2020七年级数学下册试题思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法

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翼教版七年级数学下册微专题相交线与平行线中的思想方法

4．微专题：相交线与平行线中的思想方法◆类型一方程思想【方法点拨】方程思想主要应用在有关角的度数的计算中，当已知角之间的关系比较复杂或不容易表达时，利用方程思想可以使解题过程变得比较简洁、清楚．1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝1∶2，则∠AOE的度数为________．2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC，且∠COE∶∠AOC＝2∶5，求∠DOF的度数．3．如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC.(1)若∠DBC＝30°，求∠A的度数；(2)若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．◆类型二分类讨论思想【方法点拨】在本章中，过一点作已知直线的垂线与过一点作已知直线的平行线等问题中，当点的位置不确定时，需要对点的位置进行分类讨论．在有关角的计算问题中，还常对某条射线在角的内部或外部进行分类讨论．4．在直线MN上取一点P，过点P作射线P A、PB.若P A⊥PB，当∠MP A＝40°，则∠NPB 的度数是__________．5．(2017·定州市期中)已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，画出图形，并求∠BOC 的度数．6．在∠ABC与∠DEF中，AB∥EF，BC∥DE.(1)请你探究∠ABC与∠DEF的关系；(2)请你用上面的结论解决下面问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角的度数分别是________________．◆类型三转化思想一、利用转化思想求角度【方法点拨】当一个角的度数不能直接求出时，常常转化为求它的补角、余角或与它相等的角，进而求出这个角的度数．7．(2017·常州中考)如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD.若∠1＝60°，则∠2的度数是()A．100°B．110°C．120°D．130°8．如图，已知AB∥CD，∠C＝100°，且∠B∶∠D＝2∶3，求∠A的度数.29．如图，m∥n，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α，β，求α＋β的值．二、利用转化思想求图形周长或面积【方法点拨】当图形的周长或面积不能直接求出时，常常利用平移的性质把不规则图形的周长、面积转化为规则图形的周长、面积，或者是规则图形的周长、面积的和差形式．10．如图①，在一个长方形的草坪上有两条等宽且互相垂直的长方形小路，为求草坪面积，我们进行了如图②所示的平移变换，则草坪的面积为________m2.11．如图，直径为2cm的圆O1平移3cm到圆O2的位置，则图中阴影部分的面积为______cm2.3第11题图第12题图12．如图，直角三角形AOB的周长为100，在其内部有n个小直角三角形，则这n个小直角三角形的周长之和为________.13.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC 沿AB方向向右平移得到三角形DEF.若AE＝8cm，DB＝2cm.(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长；(2)求四边形AEFC的周长．参考答案与解析1．160°452．解：∵OE ⊥AB ，∴∠AOE ＝∠BOE ＝90°.∵∠COE ∶∠AOC ＝2∶5，设∠COE ＝2x ，则∠AOC ＝5x ，∠AOE ＝∠AOC －∠COE ＝3x ，∴3x ＝90°，解得x ＝30°，∴∠COE ＝60°，∠AOC ＝150°.∵OF 平分∠AOC ，∴∠COF ＝75°，∴∠DOF ＝180°－∠COF ＝105°.3．解：(1)∵BD 平分∠EBC ，∠DBC ＝30°，∴∠EBC ＝2∠DBC ＝60°.∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝2∠EBC ＝120°.∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠ABC ＝180°，∴∠A ＝60°.(2)存在∠DFB ＝∠DBF .设∠DBC ＝x °，则∠EBC ＝2x °，∠ABC ＝2∠EBC ＝4x °.∵7∠DBC －2∠ABF ＝180°，∴7x °－2∠ABF ＝180°，∴∠ABF ＝⎝⎛⎭⎫72x －90°，∴∠CBF ＝∠ABC －∠ABF ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋90°，∠DBF ＝∠CBF －∠DBC ＝⎝⎛⎭⎫90－12x °.∵AD ∥BC ，∴∠DFB ＋∠CBF ＝180°，∴∠DFB ＝⎝⎛⎭⎫90－12x °，∴∠DFB ＝∠DBF . 4．50°或130°5．解：∵OA ⊥OC ，∴∠AOC ＝90°.∵∠AOB ∶∠AOC ＝2∶3，∴∠AOB ＝60°.如图，∠AOB 的位置有两种：①当∠AOB 在∠AOC 内时，∠BOC ＝90°－60°＝30°；②当∠AOB 在∠AOC 外时，∠BOC ＝90°＋60°＝150°.综上所述，∠BOC 的度数为30°或150°.6．解：(1)如图①，∠ABC ＝∠DEF .理由如下：∵AB ∥EF ，∴∠1＝∠DEF .∵BC ∥DE ，∴∠1＝∠ABC .∴∠ABC ＝∠DEF .如图②，∠ABC ＋∠DEF ＝180°.理由如下：∵AB ∥EF ，∴∠1＋∠DEF ＝180°.∵BC ∥DE ，∴∠1＝∠ABC .∴∠ABC ＋∠DEF ＝180°.∴∠ABC 与∠DEF 相等或互补．(2)30°，30°或70°，110° 解析：设另一个角为x °，根据以上结论，得2x －30＝x 或2x －30＋x ＝180，解得x ＝30或x ＝70，故答案为30°，30°或70°，110°.7．C8．解：∵AB ∥CD ，∴∠C ＋∠B ＝180°，∠A ＋∠D ＝180°，∴∠B ＝180°－∠C ＝80°.∵∠B ∶∠D ＝2∶3，∴∠D ＝120°，∴∠A ＝180°－∠D ＝60°.9．解：如图，过点C 作CE ∥m .∵m ∥n ，∴CE ∥n ，∴∠1＝α，∠2＝β.∵∠1＋∠2＝90°，∴α＋β＝90°.10．1344 11.6612．100 解析：如图，过小直角三角形的直角顶点作AO ，BO 的平行线，则小直角三角形与AO 平行的边的长度和等于AO ，与BO 平行的边的长度和等于BO .因此小直角三角形的周长等于直角△AOB 的周长．故这n 个小直角三角形的周长为100.13．解：(1)∵三角形ABC 沿AB 方向向右平移得到三角形DEF ，∴AD ＝BE ＝CF ，EF ＝BC ＝3cm.∵AE ＝8cm ，DB ＝2cm ，∴AD ＝BE ＝CF ＝8－22＝3(cm)．(2)四边形AEFC 的周长为AE ＋EF ＋CF ＋AC ＝8＋3＋3＋4＝18(cm)．习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。

