点：1、复数的运算；2、复数的模.11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC V 面积的最大值是( ) A 15B ．15C 15D 215【答案】A 【解析】根据正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，求出cos C ，根据平方关系求出sin C .由2CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r 两端平方，求ab 的最大值，根据三角形面积公式in 12s S ab C =，求出ABC V 面积的最大值. 【详解】ABC V 中，()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，由正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，整理得22212c a b ab =+-， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()115cos ,0,,sin 44C C C π=∈=Q . Q D 是AB 的中点，且1CD =，()()222,2CD CA CB CDCA CB ∴=+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，即22242CD CA CB CA CB =++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ，即222211542cos 2222b a ba C a b ab ab ab ab =++=++≥+=， 85ab ∴≤，当且仅当a b =时，等号成立. ABC ∴V 的面积1181515sin =225S ab C =≤⨯⨯， 所以ABC V 面积的最大值为15. 故选：A . 【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题.12．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．∅B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞【答案】D 【解析】 【分析】先化简{}{}|216|4xB x x x =<=<，再根据{}|,A x x a a R =≤∈，且A B 求解.【详解】因为{}{}|216|4xB x x x =<=<，又因为{}|,A x x a a R =≤∈，且A B ， 所以4a <. 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
宁夏回族自治区银川市某高中2020届高三第四次模拟数学(文)试卷 PDF版含答案
文科数学
注意事项：
１答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的
指定位置。
２选择题的作答：每小题选出答案后，用 ２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿
纸和答题卡的非答题区域均无效。
Ｂ．２
Ｃ．槡５
Ｄ．槡１０
２设函数 ｙ＝ １ 的定义域为 Ａ，函数 ｙ＝２ｘ－１的值域为 Ｂ，则 Ａ∩ Ｂ ＝
槡１－ｘ２
Ａ．（０，１）
Ｂ．（０，１］
Ｃ．（－１，１）
Ｄ．［－１，１］
３如图所示的折线图为某小区小型超市去年一月
份到五月份的营业额和支出数据（利润 ＝营业
额 －支出），根据折线图，下列说法中错误的是
５已知圆锥的轴截面是边长为 ４的正三角形，则该圆锥的表面积为
Ｄ．２槡３
Ａ．８π
Ｂ．１２π
Ｃ．１６π
Ｄ．２０π
文数·第 １页（共 ４页）
６若 ｆ（ｘ） ＝ｅｘ ＋ａ·ｅ－ｘ为奇函数，ｘ∈ Ｒ，则 ｆ（ｘ）在（０，ｆ（０））处的切线方程为
Ａ．ｙ＝０
Ｂ．ｙ＝ｘ
Ｃ．ｙ＝２ｘ
Ｄ．ｙ＝２ｅｘ
７在 △ＡＢＣ中，Ｄ在边 ＢＣ上，且 ＢＤ ＝２ＤＣ，Ｅ为 ＡＤ的中点，则Ｂ→Ｅ ＝
Ａ．１ ３ Ａ→Ｃ－
１ ６
Ａ→Ｂ
Ｂ．－
１ ３ Ａ→Ｃ＋
５ ６
Ａ→Ｂ
Ｃ．－ １ ３ Ａ→Ｃ＋ １ ６ Ａ→Ｂ
Ｄ．１ ３ Ａ→Ｃ－ ５ ６ Ａ→Ｂ
８已知函数 ｆ（ｘ） ＝ｓｉｎ（２ｘ－π４）－ｃｏｓ（２ｘ－π４），则 Ａ．ｙ＝ｆ（ｘ）的最大值为槡２，且在（０，π２）上单调递增 Ｂ．ｙ＝ｆ（ｘ）的最大值为槡２，且在（０，π２）上单调递减
2020届宁夏回族自治区银川一中高三第四次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届宁夏回族自治区银川一中高三第四次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．集合A ＝{1,3}，B ＝{2,3,4}则A∩B ＝（ ） A ．{1} B ．{2}C ．{3}D ．{1,2,3,4}【答案】C【解析】试题分析：根据集合交集的运算可知，，故选C ．【考点】集合的交集运算．2．已知1i +是关于x 的方程 220ax bx ++=（,a b ∈R ）的一个根，则a b += A ．1- B ．1C ．3-D ．3【答案】A【解析】实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），所以1i ±为方程两根，211,(1)(1)1,2,1b i i i i a b a b a a++-=-+-=∴==-+=- ，选A.3．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4C ．14±D ．14【答案】A【解析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．4．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位【答案】A【解析】由于函数sin cos 2y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，因为326πππ-=，所以只需将函数cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移6π，可得函数cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故选A.5．按照程序框图(如图)执行，第3个输出的数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】根据程序框图，模拟计算即可求解. 【详解】第一次执行程序，1,2,5?A S S ==≤, 第二次执行程序，3,3,5?A S S ==≤， 第三次执行程序，5,4,5?A S S ==≤， 由以上可知，第3个输出的数为5， 故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于容易题.6．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如下表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）60 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48 92 66 22 15 86 96 63 75 41 99 58 42 36 72 24 A ．23 B ．21C ．35D ．32【答案】B【解析】根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号. 【详解】解：随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下：46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，其中落在编号01，02，...，39，40内的有：16，26，16，24，23，21，.所以，一次不重复的第5个编号为21. 故选：B. 【点睛】本题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题.7．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ）A ．8π B ．16π C ．18π-D ．116π-【答案】C【解析】首先求正方形和中间白色大圆的面积，然后由相切关系可知中间黑色大圆和4个小圆的半径，求黑色部分的面积，最后求概率. 【详解】正方形的面积为2864=，内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为22242418ππππ⨯-⨯-⨯=，所以黑色区域的面积为648π-，所以在正方形图案上随机取一点，该点取自黑色区域的概率6481648P ππ-==- . 故选：C 【点睛】本题考查面积比值类型的几何概型，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，注意用规则图形的面积表示不规则图形的面积.8．抛物线24y x =-上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ．1716-B ．1516-C ．716D ．1516【答案】B【解析】化简抛物线的标准方程，求得准线方程，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】由抛物线的方程24y x =-，可得标准方程为214x y =-， 则焦点坐标为1(0,)16F -，准线方程为116y =， 设00(,)M x y ，则由抛物线的定义可得01116y -+=，解得01516y =-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义是解答的关键，着重考查推理与计算能力.9．函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ） A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．(2)-∞，【答案】D【解析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减求得函数的单调增区间. 【详解】由2560x x -+>解得2x <或3x >，由于12log y x =为()0,∞+上的增函数，而256y x x =-+开口向上，故256y x x =-+在2x <时递减，根据复合函数单调性同增异减可知()212log 56y x x =-+在区间(),2-∞上递增.故选D. 【点睛】本小题主要考查复合函数单调性的判断，考查对数函数定义域的求法，属于基础题. 10．在正六棱锥P ABCDEF -中，底面边长和侧棱分别是2和4，M ，N 分别是AB 和DE 的中点，给出下面三个判断：（1）PD 和AB 所成的角的余弦值为14；（2）PC 和底面所成的角是3π；（3）平面PAB ⊥平面PMN ；其中判断正确的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】（1）把PD 和AB 所成的角转化成PD 和DE 所成的角，然后在三角形PDE 中用余弦定理求解即可；（2）根据线面角的定义得出PCO ∠为所求的角，然后在三角形PCO 中进行求解即可； （3）通过题意得出OM AB ⊥和PO AB ⊥，进而得出AB ⊥平面PMN ，最后得出结论. 【详解】解：根据题意，画出图形如下：由题得：2AB BC CD DE EF FA ======，4PA PB PC PD PE PF ======，对于（1）因为P ABCDEF -为正六棱锥，所以底面ABCDEF 为正六边形，所以//AB DE .所以PD 和DE 所成的角就是PD 和AB 所成的角，即PDE ∠为PD 和AB 所成的角.在PDE △中，2222224241cos 22424PD DE PE PDE PD DE +-+-∠===⨯⨯⨯⨯，所以PD 和AB 所成的角余弦值为14.故（1）正确. 对于（2），连接BE 和CF 交于O ，连接PO .则PO ⊥底面ABCDEF .PC 和底面所成的角为PCO ∠.因为PO ⊥底面ABCDEF ，CO ⊂平面ABCDEF ，所以PO CO ⊥. 所以21cos 42CO PCO PC ∠===. 又因为0,2PCO π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以3PCO π∠=.所以，PC 和底面所成的角为3π.故（2）正确. 对于（3），连接OA ，则OAB 为等边三角形，因为M 为AB 中点，所以OM AB ⊥.因为PO ⊥底面ABCDEF ，AB ⊆平面ABCDEF ，所以PO AB ⊥. 又因为PO OM ⊆、平面PMN ，所以AB ⊥平面PMN .又因为AB ⊆平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PMN .故（3）正确. 综上：（1）（2）（3）都正确，所以正确的个数为3个. 故选：D. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角、线面角、面面垂直，属于中档题.11．如图，已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 作以1F 为圆心，1|OF |为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段2PF 被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B 2C 3D 5【答案】A 【解析】【详解】∵F 1，F 2是双曲线的左，右焦点，过F 2点作以F 1为圆心， |OF 1|为半径的圆的切线，P 为切点，∴F 2（c ，0），|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝c ， ∴PF 1⊥PF 2， ∴∠PF 1F 2＝60°，过点P 做P A ⊥x 轴，垂足为A ， ∴P A ＝c •sin60°3=c ， AC ＝c ﹣c •cos60°12=c ， ∴P （12-c ，3c ）， ∵切线段PF 2被一条渐近线平分，其渐近线方程为y ba=x ， ∴PF 2的中点坐标为（14c ，3c ） ∴3c b a =•14c ，∴3ba=， ∴22b a=3， ∴e 22113ba=+=+=2， 故选：A ．点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用.12．在ABC ∆中，39AB AC ==，2AC AB AC ⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内一点，则当222PA PB PC ++取得最小值时，PA BC ⋅=（ ） A ．24B ．62C ．92D ．24-【答案】A【解析】首先确定三角形的形状，然后建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算确定点P 的坐标即可求解数量积. 【详解】由2AC AB AC ⋅=可得：2cos AC AB A AC =， 则cos 3AB A AC ==，即,2BC AC C π⊥∠=，以C 点坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则()3,0A ，()0,62B ，设(),P x y ，则：()()222222222362PA PB PC x y x y x y ++=-+++-++2236312281x x y y =-+-+()()22312281x y ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦，当1,22x y ==，即()1,22P 时222PA PB PC ++取得最小值， 此时()()2,220,6224PA BC ⋅=-⋅-=.本题选择A 选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．二、填空题13．已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---= ． 【答案】1【解析】因为函数y ＝f （x ）为奇函数,所以f(-2)=-f(2),f(-3)=-f(3).所以 f(-2)-f(-3)=-f(2)+f(3)=114．已知实数，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值_______．【答案】2 【解析】作出可行域，求出区域的顶点坐标，将顶点坐标一一代入2z x y =+，即可判断函数的最大值． 