概率论与数理统计12习题十二参考答案

概率统计——习题十二参考答案

12.1 已知X ~N （μ，0.52），σ=0.5，由置信区间的概念知

α-=<σμ-α1}/||{2/z n

X P ，即.1}/|{|2/α-=σ<μ-αn z X P 由于 96.1,25.0,95.0125.02/===α=α-αz z ， 由题意知,1.05.096.1/2/<⨯=σαn

n z 04.96)596.1(2=⨯>n ，可取.97≥n 故至少要取97=n 的样本，才能满足要求。

12.2 已知n =16，总体X ~N （μ，σ2），μ未知。

)1(~)1(..222-χσ

-=ηn S n v r ，令95.01)}1()1({22/22/1=α-=-χ<η<-χαα-n n P ，得 .1)1()1()

1()1(22/2222/12α-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-χ-<σ<-χ-αα-n S n n S n P 查表得 .262

.6)15()1(,488.27)15()1(2975.022/12025.022/=χ=-χ=χ=-χα-αn n ∴ 所求的置信区间为 ).025.17,126.8(262.61511,488.271511=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ 12.3 已算得.5745.0,0.6==s x

(1) 引进)1,0(~..N n X U v r σμ

-=，由95.01}{=α-=<αz U P ，可解得μ的置信度为0.95的单侧置信上限为.329.6)3/6.0(645.10.6/05.0=±=σ+n z x

(2) 引进)1(~..-μ-=n t n

S X T v r ，由95.01}{=α-=<αt T P ，可解得μ的置信度为0.95的单侧置信上限为.358.6)3/5745.0(8695.10.6/)19(05.0=±=-+n s t x

12.4 设两总体分别为X ，Y ，可算得;00287.0,1425.01==s x

.)00255.0(2)1()1(;

00228.0,1392.022*********=-+-+-===n n s n s n s s y w )7()2(~/1/1)

(212121t n n t n n s Y X T w =-++μ-μ--= ，∴由α-=-<α1)}1(|{|2/n t T P ，可解得所求置

信区间为

212//1/1)7(n n s t y x w +±-α).006.0,002.0()5/14/1)00255.0(3646.2002.0(-=+±= 12.5 小概率原理。

12.6 由题设可知：总体),(~2σμN X ，1637=x ，26=n ，150=σ，05.0=α。要检验的假设为：.1600:;1600:10≠μ=μH H 。 构造统计量),1,0(~//00

N n

X n X U H σμ-=σμ-=真 可得拒绝域.||2/α≥u U 对于给定的α=0.05，从附表中查得临界值96.1025.02/==αu u 。计算得96.12578.1||<=U ，所以接受原假设H 0，即不能否定这批产品的该项指标为1600。

12.7 用X 表示测距仪对目标一次测量的距离，设),(~2σμN X 。由题设10=σ，如果测距仪无系统误差，则应有500=μ，于是我们应该检验“.500:;

500:10≠μ=μH H ” 构造统计量 ),1,0(~//00

N n

X n X U H σμ-=σμ-=真 可得拒绝域 .||2/α≥u U 对于给定的α=0.05，从附表中查得临界值96.1025.02/==αu u ， 由500,510,90=μ==x n 计算得 ,96.139/10500510/||||0>=-=σμ-=

n x U 所以拒绝H 0，即认为测距仪存在系统误差。

12.8 根据题意，待检验的假设为23:;23:10≠μ=μH H

由于2σ未知，故采用统计量)1(~//00

-μ

-=μ-=n t n S X n S X T H 真. 由样本值可得由135.0,8.21,52===s x n ，30.75/135.00

.238.21/0

-=-=μ-=n s x T .

对于给定的α=0.05，拒绝域为}7764.2)4()1(|{|025.02/==-≥=αt n t T W

由于T 值落在拒绝域中，故拒绝H 0，即认为该日生产不正常。

12.9 本题要求在α=0.02下检验假设:5000:;5000:2120≠σ=σH H

选取统计量 )1(~)1()1(22220220-χσ

-=σ-=χn S n S n H 真. 现在n =26,11.524(25)1)-(n 44.314,(25)1)-(n 299.022/1201.022/=χ=χ=χ=χα-α,故拒绝域

}524.11314.44{22≤χ≥χ=或W .由已知条件得统计量314.44465000

)9200)(126(2>=-=χ，所以拒绝H 0，即认为这批电池寿命的波动性较以往的有显著的变化。