人教版高中数学选修4-5练习：第三讲3.3排序不等式 Word版含解析
人教版高中数学选修4-5《3.3排序不等式》
三、 解决 问题
OAi=ai , a1<a2<••• < an ,
Bn
OBj=bj , b1<b2< ••• < bn
B
Bi
B2 B1 O A1 A2 Ai An A
例1.有10人各拿一只水桶去接水, 设水龙头注满第 i(i=1, 2,… …, 10)个人的水桶需要ti分, 假定这些ti各不 相同, 问只有一个水龙头时, 应如何安排10人的顺序, 使他们等候的总时间最少？这个最小时间等于多少？
（P 45 3． ）课堂练习 a1a2 a2a3 a3a1 设 a1，a2，a3 为正数，求证： ＋ ＋ ≥a1＋a2＋a3. a3 a1 a2 证明：不妨设 0<a1≤a2≤a3，于是
a1a2≤a1a3≤a2a3， 1 1 1 ≤ ≤ ， a3 a2 a1 由排序不等式：顺序积的和≥乱序积的和，得 a1a2 a3a1 a2a3 1 1 1 ＋ ＋ ≥ · a1a2＋ · a1a3＋ · a2a3 a3 a2 a1 a1 a3 a2 ＝a2＋a1＋a3. aa aa aa 即 1 2＋ 2 3＋ 3 1≥a1＋a2＋a3. a3 a1 a2
28 32 最小值是_____. 最大值是_____,
对应关系
（1,2,3） （4,5,6） （1,2,3） （4,6,5） （1,2,3） （5,4,6） （1,2,3） （5,6,4） （1,2,3） （6,4,5） （1,2,3） （6,5,4）
2019/1/24
和
32 31 31 29 29 28
c 如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情 况只能是数组{ci}由小到大排序的情况，即 S≤S2. 同样可以证明，最小和数是反序积的和，即S1≤S.
人教版高中数学选修4-5教材用书第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式 Word版含答案
三排序不等式．顺序和、乱序和、反序和为这两＋…＋＋称，的任一排列，…，，是，…，，，为两组实数≤≤…≤，≤≤…≤设反简称(为这两个实数组的反序积之和＋…＋－＋称，)顺序和简称(个实数组的顺序积之和．)乱序和简称(为这两个实数组的乱序积之和＋…＋＋称，)序和．排序不等式(排序原理)定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设≤≤…≤，≤≤…≤为两组实数，，，…，)反序和等于顺序和(等号成立，＋…＋＋≤＋…＋＋≤＋…＋－＋则，的任一排列，…，，是⇔＝＝…＝或＝＝…＝.顺序和．≤乱序和≤反序和排序原理可简记作：分析题目中已明确≥≥，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．∵≥>，∴≤. 又>，从而≥. 同理≥，从而≥≥.又由于顺序和不小于乱序和，故可得 ＋＋≥＋＋ ＝＋＋ ≥＋＋＝＋＋ ＝＋＋.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．．已知<α<β<γ<，求证：αβ＋βγ＋γα>( α＋β＋γ)．证明：∵<α<β<γ<，且＝在为增函数，＝在为减函数，∴< α< β< γ，α> β> γ>.∴αβ＋βγ＋γα> αα＋β· β＋γγ＝( α＋β＋γ)．．设≥，求证：＋＋＋…＋≥(＋).证明：∵≥，∴≤≤≤…≤.由排序原理，得＋＋＋…＋≥·＋·－＋…＋－·＋·，即＋＋＋…＋≥(＋).①又因为，，…，为，，，…，的一个排列，由排序原理，得·＋·＋…＋－·＋·≥·＋·－＋…＋－·＋·，得＋＋…＋－＋≥(＋).②将①②相加，得＋＋＋…＋≥(＋).可构造△的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明．不妨设≤≤，于是≤≤.由排序不等式，得＋＋≥＋＋，＋＋≥＋＋，＋＋≥＋＋.相加，得(＋＋)≥(＋＋)(＋＋)＝π(＋＋)，得≥.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．．设，，…，为正数组，，…，的某一排列，求证：＋＋…＋≥.证明：不妨设<≤≤…≤，则≥≥…≥.因为，，…，是，，…，的一个排列，由排序原理，得。
高中数学 3.3排序不等式 新人教A版选修4-5
t2，…，t10}，t1<t2<…<t10.Fra bibliotek编辑课件
首先我们来证明m＝5，若不然，即m>5，我们让在第
一水龙头打水的第一人到第二个水龙头的第一位去，
则总的花费时间变为
T′＝(m－1)p2＋…＋pm＋(11－m)p1＋(10－m)q1＋…＋
q10－m.
栏
所以T－T′＝(2m－11)p1>0，即当m>5时，我们让第一
栏
根据排序原理，知
目 链
接
ab2×1b＋ba2×1a≥ab2×1a＋ba2×b1，
即ba2＋ba2≥ab＋ba.
编辑课件
设 a1，a2，…，an 是 1，2，…，n 的一个排列，求证：12＋23＋…
＋n－n 1≤aa12＋aa23＋…＋aan－n1.
分析：构造出数组，利用排序原理证明．
栏
目
证明：设
1．设 a，b，c 都是正数，求证：bac＋abc＋acb≥a＋b＋c.
证明：由题意不妨设 a≥b≥c＞0，
栏
∴ab≥ac≥bc，1c≥1b≥a1.
目 链
接
由排序原理，知
ab×1c＋ac×b1＋bc×a1≥ab×b1＋ac×1a＋bc×1c＝a＋c＋b.
编辑课件
应用题
有十个人各拿一只水桶去打水，设水龙头灌满第i
第三讲 柯西不等式与排序不 等式
3．3 排序不等式
编辑课件
栏 目 链 接
编辑课件
不等式证明
设 a，b 都是正数，求证：
栏 目
ba2＋ba2≥ba＋ba.
链 接
分析：观察不等式找出数组，并比较大小，并用排序原理证明．
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高中数学第三讲三排序不等式学案含解析新人教A版选修4_5
三排序不等式考纲定位重难突破1.了解排序不等式的数学思想和背景．2.了解排序不等式的结构与基本原理．3.理解排序不等式的简单应用.重点：排序不等式的结构与基本原理.难点：排序不等式的简单应用.授课提示：对应学生用书第32页[自主梳理]一、顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…a n b n为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为反序和．二、排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．[双基自测]1．已知a，b，c∈R＋，则a5＋b5＋c5与a3b2＋b3c2＋c3a2的大小关系是()A．a5＋b5＋c5>a3b2＋b3c2＋c3a2B．a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2C．a5＋b5＋c5<a3b2＋b3c2＋c3a2D．a5＋b5＋c5≤a3b2＋b3c2＋c3a2解析：取两组数a3，b3，c3和a2，b2，c2，由排序不等式，得a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2.答案：B2．设两组数1,2,3,4和4,5,6,7的顺序和为A，反序和为B，则A＝________，B＝________.解析：A＝1×4＋2×5＋3×6＋4×7＝4＋10＋18＋28＝60.B＝1×7＋2×6＋3×5＋4×4＝7＋12＋15＋16＝50.答案：60503．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s ，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________ s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：41授课提示：对应学生用书第32页探究一 利用排序不等式证明不等式[例1] 设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .[证明] 由题意不妨设a ≥b ≥c >0，由不等式的单调性，知ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a .由排序不等式，知 ab ×1c ＋ac ×1b ＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c，即所证不等式bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c 成立．1．利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和．利用排序不等式证明即可．2．若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序．那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等关系来解题．1．设a ，b ，c 为正数，求证：a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.证明：不妨设a ≥b ≥c >0，则a 12≥b 12≥c 12， 1bc ≥1ac ≥1ab>0， ∴由顺序和≥乱序和，得a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ac ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a .①又∵a 11≥b 11≥c 11，1c ≥1b ≥1a ，∴由乱序和≥反序和，得a 11b ＋b 11c ＋c 11a ≥a 11a ＋b 11b ＋c 11c ＝a 10＋b 10＋c 10，②由①②两式得：a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.探究二 利用排序不等式求最值[例2] 设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值．[解析] 不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b ，由排序不等式得，ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b 上述两式相加得： 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3， 即ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时， ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 取最小值32.利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和及反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可．一般最值是顺序和或反序和．2．设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值．解析：令S ＝1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )，则S ＝(abc )2a 3(b ＋c )＋(abc )2b 3(a ＋c )＋(abc )2c 3(a ＋b )＝bc a (b ＋c )·bc ＋ac b (a ＋c )·ac ＋abc (a ＋b )·ab .由已知可得：1a (b ＋c )≥1b (a ＋c )≥1c (a ＋b )，ab ≤ac ≤bc .∴S ≥bc a (b ＋c )·ac ＋ac b (a ＋c )·ab ＋abc (a ＋b )·bc＝ca (b ＋c )＋a b (a ＋c )＋bc (a ＋b ).又S ≥bc a (b ＋c )·ab ＋ac b (a ＋c )·bc ＋abc (a ＋b )·ac＝ba (b ＋c )＋c b (a ＋c )＋a c (a ＋b )，两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3.∴S ≥32，即1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值为32.探究三 利用排序不等式解决实际问题[例3] 若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？[解析] 设t 1，t 2，t 3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t 1＋2t 2＋t 3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．利用排序不等式解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造排序不等式的模型．3．某座大楼共有n 层，在每层有一个办公室，每个办公室的人员步行上下楼，他们的速度分别为v 1，v 2，…，v n (他们各不相同)，为了能使得办公室的人员上下楼梯所用的时间总和最小，应该如何安排？(假设每两层楼的楼梯长都一样)解析：设两层楼间的楼梯长为s ，则第一层需要走的路程为s ，第二层需要走的路程为2s ，…，第n 层需要走的路程为ns .不妨设v ′1>v ′2>…>v ′n 为v 1，v 2，…，v n 从大到小的排列，显然1v ′1<1v ′2<…<1v ′n ，由排序不等式，可得ns 1v ′1＋(n －1)s 1v ′2＋…＋s 1v ′n的和最小，所以将速度快的放在高层，速度慢的放在低层，可使上下楼的时间最短．在运用排序不等式时不能准确找到相应有序数组致误[典例] 一般地，对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，几何平均数G n ＝na 1a 2…a n ，算术平均数A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，利用排序不等式可以判断G n ，A n 的大小关系为________．[解析] 令b i ＝a iG n (i ＝1,2，…，n )，则b 1b 2…b n ＝1，故可取x 1≥x 2≥…≥x n >0，使得b 1＝x 1x 2，b 2＝x 2x 3，…，b n －1＝x n －1x n ，b n ＝x nx 1.由排序不等式有：b 1＋b 2＋…＋b n ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1≥x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n＝n ，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时取等号，所以a 1G n ＋a 2G n ＋…＋a nG n ≥n ，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥G n ，即A n ≥G n . [答案] A n ≥G n[规律探究] (1)利用排序不等式的关键是正确地寻找两组有序实数组，构造的恰当是正确解题的前提，如本例中构造的两组数，恰好能够解决反序和为n ，使得问题得以解决．(2)利用排序不等式求解完成后，一定要说明等号成立的条件，若取不到等号也应该说明原因，使得解题更加清晰和准确．(3)运用排序不等式的解题步骤是①构造两组有序数组使之满足排序不等式的条件；②运用排序不等式得到不等关系；③找出等号成立的条件并以此得出证明的结论.[随堂训练] 对应学生用书第34页1．设正实数a 1，a 2，a 3的任一排列为a ′1，a ′2，a ′3，则a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：设a 1≥a 2≥a 3>0，则1a 3≥1a 2≥1a 1>0，由排列不等式可知a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3≥a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＝3. 当且仅当a ′1＝a 1，a ′2＝a 2，a ′3＝a 3时等号成立． 答案：A2．设a 1，a 2，a 3为正数，E ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2，F ＝a 1＋a 2＋a 3，则E ，F 的大小关系是( ) A ．E <F B ．E ≥F C ．E ＝FD ．E ≤F解析：不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，于是1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2.由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2＝a 3＋a 1＋a 2，即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. ∴E ≥F . 答案：B3．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，且1a >1b ，x >y ，则x x ＋a ________yy ＋b (填“>”或“<”)．解析：∵1a >1b ，a >0，b >0，∴b >a >0，又x >y >0，∵bx >ay ， ∴bx －ay >0， 又x ＋a >0，y ＋b >0，∴x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0， 即xx ＋a >y y ＋b . 答案：>。
选修4-5 3.3排序不等式
a b c 3
.