【详解】作出不等式组010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域，如图求得区域的顶点分别为()0,0O ，()10B ,，11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，分别将三点代入目标函数得：1000z =+=，2101z =+=，31132222z =+⨯=，所以2z x y =+的最大值为32【点睛】本题考查了线性规划问题，作出可行域，当不等式组为线性约束条件，目标函数是线性函数，可行域为多边形区域时（或有顶点的无限区域），直接代端点即可求得目标函数的最值．15．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1cos 4B =，4b =，sin 2sin A C =，则ABC 的面积为____．15【解析】sin 2sin ,C A =，由正弦定理可得2c a = ，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，222142a c ac ∴=+-，与2c a =，联立解得2,4a c ==，()1cos ,0,4B B π=∈，sin 4B ∴==则ABC ∆的面积11sin 2422S ac B ==⨯⨯=16．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122020202020202020a a a ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦______.【答案】2019【解析】把2122n n n a a a ++-+=化为()()2112n n n n a a a a +++---=，利用等差数列的通项公式得122n n a a n +-=+，再利用累加法求得(1)n a n n =+，再利用裂项求和法即可得出答案. 【详解】解：由2122n n n a a a ++-+=得：()()2112n n n n a a a a +++---=, 记1n n n b a a +=-，则12nnb b ，所以{}n b 是首项121624b a a =-=-=，公差为2的等差数列， 所以4(1)222n b n n =+-⨯=+， 所以122n n a a n +-=+， 所以，21212a a -=⨯+，32222a a -=⨯+， 43232a a -=⨯+，……()1212n n a a n --=⨯-+，将上述等式相加得：()()()12123121(2)1n a a n n n n -=⨯++++-+-=+-，所以()21(2)1(1)n a n n a n n n n =+-+=+=+，所以1111(1)1n a n n n n ==-++，则122020202020202020111112020(1)22320202021a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1202020201202020212021⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以1220202020202020202020202020192021a a a ⎡⎤⎡⎤++⋅⋅⋅+=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 故答案为：2019. 【点睛】本题主要考查数列的递推与通项公式，以及数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题.三、解答题17．党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100]的为优等品；指标在区间[60,80)的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下： 甲种生产方式：乙种生产方式：（1）在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；（2）所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元.甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元.用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？【答案】（1）①优等品3件，合格品2件；②35；（2）选择乙生产方式. 【解析】（1）①根据频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，即可得到抽去的件数；②记3件优等品为A ，B ，C ，2件合格品分别为a ，b ，从中随机抽2件，列举出基本事件的总数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解；（2）分别计算出甲、乙种生产方式每生产100件所获得的利润为1T 元2T 元，比较即可得到结论． 【详解】（1）①由频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，所以抽出的5件产品中，优等品3件，合格品2件.②记3件优等品为A ，B ，C ，2件合格品分别为a ，b ，从中随机抽2件，抽取方式有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10种， 设“这2件中恰有1件是优等品的事件”为M ，则事件M 发生的情况有6种， 所以()63105P M ==. （2）根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有60件优等品，40件合格品；乙种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品. 设甲种生产方式每生产100件所获得的利润为1T 元， 乙种生产方式每生产100件所获得的利润为2T 元， 可得()()16055154025152800T =-+-=（元），()()28055202025202900T =-+-=（元），由于12T T <，所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫村来脱贫较好. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方表与频率分布直方图的应用，其中解答中熟记在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，且所有小长方形的面积的和等于1，合理利用古典概型及其概率的计算公式求解概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．18．一个多面体的直观图及三视图如图所示，其中M ，N 分别是AF 、BC 的中点（1）求证：MN ∥平面CDEF ； （2）求多面体A-CDEF 的体积． 【答案】（1）详见解析；（2）83．【解析】由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且底面是一个直角三角形，由三视图中所标数据易计算出三棱柱中各棱长的值．（1）取BF 的中点G ，连接MG 、NG ，利用中位线的性质结合线面平行的充要条件，易证明结论（2）多面体A-CDEF 的体积是一个四棱锥，由三视图易求出棱锥的底面面积和高，进而得到棱锥的体积． 【详解】（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且AB=BC=BF=4，DE=CF=4290CBF ∠=︒ ，连结BE ，M 在BE 上，连结CEEM=BM ，CN=BN ，所以MN ∥,CE CE CDEF 面⊂，所以//MN 平面CDEF （2）取DE 的中点H ． ∵AD=AE ，∴AH ⊥DE ， 在直三棱柱ADE-BCF 中， 平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE∩平面CDEF=DE ．∴AH ⊥平面CDEF ．∴多面体A-CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥，在△ADE 中，2． S 矩形CDEF=DE•EF=2 ∴棱锥A-CDEF 的体积为118422333CDEF V S AH =⋅⋅=⨯=矩形．【点睛】本题【考点】1．简单空间图形的三视图；2．棱柱、棱锥、棱台的体积；3．直线与平面平行的判定，属于基础题型.19．如图，考虑点1,0A ，()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()cos ,sin P αβαβ++，从这个图出发.（1）推导公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； （2）利用（1）的结果证明：()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，并计算sin37.5cos37.5︒⋅︒的值.【答案】（1）推导见解析；（262+【解析】（1）由三角函数的定义，求得12,,P P P 的坐标，根据2212AP PP =，即可得到结论； （2）由（1）可得()cos αβ+和()cos αβ-，求得()()1cos cos cos cos 2βααβαβ=++-⎡⎤⎣⎦，代入即可求解. 【详解】（1）由三角函数的定义，可得()()()()()12cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin P P P ααββαβαβ-++，根据图象，可得2212AP PP =，即2212AP PP =， 即()()()()()2222cos 1sin cos cos sin sin αβαββαβα+-++=-++. 即()cos cos cos sin sin αββαβα+=-.（2）由（1）可得()cos cos cos sin sin αββαβα+=-， ①()cos cos cos sin sin αββαβα-=+ ②由①+②可得：()()2cos cos cos cos βααβαβ=++- 所以()()1cos cos cos cos 2βααβαβ=++-⎡⎤⎣⎦， 所以()111sin 37.5cos37.5sin 75cos15cos 4530222︒︒=︒=︒=︒-︒=【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的证明及其应用，其中解答中合理利用向量的模相等，建立方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20．已知函数()ln f x x a x =+，在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，函数()()212g x f x x bx =+-． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设()1212,x x x x <，是函数()g x 的两个极值点，若72b ≥，求()()12g x g x -的最小值．【答案】（Ⅰ）1a =；（Ⅱ）152ln 28-. 【解析】试题分析：（I ）切线与直线20x y +=垂直，所以切线斜率为2，利用导数等于2，求得1a =；（II ）对()g x 求导后通分，由根与系数关系得到两个极值点的关系12121,1x x b x x +=-=．化简()()12g x g x -的表达式为1122211ln2x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，令()1201x t t x =<<，换元后利用导数求得()()12g x g x -的最小值为152ln 28-． 试题解析： （Ⅰ）()ln f x x a x =+，()1af x x∴'=+与直线20x y +=垂直，1|12x k y a =∴==+=，1a ．（Ⅱ）()()()21111x b x g x x b x x--+'=+--=，所以令()0g x '=， 121x x b ∴+=-，121=x x ．()()()()221211122211ln 1ln 122g x g x x x b x x x b x ⎡⎤⎡⎤-=+---+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()2211121212222111ln1ln 22x x x x x x b x x x x x x ⎛⎫=+----=-- ⎪⎝⎭． 120x x <<，所以设()1201x t t x =<<，()()11ln 012h t t t t t ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭， ()()22211111022t h t t t t-⎛⎫∴'=-+=-< ⎪⎝⎭，所以()h t 在0,1单调递减， 又72b ≥，()22514b ∴-≥， 即()2221212121524x x x x t x x t ⎛⎫++==++≥ ⎪⎝⎭．01t <<，241740t t ∴-+≥，104t ∴<≤，()1152ln 248h t h ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，故所求的最小值是152ln 28-． 【考点】函数导数与不等式．【方法点晴】本题主要考查导数与切线，导数与极值点、不等式等知识．解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错．解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是E 、F ，离心率4e =，过点F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，ABE ∆的周长为16． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为原点，圆D ：222(3)(0)x y r r -+=>与椭圆C 交于M 、N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PM 、PN 与x 轴分别交于G 、H 两点，求证：OG OH ⋅为定值．【答案】(1) 221169x y += (2)见解析【解析】试题分析：（1）根据ABE ∆的周长为16，可得4a =，再根据离心率e =得出c =C 的方程；（2）根据圆及椭圆的对称性可得M ，N 两点关于x 轴对称，设()11,M x y ，()00,P x y ，则()11,N x y -，从而得出直线PM 的方程，即可得到点G 的横坐标，同理可得H 点的横坐标，从而列出OG OH ⋅的表达式，化简求值即可得到定值.试题解析：（1）由题意得416a =，则4a =，由4c a =，解得c = 则2229b a c =-=，所以椭圆C 的方程为221169x y +=．（2）证明：由条件可知，M ，N 两点关于x 轴对称，设()11,M x y ，()00,P x y ，则()11,N x y -，由题可知，22111169x y +=，22001169x y +=∴()22111699x y =-，()22001699x y =-． 又直线PM 的方程为()100010y y y y x x x x --=--，令0y =得点G 的横坐标100101G x y x y x y y -=-，同理可得H 点的横坐标100101H x y x y x y y +=+.∴()0,e 16=，即OG OH ⋅为定值．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.22．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l的参数方程为1212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程是4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值.【答案】（110y --=，22(1)(1)2x y -+-=；（2）1.【解析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l 的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果. 【详解】（1）将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得直线l 10y --=.将曲线C 的极坐标方程化为2sin 22ρθθ⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭. 即22sin 2cos ρρθρθ=+.∴x 2+y 2=2y+2x.故曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=. （2）将直线l 的参数方程代入()()22112x y -+-=中，得2211222t ⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.化简，得(2130t t -++=.∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2.由根与系数的关系，得121t t +=，123t t =，即t 1，t 2同正. 由直线方程参数的几何意义知,12121PA PB t t t t +=+=+=.【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成x 和y 即可. 23．已知()12f x x x =-+-.（1）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（2）求证：对任意实数a ，()0b a ≠，当R x C M ∈时，()a b a b a f x ++-≥恒成立.【答案】（1）12x x ⎧<⎨⎩或52x ⎫>⎬⎭；（2）见解析 【解析】（1）利用|1||2|x x -+-的几何意义，表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，分析即得解.（2）把||||||()a b a b a f x ++-≥，转化为()||||||a b a b f x a ++-≤，利用绝对值的性质求得||||||a b a b a ++-得最小值即得解.【详解】（1）由()2f x >，即|1||2|2x x -+->.而|1||2|x x -+-表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|1||2|2x x -+-=的点的坐标为12和52， 故不等式|1||2|2x x -+->的解集为15{|}22x x <>或. （2）证明：要证||||||()a b a b a f x ++-≥，只需证()||||||a b a b f x a ++-≤，∵||||||2||a b a b a b a b a ++-≥++-=，当且仅当()()0a b a b +-≥时取等号，∴||||2||a b a b a ++-≥由（1），当R x C M ∈时，()2f x ≤∴||||()||a b a b f x a ++-≤∴原命题成立.. 【点睛】本题考查了绝对值不等式得解集及不等式证明，考查了学生综合分析，转化与划归，逻辑推理得能力，属于中档题.。
