三角函数线及其应用
人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件
x OA
作三角函数线的步骤: 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件
(1)以圆点为圆心画出单位圆，作出角的终边;
(2) 设α的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于M，则：
有向线段MP是正弦线, 有向线段OM是余弦线;
(3) 设单位圆与x轴的正半轴交于点A，过点A作x轴的垂线,
与角α的终边(或其反向延长线)交于点T，则：
α的
y
终边 P
MO
A(1,0)
x
T
(Ⅱ)
AT y tan, 有向线段AT叫角α的正切线
x
特别注意：正切线必须是： 以A为始点、T为终点
y
T
M
A(1,0)
O
x
α的 P
可以看出：正切线在第一三象限为正，第二四终边象限(Ⅲ为)负.
y T α的
终边
P
A(1,0)
OM x
(Ⅰ)
y
M A(1,0)
O
x
PT
α的
1
Ax
y=－1
T
4
题型四：利用三角函数线解三角不等式 人教高中数学必修四.1三角函数线PPT课件
例
写出满足条件
1 2
≤cosα＜
3 2
的角α的集合.
|2k
6
＜α≤
2k 2 ，或
3
2k 4 ≤α＜ 2k 11 ，k Z
3
6
x1 x 3
2
2
2
y
3
1
6
-1 O
4
-1
3
1
x
11
6
(2k
6
,2k
不查表，比较大小。
（２）cos 2
高考数学知识点：三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)
高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线,高二，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，ta nα=AT，如下图：注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。
关于三角函数线，要注意以下几点：（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。
三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x 轴上，向右为正，向左为负。
（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。
特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。
（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。
当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。
（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。
一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。
诱导公式：公式一公式二公式三公式四公式五公式六规律：奇变偶不变，符号看象限。
即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
2019 2020高中数学第1章三角函数121任意角的三角函数第2课时三角函数线及其应用教案新人教A版
三角函数线及其应用课时第21．有向线段(1)定义：带有方向的线段．OMMP. (2)表示：用大写字母表示，如有向线段，2．三角函数线PPPMxM. ，过垂直于作轴，垂足为作图：①(1)α的终边与单位圆交于AxT. α0)作的终边或其反向延长线于点轴的垂线，交②过(1，(2)图示：MPOMAT，分别叫做角α、结论：有向线段(3)的正弦线、余弦线、正切线，统称为三、角函数线．思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？xy轴上当角的终边落在轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在提示：时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．π8π1．角和角有相同的( )77A．正弦线 B．余弦线．不能确定D ．正切线C．π8πC [角和角的终边互为反向线，所以正切线相同．]772．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )OMAT′．正弦线′，正切线 A OMAT′．正弦线′，正切线 B MPAT，正切线C．正弦线MPAT′，正切线′D．正弦线MPAT，C，正切线为正确．C [α为第三象限角，故正弦线为]3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为．y轴上，正弦线与单位圆的交点为(0，0的余弦线长度为时，α的终边落在1 [若角α1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.]】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．【例1ππ10π17.(3)－；(2)；(1)364 [解]如图．MPOMAT为正切线．其中为正弦线，为余弦线，三角函数线的画法x轴的垂(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．xA)的终边(α作正切线时，应从(1，0)点引为第一或第四象限角轴的垂线，交α(2)ATT.于点，即可得到正切线或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)π5 1．作出－的正弦线、余弦线和正切线．8 ]如图：[解π5????MP－＝，sin??8π5????OM－，cos＝??8π5????AT－. ＝tan??8) ＞cos β，那么下列结论成立的是( 【例2】 (1)已知cos αβsin α＞sin ．若Aα、β是第一象限角，则α＞tan β是第二象限角，则B．若α、βtanα＞sin βC．若α、β是第三象限角，则sin＞tan β．若α、β是第四象限角，则tan αDππ4π2π4π22π4 的大小．，tan和tan和(2)利用三角函数线比较sin和sin，coscos553533在规定象限内画观察正弦线或正、β的余弦线出α→思路点拨：(1) 切线判断大小满足cos α＞cos β2π4π观察图形，(2)作出和的正弦线、余弦线和正切线→比较大小35 错误；A，故βsin ＜αsin 时，βcos ＞αcos 可知，(1)由图[ D)1(图(1)由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B错误；图(2)由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；图(3)由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确．]