证明：不妨设a b c 0，则 lg a lg b lg c， 由排序不等式知: a lg a b lg b c lg c b lg a c lg b a lg c，
a lg a b lg b c lg c c lg a a lg b b lg c，
以上两式相加，两边再加上a lg a b lg b c lg c， 3 a lg a b lg b c lg c a b c lg a lg b lg c ，
a b c lg abc . lg a b c 3
a b c
典例分析
例2 设a1，a2，…，an是n个互不相等的正整 数，求证：
1 1 ... 1 a a 2 a 3 ... a n . 1 1 2 2 2 2 3 n 2 3 n
证明：设b1，b2，…，bn是a1，a2，… ， an的一个排 列，且有 b1<b2<…<bn 因为b1，b2，…，bn是互不相等的正整数， 所以b1≥1，b2≥2，…，bn≥n.
2. 已 知 a，，是 正 数 ， 用 排 序 不 等 式 证 明 : b c 2( a b c ) a ( b c ) b ( a c ) c ( a b ).
3 3 3 2 2 2
3. 设a1， 2， 3为正数，求证 : a a a1a2 a a2
4.设 a 1 ， 2 ， ， n为 正 数 ， 试 分 别 用 柯 西 不 等 式 a ... a 与排序不等式证明： a a a a ... a 1 a 2 ... a n . a2 a3 an a1
2019-2020学年人教版高中数学选修4-5教材用书：第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式 Word版含答案
三排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋a n b n为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：b3c3＋c3a3＋a3b3≥a＋b＋c.分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．∵a≥b>0，∴1a ≤1b.又c>0，从而1bc ≥1 ca.同理1ca≥1ab，从而1bc≥1ca≥1ab.又由于顺序和不小于乱序和，故可得a5 b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3＝b2c3＋c2a3＋a2b3⎝⎛⎭⎪⎫∵a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3≥c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin β·cos β＋sin γcos γ＝12(sin2α＋sin 2β＋sin 2γ)．2．设x ≥1，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n. 证明：∵x ≥1，∴1≤x ≤x 2≤…≤x n.由排序原理，得12＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n.①又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n的一个排列， 由排序原理，得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，得x ＋x 3＋…＋x2n －1＋x n≥(n ＋1)x n.②将①②相加，得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n.在△ABC 中，试证：3≤a ＋b ＋c.可构造△ABC 的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明． 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ≥aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a1c1＋a2c2＋…＋ancn ≥n .证明：不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a1≥1a2≥…≥1an. 因为1c1，1c2，…，1cn 是1a1，1a2，…，1an 的一个排列，由排序原理，得a 1·1a1＋a 2·1a2＋…＋a n ·1an ≤a 1·1c1＋a 2·1c2＋…＋a n ·1cn ，即a1c1＋a2c2＋…＋an cn≥n .4．设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列， 求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a1a2＋a2a3＋…＋an －1an.证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c1>1c2>…>1cn －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a1a2＋a2a3＋…＋an －1an ≥b1c1＋b2c2＋…＋bn －1cn －1≥12＋23＋…＋n －1n . ∴原不等式成立．课时跟踪检测(十一)1．有一有序数组，其顺序和为A ，反序和为B ，乱序和为C ，则它们的大小关系为( ) A ．A ≥B ≥C B ．A ≥C ≥B C ．A ≤B ≤CD ．A ≤C ≤B解析：选B 由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A ≥C ≥B .2．若A ＝x 21＋x 2＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：选C 序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n } 的一个排列．由排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 2＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ， 则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ＝R＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2. 4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________元．( )A ．76B ．20C ．84D ．96解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28. 答案：32 286．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s 、4 s 、3 s 、7 s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：417．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．解析：不妨设a ≥b >0，则A ≥B >0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB≥aB＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )． 答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b ) 8．设a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c ≤a4＋b4＋c4abc .证明：由题意不妨设a ≥b ≥c >0.由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，ab ≥ac ≥bc . 根据排序原理，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 3c ＋b 3a ＋c 3b .① 又由不等式的性质，知a 3≥b 3≥c 3，且a ≥b ≥c .再根据排序不等式，得a 3c ＋b 3a ＋c 3b ≤a 4＋b 4＋c 4.②由①②及不等式的传递性，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 4＋b 4＋c 4.两边同除以abc 得证原不等式成立．9．设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值．解：不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b .由排序不等式，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b， 以上两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32， 即当且仅当a ＝b ＝c 时， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 的最小值为32.10．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x2＋y22z ＋y2＋z22x ＋z2＋x22y. 证明：由于不等式关于x ，y ，z 对称， 不妨设0<x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x ，由排序原理：反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y， x 2·1x＋y 2·1y＋z 2·1z≤x 2·1y＋y 2·1z＋z 2·1x，将上面两式相加，得2(x ＋y ＋z )≤x2＋y2z ＋y2＋z2x ＋z2＋x2y ，于是x ＋y ＋z ≤x2＋y22z ＋y2＋z22x ＋z2＋x22y.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验(陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤3＋4－t＋t＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t)max ＝4.1122n n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，形式简洁、美观，对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证：1a2＋1b2＋1c2＋1d2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.由柯西不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＋1c2＋1d2⎝ ⎛ 1b2＋1c2＋⎭⎪⎫1d2＋1a2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da 2， 于是1a2＋1b2＋1c2＋1d2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d 1a⇔b a ＝c b ＝d c ＝ad ⇔a ＝b ＝c ＝d .又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立． 即1a2＋1b2＋1c2＋1d2>1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简便．设a ，b ，c 为实数，求证：a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.由对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab .由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a12ab ＋b12bc ＋c12ca ＝a11b ＋b11c ＋c11a .① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c，再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11a ＋b11b ＋c11c ≤a11b ＋b11c ＋c11a .② 由①②得a12bc ＋b12ca ＋c12ab≥a 10＋b 10＋c 10.理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．已知5a 2＋3b 2＝158，求a 2＋2ab ＋b 2的最大值．解：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ≥⎝⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，当且仅当5a ＝3b ，即a ＝38，b ＝58时，等号成立．∴815×(5a 2＋3b 2)≥a 2＋2ab ＋b 2. ∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1. ∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1.已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2nx1的最小值．不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x1≥1x2≥…≥1xn>0，且0<x 21≤x 2≤…≤x 2n . ∵1x2，1x3，…，1xn ，1x1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1xn 的一个排列， 根据排序不等式，得F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2nx1≥x 21·1x1＋x 2·1x2＋…＋x 2n ·1xn＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＝Pn 时，等号成立．即F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2n x1的最小值为P .。
