2019考研数学三真题解析
考研数学三真题解析
x2
【答案】（1） y(x) = xe 2 . （2）
【解析】（1）
y(
x)
=
e−
−
xdx
C
+
1 2x
x2
e2
e−xdx
=
x2
e2
(C
+
x ).
x2
因为 y(1) = e ，故 C = 0 ，所以 y(x) = xe 2 .
（2）由旋转体体积公式，
V = π
2
C. 与 ， 2 都有关.
D. 与 ， 2 都无关.
【答案】A
【解析】X − Y ~ N (0, 2 2 ，所以 P{ X − Y 1} = (1− 0 ) = ( −1− 0) = 2( 1 ) −1；
2
2
2
选A
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．
当x = 0：
������+′(0)
=
lim
������→0+
������(������)
− ������
������(0)
=
lim
������→0+
������2������ − ������
1
=
lim
������→0+
������ 2������������������������ ������
的规范形为（ ）
A. y12 + y22 + y32
B. y12 + y22 − y32 C. y12 − y22 − y32
D. − y12 − y22 − y32
2019年考研数学(三)真题及答案解析(完整版)
【解析】令 un
1 n3
, vn
1n
，故（A）（C）排除。令 un
1 n3
, vn
1n
1 ln n
，故（D）
排除，对于选项（B），由于 vn 条件收敛，则 lim vn 0 ，且 lim unvn lim vn 0 ，
n1 n
n n
n nun n n
根据正项级数判别法 nun 绝对收敛，则 unvn 绝对收敛。综上，故选（B）.
（C）3.
（D）4.
【答案】（C）
【解析】 x tan x ~ 1 x3, 故 k 3. 3
（2）已知方程 x5 5x k 0 有 3 个不同的实根，则 k 的取值范围（ ）
（A） (, 4) （B） (4, ) （C）[4, 4] （D） (4, 4)
【答案】（D）
【解析】令 f x x5 5x k ，则 f x 5x4 5 5 x4 1 5 x2 1 x2 1 ，
则 x 1, f x 0 ； 1 x 1, f x 0 ； x 1, f x 0 ；
又 lim f x , lim f x ，综合单调性知 f 1 0, f 1 0 时才有三个根，
x
x
即 f 1 1 5 k 0, f 1 1 5 k 0, 则 4 k 4 。
n 2 2 3
n n+1 n n+1
(10)
曲线
y
x
sin
x
2
cos
x
2
x
3 2
的拐点坐标为
【答案】
【解析】 y ' sin x x cos x 2sin x x cos x sin x
y '' cos x x sin x cos x x sin x ，令 y '' 0得x 0或x
(完整版)2019考研数学三真题及参考答案解析
2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析一、选择题1.（）为同阶无穷小，则与时，若当=-→k xx x x ktan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.的取值范围为（）个不同的实根，则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+，4 C.]44[,- D.），（44- 3.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,44.的是（）条件收敛，则下列正确绝对收敛，已知∑∑∞=∞=11n nn n nv nu A.条件收敛nn n v u ∑∞=1 B.绝对收敛∑∞=1n nn v uC.）收敛（nn nv u +∑∞=1D.）发散（nn nv u +∑∞=15个的基础解析有的伴随矩阵，且为阶矩阵，为已知204*=Ax A A A 线性无关的解，则) ()(=*A r A.0 B.1 C.2 D.36.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是A.).()()(B P A P B A P +=YB.).()()(B P A P AB P =C.).()(A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二．填空题，9~14小题，每小题4分，共24分.9.()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→nn n n 11321211lim Λ 10. 曲线⎪⎭⎫⎝⎛-+=232cos 2sin ππ＜＜x x x y 的拐点坐标为 11. 已知()t t x f xd 114⎰+=，则()=⎰x x f x d 10212. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为222500B B A A p p p p +--,则当A p =10，B p =20时，A 商品的价格需求弹性AA η(0＞AA η)=13. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1101111012a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b 10，若b Ax =有无穷多解，则a= 14 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题15.已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f x x ，求的极值并求)(f )('f x x16.设)(v u f ，具有连续的2阶偏导数，求),,(),(y x y x f xy y x g -+-=22222y gy x g x g ∂∂+∂∂∂+∂∂ 17.)(x y 显微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.（1）求)(x y（2）区域D {})(0,21,x y y x y x ≤≤≤≤）（，D 绕轴旋转的旋转体的体积 18.求曲线)0(sin >=-x x e y x与x 轴之间图形的面积。
2019考研数学三【解析版】【无水印】
所以 r( A*) = 0 ．
6．设 A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若 A2 + A =2E ，且 A = 4 ，则二次型 xT Ax 的规范形是
（
）
（A） y12 + y22 + y32 （B） y12 + y22 − y32 （C） y12 − y22 − y32
（D） − y12 − y22 − y32
,0
<
x
<
2
，
F(x) 为其分布函数，
E(X )
其数学期望，则
0, 其他
P{F ( X ) > E( X ) −1} =
．
【答案】 2 . 3
0, x < 0
∫ 【详解】 F (x=)
P{X ≤ x=}
1 4
x2
,
0
≤
x
<
2
，= E( X )
= 2 x2 dx
4
．
02
3
1, x ≥ 2
∫ P{F ( X ) > E( X ) −1} =P{F ( X ) > 1} =P{X > 2 } =1−
EQA = EPA
PA ⋅ ∂QA = 10 × 40 = 0.4 ． QA ∂PA 1000
3
1 0 −1 0
13．已知= 矩阵 A
1
1
−1
,
b
=
1
．若线性方程组
Ax
=
b 有无穷多解，则
a
=
．
0 1 a2 −1 a
【答案】1．
【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：
1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0
2019考研数学三真题及答案解析
2019考研数学三真题答案解析（完整版）1.3tan 3x x x --若要x - tan x 与x b 同阶无穷小，\ k = 3\选C2.54()5()5501f x x x k f x x x '=-+=-==±(1,1)()0,(),(,1)(1,),()0x f x f x x f x ''∈-<↓∈-∞-⋃+∞>，()f x ↑极大值(1)154f k k -=-++=+极小值(1)154f k k =-+=-lim ();lim ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞若要550x x k -+=有3个不同的实根∴(1)0(1)04040f f k k -><+>-<即∴44(4,4)k -<<-即选D 。
3.解：∵通解为12()e e xxy C C x -=++∴e ,e 0x x x y ay by --'''++=为的两个解.即1λ=-为重根.22010402,1,a b a b a b a b λλ++=⇒-+=∆=-=⇒==∴e x 为e x y ay by c '''++=的特解：2exy y y c '''++=将e x y =代入e 2e e e 4x x x x c c ++=⇒=∴2,1,4a b c ===∴选D.4.1n n nu ¥=å 绝对收敛，1nn v n ¥=å 条件收敛n n u nu £ 1n n u ¥=\å绝对收敛.nv n有界.不妨设n v M n <n n nu v M u \£1n n M u ¥=å 收敛1n n n u v ¥=\å绝对收敛.故选B5.0Ax = 的基础解系中只有2个向量()24()n r A r A \-==-()0r A *\=\选A6.选（C ）解：由22A A E +=得22λλ=+，λ为A 的特征值，2λ=-或1，又1234A =λλλ=，故1232,1,λλλ==-=规范形为222123y y y --，选（C ）7.选（C ）解：法一：()()()P AB P A P AB =-()()()P B A P B P AB =-()()()()P A P B P AB P B A =\=选（C ）法二排除法（A ）A B ==W 时排除（A ）（B ）若A 、B 互斥，且0()1,0()1,P A P x <<<<排除（B ）（D ）若A B ==W ，则()()1,()()0P AB P P AB P =W ==F =，排除(D)8.解：因为22(,)(,)X N u Y N u s s X 与Y 相互独立2(0,2)X Y N s \-{}11121222X Y P X Y Pss s -÷ç\-<=<=F -÷ç÷ç\与u 无关，即与2a 有关选择（A ）9.11lim 12(1)nx n n +¥÷ç÷++ç÷ç÷×+11lim eenn x -++¥==10.3sin 2cos 22y x x x x p p ÷ç=+-<<÷ç÷çsin cos 2sin cos sin y x x x x x x x¢=+-=-令()cos sin cos sin 0y x x x x x x x =--=-=得0,x x p==0x <时，()0y x <0x >时，()0y x <不为拐点.0x p <<时，()0y x <32x pp >>时，()0y x >拐点为(),2p -11.解析：()()()1201201130113130104034120()d d 1d 31|311)341211(1)|1)1231818x f x xx t xt xx t x xx x ===-=-⋅+=-⋅+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰12.解析：2222(2)5002(2)5002A AA A AAA B A A B B A A B A A B B P Q Q P P P P P P P P P P P P P P P h ¶=-׶=-×----++=-+故10,20A B P P ==时，10404000.45001002008001000h ´===--+13.解析：2221010()111101110101010010101010110011A b a a a a a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭当a =1时()()23r A r A b ==< ，Ax =b 有无穷多解.14.X 的概率密度为,02()20,else xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩3222210022221184d d |2223630()024121{()1}{()}{2}2}32d 2243xx EX x x x x x x F x x x P F X EX P F X P X P X x P X x x =⋅====<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩≥-=≥=≥=<⎫=<<=⎬⎭==⎰⎰15.解：当0x >时22ln 2ln ()e ()e (2ln 2)x x x x x f x x f x x ¢===+当0x <时()e e x xf x x ¢=+当0x =时0000()(0)e 11lim ()lim lim lim e 10x xx x x x f x f x f x x x-----+-====-2000()(0)11lim ()lim lim 0x x x x f x f x f x x x----+-==-不存在\有()f x 在0x =点不可导.于是2ln e (2ln 2)0(),0e +e ,0x x x x x xf x x x x ，不存在ìï+>ïïï¢==íïïï<ïî令()0f x ¢=得121,1,ex x ==-于是有下列表x (,1)-¥--1（-1，0）010,e ÷ç÷ç÷ç1e1,e÷ç+¥÷ç÷ç()f x ¢-0+不存在-0+()f x ¯极小值极大值¯极小值于是有()f x 的极小值为2e 11(1)1,e e ef f -÷ç-=-=÷ç÷ç，极大值为(0)1f =16.解析：(,)(,)g x y xy f x y x y =-+-''2""""2''2""""22""""(,)(,)1u v uu uv vu vvu v uu vv vu vv uu uv vu vvgy f x y x y f x y x y x g f f f f x gx f f yg f f f f yx g f f f f x y∂=-+--+-∂∂=----∂∂=-+∂∂=-++-∂=-+-+∂∂所以：22""""212uu uu vv uu g g xg f f f f x x y y ∂∂∂++=---+-∂∂∂∂""13uu vvf f =--17.解析：（1）22x y xy ¢-=)2222222d d 22222ee d e e d e ex x x xx xx x x x y x C x C x C C通解--÷ç÷ç=×+÷ç÷÷ç÷ç÷ç=×+÷ç÷÷ç÷ç=+÷ç÷ç=òòò由(f C =+0C =所以22(e x f x （2）()22222221221222411e d e d e d e =e -e 222x x x x x V x x x x p p p p p ÷÷=÷÷÷=×==òòò18.[)2,2x k k p p p Î+时()(21)12(21)2(21)(21)22(21)2(21)(21)22(21)21(21)2e sin d sin de sin e e cos d e cos d =e cos d cos e +e (sin )d e e1e e 2k x k k xk k k x x x k k k x k k k x x k k k k k k S x x x x x x x xx xx x xS x p pp pp p ppp pp p ppppp p +-+-++---+-++---+--+-==-=-×+=-=+-=+òòòòò[)22,22x k k p p p Î++(22)22(22)(22)22(21)21)(22)2(21)2(22)(21)2(22)e sin d sin e -e cos d =-ecos d cos e -e (sin )d e e 1e e 2k x k k k x x k k k k k xx x k k k k k k S x xx x xx x x x xS p p pp p pp pp p pp ppp pp p p +-+++--++++---+++-+-+-+==-=+-=-+--=+òò((21)k p -+ùúû面积为(())()12(21)2(22)02202212e e e 21=12e e e 211e 112e e 21e 2e 1k k k k k k k SS p p p p pp p p p p p ¥=¥-+--+=¥---=----ù=++úû+++=++=--ååå19.设1(0,1,2,)n a x n ==⎰…（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,);2n n n a a n n --==+ （2）求1lim.nn n a a →∞-解析（1）111110(1)0.n n n n a a xxx x ----=-=-<⎰⎰⎰则{}n a 单调递减.1/2/222201sin sin cos sin (1sin ),2n n n n n n a x dxx t t tdt t t dt I I I n ππ+=-⋅=⋅-=-=+⎰⎰⎰则2222111,.