2019届高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第九节 圆锥曲线的综合问题课件 理

(1)当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ，则 Δ>0⇔直线与圆锥曲线 C 相交 ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C 相切 ； Δ<0⇔直线与圆锥曲线 C 相离 ．
(2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时， 若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是 平行 ； 若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行 或重合 ．
解析：依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为 y －0＝tan 45°(x－1)，即 y＝x－1，代入椭圆方程x22＋y2＝1 并 整理得 3x2－4x＝0，解得 x＝0 或 x＝43，所以两个交点坐标分 别为(0，－1)，43，13，∴―O→A ·―O→B ＝－13，同理，直线 l 经过椭 圆的左焦点时，也可得―O→A ·―O→B ＝－13.故―O→A ·―O→B 的值为－13. 答案：B
解得3 2<k<2.故 k 的取值范围是(3 2，2)．
[解题师说] 求解弦长的 4 种方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公 式求解． (2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标， 代入两点间的距离公式求解． (3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于 x(或 y)的一元 二次方程，利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入 两点间的距离公式． (4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
有关直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要涉 及两种题型：一是判断已知直线与已知曲线的位置关 系；二是根据直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或 曲线方程的参数问题.解答此类问题的一般方法是将直 线方程与圆锥曲线方程联立，进而转化为一元二次方 程，利用判别式和根与系数的关系来求解，难度中等.
[冲关演练] 已知椭圆 x2＋2y2＝m(m>0)，以椭圆内一点 M(2,1)为中点作弦 AB， 设线段 AB 的中垂线与椭圆相交于 C，D 两点． (1)求椭圆的离心率； (2)试判断是否存在这样的 m，使得 A，B，C，D 在同一个圆上，
并说明理由．
解：(1)将方程化成椭圆的标准方程xm2＋ym2＝1(m>0)， 2
1－k2≠0， Δ＝16k2－41－k2×－10＞0， 则x1＋x2＝1－4kk2＞0， x1x2＝1－－1k02＞0，
解得－ 315＜k＜－1，即 k 的取值范围是－ 315，－1. 答案：D
2．已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m 取何值 时，直线 l 与椭圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解：将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组
则 a＝ m，c＝
m－m2 ＝
m2 ，故
e＝ac＝
[冲关演练] (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y2＝2px(p＞0)于点 P，M 关于点 P 的 对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H. (1)求||OOHN||； (2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由．
解：(1)如图，由已知得 M(0，t)，P2t2p，t.
又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 Ntp2，t， 故直线 ON 的方程为 y＝pt x， 将其代入 y2＝2px 整理得 px2－2t2x＝0， 解得 x1＝0，x2＝2pt2.因此 H2pt2，2t. 所以 N 为 OH 的中点，即||OOHN||＝2.
[解题师说] 1．方法要熟 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
代数 法
即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程 组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点 个数，方程组的解即为交点坐标
几何 即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个 法数
2．结论要记 (1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一 点有且仅有一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭 圆相交． (2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个 公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物 线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切 线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一 条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重 合的直线．
()
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．(教材习题改编)直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关
系为
()
A．相交
B．相切
C．相离
Hale Waihona Puke Baidu
D．不确定
解析：直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 恒过定点(1,1)，又点
(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
答案：A
3．直线 y＝bax＋3 与双曲线xa22－by22＝1 的交点个数是 (
)
A．1
B．2
C．1 或 2
D．0
解析：因为直线 y＝bax＋3 与双曲线的渐近线 y＝bax 平行，所
以它与双曲线只有 1 个交点．
答案：A
4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点，这
样的直线有
()
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线 x
(1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是：直线 l 与椭圆 C 只有一个
公共点．
()
(2)直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是：直线 l 与双曲线 C 只有
一个公共点．
()
(3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点.
() (4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点.
[典题领悟]
1．若直线 y＝kx＋2 与双曲线 x2－y2＝6 的右支交于不同的两点，
则 k 的取值范围是
()
A.－
315，
15 3
C.－ 315，0
B.0，
15 3
D.－ 315，－1
解析：由yx＝2－kyx2＋＝26， 得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲
线右支交于不同的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
考点二 与弦长、面积有关的问题
在高考中，圆锥曲线的弦长与图形的面积可以单独成 题，也可以结合在一起综合考查，联立直线方程与圆锥曲 线方程是求解此类问题的第一步，涉及到的题目一般为中 高难度的解答题.