人教新课标版数学高二人教A选修4-5试题 3-3排序不等式
第三节 排序不等式解答题1．若a 1≤a 2≤…≤a n ，而b 1≥b 2≥…≥b n 或a 1≥a 2≥…≥a n 而b 1≤b 2≤…≤b n ，证明：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n n ≤⎝⎛⎭⎫a 1＋a 2＋…＋a n n ·⎝⎛⎭⎫b 1＋b 2＋…＋b n n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时等号成立．证明 不妨设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≥b 2≥…≥b n .则由排序原理得：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b na 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b 1a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 1b 3＋a 2b 4＋…＋a n －1b 1＋a n b 2……a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 1b n ＋a 2b 1＋…＋a n b n －1.将上述n 个式子相加，得：n (a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≤(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )上式两边除以n 2，得：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n n≤⎝⎛⎭⎫a 1＋a 2＋…＋a n n ⎝⎛⎭⎫b 1＋b 2＋…＋b n n .等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时成立．2．设a 1，a 2，…，a n 为实数，证明：a 1＋a 2＋…＋a n n ≤ a 21＋a 22＋…＋a 2n n. 证明 不妨设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n由排序原理得a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＋…＋a n a n .a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a 1a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a 3＋a 2a 4＋a 3a 5＋…＋a n a 2a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a n ＋a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n a n －1以上n 个式子两边相加n (a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n)2 两边同除以n 2得a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n n ≥⎝⎛⎭⎫a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 2所以 a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n n ≥a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 结论得证． 3．设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 证明 不妨设a 1>a 2>…>a n >0，则有a 21>a 22>…>a 2n也有1a 1<1a 2<…<1a n ， 由排序原理：乱序和≥反序和，得：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a 1≥a 21a 1＋a 22a 2＋…＋a 2n a n＝a 1＋a 2＋…＋a n . 4．设A 、B 、C 表示△ABC 的三个内角的弧度数，a ，b ，c 表示其对边，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3. 证明 法一 不妨设A >B >C ，则有a >b >c由排序原理：顺序和≥乱序和∴aA ＋bB ＋cC ≥aB ＋bC ＋cAaA ＋bB ＋cC ≥aC ＋bA ＋cBaA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC上述三式相加得3(aA ＋bB ＋cC )≥(A ＋B ＋C )(a ＋b ＋c )＝π(a ＋b ＋c )∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3. 法二 不妨设A >B >C ，则有a >b >c ，由排序不等式aA ＋bB ＋cC 3≥A ＋B ＋C 3·a ＋b ＋c 3， 即aA ＋bB ＋cC ≥π3(a ＋b ＋c )， ∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3. 5．设a ，b ，c 为正数，利用排序不等式证明a 3＋b 3＋c 3≥3abc .证明 不妨设a ≥b ≥c >0，∴a 2≥b 2≥c 2，由排序原理：顺序和≥反序和，得：a 3＋b 3≥a 2b ＋b 2a ，b 3＋c 3≥b 2c ＋c 2bc 3＋a 3≥a 2c ＋c 2a三式相加得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)．又a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca .所以2(a 3＋b 3＋c 3)≥6abc ，∴a 3＋b 3＋c 3≥3abc .当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．6．设a ，b ，c 是正实数，求证：a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c 3. 证明 不妨设a ≥b ≥c >0，则lg a ≥lg b ≥lg c .据排序不等式有：a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg ca lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg ca lg a ＋b lg b ＋c lg c ＝a lg a ＋b lg b ＋c lg c上述三式相加得：3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c )即lg(a a b b c c )≥a ＋b ＋c 3lg(abc ) 故a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c 3. 7．设x i ，y i (i ＝1,2，…，n )是实数，且x 1≥x 2≥…≥x n ，y 1≥y 2≥…≥y n ，而z 1，z 2，…，z n是y 1，y 2，…，y n 的一个排列．求证：∑n i ＝1 (x i －y i )2≥∑n i ＝1(x i －z i )2. 证明 要证∑n i ＝1 (x i －y i )2≥∑n i ＝1(x i －z i )2 只需证∑n i ＝1y 2i －2∑n i ＝1x i y i ≥∑n i ＝1z 2i －2∑n i ＝1x i z i . 因为∑ni ＝1y 2i ＝∑n i ＝1z 2i ，∴只需证∑n i ＝1x i z i ≤∑n i ＝1x i y i . 而上式左边为乱序和，右边为顺序和．由排序不等式得此不等式成立．故不等式∑n i ＝1 (x i －y i )2≥∑n i ＝1 (x i －z i )2成立．8．已知a ，b ，c 为正数，且两两不等，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．证明 不妨设a >b >c >0.则a 2>b 2>c 2，a ＋b >a ＋c >b ＋c ，∴a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋c )＋c 2(b ＋c )>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )，即a 3＋c 3＋a 2b ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2b>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )，又∵a2>b2>c2，a>b>c，∴a2b＋b2a<a3＋b3，b2c＋c2b<b3＋c3.即a2b＋b2a＋b2c＋c2b<a3＋2b3＋c3，所以有2(a3＋b3＋c3)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．。
数学人教A版选修4-5课后导练：3.3排序不等式含解析
课后导练基础达标1若A=x 12+x 22+…+x n 2,B=x 1x 2+x 2x 3+…+x n-1x n +x n x 1, 其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系是（ ） A 。
A 〉B B 。
A<B C.A≥B D。
A≤B解析:依序列｛x n }的各项都是正数,不妨设x 1≤x 2≤…≤x n ,则x 2,x 3，…，x n ，x 1为序列｛x n }的一个排列。
依排序原理,得x 1x 1+x 2x 2+…+x n x n ≥x 1x 2+x 2x 3+…+x n x 1,即x 12+x 22+…+x n 2≥x 1x 2+x 2x 3+…+x n x 1.答案：C2设a,b 都是正数,P=（ba )2+（ab )2,Q=ba +ab ，则（ )A.P≥Q B。
P≤Q C 。
P 〉Q D.P 〈Q 解析： ∵a,b都是正数,∴ab 、b a 22与b1，a1顺序相同。
∴ba 2·b1+ab 2·a1≥ba 2·a1+ab 2·b1。
∴（ba ）2+（ab )2≥ba +ab ，即P≥Q. 答案：A3设a ，b ，c∈R ，则cab bca abc ++____________a+b+c 。
解析：设a≥b≥c≥0,则bc≤ca≤ab,a1≤b1≤c1，∴cab bca abc ++≥ac·c1+aab +bbc=a+b+c 。
答案:≥4若△ABC 的三内角为A ，B,C,三边为a,b,c ，则cb a cC bB aA ++++___________3π.解析：设a≤b≤c,A≤B≤C。
作序列a,a,a ，b,b,b,c ，c,c ，A ，A ，A,B,B ，B ，C ，C ，C. aA+aA+aA+bB+bB+bB+cC+cC+cC≥(aA+aB+aC）+(bA+bB+bC)+(cA+cB+cC)，∴3（aA+bB+cC ）≥(a+b+c)(A+B+C）,即cb a cC bB aA ++++≥3C B A ++=3π。
【人教版】高中数学选修4-5第3讲柯西不等式与排序不等式课堂练习
所
以
1 a3＋b3＋abc
＋
1 b3＋c3＋abc
＋
1 c3＋a3＋abc
≤
1 ab（a＋b）＋abc
＋
bc（b＋1c）＋abc＋ac（a＋1c）＋abc＝a＋1b＋ca1b＋b1c＋c1a＝a＋1b＋c·c＋aab＋c b
＝a1bc.
故原不等式得证．
B 级 能力提升
1．若 0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且 a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最 大的是( )
＋c c≤3.