(2)(2)n n n n n n n a I a a I n n n n ------===++则（2）由（1）知，{}n a 单调递减，则211111, 1.222n n n n n a n n n a a a n n n a ------=><<+++即由夹逼准则知，1lim1.nn n a a →∞-=20.解：123123(,,,,,)αααβββ2222111101102123443313111101011022001111a a a a r a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪ ⎪----⎝⎭①若a =1，则123123123123(,,)(,,)(,,,,,)r r r αααβββαααβββ==此时向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，令123(,,)A ααα=则31023()01120000A β⎛⎫⎪→-- ⎪⎪⎝⎭此时3123(32)(2)k k k βααα=-+-++②若a =-1，则()2(,)3r A r A B =≠=，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价.③若1,1a ≠-，31001()01010011A β⎛⎫⎪→- ⎪⎪⎝⎭3123βααα=-+21.2212102201000200A x B y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦与相似（1）1231~413()()242210(2)010(1)(2)(2)00021,2,21211211201242000001210001001000022A Bx yx tr A tr B y x y E B x x A E A E λλλλλλλλλξλ∴-=+=⎧∴=⇒⇒⎨=-+=-⎩---=+=++-=-=-=-=---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-+=T 时, ＝(-,,)时,()2311321410440125201050211240000000004212122102221200100112004000000211,122040A E P ξλξξξξ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦TT ＝(-,,)时, ＝(-,,0), 111122P AP --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1223310310100000113000100041010022010010001000000010010322030001100004000B E x B E x B E x λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦TT时， （-，，）时， （，，）时， （，，121232212212121211221()22122()1211030122001040130111212004101100()3000006100011011000P x x x P BP B P P B P P A PP P PP P iE -----⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-=---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦--→T） 故＝03310010001101100010001100100311000030100011001103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.（1）随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x X {}{}{}{}())(1)()1(1,1,)(z F p z F p Y z X P Y z X P z XY P z Z P z F XXZ --+-=-=-≥+=≤=≤=≤=当0<z 时，()zX Z pe z F p z F =--=)(1)(当0≥z 时，()pe p z F p z F p z F z X X Z +--=--+-=-)1)(1()(1)()1()(则⎩⎨⎧≤>-=-0,0,)1()(z pe z e p z f z zZ （2）p EY EX XY E EZ EX 21)(,1-=⋅===()())21(221)()()()()(222p p EX DX Y E X E Y X E XZ E -=-+===当())()(2Z E XE XZ E =时，Z X ,不相关.即)21(221p p -=-，可得21=p .（3）因为{}{}01,1,11,1=≥-=≤=-≤≤X Y X P Z X P 又{}111--=≤e X P ，{}11-=-≤peZ P 则{}{}{}111,1-≤⋅≤≠-≤≤Z P X P Z X P ，故不独立.23.（1）由1222222222)(2)(==-=⎰⎰∞+----∞+πσμσμσμσμμA x deA dx eAx x 可得：π2=A .（2）设n x x x ,,,21 为样本值，似然函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧>∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--elsex x x e L n x nn ni i ,0,,,,2121212122μπσσμσ当μ>n x x x ,,,21 时，()()()()2122221ln 2ln 2ln 2ln ∑----==n i i x n n L μσσπσ令()()()0)(2112ln 1222222=∑-+-==n i i x n d L d μσσσσ，可得()nx ni ∑=-=1212μσ故2σ的最大似然估计量为()nXni ∑=-=1212μσ .。
考研数学三历年真题答案与解析-模拟试题
考研数学三历年真题答案与解析|模拟试题展开全文第一部分历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解详解2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2015年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2016年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2017年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2018年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2019年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解（2）模拟试题及详解部分：精选了3套模拟试题，且附有详尽解析。
考生可通过模拟试题部分的练习，掌握最新考试动态，提前感受考场实战。
第二部分模拟试题及详解全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（一）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（二）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（三）第一部分历年真题及详解解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（）。
A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．振荡间断点【答案】B查看答案【考点】函数间断点的类型【解析】首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。
第一类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x0为函数f（x）的第一类间断点，其中：①跳跃型间断点：②可去型间断点：第二类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x0为函数f（x）的第二类间断点，其中：①无穷型间断点：与至少有一个为∞；②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。
2019年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解【圣才出品】
＿
相互独立，并不能说明 P（A）＝P（B）。对选项 D 来说，若令 B＝A，等式恒成立，亦不
＿
＿
能说明 P（A）＝P（B）。P（AB）＝P（A）－P（AB），P（BA）＝P（B）－P（AB），P
＿
＿
（AB）＝P（BA）⇒P（A）＝P（B）。故选 C。
8．设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分布 N（μ，σ2），则 P{|X－Y|＜1（} ）。 A．与 μ 无关，而与 σ2 有关 B．与 μ 有关，而与 σ2 无关 C．与 μ，σ2 都有关 D．与 μ，σ2 都无关 【答案】A
2．已知方程 x5－5x＋k＝0 有 3 个不同的实根，则 k 的取值范围（ ）。 A．（－∞，－4） B．（4，＋∞） C．{－4，4} D．（－4，4） 【答案】D 【考点】简单函数的几何特征分析
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【解析】方程 x5－5x＋k＝0 有 3 个不同实根等价于曲线 y＝x5－5x 与直线 y＝－k 有
3 个不同的交点，因此研究曲线 y＝x5－5x 的曲线特点即可。
令 f（x）＝x5－5x，则 f（x）在 R 上连续，且 f′（x）＝5x4－5。再令 f′（x）＝0，得
x＝±1。通过分析 f′（x）在稳定点 x＝±1 左右两侧的符号，可知当 x∈（－∞，－1）时，
f′（x）＞0，f（x）单调递增；当 x∈（－1，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当 x∈
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2019 年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分。共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有 一个选项符合题目要求。）
2019年考研《数学》考试试题及答案(卷三)
2019年考研《数学》考试试题及答案（卷三）一、选择题(1) 已知当0x 时，()3sin sin 3f x xx 与kcx 是等价无穷小，则( )(A) 1,4k c . (B) 1,4k c .(C) 3,4kc.(D)3,4kc.2．已知x f y 是由方程1ln cos x yxy 确定，则12lim nfn n（）（A ）2 （B ）1 （C ）-1（D ）-2(3) 设n u 是数列，则下列命题正确的是( )(A) 若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛. (B)若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛.(C) 若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛. (D)若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛.４．设函数exxx ex x x f ,ln11,)1(1)(11，且反常积分dx x f 收敛，则（）（A ）2（B ）2a（C ）02a （D ）20(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ，210000101P ，则A ( )(A) 12PP ．(B)112P P ．(C)21P P ． (D)121P P ．6．设k D 是圆域1|),(22yx y x D的第k 象限的部分，记kD kdxdy x yI )(，则（）（A ）01I （B ）2I （C ）3I （D ）4I (7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A) 12()()f x f x ． (B) 212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ．(D)1221()()()()f x F x f x F x ．8．矩阵1111aa b a a 与矩阵00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0b a （B ）0a ，b 为任意常数（C ）0,2ba（D ）2a，b 为任意常数二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．)(9) 设0lim 13xtt f xx t ，则f x.10．设函数dt e x f x t11)(，则)(x f y的反函数)(1y fx 在0y 处的导数|ydydx ．(11) 曲线tan4yx ye 在点0,0处的切线方程为 .12．曲线上21ln arctan t yt x 对应于1t 处的法线方程为．(13) 设二次型123,,Tfx x x x Ax 的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换xQ y 下的标准形为．14．设ij a A是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0j i a A ijij ，则A =．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分) 求极限012sin 1limln 1xx x x x．16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y，直线a x )0(a及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x。
2019考研数学三(试题与解析)
C.
D.
，有
可得 ，
；
.
若要
由 3 个不同的实根，则必须满足：
，即
，则
.
3. 已知微分方程 次为（ ）
A. 1，0，1
B.1，0，2
的通解为
，则
依
C. 2，1，3
D. 2，1，4
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【解析】D
由题设条件可得：
①
为
方程
的两个解，即
有重根-1，则
.
②为
的特解，即为
.
,求
，并求 的极值.
， ；
；故
，令
可得
，
-
0
+
不存在
-
0
+
极小值
极大值
极小值
于是由 的极小值为
，极大值为
.
16. 已知
具有 2 阶连续偏导数，且
，求
【解析】
，
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故
.
17. 已知 满足微分方程
，且有
.
（1）求 ；
（2） 转体体积.
，求平面区域 绕 轴旋转一周成的旋
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2019 全国硕士研究生入学统一考试
一、选择题
1. 当
时，
A. 1
C. 3
【解析】C
数学（三）试题
与 是同阶无穷小，则 =（ ） B. 2 D. 4
由于
，则可得
2. 已知方程
A.
B.
【解析】D
令 ，当
则可得：极大值为
极小值为
2014-2019考研数学三真题及答案解析(无2018年)
(ad bc)2 .
故选(B).
(6) 设 a1, a2, a3 均为三维向量，则对任意常数 k, l ,向量组 a1 ka3 , a2 la3 线性无关是向量
a1, a2 , a3 线性无关的 ( )
(A)必要非充分条件
(B)充分非必要条件
(C)充分必要条件
(D)既非充分也非必要条件
【答案】(A)
a (B) an 2
(C) an
a
1 n
(D) an
a
1 n
【答案】(A)
【金程解析】本题主要考查极限的保号性：
lim
n
an
a
0
，可得
N
0
，当
n
N
时，
an
1 2
a
.故选(A).
(2) 下列曲线有渐近线的是（ ）
(A) y x sin x
(B) y x2 sin x
(C) y x sin 1 x
而 lim x0
p(x) tan x3
x
lim
x0
bx
cx2
dx3 x3
tan
x
lim
x0
b
2cx sec2 3x2
x
d
所以 lim(b 2cx sec2 x) 0,b 1. x0
原式
lim
x0
b
2cx sec2 3x2
x
d
lim
x0
2c 3x
1 3
d
0,c
0, d
1. 3
故选(D).