人教版七年级数学下册思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法

人教版七年级数学上册思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法——明确解题思想，体会便捷渠道◆类型一方程思想1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝1∶2，则∠AOE的度数为()A．180°B．160°C．140°D．120°第1题图第2题图2．(2017·无棣县期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠EOD＝4∶1，则∠AOF的度数为________．3．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠α，∠D，∠B的度数．4．(2017·启东市期末)如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC.(1)若∠DBC＝30°，求∠A的度数；(2)若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．◆类型二分类讨论思想5．若∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是() A．18°B．126°C．18°或126°D．以上都不对6．(2017·玄武区期末)在直线MN上取一点P，过点P作射线P A、PB.若P A⊥PB，当∠MP A ＝40°，则∠NPB的度数是________________．7．(2017·江干区一模)一副直角三角尺按如图①所示方式叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图②，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD(0°＜∠BAD＜180°)其他所有可能符合条件的度数为________________________________________________________________________．8．如图，已知直线l1∥l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD上的一个动点．当P在直线CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．◆类型三(转化思想)利用平移进行转化求图形的周长或面积9．如图，直角三角形ABC的周长为100，在其内部有6个小直角三角形，则6个小直角三角形的周长之和为________．第9题图10．(2017·惠山区期中)如图，直径为2cm的圆O1平移3cm到圆O2的位置，则图中阴影部分的面积为________cm2.第10题图11．(2017·嘉祥县期末)如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为________．12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC 沿AB方向向右平移得到三角形DEF.若AE＝8cm，DB＝2cm.(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长；(2)求四边形AEFC的周长．◆类型四从特殊到一般的思想13．(2017·蔡甸区月考)如图①，三条直线两两相交，且不共点，则图中同旁内角有________对；如图②，四条直线两两相交，任三条直线不经过同一点，则图中的同旁内角有________对．14．(2017·楚雄州期末)如图，已知AB∥CD，试解决下列问题：(1)∠1＋∠2＝________；(2)∠1＋∠2＋∠3＝________；(3)∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；(4)试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n ＝____________． 15．(2017·丛台区期末)如图，AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 两个角的平分线相交于点F .(1)如图①，若∠E ＝80°，求∠BFD 的度数；(2)如图②，∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，写出∠M 与∠E 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n ∠CDF ，设∠E ＝m °，直接用含有n ，m °的代数式表示∠M ＝________．参考答案与解析1．B 2.120°3．解：设∠α＝2x °，则∠D ＝3x °，∠B ＝4x °.∵FC ∥AB ∥DE ，∴∠2＋∠B ＝180°，∠1＋∠D ＝180°，∴∠2＝180°－∠B ＝180°－4x °，∠1＝180°－∠D ＝180°－3x °.又∵∠1＋∠2＋∠α＝180°，∴(180－3x )＋(180－4x )＋2x ＝180，解得x ＝36，∴∠α＝2x °＝72°，∠D ＝3x °＝108°，∠B ＝4x °＝144°.4．解：(1)∵BD 平分∠EBC ，∠DBC ＝30°，∴∠EBC ＝2∠DBC ＝60°.∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝2∠EBC ＝120°.∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠ABC ＝180°，∴∠A ＝60°.(2)存在∠DFB ＝∠DBF .设∠DBC ＝x °，则∠EBC ＝2x °，∠ABC ＝2∠EBC ＝4x °.∵7∠DBC －2∠ABF ＝180°，∴7x °－2∠ABF ＝180°，∴∠ABF ＝⎝⎛⎭⎫72x －90°，∴∠CBF ＝∠ABC －∠ABF ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋90°，∠DBF ＝∠CBF －∠DBC ＝⎝⎛⎭⎫90－12x °.∵AD ∥BC ，∴∠DFB ＋∠CBF ＝180°，∴∠DFB ＝⎝⎛⎭⎫90－12x °，∴∠DFB ＝∠DBF . 5．C 解析：∵∠α与∠β的两边分别平行，∴∠α与∠β相等或互补．设∠α＝x °，∵∠α比∠β的3倍少36°，∴若∠α与∠β相等，则x ＝3x －36，解得x ＝18.若∠α与∠β互补，则x ＝3(180－x )－36，解得x ＝126，∴∠α的度数是18°或126°.故选C.6．50°或130° 解析：分两种情况：(1)如图①，∵P A ⊥PB ，∠MP A ＝40°，∴∠NPB ＝180°－90°－40°＝50°；(2)如图②，∵P A ⊥PB ，∠MP A ＝40°，∴∠MPB ＝50°，∴∠NPB ＝180°－50°＝130°.综上所述，∠NPB 的度数是50°或130°.7．45°，60°，105°或135° 解析：分以下四种情况：(1)AC ∥DE ，如图①，此时点B 在AE 上，∴∠BAD ＝45°；(2)AB ∥DE ，如图②，∴∠EAB ＝∠E ＝90°，∴∠BAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝135°；(3)BC ∥AD ，如图③，∴∠BAD ＝∠B ＝60°；(4)BC ∥AE ，如图④，∴∠BAE ＝∠B ＝60°，∴∠BAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝105°.综上所述，∠BAD 其他所有可能符合条件的度数为45°，60°，105°，135°.8．解：分以下三种情况：(1)当点P 在线段CD 上运动时，如图①.过点P 向左作PE ∥l .∵l 1∥l 2，∴PE ∥l 2.∴∠APE ＝∠1，∠BPE ＝∠3，∴∠2＝∠APE ＋∠BPE ＝∠1＋∠3.(2)当点P 在l 1上方运动时，如图②，过点P 向左作PF ∥l 2.∵l 2∥l 1，∴PF ∥l 1.∴∠FPB ＝∠3，∠FP A ＝∠1，∴∠2＝∠FPB －∠FP A ＝∠3－∠1.(3)当点P 在l 2下方运动时，如图③，过点P 向左作PM ∥l 2.∵l 1∥l 2，∴PM ∥l 1，∴∠APM ＝∠1，∠BPM ＝∠3，∴∠2＝∠APM －∠BPM ＝∠1－∠3.9．100 10.6 11.24cm 212．解：(1)∵三角形ABC 沿AB 方向向右平移得到三角形DEF ，∴AD ＝BE ＝CF ，EF ＝BC ＝3cm.∵AE ＝8cm ，DB ＝2cm ，∴AD ＝BE ＝CF ＝8－22＝3(cm)．(2)四边形AEFC 的周长为AE ＋EF ＋CF ＋AC ＝8＋3＋3＋4＝18(cm)． 13．6 24 14．(1)180° (2)360° (3)540° 解析：过点E ，F 向右作EG ，FH 平行于AB .∵AB ∥CD ，∴AB ∥EG ∥FH ∥CD ，∴∠1＋∠AEG ＝180°，∠GEF ＋∠EFH ＝180°，∠HFC ＋∠4＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.(4)180°(n －1) 解析：易知有n 个角，需作(n －2)条辅助线，运用(n －1)次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n 个角的和是180°(n －1)．15．解：(1)如图，过点E 向左作EG ∥AB ，过点F 向右作FH ∥AB .∵AB ∥CD ，∴EG ∥AB ∥FH ∥CD ，∴∠ABF ＝∠BFH ，∠CDF ＝∠DFH ，∠ABE ＋∠BEG ＝180°，∠GED ＋∠CDE ＝180°，∴∠ABE ＋∠BEG ＋∠GED ＋∠CDE ＝360°.∵∠BEG ＋∠DEG ＝∠BED ＝80°，∴∠ABE ＋∠CDE ＝280°.∵∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于F ，∴∠ABF ＝12∠ABE ，∠CDF ＝12∠CDE ，∴∠ABF ＋∠CDF ＝12(∠ABE ＋∠CDE )＝140°，∴∠BFD ＝∠BFH ＋∠DFH ＝∠ABF ＋∠CDF ＝140°.(2)∵∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，∴∠ABF ＝3∠ABM ，∠CDF ＝3∠CDM .∵∠ABE 与∠CDE 两个角的平分线相交于点F ，∴∠ABE ＝6∠ABM ，∠CDE ＝6∠CDM ，由(1)知∠ABE ＋∠E ＋∠CDE ＝360°，∴6∠ABM ＋6∠CDM ＋∠E ＝360°.过点M 向右作MN ∥AB ，易证∠M ＝∠ABM ＋∠CDM ，∴6∠M ＋∠E ＝360°.(3)360°－m °2n解析：由(2)可得，2n ∠ABM ＋2n ∠CDM ＋∠E ＝360°，∠M ＝∠ABM ＋∠CDM ，∴∠M ＝360°－m °2n .故答案为360°－m °2n.习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。

【沪科版】初一七年级数学下册《思想方法专题：相交线、平行线与平移中的思想方法》专题试卷(附答案)