图(4)2π2π2π4π4πMPOMATMPOM′，＝′，tan＝，＝′cos＝＝解：如图，(2)sin，cos，333554πAT′.＝tan 5．MPMP′|，符号皆正，| 显然|′|＞2π4π∴sin＞sin；352π4πOMOM′|，符号皆负，∴cos＞cos；|＜| |352π4πATAT′|，符号皆负，∴tan＜tan|＞||.35(1)利用三角函数线比较大小的步骤：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．2π2π2πabc＝tan，则( ＝cos， 2．已知sin＝，)777abcacb＜．．＜B＜＜A babcac＜．D＜．C＜＜D[由如图的三角函数线知：2π2ππATMP＞，因为＝＜，784MPOM，＞所以．2π2π2π所以cos＜sin＜tan，777bac.]所以＜＜πππ3π3．设＜α＜，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果＜α＜，4224上述长度关系又如何？ππMPOMAT，，余弦线为，正切线为α＜时，角α的正弦线为[解] 如图所示，当＜42π3πATMPOMMPOM′，′时，角α显然在长度上，的正弦线为＞′，余弦线为＞＜；当＜α24ATATMPOM′.′＞′＞′正切线为′，显然在长度上，]探究问题[aaa (|α≥|≤1)的不等式？，sin α≤1．利用三角函数线如何解答形如sinaaa(|，sin α≤|≤1)的不等式：提示：对形如sin α≥图①yOMaay轴的垂线交单位圆于两作)，过点(0画出如图①所示的单位圆；在，轴上截取＝PPOPOPOPOP′上的角的集合；图中阴影部分即为和点和和′；写出终边在′，并作射线aa的角α的范围．α的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin ≥sin 满足不等式α≤aaa|≤1)的不等式？≤α(|．利用三角函数线如何解答形如2cos α≥，cosaaa|≤1)的不等式：≤cos α对形如提示：cos ≥，α(|图②．xaaxOM轴的垂线交单位圆于两，0)＝，过点画出如图②所示的单位圆；在(轴上截取作OPOPPPOPOP′上的角的集合；图中阴影部分即为满′，作射线′；写出终边在点和和和aa cos α的角α≥足不等式cos α≤的范围．的角α的范围，其余部分即为满足不等式3】利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．【例132. αα|≤(1)cos α＞－≤；(3)|sin ；(2)tan 223的写出角α确定对应确定角α的终→思路点拨：→――方程的解边所在区域取值范围[解] (1)如图，由余弦线知角α的取值范围是3π3π???kkk?Z，＜α＜2π2＋π－∈. α???44??(2)如图，由正切线知角α的取值范围是ππ???kkk?Zπ＋∈π，α≤. α???62??111(3)由|sin α|≤，得－≤sin α≤.222如图，由正弦线知角α的取值范围是ππ???kkk?∈，π＋Zπ－α≤≤.α???66??2”，求α的取值范围．的不等式改为“cos α＜ 1．将本例(1)2[解]如图，由余弦线知角α的取值范围是π7π???kkk?Z＜2，π2＋π＋∈＜α. α???44??132．将本例(3)的不等式改为“－≤sin θ＜”，求α的取值范围． 22π117π3π2π????－＝－，sin且－≤sin θ＝]由三角函数线可知sin＝sin，sin＝[解??62633223，故θ的取值集合是＜ 2ππ2π7π????kkkk????k＋22π2，＋π＋π，2π－ (．∈Z)∪????6633yx－1的定义域．．利用本例的方法，求函数＝2sin 3x－1≥0，2sin ]要使函数有意义，只需解[1x≥.即sin 2π5π??kk??k＋＋，2π2π∈Z)． (由正弦线可知定义域为??66利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置．(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求．(3)在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的提醒：所有角的集合．．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小1 问题，难点是对三角函数线概念的理解． ．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题2 ；三角函数线的画法，见类型1(1) ；利用三角函数线比较大小，见类型2(2)3.利用三角函数线解简单不等式，见类型(3)．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值3的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之 重． ．利用三角函数线解三角不等式的方法41．下列判断中错误的是( )A ．α一定时，单位圆中的正弦线一定B ．在单位圆中，有相同正弦线的角相等C ．α和α＋π有相同的正切线D ．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上π5πB [A正确；B 错误，如与有相同正弦线；C 正确，因为α与π＋α的终边互为反66向延长线；D 正确．]πOMMP 分别是角α＝的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( 2．如果， )5MPOMMPOM ＜0＜．B0＜＜．A ．MPOMMPOM 0＞＞＞＞0 DC ．．ππOM 的余弦线和正弦线满足α＝[角β＝的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角D 54MP 0.]＞＞baba，则cos 4 ，3．若．＝sin 4，的大小关系为＝ππ35ba＜，＜＜ [因为424 ，如图4弧度角的正弦线和余弦线()画出ba.]＜cos 4，即观察可知sin 4＜的集合．α的终边范围，并由此写出角α．在单位圆中画出适合下列条件的角413. α≤－(1)sin α；≥(2)cos 223yOBABOA＝(1)作直线[α的终边在如图①所交单位圆于解，两点，连接]，，则角2π2???kkk?∈Zπ，≤π≤απ＋2＋2.α)含边界，角的取值集合为α(示的阴影区域内???33??图①图②1xCDOCOD，则角α＝－(2)作直线交单位圆于，两点，连接，的终边在如图②所示的2．24???kkk?∈，Zπ≤α≤＋2π2π＋π.阴影区域内(α的取值集合为，角含边界)α???33??。
1.2.3三角函数线 (共19张PPT)
三、基础知识讲解
2、三角函数线
探究：借助单位圆，你能找到一条如OM、MP一
样的线段来表示tana 吗？
又如，若角a 表示第二象限角，仍过点A(1，0)作单
位圆的切线，设它与a 终边的反向延长线交于点T，
Q tan y MP
x OM
y
的终边
P(x,y)
MP AT AT OM OA
-1 M O
有向线段的方向与坐标系的方向相同. 即同向时,数量为正;反向时,数量为负.
