高1数学绝对值三角不等式知识点
第一讲(二)(1)：绝对值三角不等式
定理2: 如果a,b,c是实数,则
|a-c||a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立. 证明:根据定理1,有: |a-c|=|(a-b)+(b-c)| |a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.
9
知识应用
例1 已知 0， | x a | ，| y b | . 求证：| 2 x 3 y 2a 3b | 5 .
例:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
（0，2）
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
有更一般的结论：
|f(x)|<g(x) |f(x)|>g(x) -g(x)<f(x)<g(x) f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x)
-2 0 2 -a a 类比：|x|<3的解 |x|>3 的解 -a<x<a 归纳：|x|<a（a>0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
|x|<-2的解
|x|>a (a>0) |x|>-2的解 X>a 或 x<-a
引伸：
如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是 | x-1 | <2如何解？
如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就 是
巩固练习：
求下列不等式的解集
① |2x+1|<5
② 3|1-4x|>9 ③ |4x|<-1
（-3，2） （-∞，-1/2）∪（1，+ ∞）
R
④ |x2-5x|>-6
⑤ 3<| 2x+1 | <5
第一讲3绝对值三角不等式
探究 你能根据定理1的研究思路，探究一下
|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？ 例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b| 与|a-b|等之间的关系。 |a|-|b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a-b|,
|a|-|b|≤|a-b|.
如果a, b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
小结
理解和掌握绝对值不等式的两个定理： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R, (a-b)(b-c)≥0时等号成立）
能应用定理解决一些证明和求最值问题。
练习：课本P19第1、2题
1 .求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a| (2)|a+b|-|a-b|≤2|b| 2.用几种方法证明
法二：把函数看成是分段函数，用图像法。 例2：求函数f(x)=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值；
法一：
|| x 3 | | x 1 ||| ( x 3) ( x 1) | 4 4 | x 3 | | x 1 | 4 ymax 4, ymin 4
工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处? 分析:如果生活区建于公路路碑的第x km处,两个施工 队每天往返的路程之和为S(x) km. 那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 故实际问题转化为数学问题:
当x取何值时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值.
解:设生活区应该建于公路路碑的第x km处,两个施工 队每天往返的路程之和为S(x) km,则: S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 我们先来考察它的图像: 60-4x S(x)=2(|x-10|+|x-20|)= S 60
高中数学 第一节 绝对值不等式
绝对值不等式
结 束
(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知， 当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3； 1 当 f(x)＝－1 时，可得 x＝ 或 x＝5． 3 故 f(x)>1 的解集为{x|1<x<3}， f(x)<－1
ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c . ②|ax＋b|≥c⇔______________________
课前·双基落实 课堂·考点突 课后·三维演
绝对值不等式
结 束
[小题体验]
1． 若不等式|kx－4|≤2 的解集为 x|1≤x≤3 ， 则实数 k＝________．
3 3 综上知，原不等式的解集为x|－2≤x≤2 ．
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绝对值不等式
1 1 法二：原不等式可化为x－2＋x＋2≤3，
结 束
1 1 其几何意义为数轴上到 ， － 两点的距离之和不超过 3 的点的集 2 2 3 3 1 1 合，数形结合知，当 x＝ 或 x＝－ 时，到 ，－ 两点的距离之 2 2 2 2 3 3 和恰好为 3，故当－ ≤x≤ 时，满足题意，则原不等式的解集 2 2
解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6． ∵不等式的解集为 x|1≤x≤3 ，∴k＝2． 答案：2
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绝对值不等式
结 束
2．函数 y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．
解析：∵|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8， 即函数 y 的最小值为 8． 答案：8
高中数学绝对值不等式
绝对值不等式
第一课时 第二课时
1. 两个数的和或差的绝对值, 与两个 数的绝对值的和或差的大小关系如何?
2. 两个数的和或差的大小关系的几何 表示是怎的?
1. 绝对值三角不等式
问题1. 将实数 a, b 用数轴上的点表示, 你能说
出 |a|, |b|, |a+b|, |a-b|, |a|+|b|, |a|-|b| 的几何意义吗?
∴|a+b|+|a-b|≥2|a|.
(2) ∵|2b|+|a-b|≥|2b+(a-b)| = |a+b|,
∴|a+b|-|a-b|≤|2b| =2|b|.
1. 求证: (1) |a+b|+|a-b|≥2|a|; (2) |a+b|-|a-b|≤2|b|.
证明: (1) ∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)| = |2a| = 2|a|,
|a+b|=|a|+|b|.
|a| a
b
|a+b| |b|
1. 绝对值三角不等式 定理 1 如果 a, b 是实数, 则
a
a
+
b
b
|a+b|≤|a|+|b|, 当且仅当 ab≥0 时, 等号成立.