思想方法专题：相交线、平行线与平移中的思想方法——明确解题思想，体会便捷渠道◆类型一方程思想1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠EOD ＝4∶1，则∠AOF的度数为________．2．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠α，∠D，∠B的度数．3．如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC.(1)若∠DBC＝30°，求∠A的度数；(2)若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．◆类型二分类讨论思想4．在同一平面内，三条直线的交点个数是________．5．在直线MN上取一点P，过点P作射线PA，PB.若PA⊥PB，当∠MPA＝40°，则∠NPB 的度数是________________．6．已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，画出图形，并求∠BOC的度数．7．★如图，已知直线l1∥l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD上的一个动点．当P在直线CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．◆类型三(转化思想)利用平移进行转化求图形的周长或面积8．如图，直角三角形ABC的周长为100，在其内部有6个小直角三角形，则6个小直角三角形的周长之和为________．第8题图第9题图9．如图，直径为2cm的圆O1平移3cm到圆O2的位置，则图中阴影部分的面积为________cm2.10．如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为________．11．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC 沿AB方向向右平移得到三角形DEF.若AE＝8cm，DB＝2cm.(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长；(2)求四边形AEFC的周长．◆类型四从特殊到一般的思想12．如图①，三条直线两两相交，且不共点，则图中同旁内角有________对；如图②，四条直线两两相交，任三条直线不经过同一点，则图中的同旁内角有________对．13．如图，已知AB ∥CD ，试解决下列问题：(1)如图①，∠1＋∠2＝________；(2)如图②，∠1＋∠2＋∠3＝________；(3)如图③，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；(4)如图④，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n ＝____________． 14．★如图，AB ∥CD ，∠ABE 与∠CDE 两个角的平分线相交于点F.(1)如图①，若∠E ＝80°，求∠BFD 的度数；(2)如图②，∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，写出∠M 与∠E 之间的数量关系，并说明理由；(3)若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝n1∠CDF ，设∠E ＝m°，直接用含有n ，m°的代数式表示∠M ＝________．参考答案与解析1．120°2．解：设∠α＝2x °，则∠D ＝3x °，∠B ＝4x °.因为FC ∥AB ∥DE ，所以∠2＋∠B ＝180°，∠1＋∠D ＝180°，所以∠2＝180°－∠B ＝180°－4x °，∠1＝180°－∠D ＝180°－3x °.又因为∠1＋∠2＋∠α＝180°，所以(180－3x )＋(180－4x )＋2x ＝180，解得x ＝36，所以∠α＝2x °＝72°，∠D ＝3x °＝108°，∠B ＝4x °＝144°.3．解：(1)因为BD 平分∠EBC ，∠DBC ＝30°，所以∠EBC ＝2∠DBC ＝60°.因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABC ＝2∠EBC ＝120°.因为AD ∥BC ，所以∠A ＋∠ABC ＝180°，所以∠A ＝60°.(2)存在∠DFB ＝∠DBF .理由如下：设∠DBC ＝x °，则∠EBC ＝2x °，∠ABC ＝2∠EBC ＝4x °.因为7∠DBC －2∠ABF ＝180°，所以7x °－2∠ABF ＝180°，所以∠ABF ＝⎝⎛⎭⎫72x －90°，所以∠CBF ＝∠ABC －∠ABF ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋90°，∠DBF ＝∠CBF －∠DBC ＝⎝⎛⎭⎫90－12x °.因为AD ∥BC ，所以∠DFB ＋∠CBF ＝180°，所以∠DFB ＝⎝⎛⎭⎫90－12x °，所以∠DFB ＝∠DBF . 4．0或1或2或3 解析：如图，有四种情况：①三条直线互相平行；②只有两条直线平行；③三条直线互不平行(交于一点)；④三条直线互不平行(两两相交，不交于一点)．5．50°或130° 解析：分两种情况：(1)如图①，因为P A ⊥PB ，∠MP A ＝40°，所以∠NPB ＝180°－90°－40°＝50°；(2)如图②，因为P A ⊥PB ，∠MP A ＝40°，所以∠MPB ＝50°，所以∠NPB ＝180°－50°＝130°.综上所述，∠NPB 的度数是50°或130°.6. 解：因为OA ⊥OC ，所以∠AOC ＝90°.因为∠AOB ∶∠AOC ＝2∶3，所以∠AOB ＝60°.如图，∠AOB 的位置有两种：一种是在∠AOC 内，另一种是在∠AOC 外．①当在∠AOC 内时，∠BOC ＝90°－60°＝30°；②当在∠AOC 外时，∠BOC ＝90°＋60°＝150°.综上所述，∠BOC 的度数为30°或150°.7.解：分以下三种情况：(1)当点P 在线段CD 上运动时，如图①.过点P 向左作PE ∥l .因为l 1∥l 2，所以PE ∥l 2.所以∠APE ＝∠1，∠BPE ＝∠3，所以∠2＝∠APE ＋∠BPE ＝∠1＋∠3.(2)当点P 在l 1上方运动时，如图②，过点P 向左作PF ∥l 2.因为l 2∥l 1，所以PF ∥l 1.所以∠FPB ＝∠3，∠FP A ＝∠1，所以∠2＝∠FPB －∠FP A ＝∠3－∠1.(3)当点P 在l 2下方运动时，如图③，过点P 向左作PM ∥l 2.因为l 1∥l 2，所以PM ∥l 1，所以∠APM ＝∠1，∠BPM ＝∠3，所以∠2＝∠APM －∠BPM ＝∠1－∠3.8．100 9.6 10.24cm 211．解：(1)因为三角形ABC 沿AB 方向向右平移得到三角形DEF ，所以AD ＝BE ＝CF ，EF ＝BC ＝3cm.因为AE ＝8cm ，DB ＝2cm ，所以AD ＝BE ＝CF ＝8－22＝3(cm)．(2)四边形AEFC 的周长为AE ＋EF ＋CF ＋AC ＝8＋3＋3＋4＝18(cm)． 12．6 24 13．(1)180° (2)360° (3)540° 解析：过点E ，F 向右作EG ，FH 平行于AB .因为AB ∥CD ，所以AB ∥EG ∥FH ∥CD ，所以∠1＋∠AEG ＝180°，∠GEF ＋∠EFH ＝180°，∠HFC ＋∠4＝180°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.(4)180°(n －1) 解析：易知有n 个角，需作(n －2)条辅助线，运用(n －1)次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n 个角的和是180°(n －1)．14．解：(1)如图，过点E 向左作EG ∥AB ，过点F 向右作FH ∥AB .因为AB ∥CD ，所以EG ∥AB ∥FH ∥CD ，所以∠ABF ＝∠BFH ，∠CDF ＝∠DFH ，∠ABE ＋∠BEG ＝180°，∠GED ＋∠CDE ＝180°，所以∠ABE ＋∠BEG ＋∠GED ＋∠CDE ＝360°.因为∠BEG ＋∠DEG ＝∠BED ＝80°，所以∠ABE ＋∠CDE ＝280°.因为∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于F ，所以∠ABF ＝12∠ABE ，∠CDF ＝12∠CDE ，所以∠ABF ＋∠CDF ＝12(∠ABE ＋∠CDE )＝140°，所以∠BFD ＝∠BFH ＋∠DFH ＝∠ABF ＋∠CDF ＝140°.(2)6∠M ＋∠E ＝360°.理由如下：因为∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，所以∠ABF＝3∠ABM ，∠CDF ＝3∠CDM .因为∠ABE 与∠CDE 两个角的平分线相交于点F ，所以∠ABE＝6∠ABM ，∠CDE ＝6∠CDM ，由(1)知∠ABE ＋∠E ＋∠CDE ＝360°，所以6∠ABM ＋6∠CDM ＋∠E ＝360°.过点M 向右作MN ∥AB ，易证∠M ＝∠ABM ＋∠CDM ，所以6∠M ＋∠E ＝360°.(3)360°－m °2n解析：由(2)可得，2n ∠ABM ＋2n ∠CDM ＋∠E ＝360°，∠M ＝∠ABM ＋∠CDM ，所以∠M ＝360°－m °2n .故答案为360°－m °2n .。