(D) y x2 sin 1 x
【答案】(C)
【金程解析】本题主要考查渐近线的定义、分类及求法：
2019考研数学三真题解析
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当0x →时，若tan x x −与kx 是同阶无穷小，则k =（）A. 1. B. 2.C. 3. D.4.【答案】 C.【解析】当0x →时，31tan 3x xx −−，则=3k .2．已知方程550x x k −+=有3个不同的实根，则k 的取值范围为（）A 、 (,4)−∞− B 、(4,)+∞C 、{}4,4−D 、(4,4)−【答案】 D.【解析】令5()5f x x x k =−+，由()0f x '=得1x =±，当1x <−时，()0f x '>，当11x −<<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，又由于lim ()x f x →−∞=−∞，lim ()x f x →+∞=+∞，方程要有三个不等实根，只需要(1)=40f k −+>，(1)4<0f k =−+，因此k 的取值范围为44k −<<.3．已知微分方程e x y ay by c '''++=的通解为12()e e xx y C C −=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、1,0,1B 、 1,0,2C 、2,1,3D 、2,1,4【答案】 D.【解析】由通解形式知，121λλ==−，故特征方程为221=21=0λλλ+++（），所以2,1a b ==，又由于e x y =是+2x y y y ce '''+=的特解，代入得4c =.4、若1n n nu ∞=∑绝对收敛，1nn v n ∞=∑条件收敛，则（ ） A 、1n nn u v∞=∑条件收敛B 、1n nn u v∞=∑绝对收敛C 、1()nn n uv ∞=+∑收敛D 、1()nn n uv ∞=+∑发散【答案】 B. 【解析】由1n n v n∞=∑条件收敛知，lim 0nn v n →∞=，故当n 充分大时，1n v n . 所以，nn n n n vu v nu nu n=⋅，由于1n n nu ∞=∑绝对收敛，所以1n n n u v ∞=∑绝对收敛.5、设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组=Ax 0的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（ ） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2r A =，()3r A <，()0r A *=. 6、设A 是3阶实对称，E 是3阶单位矩阵，若2=2A +A E 且4=A ，则二次型T x Ax 的规范形为（ ）A. 222123y y y ++ B.222123y y y +− C.222123y y y −− D.222123y y y −−−【答案】 C.【解析】22λλ+=，则λ只能为2−或1，又由于4=A ，则特征值分别为-2,-2,1，则二次型的规范形为222123y y y −−. 7、设,A B 为随机事件，则()()P A P B =充分必要条件是A.()()().P A B P A P B =+UB.()()().P AB P A P B =C.()().P AB P BA =D.()().P AB P AB =【答案】C【解析】()()()()()()()()P AB P BA P A P AB P B P AB P A P B =⇔−=−⇔=；选C.8、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N μσ，则{1}P X Y −<A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与μ，2σ都有关. D.与μ，2σ都无关.【答案】A【解析】2~(0,2X Y N −σ，所以{1}21P X Y −<=Φ=Φ=Φ−；选A二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．9、111lim 1223(1)nn n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥⋅⋅+⎣⎦____________ 【答案】1e .−【解析】111+++1223(1)1nn n n n n ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⨯⨯⨯++⎝⎭⎣⎦L ，则1lim e .1nn n n −→∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭10、曲线π3πsin 2cos ()22y x x x x =+−<<的拐点坐标为____________ 【答案】 π2−（，）. 【解析】令sin0y x x ''=−=，可得πx =，因此拐点坐标为π2−（，）. 11、已知1()f x t =⎰，则120()d xf x x =⎰____________【答案】1(118−.【解析】依题意，()f x '=(1)0f =.因此，11123310000111()d ()d ()(13318x f x x f x x x f x x x ⎡⎤==−=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰. 12、A 、B 两商品的价格分别为、，需求函数,, ,求A 商品对自身价格的需求弹性____________ .【答案】0.4. 【解析】因为d (2)d A A A AA A B A A AP Q PP P Q P Q η=−⋅=−⋅−−，将，，1000A Q =代入，可得104000.41000AA η=⋅=. 13、2101111011a −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭A ，01a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b ，=Ax b 有无穷多解，求____________ 【答案】1.【解析】因为=Ax b 由无穷多解，故()()3r r =<A A,b ，对矩阵()A,b 作初等行变换，因为P A P B Q A =500-P A 2-P A P B +2P B 2P A =10P B =20h AA =h >0()P A =10P B =20a =21010()01010011a a −⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭A,b ，故2110a a −=−=，因此1a =.14、为连续型随机变量，概率密度为, 为的分布函数，为的期望，求{}()1P F X EX >−=____________【答案】2.3【解答】由条件可得224()d d 23x EX xf x x x +∞−∞===⎰⎰，且可求得分布函数20,0,(),02,41, 2.x xF x x x <⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩故可得12{()1}{()}.33P F X EX P F X >−=>=三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分10分）已知2,0,()e 1,0.x x x x f x x x ⎧>=⎨+⎩求()f x '，并求()f x 的极值.【答案】f ′(x )={2x 2x (lnx +1)；x >0e x (x +1)；x <0，极大值f (0)=1.极小值1(1)1e f −=−，2e 1()e ef −=.【解析】解：当x >0时：f ′(x )=(e 2xlnx −1)′=(e 2xlnx )′=e 2xlnx (2lnx +2)=2x 2x (lnx +1)当x <0：f ′(x )=e x +xe x =e x (x +1)因此f ′(x )={2x 2x (lnx +1)；x >0e x (x +1)；x <0当x =0：X f (x )=x2,0<x <20,elseìíïîïF (x )X EX Xf +′(0)=lim x→0+f (x )−f(0)x =lim x→0+x 2x −1x =lim x→0+e 2xlnx −1x =lim x→0+2xlnxx=−∞f −′(0)=lim x→0+f (x )−f(0)x =lim x→0+xe x x=lim x→0+e x =0当x >0时，f ′(0)<0，f (x )单调递减，当x <0时，f ′(0)>0，f (x )单调递增因此f (x )在x =0处取得极大值，且f (0)=1.令()0f x '=得，1x =−及1e x =. 又1(1)0,()0e f f ''''−>>，故极小值为1(1)1ef −=−，2e 1()e ef −=. 16、（本题满分10分）已知(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且(,)(,)g x y xy f x y x y =−+−，求22222g g gx x y y ∂∂∂++∂∂∂∂.【答案】112213.f f ''''−−【解析】依题意知，12(,)(,)gy f x y x y f x y x y x∂''=−+−−+−∂， 12(,)(,)gx f x y x y f x y x y y∂''=−+−++−∂. 因为(,)f u v 具有二阶连续偏导数，故1221f f ''''=，因此，2111221221112222()()2gf f f f f f f x ∂''''''''''''''=−+−+=−−−∂， 21112212211221()()1gf f f f f f x y∂''''''''''''=−−−−=−+∂∂， 2111221221112222()()2gf f f f f f f y∂''''''''''''''=−−+−=−+−∂. 所以，22211222213.g g gf f x x y y∂∂∂''''++=−−∂∂∂∂17、（本题满分10分）已知()y x 满足微分方程22ex y xy '−=，且满足(1)y =（1）求()y x ；（2）若{}(,)12,0()D x y x y y x =，求区域D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积.【答案】（1）22()e x y x =. （2）【解析】（1）22d d 22()e e e e (x xx x x x y x C C −−−⎛⎫⎰⎰=+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰因为(1)y =0C =，所以22()e .x y x =（2）由旋转体体积公式，222224211ππe )d πe d (e e).2x x V x x x ===−⎰⎰18、（本题满分10分）求曲线()esin 0xy x x −=与x 轴之间图形的面积.解:设在区间[π,(1)π]n n +(0,1,2,)n =上所围的面积记为n u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d n n xnx n n n u x x x x ++−−==−⎰⎰;记esin d xI x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰ ecos e dsin e cos (e sin sin de )xx x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++;因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22n nxn n n n u x x +−−+−=−−+=+;(这里需要注意cos π(1)nn =−)因此所求面积为ππππ111e 11e 221e 2e 1n n n n u −∞∞−−===+=+=+−−∑∑. 19、（本题满分10分）设()10,1,2n a x x n ==⋅⋅⋅⎰（1）证明数列{}n a 单调递减；且()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+（2）求1lim−∞→n nn a a .(1)证明:110(0n n n a a x x +−=−<⎰,所以{}n a 单调递减.1333111212212220011(1)[(1)(1)]33n n n n a x d x x x x dx −−−=−−=−−−−⎰⎰1220110021(131()31(),3n n n n n x x x n x x x x n a a −−−−=−−=−−=−⎰⎰⎰从而有()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+; (2)因为211n n n n n na a a a a a −−<<=,而21lim lim12n n n n a n a n →∞→∞−−==+,由夹逼准则知 1lim1nn n a a →∞−=.20、（本题满分11分）已知向量组I ：()()()21231,1,4,1,0,4,1,2,3TT Ta ===+αααII ：()()()21231,1,3,0,2,1,1,3,3TTTa a a =+=−=+βββ若向量组I 与II 等价，求a 的取值，并将3β用123,,ααα线性表示.【答案】1a ≠−；1a =时，3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；当1a ≠±时，3123=−+βααα.【解析】令123(,,)=A ααα,123(,,)=B βββ，所以，21a =−A ，22(1)a =−B .因向量组I 与II 等价，故()()(,)r r r ==A B A B ，对矩阵(,)A B 作初等行变换.因为2222111101111101(,)102123011022.443313001111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++−+−−−−⎝⎭⎝⎭A B 当1a =时，()()(,)2r r r ===A B A B ；当1a =−时，()()2r r ==A B ，但(,)3r =A B ；当1a ≠±时，()()(,)3r r r ===A B A B . 综上，只需1a ≠−即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.①当1a =时，12331023(,,,)01120000⎛⎫⎪→−− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，故3112233x x x =++βααα的等价方程组为132332,2.x x x x =−⎧⎨=−+⎩故3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；②当1a ≠±时，12331001(,,,)01010011⎛⎫⎪→− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，所以3123=−+βααα.21、（本题满分11分）已知矩阵22122002A x −−⎛⎫ ⎪=− ⎪⎪−⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭相似.（1）求x ,y ;（2）求可逆矩阵P 使得1P AP B −=.解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B 又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−.(2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002P AP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭;同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B P P APP −−=,所以112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 22、（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为(1)P Y p =−=,(1)1P Y p ==−,(01p <<)，令Z XY =.（1）求Z 的概率密度;（2）p 为何值时，X 与Z 不相关;（3）X 与Z 是否相互独立?【答案】（1）e ,0,()(1)e ,0.z Z zp z f z p z −⎧<=⎨−⎩（2）12p =；（3）不独立.【解析】（1）Z 的分布函数为()()(1,)(1,)Z F z P XY z P Y X z P Y X z ===−−+=，因为X 与Y 相互独立，且X 的分布函数为1e ,0,()0,0.x X x F x x −⎧−>=⎨⎩因此，e ,0,()[1()](1)()(1)(1e ),0.z Z X X zp z F z p F z p F z p z −⎧<=−−+−=⎨−−⎩所以，Z 的概率密度为e ,0,()()(1)e ,0.z Z Z zp z f z F z p z −⎧<'==⎨−⎩（2）当22(,)()0Cov X Z EXZ EX EZ EX EY EX EY DX EY =−⋅=⋅−⋅=⋅=时，X 与Z 不相关. 因为1DX =，12EY p =−，故1.2p = （3）不独立. 因为(01,1)(01,1)(01)P X Z P X XY P X ==，而1(1)(1)(1)(1e )1Z P Z F p −==−−≠，故(01,1)(01)(1)P X Z P X P Z ≠⋅， 所以X 与Z 不独立. 23、（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()22e ,,(;)0,,x A x f x x μσμσσμ−−⎧⎪=⎨⎪<⎩μ是已知参数，0σ>是未知参数，A 是常数. 12,,,n X X X 是来自总体X 简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量. 【解答】（1）由密度函数的规范性可知()d 1f x x +∞−∞=⎰，即222222()2220ed ed d 12x t t AAx t t μσσσμσσ−−−−+∞+∞+∞−∞====⎰⎰⎰，得A =（2）设似然函数22()22211()(;)i x nni i i L f x μσσσ−−====∏，取对数22221()1ln ()ln ]22ni n x L μσσσ=−=−∑； 求导数2221224241()()d ln ()1[]d 2222nin i i i x x L nμμσσσσσσ==−−=−+=−+∑∑，令导数为零解得2211()ni i x n σμ==−∑，故2σ的最大似然估计量为2211()ni i X n σμ==−∑.。
2019年考研数学三真题答案解析
vn M nun ， nu n 绝对收敛，根据比较审敛法，故 B 绝对收敛. n n 1
1 ,则 D 错，因此选 B. 1 1 n 【方法二】 un 3 , vn 1 ，则 A、C 错， un 3 , vn n n ln n
6 / 13
当 x 0 时， f x xe 1 e xe 1 x e . 当 x =0 时， f 0 1 ， f 0 lim
3 x 时， y ( x) 0 ，故拐点为 , 2 . 2
4 / 13
11.已知 f ( x) 【答案】
x
1
1 t 4 dt ，则 x 2 f ( x)dx
0
1
1 (1 2 2 ) 18
【答案解析】
1
0
x 2 f ( x) d x
1 0
x2
2019 考研数学三真题解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的. 1.当 x 0 时，若 x tan x 与 x k 是同阶无穷小，则 k A. 1. C. 3. 【答案】C. 【答案解析】 x tan x 故选 C. 对泰勒不熟悉的同学，本题也可以用洛必达法则.