三、基础知识讲解 2、三角函数线 有向线段：带有方向的线段
例：如右图所示，角a 是第二象限角有向线段OM表 示以点O为起点，点M为终点的线段，即OM的方向 与x轴的正方向相反的线段， a 的终边 y 我们规定，方向与坐标轴的 正向相同的有向线段表示一 P(x,y)
确定 sin 1 的角 的取值范围. 2
2
6
2k或
5
6
2k ,k
Z 角的终边
y
1
P
y1 2
-1 O
M1
x
[ 2k , 5 2k ]
6
6
(k Z)
-1
例3.利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角
及取值范围：
(1)sinα=cosα; (2)sinα<cosα;
(3)tanα<1;
2k或 5 2k ,k Z
的终边
三、基础知识讲解
的终边 y
2、三角函数线
P(x,y)
y 的终边
P(x,y)
-1 M O y
1x
-1
|MMPP=|=y|=ysi|n=|sina | |OOMM=|=x|=xco|=s|cosa |
高中数学第1章三角函数1-2-1第2课时三角函数线及其应用课件新人教A版必修4
合作 探究 释疑 难
作已知角的三角函数线
【例1】 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)－π4；(2)176π；(3)103π.
[解] 如图． 其中 MP 为正弦线，OM 为余弦线，AT 为正切线．
由图(3)可知，cos α＞cos β 时，sin α＜sin β，C 错误； 图(3)
由图(4)可知，cos α＞cos β 时，tan α＞tan β，D 正确．
] 图(4)
(2)解：如图，sin
2π 3
＝MP，cos
2π 3
＝OM，tan
2π 3
＝AT，sin
4π 5
＝
M′P′，cos45π＝OM′，tan45π＝AT′.
单的三角函数问题．(难点)
自主 预习 探新 知
1．有向线段 (1)定义：带有 方向 的线段． (2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM，MP. 2．三角函数线 (1)作图：①α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂 足为M. ②过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T.
1．角π7和角87π有相同的( )
A．正弦线
B．余弦线
C．正切线
D．不能确定
C [角π7和角87π的终边互为反向延长线，所以正切线相同．]
2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是 ()
A．正弦线OM，正切线A′T′ B．正弦线OM，正切线A′T′ C．正弦线MP，正切线AT D．正弦线MP，正切线A′T′ C [α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确．]
三角函数线及其应用 ppt课件
新知探究
题型探究
感悟提升
MP OM
AT
新知探究
题型探究
感悟提升
温馨提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、 正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正 切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线 变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值 为0，正切值不存在．
新知探究
题型探究
感悟提升
互动探究
解 不等式 2cos x－1>0，即 cos x>12，在直角
坐标系中作出单位圆，并作直线 x＝12与单位
圆相交，则图中阴影部分即为角 x 的终边的范
围．故满足条件的角 x 的取值范围为
x2kπ－π3<x<2kπ＋π3，k∈Z
.
新知探究
题型探究
感悟提升
方法技巧 数形结合法证三角不等式 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数 的几何表示，凡与x轴或y轴正向同向的为正值，反向的 为负值．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来， 使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方 便．
2π和 3
cos45π，tan
2π和 3
tan
4π 5
的大小．
[思路探索] 作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终
边；比较三角函数值的大小时需依据三角函数线的长度
和正负．
新知探究
题型探究
感悟提升
[规律方法] 利用三角函数线比较三角函数值的大小时 ，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三 角函数线的长度；③确定有向线段的正负．
②作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交 α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长 线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线 AT.
三角函数线的应用(新编201912)
2、解三角不等式，求角的范围.
8、求下列函数的定义域： （1）y 2 cos x 1 (2) y lg(3 4sin2 x)
解答下列问题： （1）若 在第四象限，判断
的符号；
（2）若
，试指出 所在的象限，
并用图形表示出的取值范围.