七年级数学下册第五章相交线与平行线题型总结及解题方法(带答案)

七年级数学下册第五章相交线与平行线题型总结及解题方法单选题1、如图，四边形ABCO是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则∠BAD+∠DOC∠ADO的值为（）A．1B．12C．2D．无法确定答案：A分析：过点D作DE//AB交AO于点E，由平行的性质可知∠BAD=∠ADE,∠DOC=∠ODE，等量代换可得∠BAD+∠DOC∠ADO的值.解：如图，过点D作DE//AB交AO于点E，∵四边形ABCO是矩形∴AB//OC∵DE//AB∴AB//DE,DE//OC∴∠BAD=∠ADE,∠DOC=∠ODE∴∠BAD+∠DOC∠ADO=∠BAD+∠DOC∠ADE+∠ODE=∠BAD+∠DOC∠BAD+∠DOC=1故选：A.小提示：本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键.2、如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠2=35°，则∠1的度数是（）A．135°B．140°C．145°D．150°答案：C分析：根据邻补角的含义先求解∠3=145°,再利用平行线可得∠1=∠3=145°即可．解：如图，∵∠2=35°,∴∠3=180°−35°=145°,∵a∥b，∴∠1=∠3=145°,故选：C.小提示：本题考查的是邻补角的含义，平行线的性质，利用平行线的性质证明∠1=∠3是解本题的关键．3、如图，直线AB、CD相交于点O．若∠1+∠2=100°，则∠BOC的大小为（）A．50°B．100°C．130°D．150°答案：C分析：根据对顶角相等，以及∠1+∠2=100°，求得∠1=50°，根据邻补角即可求解．解：∵∠1+∠2=100°，∠1=∠2，∴∠1=50°，∴∠BOC=180°-∠1=180°-50°=130°，故选C．小提示：本题考查了对顶角相等，邻补角，掌握以上知识是解题的关键．4、如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是( )．A．PA B．PB C．PC D．PD答案：B根据垂线段最短得，能最快到达公路MN的小道是PB，故选：B.5、如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（）A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°答案：C分析：根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得．A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项不符合题意；B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项不符合题意；C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项符合题意；D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项不符合题意；故选C．小提示：本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义．6、下列命题中，是真命题的有（）①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④对顶角相等，邻补角互补．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A分析：根据平行线的性质及基本事实，对顶角及邻补角的性质进行判断．两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，故①是假命题；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题；对顶角相等，邻补角互补，故④是真命题．故选A．小提示：本题考查命题的真假判断，熟练掌握平行线的性质，对顶角及邻补角的性质是解题的关键．7、如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A′B′C′．若B′C=2cm，则BC′的长是（）A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm答案：C分析：据平移的性质可得BB′=CC′=1，列式计算即可得解．解：∵△ABC沿BC方向平移1cm得到△A′B′C′，∴BB′=CC′=1cm，∵B′C=2cm，∴BC′=BB′+B′C+CC′=1+2+1=4（cm）．故选：C．小提示：本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．8、下列命题是假命题的( )A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥cB．在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥cC．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥cD．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c答案：C分析：根据平行的判定方法对A、C、D进行判断；根据平行的性质和垂直的定义对B进行判断．A．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c，所以A选项为真命题；B．在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c，所以B选项为真命题；C．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以C选项为假命题；D．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，所以D选项为真命题．故选:C．小提示：本题考查了平行公理及平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键.9、如图，小明从A处出发沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿南偏东70°方向行走至C处，则∠ABC等于（）A．130°B．120°C．110°D．100°答案：C分析：根据方位角和平行线性质求出∠ABE，再求出∠EBC即可得出答案．解：如图：∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，∴∠DAB=40°，∠CBE=70°，∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，∴∠ABE=∠DAB=40°，∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=40°+70°=110°，故选：C．小提示：本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．10、对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a=3，b=2B．a=－3，b=2C．a=3，b=－1D．a=－1，b=3答案：B试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在B中，a2=9，b2=4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；在C中，a2=9，b2=1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在D中，a2=1，b2=9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D 选项中a、b的值不能说明命题为假命题；故选B．考点：命题与定理．填空题11、如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1=48°，那么∠2=_______度．答案：42．∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，即∠1+∠3=90°，∵∠1=48°，∴∠3=42°，∵a∥b，∴∠2=∠3=42°.故答案为42.点睛：本题关键利用平行线的性质解题.12、如图，若AB⊥BC，BC⊥CD，则直线AB与CD的位置关系是______．答案：AB∥CD∵AB⊥BC，BC⊥CD，∴∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，故答案为AB∥CD.13、如图，AB∠CD，若GE平分∠DGH，HE平分∠GHB，GF平分∠CGH，若∠CGH=70°，则∠EHB的度数是______，图中与∠DGE互余的角共有______个．答案： 35°##35度 5分析：由平行线的性质可得，∠CGH=∠GHB=70°，∠GFH=∠CGF，利用邻角的补角可得∠DGH=∠GHA= 110°，利用角平分线的性质可得∠EHB=∠GHE=35°，∠CGF=∠GFH=∠HGF=35°，∠DGE=∠HGE= 55°，进而可求得答案．解：∵AB//CD，∴∠CGH=∠GHB=70°，∠DGH=∠GHA，∠GFH=∠CGF∴∠DGH=∠GHA=180°−70°=110°，又∵HE平分∠GHB，∵GE平分∠DGH，HE平分∠GHB，GF平分∠CGH，∴∠EHB=∠GHE=12∠GHB=35°，∠CGF=∠GFH=∠HGF=12∠CGH=35°，∠DGE=∠HGE=12∠DGH=55°，∴∠DGE+∠BHE=90°，∠DGE+∠GHE=90°，∠DGE+∠CGF=90°，∠DGE+∠HGF=90°，∠DGE+∠GFH=90°，∴与∠DGE互余的角共有5个，所以答案是：35°，5．小提示：本题考查了平行线的性质、角平分线的性质以及互余的定义，熟练掌握角平分线的性质及互余的定义是解题的关键．14、如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为_____．答案：1分析：利用平移的性质得到BE＝CF，再用EC＝2BE＝2得到BE的长，从而得到CF的长．解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．∴BE＝CF，∵EC＝2BE＝2，∴BE＝1，∴CF＝1．故答案为1．小提示：本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．15、命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________.答案：如果a，b互为相反数，那么a+b=0分析：交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题.解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.所以答案是：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.小提示：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．解答题16、如图，已知AB∥DE，那么∠A+∠C+∠D的和是多少度？为什么？答案：∠A+∠C+∠D的和是360度，理由见解析．分析：如图（见解析），过点C作CF//AB，则CF//DE，先根据平行四边形的性质（两直线平行，同旁内角互补）得出∠A+∠FCA=180°,∠D+∠DCF=180°，再根据角的和差即可得．如图，过点C作CF//AB，则所求的问题变为∠A+∠ACD+∠D的和是多少度∴∠A+∠FCA=180°∵AB//DE∴CF//DE∴∠D+∠DCF=180°∴∠A+∠FCA+∠D+∠DCF=180°+180°=360°即∠A+∠ACD+∠D=360°．小提示：本题考查了平行线的性质、角的和差，熟记平行线的性质是解题关键．17、如图，钱塘江入海口某处河道两岸所在直线（PQ，MN）夹角为20°，在河道两岸安装探照灯B和A，若灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．设灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒．已知∠BAN＝50°．（1）当b＝2时，问灯B转动几秒后，射出的光束第一次经过灯A？（2）当a＝3，b＝6时，若两灯同时转动，在1分钟内（包括1分钟），问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若A、B两灯同时转动（a＞b），在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次，求a，b的值．答案：（1）15秒；（2）1609秒；（3）269，23．分析：（1）根据B 灯转动30度时第一次经过灯A ，列出方程即可得解；（2）根据内错角相等，两灯的光线平行，构建方程求解可得结果；（3）分两种情形，根据平行线的判定，构建方程解决问题即可．解：（1）设灯B 转动t 秒后，射出的光束第一次经过灯A ．由题意得：2t ＝30，解得：t ＝15，答：灯B 转动15秒后，射出的光束第一次经过灯A ．（2）设A 灯转动x 秒，两灯的光束互相平行．根据题意得：180﹣50﹣3x ＝6x ﹣30时，两灯的光束互相平行，解得：x ＝1609，答：A 灯转动1609秒，两灯的光束互相平行．（3）在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次45秒时第一次平行，由题意得：45a ﹣130＝30﹣45b ，90秒时第二次平行，由题意得：90a ﹣180﹣50＝90b ﹣30，解得：a ＝269，b ＝23 答：a ，b 的值分别为269，23．小提示：本题主要考查了平行线的判定以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：内错角相等，两直线平行．18、完成下面的证明：如图，BE 平分∠ABD ，DE 平分∠BDC ，且∠α+∠β＝90°，求证：AB ∠CD ．证明：∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（）∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝（）．∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（）∵∠α+∠β＝90°．（已知），∴∠ABD+∠BDC＝（）．∴AB∠CD（）答案：角平分线的定义；2∠β；角平分线的定义；等量代换；180°；等量代换，同旁内角互补两直线平行分析：首先根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠α，∠BDC=2∠β，根据等量代换可得∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)，进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．证明：∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β(角平分线的定义)．∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）∵∠α+∠β＝90°．（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换），∴AB∠CD（同旁内角互补两直线平行）．所以答案是：角平分线的定义；2∠β；角平分线的定义；等量代换；180°；等量代换，同旁内角互补两直线平行．小提示：此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．。