所以 a b＋b c＋c a≤3. 答案：C 5．已知 a，b，c∈(0，＋∞)，则 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负 情况是( )
A．大于零
B．大于等于零
C．小于零
D．小于等于零
解析：设 a≥b≥c＞0，所以 a3≥b3≥c3，
根据排序原理，得 a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知 ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2， 所以 a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 所以 a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 即 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 答案：B 二、填空题 6．设 a1，a2，…，an 为实数，b1，b2，…，bn 是 a1，a2，…，an 的任一排列， 则乘积 a1b1＋a2b2＋…＋anbn 不小于________． 答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana1 7．已知 a，b，c 都是正数，则b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥________． 解析：设 a≥b≥c＞0，所以b＋1 c≥c＋1 a≥a＋1 b， 由排序原理，知b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋b c＋c＋c a＋b＋a a，① b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋c c＋c＋a a＋a＋c b，② ①＋②得b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32. 答案：23 8．设 a，b，c＞0，则bac＋cba＋acb________a＋b＋c. 解析：不妨设 a≥b≥c＞0， 则1a≤1b≤1c，bc≤ac≤ab. 由顺序和≥乱序和，得 acb＋abc＋bac≥b1·bc＋1c·ac＋1a·ab＝c＋a＋b，
(部编本人教版)最新版高中数学 第三章 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式试题 新人教A版选修4-5【必
三排序不等式课后篇巩固探究A组1.顺序和S、反序和S'、乱序和S″的大小关系是()A.S≤S'≤S″B.S≥S'≥S″C.S≥S″≥S'D.S≤S″≤S'.2.设x,y,z均为正数,P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则P与Q的大小关系是()A.P≥QB.P>QC.P≤QD.P<Qx≥y≥z>0,则x2≥y2≥z2,则由排序不等式可得顺序和为P,乱序和为Q,则P≥Q.3.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是()A.ax+cy+bzB.bx+ay+czC.bx+cy+azD.ax+by+cza<b<c,x<y<z,由排序不等式得反序和≤乱序和≤顺序和,得顺序和ax+by+cz最大.故选D.4.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中最大的是()A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1,a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)>0,∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.且a1b1+a2b2>>a1b2+a2b1.又1=a1+a2≥2,∴a1a2≤.∵0<a1<a2,∴a1a2<.同理b1b2<,∴a1a2+b1b2<.∴a1b1+a2b2>>a1a2+b1b2,∴a1b1+a2b2最大.5.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)()A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.因为ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.6.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是.2+22+32+42=30,最小值为反序和1×4+2×3+3×2+4×1=20.1+2a2+3a3+4a4的最大值为顺序和17.如图所示,在矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,若阴影部分的面积为S1,空白部分的面积之和为S2,则S1与S2的大小关系是.,S1=a1b1+a2b2,而S2=a1b2+a2b1,根据顺序和≥反序和,得S1≥S2.S21≥8.若a,b,c为正数,求证a3+b3+c3≥3abc.a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0,由排序不等式,得a3+b3≥a2b+ab2,c3+b3≥c2b+cb2,a3+c3≥a2c+ac2,三式相加,得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).因为a2+b2≥2ab,c2+b2≥2cb,a2+c2≥2ac,所以2(a3+b3+c3)≥6abc,即a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).9.设a,b均为正数,求证.a≥b>0,则a2≥b2>0,>0,由不等式性质,得>0.则由排序不等式,可得,即.10.设a,b,c都是正数,求证a+b+c≤.a≥b≥c>0.由不等式的性质,知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.根据排序原理,得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.①又由不等式的性质,知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.再根据排序原理,得a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.②由①②及不等式的传递性,得a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.两边同除以abc,得a+b+c≤(当且仅当a=b=c时,等号成立).B组1.设a,b,c>0,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是()A.M≥0B.M≤0C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关D.不能确定a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4,则a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥a·c4+b·a4+c·b4.又a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc,∴a4b+b4c+c4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca≥a3bc+b3ac+c3ab.∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.∴M≥0.2.若0<α<β<γ<,F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ),则()A.F>0B.F≥0C.F≤0D.F<00<α<β<γ<,所以0<sin α<sin β<sin γ,0<cos γ<cos β<cos α,由排序不等式可知,sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α>sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ, 而F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ)=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ)>0.3.导学号26394057车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min、8 min、6 min、10 min、5 min,每台机床停产1 min损失5元,经合理安排损失最少为()A.420元B.400元C.450元D.570元1台到第5台的修复时间依次为t1,t2,t3,t4,t5,若按照从第1台到第5台的顺序修复,则修复第一台需要t1分钟,则停产总时间为5t1,修复第2台需要t2分钟,则停产总时间为4t2,…,修复第5台需要t5分钟,则停产总时间为t5,因此修复5台机床一共需要停产的时间为5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值.由排序不等式可知,当t1<t2<t3<t4<t5时,5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值,最小值为5×4+4×5+3×6+2×8+10=84分钟,故损失最小为84×5=420元.4.导学号26394058在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边依次为a,b,c,试比较的大小关系.a≥b≥c,则有A≥B≥C.由排序不等式,可得aA+bB+cC≥aA+bC+cB,aA+bB+cC≥aB+bA+cC,aA+bB+cC≥aC+bB+cA.将以上三个式子两边分别相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)π.所以.5.导学号26394059设x>0,求证1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)x n.x≥1时,因为1≤x≤x2≤…≤x n,所以由排序原理得1·1+x·x+x2·x2+…+x n·x n≥1·x n+x·x n-1+…+·x+x n·1,即1+x2+x4+…+≥(n+1)x n.①又x,x2,…,x n,1为序列1,x,x2,…,x n的一个排列,所以1·x+x·x2+…+x n-1x n+x n·1≥1·x n+x·x n-1+…+x n-1·x+x n·1,因此x+x3+…++x n≥(n+1)x n, ②①+②,得1+x+x2+…+≥(2n+1)x n.③当0<x<1时,1>x≥x2≥…≥x n,①②仍成立,故③也成立.综上,原不等式成立.。
20202021学年数学选修45作业第3讲第3课时排序不等式含解析.docx
第三讲第3课附、课后提能训练巩固提升，助拿高分A,基础巩固1,有三个房间需要粉刷，粉刷方素要求:每个房间只用~种颜色，且三个房间颜色各不相同、巳知三个房间的粉涮面积r单住：m2J分别为x, y, z JL x < y < z,三种颜色涂料的粉刷费用（单住：元/if）分别为。
，by c JL a<b < Co在不同的方秦中，放低的总费用r单住：元）是（）A、ax + by + CZ B . QZ + by + exC. ay+ bz + ex D、ay + bx + cz【答秦】B 【解析】根据排序原理:反序和W乱序和玄顺序和，又B选项为反序和,A选项为顺序和,C, D选项为乱序和，所以B选项的费用最低'2.在锐角三角形ABC中，a <b<c f设P = acos C + Z?cos B + ccos A, Q = acos B + bcos C + ccos A,则尸与。
的大小关系是C ）A. P>QB. P> QC. P<QD. P<Q【答察】B 【解析】在锐角三角形ABC中，因为a<b<c f所以0<A<B<C〈错误!。
所以cos A> cos B>cosC,顺序和为尸=QCOS C + Z?cos B+ ccos A,乱序和为Q = acos B+ Z?cos C + ccos A.由排序原理，知顺序和〉乱序和，所以P〉03.巳知b,c € R+ ,则a3 + b3 + c3与a2』+哓+ c?。
的大小关系是r )A、次 + 胪 + C3>€Z2Z? + Z?2c + c2aB,次 + 胪 + C3><22/? + /?2c + c2aC.a3 + b3 + c3 < c^b + b2c + c2aD.a3 + b3 +(?<c^b + Z?2c + c2a【答秦】A 【解析】不妨设0<a<b<c,贝!j 6Z2</?2<C2,则顺序和=疽+胪+疽,乱序和=c^b + Z?2c + c2a.由排序不等式知:顺序和兰乱序和，所以次 + 胪 + C3>€Z2Z?+b2c + c2a o4 .设XI, X2, ... , Xn是互不相同的正整教，则m =错误！ +错误！ + ... +寻的最小值是r J/ LB.错误!A、1C. 1+错误！ + ...+错误！D. 1+错误！ +错误！ + ...+错误!【答秦】C 【解析】设…力〃是XI, X2,...,X/7 的~ 个排列，且满足0 <bi<b2<...<b n,因为。
高中数学人教A版选修4-5优化练习：第三讲 三 排序不等式 Word版含解析