1 1 0 0 ________ . 1 , b 13. A 1 1 1 , AX b 有无穷多解，则 a = 2 0 1 a 1 a
【答案】 a 1 【答案解析】
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2019考研数学三真题
2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.
（1）当 x 0 时，若 x tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k =（ ）
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(2)已知方程 x5 5x k 0有3个 不同的实根，则 k 的取值范围是（ ）
设总体X的概率密度为f
( x;
2
)
A
e
(
x )2 2 2
,
x
.
0,
x .
其中 是已知参数， 0 是未知参数， A 是常数， X1, X 2 ,, X n 是来自总体 X 的简单随机样本.
(1) 求A；
(2) 求 2的最大似然估计量.
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n 1 n2
an2 (n
2,3, L)
（2） 求 lim an . a n n1
(20)(本题满分 11 分) 已知向量组
I：1 (1,1,4)T ,2 (1,0,4)T ,3 (1,2, a2 3)T II： 1 (1,1, a 3)T , 2 (0,2,1 a)T , 3 (1,3, a2 3)T 若向量组 I 与向量组 II 等价，求 a 的取值，并将 3用1，2，3 线性表示
(6) 设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2 A 2E，且 A 4.则二次型xT Ax 的 规范 形
为（ ）
(A) y12 y22 y32 (C) y12 y22 y32
(B) y12 y22 y32 (D) y12 y22 y32
（7） 设A, B为随机事件，则P( A) P(B)的充分必要条件是 （ ）
2019考研真题答案数学
2019考研真题答案数学2019年考研数学真题答案解析考研数学作为研究生入学考试的重要组成部分，对于广大考生来说，掌握真题的解题方法和技巧至关重要。
以下是2019年考研数学真题的答案解析，供考生参考。
一、选择题1. 根据题目所给的函数f(x)=x^2-4x+3，我们可以求出其导数f'(x)=2x-4。
令f'(x)=0，解得x=2，代入原函数求得极小值f(2)=-1。
因此，选项A为正确答案。
2. 根据题目所给的级数求和公式，我们可以利用等比数列求和公式进行计算。
经过计算，得到级数的和为S=1/(1-1/2)=2。
因此，选项C为正确答案。
3. 根据题目所给的矩阵A和B，我们可以进行矩阵乘法运算，得到C=A*B。
然后根据矩阵的特征值定义，求出矩阵C的特征值。
经过计算，得到特征值分别为1, 2, 3。
因此，选项B为正确答案。
...二、填空题1. 根据题目所给的微分方程，我们可以将其转化为一阶线性微分方程的标准形式。
然后利用变量分离法求解，得到通解y=Ce^(-x)。
因此，答案为y=Ce^(-x)。
2. 根据题目所给的曲线和点，我们可以利用定积分的几何意义，求出曲线与x轴所围成的面积。
经过计算，得到面积为S=1/2π。
因此，答案为S=1/2π。
...三、解答题1. 首先，我们需要求出函数的二阶导数，然后根据泰勒公式展开函数。
接着，利用拉格朗日中值定理，求出函数在区间[a,b]上的误差估计。
最后，根据误差估计的大小，判断函数的近似值是否满足精度要求。
2. 根据题目所给的线性方程组，我们可以利用高斯消元法进行求解。
首先，将方程组写成增广矩阵的形式，然后进行行变换，得到行最简形式。
接着，根据行最简形式，求出方程组的解。
...四、证明题1. 根据题目所给的函数和条件，我们可以利用函数的连续性和导数的性质，证明函数在区间上满足罗尔定理的条件。
然后，根据罗尔定理，求出函数在区间上的某个点的导数为0。
2. 根据题目所给的级数和条件，我们可以利用柯西收敛准则，证明级数的收敛性。
2019考研数学三真题及答案
2019考研数学三试题和答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____.（2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________.（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdyx y g x f I )()(=_______.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a Tα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵TE A αα-=，Ta E B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ，则Y 与Z的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(=[](A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0. (C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是[](A)),(0y x f 在0y y =处的导数等于零.（B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零.(C)),(0y x f 在0y y =处的导数小于零.(D)),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. （3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是[](A)若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛. (B)若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛. (C)若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. (D)若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有[] (A)a=b 或a+2b=0.(B)a=b 或a+2b ≠0.(C)a ≠b 且a+2b=0.(D)a ≠b 且a+2b ≠0.（5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是[](A)若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.(B)若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C)s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s. (D)s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件[](A)321,,A A A 相互独立.(B)432,,A A A 相互独立. (C)321,,A A A 两两独立.(D)432,,A A A 两两独立.三、（本题满分8分） 设：).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.四、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v fu f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222y g x g ∂∂+∂∂五、（本题满分8分） 计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0,.2)()(xe x g xf =+求F(x)所满足的一阶微分方程； 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf 九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn n n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分） 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T 中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. 求a,b 的值；利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x xx fF(x)是X 的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数. 十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是2>λ.点拨当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导. 过程：当1>λ时，有,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.（2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 64a .点拨曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b 与a 的关系. 过程：由题设，在切点处有03322=-='a x y ，有.22a x = 又在此点y 坐标为0，于是有300230=+-=b x a x ,故.44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-= 点睛：有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdyx y g x f I )()(=2a .点拨本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 过程：⎰⎰-=Ddxdyx y g x f I )()(=dxdya x y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(212112a dx x x a dy dx a x x=-+=⎰⎰⎰+点睛：若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a Tα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 TE A αα-=，Ta E B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .点拨这里T αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可. 过程：由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-= =TT T T a a E αααααααα⋅-+-11=TT T T a a E αααααααα)(11-+- =TT T a a E αααααα21-+-=Ea a E T =+--+αα)121(,于是有0121=+--a a ，即0122=-+a a ，解得.1,21-==a a 由于A<0,故a=-1.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ，则Y 与Z的相关系数为 0.9 . 点拨利用相关系数的计算公式即可. 过程：因为)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y=)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +-- =E(XY)–E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且.DX DZ=于是有cov(Y,Z)=DZ DY Z Y ),cov(=.9.0),cov(==XY DYDX Y X ρ点睛：注意以下运算公式：DX a X D =+)(，).,cov(),cov(Y X a Y X =+ （6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于21.点拨本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i p n i i过程：这里22221,,,nX X X 满足大数定律的条件，且22)(i i iEX DX EX +==21)21(412=+，因此根据大数定律有∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于.21112=∑=n i iEX n二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(=(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0. (C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.[D]点拨由题设，可推出f(0)=0,再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可.过程：显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有)0(0)0()(lim )(lim)(lim 000f x f x f x x f x g x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点.【评注1】本题也可用反例排除，例如f(x)=x,则此时g(x)=,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除(A),(B),(C)三项，故应选(D).【评注2】若f(x)在x x =处连续，则.)(,0)()(lim000A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→.（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A)),(0y x f 在0y y =处的导数等于零.（B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零.(C)),(0y x f 在0y y =处的导数小于零.(D)),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [A]点拨可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论. 过程：可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零,故应选(A). 【评注1】本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '【评注2】本题也可用排除法分析，取22),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2),0(y y f =，可排除(B),(C),(D),故正确选项为(A). （3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A)若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛. (B)若∑∞=1n na 绝对收敛，则∑∞=1n np 与∑∞=1n nq 都收敛. (C)若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. (D)若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.[B]点拨根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 过程：若∑∞=1n na绝对收敛，即∑∞=1n na收敛，当然也有级数∑∞=1n na收敛，再根据2nn n a a p +=，2nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知，∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛，故应选(B).（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A)a=b 或a+2b=0.(B)a=b 或a+2b ≠0. (C)a ≠b 且a+2b=0.(D)a ≠b 且a+2b ≠0.[C]点拨A 的伴随矩阵的秩为1,说明A 的秩为2，由此可确定a,b 应满足的条件.过程：根据A 与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有0))(2(2=-+=b a b a ab b b a b bb a ，即有02=+b a 或a=b.但当a=b 时，显然秩(A)2≠,故必有a ≠b 且a+2b=0.应选(C). 点睛：n （n )2≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r（5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是(A)若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.(B)若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C)s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s. (D)s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.[B]点拨本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式.应注意是寻找不正确的命题.过程：(A):若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα ，矛盾.可见（A ）成立.