【精品】七年级数学下册第五章相交线与平行线学科素养思想方法含解析新版新人教版

中小学教学设计、习题、试卷第五章订交线与平行线学科修养 ?思想方法一、转变与化归思想【思想解读】转变思想是把一种待解决的问题经过某种转变，归类到已经解决的问题中去. 转变思想在解数学题时，所给条件常常不可以直策应用，此时需要将所给条件进行转变，在解题中常常用到，它包含未知向已知的转变，陌生向熟习的转变，复杂向简单的转变，抽象向详细的转变；数与形的转变等.【应用链接】在证明线的地点关系或相关角度计算时，常利用平行线的性质把没相关系的角转变为对顶角或邻补角之间的关系进行办理，反之把拥有对顶角或邻补角关系转变为在同一个“三线八角” 图形构造中进行办理 .【典例 1】(2016 ·金华中考 ) 如图，已知 AB∥ CD， BC∥ DE.若∠ A=20°，∠ C=120°，则∠ AED的度数是 ________.【自主解答】如图，延伸AE交 BC于点 F，由于 AB∥ CD，∠ C=120°，因此∠ B=60°，又由于BC∥ DE，因此∠ AED=∠ AFC=∠ B+∠A=60° +20° =80°.答案： 80°【变式训练】(2017 ·同安区期中) 如图，已知∠1+∠ 2=180°，∠ B=∠ 3，你能判断∠C与∠ AED的大小关系吗？并说明原因.【分析】∠ C 与∠ AED相等，原由于：∵∠ 1+∠ 2=180° ( 已知 ) ，∠1+∠ DFE=180° ( 邻补角定义 ) ，∴∠ 2=∠ DFE(同角的补角相等 ) ，∴ AB∥ EF(内错角相等，两直线平行 ) ，∴∠3=∠ ADE(两直线平行，内错角相等 ) ，又∠ B=∠3(已知 ) ，∴∠ B=∠ ADE(等量代换 ) ，∴DE∥ BC(同位角相等，两直线平行 ) ，∴∠ C=∠ AED(两直线平行，同位角相等 ).二、分类议论思想【思想解读】分类议论思想是一种常有的数学思想方法. 详细来说，就是把包含多种可能状况的问题，按照某一标准分红若干类，而后对每一类分别进行解决.【应用链接】在几何问题中，波及到图形之间的地点关系不准时，需要应用分状况议论问题的方法.【典例 2】如图， AD∥ BC，当点 P 在射线 OM上运动时 ( 点 P 与点 A， B， O三点不重合 ) ，∠ ADP=∠ α，∠BCP=∠ β，求∠ CPD与∠α，∠β之间有何数目关系？请说明原因 .【自主解答】分三种状况进行议论：①当点 P 在 A， B 两点之间运动时，∠CPD=∠ α+∠ β .原因以下：如图(1) ，过点 P 作 PE∥ AD交 CD于点 E.∵AD∥ BC，∴ AD∥ PE∥ BC，∴∠ α =∠ DPE，∠β=∠ CPE，∴∠ CPD=∠DPE+∠ CPE=∠ α +∠β .②当点 P 在 BA延伸线上时，∠CPD=∠ β - ∠ α .原因以下：如图(2) ，过点 P 作 PE∥ AD交 CD于点 E.同①可知∠α =∠ DPE，∠β =∠CPE，∴∠ CPD=∠β - ∠ α .③当点 P 在 AB延伸线上时，∠CPD=∠ α - ∠ β .原因以下：如图(3) ，过点 P 作 PE∥ AD交 CD于点 E.同②可知∠α =∠ DPE，∠β =∠CPE，∴∠ CPD=∠α - ∠ β .上，将图中的△COD绕点 O 按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第________秒时，边CD恰巧与边AB平行 .【分析】①两三角形在点O的同侧时，如图1，设 CD与 OB订交于点E，∵AB∥ CD，∴∠ CEO=∠B=40°，∵∠ C=60°，∠ COD=90°，∴∠ D=90°-60 ° =30°，∴∠ DOE=∠CEO-∠ D=40° -30 ° =10°，∴旋转角∠ AOD=∠ AOB+∠ DOE=90° +10° =100°.∵每秒旋转10°，∴时间为100°÷ 10° =10( 秒).②两三角形在点O的异侧时，如图2，延伸 BO与 CD订交于点E，∵AB∥ CD，∴∠ CEO=∠B=40°，∵∠ C=60°，∠ COD=90°，∴∠ D=90°-60 ° =30°，∴∠ DOE=∠CEO-∠ D=40° -30 ° =10°，∴旋转角为270° +10° =280°，∵每秒旋转10°，∴时间为280°÷ 10° =28( 秒) ，综上所述，在第10 或 28 秒时，边CD恰巧与边 AB平行 .答案： 10 或 28三、方程思想【思想解读】方程思想，是从问题的数目关系下手，运用数学语言将问题中的条件转变为数学模型( 方程、不等式、或方程与不等式的混淆组) ，将问题中的已知量和未知量之间的数目关系经过适合设元成立起方程 ( 组 ) ，而后经过解方程( 组) 或不等式 ( 组 ) 来使问题获解的思想方式.【应用链接】在应用垂直、角均分线或角度之间的比值进行角度的计算时，常用方程的思想，建立方程解决问题 .【典例 3】(2017 ·浦东新区期中 ) 如图，直线 AB，CD订交于点O，OE均分∠ BOC，FO⊥ CD于点 O，若∠ BOD∶∠EOB=2∶ 3，求∠ AOF的度数 .【自主解答】设∠BOD=2x，∠ EOB=3x，∵OE均分∠ BOC，∴∠ COE=∠EOB=3x，则 3x+3x+2x=180 °，解得： x=22.5 °，∴∠BOD=45°，∴∠AOC=∠BOD=45°.∵FO⊥ CD，∴∠ AOF=90° - ∠ AOC=90° -45 ° =45° .。