[典题领悟] (2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆 E：xt2＋y32＝1 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MA⊥NA. (1)当 t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN 的面积； (2)当 2|AM|＝|AN|时，求 k 的取值范围．
＝0，过点(0,1)且平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线
相切的直线(非直线 x＝0)．
答案：C
5．经过椭圆x22＋y2＝1 的一个焦点作倾斜角为 45°的直线 l，交椭
圆于 A，B 两点．设 O 为坐标原点，则―O→A ·―O→B 等于 ( )
A．－3
B．－13
C．－13或－3
D．±13
[思维路径] (1)写出椭圆的方程，得到点 A 的坐标，写出直线 AM 的方 程；联立直线与椭圆的方程解出点 M 的纵坐标，求出△AMN 的面积． (2)根据点 A 的坐标写出直线 AM 的方程；联立直线与椭圆 的方程解出点 M 的横坐标，进而求出|AM|，并采用同样的 方法或整体代换法求出|AN|；由 2|AM|＝|AN|得到 t 与 k 的 关系式，根据 t 的取值范围解得 k 的取值范围．
(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点． 理由如下： 直线 MH 的方程为 y－t＝2ptx， 即 x＝2pt(y－t)． 代入 y2＝2px 得 y2－4ty＋4t2＝0， 解得 y1＝y2＝2t， 即直线 MH 与 C 只有一个公共点， 所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其他公共点．
(3)过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双 曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直 线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交 点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总 有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的 直线．
3．失误要防 (1)要注意二次项系数不能为 0，且直线与双曲线右支有两 个不同的交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，故有 x1＋x2＞0，x1x2＞0.(如 典题领悟第 1 题) (2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式 Δ 起着关键 性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍 某些解以免产生增根．
(2)由题意 t>3，k>0，A(－ t，0)． 将直线 AM 的方程 y＝k(x＋ t)代入xt2＋y32＝1，
得(3＋tk2)·x2＋2 t·tk2x＋t2k2－3t＝0.
由 x1·(－ t)＝t23k＋2－tk32t，得 x1＝ t33＋－tktk2 2，
故|AM|＝|x1＋
t|
1＋k2＝6
解：设 M(x1，y1)，则由题意知 y1>0. (1)当 t＝4 时，E 的方程为x42＋y32＝1，A(－2,0)． 由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为π4. 因此直线 AM 的方程为 y＝x＋2. 将 x＝y－2 代入x42＋y32＝1 得 7y2－12y＝0. 解得 y＝0 或 y＝172，所以 y1＝172. 因此△AMN 的面积 S△AMN＝2×12×172×172＝14494.
t1＋k2 3＋tk2 .
由题设，直线 AN 的方程为 y＝－1k(x＋ t)，
故同理可得|AN|＝6k
t1＋k2 3k2＋t .
由 2|AM|＝|AN|，得3＋2tk2＝3k2k＋t， 即(k3－2)t＝3k(2k－1)． 当 k＝3 2时上式不成立，因此 t＝3kk23－k－21. t>3 等价于k3－2kk3－2＋2k－2＝k－k23－k22＋1<0， 即kk3－－22<0.因此得kk－3－22><00， 或kk－3－22<>00，，
第九 节
圆锥曲线的综合问题
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
课 前 双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
过基 础知 识
1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax ＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y) ＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一 元方程．即AFxx＋，Byy＋ ＝C0 ＝0， 消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
2．弦长公式
设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝
1＋k12·|y1－y2|
＝ 1＋k12· y1＋y22－4y1y2.
过基础小题
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
y＝2x＋m， ① x42＋y22＝1， ② 将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当 Δ>0，即－3 2<m<3 2时，方程③有两个不同的实数根， 可知原方程组有两组不同的实数解． 这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点． (2)当 Δ＝0，即 m＝±3 2时，方程③有两个相同的实数根，可 知原方程组有两组相同的实数解． 这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与椭 圆 C 有且只有一个公共点． (3)当 Δ<0，即 m<－3 2或 m>3 2时，方程③没有实数根，可 知原方程组没有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点．