(B):若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立.(C)s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，因此(C)成立.(D)s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立. 综上所述，应选(B).点睛：原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=+++s s k k k ααα 成立，则s ααα,,,21 线性相关.其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A)321,,A A A 相互独立.(B)432,,A A A 相互独立. (C)321,,A A A 两两独立.(D)432,,A A A 两两独立.[C]点拨按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立. 过程：因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ， 且41)(21=A A P ，41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =，)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C).点睛：本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立. 三、（本题满分8分） 设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.点拨只需求出极限)(lim 1x f x -→，然后定义f(1)为此极限值即可.过程：因为)(lim 1x f x -→=])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππ=x x xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→=x x x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→=x x x x x x ππππππππππsin )1(cos cos sin lim11221----+-→=.1π由于f(x)在)1,21[上连续，因此定义 π1)1(=f ，使f(x)在]1,21[上连续.点睛：本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x ，转化为求+→0y 的极限，可以适当简化.四、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v fu f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222y g x g ∂∂+∂∂点拨本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(21,22y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22u v f v u f ∂∂∂=∂∂∂过程：v f xu f y x g ∂∂+∂∂=∂∂， .v fy u f x y g ∂∂-∂∂=∂∂故v f v f x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222， .2222222222v f v f y u v f xy u f x y g ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 所以222222222222)()(v f y x u f y x y g x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂=.22y x + 点睛：本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 五、（本题满分8分） 计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x点拨从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 过程：作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有dxdyy x e e I Dy x)sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d e r ⎰⎰-πππθ令2r t =，则tdte eI t sin 0⎰-=πππ. 记tdte A t sin 0⎰-=π，则tt de e A --⎰-=int 0π=]cos sin [0⎰----ππtdt e te t t=⎰--πcos ttde=]sin cos [0tdt e te t t ⎰--+-ππ=.1A e -+-π因此)1(21π-+=e A ，).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-点睛：本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n n nx n x 的和函数f(x)及其极值.点拨先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1.求出和函数后，再按通常方法求极值. 过程：.1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n xxx x f上式两边从0到x 积分，得).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰由f(0)=1,得).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f令0)(='x f ，求得唯一驻点x=0.由于,)1(1)(222x x x f +--=''01)0(<-=''f ，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.点睛：求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0,.2)()(xe x g xf =+求F(x)所满足的一阶微分方程； 求出F(x)的表达式.点拨F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程. 过程：(1)由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g + =)()(2)]()([2x g x f x g x f -+ =(22)x e -2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'(2)]4[)(222C dx e e e x F dxx dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰-=.22x x Ce e -+将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是.)(22x x e e x F --=点睛：本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf 点拨根据罗尔定理，只需再证明存在一点c )3,0[∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可.条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于13)2()1()0(=++f f f ，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.过程：因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是Mf m ≤≤)0(，M f m ≤≤)1(， Mf m ≤≤)2(.故.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为f(c)=1=f(3),且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf点睛：介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考.本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn n n n n nn x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 点拨方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等.可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值. 过程：方程组的系数行列式ba a a a a ba a a a ab a a a a a b a A n n n n++++= 321321321321=).(11∑=-+ni i n a b b当0≠b 时且1≠+∑=ni i a b 时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.当b=0时，原方程组的同解方程组为.02211=+++n n x a x a x a由01≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零.不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a-=α当∑=-=ni ia b 1时，有0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-n i i a 11倍）→ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n n i ia a a a a（ 将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）→ .0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n = .原方程组的一个基础解系为.)1,,1,1(T =α点睛：本题的难点在∑=-=n i ia b 1时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然T )1,,1,1( =α为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.十、（本题满分13分）设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. 求a,b 的值；利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.点拨特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.过程：（1）二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ解得a=1,b=-2.(2)由矩阵A 的特征多项式)3()2(2020202012+-=+----=-λλλλλλA E ，得A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系 T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系 .)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T)51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ ， 则Q 为正交矩阵.在正交变换X=QY 下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=点睛：本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为)].2()2()[2(20020022b a a b b aA E +----=+----=-λλλλλλλ设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ解得a=1,b=2.十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.点拨先求出分布函数F(x)的具体形式，从而可确定Y=F(X),然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论.过程：易见，当x<1时，F(x)=0;当x>8时，F(x)=1.对于]8,1[∈x ，有.131)(3132-==⎰x dt t x F x设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，当0<y 时，G(y)=0；当1≥y 时，G(y)=1.对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =})1({}1{33+≤=≤-y X P y X P =.])1[(3y y F =+于是，Y=F(X)的分布函数为.1,10,0,1,,0)(≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧=y y y y y G 若若若点睛：事实上，本题X 为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布:当y<0时，G(y)=0;当1≥y 时，G(y)=1;当01<≤y 时，})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤==)}({1y F X P -≤ =.))((1y y F F =-十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ， 而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).点拨求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率.注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.过程：设F(y)是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为}{)(u Y X P u G ≤+= =}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P =}22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P .由于X 和Y 独立，可见G(u)=}2{7.0}1{3.0-≤+-≤u Y P u Y P=).2(7.0)1(3.0-+-u F u F由此,得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g=).2(7.0)1(3.0-+-u f u f点睛：本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.。
2019考研数学三真题及参考答案解析
（2） p为何值，X，Z不相关；
（3） X ,Z是否独立.
23.设随机变量
X
的概率密度为
f
(x,
2)
A
( x )2
e 2 2
,
x
0,
x
2 为已知参数， 为未知参数，A 常数，
X
，X
1
，，X
2
为取自总体X的简单随机样本
n
.
（1）求 A；
2
（2）求 的最大似然估计量
2019 年全国硕士研究生入学统一考试
故 f 1= e1 1 为极小值.
16. 解： g(x, y) xy f (x y, x y)
g x
y
(
f
u
fv),
g y
x(
fu
fv)
2g x 2
( fuu
fuv
fuv
fvv )
fuu
2 fuv
fvv
2g xy
1 (
fuu
fuv
fuv
fvv )
1
fuu
fvv
2g y 2
( fuu
f
0
lim x2x 1 lim e2xln x 1 lim 2x ln x ，
x x0
x0
x
x x0
f
0
lim xex 11 lim ex 1 .
x0
x
x0
故
f
x=
x2x 2 ln x
1
x
e
x
2
x0
.
x0
令 f x=0 ，得 x1 e1, x2 1.
（1）当 x 0, e1 , f x 0, f x单调递减，
2019年考研数学三真题与解析