宁夏回族自治区银川市第二中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷含解析
宁夏回族自治区银川市第二中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且2．已知变量的几组取值如下表：x1 2 3 4 y2.4 4.3 5.37若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（ ） A ．74B ．114C ．94D ．1343．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811B ．810C ．24D ．34．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．173B ．32C ．53D ．1025．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos θ= ）A 5B 5C ．2D ．46．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =，则||BF =（ ）A ．72B ．3C ．52D ．29．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．010．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 11．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==，则双曲线C 的离心率为（ ） A 13B ．4C ．2D 312．已知集合A ＝{y |y 21x =-}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（ ）A ．[0，12） B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞） C ．（0，12）D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届宁夏回族自治区银川市第二中学高三上学期统练四数学(文)试题(解析版)
x a 为奇函数 ”的充要条件 . x1
【考点】 1、函数的奇偶性； 2、充分条件与必要条件 .
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性及充分条件与必要条件，属于中档题
.判断充
要条件应注意：首先弄清条件 p 和结论 q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质 尝试 p q, q p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题， 除借助集合思想化抽
集合 B，求集合 A 与集合 B 的交集可得答案
lg 2x 3 的定义域，得
【详解】
x1
因为
0 ，即 ( x 1)(x 2)
0 ，得 A
1,2 ，令 2x 3 0，得 B
3 ,
，
x2
2
所以 A B
3 , 2 ，选择 D
2
【点睛】 用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白 集合的类型，常借助数轴来解决数集间的关系
a1 a1q a1q2 a1 q3 a1q4 3a1q2 4a1
15,
，
a1 1,
解得
，
q2
a3
a1q 2
4 ，故选 C．
【点睛】 本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。
8．已知 sin
4
A．
5
【答案】 A
sin 3
4 3 ，则 cos 5
（
3
B． - 3 5
4
C．
5
）
3
D．
5
a 0, f x
x, f x x1
x x1
f x；
f x 是奇函 数； a 0是
fx
x
a
为奇 函数的 充分 条件 .（2）
宁夏银川市2019-2020学年高考数学第四次押题试卷含解析
宁夏银川市2019-2020学年高考数学第四次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( )A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．210y x =【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义可得,12||||||22p pAB AF BF x x =+=+++,把线段AB 中点的横坐标为3,||8AB =代入可得p 值,然后可得出抛物线的方程. 【详解】设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F,设点()()1122,,,A x y B x y ，由抛物线的定义可知()1212||||||22p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++， 线段AB 中点的横坐标为3，又||8AB =，86p ∴=+，可得2p =， 所以抛物线方程为24y x =. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键. 2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（ ） A ．7 B ．14C ．28D ．84【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，可求解得到114a =，利用求和公式和等差中项的性质，即得解 【详解】56104a a a +=+Q ，111111465a d a d a d ∴+-=-+-解得114a =．121211121()21842a a S a +∴===．故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.3．在ABC V 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒u u u r u u u r ，则||=uuu rAD （ ）AB ．12C ．34D【答案】A 【解析】 【分析】由D 为BC 边上的中点，表示出()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，然后用向量模的计算公式求模. 【详解】解：D 为BC 边上的中点，()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，()12=2AD AB AC =+===u u u r u u u r u u u r故选：A 【点睛】在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题. 4．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题. 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．2【答案】A 【解析】 【分析】利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得. 【详解】()1252512511152550442a a S a a a a +==⇒+=⇒+=.故选:A . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易. 6．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+【答案】B复数11122a i a a z i i --+==-+，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a 的不等式组，解得a 的范围. 【详解】11122a i a a z i i --+==-+， 由其在复平面对应的点在第二象限，得1010a a -<⎧⎨+<⎩，则1a <-.故选：B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．ABC ∆中，BC =D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ）A．B．C．6D ．2【答案】D 【解析】 【分析】在ABD ∆中，由正弦定理得sin B =cos cos 4ADC B π⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭，在ADC ∆中，由余弦定理可得AC . 【详解】在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin 4AD BD B π=，得sin 10B =，又BD AD >，所以B为锐角，所以cos 10B =，cos cos 45ADC B π⎛⎫∴∠=+= ⎪⎝⎭， 在ADC ∆中，由余弦定理可得2222cos 4AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=，2AC ∴=.故选：D 【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.8．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】α，β是相交平面，直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，即可判断出结论． 【详解】解：已知直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，∴ “l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件．故选：A. 【点睛】本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力． 9．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ）A ．1B ．2C D 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数相等，可得,a b ，然后根据复数模的计算，可得结果. 【详解】由题可知：()11i a bi +=+， 即1a ai bi +=+，所以1,1a b ==则212a bi i +=+==故选：D 【点睛】本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.10．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘除运算法则，即可求解. 【详解】()()()()()2322323741222255i i i i i i i i i i +-++===+-++-.故选：A. 【点睛】本题考查复数代数运算，属于基础题题. 11．中，如果，则的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】 化简得lgcosA ＝lg＝﹣lg2，即，结合， 可求，得代入sinC＝sinB ，从而可求C ，B ，进而可判断.【详解】 由，可得lgcosA ＝＝﹣lg2，∴，∵，∴，，∴sinC ＝sinB ＝＝，∴tanC ＝，C＝，B ＝.故选：B 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题．12．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷2003 1.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．20B ．27C ．54D ．64【答案】B 【解析】 【分析】设大正方体的边长为x ，从而求得小正方体的边长为3122x x -，设落在小正方形内的米粒数大约为N ，利用概率模拟列方程即可求解。
宁夏回族自治区银川市某高中2020届高三第四次模拟数学(理)参考答案
数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1.解析：由图可得，在复平面内，()2,1A -，()1,1B -，则12i z =-+，21i z =- ，所以()()122i 1i 13i z z =-+-=-+，所以12z z =选D.2.解析：由210x ->得11x -<<，所以{}11A x x =-<<，函数12x y -=的值域{}0B y y =>，所以)(0,1A B =I ，选A.3.解析：由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得：1月份的利润为3 2.50.5-=万元；2月份的利润为3.5 2.80.7-=万元； 3月份的利润为3.830.8-=万元；4月份的利润为4 3.50.5-=万元；5月份的利润为541-=万元，所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，选C ．4.解析：1n =时，113a S λ==+2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n a S S λλ---=-=+-+=⋅因为{}n a 是等比数列，1a 适合n a ，所以0323λ+=⨯，1λ=-，选B .5.解析：因为()f x 为奇函数，所以()010f a =+=，所以1a =-，故()e e x x f x -=-，故()e e x x f x -'=+，由导数的几何意义知()f x 在点()0,0处的切线斜率()02k f '==，则()f x 在点()0,0处的切线方程为2y x =，故选.C6.解析：1111222223BE BA BD BA BC ⎛⎫=+=+⨯ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1115()2336BA AC AB AC AB =+-=-u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r ，选D.7.解析：由俯视图可知侧视图是宽为2，高为2的矩形，所以侧视图面积为4+选B ．8.解析： 因为1OF =，由抛物线的定义可得14M MF x =+=，所以点M 的坐标为()323±，，所以△MOF 的面积为11123322MOF y ⋅=⨯⨯=，选A ．9.解析：由已知得：()0f x =时有两个实数根，只有()f x a =-有三个实数根，由图可知：a 的取值范围是104⎛⎫- ⎪⎝⎭，，选B.10.