两分钟内完成
1、tan 300o sin 450o的值是（ ） A.1 3 B.1 3 C. 1 3 D. 1 3
三角函数线的应用
一、三角式的证明 1、已知：角 为锐角，
试证：（1） sin tan
(2) 1 sin cos 2
2、已知：角
为锐角，
试证：sin 2 cos
2
0 sin 2 cos 1
2
0 cos 2 sin 1
2、已知sin( ) 4，且是第四象限角，
5那么Biblioteka os(-2 )的值是（ ）A. 3 B. 3 C. 3 D. 4
55
55
3、已知是三角形的一个内角，且sin =
2 2
，那么角 等于（
）
A.
3
B.4
C.4
或
6
D.4
或
3
4
三分钟内完成
4、sin135o cos2 150o 2sin 210o cos 225o的值是（ ）
7、如果f (tan x) cot 3x，那么f (cot x)等于（ ） A.tan 3x B.cot 3x C. cot 3x D. tan 3x
2
2 cos 0 2 sin 1
2
2
1 cos 2 0 sin 2
教学案例：三角函数线的应用
教学案例：三角函数线的应用一、案例过程在必修4第一章三角函数的复习课上，当复习到三角函数线的时候，我和以前一样，复习完定义之后，接下来就要复习三角函数的同角关系式和诱导公式了。
就在这时候，有个学生提问说：“老师，三角函数线有哪些应用呢？”我接着问：“那么大家想一想，三角函数线有哪些应用呢？能够相互讨论。
”学生开始思考，互相讨论，也有同学讲课本打开……讨论结果整理如下：1、在讲解三角函数线的时候，学习了如何利用三角函数线解不等式，例如解不等式21sin >x 。
2、同时有些学生发现利用三角函数线记忆特殊角ππππ2,23,,2,0的正弦值和余弦值更加深刻。
3、利用三角不等线能够画三角函数的图像，和分析三角函数的性质。
4、在利用三角不等线证明同角关系式1cos sin 22=+αα二、案例分析看到同学们讨论结果，我们了解了三角函数线应用很广泛，我们还应用它，多次作为基本工具，讲解公式和函数图像性质，但我发现在证明诱导公式的时候，我们是利用三角函数的定义证明的。
这时候我就想能不能利用三角函数线证明诱导公式呢？如图，角α的终边与单位圆的交点为P ,过P 作x PM ⊥轴于M ，则角απ+，απ-，α-的终边如图所示。
我们以ααπsin )sin(-=+，ααπcos )cos(-=+为例。
如图，角απ+的终边与单位圆的交点为Q ,过Q 作x QN ⊥轴于N ，则ON OM =+=)cos(,cos απα，由图可知，NQ MP ,长度相等，方向相反，所以ααπcos )cos(-=+同理可证其他的诱导公式。
三、案例反思这节课给我的触动很大，通过三角函数线的应用的研究，我发现课本中某些内容存有相互联系，但在讲课过程中，我仅仅利用它，而没分析和总结他们之间的联系，在以后的教学中，我要善于总结知识点之间的联系，而不能将它们孤立，作为教师要善于思考和总结。
x。
必修四1-2-1-2三角函数线及其应用
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 2】 利用正弦线比较 sin1，sin 1.2，sin 1.5 的大小关系 是( )．
A．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D．sin 1.2>sin 1>sin 1.5 解析 ∵1,1.2,1.5
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1 解 如图(1)作直线 y＝2交单位圆于 P、Q，则 OP、OQ 为角 α 的终边． 如图(2)所示，当 α 的终边是 OP 时，角 α 的正弦线为 MP，余 弦线为 OM，正切线为 AT. 当 α 的终边为 OQ 时，角 α 的正弦线为 NQ，余弦线为 ON，正 切线为 AT′.
(1)
(2)
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规律方法
作三角函数线关键是依据三角函数线的定义，三角
函数的定义不仅给出了什么是正弦线、余弦线、正切线．同时 也给出了角 α 的三角函数线的画法即先找到 P、M、T 点，再画 出 MP、OM、AT.