[课时作业][A组基础巩固]1．若A＝x21＋x22＋…＋x2n，B＝x1x2＋x2x3＋…＋x n－1x n＋x n x1其中x1x2，…，x n都是正数，则A与B的大小关系为()A．A>B B．A<BC．A≥B D．A≤B解析：依序列{x n}的各项都是正数，不妨设0<x1≤x2≤…≤x n则x2，x3，…，x n，x1为序列{x n}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋x n x n≥x1x2＋x2x3＋…＋x n x1，即x21＋x22＋…＋x2n≥x1x2＋x2x3＋…＋x n x1.答案：C2．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件和2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则花钱最少和最多的值分别为() A．20,23 B．19,25C．21,23 D．19,24解析：最多为5×3＋4×2＋2×1＝25，最少为5×1＋4×2＋2×3＝19，应选B.答案：B3．锐角三角形中，设P＝a＋b＋c2，Q＝a cos C＋b cos B＋c cos A，则P、Q的关系为()A．P≥Q B．P＝Q C．P≤Q D．不能确定解析：不妨设a≥b≥c，则A≥B≥C，∴cos C≥cos B≥cos A，a cos C＋b cos B＋c cos A为顺序和，由排序不等式定理，它不小于一切乱序和，所以一定不小于P，∴Q≥P.答案：C4．(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋161的取值范围是( )A ．(21，＋∞)B ．(61，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(3n －2，＋∞)解析：令A ＝(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2＝21×54×87×…×3n －13n －2，B ＝32×65×98×…×3n 3n －1，C ＝43×76×109×…×3n ＋13n .由于21>32>43，54>65>76，87>98>109，…，3n －13n －2>3n 3n －1>3n ＋13n >0，所以A >B >C >0.所以A 3>A ·B ·C . 由题意知3n －2＝61，所以n ＝21. 又因为A ·B ·C ＝3n ＋1＝64.所以A >4. 答案：C5．已知a 1＝2，a 2＝7，a 3＝8，a 4＝9，a 5＝12，b 1＝3，b 2＝4，b 3＝6，b 4＝10，b 5＝11，将b i (i ＝1,2,3,4,5)重新排列记为c 1，c 2，c 3，c 4，c 5，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5的最大值是( ) A ．324 B ．314 C ．304D ．212解析：两组数据的顺序和为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a 5b 5＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304.而a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5为这两组数的乱序和， ∴由排序不等式可知，a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5≤304，当且仅当c i ＝b i (i ＝1,2,3,4,5)时，a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5有最大值，最大值为304. 答案：C6．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28. 答案：32 287．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________钱．解析：设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)． 答案：76元8．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ， 则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________． 解析：不妨设a ≥b >0， 则A ≥B >0，由排序不等式⎭⎬⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )． 答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b )9．设a ，b ，c 都是正实数，求证：1a ＋1b ＋1c ≤a 8＋b 8＋c 8a 3b 3c 3. 证明：设a ≥b ≥c >0， 则1c ≥1b ≥1a ，则1b 3c 3≥1c 3a 3≥1a 3b 3. 由不等式的性质，知a 5≥b 5≥c 5. 根据排序不等式，知a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥a 5c 3a 3＋b 5a 3b 3＋c 5b 3c 3＝a 2c 3＋b 2a 3＋c 2b 3. 又由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3. 由排序不等式，得a 2c 3＋b 2a 3＋c 2b 3≥a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝1a ＋1b ＋1c .由不等式的传递性，知1a ＋1b ＋1c ≤a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3＝a 8＋b 8＋c 8a 3b 3c 3. ∴原不等式成立．10．设0<a 1≤a 2≤…≤a n,0<b 1≤b 2≤…≤b n ，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的一个排列．求证：11b a ·22b a ·…·n b n a ≥11c a ·22c a ·…·n c n a ≥1n b a ·12n b a ·…·.证明：∵0<a 1≤a 2≤…≤a n ，∴ln a 1≤ln a 2≤…≤ln a n . 又∵0<b 1≤b 2≤…≤b n ，故由排序不等式可知b 1ln a 1＋b 2ln a 2＋…＋b n ln a n ≥c 1ln a 1＋c 2ln a 2＋…＋c n ln a n ≥b n ln a 1＋b n －1ln a 2＋…＋b 1ln a n .[B 组 能力提升]1．已知a ，b ，c 为正数，P ＝b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c ，Q ＝abc ，则P 、Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ≥Q C ．P <QD ．P ≤Q解析：不妨设a ≥b ≥c >0， 则0<1a ≤1b ≤1c ，0<bc ≤ca ≤ab ， 由排序原理：顺序和≥乱序和，得 bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b ， 即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c ，∵a ，b ，c 为正数，∴abc >0，a ＋b ＋c >0，于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c ≥abc ，即P ≥Q .答案：B2．已知a ，b ，c ∈R ＋，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是( ) A ．大于零 B ．大于等于零 C ．小于零D ．小于等于零解析：不妨设a ≥b ≥c >0，所以a 3≥b 3≥c 3，根据排序原理， 得a 3·a ＋b 3×b ＋c 3×c ≥a 3b ＋b 3c ＋c 3a .又知ab ≥ac ≥bc ，a 2≥b 2≥c 2，所以a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab . ∴a 4＋b 4＋c 4≥a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab . 即a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )≥0. 答案：B3．设a 1，a 2，a 3，a 4是1,2,3,4的一个排序，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的取值范围是________．解析：a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的最大值为12＋22＋32＋42＝30. 最小值为1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝20. ∴a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的取值范围是[20,30]． 答案：[20,30]4．已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c 为正数，则1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b的最小值是________． 解析：不妨设a ≥b ≥c ， ∴1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. ∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b①a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b②①＋②得：a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b≥32， ∴1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ≥92. 答案：925．设a 1，a 2，a 3，a 4∈R ＋且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝6，求a 21a 2＋a 22a 3＋a 23a 4＋a 24a 1的最小值．解析：不妨设a 1≥a 2≥a 3≥a 4>0，则1a 4≥1a 3≥1a 2≥1a 1，a 21≥a 22≥a 23≥a 24，∴a 21a 2＋a 22a 3＋a 23a 4＋a 24a 1是数组“1a 1，1a 2，1a 3，1a 4”和“a 24，a 23，a 22，a 21”的乱序和，而它们的反序和为1a 1·a 21＋1a 2·a 22＋1a 3·a 23＋1a 4·a 24＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝6.∴由排序不等式知当a 1＝a 2＝a 3＝a 4＝32时，a 21a 2＋a 22a 3＋a 23a 4＋a 24a 1有最小值，最小值为6.6．设a ，b ，c 为某一个三角形的三条边，a ≥b ≥c ，求证： (1)c (a ＋b －c )≥b (c ＋a －b )≥a (b ＋c －a )； (2)a 2(b ＋c －a )＋b 2(c ＋a －b )＋c 2(a ＋b －c )≤3abc . 证明：(1)用比较法： c (a ＋b －c )－b (c ＋a －b ) ＝ac ＋bc －c 2－bc －ab ＋b 2 ＝b 2－c 2＋ac －ab ＝(b ＋c )(b －c )－a (b －c ) ＝(b ＋c －a )(b －c )． 因为b ≥c ，b ＋c －a >0，于是c (a ＋b －c )－b (c ＋a －b )≥0， 即c (a ＋b －c )≥b (c ＋a －b )． ① 同理可证b (c ＋a －b )≥a (b ＋c －a )．②综合①②，证毕． (2)由题设及(1)知，a ≥b ≥c ，a (b ＋c －a )≤b (c ＋a －b )≤c (a ＋b －c )， 于是由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a 2(b ＋c －a )＋b 2(c ＋a －b )＋c 2(a ＋b －c ) ≤ab (b ＋c －a )＋bc (c ＋a －b )＋ca (a ＋b －c ) ＝3abc ＋ab (b －a )＋bc (c －b )＋ca (a －c )．①再一次由反序和≤乱序和，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ac(b＋c－a)＋ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c)＝3abc＋ac(c－a)＋ab(a－b)＋bc(b－c)．②将①和②相加再除以2，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.。
人教版高中数学选修4-5：第三讲3.3排序不等式含解析
第三讲柯西不等式与排序不等式3.3 排序不等式A级基础巩固一、选择题1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为( )A．3 B．6C．9 D．12解析：a1≥a2≥a3＞0，则1a3≥1a2≥1a1＞0，由乱序和不小于反序和知，所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′≥a1a1＋a2a2＋a3a3＝3，所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为3，故选A.答案：A2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )A．420 元B．400 元C．450 元D．570 元解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．答案：A3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是( )A．M≥N B．M＝NC．M＜N D．M＞N解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4，又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N.答案：A4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则a b＋b c＋c a的最大值是( ) A．1 B．2C．3 D.3 3解析：设a≥b≥c≥0，所以 a ≥ b ≥ c.由排序不等式可得a b＋b c＋c a≤a a＋b b＋c c.而(a a＋b b＋c c)2≤(a a)2＋(b b)2＋(c c)2](1＋1＋1)＝9，即a a＋b b＋c c≤3.所以a b＋b c＋c a≤3.答案：C5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案：B二、填空题6．设a1，a2，…，a n为实数，b1，b2，…，b n是a1，a2，…，a n的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋a n b n不小于________．答案：a1a n＋a2a n－1＋…＋a n a17．已知a，b，c都是正数，则ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥________．。
人教A版选修4-5 3.3 排序不等式 作业
