线代习题及答案

1.

设B A ,均为三阶矩阵，2,3A B =-=，则*2T A B = . 2.

设A 是4阶矩阵，伴随矩阵*A 的特征值是1,2,4,8--，则矩阵A 的全部特征值是 . 3. 若向量组1(1,3,6,2)T α=，2(2,1,2,1)T α=-，3(1,1,,2)T a α=--的秩为2，则a = .

4.

若矩阵

111111t A t t ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为正定的，则t 满足的条件为 .. .5 若⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==301020201,2)(B A R ，则=)(AB R

6 设A 是n 阶方阵,21,x x 均为方程组b AX =的解,且21x x ≠,则=A ___________

7 已知(1,1)T x =是

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a A 011的一个特征向量，则=a .

8 设

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=521a A 是正定矩阵,则a 的取值为_____________.

1写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

2求 排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 逆序数；

2试计算行列式

31

1251

3420

111533------.

3 设

γβααα,,,,321都是4维列向量，且4阶行列式a =βααα,,,321，

b =321,, ,αααγ，求4阶行列式γβααα+,,,321。

4.设矩阵A=423110123-⎛⎝ ⎫⎭

⎪⎪⎪，求矩阵B 使其满足矩阵方程 1、AB=A+2B.

2、BA=A+2B.

5设向量

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23102α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=1410233a α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=52114a α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10612b β，问：b a ,取何值时，向量β可由向量组

4321,,,αααα线性表示？并在可以线性表示时求出此线性表

示式

-

7 求下列矩阵的秩,并指出该矩阵的一个最高阶非零子式

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------11011111100222021110

解

101111

1002202110

,

4.2----秩为 8.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭

⎪⎪⎪⎪2103，α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

9.设矩阵A=1210

2242662102333334-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：（1）秩（A ）；

（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。

10 知向量组()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==13703031111043

214321ααααA 求向量组A 的秩；判断向量组的相关性；求其一个极大无关组；将其余向量用极大无关组线性表示。

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=00002100101000

011370303111104321~A

11．求下列齐次线性方程组的基础解系:

(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-026830542021084321

43214321x x x x x x x x x x x x

.

12 5分）设非齐次线性方程组 123231

2321 13(1)0x x x ax x x x a x ++=-⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩, 问：a 取何值时，此方程

组有唯一解、无解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解．

13．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它

的三个解向量．且 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+432132ηη 求该方程组的通解．

14.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭

⎪⎪⎪的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ，使T -1

AT=D.

15试用配方法化下列二次型为标准形

f(x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--， 并写出所用的满秩线性变换。

16 设二次型)0(,222),,(23312221321>-++==b x x bx x ax AX X x x x f T ， 其中A 的特征

值之和为1，特征值之积为-12.

（1）求b a ,的值；

（2）利用正交变法将二次型f 化为标准型，并写出正交矩阵.

17.设方阵A 满足A 3=0，试证明E -A 可逆，且（E -A ）-1=E+A+A 2.