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1 1 【变式 1】 若将例题中“sin α＝2”改为 cos α＝2， 如何画出角 α 的终边． 解 1 如图作直线 x＝ 交单位圆于 M、N.则 OM、ON 为角 α 的 2
如上图，过(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或α
正切线 终边的反向延长线于T，有向线段 正切线 即为 AT
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三角函数线及应用
三角函数线及应用三角函数是高等数学中的重要内容，广泛应用于各个领域，如工程、物理、天文学等。
本文将介绍三角函数的定义、性质及其在实际问题中的应用。
首先，我们来定义三角函数。
在平面直角坐标系中，以原点O为起点，做一条射线r，与X轴正半轴之间的夹角记为θ。
此时，r与X轴正半轴的交点为点P。
根据射线和X轴的夹角θ不同，我们定义三角函数sinθ、cosθ、tanθ和cotθ等，其中：正弦函数sinθ等于点P的纵坐标y与斜边OP的长度之比；余弦函数cosθ等于点P的横坐标x与斜边OP的长度之比；正切函数tanθ等于点P的纵坐标y与点P的横坐标x之比；余切函数cotθ等于点P的横坐标x与点P的纵坐标y之比。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下性质：1. 对于任意实数θ，有sin²θ+ cos²θ= 1。
这被称为“三角恒等式”，是三角函数的基本性质之一。
2. sinθ和cosθ的取值范围均在[-1, 1]之间，tanθ和cotθ的取值范围为实数集。
3. 三角函数在不同象限的取值情况：第一象限：sinθ> 0，cosθ> 0，tanθ> 0，cotθ> 0；第二象限：sinθ> 0，cosθ< 0，tanθ< 0，cotθ< 0；第三象限：sinθ< 0，cosθ< 0，tanθ> 0，cotθ> 0；第四象限：sinθ< 0，cosθ> 0，tanθ< 0，cotθ< 0。
接下来，我们来看一些三角函数的具体应用。
1. 工程中的应用：在工程中，三角函数常常被用于解决各种测量和设计问题。
例如，在建筑设计中，建筑师需要根据太阳的位置来确定房间的采光效果。
这时，就可以利用三角函数来计算太阳的仰角和方位角，从而确定阳光的照射方向和强度。
2. 物理学中的应用：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述振动、波动和旋转等现象。
三角函数公式及其应用
三角函数公式及其应用三角函数是研究三角形内角关系与边长比值的一门数学概念，是数学中基础而重要的内容之一、三角函数公式是描述三角函数之间关系的一组数学公式，它们在解决各种三角函数问题中起到了重要的作用。
三角函数包括正弦、余弦、正切、余切、正割和余割六种函数，它们分别表示一个角的三边比值。
常见三角函数公式及其应用如下：1.正弦公式：正弦公式用于计算三角形的边长：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为三角形的内角。
2.余弦公式：余弦公式用于计算三角形的边长：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC其中a、b、c为三角形的边长，C为三角形的内角。
3.正切公式：正切公式用于计算三角形的内角大小：tanA = sinA/cosA其中A为三角形的内角。
4.余切公式：余切公式用于计算三角形的内角大小：cotA = 1/tanA = cosA/sinA其中A为三角形的内角。
5.和差化积公式：sin(A±B) = sinA*cosB ± cosA*sinBcos(A±B) = cosA*cosB ∓ sinA*sinB其中A、B为角度。
6.和差化积公式的应用：通过使用和差化积公式，可以展开复杂的三角函数表达式，简化计算过程。
7.万能公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2Ra^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为三角形的内角，R为三角形的外接圆半径。
8.万能公式的应用：万能公式可以用于计算三角形的边长和内角大小，同时也可以用于证明三角形的性质。
除了以上公式，三角函数也有一些重要的性质和恒等式，如周期性、奇偶性、反函数等，这些性质和恒等式也对解决三角函数问题具有重要的指导意义。
三角函数广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机图形学等。
在物理学中，三角函数被用于描述波动、振动等运动规律。
3.三角函数线的来源及应用
一、终边法：1、平分图例:比大小解：一二四象限很容易比较函数值的大小二三象限的比较略为麻烦，现在画图在平分线以上，sin值大于cos值在平分线以上，cos值大于sin值用此法可快速比较正弦和余弦值的大小。
二、单位圆与三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数（如图）.两个小应用：π3πtan0sin cosπsin cos2π222+---=三、诱导公式：对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）注：题型一 利用三角函数线解三角不等式例1：解下列不等式.分析：作出满足sin α 、cos α= 12-的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围.答案：(1)作直线交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域（图1中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为2{|22,}33k k k z ππαπαπ+≤≤+∈(2)作直线x=-12-交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域（图2中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α集合为24{|22,}33k k k z ππαπαπ+≤≤+∈ 点拨：对形如f(α)≥m 或f(α)≤m 的三角函数，求角α的范围的问题可利用三角函数线来求解.题型二 同角求值——条件中出现的角和结论中出现的角是相同的分析：同角求值中最经典的三道题，一定要掌握求解方法。
对于已知正切，求关于正弦余弦表达式的值，要对齐次式敏感。
遇到含有正弦余弦和或者差的形式，要善于平方，再利用22sin cos 1θθ+=得到sin cos θθ这一隐含信息。
三角函数公式在解三角形中的应用例3: (12分)在△ABC 中，若sin(2))A B A B πππ-=-=-,求△ABC 的三个内角.分析: 先利用诱导公式对等式进行化简，得到sin sin cos cos A B A B ==,进而由22sin cos 1A A +=可求出A ，进一步即可求出B 和C.以上结论要牢记，另外要注意“三角形”这一条件的限制作用，比如在锐角三角形ABC 中，求证：sin A+sin B+sin C ＞cos A+cos B+cos C.（答题时间：30分钟）。
三角函数线的若干应用
角α与角 的 终边关系如何，它们 的三角函数值之间有 何关系？
sin(π − α ) = sin α cos(π − α ) = − cos α tan(π − α ) = − tan α
结构特征： 结构特征： 函数名不变， 函数名不变， 符号看象限
三角函数线的若干应用
北京市如何利用单位 圆上点的坐标定 义三角函数的吗？
α
我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、AT,分别叫做角的正弦线、余弦线、 正切线，统称为三角函数线.
