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二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0 时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则 a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.a b b aba 知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六： 与 的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在是正实数，0，负实数。
但 与 都是非负数，即 ， 。
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二次根式知识点归纳和题型归类(j a 0 (a > 0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
)2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
3若J 3m 1有意义，则m 能取的最小整数值是 ____________ ;若丁20需是一个正整数，则正整数m 的最小值是 ___________ 4. 当x 为何整数时，■ 10x 1 1有最小整数值，这个最小整数值为 _________________ 。
5. 若 2004 a j a ―2005 a ，则 a 20042 = ____________________ ；若 y 丘―3 43―x 4，则 x y ______________I 2!26•设 m 、n 满足 n m 99 m2，则 mn = _____________ 。
m 37.若三角形的三边 a 、b 、c 满足a 2 4a 4 . b 3=0，则第三边c 的取值范围是 _________________8.若 |4x 81 x y m 0,且 y0 时，则()A 、0 m 1 B 、m 2C 、m 2D m 2利用二次根式的性质a 2=|a|= a(a 0)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题a(a 0)5、 当-3<x<5 时，化简 x 2 6x 9x 210x 256、 化简|x y | 、x2(x y 0)的结果是()A7、 已知：a 1 2a a 2=1，则a 的取值范围是(&化简(x 2)1的结果为()A 、2 x ；(x 2)\ x 2.y 2xoB .y C . 2x y D .y)o A 、a；B 、a 1 ；C 、a 0 或 1 ；D 、a 1B 、 . x 2 ；C 、.x 2 D 、2 x1.下列各式中一定是 次根式的是()。
A 、C 、- x 21.已知• x 3 3x 2 =— x x 3，则( )A. x w 0 B.x w — 3 C .x >— 3D. — 3< x w2..已知a<b ,化简二次根式...a 3b 的正确结果是( )A . a ab3.若化简| 1-x | - x 2 8x 16的结果为2x-5则( ) A 、x 为任意实数4.已知a , b , c 为三角形的三边，则 (a b c)2(b c a)2 (b ca)2 =.利用二次根式的双重非负性来解题(1) '； - ( 2) 2x 1(3)(4) 若飞―1) &X ―1，则X 的取值范围是(5)若彳x 3,则x 的取值范围是.x 1三.二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（“ ）2=a （a > 0）,即肩 |a|以及混合运算法则）(1)（一）化简与求值1•把下列各式化成最简二次根式:(1)( 2) 412402 (3)25m 5 Y 2(4) x 42•下列哪些是同类二次根式: 75 ,1, .12 , , 2 , \271，.. 3 ,1;50 10⑵ 5 a 3b 3c.ab ,a c bc—43•计算下列各题: (1) 6 27 ( 3 .3)； 2J ：(3)4a 5b(4) 2 18<24 (51254(6)' 2 22a b(ab )(c 3)4•计算（ 1)23 5505.已知 3 2.3、18x10 ，则x 等于（）.土 26. 1 2 2 3 3 .499 , 100（二）先化简，后求值: 1.直接代入法：已知x 2(75), y丄(75),22•变形代入法:（1）变条件：①已知：x —，求x 2 x 1的值。
《二次根式》知识点总结-题型分类-复习专用.doc
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念 【知识要点】二次根式的定义：形如五的戎子叫二次根式，其中么叫被开 方数，只有当么是一个非负数时，石才有意义.【典型例题】题型一：二次根式的判定【例1】下列各式1)卫,2)底,3)-存714)扬,5)』(-A 6)举一反三:1、 使代数式有意义的X 的取值范围是x-4( )A 、x>3 B. x > 3C 、 x>4D 、 x 》3且XH 42、 若式子丁鼻有意义，则x 的取值范围\l x — 3是 _____________ .题型去二次根式定义的运用【例 31 若 y= Qx-5 +』5-x ,则 x+y= _______________7)J/著换三：若x 、y 都是实数，且yr 求xy 的值1、下列各式中，一定是二次根式的是( )A 、乔B 、V^IOC 、yfa + lD 、题型二：二次根式有意义【例2】J 兀-2有意义的x 的取值范围是 ---------已知a 是亦整数部分，b 是 亦的小数部分, 求a-b 的值。
V5V 3,其中是二次根式的是 ------------ (填序号). 举一反三： 2、在丽、Vl + x 2 、的中是二次根式的个数有 ------- 个3、当。
取什么值时，代数式血 + 1+1取值最小, 并求出这个最小值。