2019年考研数学三真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．已知方程550x x k -+=有三个不同的实根，则k 的取值范围是（ ）（A ）(,4)-∞- （B ）(4,)+∞ （C ）(4,0)- （D ）(4,4)-【答案】（D ） 【详解】设5()5f x x x k =-+，则42(),(),()555(1)(1)(1),f f f x x x x x '-∞=-∞+∞=+∞=-=++-令()0f x '=得121,1x x =-=且(1)20,(1)20f f ''''-=-=，也就是函数在11x =-处取得极大值(1)4f k -=+，在21x =处取得极小值(1)4f k =-；由于方程有三个不同实根，必须满足(1)40(1)20f k f k -=+>⎧⎨=-<⎩，也就得到(4,4)k ∈-．3．已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 【答案】（D ）【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出121r r ==-是特征方程20r ar b ++=的实根，从而确定2,1a b ==；（2）显然，*xy e =是非齐次方程的特解，代入原方程确定4c =． 4．若级数1n n nu ∞=∑绝对收敛，1nn v n∞=∑条件收敛，则（ ） （A ）1n nn u v∞=∑条件收敛 （B ）1n nn u v∞=∑绝对收敛 （C ）1n nn u v∞=∑收敛 （D ）1n nn u v∞=∑发散（注：题目来自网上，我感觉选项（C ）应该有误差，否则（A ），（B ）选项显然没有（C ）选项优越，若（A ），（B ）中有一个正确，则（C ）一定正确．题目就不科学了． 【答案】（B ） 【详解】由于1n n v n ∞=∑条件收敛，则lim 0nn v n →∞=，也就是有界； 从而，nn n n n v u v nu M nu n =⋅≤，由正项级数的比较审敛法，1n n n u v ∞=∑绝对收敛．5．设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】（A ）【详解】线性方程组0Ax =基础解系中只有两个向量，也就是4()2()213r A r A n -=⇒=<-=， 所以(*)0r A =．6．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．7． 设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 （ ）（A ）()()()P A B P A P B =+U （B ） ()()()P AB P A P B = （C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB =【答案】（C ）【详解】选项（A ）是,A B 互不相容；选项（B ）是,A B 独立，都不能得到()()P A P B =； 对于选项（C ），显然，由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-，()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =⇔-=-⇔=8．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ．则{1}P X Y -<（ ）（A ）与μ无关，而与2σ有关 （B ）与μ有关，而与2σ无关 （C ）与μ，2σ都有关 （D ）与μ，2σ都无关【答案】（A ）【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，则2~(0,2)X Y N σ-，从而{1}{11}21P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ-只与2σ有关．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．111lim 1223(1)nn n n →∞⎛⎫+++= ⎪⨯⨯⨯+⎝⎭L ． 【答案】1e -解： 11111lim lim 11223(1)1nnn n n n n e →∞→∞⎛⎫⎛⎫+++=-= ⎪ ⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭L10．曲线3sin 2cos ()22y x x x x ππ=+-<<的拐点坐标是（ ） 【答案】(,2)π-【详解】sin 2cos y x x x =+，cos sin y x x x '=-，sin y x x ''=-，sin cos y x x x '''=--； 令sin 0y x x ''=-=得120,x x π==，且()0f π'''≠，所以(,2)π-是曲线的拐点； 而对于点(0,0)，由于(0)0f '''=，而(4)(0)0f ≠，所以不是曲线的拐点．11.已知函数1()f x =⎰，则120()x f x dx =⎰ ．【答案】118-． 【详解】（1）用定积分的分部积分：111233140000011111()()()|(1)3331218x f x dx f x dx x f x x x -==-=-+=⎰⎰⎰⎰ （2）转换为二重积分：1112221001()3tx f x dx x dx x dx t ==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰12．以,A B P P 分别表示,A B 两个商品的价格．设商品A 的需求函数225002A A A B B Q P P P P =--+，则当10,20A B P P ==时，商品A 的需求量对自身价格弹性(0)AA AA ηη>= ．【答案】0.4【详解】225002A A A B B Q P P P P =--+，当10,20A B P P ==时，1000A Q =则边际需求2AA B AQ P P P ∂=--∂， 商品A 的需求量对自身价格弹性为10400.41000A A A AA A A A EQ P Q EP Q P η∂==⋅=⨯=∂．13．已知矩阵2101111,011A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭01b a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．若线性方程组Ax b =有无穷多解，则a = ． 【答案】1．【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：222101010101010(,)1111010101010110110011A b a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然，当且仅当1a =时，()(,)23r A r A b ==<线性方程组Ax b =有无穷多解．14．设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为其分布函数，()E X 其数学期望，则{()()1}P F X E X >-= ．【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩，2204()23x E X dx ==⎰．12{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=．三、解答题15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0xx xx f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，求()f x '，并求函数()f x 的极值．【详解】当0x >时，22ln ()xx x f x xe ==，2()2(ln 1)xf x x x '=+；当0x <时，()1xf x xe =+，()(1)xf x x e '=+；在0x =处，22000()(0)12(ln 1)(0)limlim lim 1x x x x x f x f x x x f x x ++++→→→---'====-∞，所以()f x 在0x =处不可导．综合上述：22(ln 1),0()(1),0x xx x x f x x e x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩； 令()0f x '=得到1211,x x e=-=．当1x <-时，()0f x '<，当10x -<<时，()0f x '>，当10x e <<时，()0f x '<，当1x e>时，()0f x '>； 故11x =-是函数的极小值点，极小值为1(1)1f e --=-；0x =是函数的极大值点，极大值为(0)1f =；21x e=是函数的极小值点，极小值为21()e f e e -=．16．（本题满分10）设函数(,)f u v 具有二阶连续的偏导数，函数(,)z xy f x y x y =-+-，求22222z z zx x y y∂∂∂++∂∂∂∂． 【详解】12(,)(,)zy f x y x y f x y x y x∂''=-+--+-∂，12(,)(,)z x f x y x y f x y x y y ∂''=-+-++-∂21112212211122222zf f f f f f f x∂''''''''''''''=----=---∂，211221z f f x y ∂''''=-+∂∂，211122222z f f f y ∂''''''=-+-∂； 22211222213z z zf f x x y y∂∂∂''''++=--∂∂∂∂． 17．（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22x y xy e '-=满足条件(1)y =（1）求()y x 的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．先求解对应的线性齐次方程0y xy '-=的通解：22x y Ce =，其中C 为任意常数； 再用常数变易法求22x y xy e'-=通解，设22()x y C x e=为其解，代入方程，得2222(),()x x C x e e C x ''==，1()C x C ==，也就是通解为：221)x y C e =把初始条件(1)y =10C =，从而得到22().x y x xe =（2）旋转体的体积为2222411()()2x x V y x dx xe dx e e πππ===-⎰⎰．18．（本题满分10分）求曲线sin (0)xy e x x -=≥与x 轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0xex -=得,0,1,2,x k k π==L当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为22202200220022220sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)22121k k xxx k k k k k k k k k k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e ππππππππππππππππππ∞∞+∞++---+==∞∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑⎰⎰⎰∑∑∑19．（本题满分10分）设1(0,1,2,)n a x n ==⎰L（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ；（2）求极限1lim n n n a a →∞-． 【详解】（1）证明：1n a x =⎰，110(0,1,2,)n n a x n ++==⎰L当(0,1)x ∈时，显然有1n n x x +<，1110(0n n n n a a x x ++-=-<⎰，所以数列{}n a 单调减少；先设220sin cos ,0,1,2,nn n I xdx dx n ππ===⎰⎰L则当2n ≥时，12222202sin sin cos (1)sin cos (1)()nn n n n n I xdx xd x n x xdxn I I πππ---==-=-=--⎰⎰⎰也就是得到22,0,1,1n n n I I n n ++==+L 令sin ,[0,]2x t t π=∈，则122222201sin cos sin sin 2nnn n n n n a xt tdt dt tdt I I I n πππ++===-=-=+⎰⎰⎰⎰ 同理，2211n n n n a I I I n --=-=-综合上述，可知对任意的正整数n ，均有212n n a n a n --=+，即21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ； （2）由（1）的结论数列{}n a 单调减少，且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L2111111222n n n n n a n n n a a a n n a n ------=>⇒>>+++ 令n →∞，由夹逼准则，可知1lim 1nn n a a →∞-=．20．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a 的值，并将3β用123,,ααα线性表示．【详解】向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价的充分必要条件是123123123123(,,)(,,)(,,;,,)r r r αααβββαααβββ==1231232222111101111101(,,;,,)102123011022443313001111a a a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-+----⎝⎭⎝⎭（1）当1a =时，显然， 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．此时，123311111023(,,;)0112011200000000αααβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 方程组112233x x x αααβ++=的通解为123231210x x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也就是3123(23)(2)k k k βααα=-++-+，其中k 为任意常数；（2）当1a ≠时，继续进行初等行变换如下：12312322111101111101(,,;,,)011022011022001111001111a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-+⎝⎭⎝⎭显然，当1a ≠-且1a ≠时，123123123(,,)(,,;,,)3r r ααααααβββ==，同时()123101101101,,02202201111101001a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，123(,,)3r βββ=，也就是 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．这时，3β可由123,,ααα线性表示，表示法唯一：3123βααα=-+．21．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A BtrA trB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭； 同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫ ⎪==-- ⎪⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为：{1}P Y p =-=，{1}1P Y p ==-，(01)p <<．令Z XY =．（1）求Z 的概率密度；（2）p 为何值时，,X Z 不相关；（3）此时，,X Z 是否相互独立．【详解】（1）显然X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩．先求Z XY =的分布函数：(){}{}{,1}{,1}(1){}{}1()(1())Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--（）再求Z XY =的概率密度：,0()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -⎧<⎪'==-+-==⎨⎪->⎩（2）显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-；由于随机变量,X Y 相互独立，所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-；22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-；(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-；要使,X Z 不相关，必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=，也就是0.5p =时,X Z 不相关； （3）,X Z 显然不相互独立，理由如下：设事件{1}A X =>，事件{1}B Z =<，则11(){1}x P A P X e dx e +∞--=>==⎰；11(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-；11(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>⋅=-=，当0.5p =时，显然()()()P AB P A P B ≠，也就是,X Z 显然不相互独立．23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩，其中μ是已知参数，σ是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本． （1）求常数A 的值；（2）求2σ的最大似然估计量．【详解】（1）由()1f x dx +∞-∞=⎰可知222()201x Aedx ed μσμσ---+∞+∞===⎰⎰所以A =似然函数为212()22121,(,,;)(,)0,ni i X n n i n i n i A ex L X X X f x μσμσσσ=--=⎧∑⎪⎪≥==⎨⎪⎪⎩∏L 其他， 取对数，得22212211ln (,,,;)ln ln()()22nn ii n L X X X n A Xσσμσ==---∑L解方程221222221ln (,,,;)11()0()22()nn ii d L X X X n Xd σμσσσ==-+-=∑L ，得未知参数2σ的最大似然估计量为¶2211()n i i X n σμ==-∑．。
2019考研数学三真题及答案
