2019考研数学三真题解析
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【答案】 0.4 .
【解析】因为 AA
=
− PA QA
dQA dPA
=
− PA QA
(−2PA
−
PB )
，将 PA
5、设 A 是四阶矩阵，A* 是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2 个向
量，则 A* 的秩是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】 A.
【解析】由于方程组基础解系中只有 2 个向量，则 r( A) = 2 ， r( A) 3 ， r( A) = 0 .
6、设 A 是 3 阶实对称， E 是 3 阶单位矩阵，若 A2 + A = 2E 且 A = 4 ，则二次型 xT Ax
1 x2 0
f
(x)dx =
1 3
1 0
f (x)dx3
=
1 3
x
3
f
(
x)
1 0
−
1 x3
0
1
+
x4
dx
=
1 18
(1 −
2
2) .
12、A、B 两商品的价格分别为 PA、 PB，需求函数 QA = 500 - PA2 - PAPB + 2PB2 ,
PA = 10 , PB = 20 ,求 A 商品对自身价格的需求弹性hAA = ____________ (h > 0) .
−4 k 4 . 3．已知微分方程 y + ay + by = cex 的通解为 y = (C1 + C2 )e−x + ex ，则 a, b, c 依次为（ ）
A、1, 0,1
B、 1, 0, 2
C、 2,1,3
D、 2,1, 4
【答案】 D.
【解析】由通解形式知， 1 = 2 = −1 ，故特征方程为（ +1）2 = 2 + 2 +1=0 ，所以
n
9、
lim
n→
1 1 2
+
1 23
+
+
1 n(n +1)
= ____________
【答案】 e−1.
【解析】
1 1 2
+
2
1
3
+L
n
1
+
n
(n
+
1)
=
n
n +
1
n
，则
lim
n→
n
n +
1
n
= e−1.
10、曲线 y = x sin x + 2 cos x(− π x 3π ) 的拐点坐标为____________
二次型的规范形为 y12 − y22 − y32 . 7、设 A, B 为随机事件，则 P( A) = P(B) 充分必要条件是
A. P( A U B) = P( A) + P(B).
B. P( AB) = P( A)P(B).
C. P(AB) = P(B A).
D. P( AB) = P( AB).
−1 x 1时，f (x) 0 ，当 x 1 时，f (x) 0 ，又由于 lim f (x) = − ，lim f (x) = + ，
x→−
x→+
方程要有三个不等实根，只需要 f (−1)=4 + k 0 ， f (1) = −4 + k <0 ，因此 k 的取值范围为
D、 (un + vn ) 发散 n=1
【答案】 B.
【解析】由 vn 条件收敛知， lim vn = 0 ，故当 n 充分大时， vn 1 . 所以，
n=1 n
n→ n
n
unvn
=
nun
vn n
nun ，由于 nun 绝对收敛，所以 unvn 绝对收敛.
n=1
n=1
C. 与 ， 2 都有关.
D. 与 ， 2 都无关.
【答案】A
【解析】X − Y ~ N (0, 2 2 ，所以 P{ X − Y 1} = (1− 0 ) = ( −1− 0) = 2( 1 ) −1；
2
2
2
选A
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．
【解析】当 x → 0 时， x − tan x
B. 2. D. 4.
− 1 x3 ，则 k =3 . 3
2．已知方程 x5 − 5x + k = 0 有 3 个不同的实根，则 k 的取值范围为（ ）
A、 (−, −4)
B、 (4, +)
C、−4, 4
D、 (−4, 4)
【答案】 D.
【解 析】令 f (x) = x5 − 5x + k ，由 f (x) = 0 得 x = 1 ， 当 x −1 时ห้องสมุดไป่ตู้ f (x) 0 ， 当
a = 2,b = 1，又由于 y = ex 是 y+2 y + y = cex 的特解，代入得 c = 4 .
4、若
nun
n=1
绝对收敛，
n=1
vn n
条件收敛，则（
）
A、 unvn 条件收敛 n=1
B、 unvn 绝对收敛 n=1
C、 (un + vn ) 收敛 n=1
【答案】C
【解析】 P(AB) = P(B A) P(A) − P(AB) = P(B) − P(AB) P( A) = P(B) ；选 C.
8、设随机变量 X 和Y 相互独立，且都服从正态分布 N (, 2 ) ，则 P{ X − Y 1}
A. 与 无关，而与 2 有关.
B. 与 有关，而与 2 无关.
2
2
【答案】（π，− 2）.
【解析】令 y = −x sin x = 0 ，可得 x = π ，因此拐点坐标为（π，− 2）.
11、已知 f (x) = x 1+ t4 dt ，则 1 x2 f (x)dx = ____________
1
0
【答案】 1 (1− 2 2) . 18
【解析】依题意， f (x) = 1+ x4 且 f (1) = 0 .因此，
2019 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）试题参考答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的．
1、当 x → 0 时，若 x − tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k = （ ）
A. 1. C. 3. 【答案】 C.
的规范形为（ ）
A. y12 + y22 + y32
B. y12 + y22 − y32 C. y12 − y22 − y32
D. − y12 − y22 − y32
【答案】 C.