（一）三角函数线在探究三角函数性质中的应用 解析式 y=sinx y=cosx 周期性 定义域 值 域 零 点 T=2π R [－1,1] x=kπ,k∈Z
奇偶性
奇函数
偶函数
（二）三角函数线在探究同角三角函数关系中的应用
以正弦线,余弦线和 半径1三者的长构成 直角三角形,它们三 边的关系如何？
由勾股定理有 OM 2+MP 2=1 因此 x 2+y 2=1 即 sin2α +cos2α =1
正弦线MP,余弦线 OM所在 Rt∆OMP 和 正切线AT所在的 Rt∆OAT 有什么关系？
π π 在2kπ − ,2kπ + 2 2 上单调递增(k ∈ Z)
3π π 在2kπ + ,2kπ + 2 2 上单调递减(k ∈ Z)
T=2π R [－1,1]
x = kπ +
π
2
,k ∈Z
在[2kπ − π ,2kπ ] 上单调递增(k ∈ Z)
单调性
在[2kπ ,2kπ + π ] 上单调递减 ( k ∈ Z)
三角函数线
1 单位圆的定义：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2 三角函数的定义：如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么得到六个三角函数
有向线段：有大小和方向的线段。
3，正弦线作法：
(1)设角的终边与单位圆交于点P(x,y),过点P作x轴的垂线,垂足M,
得有向线段MP叫做角的正弦线，当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且y有正值；当线段MP与y 轴反向时，MP的方向为负向，且y有负值。
同理可得余弦线等其它线。
正弦线的方向以上为正，且永远为从点P在x轴的投影点M指向终边与单位圆的交点P，
余弦线的方向以右为正，且永远为从原点O指向终边与单位圆的交点P在x轴的投影点M，
4. 正切线作法：
根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有
正切线的方向以上为正, 正切线的方向永远从（1，0）指向角终边所在直线，
且正切线永远在y轴右边，正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上。
角终边落在1、3象限正切线为正，2、4象限时正切线为负，
常用的三种三角函数线的作法：
第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P；
第二步：过点P作X轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM；
第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT.
特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写时要带上方向符号。
五、三角函数线的应用。
(word完整版)高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数线及其应用
三角函数线及其应用【知识梳理】1. 有向线段带有方向的线段叫做有向线段.【常考题型】题型一、三角函数线的作法3 n【例i】作出3n的正弦线、余弦线和正切线.43 n［解］角匸的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT,3 n 3 n与34的终边的反向延长线交于点「则34的正弦线为MP ,余弦线为OM，正切线为AT.【类题通法】三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足，从而得正弦线和余弦线.(2)作正切线时，应从 A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点即可得到正切线 AT.【对点训练】作出-护勺正弦线、余弦线和正切线.解：如图所示,题型二、利用三角函数线比较大小［例 2 】 分别比较 sin 2^ sin 4^； cos^n W cos 4^ tan 2^ tan 4^的大小. 35 3 5 3 5［解］在直角坐标系中作单位圆如图所示•以 x 轴非负半轴为始边2 n作了的终边与单位圆交于 P 点，作PM _LOx ,垂足为3 正方向的交点 A 作Ox 的垂线与0P 的反向延长线交于4 n 4 n 4 n4 n 同理，可作出 的正弦线、余弦线和正切线，sin = M ' P z , cos = OM ' , tan = AT '.5 5 552 n 4 n 2 n 4 n由图形可知，MP>M ' P '，符号相同，则sin"3>sin"5"；OM>OM '，符号相同，贝U cosy'cos 4";2 n 4 nAT<AT '，符号相同，则tan§<tan 〒.【类题通法】利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要 比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负.T ,MP ,迹才=OM , tan^^ AT.“对号入座”；②Q n-Q ■的正弦线为【对点训练】设4< /才，试比较角a 的正弦线、余弦线和正切线的长度.如果 n < a~~，上述长度关系又如何？解：如图所示，当4<a <n 寸，角a 的正弦线为 MP ，余弦线为0M ， 正切线为 AT ,显然在长度上， AT>MP>OM ;当n<加3^时，角a 的正弦线为M ' P '，余弦线为0M '，正切 线为AT '，显然在长度上，AT ' >M ' P ' >0M '.题型三、利用三角函数线解不等式【例3】利用三角函数线，求满足下列条件的a 的范围.1 …、 V 3⑴sin a < - 2； (2)cos a 2 .1［解］(1)如图①，过点 0，— 2作x 轴的平行线交单位圆于 P , P '两点，贝U sin AOP = sinZxOP ' =- 1 ,/xOP = p, AOP ' = 7n ，2， 6 67 n11 n故“的范围是a 石+ 2kn «v +2k n k(Zn n 故a 的范围是a - n+ 2k n<<n+ 2k n，k 已【类题通法】利用三角函数线解三角不等式的方法ZXOP = n ZxOPn 6,利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于 sin x >b , cos x > a(或sin x w b , cos x w a),只需作直线 y = b , x = a 与单位圆相交,x > c(或tan x w c)，则取点(1 , c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图像可得.【对点训练】利用三角函数线求满足 tan a J 的角a 的范围.