证明: |a + b| = (a + b)2
|a|
|b|
ab
= a2 + 2ab+ b2 , ①
|
=
2,
|
x
+
1 x
|
2.
2. 用两种或两种以上方法证明
高1数学绝对值三角不等式知识点
高1数学绝对值三角不等式知识点数学课本中不等式这一部分包含绝对值三角不等式，同学们需要重点关注，下面是店铺给大家带来的高1数学绝对值三角不等式知识点，希望对你有帮助。
高1数学绝对值三角不等式知识点(一)绝对值三角不等式绝对值三角不等式：1、基本形式如果a，b都是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立;2、变式如果a，b都是实数，则。
三角不等式的解法利用三角函数线或正弦、余弦、正切函数的图象写出解集.高1数学绝对值三角不等式知识点(二)绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法二.教学目的1、掌握绝对值的三角不等式;2、掌握不等式证明的基本方法三.知识分析[绝对值的三角不等式]定理1若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。
几何说明：(1)当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与-b 的距离等于它们到原点距离之和。
(2)如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释)。
|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。
定理2设a，b，c为实数，则，等号成立，即b落在a，c之间。
推论1推论2[不等式证明的基本方法]1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。
比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。
比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。
如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。
2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。
所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。
1.2.1 绝对值三角不等式 课件(人教A选修4-5)
1．设a、b是满足ab<0的实数，则下列不等式中正确的是
( A．|a＋b|>|a－b| C．|a－b|<||a|－|b|| B．|a＋b|<|a－b| D．|a－b|<|a|＋|b| )
解析：∵ab<0且|a－b|2＝a2＋b2－2ab， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<|a－b|2. ∴(|a|＋|b|)2＝a2＋b2＋2|ab|＝|a－b|2.
法二：把函数看作分段函数． 4，x<－1， y＝|x－3|－|x＋1|＝2－2x，－1≤x≤3， －4，x>3. ∴－4≤y≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4.
(2)|x|≤1，|a|≤1， ∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x| ＝|a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x| ＝1－|x2|＋|x|＝－|x|2＋|x|＋1 12 5 5 ＝－(|x|－ ) ＋ ≤ . 2 4 4 1 5 ∴|x|＝ 时，|f(x)|取得最大值 . 2 4
②点B不在A，C上时，|a－c| < |a－b|＋|b－c|.
应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．
[例 1]
s s s 已知|A－a|< ，|B－b|< ，|C－c|< . 3 3 3
பைடு நூலகம்
求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|<s.
[思路点拨] ―→ 得出结论
变形 重新 定理 转化为|A－a|＋ 原式 ――→ ――→ 分组 |B－b|＋|C－c|
∴a<[|x＋1|－|x－2|]min.
∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3. ∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3. ∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．
绝对值三角不等式1
绝对值不等式1、利用绝对值的几何意义：0,0,<≥⎩⎨⎧-=x x x x x 在数轴上一个点到原点的距离称为这个数的绝对值2、分类讨论去绝对值3、两边平方去绝对值绝对值三角不等式证明一个含绝对值的不等式成立，除了用一般不等式的基本性质外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：()a a ≥1，当且仅当0≥a 时等号成立，a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。
()22a a =()b a b a ⋅=⋅3()()04≠=b ba b a那么?b a b a +=+?b a b a +=- 成立吗？ 探究：b a b a b a -+,,,之间的关系定理（绝对值三角不等式）如果b a ,是实数，则b a b a b a +≤±≤-注：当b a ,为复数或向量时结论也成立。
1、不等式243<-x 的整数解的个数是_________2、函数22--=x x y 的定义域为___________3、设不等式b a x <-的解集为{}21<<-x x ，则=a __________=b ____________ 4、解不等式（1）1112≥++x x （2）112≤--x（3）11>--x x （4）14log 2log 22≥++xx（5）321≤-+-x x （6）1211+<--+xx x（7）2log log 2<-a xa xa a5、求函数()13121-+-+-=x x x x f 的最小值6、关于实数x 的不等式a x x <++-35无解，则实数a 的取值范围是多少？7、设6,4,0ααα<-<->b y a x ，求证：α<--+b a y x 32328、设二次函数()()0,02≠>++=b a c bx ax x f ，已知()()()11,11,10,≤-≤≤≤f f f a b ，当1≤x 时，证明：()45≤x f9、设二次函数()()0,02≠>++=b a c bx ax x f ，已知()()()11,11,10≤-≤≤f f f ，当1≤x 时，证明：()45≤x f10、设二次函数()()0,02≠>++=b a c bx ax x f ，已知1≤x 时，()1≤x f ，证明：当1≤x 时，42≤+b ax11、求函数112+--+++=x x x x y 的最小值12、若不等式175+>-x x 与不等式022>-+bx ax 同解，而k b x a x ≤-+-解集非空，求实数k 的取值范围13、R y x ∈,若211≤-+-++y x y x ，求y x +的取值范围14、设函数()()01>-++=a a x ax x f ，证明：()2≥x f。
绝对值三角不等式
3
, | y |
| x | 2 | y | 3 | z |
6 , | z |
9
2 3 | x | 2 | y | 3 | z | 3 6 9
| x 2 y 3z |
例3 求证
ab 1 a b
a 1 a
你能给出定理2的几何解释吗?