解析：如图设2BC =，以B 为圆心的扇形面积是22263ππ⨯=，ABC ∆的面积是132232⨯⨯⨯=，所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即23232233ππ⨯-=-，所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是332232(3)ππ=--，选B ．11.解析：由题意可得，如图，平面AEF 截该正方体所得的截面为平面1AD EF ，2EF =，122AD =，等腰梯形1AD EF 的高为2，所以132+2292==2EFAD S 四边形（）.选D . 12.解析:由题意可知1212224PF PF F A F A OA a -=-===，2OA =,延长2F B 交1PF M 于PI 是角平分线，2PI F B ⊥,所以三角形△2PMF 为等腰三角形，2PM PF =,所以B 为2MF 的中点，12124PF PF MF a -===，所以1122OB MF ==，所以1OB OA =，选A . 二、填空题13.解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知当直线3y x z =-经过点()21A -，时，直线的截距最大，此时z 最小，最小值为7-. 14.解析：由1323n n n a a a +=+，得11123n n a a +=+，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，111221(1)33n n n a a +=+-⨯=，321n a n =+，所以 715a =.15.解析：直接法，1女3男，又分为含女医生甲和不含女医生甲两种情况：有31342524C C C +=，2女2男，有2212252422C C C C +=，3女1男，144C =，根据分类计数原理可得，共有22+244=50+16.解析：由题意对任意10,2x ∈（），存在[]21,2x ∈，使()12()f x g x ≥，则()12min min ()f x g x ≥所以()2(1)(3)4x x f x x --'=-，可得()1min 12f x =-，()[]222=2+4=()+4,1,2g x x bx x b b x ---∈，若2b ≥，()()min =2=84g x g b -，所以1842b -≤-，即178b ≥满足，若12b <<，()()2min ==4g x g b b -，所以21323242b b b -≤-≥≤，即，不满足舍去，若1b ≤，()()min =1=52g x g b -，所以1115224b b -≤-≥，即，不满足舍去，所以178b ≥三、解答题 （一）必考题17.解：（1）由21cos ADC ∠=27sin ADC ∠ 所以sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠ 273211212==………6分 （2）在△ABD 中，sin sin AB ADADB B =∠，所以21AD =在△ACD 中，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠21214221213=+-= 所以13AC18.（1）证明：因为DCGH 为矩形，所以CG CD ⊥，又CG AD ⊥，所以CG ⊥平面ADC ，故CG AC ⊥，因为AEFBCD 为正六边形，所以120ADC DCB ∠=∠=o ， 故30DCA ∠=o ，所以90ACB ∠=o ，即AC CB ⊥， 又因为CG CB C =I ,所以AC ⊥平面BCG ， 因为AC ⊂平面ACG ，所以平面ACG ⊥平面BCG . ………5分(2)解： 连接AC 与BD 交于点N ，连接MN ，因为AG ∥平面BMD ，且平面BMD ∩平面ACG MN =，所以AG ∥MN ，所以12CM CN MG NA ==，所以2MG =，所以3CG =，由（1）知；AC CB ⊥，CG ⊥平面ABC ，故以向量CA u u u r ，CB u u u r，CG u u u r 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()A ，()0,4,0B ,()0,0,1M,()2,3H -,所以()AB =-u u u r，()2,3AH =--u u u u r，()0,4,1BM =-u u u u r ，设(),,n x y z =r 为平面AHB 的一个法向量，则23040n AH y z n AB y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩r u u u u rr u u u r可取)n =r，设直线BM 与平面AHB 所成角为θ，所以||,sin |cos |BM n BM n BM n θ⋅=〈〉==⋅u u u u r ru u u u r r u u u u r r ， 即直线BM 与平面AHB 所成角的正弦值为………12分 19. 解析：（1）直线l ：0(0)kx y k k --=≠过定点(1,0)N 由条件可得||||QN QP =，又||||4QM QP += 所以 ||||4QM QN +=根据椭圆定义：动点Q 的轨迹是椭圆 且24a =，2a =，1c =，b故C 的方程为：22143x y +=. …......4分（2）直线l：(1)(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 设1122()()A x y B x y ，、，， 则 2122834k x x k +=+， ①212241234k x x k -⋅=+. ② ………6分 因为D 为AE 的中点，且22()D x y -，， 因为1202()y y +=-，122y y =-，所以1212(1)2(1)23k x k x x x -=--⇒=-+， ③ ………9分① 、③联立得22122249493434k k x x k k -+==++，，代入②得222122224949412343434k k k x x k k k-+-⋅=⨯=+++，254k k ==， 所以直线l的方程为1)2y x =±-.………12分 20. 解析：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．∵()()()()5131000316i i i x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，===∴相关系数()()5ii xx y y r --0.95==≈． ∵0.75r >，∴可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪． ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元． ②安装2台光照控制仪的情形：当70X >时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润300010002000Y =-=（元）， ()1020000.250P Y ===， 当3070X <≤时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润230006000Y =⨯=（元）， ()4060000.850P Y ===， 故Y 的分布列为∴20000.260000.85200EY =⨯+⨯=（元）．③安装3台光照控制仪的情形：当70X >时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润13000210001000Y =⨯-⨯=（元），()1010000.250P Y ===， 当5070X ≤≤时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润23000110005000Y =⨯-⨯=（元），()3550000.750P Y ===， 当3050X <<时，3台光照控制仪都运行，周总利润330009000Y =⨯=（元）， ()590000.150P Y ===， 故Y 的分布列为∴10000.250000.790000.14600EY =⨯+⨯+⨯=（元）．综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪．21. 解：（1）因为()f x 的最小值为0，故对任意R x ∈，()0f x ≥即20x ax b -+≥恒成立，且存在实数0x 使得()()02000e 0x f x x ax b =-+⋅=，即2000x ax b -+=能成立， 故关于x 的一元二次方程20x ax b -+=根的判别式240a b ∆=-=，故24a b =，故()22e4xa f x x ax ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，则()22(2)e 2e 422x x a a a f x x a x a x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-+-⋅=-+⋅-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若22a x <-或2a x >，则()0f x '>，故()f x 在(,2)2a -∞-和(,)2a+∞上单调递增，若222a a x -<<，则()0f x '<，故()f x 在(2,)22a a-上单调递减， 故22ax =-是()f x 的唯一极大值点，则2224e 4e 2aa f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，解得6a =， 故()f x 的单调减区间为[1,3].（写成()1,3，(]1,3，[)1,3均可得分） ……… 6分（2）不妨设12x x <，由（1）可知，()22e 4x a f x x ax ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭的极大值点122ax =-，极小值点22ax =， 又()2214ea f x -=，2()0f x =，故要证：()()121228f x f x a x x a -<--，即证224e 028222aaa a a --<-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即证2222e8a aa --<-，即证222222e 842222a a a a a a a -⎛⎫+- ⎪⎝⎭>==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭，对任意4a <恒成立， 构造函数()()2e 2x F x x x =-++，0x ≤，令()()()1e 1x g x F x x '==-+，则()e 0x g x x '=⋅≤，故()g x 在(],0-∞上单调递减，又()00g =，故()()0g x F x '=≥， 故()F x 在(],0-∞上单调递增，又()00F =，故()0F x ≤， 即()2e 20x x x -++≤对任意0x ≤恒成立，即2e 2x xx+>-对任意0x <恒成立， 特别地，取202ax =-<，则有22222e 222a a a -⎛⎫+- ⎪⎝⎭>⎛⎫-- ⎪⎝⎭成立，故原不等式成立. ……… 12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。
2020届宁夏银川市第二中学高三一模数学(文)试题(解析版)
2020届宁夏银川市第二中学高三一模数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|(1)9,M x x x R =-<∈，{}2,0,1,2,4N =-，则M N =I （ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,2,3-D ．{}0,1,2,3【答案】A【解析】(){}{}2|19,|24,M x x x R x x x R =-<∈=-<<∈Q{}{}{}|24,?2,0,1,2,40,1,2M N x x x R ∴⋂=-<<∈⋂-=选A2．若复数()()1a i i ++在复平面上所对应的点在实轴上，则实数a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】由题意可知，复数()()1a i i ++是实数，可得a 值. 【详解】Q 复数()()()111a i i a a i ++=-++在复平面上所对应的点在实轴上，10,1a a ∴+=∴=-.故选：B . 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.3．已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =A B ．4 C ．2 D ．12【答案】D【解析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解. 【详解】∵双曲线的离心率ce a== ，c ，∴a=，解得12a = ， 故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB ≥90°的概率为（ ） A ．14B ．13C ．2 D ．2 【答案】A【解析】作AD BC ⊥，垂足为D .由几何概型可知，∠AMB ≥90°的概率等于BDBC. 【详解】作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示由几何概型可知，∠AMB ≥90°的概率等于BDBC. 90,1,2,60BAC AB BC B ∠===∴∠=o o Q ，11cos60122BD AB ∴==⨯=o .90AMB ∴∠≥o 的概率为11224BD BC ==.故选：A . 【点睛】本题考查几何概型，属于基础题.5．已知函数()44cos sin x x f x =-,下列结论中错误的是( )A ．()cos2f x x =B ．函数()f x 的图象关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．()f x 的值域为2,2⎡-⎣【答案】D【解析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得()cos 2f x x =，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解． 【详解】解：由442222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos2f x x x x x x x x =-=+-=，故A 正确； 由定义可知()cos 2f x x =为偶函数，故B 正确； 由周期公式可得()f x 的最小正周期为：22T ππ==，故C 正确； 由余弦函数的性质可得()cos 2f x x =的值域为[1-，1]，故D 错误； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．6．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．4510a B ．91010aC ．4510a -D ．91010a -【答案】C【解析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -由题意可得：10110111100nn n n a a a a ---=⇔= 则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列即911410591010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭则视力4.9的视标边长为4510a - 故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题. 7．函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令cos t x =，则1t ≤在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立，从而ln 0y t =≤在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立，即得答案. 【详解】令cos t x =，则1t ≤在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立，ln 0y t ∴=≤在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立，结合图象，可知答案为A .故选：A . 【点睛】本题考查对数函数和三角函数，属于基础题.8．如图，网格纸上小正方形的边长为1.从,,,A B C D 四点中任取两个点作为向量b r的始点和终点，则a b ⋅r r的最大值为（ ）A ．1B 5C ．3D 10【答案】C【解析】根据向量数量积的几何意义可知，向量b r 在向量a r 方向上的投影最大时，a b ⋅r r取最大值. 