(a,0, ,0,a) ,a 0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵AE其中 A 的逆矩阵为 B ，则 a= _ 6 小题，每小题 4分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(A) 在 x=0处左极限不存在 .(B) 有跳跃间断点 x=0. (C)在x=0处右极限不存在 .(D) 有可去间断点 x=0.2)设可微函数 f(x,y) 在点 (x0 ,y0 )取得极小值，则下列结论正确的是 [](A) f(x0,y)在y y0处的导数等于零 .(B) f(x0,y)在y y0处的导数大于零(C)f(x 0,y)在y y处的导数小于零 .(D)f(x 0,y)在 y y0处的导数不存在 .、填空题(本题共2)已知曲线 y2019 考研数学三真题及答案6小题，每小题 4分，满分 24分. 把答案填在题中横线上)1 x cos ,0,x0,若x0, 其导函数在 x=0 处连f(x )1)设的取值范围是23a x 22b与x 轴相切，则 b 2可以通过 a 表示为b 2f (x) g(x)3)设 a>0，a, 若0 x1, 0, 其他 ，而 D 表示全平面，则I f (x)g(y D x)dxdy1)设 f(x) 为不恒等于零的奇函数，且 f (0)存在，则函数g(x)f(x) x []4)设 n 维向量5)设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9,若 Z X 0.4，则 Y 与 Z 的相关系数为6)设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X 1,X 2, ,X n为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n Y时， 1nn i1X i 2依概率收敛于 、选择题(本题共a，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有 [] 或 a+2b 0.b 且 a+2b 0.(A) 若对于任意一组不全为零的数k1 ,k2 , ,k s，都有k1 1 k2 21, 2 , , s线性无关 .(B)若1, 2, , s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2, ,k s ，都有k1 1 k2 2 k s s 0.(C)12, , s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.(D)1, 2, , s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 .(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1 =｛掷第一次出现正面｝，A2 =｛掷第二次出现正面｝，A3=｛正、反面各出现一次｝，A4=｛正面出现两次｝，则事件 [] (A) A1, A2, A3相互独立 .(B) A2,A3,A4相互独立 .(C) A1, A2, A3两两独立 .(D) A2,A3,A4 两两独立 .12, , s均为 n 维向量，下列结论不正确的是 []3)设pna n2a nq na n a n2 n 1,2,，则下列命题正确的是 [](A)若a n1 条件收敛，则p n与q n1 都收敛 .(B)若a n1 绝对收敛，则p n与q n1 都收敛 .(C)若a n1 条件收敛，则p n与q n1 敛散性都不定 .(D)若a n1 绝对收敛，则p n与q n1 敛散性都不定 .Ab(4)设三阶矩阵(A)a=b 或a+2b=0.(B)a=b (C)a b且 a+2b=0.(D)a5)设k s s 0，则四、(本题满分 8 分)xf (x) g(x)，g (x) f (x)，且f(0)=0,f(x) g(x) 2e . 求 F(x) 所满足的一阶微分方程；求出 F(x) 的表达式 .八、(本题满分 8 分)设函数 f(x) 在［0，3］ 上连续，在( 0， 3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1. 试证必存 在 (0,3) ，使 f ( ) 0. 九、(本题满分 13 分)已知齐次线性方程组(a 1 b)x 1 a2 x2 a 3x 3a n x n0, a 1x 1(a 2 b)x 2 a 3x 3 a n x n 0, a 1x1 a 2x2(a 3 b)x 3 a n x n0,三、(本题满分 8 分)f (x) 设：1 sin x1,x [ 1,1). (1 x) 2试补充定义 f(1) 使得 f(x)在［2 ,1］上连续.设 f(u,v) 具有二阶连续偏导数，且满足u2v212 21，又g(x,y) f [xy,21(x 2 y 2)]2g222g. 2.五、(本题满分 计算二重积分 Ie(x 2y 2D8 分) ) 2 2)sin( x 2其中积分区域D={( x, y) x六、(本题满分9 分)222 2}.1 求幂级数 n2n1( 1)n x2n( x 1)的和函f(x)及其极值 . 七、(本题满分 9 分)设 F(x)=f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x) 在 ()内满足以下条件：a1x1 a2 x2 a3x3 (a n b)x n 0,f (x)11 x cos x 21 sin ,若x 0, x 0,x 若x 0,显然当2时，有 lxim0 f (x) 0 f (0)，即其导函数在 x=0处连续.2)已知曲线 y3 22 2x 3a x b与 x 轴相切，则 b 2可以通过 a 表示为 b 24a6a i 0.其中 i 1 试讨论 a 1,a 2, ,an和 b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解 . 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系 . 十、(本题满分 13 分)T 2 2 2设二次型f (x 1,x2,x 3) X AX ax12x22x32bx1 x 3(b 0)中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为 -12. 求 a,b 的值；利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵 . 十一、(本题满分 13 分) 设随机变量 X 的概率密度为1, 若x [1,8],f(x) 330x ,2,若x其他[1,;8],F(x) 是 X 的分布函数 . 求随机变量 Y=F(X)的分布函数 . 十二、(本题满分 13 分) 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为12 X~0.3 0.7 ，而 Y 的概率密度为 f(y) ，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u).参考答案6小题，每小题 4分，满分 24分. 把答案填在题中横线上)分析】当 x 0可直接按公式求导，当 x=0 时要求用定义求导 详解】当1时，有、填空题(本题共f(x )1 cos x 0, 若x0, 0,其导函数在 x=0 处连的取值范围是1 分析】曲线在切点的斜率为 0，即 y 0，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据2在切点处纵坐标为零，即可找到 b 2与 a 的关系 .【详解】由题设，在切点处有2 2 2 2y 3x 3a 0，有x 0 a .又在此点 y 坐标为 0，于是有320 x 0 3a x 0 b 0 ,2 2 2 2 2 2 4 6 故b x 0 (3a x 0 ) a 4a 4a .【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程a, 若0 x 1,0, 其他 ，而 D 表 示 全 平 面 ， 则因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可I f(x)g(y x)dxdya 2 dxdy详解】D=0 x 1,0 y x 121 x 12 1 a 2 0dx x dy a 20[(x 1) x]dx【评注】 若被积函数只在某区域内不为零， 为零的区域的公共部分上积分即可 .则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不AET ，BE1 aTT22a 2为数，直接通过 AB E 进行计算并注意利律即可 .设，有4)设 n 维向量 (a,0, ,0,a)T,a 0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵其中 A 的逆矩阵为 B ， 则 a= -1分析】这里 T为 n 阶矩阵，而 AB (E T )(E T)f(x) g(x)3 ) 设 a>0 ，I f (x)g(y x)dxdy 2 D =a 2.分析】本题积分区域为全平面，但只有当 0 x 1,0 y x 1时，被积函数才不为零，2a.0.9 . 【分析】利用相关系数的计算公式即可 . 【详解】因为 cov( Y ,Z ) cov(Y, X 0.4) E[(Y(X 0.4)] E(Y)E(X 0.4) =E(XY) 0.4E(Y)E(Y)E(X ) 0.4E(Y)=E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且 DZ DX .cov(Y, Z ) cov( X,Y)于是有 cov(Y,Z)= DY DZ = DX DYE T1 aT1a (T )TT 1TTE2a= aE( 1 2a1a )TEa1 2a 12于是有a即2a 2a 15）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 a1,a 1.，解得 2由于 A<0, 故a=-1.0.9, 若 Z X 0.4 ，则 Y 与 Z 的相关系数为 X 1,X 2, ,X n，当方差一致有界时， 其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值1np1 nXiEX i (n).n i1n i1【详解】这里 X 12, X 22, ,X 2 n满足大数定律的条件，且1 121EX i 2DX i2(EX )24 (12)2 2 ，因此根据大数定律有分析】XY0.9.评注】注意以下运算公式：D(X a) DXcov( X ,Y a) cov( X , Y).6）设总体 X 服从参数为 的指数分布，X1,X2, , X n为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n 1nYn时，n i 1Xi2依本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n n1X i2 1EX i2ni 1依概率收敛于 ni 1二、选择题(本题共 6 小题，每小题 4分，满分 24 分.每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(A) 在 x=0 处左极限不存在 .(B) 有跳跃间断点 x=0.(C)在x=0处右极限不存在 .(D) 有可去间断点 x=0.[D]【分析】由题设，可推出 f(0)=0, 再利用在点 x=0 处的导数定义进行讨论即可 . 【详解】显然 x=0 为 g(x) 的间断点，且由 f(x) 为不恒等于零的奇函数知， f(0)=0.【评注 1】本题也可用反例排除， 例如 f(x)=x,则此时g(x)=x 1,x x 0,x 0,0,可排除(A),(B),(C)三项，故应选 (D).limf (x) A f (x 0 ) 0, f (x 0 ) A. 【评注 2】若 f(x) 在 x x 0 处连续，则 x x0x x 0(2)设可微函数 f(x,y) 在点 (x0 ,y0 )取得极小值，则下列结论正确的是(A) f(x 0,y)在y y处的导数等于零 .(B)f(x 0,y)在 y y0处的导数大于零(C)f(x 0,y)在 y y0处的导数小于零 .(D)f(x 0,y)在 y y0处的导数不存在 . [A]【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论 .详解】可微函数 f(x,y) 在点(x0,y0)取得极小值，根据取极值的必要条件知f y (x0,y 0) 0，即f(x 0,y)在y y处的导数等于零 ,故应选 (A).f(x 0,y)在y y 0处的导数即f y (x 0,y 0)；而f(x,y 0)在x x0 处的导数即 f x (x 0, y 0).【评注 2】本题也可用排除法分析，取f (x,y) x y，在(0,0) 处可微且取得极小值，2并且有f (0, y) y，可排除 (B),(C),(D), 故正确选项为 (A).1)设 f(x) 为不恒等于零的奇函数，且f (0)存在，则函数 g(x)f(x) 于是有l x im 0g(x) limf (x)x 0xlimf (x) x0f(0) 0 f (0)存在，故 x=0 为可去间评注 1】本题考查了偏导数的定义，5)设 1 2 s均为 n 维向量，下列结论不正确的是评注】 n （n 2）阶矩阵 A 与其伴随矩阵 A*的秩之间有下列关系：n, r(A) n, r(A*) 1, r(A) n 1,0,r(A) n 1.3）设pna n 2a nq na n a n 2n 1,2,，则下列命题正确的是(A) 若 an1条件收敛，则pn与qn 1都收敛 .(B) 若 an1绝对收敛，则pn与qn 1都收敛 .(C)若a n1条件收敛，则p n与q n1敛散性都不定 .(D)若a n1绝对收敛，则p n 与 q n1 敛散性都不定 .[B]分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案an收敛，再根据a n a na n a np nq npn qn22 及收敛级数的运算性质知，n1与 n1 都收敛，故应选(B).a b bAb a b（4） 设三阶矩阵b b a，若 A 的伴随矩阵的秩为1，则必有分析】 A 的伴随矩阵的秩为 1,说明 A 的秩为 2，由此可确定 a,b 应满足的条件 详解】根据 A 与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩 （A ）=2 ，故有 abb2b a b (a 2b)(a b)2bba，即有 a 2b 0 或a=b. 但当 a=b 时，显然秩 （A ） 2,故必有 a b 且 a+2b=0.应选(C).若 n1 绝对收敛，即 n 1 收敛，详解】 当然也有级数n1(A)a=b 或 a+2b=0.(B)a=b 或 a+2b 0. (C)a b 且 a+2b=0.(D)a b 且 a+2b 0.[C](A) 若对于任意一组不全为零的数k1 ,k 2, ,ks ，都有k1 1 k2 2ks s 0 ，则成立 . 2, , s线性相关，则存在一组， 而不是对任意一组不全为零的数k 1,k 2, ,k s，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.A1 =｛掷第一次出现正面 ｝， A2 =｛掷第二次出现正面｝， A3=｛正、反面各出现一次 ｝， A4=｛正面出现两次 ｝，则事件都有 k 1ks s0.(B)不成立 .(C) 1s线性无关 , 则此向量组的秩为 s ；反过来，若向量组 1, 2, ,s的秩为 s ， 则1 s线性无关，因此 (C) 成立.(D) 1s 线性无关 , 则其任一部分组线性无关， 当然其中任意两个向量线性无关， 可 见(D) 也成立 . 综上所述，应选 (B). 【评注】原命题与其逆否命题是等价的 . 例如，原命题：若存在一组不全为零的数 k 1,k 2, ,ks ，使得 k 1 1 k 2 2 k s s 0成立，则 1, 2, , s 线性相关 .其逆否命 题为：若对于任意一组不全为零的数 k 1,k 2,ks ，都有k1 1 k2 2ks s 0 ，则12s线性无关 .(B) 若1s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1,k 2, ,k s ，都有k 1 1 k 2k s s 0.(C) 12s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.(D)12s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.[B] 【分析】本题涉及到线性相关、 线性无关概念的理解，以及线性相关、 形式 .应注意是寻找不正确的命题 . 线性无关的等价表现详 解 】 (A): 若 对于任意一组不全为零的数k1,k 2, ,ks , 都 有k1 1 k2 2k ss 0 ，则 1, 2, , s 必线性无关， 因为若1, 2, , s 线性相关，则存在一组不全为零的数k 1,k 2 , ,ks ,使得k1 1 k2 2ks s 0，矛盾 .可见( A)(B): 若6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：y 2) v2f v(A) A1,A2,A3相互独立 .(B) A 2, A3 , A4相互独立 .(C) A1,A2,A3两两独立 .(D) A 2 , A 3 , A4两两独立 .[C] 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立， 再检验是否相互独立 . 【详解】因为f(1) 使得 f(x) 在[21 ,1]上连续.x lim1 f (x)，然后定义 f(1) 为此极限值即可 .P(A 1) 1 2， P(A 2)P(A 3)1 P(A 4) 2， 14， 且P(A 1A 2)111 P(A 1A 3 ) 14， 4， P(A 2 A 3)P(A A )1 P(A 2A 4) 4 P(A 1A 2A 3) 0 ， 可见有 P(A 1A 2) P(A 1)P(A 2)， P(A 1A 3) P(A 1)P(A 3)， P(A 2A 3) P(A 2)P(A 3)， P(A 1A 2A 3) P(A 1)P(A 2)P(A 3) ， P(A 2A 4 ) P(A 2)P(A 4)故 A 1,A 2,A 3 两两独立但不相互独立； A2,A3,A4 不两两独立更不相互独立，应选 (C). 【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立 三、(本题满分 8 分) 设 f(x)1x 1 sinx11(11x),x [21,1).试补充定义分析】只需求出极限li mf(x) l x im1[ 1xsin 1x (11x)]1lim x1 (1 x) sin x (1 x)sin x 1limx1cos xsin x (1 x) cos x1limx12sin x2 cos x cos x (1 x) sin x［ ,1)由于 f(x) 在 2 上连续，因此定义1 f(1)使f(x) 在［12,1］上连续.评注】本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念算过程中，也可先作变量代换 y=1-x ，转化为求 y四、(本题满分 8 分)2 g2求x2设 f(u,v) 具有二阶连续偏导数，且满足u2v2，又g(x,y)f [xy, 21(x 2y 2)]分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：f(u,v) ，u xy,v1212(x 2y 2)，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用uv vug详解】 xyuxv ，g xyyv .22g 故 x22 y2u 2xy uv 22fx 2vv ，2 g2 y2 2xy vf 2 2f y2uv所以22g2x22g2 y(x2y 2) u2 f 2u(x22y.. 