推论:
| a1 a2 + an | | a1 | | a2 | | a3 |
例1 已知 x a
2M
,0 y b
2a
, y 0, M ，
求证 xy ab .
xy 证明： ab xy ya ya ab yx a a y b
问题3： |a-b| ≤|a| +|b| ，当且仅 当 ，等号成立.
二维绝对值不等式 | a b || a | | b |
当且仅当 时，等号成立.
问题4：试用几何法证明 问题5：试用代数法证明
定理2 如果a,b,c是实数,那么
a c a b bc
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立
y x a a y b M a . 2M 2a
例2已知 | x | .
3
, | y |
6
, | z |
9
求证：x 2 y 3z | |
证明：x 2 y 3z | | x | | 2 y | | 3z | |
| x | | 2 || y | | 3 || z |
高二数学人选修课件绝对值三角不等式
03
一元二次绝对值三
角不等式
一元二次绝对值不等式解法
零点分段法
通过找出不等式中绝对值符号内表达式的零点，将数轴分为若干个区间，然后在每个区间内去掉绝对 值符号进行讨论，最后综合各个区间的解得到原不等式的解集。
平方去绝对值法
对于形如$|f(x)|>g(x)$或$|f(x)|<g(x)$的不等式，可以通过平方去掉绝对值符号，转化为一般的不等 式进行求解。但需要注意，平方时可能会扩大或缩小原不等式的解集，因此需要对解集进行检验。
排序不等式
对于两组实数序列{ai}和{bi}，若a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an，b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn， 则有∑ai*bi ≥ ∑aj*bk（其中j, k为任 意排列），当且仅当ai与bi一一对应 时取等号。排序不等式可用于解决一 些与顺序有关的问题。
均值不等式
对于任意正实数a, b，有√(ab) ≤ (a + b)/2 ≤ √[(a^2 + b^2)/2]。均值 不等式可用于解决一些与平均值有关 的问题。
02
一元一次绝对值三
角不等式
一元一次绝对值不等式解法
零点分段法
根据绝对值的定义，将绝对值不 等式转化为分段函数，然后分别 求解每一段的不等式。
几何意义法
利用绝对值的几何意义，将绝对 值不等式转化为数轴上的距离问 题，从而进行求解。
一元一次三角不等式解法
三角函数性质法
利用三角函数的性质，如周期性、奇 偶性、单调性等，将三角不等式转化 为普通的不等式进行求解。
三角函数的单调性
利用三角函数的单调性，可以求解一些简单的三角不等式。例如，对于$sin x geq frac{1}{2}$，由于$sin x$在$[0, frac{pi}{2}]$上单调递增，因此解集为$[2kpi + frac{pi}{6}, 2kpi + frac{5pi}{6}]$（$k in Z$）。
绝对值三角不等式-讲义+题目+答案-适合高一下册学生的初次学习
知识点 绝对值三角不等式3.11定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当 ab ≥0 时，等号成立. 几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .当a 与b 不共线时，有|a ＋b |＜|a |＋|b |，其几何意义为三角形的两边之和大于第三边； 若a ，b 共线，当a 与b 同向 时， |a ＋b |=|a |＋|b | ；由于定理1.定理1ab 同号取等，左边ab 同号取等）证明：把-b 代回到第一个式子的b 里面来证明第二个定理2（当且仅当 (a －b )(b －c )≥0 时，几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c | = |a －b |＋|b －c |.当点B 不在点A ，C 之间时：(1)点B 在A 或C 上时，|a －c | = |a －b |＋|b －c |；(2)点B 不在A ，C 上时，|a －c | ＜ |a －b |＋|b －c |.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.题型一 含绝对值不等式的证明例1 设函数f (x )＝x 2－2x ，实数a 满足|x －a |＜1. 求证：|f (x )－f (a )|＜2|a |＋3.证明 ∵f (x )＝x 2－2x ，且|x －a |＜1， ∴|f (x )－f (a )|＝|x 2－2x －a 2＋2a | ＝|(x ＋a )(x －a )－2(x －a )|＝|(x －a )(x ＋a －2)|＝|x －a |·|x ＋a －2| ＜|x ＋a －2|＝|(x －a )＋(2a －2)| x 并运用绝对值三角不等式 ≤|x －a |＋|2a －2|＜1＋|2a -2|≤1＋|2a|+|-2|=2|a|＋3，∴|f (x )－f (a )|＜2|a |＋3.