知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：V^(a>0)是一个非负数.2. (V^)2 =a(a>0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全 平方的形式：a = (7a)2(a>0)4.公式=\a\=l a^~^ 与(Va)2 =a(a>0)的区别与联系-a(a < 0)(1) 品表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数. (2) (需尸表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数. (3) Q 和(石尸的运算结果都是非负的.【典型例题】題型二：二次根式的牲廣2(公式(石)2二a(a > 0)的运用)注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.f 例5】化简：卜一1| + (丁^二5)2的结果为()A 、4-2aB 、0C 、2a —4D 、4举一反三：在实数范围内分解因式：才-3二 _________________ ; 題型去二次根式餉濒3(公式7^? = |a| = J a(a ~0)的应用)注意：(1)字母不一定是正数.-a(a < 0)(2) 能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3) 可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.f 例6】已知x<2,则化简J(x —2)2的结果是A % x — 2B 、兀+ 2C. —X — 2D. 2 — x3.=|a|= <a(a > 0)-a(a < 0)举一反三:1、根式J(-3)2的值是()A. -3B. 3 或-3C. 3D. 9那么|疑-2a |可化简为()2、已知a<0,A. - aB. aC. 一3aD. 3a【例71如果表示a, b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简| a-b | + J(a + b)2的结果等于() ---- ----- -- --- Ab a oA. -2bB. 2bC. -2aD. 2a举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简:0-1| +J(Q-2)2= ______________ . 寸—()j-*-I：例811、把二次根式agl化简，正确的结果是( )A. J—aB. — J-aC. — -VaD.2、__________________________________________________________ 把根号外的因式移到根号内：当b>0时，-V7 = ; (。
(完整word版)二次根式知识点复习,文档
二次根式复习【知识回忆】1. 二次根式： 式子 a 〔 a ≥ 0〕叫做二次根式。
2. 最简二次根式： 必定同时满足以下条件：⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ； ⑵被开方数中 不含分母 ； ⑶分母中 不含根式 。
3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：〔1〕〔2〔 a ≥ 0〕；〔2〕a 〕 = a 2aa 5. 二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，尔后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算：a 〔 a ＞0〕0 〔 a =0〕；a 〔 a ＜ 0〕① ab =a ?b 〔 a ≥ 0,b ≥ 0〕；②aaba 0,b 0b【例题讲解】例 1 计算：〔1〕 (3)2 ；〔2〕 (2 ) 2 ； 〔3〕 ( a b )2〔a+b ≥ 0〕3解析：依照二次根式的性质可直接获取结论。
例 2 计算：⑴6·15⑵ 1 ·24⑶ a 3 · ab 〔 a ≥ 0，b ≥ 0〕2解析：本例先利用二次根式的乘法法那么计算， 再利用积的算术平方根的意义进行化简得出计算结果。
例 3计算：〔1〕32+23－22+3〔 2〕12 +18 － 8 －32〔 3〕40 －1 +10510【基础训练】1．化简：〔 1〕72____ ；〔2〕252242___ __；〔3〕612 18 ____；〔4〕75x3 y2 (x0, y0) ____；〔5〕204_______ 。
2.(08 ，安徽 ) 化简42=_________。
3. 〔 08，武汉〕计算 4 的结果是Ａ .2Ｂ．± 2Ｃ． -2Ｄ． 44. 化简：〔1〕〔 08，泰安〕9 的结果是；〔 2〕〔 08，南京〕12 3 的结果是；〔3〕(08 ，宁夏 ) 528 =；〔 4〕〔 08，黄冈〕 5 x -2x =_____ _；5．〔 08，重庆〕计算82的结果是A、 6B、 6C、 2D、 26．〔 08，广州〕 3 的倒数是。
完整二次根式知识点归纳及题型总结推荐文档
二次根式知识点归纳和题型归类二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质:4.积的算术平方根的性质' 1；6.若-：.知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算（1）运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号（2）注意每一步运算的算理；⑶ 乘法公式的推广： 人-,' | - -- '■ -1' - — ••一' L£- - ■2.二次根式的加减运算 先化简，再运算，3.二次根式的混合运算 （1）明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；（2）整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.（拓）’（曲巨0）、区=| a |= <3.a （皮3 0）「门；5.商的算术平方根的性质:>O t i>0).利用二次根式的双重非负性来解题(ja 0 (a > 0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
)2. x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(7)若x(x 1) .乂. X 1，则x 的取值范围是 ________ (8)若X 3. X 3 ,则X 的取值范围是 __________________ .\ X 1J x 13若J3m 1有意义，则m 能取的最小整数值是 _____________ ;若丁20需是一个正整数，则正整数m 的最小值是 __________ 4. 当x 为何整数时，.10x 1 1有最小整数值，这个最小整数值为 _________________ o5. 若 2004 a 嘉~~2005 a ，则 a 20042 = ____________________ ；若 y J x 3 <'3 x 4，则 x y _________________m 2 9 .9 m 2 2■—6. 设 m 、n 满足 n，贝V ■. mn = _____ 。
二次根式的知识点、典型例题、练习
第十六章 二次根式的知识点、典型例题及相应的练习1、二次根式的概念：1、定义：一般地，形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。
当a≥0时，a 表示a 的算术平方根，当a 小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）概念：式子a （a≥0）叫二次根式。