冀教版七年级数学下册第七章“相交线与平行线”中的思想方法专题训练含答案

冀教版七年级数学下册第七章“相交线与平行线”中的思想方法专题训练类型之一方程思想1．如图2－ZT－1，直线a，b相交，∠2＝3∠1，则∠3＝________°.图2－ZT－12．如图2－ZT－2，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE, ∠AOD∶∠BOE＝4∶1.求∠EOF的度数．图2－ZT－2类型之二转化思想3．如图2－ZT－3所示，已知∠BED＝∠B＋∠D.试说明AB与CD的位置关系．图2－ZT－34．如图2－ZT－4，AB∥EF，BC⊥CD于点C，∠ABC＝30°，∠DEF＝45°，求∠CDE的度数．图2－ZT－45．如图2－ZT－5，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DF与EF分别交BC于点M，N，∠FMN ＝∠C，∠FNM＝∠B.试说明：∠A＝∠F.图2－ZT－5类型之三分类思想6．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，求∠BOD的度数．7．已知直线a，b，c，a∥b，b∥c，且a与b之间的距离为5，b与c之间的距离为3，求a与c 之间的距离．类型之四建模思想8．[2018·广安]一大门栏杆的平面示意图如图2－ZT－6所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE.若∠BCD＝150°，则∠ABC＝______°.图2－ZT－6 图2－ZT－79．[2018·通辽]如图2－ZT－7，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是________(提示：∠ODE＝∠ADC)．10．如图2－ZT－8，桌面上的木条AB，OC固定，木条DE在桌面上绕点O旋转n°(0＜n＜90)后与AB平行，则n的大小是多少？图2－ZT－8类型之五从特殊到一般的思想11．如图2－ZT－9①，AB∥CD，EO和FO交于点O.(1)试猜想∠1，∠2，∠3的数量关系，并说明理由；(2)如图②，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E.若∠1＝30°，则∠B＝________；(3)如图③，AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，…，∠(2n－1)，∠(2n)(n为正整数)之间有什么关系？图2－ZT－912．我们知道相交的两条直线的交点个数是1；两条平行线的交点个数是0；平面内三条平行线的交点个数是0，经过同一点的三条直线的交点个数是1；依此类推……(1)请你画图说明平面内五条直线最多有几个交点．(2)平面内五条直线可以有4个交点吗？如果可以，请你画出符合条件的所有图形；如果不可以，请说明理由．(3)在平面内画出10条直线，使交点个数恰好是31.教师详解详析1．45 [解析] 设∠1＝x°，则∠2＝3x°.由图知∠1＋∠2＝180°，所以x°＋3x°＝180°，即x＝45.又∠1＝∠3，所以∠3＝45°.2．解：设∠AOD＝4x°，∠BOE＝x°.∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠BOE＝2x°.∵∠BOD＋∠AOD＝180°，∴2x＋4x＝180，解得x＝30，∴∠BOE＝∠DOE＝30°.∵∠DOE＋∠COE＝180°，∴∠COE＝150°.∵OF平分∠COE，∴∠EOF＝12∠COE＝75°.3．解：AB∥CD.理由如下：如图，过点E作∠BEF＝∠B，则AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．∵∠BED＝∠BEF＋∠FED＝∠B＋∠D，∴∠FED＝∠D，∴CD∥EF(内错角相等，两直线平行)，∴AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)．4．解：如图，过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB.∵AB∥EF，∴AB∥CM∥DN∥EF.∵AB∥CM，∴∠BCM＝∠ABC＝30°.∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠MCD＝∠BCD－∠BCM＝90°－30°＝60°.∵CM∥DN，∴∠1＝∠MCD＝60°.∵DN∥EF，∴∠2＝∠DEF＝45°，∴∠CDE＝∠1＋∠2＝60°＋45°＝105°.5．解：∵∠FMN＝∠C，∴DF∥AC，∴∠BDF＝∠A.又∵∠FNM＝∠B，∴AB∥EF，∴∠BDF＝∠F，∴∠A＝∠F.6．解：当OC，OD在直线AB的同侧时，如图①.∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°.∵∠AOC＝30°，∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝30°＋90°＝120°，∴∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－120°＝60°.当OC，OD在直线AB的异侧时，如图②.∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°.∵∠AOC＝30°，∴∠AOD＝90°－∠AOC＝60°，∴∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－60°＝120°.综上所述，∠BOD的度数为60°或120°.7．解：①当b在a，c之间时，a与c之间的距离为5＋3＝8；②当c在b，a之间时，a与c之间的距离为5－3＝2.所以a与c之间的距离是8或2.8.120 [解析] 如图，过点B作BF∥CD.∵CD∥AE，∴CD∥BF∥AE，∴∠1＋∠BCD＝180°，∠2＋∠BAE＝180°.∵∠BCD＝150°，∠BAE＝90°，∴∠1＝30°，∠2＝90°，∴∠ABC＝∠1＋∠2＝120°.9．75.5°[解析] ∵CD∥OB，∴∠ADC＝∠AOB.∵∠ODE＝∠ADC，∴∠ODE＝∠AOB＝37°45′，∴∠CDE＝180°－∠ODE－∠ADC＝104°30′.∵CD∥OB，∴∠DEB＝180°－∠CDE＝75°30′＝75.5°.10．解：要使DE∥AB，则∠DOC＝∠BCO＝70°.∵未转动时∠DOC＝100°，∴n°＝100°－70°＝30°，即n＝30.11．解：(1)猜想：∠2＝∠1＋∠3.理由：如图①，过点O作MN∥AB.∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD，∴∠1＝∠EON，∠3＝∠NOF，∴∠1＋∠3＝∠EON＋∠NOF＝∠EOF，即∠2＝∠1＋∠3.(2)120°(3)∠1＋∠3＋…＋∠(2n－1)＝∠2＋∠4＋…＋∠(2n)．理由：如图②，过点E作EF∥AB，则∠1＝∠α，过点G作GH∥EF，则∠θ＝∠β.∵AB∥CD，∴CD∥GH，∴∠γ＝∠4，∴∠1＋∠θ＋∠γ＝∠α＋∠β＋∠4，即∠1＋∠3＝∠2＋∠4，∴∠1＋∠3＋…＋∠(2n－1)＝∠2＋∠4＋…＋∠(2n)．12．解：(1)平面内五条直线的交点最多有10个，如图①.(2)五条直线可以有4个交点，如图②(a∥b∥c∥d)，图③(AD∥BC，AB∥DC)，图④(a∥b)．(3)答案不唯一，如图，a∥b∥c∥d∥e，f∥g∥h，l∥m.。

【初中数学】人教版七年级下册专题训练（二）“相交线与平行线”中的思想方法(练习题)