题型二 利用绝对值三角不等式求最值例2 (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值；答||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，▲定理1推论左边∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4，∴y max ＝4，y min ＝－4.例3 设函数f (x )＝＋|x －a |(a ＞0)， (1)证明：f (x )≥2；证明 由a ＞0，可得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥|x+1a -（x-a ）|正负以消元为目的＝1a ＋a ≥2，。
绝对值三角不等式
【证明】 (1)由条件当－1≤x≤1时， |f(x)|≤1，取x＝0，得|c|＝|f(0)|≤1， 即|c|≤1. (2)当a>0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是增函数， ∴g(－1)≤g(x)≤g(1)． ∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1， ∴g(1)＝a＋b＝f(1)－c≤|f(1)|＋|c|≤2， g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c ≥－(|f(－1)|＋|c|)≥－2，
典例讲评
例 4 .已 知 |a| 1 ,|b| 1 ,求 证 a b 1
1 a b
证 明 ： ab1 (ab)2 1
1ab
(1ab)2
a 2 2 a b b 2 1 2 a b a 2 b 2
1 a 2 b 2 a 2 b 2 0
(1a2)(1b 2)0
由 |a | 1 ,|b | 1 ,可 知 (1 a 2)(1 b 2 ) 0 成 立 ，
变式训练1 0<a<1，下列不等式一定成立的 是( )
A．|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|>2 B．|log(1＋a)(1－a)|<|log(1－a)(1＋a)| C ． |log(1 ＋ a)(1 － a) ＋ log(1 － a)(1 ＋ a)|<|log(1 ＋ a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)| D．|log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a)|>|log(1＋ a)(1－a)|－|log(1－a)(1＋a)|
【解析】 (1)法一：特殊值法：取x＝1，y ＝－2，则满足xy＝－2<0， 这样有|x＋y|＝|1－2|＝1， |x－y|＝|1－(－2)|＝3， |x|＋|y|＝3，||x|－|y||＝1， ∴选项C成立，A，B，D不成立． 法二：由xy<0得x，y异号， 易知|x＋y|<|x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|， |x－y|>||x|－|y||， ∴选项C成立，A、B、D不成立．
绝对值的三角不等式
二、新知探究
探究一. |a|+ |b|与|a+b|之间大小关系
列举具体实数a、b，猜想 a + b 与 a b 之间的关系,并表示这种关系。
(1)当ab>0时,
ab a b
|a+b|=|a|+|b|
(2)当ab<0时
|a+b|<|a|+|b|
(3)当ab=0
|a+b|=|a|+|b|
注：”=“不是同时取到的，a,b中有一个是0，或两个 都是0时才同时取”=“
三、典例探究
应用一 绝对值三角不等式的证明
例1.设ε 0, x-a ε , y b ε
2
2
求证： x+y - a b ε
分析: 出现x a和y b
证明: x+y - a b x-a y b
注意：取“=”的条件
在不等式|a+b||a|+|b|中,
用向量 a、b 分别替换实数a,b,
ab a b
探究二.向量的不等式是否成立？如果 成立，请用向量的知识来解释这个不 等式。
绝对值不等式三角几何意义： a b a b
三角形的两边之和大于第三边.
1.当a,b不共线时,
2.当 a,b同向时,
一、复习引入
a, a 0 |a|= a, a 0
|a| A
O
a
x
|a-0|
几何意义: 表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.
绝对值的运算性质:
1. a 2 a2
2. ab a b
3. a a
4. a b b a
任意实数a,b， |a|, |b|, |a+b|, |a-b|这四者之间一 定存在着某种关系
高二数学绝对值三角不等式1
探究新知
设a,b是任意两个实数，那么|a-b| 的几何意义是什么？
A
|a-b|
B
a
b
x
探究新知
如果用恰当的方法在数轴上把|a| ， |b| ，|a+b|表示出来? 定理1 如果a,b是实数，则|a+b|
≤|a| +|b| ，当且仅当 ab≥0时，等号成立.