a （a≥0）是一个非负数。
题型一：判断二次根式（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x≥0，y ≥0）． （2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2x x y y x x x x y+=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个（3）下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7-B. 32mC. 21a +D. a b2、二次根式有意义的条件题型二：判断二次根式有没有意义1、写出下列各式有意义的条件:（1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x 1- 2、21x x --有意义，则 ； 3、若x x x x --=--3232成立，则x 满足_______________。
典型练习题：1、当x 是多少时， 23x ++11x +在实数范围内有意义？2、当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？ 3、当__________时，212x x ++-有意义。
4、使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数 5、已知y=2x -+2x -+5，求x y的值． 6、若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．7、若11m m -++有意义，则m 的取值范围是 。
8、已知()222x x -=-，则x 的取值范围是 。
9、使等式()()1111x x x x +-=-+成立的条件是 。
10、已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤011、若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y12、若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等（ ） （A ）x 2 （B ）－x2 （C ）－2x （D ）2x 13、化简aa 3-(a ＜0)得（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a3、最简二次根式的化简最简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足：（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。
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二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1. ；2. ；3. ；4.积的算术平方根的性质：；5.商的算术平方根的性质：.6.若，则.知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2.二次根式的加减运算先化简，再运算，3.二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.a - 3 x x 2 +1 x -1(x -1)2 2x -3 - 1 2x + 15 + x x + 4x (x -1) x x -1 x + 3 x +13m - 1 20m 10x -1 a - 2005 x - 3 3 - x m 2 - 9 + 9 - m 2 + 2 mn b - 3 x - y - m a 2 x 3 + 3x 2 - a 3b - ababab - ab(a + b - c )2 (b - c - a )2 (b + c - a )2 x 2 + 6x + 9 x 2 -10x + 25 1- 2a + a 2 ⎪⎩一. 利用二次根式的双重非负性来解题（ ≥ 0 （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
）1. 下列各式中一定是二次根式的是（）。
A 、 ； B 、 ；C 、 ；D 、2. 等式 ＝1－x 成立的条件是．3. 当 x时，二次根式 有意义．4.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）（2）（3）（ 4） 若 = ， 则 x 的 取 值 范 围 是 （ 5） 若 = x + 3 ， 则 x 的 取 值 范 围x +1是。
6. 若有意义，则 m 能取的最小整数值是 ；若 是一个正整数，则正整数 m 的最小值是．7. 当 x 为何整数时，+1 有最小整数值，这个最小整数值为。
《二次根式》知识点总结,题型分类,复习专用
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，丽才有意义. 【典型例题】M- o二次輾或繭塌龍]2)V,3) 一. x22,4) .4,5) (一；)2,6).匸a,7) . a2—2a 1 ,【例1】下列各式i）其中是二次根式的是__________ （填序号）举一反三:1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、、. aB、. -10C、、、a 1D、2、在需、、J +X2、爲中是二次根式的个数有_____________________________ 个■a-：二决垠武宿壷义_ _ 1［例2】若式子有意义，则x的取值范围是U x -3举一反三：1、使代数式有意义的x的取值范围是（）X—4A 、x>3B 、x 二3C 、 x>42、使代数式扑-x ，2x-1有意义的x 的取值范围是 ___________________已知a 是 5 整数部分，b 是 5 的小数部分,1求a的值。
b +2的值.3、如果代数式•，- m有意义，那么，直角坐标系中点 P ( m ， n )的位置在(A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限aan :二次银丘崖戈猗直團【例 3】若 y= •. X —5 + •. 5 —X +2009，则 x+y= __举一反三：____ _________ 21、 若、：x — -1 —x = (x y)，则 x — y 的值为2、 若x 、y 都是实数，且 y= J 2x -3 十 J 3 -2x +4，求 xy 的值) A1 B . 1 C . 2 D . 3 3、当a 取什么值时，代数式■ 2a 11取值最小,并求出这个最小值。