【详解】由题意知1a =r，cos ,cos ,a b a b a b b a b ∴⋅=〈〉=〈〉r r r r r r r r r ，a b ∴⋅r r取最大值时，向量b r 在向量a r 方向上的投影cos ,b a b 〈〉r r r 最大.由图形可知，当b AC =r u u u r 时，向量b r 在向量a r方向上的投影最大.cos ,cos ,10310a b a b a b b a b ∴⋅=〈〉=〈〉==r r r r r r r r r .即a b ⋅r r的最大值为3.故选：C . 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属于基础题.9．若,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．5-B ．1C ．1-D ．2【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可． 【详解】由2z x y =-得122z y x =-， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）:平移直线122z y x =-， 由图象可知当直线122z y x =-，过点C 时，直线122zy x =-的截距最小，此时z 最大，由11x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得(1,0)C ，代入目标函数2z x y =-， 得1201z =-⨯=∴目标函数2z x y =-的最大值是1．故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．10．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =（ ）A 62πB 32πC ．6:4:πD ．3:2:π【答案】C【解析】设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，正方体的棱长为a ，由它们的表面积相等，令表面积为S ，可得222,,466S S S R r a ππ===.再由球、圆柱、正方体的体积公式求解即得. 【详解】设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，正方体的棱长为a ， 由它们的表面积相等可得222466R r a ππ==，令表面积为S ，则222,,466S S S R r a ππ===. ()()()()()22223332223232222123416:::2::4:39V V V R r r a R r a ππππ⎛⎫∴=⨯=⎪⎝⎭3332216:4:6:4:9466S S S πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C . 【点睛】本题考查球、圆柱、正方体的表面积公式和体积公式，属于基础题.11．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,抛物线C 与圆22:(3C x y +-='交于M ,N 两点,若||MN =则MNF V 的面积为( )A B ．38C ．8D ．4【答案】B【解析】由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由C M C N ''==MN =C M C N ''⊥，从而直线MN 倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积．【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图，由于C M C N ''==，MN =∴C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为，代入抛物线方程得22p =p =，∴F ，113228FMN N S MF y ∆=⨯==． 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．12．已知实数a b c d ,,,满足111a e cb d e--==，则()()22a c b d -+-的最小值为（ ）A ．21e e +B 21e +C ．221e e+D ．221e e + 【答案】D【解析】设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点，()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，通过求函数ln y x =到直线1:1l y x e=⋅+的最小距离，即可得到本题答案.【详解】由题，得1ln ,1a b c d e==⋅+， 设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点， ()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，对ln y x =求导得1y x '=，令1y e'=，得x e =， 所以曲线C 上的点(,1)e 到直线l 的距离最小，该点到直线l==， 因此22()()a c b d -+-的最小值为2221e e⎛⎫=+. 故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用问题，其中涉及转化和化归思想的运用.二、双空题13．已知数列{}n a 满足11a =，22a =，11320(2,)n n n a a a n n N *+--+=≥∈.（1）4a =_______；（2）数列{}n a 的通项公式n a =________. 【答案】8 12n -【解析】（1）根据11320n n n a a a +--+=，求出3a ，再求出4a ；（2）由11320n n n a a a +--+=，得()112n n n n a a a a +--=-，则数列{}()1*n n a a n N+-∈是首项为1,公比为2的等比数列，求出1n n a a +-，累加法求n a . 【详解】（1）12111,2,320(2,)n n n a a a a a n n N *+-==-+=≥∈Q ，3213232214a a a ∴=-=⨯-⨯=， 4323234228a a a ∴=-=⨯-⨯=.（2）11320(2,)n n n a a a n n N *+--+=≥∈Q ，()112n n n n a a a a +-=-∴-，又211a a -=，∴数列{}()1*n n a a n N +-∈是首项为1,公比为2的等比数列，111122n n n n a a -+-∴=⨯=-.2221324311,2,2,,2n n n a a a a a a a a --∴-=-=-=-=L ，以上各式两端分别相加，得()1221111212222112n n n n a a ---⨯--=++++==--L ，又()111,22,*n n a a n n N -=∴=≥∈Q .当1n =时，11a =符合上式，()12*n n a n N -∴=∈.故答案为：8；12n -. 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，属于中档题.三、填空题14．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【解析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确； （2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.15．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下：A 地：中位数为2，极差为5；B 地：总体平均数为2，众数为2；C 地：总体平均数为1，总体方差大于0；D 地：总体平均数为2，总体方差为3. 则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是_______(填A 、B 、C 、D ) 【答案】AD【解析】对选项逐个分析，即得答案. 【详解】对于A 地，因为中位数为2，极差为5，所以最大值为257+=，满足每天新增疑似病例不超过7人，故A 地符合；对于B 地，若过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B 地不符合；对于C 地，若过去10日分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C 地不符合； 对于D 地，假设至少有一天疑似病例超过7人，设为8人，则方差为()()()10222111128282 3.63101010ii x =⎡⎤-=-+>⨯-=>⎣⎦∑L ，与题中条件总体方差为3矛盾，故假设不成立.故满足每天新增疑似病例不超过7人，故D 地符合. 故答案为：AD . 【点睛】本题考查利用中位数、极差、平均数、众数、方差等数据，对总体数据进行估算，属于中档题.16．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：()[]1,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()18lg 305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 【答案】15-【解析】先利用题中条件推导出函数()y f x =是以2为周期的周期函数，然后利用题中定义结合周期性和奇偶性可分别求出185f ⎛⎫⎪⎝⎭和()lg30f 的值，相加即可. 【详解】由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，()()()22f x f x f x ∴=--=-，所以，函数()y f x =是以2为周期的周期函数，则181822214=555555f f f f R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()lg30lg3lg10lg31lg311lg31lg30f f f f f R =+=+=-=--=--=， 因此，()181lg 3055f f ⎛⎫+=-⎪⎝⎭. 故答案为：15-. 【点睛】本题考查新定义函数值的计算，推导出函数的周期是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.四、解答题17．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a c b ac +=-．()I 求角B 的大小；()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，1AD ==，求sin BAC ∠的值．【答案】(I )23B π=(II 【解析】()I 由已知及余弦定理可求得1cosB 2=-，结合范围()B 0,π∈，可求B 的值．()II 由正弦定理可得sin BAD ∠，进而根据同角三角函数基本关系式可求cos BAD ∠，根据二倍角的正弦函数公式即可求解sin BAC ∠的值． 【详解】解：()I Q 在ABC V 中，222a c b ac +=-．∴由余弦定理可得：2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，()0,B π∈Q ，23B π∴=()II Q 由正弦定理可得：sin sin AD BDB BAD=∠，31sin 12sin 423BD B BAD AD ⨯⋅∴∠===， ()0,BAD π∠∈Q ，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，215cos 1sin BAD BAD ∴∠=-∠=, ()15sin sin 22sin cos BAC BAD BAD BAD ∴∠=∠=∠⋅∠=【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额 支付方式 不大于2000元大于2000元仅使用A 27人 3人 仅使用B 24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 【答案】（Ⅰ）400人； （Ⅱ）125；（Ⅲ）见解析.【解析】(Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数； (Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率； (Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可. 【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A 的人数有30人，仅使用B 的人数有25人， 由题意知A ,B 两种支付方式都不使用的有5人，所以样本中两种支付方式都使用的有1003025540---=， 所以全校学生中两种支付方式都使用的有401000400100⨯=（人）. （Ⅱ）因为样本中仅使用B 的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为125. （Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为125，因为从仅使用B 的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元， 依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．如图，四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，2BCD π∠=，PA BD ⊥，2AB =，1PA PD CD BC ====.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求点C 到平面PBD 的距离. 【答案】（1）见证明（2）12【解析】（1）根据题中所给的条件，利用勾股定理，得到AD BD ⊥，利用已知条件PA BD ⊥，结合线面垂直的判定定理得到BD ⊥平面PAD ，进而证得平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）利用三棱锥体积转换，求得点C 到平面PBD 的距离. 【详解】（1）∵AB CD P ，2BCD π∠=，1PA PD CD BC ====，∴2BD =，2ABC π∠=，4DBC π∠=，∴4ABD π∠=，∵2AB =，∴2AD =，∴222AB AD BD =+，∴AD BD ⊥，∵PA BD ⊥，PA AD A ⋂=，∴BD ⊥平面PAD ， ∵BC ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD . （2）取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥，且22PO =， 由平面PAD ⊥平面ABCD 知PO ⊥平面ABCD ， 由BD ⊥平面PAD 得BD PD ⊥， 又1PD =,2BD =,∴PBD ∆的面积为22， 又BCD ∆的面积为12，P BCD C PBD V V --=，设点C 到平面PBD 的距离为d ，则 1211232322d ⨯=⨯⨯，∴12d =，即点C 到平面PBD 的距离为12.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，点到平面的距离，属于简单题目.20．已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设点()0,1A ，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）详见解析.【解析】（1）由题意1c =，根据过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，求出b ，求出2a ，即得椭圆C 的方程；（2）设1122(,),(,)P x y Q x y .把直线l 的方程代入椭圆C 的方程，韦达定理.写出直线AP 和直线AQ 的方程，求出,OM ON .根据2OM ON =，求出t 的值，即可证明直线l 经过定点. 【详解】（1）由题意，得椭圆C 的半焦距1c =，右焦点()1,0F ，上顶点()0,M b ，所以直线MF 的斜率03tan 1014b k π-===--，解得1b =，由222a b c =+，得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设1122(,),(,)P x y Q x y .联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k-∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =，所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得只有0t =满足题意，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0). 