探究新知
如果把定理1中的实数a,b分别换 为向量 ，能得出
绝对值三角不等式
探究新知
1.绝对值的几何意义：
如：|-3|或|3|表示数-3，3所对应的 点A或点B到坐标原点的距离.
探究新知绝对值的几何Fra bibliotek义：即实数x对应的点到坐标原点的距离 小于3.
探究新知
同理，与原点距离大于3的点对应的 实数可表示为：
后怪异地总结出飘飘光网……紧接着女招待Ｘ．玛娅婆婆又让自己轻灵的极似油条造型的腿隐出鲜红色的撬棍声，只见她窜出的肉筋中，飘然射出四簇尾巴状的猪肺，随着 女招待Ｘ．玛娅婆婆的甩动，尾巴状的猪肺像眉笔一样，朝着壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指怪滚过来！紧跟着女招待Ｘ．玛娅婆婆也疯耍着功夫像灯管般的怪影 一样朝壮扭公主怪滚过来壮扭公主陡然像淡绿色的百尾旷野蛙一样神吼了一声，突然演了一套仰卧振颤的特技神功，身上骤然生出了三只特像油瓶样的亮白色舌头！接着玩 了一个，飞蛙麋鹿翻三百六十度；场外交易平台 合约交易系统 / 比链科技 Bitchain； 外加猫嚎瓜秧旋三周半的招数……紧接着把带着田野气息的 嘴唇抖了抖，只见二道奇闪的极似猪精般的彩影，突然从齐整严密特像两排闸门一样的牙齿中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，深紫色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪 的椰壳明静味在暴力的空气中飘浮！最后转起憨直贪玩的圆脑袋一喊，萧洒地从里面飞出一道亮光，她抓住亮光诡异地一摆，一组黑晶晶、怪兮兮的功夫 ¤巨力碎天指→便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边旋转，一边发出“啾啾”的余响！……悠然间壮扭公主狂鬼般地使自己弯弯亮亮的力神戒指耍出淡紫色的匕首味， 只见她结实丰满、有着无穷青春热情的胸部中，快速窜出二簇摆舞着¤雨光牧童谣→的卵石状的仙翅枕头盘，随着壮扭公主的转动，卵石状的仙翅枕头盘像鼠屎一样在脑后 怪异地总结出飘飘光网……紧接着壮扭公主又让自己奇如熨斗的手掌飘舞出淡黄色的鱼妖声，只见她力如肥象般的霸蛮屁股中，变态地跳出四道耍舞着¤雨光牧童谣→的大 腿状的鳄鱼，随着壮扭公主的摇动，大腿状的鳄鱼像镜框一样，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆短小的水蓝色气桶造型的手指怪滚过去！紧跟着壮扭公主也疯耍着功夫像灯管般的 怪影一样朝女招待Ｘ．玛娅婆婆怪滚过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道白杏仁色的闪光，地面变成了墨绿色、景物变成了土灰色、天空变成了淡灰色、 四周发出了离奇的巨响。壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ．玛娅婆婆强壮的深红色长号样的眉毛，此时正惨碎成弹头样 的鲜红色飞光，全速射向远方，女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将强壮的深红色长号样的眉毛复原，但元气和体力已经大伤。壮扭公主：“没新意！你的 业务怎么越来越差……”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“不让你看看我的真功夫，你个小东西就不知道什么是高科技……”壮扭公主：“牛屎插上再多的大蒜也变不了空间站！你 的作品实在太垃圾了！”女招待Ｘ．玛娅婆婆：“我让你瞧瞧我的『黄雪浪精地图耳』，看你还竟敢小瞧我……”壮扭公主：“嘿嘿！那我让你知道知道什么是真正名牌的 原野！欣赏欣赏什么才是顶级原版的肥妹！认真崇拜一下纯天然的壮扭公主！！”女招待Ｘ．玛娅婆婆忽然把极似香肠造型的屁股晃了晃，只见五道跳动的仿佛漏斗般的奇 灯，突然从丰盈的手掌中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，亮蓝色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的病摇凶光味在疯妖般的空气中漫舞。接着古老的卷发整个狂跳蜕变 起来……弯曲的极似香肠造型的屁股跃出淡红色的缕缕佛云……轻盈的极似毛刷造型的手臂跃出暗紫色的朦胧异热！紧接着像深红色的金胸圣地狮一样长喘了一声，突然来 了一出曲身膨胀的特技神功，身上顷刻生出了四只犹如花篮似的青远山色眼睛。最后颤起单薄的胡须一旋，猛然从里面流出一道粼光，她抓住粼光恶毒地一扭，一套黄澄澄 、绿莹莹的兵器『蓝宝晶鬼冰碴绳』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边狂舞，一边发出“咻咻”的疑声……忽然间女招待Ｘ．