BH :二懑輸爾韵卵那附3a -b 二 _______若.17的整数部分为x ,小数部分为y ,求若7- ■■ 3的整数部分是a，小数部分是b，则知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：.a(a_O)是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2. (, a)2_0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a=( .a)2(a _0)3. ・.a2=|a|二已⑺一°)注意：(1)字母不一定是正数.、-a(avO)(2)能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.4. 公式<a2=|a| 与(•. a)2=aQ - 0)的区别与联系L(a <0)(1)a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.(2) (、a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.(3)..a2和(,a)2的运算结果都是非负的.【典型例题】［例4］若「2|+后二 +（—4）2=°,则a-b + c= ___________________举一反三：1、若-3 (n • 1)2=0，则m • n 的值为 ______________________ 22、已知x,y为实数，且J x—1 +3(y —2) =0，则x —y的值为( )A . 3B 3C . 1D 13、 已知直角三角形两边 x 、y 的长满足丨x 2 - 4丨+ J y 2 — 5y+6 = 0 ,则第三边长为 ______________________________ 20054、 若—b*1与J a +2b+4互为相反数，则 旧一b ）= ---------------------------------------------。
二次根式知识点归纳及题型总结-精华版
二次根式知识点归纳与题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式得主要性质:１、; 2、; ３、;ﻫ4、积得算术平方根得性质:;ﻫ5、商得算术平方根得性质:、6、若，则、知识点二、二次根式得运算1.二次根式得乘除运算（1) 运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号、（2）注意每一步运算得算理;2.二次根式得加减运算先化简,再运算, ﻫ3.二次根式得混合运算（１）明确运算得顺序，即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里;ﻫ(2）整式、分式中得运算律、运算法则及乘法公式在二次根式得混合运算中也同样适用、一、利用二次根式得双重非负性来解题((a≥０),即一个非负数得算术平方根就是一个非负数。
）1、下列各式中一定就是二次根式得就是（）。
A、; B、；C、; D、2．等式＝1－x成立得条件就是_＿___＿_＿＿_＿_＿.3.当x_＿____＿__＿_＿时,二次根式有意义.4、x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) (２) (３) ﻫ（4)若,则x得取值范围就是(5)若,则x得取值范围就是。
６、若有意义,则m能取得最小整数值就是 ;若就是一个正整数,则正整数ｍ得最小值就是＿_＿_____．7、当x为何整数时,有最小整数值,这个最小整数值为。
８、若,则=_＿_____＿＿____;若,则９.设m、n满足,则＝。
10、若三角形得三边ａ、ｂ、c满足=0，则第三边c得取值范围就是１1、若，且时,则( ) Ａ、Ｂ、ﻩC、D、二.利用二次根式得性质＝|a|=(即一个数得平方得算术平方根等于这个数得绝对值)来解题1、已知=-x,则( ） A、ｘ≤0 B、x≤-3 C、x≥-3 D、-3≤x≤02、．已知ａ<ｂ，化简二次根式得正确结果就是（)A. B. C．Ｄ.３、若化简｜1-ｘ|－得结果为2x－５则（ ) Ａ、x为任意实数B、1≤x≤4 C、ｘ≥1 D、x≤4４、已知a,b，c为三角形得三边,则=５、当－3＜x<５时，化简= 。
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应用与书写规范:∵ A B 2 C 0 ,
A ≥0, B 2 ≥0, C ≥0
∴ A 0, B 0, C 0 . 该性质常与配方法结合求字母的值.
第1页
（2）
A B2
AB
A B
BA AA
B B;主要用于二次根式的化简.
（3） A
B
A2 B A 0
,其中 B ≥0;
A2 B A 0
（1）双重非负性: a ≥0, a ≥0;（主要用于字母的求值）
2
（2）回归性: a a （ a ≥0）;（主要用于二次根式的计算）
（3）转化性:
a2
a
a(a a(a
0) 0)
.（主要用于二次根式的化简）
重要结论:
（1）若几个非负数的和为 0,则每个非负数分别等于 0.
若 A B 2 C 0 ,则 A 0, B 0, C 0 .
a2 三、二次根式的乘法
一般地,有: a b ab （ a ≥0, b ≥0）
（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的条件: a ≥0, b ≥0.即参与乘法运算的 每个二次根式的被开方数均为非负数; （2）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算;
第9页
（3）两个带系数的二次根式的乘法为: m a n b mn ab （ a ≥0, b ≥0）; （4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:
第4页
例 6. 计算:
2
（1） 6 ;
2
（2） 2x 3 ;
（3） 3
2 3
2
.
2
分析:本题考查二次根式的性质: a a （ a ≥0）.该性质主要用于二次根式的计算.
2
解:（1） 6 6 ;
专题01二次根式(5个知识点7种题型1个易错点)(解析版)
