混合整数线性规划

单 销地 厂址 价
A 1 A2 Am
销量
B1 c11 c21 cm1 b1
B2 Bn c12 c1n a1 c22 c2 n a2 cm 2 cmn am b2 bn
生产 能力
建设 费用
f1 f2 fm
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
（三）、整数规划与线性规划的关系 从数学模型上看整数规划似乎是线 性规划的一种特殊形式，求解只需在线 性规划的基础上，通过舍入取整，寻求 满足整数要求的解即可。但实际上两者 却有很大的不同，通过舍入得到的解 （整数）也不一定就是最优解，有时甚 至不能保证所得到的解是整数可行解。 举例说明。
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例：设整数规划问题如下
例二、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地点 有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是a1,a2,…am（假设 生产同一产品）。第i个工厂的建设费用为fi (i=1.2…m),又有n个地点B1,B2, … Bn 需要销售这种产品， 其销量分别为b1.b2…bn 。从工厂运往销地的单位运费 为Cij。试决定应在哪些地方建厂，即满足各地需要， 又使总建设费用和总运输费用最省？
, b2 ,, br ,, bm ,0,,0)T X ( 0) (b1 目标函数最优值为 Z(0) .其中bi(i 1,2,, m)不全为整数
2、定界：
记( IP )的目标函数最优值为Z* ,以Z(0) 作为Z* 的上界， 记为 Z ＝ Z(0) 。再用观察法找的一个整数可行解 X′， 并以其相应的目标函数值 Z′作为Z* 的下界，记为Z＝ Z′， 也可以令Z＝－∞，则有： Z ≤ Z* ≤ Z
整
数
规 划
(Integer Programming)
整数规划的模型
分支定界法 0－1 整数规划
指派问题
一、整数规划的模型
（一）、整数规划问题实例
例一、合理下料问题
设某型号圆钢可生产零件毛坯为A1, A2,…,Am 。在一根圆钢 上下料的方式有B1,B2, …,Bn 种，每种下料方式可以得到各 种零件的毛坯数以及每种零件的需要量，如表所示。问怎 样安排下料方式，使得即满足需要，所用的原材料又最少？
因此，可将集合内的整数点一一找出，其最 大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。
如上例：其中（2，2）（3，1）点为最 大值，Z=4。
目前，常用的求解整数规划的方法有：
割平面法和分支定界法； 对于特别的0－1规划问题采用隐枚举法和匈 牙利法。
二、分支定界法
（一）、基本思路 考虑纯整数问题：
max Z c j x j
j 1 n
n aij x j bi (i 1.2 m) ( IP) j 1 x 0, ( j 1.2 m)且为整数 j
max Z c j x j
n
整数问题的松弛问题：
j 1
n aij x j bi (i 1.2 m) ( LP) j 1 x j 0, ( j 1.2 m)
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
（二）、整数规划的数学模型
一般形式
max Z (或 min Z ) c j x j
零件 方 个数 式 零件
B1
Bn
零 件 毛坯数
A1 Am
a11 a1n b 1 am1 amn bm
设：xj 表示用Bj (j=1.2…n) 种方式下料根数 模型： min Z x j
j 1 n
n a ij x j bi (i 1.2 m ) j 1 x 0 (j 1.2 n)且为整数 j
max Z x1 x2 14x1 9 x2 51 6 x1 3 x2 1 x , x 0且为整数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称 为松弛问题）。 max Z x x
1 2
14x1 9 x2 51 6 x1 3 x2 1 x1 , x2 0
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2， 3)(1，4)(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划 的最优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
j 1
n
n aij x j bi (i 1.2 m) j 1 x 0 (j 1.2 n) 且部分或全部为整数 j
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整 数线性规划、混合整数线性规划、0－1整数线性规划。
纯整数线性规划：所有决策变量要求取非 负整数。 混合整数规划：只有一部分的决策变量要 求取非负整数，另一部分可以取非负实数。 0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数。
1、先不考虑整数约束，解( IP )的松弛问题( LP )， 可能得到以下情况之一： ⑴.若( LP )没有可行解，则( IP )也没有可行解，停止 计算。 ⑵.若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件，则 ( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。 ⑶.若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件，转 入下一步。为讨论方便，设( LP )的最优解为：
3、分枝：
在( LP )的最优解 X(0)中，任选一个不符合整数条件 （不为整数），以 br 表示不超过 的变量，例如xr= br