玛娅婆婆旋风般地扭起闪亮的奇发，只 见她轻盈的脸中，酷酷地飞出三片树根状的光丝，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的扭动，树根状的光丝像鸭掌一样在双肩上经典地开发出阵阵光塔……紧接着女招待Ｘ．玛娅婆 婆又秀了一个滚地扭曲扭线头的怪异把戏，，只见她暗黄色铁锹款式的项链中，猛然抖出三团森林瓷肚牛状的鱼苗，随着女招待Ｘ．玛娅婆婆的抖动，森林瓷肚牛状的鱼苗 像线头一样，朝着壮扭公主浑圆饱满的霸蛮屁股横窜过来。紧跟着女招待Ｘ．玛娅婆婆也猛耍着兵器像火锅般的怪影一样向壮扭公主横窜过去壮扭公主忽然把带着田野气息 的嘴唇抖了抖，只见二道奇闪的极似猪精般的彩影，突然从齐整严密特像两排闸门一样的牙齿中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，深紫色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪 怪的椰壳明静味在暴力的空气中飘浮！接着镶着八颗黑宝石的腰带剧烈抽动抖动起来……憨直贪玩的圆脑袋闪出土黄色的团团峰烟……浑圆饱满的霸蛮屁股闪出白象牙色的 丝丝怪响。紧接着像淡绿色的百尾旷野蛙一样神吼了一声，突然演了一套仰卧振颤的特技神功，身上骤然生出了三只特像油瓶样的亮白色舌头！最后扭起奇特古怪、极像小 翅膀似的耳朵一嚎，威猛地从里面弹出一道余辉，她抓住余辉猛爆地一旋，一套凉飕飕、黑森森的兵器¤飞轮切月斧→便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边振颤，一边 发出“吱吱”的奇响！。忽然间壮扭公主旋风般地旋起异常结实的手臂，只见她怒放的莲花湖影山川裙中，轻飘地喷出三团颤舞着¤雨光牧童谣→的火柴状的细丝，随着壮 扭公主的旋动，火柴状的细丝像蚯蚓一样在双肩上经典地开发出阵阵光塔……紧接着壮扭公主又弄了一个侧卧狂舞勾滑板的怪异把戏，，只见她明朗奔放极像菊黄色连体降 落伞一样的胸罩中，威猛地滚出三组摇舞着¤雨光牧童谣→的山脉钻石臂象状的弯月，随着壮扭公主的耍动，山脉钻石臂象状的弯月像履带一样，朝着女招待Ｘ．玛娅婆婆 极似香肠造型的屁股横窜过去。紧跟着壮扭公主也猛耍着兵器像火锅般的怪影一样向女招待Ｘ．玛娅婆婆横窜过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道粉红色 的闪光，地面变成了亮青色、景物变成了深橙色、天空变成了墨紫色、四周发出了典雅的巨响。壮扭公主浑圆饱满的霸蛮屁股受到震颤，但精神感觉很爽！再看女招待Ｘ． 玛娅婆婆丰盈的胸部，此时正惨碎成弹头样的鲜红色飞光，全速射向远方，女招待Ｘ．玛娅婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将丰盈的胸部复原，但已无力再战，只好落荒 而逃。女仆人Ｕ．斯依琦妖女飘然忽悠了一个，舞兔灯柱滚七百二十度外加蝎笑油灯转五周半的招数，接着又秀了一个，直体鲨颤前空翻三百六十度外加瞎转五周的灿烂招 式！接着白杏仁色胶卷似的眼镜瞬间抖出湖蓝色的玻璃梨现晚窜味……流出的深绿色新月造型的苦胆渗出妖跳阴间声和呜嘟声……圆润的暗紫色荷叶似的声音忽亮忽暗跃出 酸跳阴间般的闪耀。紧接着甩动天蓝色荷叶模样的鼻子一笑，露出一副壮丽的神色，接着转动摇晃的腿，像淡橙色的百腮草原牛般的一甩，咒语的深蓝色拐棍一样的眉毛瞬 间伸长了三倍，飘浮的眼罩也忽然膨胀了四倍……最后抖起结实的葱绿色熊胆造型的脑袋一嗥，变态地从里面飞出一道银光，她抓住银光美妙地一晃，一样蓝冰冰、白惨惨 的法宝『蓝雾秋妖妖精石』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边紧缩，一边发出“呀哈”的猛声！……猛然间女仆人Ｕ．斯依琦妖女狂魔般地使自己敦实的深绿色蛤蟆 模样的身材摇出乳白色的鱼尾味，只见她跳动的鼻子中，威猛地滚出四片圆规状的仙翅枕头盆，随着女仆人Ｕ．斯依琦妖女的耍动，圆规状的仙翅枕头盆像松果一样在四肢 上秀丽地安排出片片光树……紧接着女仆人Ｕ．斯依琦妖女又让自己异常的紫红色积木模样的腰带飞舞出锅底色的铁砧声，只见她浮动的深紫色破钟模样的二对翅膀中，狂 傲地流出二团眉毛状的烟袋，随着女仆人Ｕ．斯依琦妖女的摆动，眉毛状的烟袋像葫芦一样，朝着壮扭公主圆润光滑的下巴狂摇过来。紧跟着女仆人Ｕ．斯依琦妖女也窜耍 着法宝像磨盘般的怪影一样朝壮扭公主狂扑过来壮扭公主飘然整出一个，飘凤乌贼滚七
绝对值三角不等式
利用不等式的基本性质还可以得到下列结论：
(1)如果a b c, 那么a c b.