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和直线过定点问题，属于较难的题目.21．设函数2()ln f x x bx a x =+-（Ⅰ）若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是()f x 的两个不同零点，且0(,1)x n n ∈+且n N ∈，求n 的值；（Ⅱ）若对任意[]2,1b ∈--, 都存在(1,)x e ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3， （2）详见解析【解析】试题分析：求导后利用2x =为极值点，满足(2)0f '=，在根据1是()f x 的零点，满足(1)0f =，列方程组解出,a b ，把,a b 的值代入求导，研究函数()f x 的另一个零点所在的区间，求出n ；由于()g b 在[2,1]--上为增函数，只需()()2max 1ln 0g b g x x a x =-=--<在()1,x e ∈有解，令()2ln h x x x a x =--，只需存在()01,x e ∈使得()00h x <即可，对()h x 求导，再进行分类讨论. 试题解析：（Ⅰ）()2,2a f x x b x x =+-'=Q 是函数()f x 的极值点，∴()242af b =+-'. ∵1是函数()f x 的零点，得()110f b =+=，由40210a b b ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩，解得6,1a b ==-， ∴()26ln f x x x x =--,()621f x x x-'=-， 令()2626210x x f x x x x--=--=>'， 0,2x x >∴>Q ，令()0f x '<得02x <<，所以()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增 故函数()f x 至多有两个零点，其中()()010,2,2,x ∈∈+∞，因为()()210f f <<，()()361ln30f =-<,()()2462ln46ln 04e f =-=>，所以()03,4x ∈，故3n =．（Ⅱ）令()2ln g b xb x a x =+-，[]2,1b ∈--，则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈，使得()0f x <成立，则 ()()2max 1ln 0g b g x x a x =-=--<在()1,x e ∈有解，令()2ln h x x x a x =--，只需存在()01,x e ∈使得()00h x <即可，由于()2221a x x ah x x x x='--=--，令()()22,1,x x x a x e ϕ=--∈，()410x x ϕ'=->，∴()x ϕ在(1，e )上单调递增，()()11x a ϕϕ>=-，①当10a -≥，即1a ≤时，()0x ϕ>，即()0h x '>，()h x 在(1，e )上单调递增，∴()()10h x h >=，不符合题意. ② 当10a -<，即1a >时，()110.a ϕ=-<()22e e e a ϕ=--若221a e e ≥->，则()0e ϕ<，所以在(1，e )上()0e ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，∴()h x 在(1，e )上单调递减,∴存在()01,x e ∈，使得()()010h x h <=，符合题意.若221e e a ->>，则()0e ϕ>，∴在(1， e )上一定存在实数m ，使得()0m ϕ=， ∴在(1，m )上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，()h x 在(1，m )上单调递减, ∴存在()01,x m ∈，使得()()010h x h <=，符合题意.综上，当1a >时，对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈，使得()0f x <成立 22．[选修4—4：坐标系与参数方程选讲] 已知曲线C 的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的普通方程；（2）A ,B 为曲线C 上两点，若OA ⊥OB ，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）将代入曲线的方程，即可求得曲线的普通方程； （2）因为题意得，由，设可得，即可求解。
宁夏回族自治区银川市某高中2020届高三第四次模拟数学(文)参考答案
数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题1.解析：由图可得，在复平面内，()2,1A -，()1,1B -，则12i z =-+，21i z =- ，所以()()122i 1i 13i z z =-+-=-+，所以12z z =选D.2.解析：由210x ->得11x -<<，所以{}11A x x =-<<，函数12x y -=的值域{}0B y y =>，所以)(0,1A B =I ，选A.3.解析：由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得：1月份的利润为3 2.50.5-=万元；2月份的利润为3.5 2.80.7-=万元； 3月份的利润为3.830.8-=万元；4月份的利润为4 3.50.5-=万元；5月份的利润为541-=万元，所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，选C ．4.解析：因为c a =，2a =， 所以c =1b =，选C ． 5.解析：圆锥的表面积222412S πππ=⋅+⋅=，选B ．6.解析：因为()f x 为奇函数，所以()010f a =+=，所以1a =-，故()e e x x f x -=-，故()e e x x f x -'=+，由导数的几何意义知()f x 在点()0,0处的切线斜率()02k f '==，则()f x 在点()0,0处的切线方程为2y x =，故选.C7.解析：1111222223BE BA BD BA BC ⎛⎫=+=+⨯ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1115()2336BA AC AB AC AB =+-=-u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r ，选D.8.解析：因为()sin(2)cos(2))442f x x x x x πππ=----=，所以()y f x =，在(0,)2π上单调递增，选A ．9.解析：由俯视图可知侧视图是宽为2，高为2的矩形，所以侧视图面积为4+选B ．10.解析：因为2222146AB BC CC R ++==，由已知1AB BC ==，所以12CC =，1D AD ∠为异面直线1AD 与BC 所成角，11125sin 5DD D AD AD ∠===，选D ． 11.解析：()()sin 2cos tan=sinA 2cos sin 2sin sin sin 21cos B BA A AB AC B-⇒-=⇒=++, 所以242b a c b =+==，，所以周长+=6a c b +，所以选C.12.解析：由题意对任意10,2x ∈（），存在[]21,2x ∈，使()12()f x g x ≥，则()12min min ()f x g x ≥所以()2(1)(3)4x x f x x --'=-，可得()1min 12f x =-，()[]222=2+4=()+4,1,2g x x bx x b b x ---∈，若2b ≥，()()min =2=84g x g b -，所以1842b -≤-，即178b ≥满足，若12b <<，()()2min ==4g x g b b -，所以2132324,222b b b -≤-≥≤-，即，不满足舍去，若1b ≤，()()min =1=52g x g b -，所以1115224b b -≤-≥，即，不满足舍去，所以选B.二、填空题13.解析：当1a >时，由22log (1)3a -=，得3a =，当1a ≤时，由233a -+=，得0a =.所以0a =或3a =.14.解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知当直线3y x z =-经过点()21A -，时，直线的截距最大，此时z 最小，最小值为7-. 15.解析：直线0x ay +=过定点(0,0)A ，直线220ax y a --+=过定点(2,2)B ，且两条直线相互垂直，故点M 在以AB 为直径的圆上运动，所以222||||||||422AB MA MB MA MB +⋅≤==，当且仅当||||2MA MB ==时取“=”，所以||||MA MB ⋅的最大值为4．16.解析：由题意可知，()+=sin ++cos(+)=(sin +cos )cos (cos sin )sin f x a x x a x a x ϕϕϕϕϕϕϕ+-()为偶函数，所以cos sin =0a ϕϕ-，即tan =(0)a a ϕ>，所以22sin cos 2tan sin 2=2sin cos =11+tan ϕϕϕϕϕϕϕ=>，所以112sin 2+=2sin 2+tan tan a a ϕϕϕϕ++22sin 24sin 2ϕϕ=+≥，当且仅当sin 21ϕ=取得最值.即+4k πϕπ=时取得最小值.三、解答题： （一）必考题：17.解析：（1）由111(1)11n n n n a a n a n n n ++=+++=++，得111n n a a n n+=++所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为3，公差为1.（2）由（1）得3(1)12n a n n n=+-⨯=+，所以22n a n n =+ 2111111()2(2)22n n b a n n n n n n ====-+++12111111111()()()21322422n n S b b b n n =++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+、11111323()2121242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++ 18.（1）证明：因为DCGH 为矩形，所以CG CD ⊥，又CG AD ⊥，所以CG ⊥平面ADC ，故CG AC ⊥，因为AEFBCD 为正六边形，所以120ADC DCB ∠=∠=o ， 故30DCA ∠=o ，所以90ACB ∠=o ，即AC CB ⊥， 又因为CG CB C =I ,所以AC ⊥平面BCG ， 因为AC ⊂平面ACG ，所以平面ACG ⊥平面BCG . ………5分(2)解； 因为DC ∥HG ，所以点D 到平面AHG 的距离与点C 到平面ABHG 的距离相等，由（1）知AC CG ⊥，AC CB ⊥，CB CG⊥，故三棱锥C ABG -的体积1132V CG ACCB ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭因为5BG ==，AG ==，所以2222cos 25AB BGAG ABG AB BG +-∠==⋅，所以sin ABG ∠=ABG 的面积1sin 2S AB BG ABG =⋅∠=所以点C 到平面ABG 的距离3V h S =，所以点D 到平面AHG 的距离为. ………12分 19. 解析：（1）由数学成绩为二等奖的考生有12人，可得125010.40.260.1=---，所以语文成绩为一等奖的考生()5010.3820.164⨯-⨯-=人．（2）两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人．设两科成绩都是一等奖的3人分别为123,,A A A ，只有数学一科为一等奖的2人分别是12,B B ，只有语文一科为一等奖的1人是C ，则随机抽取两人的基本事件空间为121311121232122{,,,,,,,,A A A A A B A B A C A A A B A B Ω=23132312,,,,,A C A B A B A C B B 12,}B C B C ，共有15个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件{}1121323,,A A A A A A Ω=共3个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率31155P ==． 20.（1）直线l ：0(0)kx y k k --=≠过定点(1,0)N 由条件可得||||QN QP =，又||||4QM QP += 所以 ||||4QM QN +=根据椭圆定义：动点Q 的轨迹是椭圆且24a =，2a =，1c =，b故C 的方程为：22143x y +=. …......4分（2）直线l ：(1)(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=得 2222(34)84120k x k x k +-+-=， 设1122()()A x y B x y ，、，， 则 2122834k x x k +=+， ①212241234k x x k -⋅=+. ② ………6分因为D 为AE 的中点，且22()D x y -，， 因为1202()y y +=-，122y y =-，所以1212(1)2(1)23k x k x x x -=--⇒=-+， ③ ………9分①、③联立得22122249493434k k x x k k-+==++，，代入②得222122224949412343434k k k x x k k k -+-⋅=⨯=+++，2542k k ==±，，所以直线l的方程为(1)2y x =±-.………12分21.解：（1）因为()f x 的最小值为0，故对任意R x ∈，()0f x ≥即20x ax b -+≥恒成立，且存在实数0x 使得()()02000e 0x f x x ax b =-+⋅=，即2000x ax b -+=能成立， 故关于x 的一元二次方程20x ax b -+=根的判别式240a b ∆=-=，故24a b =，故()22e4xa f x x ax ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，则()22(2)e 2e 422x x a a a f x x a x a x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-+-⋅=-+⋅-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若22a x <-或2a x >，则()0f x '>，故()f x 在(,2)2a -∞-和(,)2a+∞上单调递增，若222a a x -<<，则()0f x '<，故()f x 在(2,)22a a-上单调递减， 故22ax =-是()f x 的唯一极大值点，则2224e 4e 2aa f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，解得6a =， 故()f x 的单调减区间为[1,3].（写成()1,3，(]1,3，[)1,3均可得分） ……… 6分（2）不妨设12x x <，由（1）可知，()22e 4x a f x x ax ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭的极大值点122ax =-，极小值点22ax =， 又()2214ea f x -=，2()0f x =，故要证：()()12122f x f x a x x -≤--，即证224e 02222aa a a --≤-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即证222e2a a --≤-，即证22e12a a-≥-，对任意R a ∈恒成立， 构造函数()e 1x F x x =--，R x ∈，则()e 1x F x '=-在R 上单调递增， 若0x <，则()0F x '<，故()F x 在(,0)-∞内单调递减， 若0x >，则()0F x '>，故()F x 在(0,)+∞内单调递增， 故()()00F x F ≥=即e 1x x ≥+对任意R x ∈恒成立，特别地，取22a x =-，则有22e 12a a-≥-，对任意R a ∈恒成立，故原不等式成立. ……… 12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。
宁夏银川市2019-2020学年高考数学第四次调研试卷含解析