解：如图，过点A(1,0)作单位圆0的切线，在切线上沿 y 轴正方向取 一点T ,使AT = 33，过点0, T 作直线，则当角a 的终边落在阴影区域内 (包含所作直线，不包含 y 轴)时，tan aa ^3由三角函数线可知，在［0 ° 360 °内，tan aa 普,V 3有 30°w a <90°或 210°w a <270° 故满足 tan a>^r ，有 k180° + 30°w a <k 180° + 90° k€Z. 3【练习反馈】1 •已知角a 的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，贝U a 的终边在()A •第一象限的角平分线上B •第四象限的角平分线上C •第二、四象限的角平分线上D •第一、三象限的角平分线上解析：选C 由条件知sin a=- cos a, a 的终边应在第二、四象限的角平分线上.7 n2.如果MP 和OM 分别是角a=—的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )A • MP<OM<0B • OM>0>MP 解析: 选D 一…为…rr 可知：MP>0, OM<0,r 1C • OM<MP<0D • MP>0>OM像,故 OM<O<MP.连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan3. ____________________________________________________ 若角a 的余弦线长度为0,则它的正弦线的长度为 ____________________________________________________________ .解析：若角a 的余弦线长度为0,贝U a 的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度为 1.答案：14 .用三角函数线比较 sin 1与cos 1的大小，结果是解析：如图，sin 1 = MP , cos 1= OM. 显然 MP>OM ，即 sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 115 .在单位圆中画出满足 sin a= 1的角a 的终边.OQ 即为角a 的终边.解：所给函数是正弦函数,1故作直线y = 2交单位圆于点P , Q ,连接OP , OQ ,则射线OP ,。
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【课标要求】
1．了解三角函数线的意义．
2．会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切． 【核心扫描】 1．三角函数线的概念．(难点) 2．利用三角函数线求解简单三角不等式．(重点)
3．对各种三角函数线的辨认．(易混点)
新知探究
题型探究
感悟提升
新知导学
1．三角函数的定义域
围．
解 (1) 图 ①中阴 影 部分就 是 满足条 件 的角 θ 的 范围，即
.
感悟提升
π 2π θ2kπ＋ ≤θ≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3
新知探究
题型探究
(2)图②中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围，即
2 π π 2 θ2kπ－ π≤θ<2kπ－ 或2kπ＋ <θ≤2kπ＋ π，k∈Z 3 6 6 3 .
新知探究
题型探究
感悟提升
[规律方法]
用单位圆中的三角函数线求解简单的三角
不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的 范围，然后再加上周期；
(2)注意区间是开区间还是闭区间．
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感悟提升
【活学活用2】 解不等式2cos x－1>0.
解 1 不等式 2cos x－1>0，即 cos x>2，在直角
探究点1 用三角函数线表示的三角函数的符号是如何确
定的？
提示
有向线段MP、AT与y轴的正向相同时符号为
正，反向时符号为负；有向线段OM与x轴的正向相
同时符号为正，反向时符号为负．
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题型探究
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探究点2 如何作三角函数线？
提示 三角函数线的作法：①作正弦线、余弦 线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过 此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余 弦线． ②作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交 α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长 线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线 AT.
2．三角函数线
三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方
向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角
函数值的绝对值．
图示
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正弦 如上图，α终边与单位圆交于P，过P作PM垂直x
线 轴，有向线段 MP 即为正弦线 如上图，有向线段 OM 即为余弦线
余弦
线
正切 如上图，过(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其反
便．
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π 0， 【示例】 求证：当α∈ 2 时，sin α<α<tan α.
[思路分析] 本题主要考查单位圆中的三角函数线、扇形 面积公式及数形结合的思想．利用单位圆中角 α 的正弦线及所 对弧长，正切线所在等腰三角形、扇形及直角三角形的面积大 小来解决．
证明 如图，设角 α 的终边与单位圆相交 于点 P，单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A， 过点 A 作圆的切线交 OP 的延长线于点 T， 过点 P 作 PM⊥OA 于点 M，连接 AP，则 有：
A．MP<OM<0 C．MP>OM>0
解析 如图可知，OM>MP>0.