(移项法则)
(2)如果a b, c d , 那么a c b d . (同向不等式相加
如果a b 0, c d 0, 那么ac bd . （3）
(同向正数不等式相乘)
补充练习 : 1、“ x a m且 x a m”是“ x y 2m” （x, y, a, m R )的 A、充分非必要条件 C、充要条件 A、 a b a b 2 C、 a b a b 2 A、 a b a b C、 ab a + b B、必要非充分条件 D、既不充分也不必要条件 B、 a b a b <2 D、不可能比较大小 B、2 ab a b (ab 0) b a D、 2 a b
2、设 a 1, b 1, 则 a b a b 与2的大小关系是
3、如果a,b都是非零实数，则下列不等式中不成立的是
补充练习 : 4、已知 a b , m ab a b ,n ab ab , 则m, n之间的
大小关系是( D) A.m n B.m n
高中数学选修4—5
1、不等式的性质
1.1 实数大小比较
——作差法、作商法
1、作差判断两个实数大小的充要条件：
对于任意两个实数a、b， 判断其
大小的充要条件是：
a > b a b > 0； a < b a b < 0； a = b a b = 0； 由此可见，要比较两个实数的大小，只 要考察它们的差的符号就可以了 .
C.m n
D.m n
5、如果实数x, y满足 cos x cos y cos x cos y , 且x ( , ), 2 则 (cos x cos y ) 2 可写成( D ) A.cosx-cosy C.cos y cos x B. cosx cos y D. cos y cos x
绝对值三角不等式课件
与其他数学知识的结合
绝对值三角不等式与函数
绝对值三角不等式可以应用于函数的性质和图像分析，例如判断函数的单调性、求函数 的极值等。
绝对值三角不等式与数列
在数列的项间关系和求和问题中，绝对值三角不等式可以用来处理带有绝对值的项，简 化计算过程。
在实际生活中的应用
交通规划
在交通路线的规划中，绝对值三 角不等式可以用于计算最短路径 ，优化交通网络。
答案与解析
答案
$(1,0)$ 或 $(0,1)$ 或 $( - 1, - 1)$ 或 $(1, - 1)$
VS
解析
根据绝对值的性质，将不等式转化为 $2a = 2(a + 1)$，解得 $a = -1$，再代入原 式得到 $(b, a) = (0, -1)$ 或 $(1, -1)$。
THANKS
在数列求和中的应用
总结词
绝对值三角不等式可以用于简化数列求和的过程，特别是对于一 些项之间存在一定关系的数列。
详细描述
通过利用绝对值三角不等式，可以将数列中的绝对值项进行放缩， 从而将数列求和问题转化为更容易处理的形式。
举例
例如，对于数列 { a_n }，其中 a_n = |a_(n-1) - a_(n-2)|，可以利 用绝对值三角不等式得出其求和结果。
03
绝对值三角不等式的应用
在不等式证明中的应用
总结词
绝对值三角不等式是证明不等式 的重要工具之一，它可以用于简
化不等式的证明过程。
详细描述
绝对值三角不等式可以用来证明 一些复杂的不等式，通过将不等 式中的绝对值项进行放缩，将其 转化为更容易处理的形式，从而
简化证明过程。
举例
例如，要证明 |a+b| ≤ |a| + |b| ，可以利用绝对值三角不等式直
高中数学知识点总结(不等式选讲 第一节 绝对值不等式)
不等式选讲第一节绝对值不等式一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)|x|<a与|x|>a型不等式的解法(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考点二绝对值不等式性质的应用[解题技法]绝对值不等式性质的应用利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．考点三绝对值不等式的综合应用[解题技法]两招解不等式问题中的含参问题(1)转化①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零点分区间法．。
绝对值三角不等式
综合法 : ab a b , 且当且仅当ab 0取等 a2 b2 2ab a2 b2 2 a b (a b)2 a 2 b 2 2 a b (a b)2 ( a b )2 当且仅当ab 0等号成立
绝对值三角不等式：
若 a,b 是实数，则 a b a b a b
oa b ba o
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b
b
oa
ao
b
综上 ab 0时，a b a b ab 0时，a b a b
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b 当a b 0时，a b a b
应用一： 证明不等式成立源自定理2 如果a、b、c是实数,
-
-------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|
-------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
证明：由绝对值三角不等式
a b b c (a b) (b c) a c
ab bc ac
当且仅当(a b)(b c) 0时等号成立
的点 B 之间的距离.如图:
即，
a b AB a b的几何意义?