人教版七年级下册专题训练（二）“相交线与平行线”中的思想方法(147)1.如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于点O，AE∥OF，且∠A=30∘.(1)求∠DOF的度数；(2)试说明OD平分∠AOG．2.在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30∘时，求∠BOD的度数．3.已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有几条直线互相平行？4.如图，给出下列三个论断：①∠B+∠D=180∘；②AB∥CD；③BC∥DE．请你以其中两个论断作为已知条件，填入“已知”栏中，以剩余的一个论断作为结论，填入“结论”栏中，使之成为一道由已知可得到结论的题目，并说明理由．已知: ；结论：．理由：5.如图∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB=40∘，在射线OB上有一点P，从点P射出的一束光线经OA上的点Q反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB 的度数是（）A.60∘B.80∘C.100∘D.120∘6.如图，∠BCD=90∘，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A.∠α+∠β=180∘B.∠β−∠α=90∘C.∠β=3∠αD.∠α+∠β=90∘7.如图，已知直线l1∥l2，l3，l4和l1，l2分别交于点A，B，C，D，点P在直线l3或l4上且不与点A，B，C，D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3.(1)当点P在图①位置时，求证：∠3=∠1+∠2；(2)当点P在图②位置时，请写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给予证明；(3)当点P在图③位置时，请写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给予证明．8.如图，AB交CD于点O，OE⊥AB，∠BOC=2∠AOC，求∠EOD的度数．9.如图，DE∥BC，∠D∶∠DBC=2∶1，∠1=∠2，求∠E的度数．10.如图A,B,C三点在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠D．求证：BD∥CE．11.如图，BD⊥AC于点D，FG⊥AC于点G，ED∥BC．试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由．12.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，DF，EF分别交BC于点M，N，∠FMN=∠C，∠FNM=∠B．求证：∠A=∠F．参考答案1(1)【答案】∵AE∥OF，∠A=30∘, ∴∠BOF=∠A=30∘. ∵OF平分∠BOC，∴∠COF=∠BOF=30∘. ∴∠DOF=180∘−∠COF=180∘−30∘=150∘(2)【答案】∵OF⊥OG，∴∠FOG=90∘，∴∠DOG=∠DOF−∠FOG=150∘−90∘=60∘. ∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60∘，∴∠AOD=∠DOG，∴OD平分∠AOG2.【答案】:如图①所示,∵OC⊥OD，∴∠COD=90∘.∵∠AOC=30∘,∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90∘+30∘=120∘，∴∠BOD=180∘−∠AOD=180∘−120∘=60∘.如图②,∵OC⊥OD，∴∠COD=90∘.∵∠AOC=30∘,∴∠AOD=90∘−∠AOC=60∘,∴∠BOD=180∘−∠AOD=180∘−60∘=120∘. 综上所述，∠BOD的度数为60∘或120∘3.【答案】:若四条直线两两不相交，则此时四条直线相互平行，即没有交点；若四条直线中有三条直线相互平行，则此时恰好有三个交点；若四条直线中有两条直线相互平行，另两条直线不平行，则此时有三个交点或五个交点；若四条直线中有两条直线相互平行，另两条直线也平行，但它们之间相互不平行，则此时有四个交点；若四条直线中没有平行线，则此时的交点有一个或四个或六个．综上所述，这四条直线中最多有三条直线互相平行【解析】:若四条直线两两不相交，则此时四条直线相互平行，即没有交点；若四条直线中有三条直线相互平行，则此时恰好有三个交点；若四条直线中有两条直线相互平行，另两条直线不平行，则此时有三个交点或五个交点；若四条直线中有两条直线相互平行，另两条直线也平行，但它们之间相互不平行，则此时有四个交点；若四条直线中没有平行线，则此时的交点有一个或四个或六个．综上所述，这四条直线中最多有三条直线互相平行4.【答案】:认真观察图形并分析三个论断，由平行线的判定和性质，可得符合题意的有3种情况，即①②→③；①③→②；②③→①．选择其中一种即可，如①②→③．理由：∵AB∥CD(已知)，∴∠B=∠C(两直线平行，内错角相等)．又∵∠B+∠D=180∘(已知)，∴∠C+∠D=180∘，∴BC∥DE(同旁内角互补，两直线平行)【解析】:认真观察图形并分析三个论断，由平行线的判定和性质，可得符合题意的有3种情况，即①②→③；①③→②；②③→①．选择其中一种即可，如①②→③．理由：∵AB∥CD(已知)，∴∠B=∠C(两直线平行，内错角相等)．又∵∠B+∠D=180∘(已知)，∴∠C+∠D=180∘，∴BC∥DE(同旁内角互补，两直线平行)5.【答案】:B【解析】:∵OB∥QR，∠AOB=40∘，∴∠AQR=40∘.又∵OA为平面反光镜，∴∠OQP=∠AQR=40∘，∴∠PQR=100∘.又∵OB∥QR，∴∠QPB=80∘.故选 B6.【答案】:B【解析】:如图，过点C作CF∥AB，则∠BCF=∠α.∵∠BCD=90∘，∴∠FCD=90∘−∠α.∵AB∥DE，∴CF∥DE．∴∠FCD+∠β=180∘.∴90∘−∠α＋∠β=180∘,∴∠β−∠α=90∘.故选 B7(1)【答案】证明:如图①,过点P作PQ∥l1，∵l1∥l2，∴PQ∥l1∥l2，∴∠1=∠QPE，∠2=∠QPF．∵∠3=∠QPE+∠QPF，∴∠3=∠1+∠2.(2)【答案】关系：∠3=∠2−∠1.证明：如图②,过点P作PQ∥l1，∵l1∥l2，∴PQ∥l1∥l2，∴∠1=∠QPE，∠2=∠QPF．∵∠3=∠QPF−∠QPE，∴∠3=∠2−∠1(3)【答案】关系：∠3=360∘−∠1−∠2.证明：如图③,过点P作PQ∥l1，∵l1∥l2，∴PQ∥l1∥l2，∴∠4+∠1=180∘，∠2+∠5=180∘.∴∠1+∠2+∠3=360∘.∴∠3=360∘−∠1−∠28.【答案】:设∠AOC的度数为x，∠BOC的度数为2x，根据题意，得x+2x=180∘，解得x=60∘,∴∠AOC=60∘，∴∠BOD=∠AOC=60∘.∵OE⊥AB，∴∠BOE=90∘，∴∠EOD=∠BOE−∠BOD=90∘−60∘=30∘【解析】:设∠AOC的度数为x，∠BOC的度数为2x，根据题意，得x+2x=180∘，解得x=60∘,∴∠AOC=60∘，∴∠BOD=∠AOC=60∘.∵OE⊥AB，∴∠BOE=90∘，∴∠EOD=∠BOE−∠BOD=90∘−60∘=30∘9.【答案】:设∠1的度数为x．∵∠1=∠2，∴∠2=x,∴∠DBC=∠1+∠2=2x．∵∠D∶∠DBC=2∶1，∴∠D=2×2x=4x．∵DE∥BC，∴∠D+∠DBC=180∘，即2x+4x=180∘，解得x=30∘，∴∠1=30∘.∵DE∥BC，∴∠E=∠1=30∘【解析】:设∠1的度数为x．∵∠1=∠2，∴∠2=x,∴∠DBC=∠1+∠2=2x．∵∠D∶∠DBC=2∶1，∴∠D=2×2x=4x．∵DE∥BC，∴∠D+∠DBC=180∘，即2x+4x=180∘，解得x=30∘，∴∠1=30∘.∵DE∥BC，∴∠E=∠1=30∘10.【答案】:∵∠1=∠2,∴AD∥BE(内错角相等，两直线平行)，∴∠D=∠DBE(两直线平行，内错角相等)．∵∠3=∠D，∴∠3=∠DBE(等量代换)，∴BD∥CE(内错角相等，两直线平行)【解析】:∵∠1=∠2,∴AD∥BE(内错角相等，两直线平行)，∴∠D=∠DBE(两直线平行，内错角相等)．∵∠3=∠D，∴∠3=∠DBE(等量代换)，∴BD∥CE(内错角相等，两直线平行)11.【答案】:∠1=∠2.理由如下:∵BD⊥AC，FG⊥AC,∴∠BDC=∠FGC=90∘,∴BD∥FG，∴∠2=∠DBC．∵ED∥BC，∴∠1=∠DBC，∴∠1=∠2【解析】:∠1=∠2.理由如下:∵BD⊥AC，FG⊥AC,∴∠BDC=∠FGC=90∘,∴BD∥FG，∴∠2=∠DBC．∵ED∥BC，∴∠1=∠DBC，∴∠1=∠212.【答案】:∵∠FMN=∠C, ∴DF∥AC，∴∠BDF=∠A．又∵∠FNM=∠B，∴AB∥EF，∴∠BDF=∠F，∴∠A=∠F【解析】:∵∠FMN=∠C, ∴DF∥AC，∴∠BDF=∠A．又∵∠FNM=∠B，∴AB∥EF，∴∠BDF=∠F，∴∠A=∠F。