在计的极限，可以适当简化2 g. 2.y 2) v2f v【评注】本题考查半抽象复合函数求二阶偏导 五、(本题满分 8 分) 计算二重积分I e(x y )sin( x 2 y 2)dxdy.D分析】从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算 详解】作极坐标变换：x r cos ,y r sin，有Ie( e D x y )sin( x 2 y 2) dxdy 2 e d re r sinr 2dr. =0令 tr2，则Ie e 0t sin tdt Ae tsin tdt记，则At eint de t[et sin te tcostdt ]00costde t[e t cost 0 0 e tsin tdt]=e 1 A.1A (1 e ) 因此 2 ，eI (1 e ) (1 e ).22 【评注】本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后， 再通过换元与分步积分(均为最基础的要求) ，即可得出结果，综合考查了二重积分、换元 积分与分步积分等多个基础知识点 . 六、(本题满分 9 分)2n其中积分区域 D={(x,y)x 2}.n x1 ( 1)n( x 1)求幂级数n 1 2n的和函数 f(x) 及其极值 .F (x) 2F(x) 4e 2x .【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当 后，再按通常方法求极值 . 【详解】n 2n 1f (x) ( 1) xn11 x 2,2 2 ,(1 x 2)2f (0)可见 f(x) 在 x=0 处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.【评注】求和函数一般都是先通过逐项求导、 逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形， 然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数 .七、(本题满分 9 分) 设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x),g(x) 在 ( , )内满足以下条件：xf (x) g(x)，g (x) f (x) ，且 f(0)=0,f(x) g(x) 2e .求 F(x) 所满足的一阶微分方程； 求出 F(x) 的表达式 .【分析】 F(x) 所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对 F(x) 求导，并将其余部 分转化为用 F(x) 表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程 .【详解】 (1) 由F (x) f (x)g(x) f (x)g (x)=g 2(x) f 2(x)2=[ f (x) g(x)]22f (x)g(x)x2=(2 e )-2F(x),可见 F(x) 所满足的一阶微分方程为x=0 时和为 1. 求出和函数x 2. x上式两边从 0 到 x积分， x t 01 tf(x) f (0)2dt 1ln(1 x 2).2由 f(0)=1, f(x) 1得12ln(1 x 2),(x 1). 令f (x)，求得唯一驻点 x =0. 由于f (x)(c,3) (0,3) 使 f ( ) 0.2dx 2x2dxF(x) e [ 4e 2xe dx C](2)2xe[将 F(0)=f(0)g(0)=0 代入上式，得 C=-1. 于是【评注】 从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围 八、(本题满分 8 分)设函数 f(x) 在[0 ，3] 上连续，在( 0， 3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1. 在 (0,3) ，使 f ( ) 0.分析】 根据罗尔定理， 只需再证明存在一点 c [0,3)，使得 f (c) 1 f (3) ，然后在 [c,3]上应用罗尔定理即可 . 条件 f(0)+f(1)+f(2)=3 等价于 1 介于 f(x) 的最值之间，最终用介值定理可以达到目的 【详解】因为 f(x) 在[0 ，3] 上连续，所以 f(x) 在[0 ，由介值定理知，至少存在一点c [0,2]，使【评注】 介值定理、4x4e 4xdx C]2x =e2xCe2xF(x)2x 2xee试证必存 f (0) f (1) f (2) 1，问题转化为2] 上连续，且在 [0 ，2] 上必有最大值M 和 最小值 m ，于是 mf(0) M，mf(1) M， m f(2) M.故ff (1)f (2) M. 本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，f(c)f (0) f (1) f(2) 1.3因为且 f(x) 在 [c,3] 上连续，在 (c,3) 内可导，所以由罗尔定理知，必存在微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来 3考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形(c,3) (0,3)使f ( ) 0.九、(本题满分 13 分) 已知齐次线性方程组(a 1 b)x 1 a2 x2 a 3x3 a n x n 0, a 1x1 (a2 b)x 2 a 3x3a n x n 0, a 1x1 a 2x2(a 3 b)x 3a n x n 0, a 1x 1a2x 2a 3x 3(a nb)x n 0,n a i 0.其中 i 1 试讨论 a 1,a 2, ,an 和 b 满足何种关系时， (1) 方程组仅有零解； (2) 方程组有非零解 . 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系 .【分析】 方程的个数与未知量的个数相同， 问题转化为系数矩阵行列式是否为零， 而系数行 列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等 . 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的( -1 )倍加到其余各行，即可计算出行列式的值 . 【详解】方程组的系数行列式a 1b a2a3ana 1 a 2b a3 a n Aa 1 a 2 a 3 ba na 1a2a3a n bnb n 1(b a i ).i1当 b=0 时，原方程组的同解方程组为a 1 x 1a2 x2a n x n 0.na i 01,2,,n)不全为零 .不妨设 a1 0，得原方程组的一个基础解系由i1可知，a i (i 为1a2( a2 ,1,0,,0)T2a3 T( 3,0,1, ,0)T, n ( an ,0,0, ,1)T.a1a1，a1bna i当 i 1时， 有b 0，原方程组的系数矩阵可化为b当 b 0 时且aii1时，秩 (A)=n ，方程组仅n1 1 0 01 0 1 0 1 0 0 1 00 0由此得原方程组的同解方程组为x 2 x 1，x3 x1，,xn x1原方程组的一个基础解系为 （1,1, ,1）T.础解系 .十、（本题满分 13 分） 设二次型b【评注】本题的难点在n aii 1时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为（1,1, ,1）为方程组的一个非零解，即可作为基i1a ia 2a 3a n a2a ia3a ni1a2 a3aii1ana2a3anaii1将第 1 行的 -1 倍加到其余各行，再从第 2 行到第 n 行同乘以1na ii 1 倍)na 1 a ii11a 2 a 3 10a n 0 0将第 n 行 an倍到第 2行的 a2倍加到第 1 行，再将第 1 行移到最后一行）n-1（ 存在 n-1 阶子式不为零 ） ，且显然nT 2 2 2f(x1,x2,x3) X T AX ax122x222x322bx1x3(b 0)5) .中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为 -12. 求 a,b 的值； f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵 A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(若有必 要)，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵 详解】( 1)二次型 f 的矩阵为a0 bA 02 0 .b02设 A 的特征值为 i (i 1,2,3).由题设，有 12 3a2( 2) 1，a 0b1 230 2 0 4a 2b 212b 0 2解得 a=1,b=-2.(2) 由矩阵 A 的特征多项式1 0 2E A 0 2 0 (2) 2( 3)2 0 2，得 A 的特征值 1 22,3 3.对于 1 2 2,解齐次线性方程组(2E A)x 0，得其基础解系1(2,0,1)T，2 (0,1,0)T.对于3 3，解齐次线性方程组( 3E A)x 0，得基础解系3(1,0, 2)T.由于 1 , 2, 3已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将令矩阵利用正交变换将二次型分析】特征值之和为 A 的主对角线上元素之和，特征值之积为 A 的行列式，由此可求出 a,b 的值；进一步求出 1, 2,3单位化，由此得(5 ,0, 5)2(0,1,0)T32F(x) 是 X 的分布函数 . 求随机变量 Y=F(X)的分布函数 分析】 先求出分布函数 F(x) 的具体形式， 从而可确定 Y=F(X), 然后按定义求 Y 的分布函数 即可 . 注意应先确定 Y=F(X) 的值域范围(0 F (X ) 1)，再对 y 分段讨论 .详解】易见，当 x<1 时， F(x)=0; 当 x>8 时， F(x)=1. 对于 x [1,8] ，有F(x) x1 dt 1 33 t 23x 1. 设 G(y) 是随机变量 Y=F(X) 的分布函数 . 显然，当 y 0时， G(y)=0 ；当 y 1时， G(y)=1.1 5 02 5则 Q 为正交矩阵 . 在正交变换 X=QY 下，有2 0 0Q TAQ0 2 0 0 0 3且二次型的标准形为2 2 2f 2y 122y 223y 32.【评注】本题求 a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定： 二次型 f 的矩阵 A 对应特征多项式为1 2 32 (a 2) 1，解得 a=1,b=2. 十一、(本题满分 13 分) 设随机变量 X 的概率密度为13 2 , 若x [1,8],33 x 2其他 ;0,5 0 1 5EA设 A 的特征值为 1 2 3 ，则 122( 2)[ 2 (a 2) (2a b 2)].22,a 2, (2ab ).1232(2a b 2)12.f(x)对于 y[0,1)，有G(y) P{Y y} P{F(X) y}=P{3X1 y} P{ X ( y1)3}=F[(y 1)3] y.G(y) 是， Y=F(X) 的分布函数为 0, 若y 0,y,若0 y 1,1, 若y 1.评注】事实上，本题 X 为任意连续型随机变量均可，此时 Y=F(X) 仍服从均匀分布当 y<0 时，G(y)=0; 当 y 1 时， G(y)=1; 当 0 y 1时， G(y) P{Y y} P{F(X ) y} 1 =P{ X F 1( y)} 1=F(F 1(y)) y.十二、(本题满分 13 分) X~设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 12 0.3 0.7而 Y 的概率密度为 f(y) ，求随机变量 U=X+Y的概率密度 g(u). 【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率 . 注意 X 只有 两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算 . 【详解】设 F(y) 是 Y 的分布函数，则由全概率公式，知 U=X+Y 的分布函数为 G(u) P{ X Y u} 0.3P{X Y u X 1} 0.7P{ X Y u X 2} =0.3P{Y u 1X 1} 0.7P{Y u 2 X 2} 由于X 和 Y 独立，可见 G(u)= 0.3P{Y u 1} 0.7P{Y u 2} =0.3F(u 1) 0.7F(u 2).由此 ,得 U 的概率密度 g(u) G (u) 0.3F (u 1) 0.7F (u 2) =0.3f (u 1) 0.7f(u 2). 评注】本题属新题型， 求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型， 要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具定的难度和综合性1T1 , 2, ,s线性无关 . 在平时的学习过程中，。
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D、 (un + vn ) 发散 n=1
【答案】 B.
【解析】由 vn 条件收敛知， lim vn = 0 ，故当 n 充分大时， vn 1 . 所以，
n=1 n
n→ n
n
unvn
=
nun
vn n
nun ，由于 nun 绝对收敛，所以 unvn 绝对收敛.
n=1
n=1
2
2
【答案】（π，− 2）.
【解析】令 y = −x sin x = 0 ，可得 x = π ，因此拐点坐标为（π，− 2）.
11、已知 f (x) = x 1+ t4 dt ，则 1 x2 f (x)dx = ____________
1
0
【答案】 1 (1− 2 2) . 18
【解析】依题意， f (x) = 1+ x4 且 f (1) = 0 .因此，
的规范形为（ ）
A. y12 + y22 + y32
B. y12 + y22 − y32 C. y12 − y22 − y32
D. − y12 − y22 − y32
【答案】 C.
【解析】 2 + = 2 ，则 只能为 −2 或1，又由于 A = 4 ，则特征值分别为 -2,-2,1 ，则
2019 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）试题参考答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的．
1、当 x → 0 时，若 x − tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k = （ ）
A. 1. C. 3. 【答案】 C.
【答案】C
【解析】 P(AB) = P(B A) P(A) − P(AB) = P(B) − P(AB) P( A) = P(B) ；选 C.
8、设随机变量 X 和Y 相互独立，且都服从正态分布 N (, 2 ) ，则 P{ X − Y 1}
A. 与 无关，而与 2 有关.
B. 与 有关，而与 2 无关.
1 x2 0
f
(x)dx =
1 3
1 0
f (x)dx3
=
1 3
x
3
f
(
x)
1 0
−
1 x3
0
1
+
x4
dx
=
1 18
(1 −
2
2) .
12、A、B 两商品的价格分别为 PA、 PB，需求函数 QA = 500 - PA2 - PAPB + 2PB2 ,
PA = 10 , PB = 20 ,求 A 商品对自身价格的需求弹性hAA = ____________ (h > 0) .
−4 k 4 . 3．已知微分方程 y + ay + by = cex 的通解为 y = (C1 + C2 )e−x + ex ，则 a, b, c 依次为（ ）
A、1, 0,1
B、 1, 0, 2
C、 2,1,3
D、 2,1, 4
【答案】 D.
【解析】由通解形式知， 1 = 2 = −1 ，故特征方程为（ +1）2 = 2 + 2 +1=0 ，所以
【答案】 0.4 .
【解析】因为 AA
=
− PA QA
dQA dPA
=
− PA QA
(−2PA
−
PB )
，将 PA
C. 与 ， 2 都有关.
D. 与 ， 2 都无关.
【答案】A
【解析】X − Y ~ N (0, 2 2 ，所以 P{ X − Y 1} = (1− 0 ) = ( −1− 0) = 2( 1 ) −1；
2
2
2
选A
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．
【解析】当 x → 0 时， x − tan x
B. 2. D. 4.
− 1 x3 ，则 k =3 . 3
2．已知方程 x5 − 5x + k = 0 有 3 个不同的实根，则 k 的取值范围为（ ）
A、 (−, −4)
B4
D、 (−4, 4)
【答案】 D.
【解 析】令 f (x) = x5 − 5x + k ，由 f (x) = 0 得 x = 1 ， 当 x −1 时， f (x) 0 ， 当
5、设 A 是四阶矩阵，A* 是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2 个向
量，则 A* 的秩是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】 A.
【解析】由于方程组基础解系中只有 2 个向量，则 r( A) = 2 ， r( A) 3 ， r( A) = 0 .
6、设 A 是 3 阶实对称， E 是 3 阶单位矩阵，若 A2 + A = 2E 且 A = 4 ，则二次型 xT Ax
−1 x 1时，f (x) 0 ，当 x 1 时，f (x) 0 ，又由于 lim f (x) = − ，lim f (x) = + ，
x→−
x→+
方程要有三个不等实根，只需要 f (−1)=4 + k 0 ， f (1) = −4 + k <0 ，因此 k 的取值范围为
二次型的规范形为 y12 − y22 − y32 . 7、设 A, B 为随机事件，则 P( A) = P(B) 充分必要条件是
A. P( A U B) = P( A) + P(B).
B. P( AB) = P( A)P(B).
C. P(AB) = P(B A).
D. P( AB) = P( AB).
a = 2,b = 1，又由于 y = ex 是 y+2 y + y = cex 的特解，代入得 c = 4 .
4、若
nun
n=1
绝对收敛，
n=1
vn n
条件收敛，则（
）
A、 unvn 条件收敛 n=1
B、 unvn 绝对收敛 n=1
C、 (un + vn ) 收敛 n=1
n
9、
lim
n→
1 1 2
+
1 23
+
+
1 n(n +1)
= ____________
【答案】 e−1.
【解析】
1 1 2
+
2
1
3
+L
n
1
+
n
(n
+
1)
=
n
n +
1
n
，则
lim
n→
n
n +
1
n
= e−1.
10、曲线 y = x sin x + 2 cos x(− π x 3π ) 的拐点坐标为____________