三排序不等式课后篇巩固探究A组1.顺序和S、反序和S'、乱序和S″的大小关系是()A.S≤S'≤S″B.S≥S'≥S″C.S≥S″≥S'D.S≤S″≤S'.2.设x,y,z均为正数,P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则P与Q的大小关系是()A.P≥QB.P>QC.P≤QD.P<Qx≥y≥z>0,则x2≥y2≥z2,则由排序不等式可得顺序和为P,乱序和为Q,则P≥Q.3.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是()A.ax+cy+bzB.bx+ay+czC.bx+cy+azD.ax+by+cza<b<c,x<y<z,由排序不等式得反序和≤乱序和≤顺序和,得顺序和ax+by+cz最大.故选D.4.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中最大的是()A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.12a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1,a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)>0, ∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.且a1b1+a2b2>12>a1b2+a2b1.又1=a1+a2≥2√a1a2,∴a1a2≤14.∵0<a1<a2,∴a1a2<14.同理b1b2<14,∴a1a2+b1b2<14+14=12.∴a1b1+a2b2>12>a1a2+b1b2,∴a1b1+a2b2最大.5.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)()A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零a ≥b ≥c>0,则a 3≥b 3≥c 3,根据排序原理,得a 3×a+b 3×b+c 3×c ≥a 3b+b 3c+c 3a.因为ab ≥ac ≥bc ,a 2≥b 2≥c 2,所以a 3b+b 3c+c 3a ≥a 2bc+b 2ca+c 2ab.所以a 4+b 4+c 4≥a 2bc+b 2ca+c 2ab ,即a 2(a 2-bc )+b 2(b 2-ac )+c 2(c 2-ab )≥0.6.设a 1,a 2,a 3,a 4是1,2,3,4的一个排序,则a 1+2a 2+3a 3+4a 4的取值范围是 .1+2a 2+3a 3+4a 4的最大值为顺序和12+22+32+42=30,最小值为反序和1×4+2×3+3×2+4×1=20.7.如图所示,在矩形OPAQ 中,a 1≤a 2,b 1≤b 2,若阴影部分的面积为S 1,空白部分的面积之和为S 2,则S 1与S 2的大小关系是 .,S 1=a 1b 1+a 2b 2,而S 2=a 1b 2+a 2b 1,根据顺序和≥反序和,得S 1≥S 2.1≥S 28.若a ,b ,c 为正数,求证a 3+b 3+c 3≥3abc.a ≥b ≥c>0,则a 2≥b 2≥c 2>0,由排序不等式,得a 3+b 3≥a 2b+ab 2,c 3+b 3≥c 2b+cb 2,a 3+c 3≥a 2c+ac 2,三式相加,得2(a 3+b 3+c 3)≥a (b 2+c 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2).因为a 2+b 2≥2ab ,c 2+b 2≥2cb ,a 2+c 2≥2ac ,所以2(a 3+b 3+c 3)≥6abc ,即a 3+b 3+c 3≥3abc (当且仅当a=b=c 时,等号成立).9.设a ,b 均为正数,求证(a b )2+(b a )2≥a b +b a .a ≥b>0,则a 2≥b 2>0,1b ≥1a >0,由不等式性质,得a 2b ≥b 2a >0. 则由排序不等式,可得a 2b ·1b +b 2a ·1a ≥a 2b ·1a +b 2a ·1b ,即(a b )2+(b a )2≥a b +b a .10.设a ,b ,c 都是正数,求证a+b+c ≤a 4+b 4+c 4abc .a ≥b ≥c>0.由不等式的性质,知a 2≥b 2≥c 2,ab ≥ac ≥bc.根据排序原理,得a 2bc+ab 2c+abc 2≤a 3c+b 3a+c 3b.① 又由不等式的性质,知a 3≥b 3≥c 3,且a ≥b ≥c.再根据排序原理,得a 3c+b 3a+c 3b ≤a 4+b 4+c 4.②由①②及不等式的传递性,得a 2bc+ab 2c+abc 2≤a 4+b 4+c 4.两边同除以abc ,得a+b+c ≤a 4+b 4+c 4abc (当且仅当a=b=c 时,等号成立). B 组1.设a ,b ,c>0,则式子M=a 5+b 5+c 5-a 3bc-b 3ac-c 3ab 与0的大小关系是( )A .M ≥0B .M ≤0C .M 与0的大小关系与a ,b ,c 的大小有关D .不能确定a ≥b ≥c>0,则a 3≥b 3≥c 3,且a 4≥b 4≥c 4,则a 5+b 5+c 5=a ·a 4+b ·b 4+c ·c 4≥a ·c 4+b ·a 4+c ·b 4.又a 3≥b 3≥c 3,且ab ≥ac ≥bc ,∴a 4b+b 4c+c 4a=a 3·ab+b 3·bc+c 3·ca≥a 3bc+b 3ac+c 3ab.∴a 5+b 5+c 5≥a 3bc+b 3ac+c 3ab.∴M ≥0.2.若0<α<β<γ<π2,F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-12(sin 2α+sin 2β+sin 2γ),则( ) A.F>0B.F ≥0C.F ≤0D.F<00<α<β<γ<π2, 所以0<sin α<sin β<sin γ,0<cos γ<cos β<cos α,由排序不等式可知,sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α>sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ,而F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-12(sin 2α+sin 2β+sin 2γ) =sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ)>0.3.导学号26394057车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min 、8 min 、6 min 、10 min 、5 min,每台机床停产1 min 损失5元,经合理安排损失最少为( )A.420元B.400元C.450元D.570元1台到第5台的修复时间依次为t 1,t 2,t 3,t 4,t 5,若按照从第1台到第5台的顺序修复,则修复第一台需要t 1分钟,则停产总时间为5t 1,修复第2台需要t 2分钟,则停产总时间为4t 2,…,修复第5台需要t 5分钟,则停产总时间为t 5,因此修复5台机床一共需要停产的时间为5t 1+4t 2+3t 3+2t 4+t 5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使5t 1+4t 2+3t 3+2t 4+t 5取最小值.由排序不等式可知,当t 1<t 2<t 3<t 4<t 5时,5t 1+4t 2+3t 3+2t 4+t 5取最小值,最小值为5×4+4×5+3×6+2×8+10=84分钟,故损失最小为84×5=420元.4.导学号26394058在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边依次为a,b,c,试比较aA+bB+cCa+b+c与π3的大小关系.a≥b≥c,则有A≥B≥C.由排序不等式,可得aA+bB+cC≥aA+bC+cB,aA+bB+cC≥aB+bA+cC,aA+bB+cC≥aC+bB+cA.将以上三个式子两边分别相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)π.所以aA+bB+cCa+b+c≥π3 .5.导学号26394059设x>0,求证1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)x n.x≥1时,因为1≤x≤x2≤…≤x n,所以由排序原理得1·1+x·x+x2·x2+…+x n·x n≥1·x n+x·x n-1+…+x n-1·x+x n·1,即1+x2+x4+…+x2n≥(n+1)x n.①又x,x2,…,x n,1为序列1,x,x2,…,x n的一个排列,所以1·x+x·x2+…+x n-1x n+x n·1≥1·x n+x·x n-1+…+x n-1·x+x n·1,因此x+x3+…+x2n-1+x n≥(n+1)x n, ②①+②,得1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)x n.③当0<x<1时,1>x≥x2≥…≥x n,①②仍成立,故③也成立.综上,原不等式成立.。
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3_3排序不等式达标训练新人教A版选修4_5
3.3 排序不等式更上一层楼基础·巩固1.如下图所示，矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形的面积之和_________空白部分的矩形的面积之和.思路分析：这可沿图中线段MN 向上翻折比较即知.当然由图我们可知,阴影面积=a 1b 1+a 2b 2,而空白面积=a 1b 2+a 2b 1.根据顺序和≥反序和可知答案. 答案：≥2.设a 、b 、c 为某一三角形三边长，求证： a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)≤3abc.思路分析：运用排序原理，关键是弄出有序数组，通常从函数的单调性质去寻找，如f(x)=x 2在R +单调递增，f(x)=x1在R +单调递减. 证明：不妨设a≥b≥c，易证a(b+c-a)≤b(c+a -b)≤c(a+b -c).由排序原理得a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤a·b(c+a -b)+b·c(a+b -c)+c·a(b+c -a)=3abc.3.对a,b,c∈R +,比较a 3+b 3+c 3与a 2b+b 2c+c 2a 的大小.思路分析:将式子理解为积的形式a 2·a+b 2·b+c 2·c,a 2b+b 2c+c 2a,再依大小关系可求解.解：取两组数a,b,c ；a 2,b 2,c 2.不论a,b,c 的大小顺序如何，a 3+b 3+c 3都是顺序和，a 2b+b 2c+c 2a 都是乱序和；故由排序原理可得a 3+b 3+c 3≥a 2b+b 2c+c 2a.4.求证:正实数a 1,a 2,…,a n 的任一排列为a 1′,a 2′,…，a n ′，则有nn a a a a a a '+'+' 2211≥n. 思路分析:本题考查如何将和的形式构造为积的形式,本题关键是将n 理解为n 个1相加,而把1理解为x·x1的形式.这种方法有普遍的应用,应该加以重视. 证明：取两组数a 1,a 2,…,a n ；11a ,21a ,…,n a 1.其反序和为n n a a a a a a +++ 2211=n ，原不等式的左边为乱序和，有nn a a a aa a '++'+' 2211≥n.5.已知a,b,c∈R +，求证：abc ca b bc a 121212++≥a 10+b 10+c 10. 思路分析:可以发现左右两边的次数相等,因此,应该进行适当的拼凑,使其成为积的形式.证明：不妨设a≥b≥c>0,则abca bc 111≥≥>0且a 12≥b 12≥c 12>0, 则ab c bc b ab a ab c ca b bc a 121212121212++≥++ cc b b a a a c c b b a 111111111111++≥++==a 10+b 10+c 10. 6.设a 1,a 2, …,a n 是1,2, …,n 的一个排列，求证：nn a a a a a a n n 1322113221-++≤-+++ . 思路分析：在证明不等式时，要掌握对数字的一个变形，合理构造，才会使题迎刃而解. 证明：设b 1,b 2,…,b n-1是a 1,a 2,…,a n-1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n-1. c 1,c 2,…,c n-1是a 2,a 3,…,a n 的一个排列,且c 1<c 2<…<c n-1, 则121111->>>n c c c ,且b 1≥1,b 2≥2,…,b n-1≥n -1；c 1≤2,c 2≤3,…,c n-1≤n. 利用排序不等式有：nn c b c b c b a a a a a a n n n n 1322111*********-+++≥+++≥+++--- . 7.设a ，b ，c 都是正数，求证：（1）(b a )2+(a b )2≥b a +a b； （2）32≥+++++b a c a c b c b a ； （3）a 1+b 1+c 1≤333888cb ac b a ++. 思路分析：本题（2）的关键是如何对常数进行处理.这里除了要用到构造法，还要运用不等式的可加性.证明：由题设不妨设a≥b≥c>0.（1）由不等式的单调性知a 2≥b 2，b 1≥a 1，于是ab b a 22≥.由排序原理：ba b a b a a a b b b a 11112222⨯+⨯≥⨯+⨯，即(b a )2+(a b )2≥b a +a b .（2）由不等式的单调性知ba a c cb +≥+≥+111且a≥b≥c>0，由排序原理： b a a a c c c b b b a c a c b c b a +++++≥+++++， ba b a c a c b c b c c a c b c b a ++-++≥+++++，两式相加得所证不等式成立. （3）由不等式的单调性知b c 11≥≥a 1，因而333333111ba a c ab ≥≥.根据不等式的单调性知a 5≥b 5≥c 5，由排序不等式得323232335335335335335335bc a b c a c b c b a b a c a b a c a c b c b a ++=++≥++. 又由不等式的单调性知a 2≥b 2≥c 2，333111a b c ≥≥，根据排序原理： cb ac c b b a a b c a b c a 111323232323232++=++≥++. 由不等式的传递性可知a 1+33388833533533511cb ac b a b a c a c b c b a c b ++=++≤+. 综合·应用8.设a ，b ，c 都是正数，求证： （1）cab b ca a bc ++≥a+b+c； （2）a+b+c≤abcc b a 444++；（3）a n(a 2-bc)+b n(b 2-ac)+c n(c 2-ab)≥0（n 是任意正数）.