相交线与平行线(考题猜想,应用思想方法解相交线与平行线问题)解析版-7下数学期末考点大串讲(人教版)

专题1-2应用思想方法解相交线与平行线问题的九种技巧题型平行线与相交线这一章是初一下学期的重点内容，在这一章中涉及不少数学思想方法，比如方程思想、整体思想、分类讨论思想等等。

这些思想方法不仅在小题中能用到，在解答题中也很常见，特别是在压轴题中，可能会将多种方法结合起来一起使用。

题型技巧1：基本图形（添加辅助线）法【方法点拨】当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第三条直线，如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

【例题1】．（2022春•林州市期末）如图，//∠=︒，则α、β和γ的关系是()CAB EF，90A ．βαγ=+B ．180αβγ++=︒C ．90αβγ+-=︒D ．180βγα+-=︒【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．【解答】解：延长DC 交AB 与G ，延长CD 交EF 于H ．在直角BGC ∆中，190α∠=︒-；EHD ∆中，2βγ∠=-，//AB EF ，12∴∠=∠，90αβγ∴︒-=-，即90αβγ+-=︒．故选：C ．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．【变式1】．（2023春•长葛市期末）如图，//AB CD ，MF NF ⊥于F ，MF 交AB 于点E ，NF 交CD 于点G ．若1135∠=︒，2∠=︒．【分析】延长MF 交CD 于点H ，根据垂直定义可得90GFH ∠=︒，再利用三角形的外角性质可得45FHG ∠=︒，然后利用平行线的性质可得245FHG ∠=∠=︒，即可解答．【解答】解：延长MF 交CD 于点H ，MF NF ⊥ ，90GFH ∴∠=︒，1∠ 是FGH ∆的一个外角，1135∠=︒，145FHG GFH ∴∠=∠-∠=︒，//AB CD ，245FHG ∴∠=∠=︒，故答案为：45．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，AB ED ∥，13ABF ABC ∠=∠，13EDF CDE ∠=∠，若90BCD ∠=︒，则F ∠的度数为．【答案】90︒/90度【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到270ABC CDE ∠+∠=︒，由条件推出90ABF EDF ∠+∠=︒，由三角形外角的性质即可求解．过C 作CK AB ∥，延长BF 交DE 于L ，得到CK ED ，推出360ABC CDE BCD ∠+∠+∠=︒，得到270ABC CDE ∠+∠=︒，因此1()903ABF EDF ABC CDE ∠+∠=∠+∠=︒，由三角形外角的性质即可求解．【详解】解：过C 作CK AB ∥，延长BF 交DE 于L ，，AB DE，∴CK ED∠+∴∠+∠=︒，DCKABC BCK180∴∠+∠+∠+∠ABC BCK DCK CDE【变式3】（22-23八年级上·浙江·开学考试）如图，直线MN分别与直线AB和CD交于点E，F，且满足∠1+∠2＝180°．(1)试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由．(2)作∠AEF的平分线EG交CD于点G，过点G作GH⊥EG交MN于点H．若∠DGH＝40°，求∠1的度数．∥，理由见解析【答案】(1)AB CD(2)∠1＝80°∥；【分析】（1）利用邻补角的定义及已知得出∠1＝∠CFE，即可判定AB CD（2）由GH⊥EG，可得∠EGF＝50°，再由平行线的性质和角平分线的性质可得∠1的度数．∥，理由如下：【详解】（1）解：AB CD∵∠2+∠CFE＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠CFE，∥；∴AB CD（2）∵GH⊥EG，∠DGH＝40°，∴∠EGF＝50°，∥，∵AB CD∴∠AEG＝∠EGF＝50°，∵EG平分∠AEF，∴∠AEF＝2∠AEG＝100°．∴∠1＝80°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．熟记平行线的判定与性质及注意“数形结合”数学思想的运用是解题的基础．题型技巧2：分离图形法【方法点拨】在复杂图形中辨认“三线八角”比较困难,可先将图形进行分离,即将图形中与所需角、线无关的线遮挡起来,然后根据“三线八角”的基本图形进行辨认和确定【例题2】（22-23七年级下·山东聊城·期中）如图，三角形ABC的边BC在直线MD上，直线HE平行于MD ，，则图中共有内错角的对数为．分别交AB，AC于点G F【答案】10对【分析】本题考查内错角，关键是掌握内错角的定义．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可得到答案．【详解】解：内错角有BGH ∠和CBG ∠，BGF ∠和MBG ∠，EFC ∠和BCF ∠，ACD ∠与CFH ∠，A ∠和AGH ∠，A ∠和AFE ∠，AFG ∠和BGF ∠，AGF ∠和CFG ∠，A ∠和ACD ∠，A ∠和ABM ∠，∴图中共有内错角的对数为10对．故答案为：10对．【变式1】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图所示的八个角中，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对．【答案】344【分析】本题主要考查了三线八角，同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析可得答案．【详解】解：同位角有1∠与7∠，2∠与8∠，4∠与6∠，共3对，内错角：3∠与4∠，1∠与5∠，2∠与6∠，4∠与8∠，共4对；同旁内角：1∠与6∠，2∠与5∠，2∠与4∠，4∠与5∠，共4对；故答案为：3；4；4．【变式2】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，图中内错角有对．【答案】5【分析】本题主要考查了内错角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，据此求解即可．【详解】解：AMN ∠与DNM ∠，PMN ∠与QNM ∠，BMN ∠与CNM ∠，AMN ∠与QNM ∠，PMN ∠与DNM ∠都是内错角，∴图中内错角有5对，故答案为：5．【变式3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，请结合图形找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角．【答案】见解析【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，即可得到答案．同位角：分别在两条直张的同一侧，并且都在第三条直线的同一旁，同位角类似于角度的平行平移得到的．内错角：在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两旁，类似于z 字形的顶点．同旁内角：在两条直线之间，并且都在第三条直线的同一旁．【详解】解：当直线AB ，BE 被AC 所截时，内错角有：BAC ∠与ACE ∠，BCA ∠与FAC ∠；同旁内角有：BAC ∠与BCA ∠，FAC ∠与ACE ∠．当直线AD ，BE 被AC 所截时，内错角有：ACB ∠与CAD ∠；同旁内角有：DAC ∠与ACE ∠．当直线AD ，BE 被BF 所截时，同位角有：FAD ∠与B ∠；同旁内角有：DAB ∠与B ∠．当直线AC ，BE 被AB 所截时，同位角有：B ∠与FAC ∠；同旁内角有：B ∠与BAC ∠．当直线AB ，AC 被BE 所截时，同位角有：B ∠与ACE ∠；同旁内角有：B ∠与ACB ∠．【点睛】本题考查同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握它们的定义是解答本题的关键．题型技巧3：平移法【方法点拨】在看不出几何图形面积的计算方法时，通过把图形的某一部分向某一方向平行移动-定的距离，使图形重新组合成可以看出计算方法的图形，从而计算出图形面积的解题方法叫做平移法。