三角函数线及其应用

第2课时 三角函数线及其应用
【课标要求】
1．了解三角函数线的意义．
2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切． 【核心扫描】 1．三角函数线的概念．(难点) 2．利用三角函数线求解简单三角不等式．(重点)
3．对各种三角函数线的辨认．(易混点)
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1．三角函数的定义域
数线可以将三角函数问题转化为几何问题解决．体现了数形结
合的思想． 3．在利用不等式组的交集求含三角函数式的定义域时，除了考 虑解析式本身的约束条件，还要顾及三角函数本身的定义域以 及三角函数在各象限的符号问题.
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探究点1 用三角函数线表示的三角函数的符号是如何确
定的？
提示
有向线段MP、AT与y轴的正向相同时符号为
正，反向时符号为负；有向线段OM与x轴的正向相
同时符号为正，反向时符号为负．
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探究点2 如何作三角函数线？
提示 三角函数线的作法：①作正弦线、余弦 线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过 此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余 弦线． ②作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交 α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长 线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线 AT.
[题后反思] 由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问 题得以简化，三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数 问题的重要工具.
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例．已知点 P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈[0,2π)，求α 的取值范围．
解
∵点 P 在第一象限内， α>0，
1 坐标系中作出单位圆，并作直线 x＝2与单位 圆相交， 则图中阴影部分即为角 x 的终边的范 围．故满足条件的角 x 的取值范围为
π π x2kπ－ <x<2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
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方法技巧
数形结合法证三角不等式
正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数 的几何表示，凡与x轴或y轴正向同向的为正值，反向的 为负值．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来， 使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方
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[规律方法]
用单位圆中的三角函数线求解简单的三角
不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的 范围，然后再加上周期；
(2)注意区间是开区间还是闭区间．
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【活学活用2】 解不等式2cos x－1>0.
解 1 不等式 2cos x－1>0，即 cos x>2，在直角
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[规律方法]
利用三角函数线比较三角函数值的大小
时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较
三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．
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【活学活用1】 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大
解 ～360° 间的角的三角函数． 小． 先把两角化成 0° sin 1 155° ＝sin(3×360° ＋75° )＝sin 75° ， sin(－1 654° )＝sin(－5×360° ＋146° )＝sin 146° . 在单位圆中，分别作出 sin 75° sin 146° 和 的正弦线 M2P2，M1P1(如图)． ∵M1P1<M2P2， ∴sin 1 155° >sin(－1 654° )．
2．三角函数线
三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方
向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角
函数值的绝对值．
图示
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正弦 如上图，α终边与单位圆交于P，过P作PM垂直x
线 轴，有向线段 MP 即为正弦线 如上图，有向线段 OM 即为余弦线
余弦
线
正切 如上图，过(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其反
说法正确的是( )．
A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条 C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在 D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在 解析 由三角函数线概念及三角函数定义可知D正确．
答案 D
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3π 2．如果 MP、OM 分别是角16的正弦线和余弦线，那么下列结论 正确的是( )． B．MP<0<OM D．OM>MP>0
sin α－cos ∴ tan α>0， sin α>cos ∴ tan α>0.
α，
π π 结合单位圆(如图所示)中三角函数线及 0≤α<2π.可知4<α<2或 5π π<α< 4 .
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1．不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列
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解
2π 2π 如图，sin 3 ＝MP，cos 3 ＝OM，
2π 4π 4π tan 3 ＝AT，sin 5 ＝M′P′，cos 5 ＝ 4π OM′，tan 5 ＝AT′. 显然|MP|>|M′P′|，符号皆正， 2π 4π ∴sin 3 >sin 5 ； 2π 4π |OM|<|OM′|，符号皆负，∴cos 3 >cos 5 ； 2π 4π |AT|>|AT′|，符号皆负，∴tan 3 <tan 5 .
函数 y＝sin α y＝cos α y＝tan α
定义域 R R
π α∈Rα≠ ＋kπ，k∈Z 2
π 温馨提示：当 α＝2＋kπ(k∈Z)时，α 的终边在 y 轴上，终边上 y 任意一点的横坐标 x 都等于 0，所以 tan α＝x无意义．
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在 Rt△POM 中，sin α＝MP； 在 Rt △AOT 中，tan α＝AT. 又根据弧度制的定义，有 易知 S△POA<S 扇形 POA<S△AOT， 1 1 1 即2OA· 2α· 2OA· MP< OA< AT， 即 sin α<α<tan α. 的长度为 α· OP＝α.
线 向延长线于T，有向线段 AT 即为正切线
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温馨提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦 线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值 和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余 弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余 弦值为0，正切值不存在．
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类型一 利用三角函数线比较大小 2π 4π 【例 1】 分别作出 和 的正弦线、余弦线和正切线， 3 5 2π 4π 2π 4π 2π 4π 并比较 sin 和 sin ，cos 和 cos ，tan 和 tan 3 5 3 5 3 5 的大小．
[思路探索] 作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终 边；比较三角函数值的大小时需依据三角函数线的长度 和正负．
围．
解 (1) 图 ①中阴 影 部分就 是 满足条 件 的角 θ 的 范围，即
.
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π 2π θ2kπ＋ ≤θ≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3
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(2)图②中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围，即
2 π π 2 θ2kπ－ π≤θ<2kπ－ 或2kπ＋ <θ≤2kπ＋ π，k∈Z 3 6 6 3 .
4．函数
π y＝tanx－4的定义域是________．
π π 3π 解析 x－4≠kπ＋2，即 x≠kπ＋ 4 ，k∈Z.
答案
3π xx≠kπ＋ ，k∈Z 4
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课堂小结
1．三角函数线的意义是表示三角函数的值，其长度等于三角函 数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． 2．三角函数线是解决三角函数问题的重要工具，在研究三角函 数的性质，解三角不等式等方面有着广泛的应用，利用三角函
便．
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π 0， 【示例】 求证：当α∈ 2 时，sin α<α<tan α.
[思路分析] 本题主要考查单位圆中的三角函数线、扇形 面积公式及数形结合的思想．利用单位圆中角 α 的正弦线及所 对弧长，正切线所在等腰三角形、扇形及直角三角形的面积大 小来解决．
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证明 如图，设角 α 的终边与单位圆相交 于点 P，单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A， 过点 A 作圆的切线交 OP 的延长线于点 T， 过点 P 作 PM⊥OA 于点 M，连接 AP，则 有：
A．MP<OM<0 C．MP>OM>0
解析 如图可知，OM>MP>0.
答案 D
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3．若sin θ≥0，则θ的取值范围是________．
解析 sin θ≥0，如图利用三角函数线可得 2kπ≤θ≤2kπ＋π，k ∈Z.
答案 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
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类型二 利用三角函数线解不等式 【例 2】 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值 范围． 3 1 3 (1)sin θ≥ ；(2)－ ≤cos θ< . 2 2 2
[思路探索] 作出三角函数在边界的正弦线，然后观察角 在什么范围内变化，再根据区域的范围写出θ的取值范