宁夏银川市2019-2020学年高考数学第四次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+u u u r u u u r u u u r，则x y +的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]2,4【答案】C 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，以,AB AD 分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决. 【详解】以A 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则(1,0)B ，(1,1)E -，设(,1)(01)P t t ≤≤，则(,1)(1,0)(1,1)t x y =+-，所以t x y =-，且1y =， 故2x y t +=+[]2,3∈. 故选：C. 【点睛】本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系，是一道基础题.2．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2) B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】解：复数i （2+i ）＝2i ﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2）， 故选：C 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10°C 的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【详解】由绘制出的折线图知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D. 【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力. 4．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B 【解析】 【分析】因为将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合已知，即可求得答案.【详解】Q 将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象∴()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又Q ()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴由1242432k k ππωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ，得()123k k πωπ=-，()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ， 又Q 06ω<<，∴3ω=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 5．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( ) A ．3 B ．2C ．4D ．5【答案】A【分析】根据条件将问题转化为ln 11x k x x+>-，对于1x >恒成立，然后构造函数ln 1()1x h x x x +=⋅-，然后求出()h x 的范围，进一步得到k 的最大值. 【详解】()(N )k f x k x+=∈Q ，ln 1()1x g x x +=-，对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==， ∴易得()()()g c f b f c =>，即ln 11c kc c+>-恒成立， ln 11x kx x+∴>-，对于1x >恒成立, 设ln 1()1x h x x x +=⋅-，则22ln ()(1)x x h x x --'=-，令()2ln q x x x =--，1()10q x x'∴=->在1x >恒成立， (3)32ln30(4)42ln 40q q =--<=-->Q ，，故存在0(3,4)x ∈，使得()00q x =，即002ln x x -=， 当0(1,)x x ∈时，()0q x <，()h x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0q x >，()h x 单调递增.000min 00ln ()()1x x x h x h x x +∴==-,将002ln x x -=代入得：000min 000(2)()()1x x x h x h x x x -+∴===-，N k +∈Q ，且min 0()k h x x <=，3k ∴≤故选：A 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题. 6．若复数z 满足()134i z i +=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】利用复数模的计算、复数的除法化简复数z ，再根据复数的几何意义，即可得答案； 【详解】Q ()55(1)5513451222i i z i z i i -+=+=⇒===-+， ∴z 对应的点55(,)22-，∴z 对应的点位于复平面的第四象限.故选：D. 【点睛】本题考查复数模的计算、复数的除法、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题. 7．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ） A ．若m αP 且n αP ，则m n P B ．若m β⊥且m n ⊥，则n βPC ．若m α⊥且m βP ，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n【答案】C 【解析】因答案A 中的直线m n ，可以异面或相交，故不正确；答案B 中的直线n ⊂β也成立，故不正确；答案C 中的直线m 可以平移到平面β中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面αβ，互相垂直，是正确的；答案D 中直线m 也有可能垂直于直线n ，故不正确．应选答案C ． 8．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）． A ．15±B ．15-C ．15D ．75-【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件利用诱导公式得3tan 4α=-，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案. 【详解】由题意得()tan πα-= 3tan 4α=-， 又π3π,22α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以π,πcos 0,sin 02ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，结合22sin cos 1αα+=解得34sin ,cos 55αα==-，所以sin cos αα+ 341555=-=-， 故选B. 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题.9．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ） A ．e B ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可得()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，于是可得()f x 在1,1e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦，继而可得()221211a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭，解之即可. 【详解】解：()2222()a e x f x a e x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，因为1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0a >， 所以()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在1,1e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦， 因为所有点(,())s f t (,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，所以()221211a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭， 解得2ea e =-， 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到221(2)(1)1a e e e e---=-是关键，考查运算能力，属于中档题．10．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．60【答案】D 【解析】 【分析】先设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --，在表示出1F AB ∆面积，由图象遏制，当点A 在椭圆的顶点时，此时1F AB ∆面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解. 【详解】由题意，设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --， 则1F AB ∆的面积为122S OF y c y =⨯⨯=， 当y 最大时，1F AB ∆的面积最大，由图象可知，当点A 在椭圆的上下顶点时，此时1F AB ∆的面积最大，又由22116925x y +=，可得椭圆的上下顶点坐标为(0,5),(0,5)-，所以1F AB ∆的面积的最大值为16925560S cb ==-⨯=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用.11．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 【答案】C 【解析】【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果. 【详解】对于A ，当m 为α内与n 垂直的直线时，不满足m α⊥，A 错误；对于B ，设l αβ=I ，则当m 为α内与l 平行的直线时，//m β，但m α⊂，B 错误； 对于C ，由m β⊥，n β⊥知：//m n ，又n α⊥，m α∴⊥，C 正确； 对于D ，设l αβ=I ，则当m 为β内与l 平行的直线时，//m α，D 错误. 故选：C . 【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.12．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为( )A ．3B ．3C ．3D ．3【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，由轴截面面积为r ，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，由已知，122r ⨯=r =所以圆锥的体积213V r π==. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
宁夏银川市2019-2020学年第四次高考模拟考试数学试卷含解析
宁夏银川市2019-2020学年第四次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y b x a --的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．6767,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】【分析】 由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y b k x a-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.【详解】Q 点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，P ∴在圆()2211x y -+=上， (),Q a b Q 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，Q ∴在圆()()22341x y ++-=上， 则PQ y b k x a-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ，由图可知AB PQ CD k k k ≤≤，设两圆内公切线方程为y kx m =+，则2211343411k m k k m k m k m k⎧+=⎪+⎪⇒+=-+-⎨-+-⎪=⎪+⎩， Q 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-，可得2m k =+，2222111k mk k k ++∴==++，化为23830k k ++=，473k -±=， 即4747,AB CD k k ---+==， 4747PQ y b k x a ----+∴≤=≤-， y b x a --的取值范围4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦，故选B. 【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A ．1112B ．6C ．112D ．223【答案】D【解析】【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S 与n 的值，得到8n ＝时退出循环,即可求得.【详解】执行程序框图，可得0S =，2n =，满足条件，12S =，4n ＝，满足条件，113244S =+=，6n =，满足条件，1111124612S =++=，8n ＝，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为11228123⨯=. 故选D ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的S 与n 的值是解题的关键,难度较易.3．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或a =B ．1a <<C ．01a <<或1e a e =D ．01a <<【答案】C【解析】【分析】 根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得ln ln x a x =；构造函数()ln x g x x =，并讨论()g x 的单调性与最值，画出函数图象，即可确定a 的取值范围.【详解】由log a x x =得，ln ln x a x =. 令()ln x g x x=， 则()21ln x g x x -'=， 令()0g x '=，解得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,e 内单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在(),e +∞内单调递减；所以()g x 在x e =处取得极大值，即最大值为()ln 1e g e e e ==， 则()ln x g x x=的图象如下图所示：由()f x 有且仅有一个不动点，可得得ln 0a <或1ln a e=， 解得01a <<或1e a e =.故选：C【点睛】 本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.4．函数()xf x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据()0,0x f x <>，可排除,A D ，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果.【详解】由题可知：0a <，所以当0x <时，()0f x >，又()'x fx e a =+， 令()'0fx >，则()ln x a >- 令()'0f x <，则()ln x a <- 所以函数()f x 在()(),ln a -∞-单调递减在()()ln ,a -+∞单调递增，故选：B【点睛】本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.5．