专题01二次根式（5个知识点7种题型1个易错点）【目录】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：二次根式的概念二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a （a ≥0）是一个非负数；学习要求：理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．【变式1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，1x 0x >），，1x y+0,0x y ³³）．0x >）、0,0x y ³³1x 、1x y+不是二次根式．的根指数分别为3、4，不是二次根式；1x 、1x y+是分式，不是二次根式．【变式2】下列各式中，二次根式的个数有 （）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B ．当0x <时就不是．【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数．知识点2：二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．注意：①二次根式的被开方数为非负数；②分母不为零；③零没有零次幂．【例2】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1；（2．【答案】（1）12x ³；（2）2x £．【解析】（1）由12102x x -³³，得：；（2）由202x x -³£，得：．【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可．【变式】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1；（2．【答案】（1）0x >；（2）2x <．【解析】（1）由100x x x ì³ï>íï¹î，得：； （2）由102220x x x ì-³ï<-íï-¹î，得：．【总结】考查式子有意义的条件，式子有意义的时候式子的每一个部分都有意义．知识点3：二次根式的性质性质1(0)a a =³；性质2：2(0)a a =³；性质3=（0a ³，0b ³）；性质4=（0a ³，0b >）．【例3】求下列二次根式的值：（1；（2；（3（4．【答案】（1）4；（2）5；（3）4）3p -．【解析】（14==；（25==；（3===（433p p =-=-．【总结】考查二次根式的性质1，确保开方出来的结果非负．【例4】计算下列各式的值：（1）2；（2）； （3）2；（4）2；（5）2；（6）22-；（7）2(0)x ³；（8）2 ；（9）2．【答案】（1）18；（2）23；（3）916；（4）0；（5）14；（6）30-；（7）1x +；（8）2a ；（9）221a a ++．【解析】根据二次根式性质2即可得出结果，注意（5）小题中两部分分别平方．【总结】考查二次根式的性质2．【例5】化简：（1（20)m ³；（3）（4【答案】（1）32）；（3）232y x ；（4）2-【解析】（1）由二次根式非负性3270x ³，可得0x ³，原式3==；（2）由二次根式非负性3120mn ³，结合0m ³，可得0n ³，原式===；（3）原式=223642y y x x ==；（4）由二次根式非负性33240x y -³，即有()30xy £，可得0xy £，原式2==-．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质1性质3，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．【例6】化简：（10)y <；（2）．【答案】（1）；（2【解析】（1）原式=(136y´-=；（2）原式() ()xx><，∴=．【总结】考查二次根式的被开方数的非负性和二次根式的性质3、性质4，先将根号中的平方数或平方式找出来，以绝对值的形式写出来，然后根据式子确立相关隐含条件，去绝对值解题．(0)0(0)(0)a aaa a>=-<î．【例7】（2022秋•虹口区校级月考）已知，则x的取值范围是（ ）A．B．C．D．或【解答】解：等式左边＝|2﹣3|x||，它要等于2+3x，则x≤0且2+3x≥0，所以≤x≤0．故选：B．【变式】（2022秋•浦东新区校级月考）若m，n为任意实数，则下列各式成立的是（ ）A ．＝m+nB．+＝m+nC．＝D．【解答】解：＝|m+n|，A错误；+＝|m|+|n|，B错误；≠+，C错误；＝（m+n）2，D正确，故选：D．知识点5：化简二次根式利用二次根式的性质进行化简；化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用二次根式的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【变式1】化简：（100)ab bc ><，；（20)a b <<【答案】（1）-；（2）22a b -．【解析】（1=-； （2）原式=2222a b a b -=-．【变式2】化简下列二次根式：（100)x y ³³，；（2（3(0)a a -<．【答案】（1）5 （2） 3.14p -； （3）2a -．【解析】（15==（2 3.14 3.14p =-=-π；（32a a a a -=--=-．【方法二】实例探索法题型1：求二次根式被开方数中所含字母的取值范围2.若11)--有意义，则x 的取值范围是______．【答案】10x x ³¹且．【解析】∵11)--=，∴01010x x ³³ìí¹-¹î，解得：．3.求使下列二次根式有意义的实数x 的取值范围．（1；（2【答案】（1）1x ³或0x <；（2）12x ³-且1x ¹．【解析】（1）由110x -+³，得1x ³或0x <； （2）由21010x x +³ìí-¹î，得12x ³-且1x ¹．4.2成立，求a 的取值范围．【答案】24a ££．24a a +=-+-，由此进行分类讨论：①当2a <时，原式=()()2462a a a -+-=-；②当24a ££时，原式=()()242a a -+-=；③当4a >时，原式=()()2426a a a -+-=-；综上所述，可知a 的取值范围是24a ££．题型3：利用数轴和二次根式的性质进行化简或计算5．（2022秋•虹口区校级月考）设实数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是（ ）A ．﹣2a +bB ．2a +bC ．﹣bD ．b【解答】解：根据数轴上a ，b 的值得出a ，b 的符号，a ＜0，b ＞0，a +b ＞0，∴＝﹣a +a +b ＝b ，故选：D ．6.已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应点位置如图所示：__________．【答案】2c -．【解析】根据点在数轴上的位置，可得0c b a <<<，由此0a c ->，0b a -<，0b c +<，原式=()()()2a c b a b c a c b a b c a c b a b c c ---++=-+--+=-+---=-．题型4：利用二次根式的非负性求值7．（2022秋•奉贤区期中）已知x ，y 为实数，且，求xy 的平方根．【解答】解：由题意得，，解得x ＝27，则y ＝，∴xy ＝＝9，∴9的平方根是±＝±3．8.若,x y 是实数，且2y <++，化简22y y --．【答案】1-．