思路分析：证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法,后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法. 证明：由题设不妨设a≥b≥c>0.（1）由不等式的单调性知ab≥ac≥bc，c 1≥b 1≥a1，由排序原理： a b×c 1+ac×b 1+bc×a 1≥ab×b 1+ac×a 1+bc×c1，即所证不等式成立.（2）由不等式单调性知a 2≥b 2≥c 2，ab≥ac≥bc，又由排序原理： a 2bc+ab 2c+abc 2≤a 3c+b 3a+c 3b.又由不等式单调性知a 3≥b 3≥c 3，且a≥b≥c，再由排序原理： a 3c+b 3a+c 3b≤a 4+b 4+c 4.由上述两式及不等式的传递性可得a 2bc+ab 2c+abc 2≤a 4+b 4+c 4.两边同除以abc 可得，需证不等式成立.（3）只需证a n+2+b n+2+c n+2≥a n bc+b n ca+c nab.①由不等式的单调性知a n+1≥b n+1≥c n+1，又a≥b≥c.由排序原理得 a n+2+b n+2+c n+2≥a n+1b+b n+1c+c n+1a.又由不等式的单调性知ab≥ac≥bc，a n ≥b n ≥c n.由排序原理得 a n+1b+b n+1c+c n+1a≥a n bc+b n ca+c nab.根据不等式的传递性可知①成立.9.设a 1，a 2，…，a n 都是正数，b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列.求证:（1）a 1b 1-1+a 2b 2-1+…+a n b n -1≥n；（2）a 1p+q +a 2p+q +…+a n p+q ≥a 1p b 1q +a 2p b 2q +…+a n p b n q（p,q 为正数）；（3）H≤G≤A，其中H 、G 、A 分别为a 1，a 2，…，a n 的调和平均、几何平均及算术平均. 思路分析：运用排序原理解题的核心问题是找出相应的两组数. 证明：不妨设a 1≥a 2≥…≥a n >0.（1）由不等式的单调性a n -1≥a n -1-1≥…≥a 1-1，由排序原理得a 1b 1-1+a 2b 2-1+…+a n b n -1≥a 1a 1-1+a 2a 2-1+…+a n a n -1≥n;（2）由题设a 1p ≥a 2p ≥…≥a n p ,a 1q ≥a 2q ≥…≥a n q.由排序原理得； （3）令t i =iiG a a a 21（i=1，2，…，n ），则t n =1.从而正数序列t 1，t 2，…，t n 及11t ，21t ，…，n t 1对应两项大小次序正好相反，由排序原理得 n=t 1·11t +t 2·21t +…+t n ·n t 1≤t 1·n t 1+t 2·11t +…+t n ·11-n t ，即n≤Ga a a G a G a G a n n +++=++ 2121，从而G≤A. 另一方面 n=t 1·11t +t 2·21t +…+t n ·n t 1≤t 1·21t +t 2·31t +…+11-n t ·n t 1+t n ·11t ，即n≤)111(21132nn a a a G a G a G a G a G +++=++++ )，从而G≥H. 回顾·展望10.设a,b,c 是正实数,求证: a a b b c c≥(abc)3c b a ++.思路分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故可尝试用商较法，此时在证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题.当然亦可用排序原理等方法.事实上，本题可作如下推广：若a i >0(i=1,2,…,n),则a 1aa 22a …a n n a ≥(a 1a 2…a n )na a a n+++ 21.证明：不妨设a≥b≥c>0,则lga≥lgb≥lgc.据排序不等式有:alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algc, alga+blgb+clgc≥clga+algb+blgc.以上两式相加,再两边同加alga+blgb+clgc,整理得: 3(alga+blgb+clgc)≥(a+b+c)(lga+lgb+lgc),即lg(a a b b c c)≥3cb a ++·lg(abc), 故a a b bc c≥(abc)3c b a ++.。
数学人教A版选修4-5学案：第三讲三排序不等式 含解析 精品
三 排序不等式1．掌握排序不等式的推导和证明过程．2．会利用排序不等式解决简单的不等式问题．1．基本概念设a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，b 1＜b 2＜b 3＜…＜b n 是两组实数，c 1，c 2，c 3，…，c n 是数组b 1，b 2，…，b n 的任何一个排列，则S 1＝a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1叫做数组(a 1，a 2，…，a n )和(b 1，b 2，…，b n )的______和；S 2＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 叫做数组(a 1，a 2，…，a n )和(b 1，b 2，…，b n )的______和；S ＝a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 叫做数组(a 1，a 2，…，a n )和(b 1，b 2，…，b n )的____和．2．排序原理或排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则__________________≤______________________≤____________________.当且仅当________________或____________________时，反序和等于顺序和．分析题目时要找到原始的两组实数．【做一做1－1】 设a 1，a 2，…，a n 为实数，b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列，则乘积a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 不小于________．【做一做1－2】 已知a ，b ，c 为正数，P ＝b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c ，Q ＝abc ，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ≥QC ．P ＜QD ．P ≤Q答案：1．反序 顺序 乱序 2．a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1 a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n a 1＝a 2＝…＝a n b 1＝b 2＝…＝b n【做一做1－1】 a 1a n ＋a 2a n －1＋…＋a n a 1【做一做1－2】 D 取两组实数(b 2c ，c 2a ，a 2b )和(a ，b ，c )，则顺序和为ab 2c ＋abc 2＋a 2bc ＝abc (a ＋b ＋c )，乱序和为b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2， 由排序不等式得abc (a ＋b ＋c )≥b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2.即abc ≥b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2a ＋b ＋c.1．对排序不等式的证明的正确理解 剖析：在排序不等式的证明中，用到了“探究——猜想——检验——证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解．对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的．2．排序原理的思想剖析：在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．题型一 构造数组利用排序不等式证明【例1】 设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .分析：不等式的左边，可以分为数组ab ，ac ，bc 和1c ，1b ，1a ，排出顺序后，可利用排序原理证明．反思：要利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应的数组，并且要排列出大小顺序，因此比较出数组中的数之间的大小关系是解答问题的关键和基础．题型二 需要对不等式中所给字母的大小顺序作出假设的情况 【例2】 设a ，b ，c 为正数，求证：a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab. 分析：解答本题时不妨先设定0＜a ≤b ≤c ，再利用排序不等式加以证明． 反思：在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要限定一种大小关系．答案：【例1】 证明：由题意不妨设a ≥b ≥c ＞0，由不等式的单调性，知ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a .由排序原理，知 ab ×1c ＋ac ×1b ＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c，即所证不等式bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c 成立．【例2】 解：不妨设0＜a ≤b ≤c ，则a 3≤b 3≤c 3. 0＜1bc ≤1ca ≤1ab， 由排序原理：乱序和≤顺序和，得a 3·1ca ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab，①a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab .② 将①②两式相加，得a 2＋b 2c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ≤2(a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab )， 将不等式两边除以2，得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab.1．已知两组数a 1≤a 2≤a 3≤a 4≤a 5，b 1≤b 2≤b 3≤b 4≤b 5，其中a 1＝2，a 2＝7，a 3＝8，a 4＝9，a 5＝12，b 1＝3，b 2＝4，b 3＝6，b 4＝10，b 5＝11，将b i (i ＝1,2,3,4,5)重新排列记为c 1，c 2，c 3，c 4，c 5，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5的最大值和最小值分别是( )A ．132,6B ．304,212C ．22,6D ．21,362设正实数a 1，a 2，a 3的任一排列为a 1′，a 2′，a 3′，则312123a a a a a a ++'''的最小值为( ) A ．3B ．6C ．9D ．123．设a 1，a 2，a 3为正数，E ＝233112312a a a a a a a a a ++，F ＝a 1＋a 2＋a 3，则E ，F 的大小关系是( )A ．E ＜FB ．E ≥FC ．E ＝FD ．E ≤F4．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．5．设a ，b 都是正数，求证：22()()a b ba+≥a b b a+.答案：1．B 2.A3．B 不妨设a 1≥a 2≥a 3＞0，于是11a ≤21a ≤31a ，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2. 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得123a a a ＋312a a a ＋231a a a ≥2321a a a ⋅＋3131a a a ⋅＋1211a a a ⋅＝a 3＋a 1＋a 2， 即123a a a ＋231a a a ＋312a a a ≥a 1＋a 2＋a 3.∴E ≥F . 4．19 255．分析：观察不等式找出数组，并比较大小，用排序原理证明． 证明：由题意不妨设a ≥b ＞0.则a 2≥b 2，1b ≥1a. 所以2a b ≥2b a.根据排序原理，知2a b ×1b ＋2b a ×1a ≥2a b ×1a ＋2b a×1b ， 即2()a b＋2()b a≥a b ＋b a.。
2017人教版高中数学选修4-5练习第三讲3.3排序不等式含解析