【解析】 2 + = 2 ，则 只能为 −2 或1，又由于 A = 4 ，则特征值分别为 -2,-2,1 ，则
【解析】因为 AA
=
− PA QA
dQA dPA
=
− PA QA
(−2PA
−
PB )
，将 PA
5、设 A 是四阶矩阵，A* 是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2 个向
量，则 A* 的秩是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】 A.
【解析】由于方程组基础解系中只有 2 个向量，则 r( A) = 2 ， r( A) 3 ， r( A) = 0 .
6、设 A 是 3 阶实对称， E 是 3 阶单位矩阵，若 A2 + A = 2E 且 A = 4 ，则二次型 xT Ax
1 x2 0
f
(x)dx =
1 3
1 0
f (x)dx3
=
1 3
x
3
f
(
x)
1 0
−
1 x3
0
1
+
x4
dx
=
1 18
(1 −
2
2) .
12、A、B 两商品的价格分别为 PA、 PB，需求函数 QA = 500 - PA2 - PAPB + 2PB2 ,
PA = 10 , PB = 20 ,求 A 商品对自身价格的需求弹性hAA = ____________ (h > 0) .
−4 k 4 . 3．已知微分方程 y + ay + by = cex 的通解为 y = (C1 + C2 )e−x + ex ，则 a, b, c 依次为（ ）
A、1, 0,1
B、 1, 0, 2
C、 2,1,3
D、 2,1, 4
【答案】 D.
【解析】由通解形式知， 1 = 2 = −1 ，故特征方程为（ +1）2 = 2 + 2 +1=0 ，所以
n
9、
lim
n→
1 1 2
+
1 23
+
+
1 n(n +1)
= ____________
【答案】 e−1.
【解析】
1 1 2
+
2
1
3
+L
n
1
+
n
(n
+
1)
=
n
n +
1
n
，则
lim
n→
n
n +
1
n
= e−1.
10、曲线 y = x sin x + 2 cos x(− π x 3π ) 的拐点坐标为____________
二次型的规范形为 y12 − y22 − y32 . 7、设 A, B 为随机事件，则 P( A) = P(B) 充分必要条件是
A. P( A U B) = P( A) + P(B).
B. P( AB) = P( A)P(B).
C. P(AB) = P(B A).
D. P( AB) = P( AB).
−1 x 1时，f (x) 0 ，当 x 1 时，f (x) 0 ，又由于 lim f (x) = − ，lim f (x) = + ，
x→−
x→+
方程要有三个不等实根，只需要 f (−1)=4 + k 0 ， f (1) = −4 + k <0 ，因此 k 的取值范围为
D、 (un + vn ) 发散 n=1
【答案】 B.
【解析】由 vn 条件收敛知， lim vn = 0 ，故当 n 充分大时， vn 1 . 所以，
n=1 n
n→ n
n
unvn
=
nun
vn n
nun ，由于 nun 绝对收敛，所以 unvn 绝对收敛.
n=1
n=1
C. 与 ， 2 都有关.
D. 与 ， 2 都无关.
【答案】A
【解析】X − Y ~ N (0, 2 2 ，所以 P{ X − Y 1} = (1− 0 ) = ( −1− 0) = 2( 1 ) −1；
2
2
2
选A
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．
【解析】当 x → 0 时， x − tan x
B. 2. D. 4.
− 1 x3 ，则 k =3 . 3
2．已知方程 x5 − 5x + k = 0 有 3 个不同的实根，则 k 的取值范围为（ ）
A、 (−, −4)
B、 (4, +)
C、−4, 4
D、 (−4, 4)
【答案】 D.
【解 析】令 f (x) = x5 − 5x + k ，由 f (x) = 0 得 x = 1 ， 当 x −1 时ห้องสมุดไป่ตู้ f (x) 0 ， 当
a = 2,b = 1，又由于 y = ex 是 y+2 y + y = cex 的特解，代入得 c = 4 .
4、若
nun
n=1
绝对收敛，
n=1
vn n
条件收敛，则（
）
A、 unvn 条件收敛 n=1
B、 unvn 绝对收敛 n=1
C、 (un + vn ) 收敛 n=1
【答案】C
【解析】 P(AB) = P(B A) P(A) − P(AB) = P(B) − P(AB) P( A) = P(B) ；选 C.
8、设随机变量 X 和Y 相互独立，且都服从正态分布 N (, 2 ) ，则 P{ X − Y 1}
A. 与 无关，而与 2 有关.
B. 与 有关，而与 2 无关.
2
2
【答案】（π，− 2）.
【解析】令 y = −x sin x = 0 ，可得 x = π ，因此拐点坐标为（π，− 2）.
11、已知 f (x) = x 1+ t4 dt ，则 1 x2 f (x)dx = ____________
1
0
【答案】 1 (1− 2 2) . 18
【解析】依题意， f (x) = 1+ x4 且 f (1) = 0 .因此，
2019 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）试题参考答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的．
1、当 x → 0 时，若 x − tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k = （ ）
A. 1. C. 3. 【答案】 C.
的规范形为（ ）
A. y12 + y22 + y32
B. y12 + y22 − y32 C. y12 − y22 − y32
D. − y12 − y22 − y32
【答案】 C.
【解析】 2 + = 2 ，则 只能为 −2 或1，又由于 A = 4 ，则特征值分别为 -2,-2,1 ，则