【解析】根据二次根式有意义的条件，可得：210120x x -³ìí-³î，即得：210x -=，由此可知2y <，所以22y y --=()212y y --=--．9.已知3y =，求22x xy y -+的值．【答案】7．【解析】根据二次根式的非负性，可知2020x x -³ìí-³î，由此20x -=，即2x =，此时3y =，原式=2222337-´+=．10.若a 、b是实数，且13b +1-+【答案】46b -+．【解析】根据二次根式的非负性，可知3030a a -³ìí-³î，由此30a -=，即3a =，此时13b <，原式=()()231213346b b a b b b -+-+=-+-+=-+．11.0=，求()x x y +的值．【答案】9．【解析】由题意得：203280x y x y -=ìí+-=î， \21x y =ìí=î． \()()2219xx y +=+=．12.若z+=+，求z 的值．【答案】3358．【解析】 Q 20160x y -+³， ∴2016x y +³．又 Q 20160x y --³， \2016x y +£， \2016x y +=．\0+=．即35230125302x y z x y z +--=ìí+-=îL L （）（）， 解得：220143358x y z =ìï=íï=î．题型5：根据二次根式的值是整数，求字母的取值13．（2022秋•奉贤区校级期中）已知是正整数，则实数n 的最大值为 ．【解答】解：由题意可知12﹣n 是一个完全平方数，且不为0，最小为1，所以n 的最大值为12﹣1＝11．题型6：二次根式与三角形的综合15.在△ABC 中，a b c 、、2c a b --．【答案】33c a b --．【解析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可知0a b c -+>，0c a b --<，原式=()()22a b c c a b a b c c a b -+---=-++--22233a b c c a b c a b =-++--=--．16.在△ABC 中，a b c 、、0=，求最大边c 的取值范围．【答案】814c £<．【解析】根据题意，即为60a -+=，由此60a -=，80b -=，解得：6a =，8b =，根据三角形三边关系，且c 为最大边，可知b c a b £<+，即814c £<．17.解下列各式：（1）已知0a a +=（2）a b c 、、+．【答案】（1）12a -；（2）3a b c +-．【解析】（1）由0a a +=，即a a =-，可得0a £，原式=1112a a a a a -+=--=-；（2）根据三角形三边关系，可知0a b c --<，0b c a -+>，0c b a --<，原式=a b c b c a c b a--+-++--3b c a b c a a b c a b c =+-+-+++-=+-．18.（1）在△ABC 中，a b c 、、0=，求最大边c 的取值范围；（2）已知实数x y 、，满足2()x y +22x y +的平方根．【答案】（1）814c £<；（2）±．【解析】（1）根据题意，即为60a -+=，由此60a -=，80b -=，解得：6a =，8b =，根据三角形三边关系，且c 为最大边，可知b c a b £<+，即814c £<．（2）由题意得：2()0x y +=，∴053160x y x y +=ìí--=î，解得：22x y =ìí=-î，∴==±．题型7：二次根式的性质的应用19.（1（2）；（3）2-；（4）(1)x -【答案】（1； （23）；（4）【解析】（1=；（2）（3）（4）=．20.将x 移到根号内，不改变原来的式子的值：（11)x >；（2）(2)x x ->．【答案】（12）1．【解析】（1==；（2）(1x -==．【方法三】差异对比法易错点：忽略隐含条件，误将负数移到根号外21．（2022秋•虹口区校级期中）已知a ＜0，则二次根式化简后的结果为（ ）A ．aB ．aC ．﹣aD ．﹣a【解答】解：∵a＜0，﹣a2b≥0，∴a＜0，b≤0，∴＝﹣a．故选：D．22．（2022秋•虹口区校级期中）已知a＜0，那么可化简为（ ）A．2b B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，∴原式＝，故选：D．23．（2022秋•静安区校级期中）已知xy＜0，化简二次根式的值是（ ）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知﹣xy2≥0．因为y2＞0，所以﹣x≥0，所以x≤0，又因为xy＜0，所以x＜0，y＞0，所以＝＝．故选：C．24．（2022秋•青浦区校级期中）化简：（a＜0）＝ ．【解答】解：原式＝．故答案为：．25．（2022秋•嘉定区校级月考）化简：＝ ．【解答】解：∵﹣a4b3≥0，∴b≤0，∴＝﹣a2b，故答案为：﹣a2b．【方法四】成功评定法一、单选题三、解答题222 =-++--a b c c a b =--．33c a b。
二次根式知识点归纳和题型归类
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识点归纳二次方程，是一种整式方程，其未知项的最高次数是2，且各项未知数的次数只能是自然数。
一个二次方程只含有一个未知数 x，那么就称其为一元二次方程，其主要内容包括方程求解、方程图像、一元二次函数求最值三个方面；如果一个二次方程含有二个未知数x、y，那么就称其为二元二次方程，以此类推。
二次方程是一种整式方程，其未知项的最高次数是2。
根的判定是利用判别式判定。
二次方程中最常见的是一元二次方程。
二次方程根的判定解实系数一元二次方程时，必须关注解是实数还是复数，通过判断判别式的正负可以判断。
对于任意一个一元二次方程：（1）若△<0，方程无实数根，有两个复数根：（2）若△=0，方程有两个相等的实根：（3）若△>0，方程有两个不等实根。
解一元二次方程的基本思想是设法把所有方程变形成和它同解的两个最简单的一元一次方程.该方法主要是通过因式分解，把一个一元二次方程的求解问题转化为一元一次方程的求解问题，通常把这种方法也叫作降次求解方法，这种方法也适用于某些高次方程。
学好一元二次方程的第二个要求就是要会解一元二次方程，一元二次方程属于高次方程；所以我们解题的基本思路就是降次，其主要方法有四种：（1）直接开方法；（2）因式分解法；（3）配方法；（4）公式法。
二、二次方程的求根公式解ax^2+bx+c=0的解。
移项，ax^2+bx=-c两边除a，然后再配方，x^2+(b/a)x+(b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2[x+b/(2a)]^2=[b^2-4ac]/(2a)^2两边开平方根，解得x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a)。