答案 D
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3．若sin θ≥0，则θ的取值范围是________．
解析 sin θ≥0，如图利用三角函数线可得 2kπ≤θ≤2kπ＋π，k ∈Z.
答案 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
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在 Rt△POM 中，sin α＝MP； 在 Rt △AOT 中，tan α＝AT. 又根据弧度制的定义，有 易知 S△POA<S 扇形 POA<S△AOT， 1 1 1 即2OA· 2α· 2OA· MP< OA< AT， 即 sin α<α<tan α. 的长度为 α· OP＝α.
函数 y＝sin α y＝cos α y＝tan α
定义域 R R
π α∈Rα≠ ＋kπ，k∈Z 2
π 温馨提示：当 α＝2＋kπ(k∈Z)时，α 的终边在 y 轴上，终边上 y 任意一点的横坐标 x 都等于 0，所以 tan α＝x无意义．
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类型一 利用三角函数线比较大小 2π 4π 【例 1】 分别作出 和 的正弦线、余弦线和正切线， 3 5 2π 4π 2π 4π 2π 4π 并比较 sin 和 sin ，cos 和 cos ，tan 和 tan 3 5 3 5 3 5 的大小．
[思路探索] 作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终 边；比较三角函数值的大小时需依据三角函数线的长度 和正负．
线 向延长线于T，有向线段 AT 即为正切线
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温馨提示：当角α的终边与x轴重合时，正弦 线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值 和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余 弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余 弦值为0，正切值不存在．
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互动探究
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[规律方法]
利用三角函数线比较三角函数值的大小
时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较
三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．
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Байду номын сангаас
【活学活用1】 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大
解 ～360° 间的角的三角函数． 小． 先把两角化成 0° sin 1 155° ＝sin(3×360° ＋75° )＝sin 75° ， sin(－1 654° )＝sin(－5×360° ＋146° )＝sin 146° . 在单位圆中，分别作出 sin 75° sin 146° 和 的正弦线 M2P2，M1P1(如图)． ∵M1P1<M2P2， ∴sin 1 155° >sin(－1 654° )．
数线可以将三角函数问题转化为几何问题解决．体现了数形结
合的思想． 3．在利用不等式组的交集求含三角函数式的定义域时，除了考 虑解析式本身的约束条件，还要顾及三角函数本身的定义域以 及三角函数在各象限的符号问题.
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说法正确的是( )．
A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条 C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在 D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在 解析 由三角函数线概念及三角函数定义可知D正确．
答案 D
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3π 2．如果 MP、OM 分别是角16的正弦线和余弦线，那么下列结论 正确的是( )． B．MP<0<OM D．OM>MP>0
sin α－cos ∴ tan α>0， sin α>cos ∴ tan α>0.
α，
π π 结合单位圆(如图所示)中三角函数线及 0≤α<2π.可知4<α<2或 5π π<α< 4 .
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1．不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列
4．函数
π y＝tanx－4的定义域是________．
π π 3π 解析 x－4≠kπ＋2，即 x≠kπ＋ 4 ，k∈Z.
答案
3π xx≠kπ＋ ，k∈Z 4
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课堂小结
1．三角函数线的意义是表示三角函数的值，其长度等于三角函 数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． 2．三角函数线是解决三角函数问题的重要工具，在研究三角函 数的性质，解三角不等式等方面有着广泛的应用，利用三角函
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解
2π 2π 如图，sin 3 ＝MP，cos 3 ＝OM，
2π 4π 4π tan 3 ＝AT，sin 5 ＝M′P′，cos 5 ＝ 4π OM′，tan 5 ＝AT′. 显然|MP|>|M′P′|，符号皆正， 2π 4π ∴sin 3 >sin 5 ； 2π 4π |OM|<|OM′|，符号皆负，∴cos 3 >cos 5 ； 2π 4π |AT|>|AT′|，符号皆负，∴tan 3 <tan 5 .
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类型二 利用三角函数线解不等式 【例 2】 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值 范围． 3 1 3 (1)sin θ≥ ；(2)－ ≤cos θ< . 2 2 2
[思路探索] 作出三角函数在边界的正弦线，然后观察角 在什么范围内变化，再根据区域的范围写出θ的取值范
1 坐标系中作出单位圆，并作直线 x＝2与单位 圆相交， 则图中阴影部分即为角 x 的终边的范 围．故满足条件的角 x 的取值范围为
π π x2kπ－ <x<2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
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方法技巧
数形结合法证三角不等式
正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数 的几何表示，凡与x轴或y轴正向同向的为正值，反向的 为负值．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来， 使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方
[题后反思] 由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问 题得以简化，三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数 问题的重要工具.
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