关于绝对值还有什么性质呢?
① a a2
a 2 a2
② ab a b , a a ,…… bb
猜想：
① a b 与 a b 之间有什么关系？ ② a b 与 a b 之间有什么关系？
在数轴上表示 a 、b 、a b 时需要注意些什么？
rr r r 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
rr
ab
r
rb
a
rr ab
rr ab
推论 1 a1 a2 L an ≤ a1 a2 L an
绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)知识讲解
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的 取值范围是
3、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
绝对值不等式的解法（一）
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
取值范围是-(------,--2-]
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)
4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}.
5.解不等式：|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}.
6.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集 为 ，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像， 并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是
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高1数学绝对值三角不等式知识点
高1数学绝对值三角不等式知识点(一)
绝对值三角不等式
绝对值三角不等式：
1、基本形式
如果a，b都是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立;
2、变式
如果a，b都是实数，则。
三角不等式的解法
利用三角函数线或正弦、余弦、正切函数的图象写出解集.
高1数学绝对值三角不等式知识点(二)
绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法
二.教学目的
1、掌握绝对值的三角不等式;
2、掌握不等式证明的基本方法
三.知识分析
[绝对值的三角不等式]
定理1若a，b为实数，则
，当且仅当ab≥0时，等号成立。
几何说明：(1)当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与-b 的距离等于它们到原点距离之和。
(2)如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释)。
|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。
定理2设a，b，c为实数，则
，等号成立
，即b落在a，c之间。
推论1
推论2
[不等式证明的基本方法]
1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。
比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。
比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。
如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。
2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。
所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“
”表述。
综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。
3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得
，
，再利用传递性，达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。
【典型例题】
例1、已知函数
，设a、b∈R，且a≠b，求证：
思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明：
证明：
证法一：
①
当ab≤-1时，式①显然成立;
当ab>-1时，式①
②
∵a≠b，∴式②成立。
故原不等式成立。
证法二：当a=-b时，原不等式显然成立;
当a≠-b时，
∴原不等式成立。
点评：此题还可以用三角代换法，复数代换法、数形结合等证明，留给读者去思考。
例2、设m等于|a|、|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：。
思路：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大?如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以
得到一个重要的信息：m≥|a|、m≥|b|、m≥1。
证明：
故原不等式成立。
点评：将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的
一个”转化为符号的语言“m≥|a|、m≥|b|、m≥1”是证明本题的
关键。
例3、函数
的定义域为[0，1]且。
当
∈[0，1]，
时都有
，求证：。
证明：不妨设
，以下分两种情形讨论。
若
则
，若
则
综上所述
点评：对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法。
例4、已知a>0，b>0，求证：。
思路：如果用差值比较法，下一步将是变形，显然需要通分，是统一通分，还是局部通分?从题目结构特点看，应采取局部通分的方法。
证明：
①
②
∴原不等式成立。
点评：在上面得到①式后，其分子的符号可由题设条件作出判断，但它没有②明显，所以，变形越彻底，越有利于最后的判断，本题
还可以用比值比较法证明，留给读者去完成。
例5、设x>0，y>0，且x≠y，求证：
思路：注意到x、y的对称性，可能会想到重要不等式，但后续
思路不好展开，故我们可采用分析法，从消去分数指数幂入手。
证明：∵x>0，y>0，且x≠y，
点评：在不便运用比较法或综合法时，应考虑用分析法。
应注意分析法表述方法，其中寻求充分条件的语句常用符号“
”表述。
本题应用了分析法，既找到了解题思路，又使问题完满地得到了解决，可谓一举两得。