二次根式知识点归纳(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a( a ≥0 ) 叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a叫做被开方数。
性质：1、a（a≥0）是一个非负数．即a≥02、2a＝│a│即a≥0,等于a;a<0,等于-a3、4、a·b＝ab．（a≥0，b≥0）反过来: ab=a·b（a≥0，b≥0）5、ab =ab（a≥0，b>0）反过来，ab =ab（a≥0，b>0）61．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根9、二次根式化运算及化简：①先化成最简②合并同类项二次根式中考试题精选一.选择题：1.【05宜昌】化简20的结果是（）.A. 25 B.52 C. 10. D.542.【05南京】9的算术平方根是（）.A.-3B.3C.±3D.813.【05南通】已知2x<,244x x-+）.A、2x-B、2x+C、2x--D、2x-4.【05泰州】下列运算正确的是（）.(a)2＝a（a≥0）A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D ．2832+=5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（ ）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x 6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（ ）.A.B.C.D.7.【05绵阳52-时，甲的解法是：52-3(52)(52)(52)+-+52，乙的52-(52)(52)52+--52 ）.A. 甲的解法正确，乙的解法不正确B. 甲的解法不正确，乙的解法正确C. 甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确8.【05杭州】设32,23,52a b c ===,则,,a b c 的大小关系是: （ ）. (A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 9.【05丰台】4的平方根是（ ）.A. 8B. 2C. ±2D. ±210.【05北京】下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）. A.24B. 12C.32D. 1811.【05南平】下列各组数中，相等的是（ ）.A.(-1)3和1B.(-1)2和-1C.|-1|和-1D.2(1)-和1 12.【05宁德】下列计算正确的是（ ）.A 、x 2·x 3＝x 6B 、(2a 3)2＝4a 6C 、(a －1)2＝a 2－1D 、 4 ＝±2 13.【05毕节2(3)a -―a 的正整数a 的值有( ). A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个14.【05黄岗】已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）. A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 115.【05湘潭】下列算式中，你认为错误的是 ( ).A ．a a b ++b a b +=1B ．1÷b a ×ab =1 C ．21-=2+1 D ．21()a b +·22a b a b --=1a b+ 二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+= ．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b, 那么a , b 的值分别是 。
二次根式知识点总结及常见题型
二次根式知识点总结及常见题型二次根式知识点总结及常见题型一、二次根式的定义形如$a\sqrt{a}$的式子叫做二次根式。
其中$\sqrt{a}$叫做二次根号，$a$叫做被开方数。
1) 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
据此可以确定字母的取值范围。
2) 判断一个式子是否为二次根式，应根据以下两个标准判断：①是否含有二次根号“$\sqrt{}$”；②被开方数是否为非负数。
若两个标准都符合，则是二次根式；若只符合其中一个标准，则不是二次根式。
3) 形如$m\sqrt{a}$的式子也是二次根式，其中$m$叫做二次根式的系数，它表示的是：$m\sqrt{a}=m\cdot\sqrt{a}$。
4) 根据二次根式有意义的条件，若二次根式$A-B$与$B-A$都有意义，则有$A=B$。
二、二次根式的性质二次根式具有以下性质：1) 双重非负性：$a\geq0$，$\sqrt{a}\geq0$。
（主要用于字母的求值）2) 回归性：$(\sqrt{a})^2=a$，其中$a\geq0$。
（主要用于二次根式的计算）begin{cases}sqrt{a}(a\geq0)\\sqrt{a}(a\leq0)end{cases}$（主要用于二次根式的化简）重要结论：1) 若几个非负数的和为0，则每个非负数分别等于0.若$A+B^2+C=0$，则$A=0$，$B=0$，$C=0$。
应用与书写规范：$\because A+B^2+C=0$，$A\geq0$，$B^2\geq0$，$C\geq0$，$\therefore A=0$，$B=0$，$C=0$。
该性质常与配方法结合求字母的值。
2) $\begin{cases}A-B(A\geq B)\\frac{(A-B)^2}{A+B}\end{cases}$（主要用于二次根式的化简）3) $AB=\begin{cases}A\cdot B(A>0)\\A\cdot B(A<0)\end{cases}$，其中$B\geq0$。
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（1） （5）若
x(x 1)
（2） 1 （3）
2x 1
x x 1 ，则 x 的取值范围是
。
. （6）若 x 3 x 3 ，则 x 的取值范围是
x 1 x 1
3.若 3m 1 有意义，则 m 能取的最小整数值是
；若 20m 是一个正整数，则正整数 m 的最小值是
________．
求(1) x 2 y 2
(2) y x xy
2.变形代入法：
（1）变条件：①已知： x 2 ，求 x 2 x 1 的值。（2）变结论：①设 3=a， 30=b，则 0.9=
。
3 1
（3）已知： a 1 1 a
10
，求
a2
1 a2
的值。
（4）①已知： x, y 为实数，且 y x 1 1 x 3 ，化简： y 3 y2 8y 16 。
（1） 3x 4
（2） 1 8a 3
（3） m2 4
（4） 1 x
a
D.
