函数的单调性与导数(习题课)

函数的单调性与导数(习题课)
思考1 练习一 求单调区间 练习二
思考2
由单调性求取值范围
思考3
补充练习及作业
函数的单调性与导数(习题课)
用导数法判断单调性,只要判断导数的正负即可,简单快捷! y 1 思考 1.讨论函数 y x 的单调区间. x 1 1 解: y ( x ) 1 2 2 x x 1 令 y 1 2 0 ,解得 x 1 或 x 1 , x -1
C ) ( B ) f ( x ) g( x )
作业:《优化设计训练》 P34 1, 2,6,10 (交练习册)
1 令 y 1 2 0 ,解得 1 x 0 或 0 x 1 , x 1 ∴ y x 的增区间是 ( , 1) 和 (1, ) , x 减区间是 ( 1, 0) 和 (0,1) .
0 1
-2
x
根据函数的单调性,可画出函数图象的大致形状(如图)
练习一: (,0) 、(1, ) 1.函数 y 2 x 3 3 x 2 10 的增区间为____________. x2 (0, 2) 2.函数 f ( x ) x 的增区间为____________. e ln x (e, ) 3.函数 y 的减区间为____________. x
1 x 1 x 则 f ( x ) , x 1 x 1 ∴当 x (0, ) 时, f ( x ) 0 ,
∴ f ( x ) 在 (0, ) 上是增函数, 于是当 x 0 时， f ( x ) f (0) 0 ， 1 2 ∴当 x 0 时, ln( x 1) x x 成立. 2
x 2 . k ≥ 2 x 对于 x (1, ) 恒成立, ∴ k ≥1
2
≥ 0 对于 x (1, ) 恒成立,
1 2 思考 3. 求证:当 x 0 时, ln( x 1) x x . 1 2 2 证明:令 f ( x ) ln( x 1) x x , 2 2
解:∵ f ( x) 4 2ax 2 x 2 ， 又∵ f x 在区间 1,1 上是增函数， ∴ f ( x ) ≥ 0 对 x 1,1 恒成立，
即 x 2 ax 2 ≤ 0 对 x 1,1 恒成立， 令 g( x) x 2 ax 2 g(1) ≤ 0 1 a ≤ 0 ∴ 1 ≤ a ≤ 1 则 即 g( 1) ≤ 0 a 1 ≤ 0 ∴实数 a 的取值范围为 1,1 ．
( A) f ( x ) g( x ) (C ) f ( x ) g(a ) g( x ) f (a ) ( D) f ( x ) g(b) g( x ) f (b) 1 3 3.当 0 x 时,求证: x sin x x . 2 6
则当 a x b 时，有(
k k 2.函数 y 2 x 在 (1, ) 上是增函数, x 3 2, 则 k 的取值范围为__________________.
2
练习二: 1.函数 f ( x) x 3 kx 2 在 [0 , 2] 上是减函数, , 3 则 k 的取值范围为__________________.
作业:《优化设计训练》 P34 1Biblioteka Baidu 2,6,10 (交练习册)
补充训练: 1.函数 y x cos x sin x 在下面哪个区间上是增函数( B ) 3 3 5 ( A)( , ) ( B )( , 2 ) (C )( , ) ( D)(2 , 3 ) 2 2 2 2 2.设 f ( x )、g( x ) 在 a , b 上可导，且 f ( x ) g( x ) ，
2k 1.解答： f ( x) 3 x kx x(3 x 2k ) ，由题意知 (0, ) 3 2k ≥ 2, 即k ≤ 3 . 是函数的单调减区间，因此 3 k
2.解答： y 2
2
思考 3. 求证:当 x 0 时, ln( x 1) x x 2 . 2 作业:《优化设计训练》 P34 1, 2,6,10 (交练习册)
2
2 3 思考 2.已知函数 f ( x ) 4 x ax x 在区间 1,1 上是 3
增函数，求实数 a 的取值范围．
2 3 思考 2.已知函数 f ( x ) 4 x ax x 在区间 1,1 上是 3 增函数，求实数 a 的取值范围．
2
分析：若函数单调递增，则 f ( x ) ≥ 0 ；若函数单调递减，则 f ( x ) ≤ 0 ,注意等号不能省略.已知函数的单调性求参数的取值 范围时常利用此结论，当然同时要注意检验是否恒等于 0.