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( )A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交【答案】D【解析】结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a 与b 的关系分别是平行、异面或相交．选D ．6．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =R I ðA ．{}01x x <≤B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x << 【答案】B【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<，结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =I ð( )A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．[]1,4-D ．()1,4- 【答案】B【解析】【分析】先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()ðA B I 即可.【详解】由2340x x -->得4x >或1x <-，()(),14,A ∴=-∞-⋃+∞，[]R 1,4ðA =-, 又{}13B x x =-≤≤，[]R ()1,3A B ∴=-I ð.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）．A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】C【解析】 从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.9．()()()()()*121311x x x nx n N+++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ） A ．3n CB ．21nC + C ．1n n C -D ．3112n C + 【答案】B【解析】【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论．【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++==L ． 故选：B ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．10．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列【答案】D【解析】【分析】由折线图逐项分析即可求解【详解】选项A ，B 显然正确；对于C ，2.9 1.60.81.6->，选项C 正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故D 错.故选：D【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题11．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a 的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p ，则圆周率π≈（ ）A ．42p +B ．41p +C ．64p -D ．43p +【答案】A【解析】【分析】 计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解.【详解】 由2222244S a a p S a ππ--===阴正，∴42p π=+. 故选：A【点睛】本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.12．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )A ．1B ．－1C ．8lD ．－81【答案】B【解析】【分析】根据二项式系数的性质，可求得n ，再通过赋值求得0a 以及结果即可.【详解】因为(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等， 故可得5n =，令0x =，故可得01a =，又因为125242a a a +++=L ，令1x =，则()501251243a a a a λ+=++++=L ，解得2λ=令1x =-，则()()5501251211a a a a -=-+-+-=-L .故选：B.【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学第四次模拟考试试题文PDF
宁夏第二中学2021届高三数学第四次模拟考试试题 文 答案制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日考前须知：1．答卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡上．2．答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答复非选择题时，将答案写在答题卡上．写在套本套试卷上无效．3．在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回．一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1．假设集合{}01|≤≤-=x x A ,{}10|<≤=x x B ，那么AB =AA ．{}|11x x -≤<B ．{}|11x x -<≤C ．{}0D ．{}|11x x -≤≤ 2．设复数1i z =--，z 是z 的一共轭复数，那么(2)z z ⋅+的虚部为C A ．2i -B ．2iC ．2-D ．23．向量b a ,夹角为60，且72|2|,2||=-=b a a ，那么b =C A ．2B ．2-C ．3D ．3-4．如图是某高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出以下结论：①一班成绩始终高于年级平均程度，整体成绩比拟好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然屡次低于年级平均程度，但在稳步提升。
其中错误的结论的个数为AA.0B.1C.2D.35．条件P ：①是奇函数；②值域为R ；③函数图象经过第一象限．那么以下函数中满足条件P 的是DA ．12()f x x =B ．1()f x x x=+C ．()sin f x x =D ．()22x xf x -=-6．假设角α的终边与单位圆的交点为)1332,131(-，那么tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ BA ．337-B ．37-C ．335D ．357．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学播送站从中国5个传统节日(春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节)中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节和中秋节都被选中的概率是A A ．310B ．25C ．35D ．7108.α、β、γ是三个不同的平面，且m αγ=，n βγ=，那么“//m n 〞是“//αβ〞的BA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．函数f 〔x 〕=ln|11xx+-|的大致图象是D A ． B ．C ．D ．【解析】因为()()11lnln 11x xf x f x x x-+-==-=-+-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，可排除,A C ；由()2ln30f =>,可排除B ，应选D. 10．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象AA ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 11．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 作圆O ：22214x y b+=的切线，切点为M ，且交双曲线C 右支于点N .假设2FN FM =，那么双曲线C 的渐近线方程为C A ．30x y ±=B ．30x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【解析】设双曲线的右焦点为1F ，∵2FN FM =，∴M 为FN 的中点，又O 为1FF 中点，∴1//OM F N ，12=OM F N ∴190FNF ∠=︒，1NF b =，由双曲线的定义可知，2FN a b =+，∴()()22222a b b c ++=，∴()()222224a b b a b++=+，∴2b a =，那么双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为2y x =±．12．如下图，正方形ABCD 的边长为3，点E 、F 分别在边AD 、CD 上，且2==DF AE .将此正方形沿BE 、BF 、EF 切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，那么该三棱锥的内切球的体积为BA.32πB.814π C.24πD.9π【解析】由题意，用这四个三角形作为三棱锥的四个面，构成的三棱锥MNP S -如下图，其中3=SM 、1=NM 、2=MP ，且SM 、NM 、MP 两两垂直， ∵该三棱锥的四个面分别为正方形ABCD 分割成的四个三角形，∴三棱锥的外表积等于正方形ABCD 的面积，即932==表S ，设三棱锥MNP S -的内切球的半径为R ， 那么R S SM S V MNP MNP S ⋅=⋅=∆-表3131，即R ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯9313213131，解得31=R ， ∴三棱锥MNP S -的内切球的体积为814)31(343433πππ=⨯==R V ，应选B 。
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∵该三棱锥的四个面分别为正方形 ABCD 分割成的四个三角形，
∴三棱锥的表面积等于正方形 ABCD 的面积，即 S表 32 9 ，
设三棱锥 S MNP 的内切球的半径为 R ，
则VS MNP
1 3
SMNP
SM
1 3
S表
R
，即
1 3
1 3
1
2
3
1 3
9
R
，解得
R
1 3
，
∴三棱锥 S MNP 的内切球的体积为V 4 R3 4 ( 1 )3 4 ，故选 B。
①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；
②二班成绩不够稳定，波动程度较大；
③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升。
其中错误的结论的个数为 A
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
5．已知条件 P ：①是奇函数；②值域为 R ；③函数图象经过第一象限．则下列函数中满足条件 P 的是 D
1
A． f (x) x2
银川二中 2020 届高三第四次模拟考试
文科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
3
3 3 81
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 过 原 点 的 直 线 与 圆 x2 y2 2x 4 y 4 0 相 交 所 得 弦 的 长 为 2 ， 则 该 直 线 的 方 程
为
.2x y 0
14.已知
a,b, a
m
均为大于
0
的实数,给出下列五个论断:①
走去，走了 20 千米后到达 D 处，此时 CD 间的距离为 21 千米，则这人达到 A 城还
3
要走
千米. 15
【解析】∴令 ACD ， CDB ，在 CBD 中，
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
【解析】因为
f
x
ln
1 1
x x
ln
1 1
x x
f
x ，所以函数
f
x 是奇函数，图象关于原点对称，
可排除 A,C ；由 f 2 ln3 0 ,可排除 B ，故选 D.
10．函数 f (x) Asin( x )( 0) 的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，要得
4
3
到函数 g(x) A cos x 的图象，只需将 f (x) 的图象 A
A．向左平移 12 个单位
B．向右平移 个单位
4
C．向左平移 个单位
4
3
向右平移 个单位
4
11．已知双曲线
C
：
x a
2 2
y2 b2
1a
0, b
0 的左焦点为 F
，过点 F
作圆 O ： x2
y2
1 b2 的切线，切 4
∴ 2a b2 b2 2c2 ，∴ 2a b2 b2 4 a2 b2 ，∴ b 2a ，
则双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的渐近线方程为
y
2x ．
12．如图所示，正方形 ABCD 的边长为 3 ，点 E 、 F 分别在边 AD 、 CD 上，且 AE DF 2 .将此正方
1．若集合 A x | 1 x 0, B x | 0 x 1，则 A B =A A．x | 1 x 1 B．x | 1 x 1 C．0 D．x | 1 x 1
2．设复数 z 1 i ， z 是 z 的共轭复数，则 z (z 2) 的虚部为 C
A． 2i
B． 2i
C． 2
B． f (x) x 1 x
C． f x sin x
D． f (x) 2x 2x
6．若角 的终边与单位圆的交点为 (
1 13
,
2
3 13
)
，则
tan
3
B
A． 3 3 7
B． 3 7
C． 3 3 5
D． 3 5
7．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站从中国 5 个传统节日 ( 春节、元宵节、清明节、端午节、中
1
秋节 ) 中随机选取 3 个节日来讲解其文化内涵，那么春节和中秋节都被选中的概率是 A
3
A．
10
2
B．
5
3
C．
5
7
D．
10
8.已知 、 、 是三个不同的平面，且 m ， n ，则“ m//n ”是“ // ”的 B
A．充分而不必要条件
C．充分必要条件
1 x 9．函数 f（x）=ln| 1 x |的大致图象是 D
D． 2
3．已知向量 a, b 夹角为 60 ，且 | a | 2,| a 2b | 2 7 ，则 b C
A． 2
B． 2
C． 3
D． 3
4．如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩 y 关于测试序号 x 的函数图像，
为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：
a
b
,②
a
b
,③
m
0
,④
m
0
,⑤
b a
m m
b a
.
以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题
___________.
【答案】①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)
15．某观测站 C 在城 A 的南偏西 20 的方向，由城 A 出发的一条公路，走向是 南偏东 40 ，在 C 处测得公路上 B 处有一个人，距 C 为 31 千米，正沿公路向 A 城
点为 M ，且交双曲线 C 右支于点 N .若 FN 2FM ，则双曲线 C 的渐近线方程为 C
A． 3x y 0 B． x 3y 0
C． 2x y 0
D． x 2 y 0
2
【解析】设双曲线的右焦点为 F1 ，∵ FN 2FM ，∴ M 为 FN 的中点，又 O 为 FF1 中点，∴ OM //F1N ， 2OM =F1N ∴ FNF1 90 ， NF1 b ，由双曲线的定义可知， FN 2a b ，
形沿 BE 、 BF 、 EF 切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内
切球的体积为 B
A.
32
4
B.
C.
D.
81
24
9
【解析】由题意，用这四个三角形作为三棱锥的四个面，
构成的三棱锥 S MNP 如图所示，
其中 SM 3 、 NM 1 、 MP 2 ，且 SM 、 NM 、 MP 两两垂直，