b
2x
2、
有意义，则
x 1
；3、若
x2
x2
成立，则 x 满足_____________。
3x 3x
练习：1.下列各式中一定是二次根式的是（
）。 A、 3 ； B、 x ； C、 x2 1 ； D、 x 1
2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（2）在式子 x x 0, 2, y 1y 2, 2x x 0, 3 3, x2 1, x y 中，二次根式有（
）
2
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
（3）下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7
B. 3 2m
C. a2 1
题型二：判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件:
C． a ab D．
a ab
3.若化简|1-x|- x2 8x 16 的结果为 2x-5 则（ ） A、x 为任意实数 B、1≤x≤4 C、x≥1 D、x≤4
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4.已知 a，b，c 为三角形的三边，则 (a b c)2 (b c a)2 (b c a)2 =
5. 当-3<x<5 时，化简 x2 6x 9 x2 10x 25 =
3.已知 9+ 13与9 13 的小数部分分别是 a 和 b，求 ab－3a+4b+8 的值
4.若 a，b 为有理数，且 8 + 18 + 1 =a+b 2 ，则 b a =
.
8
六．二次根式的比较大小（1） 1 200和2 3 5
（2）－5 6和 6 5
（3） 17 15和 15 13
（4）设 a= 3 2 , b 2 3 , c 5 2 , 则（ ）A. a b c B. a c b C. c b a D. b c a
②. 已知 x2 3x 1 0 ，求
x2
1 x2
2
的值。
③已知 x y 5 ， xy 3 ，（1）求
x
y
的值
yx
五．关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题
1.估算 31－2 的值在哪两个数之间（ ）A．1～2 B.2～3
C. 3～4
D.4～5
2．若 3 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 3a b
一. 利用二次根式的双重非负性来解题（ a 0 （a≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）
题型一：判断二次根式
（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2 、 3 3 、 1 、 x （x>0）、 0 、 4 2 、- 2 、 x
1 、 x y （x≥0，y≥0）． x y
x2
三．二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（ a ）2=a（a≥0），即 a2 | a | 以及混合运算法则）
（一）化简与求值
1.把下列各式化成最简二次根式：（1） 3 3
8
（2） 412 402
（3） 25m5 （4） x 4 x 2 y 2
2
2.下列哪些是同类二次根式：（1） 75 ， 1 ， 12 ， 2 ， 1 ， 3 ， 1 ；
b) 0)
(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题
a(a 0)
1.已知 x3 3x2 ＝－x x 3 ，则（ ） A.x≤0 B.x≤－3 Ｃ.x≥－3 D.－3≤x≤0
2.．已知 a<b，化简二次根式 a3b 的正确结果是（ ）A． a ab
B． a ab
4.当 x 为何整数时， 10x 1 1 有最小整数值，这个最小整数值为
。
5. 若 2004 a a 2005 a ，则 a 20042 =_____________；若 y x 3 3 x 4 ，则 x y
6．设 m、n 满足 n
m2 9
9 m2 2
，则
mn =
。
m3
8. 若三角形的三边 a、b、c 满足 a2 4a 4 b 3 =0，则第三边 c 的取值范围是
10.若| 4x 8 | x y m 0 ，且 y 0 时，则（ ） A、 0 m 1 B、 m 2 C、 m 2 D、 m 2
二．利用二次根式的性质
a2
=|a|=
a(a 0(a
3
2
5
5．已知 x 2 2 x 18x 10 ，则 x 等于（ ）
x
2
6. 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋
1
1 2 2 3 3 4
99 100
（二）先化简，后求值：
A．4
B．±2
C．2 D．±4
（6）
1. 直接代入法：已知 x 1 ( 7 5), y 1 ( 7 5),
2
2
。
6、化简| x y | x 2 (x y 0) 的结果是（ ） A． y 2x B． y C． 2x y
D． y
7、已知： a 1 2a a2 =1，则 a 的取值范围是（ ）。A、 a 0 ； B、 a 1 ； C、 a 0 或 1； D、 a 1 8、化简 (x 2) 1 的结果为（ ） A、 2 x ； B、 x 2 ；C、 x 2 D、 2 x
27
50
10
a3b2c3 ， ab ，a a
c4
bc
（2） 5 a3b3c ,
3.计算下列各题：
（1）6 27 (3 3) （2） 12ab 9a3 ；（3） 4a 6b c
4
5b 3c 5a
2a 2b2 ( ab )
c5
c3
（4） 2 18 （5）－ 1 2 5
24
3 54
4.计算（1）2 3 3 1 8 1 12 1 50