第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式A级基础稳固一、选择题1．设正实数a1，a2，a3 的任一摆列为a1′，a2′，a3′，则a1a1′＋a2 a2′＋a3的最小值为( )a3′A．3B．6C．9D．12分析：a1≥a2≥a3＞0，则1 1 1≥＞0，≥a3 a2 a1由乱序和不小于反序和知，因此a1 a2 a3＋＋≥a1′a2′a3′a1 a2 a3＋＋＝3，a1 a2 a3因此a1 a2 a3＋＋的最小值为3，应选 A.a1′a2′a3′答案：A2．车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间挨次为4min，8min，6min，10min，5min，每台机床停产1min 损失5元，经合理安排损失最少为()A．420元B．400元C．450元D．570元分析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．答案：A＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M3．设a，b，c∈R与N的大小关系是()A．M≥NB．M＝NC．M＜ND．M＞N分析：不如设a≥b≥c＞0，4≥b4≥c4，则a运用排序不等式有：5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4，a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，又a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，因此a即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N.答案：A3＋b3＋c3＝3，则ab＋bc＋ca的最4．已知a，b，c≥0，且a大值是()A．1B．2C．3 D.3 3分析：设a≥b≥c≥0，因此a≥b≥c.由排序不等式可得ab＋bc＋ca≤aa＋bb＋cc.2≤(aa)2＋(bb)2＋(cc)2](1＋1＋1)＝9，即而(aa＋bb＋cc)aa＋bb＋cc≤3.因此ab＋bc＋ca≤3.答案：C5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负状况是()A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零分析：设a≥b≥c＞0，因此a3≥b3≥c3，依据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.2≥b2≥c2，又知ab≥ac≥bc，a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.因此a因此a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.即a答案：B二、填空题6．设a1，a2，⋯，a n为实数，b1，b2，⋯，b n是a1，a2，⋯，a n 的任一摆列，则乘积a1b1＋a2b2＋⋯＋a n b n不小于________．答案：a1a n＋a2a n－1＋⋯＋a n a17．已知a，b，c都是正数，则a b＋＋b＋c c＋ac≥________．a＋b分析：设a≥b≥c＞0，因此1 1≥≥b＋c c＋a1，a＋b由排序原理，知a＋b＋cb c b≥＋＋c＋a a＋b b＋cc a＋，①c＋a b＋aa b＋＋b＋c c＋ac c a c≥＋＋，②a＋b b＋c c＋a a＋ba b①＋②得＋＋b＋c c＋ac 3≥2. a＋b答案：3 28．设a，b，c＞0，则b c＋ac a＋ba bc ________a＋b＋c.分析：不如设a≥b≥c＞0，111≤c，bc≤ac≤ab.≤则ab由次序和≥乱序和，得ab ac＋＋c b b c≥a1 1 1·b c＋·ac＋·ab＝c＋a＋b，b c a当且仅当a＝b＝c时，等号建立．答案：≥三、解答题3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大9．对a，b，c∈(0，＋∞)，比较a 小．解：取两组数a，b，c和a2，b2，c2.不论a，b，c的大小次序怎样，a3＋b3＋c3都是次序和；a2b＋b2c＋c2a都是乱序和，故有a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a.10．设a，b，c大于0，求证：3＋b3≥ab(a＋b)；(1)a1(2) ＋3＋b3＋abca1 1 1＋≤abc. 3＋c3＋abc 3＋a3＋abcb c证明：(1)不如设a≥b＞0，2≥b2＞0.则a因此a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2·a，因此a3＋b3≥ab(a＋b)．3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)．(2)由(1)知，同理b因此1＋3＋b3＋abca1＋3＋c3＋abcb1≤3＋a3＋abcc1ab（a＋b）＋ab＋1b c（b＋c）＋abc＋1ac（a＋c）＋abc＝1a＋b＋c1 1 1＋＋ab bc ca＝c＋a＋b11abcabc. ·＝a＋b＋c故原不等式得证．B级能力提高1．若0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则以下代数式中值最大的是()A．a1b1＋a2b2B．a1b2＋a2b11C．a1a2＋b1b2D.2分析：由于0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，因此a1a2＋b1b2≤a1＋a222＋b1＋b222＝12.由0＜a1＜a2，0＜b1＜b2及排序不等式知a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1，1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1＜2(a1b1＋a2b2)，1因此a1b1＋a2b2＞2.答案：A2．若a＞0，b＞0 且a＋b＝1，则2 2b a＋的最小值是________．a b分析：不如设a≥b＞0，则有aa.2≥b2，且11≥b由排序不等式2b＋a2a≥b1·a2＋2＋a1·b2＝a＋b＝1，2＝a＋b＝1，b1当且仅当a＝b＝时，等号建立．2因此2b＋a2a的最小值为 1.b答案：111 3．设a1，a2，⋯，a n是n个互不同样的正整数．求证1＋＋＋⋯231 a2 a3＋≤a1＋2＋2＋⋯＋n 2 3 a n2. n证明：设b1，b2，⋯，b n是a1，a2，⋯，a n的一个摆列，且知足b1＜b2＜⋯＜b n，由于b1，b2，⋯，b n是互不同样的正整数，因此b1≥1，b2≥2，⋯，b n≥n，1 又由于1＞2＞2 1 12＞⋯＞2，3 na2 a3因此由排序不等式，得a1＋2＋2＋⋯＋2 3 a n2≥b1＋nb2 b3 b n2＋2＋⋯＋2≥2 3 n1 1 1 1 11×1＋2×2＋3×2＋⋯＋n·2＝1＋＋＋⋯＋2 3 n 2 3 1，n因此原不等式得证．。
人教新课标版数学高二-练习2014版高中数学选修4-5练习3.3排序不等式
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课时提升卷(十一)排序不等式（45分钟 100分）一、选择题(每小题5分,共30分)1.设a1,a2,…,a n都是正数,b1,b2,…,b n是a1,a2,…,a n的任意一个排列,则a1+ a2+…+ a n的最小值是( )A.1B.nC.n2D.无法确定2.(2013·丹东高二检测)已知a,b,c为正数,P=,Q=abc,则P,Q的大小关系是( )A.P>QB.P≥QC.P<QD.P≤Q3.设a1,a2,a3为正数,E=++,F=a1+a2+a3,则E,F的关系是( )A.E<FB.E≥FC.E≤FD.E>F4.(1+1)……的取值范围是( )A.(21,+∞)B.(61,+∞)C.(4,+∞)D.(3n-2,+∞)5.一组实数为a1,a2,a3,设c1,c2,c3是另一组数b1,b2,b3的任意一个排列,则a1c1+a2c2+a3c3的( )A.最大值为a1b1+a2b2+a3b3,最小值为a1b3+a2b2+a3b1B.最大值为a1b2+a2b3+a3b1,最小值为a1b3+a2b1+a3b2C.最大值与最小值相等为a1b1+a2b2+a3b3D.以上答案都不对6.若0<α<β<γ<,则F=sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα-(sin2α+sin2β+sin2γ)的符号为( )A.F>0B.F<0C.F≥0D.F≤0二、填空题(每小题8分,共24分)7.已知a,b,c为正实数,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab) 0(填>,≥,<,≤).8.设a,b都是正数,若P=+,Q=+,则二者的关系是.9.设正数a,b,c的乘积abc=1,++的最小值为.三、解答题(10～11题各14分,12题18分)10.设x1≥x2≥…≥x n,y1≥y2≥…≥y n.求证:(x i-y i)2≤(x i-z i)2.其中z1,z2,…,z n是y1,y2,…,y n的任意一个排列.11.(2013·镇江高二检测)已知a,b,c∈R+,求证:a+b+c≤++≤++.12.(能力挑战题)利用排序原理证明切比雪夫不等式:若a1≤a2≤…≤a n且b1≤b2≤…≤b n,则a ib i≥·.答案解析1.【解析】选B.设a 1≥a2≥…≥a n>0.可知≥≥…≥,由排序原理,得a 1+ a2+…+ a n≥a 1+ a2+…+ a n=n.2.【解析】选B.不妨设a≥b≥c>0,则0<≤≤,0<bc≤ca≤ab,由排序原理:顺序和≥乱序和,得++≥++,即≥a+b+c,因为a,b,c为正数,所以abc>0,a+b+c>0,于是≥abc,即P≥Q.3.【解析】选B.不妨设a1≥a2≥a3>0,于是≤≤,a2a3≤a3a1≤a1a2, 由排序不等式:顺序和≥乱序和得,++=++≥·a1a3+·a2a3+·a1a2=a1+a3+a2即:++≥a 1+a2+a3.4.【解析】选C.令A=(1+1)(1+)…=×××…×,B=×××…×,C=×××…×.由于>>,>>,>>,…>>>0,所以A>B>C>0.所以A3>A·B·C.由题意知3n-2=61,所以n=21.又因为A·B·C=3n+1=64.所以A>4.5.【解析】选D.a1,a2,a3与b1,b2,b3的大小顺序不知,无法确定其最值.6.【解题指南】已知,α,β,γ∈,由y=sinx与y=cosx在的单调性结合排序不等式可判断.【解析】选A.因为0<α<β<γ<,且y=sinx在(0,)上为增函数,y=cosx在上为减函数.所以0<sinα<sinβ<sinγ,cosα>cosβ>cosγ>0.根据排序不等式:乱序和≥反序和则sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα>sinαcosα+sinβcosβ+sinγcosγ=(sin2α+sin2β+sin2γ).7.【解析】设a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab.即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.答案:≥【拓展提升】审题的技巧无论柯西不等式还是排序不等式,都只是一般的乘积形式,而本题中涉及指数幂的变换,故利用对数运算变为指数乘法运算是一个很有技巧性的解题思路.8.【解析】由题意不妨设a≥b>0.由不等式的性质,知a2≥b2,≥.所以≥.根据排序原理,知×+×≥×+×.即+≥+.答案:P≥Q【误区警示】本题易出现观察不等式找不出排序原理用到的两组数,并用排序不等式比较大小.9.【解析】设a=,b=,c=,则xyz=1,且++可化为++,不妨设x≥y≥z,则≥≥,据排序不等式得++≥z·+x·+y·,及++≥y·+z·+x·,两式相加并化简可得2(++)≥3.即++≥.即++≥.所以++的最小值为.答案:10.【证明】要证(x i-y i)2≤(x i-z i)2,只需证(+)-(2x i y i)≤(+)-(2x i z i),只要证x i y i≥x i z i.由题设及排序原理知上式显然成立.11.【证明】不妨设a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2,≥≥.由排序不等式,可得a2·+b2·+c2·≥a2·+b2·+c2·, ①a2·+b2·+c2·≥a2·+b2·+c2·. ②由(①+②)÷2,可得++≥a+b+c,又因为a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,≥≥.由排序不等式,得a3·+b3·+c3·≥a3·+b3·+c3·. ③a3·+b3·+c3·≥a3·+b3·+c3·. ④(③+④)÷2,可得++≥++.综上可知原式成立.12.【解题指南】排序原理,运用于数列解题是常见题型,处理该类题目,应将数列进行重组,使其成为递增数列或者递减数列,再由大小关系应用排序原理求解.【证明】由排序不等式有:a1b1+a2b2+…+a n b n=a1b1+a2b2+…+a n b n,a1b1+a2b2+…+a n b n≥a1b2+a2b3+…+a n b1,a1b1+a2b2+…+a n b n≥a1b3+a2b4+…+a n b2,……a1b1+a2b2+…+a n b n≥a1b n+a2b1+…+a n b n-1.将以上式子相加得:n(a1b1+a2b2+…+a n b n)≥a1(b1+b2+…+b n)+a2(b1+b2+…+b n)+…+a n(b1+b2+…+b n),所以a i b i≥·.关闭Word文档返回原板块。
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第三讲柯西不等式与排序不等式
3.3 排序不等式
A级基础巩固
一、选择题
1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则a1
a1′＋a2
a2′
＋a3
a3′的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：a1≥a2≥a3＞0，则
1
a3≥
1
a2≥
1
a1＞0，
由乱序和不小于反序和知，
所以
a1
a1′＋
a2
a2′＋
a3
a3′≥
a1
a1＋
a2
a2＋
a3
a3＝3，
所以
a1
a1′＋
a2
a2′＋
a3
a3′的最小值为3，故选A.
- 1 -
答案：A
2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )
A．420 元B．400 元
C．450 元D．570 元
解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．
答案：A
3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是( )
A．M≥N B．M＝N
C．M＜N D．M＞N
解析：不妨设a≥b≥c＞0，
则a4≥b4≥c4，
运用排序不等式有：
a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4，
又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，
所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，
- 1 -
即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N.
答案：A
4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则a b＋b c＋c a 的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D.
3 3
解析：设a≥b≥c≥0，所以a≥b≥c.
由排序不等式可得a b＋b c＋c a≤a a＋b b＋c c.
而(a a＋b b＋c c)2≤(a a)2＋(b b)2＋(c c)2](1＋1＋1)＝9，即a a＋b b＋c c≤3.
所以a b＋b c＋c a≤3.
答案：C
5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )
A．大于零B．大于等于零
C．小于零D．小于等于零
解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，
- 1 -。