浙江省大学生数学竞赛(微积分)大纲

大学生数学竞赛考试大纲

中国大学生数学竞赛大纲(初稿 )为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。

一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。

“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。

二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。

（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占 50%，高等代数占 35%，解析几何占 15%，具体内容如下：Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数1.实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、 2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广.3.函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续1.数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2.数列收敛的条件（ Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限 lim(11) n e及其应用.n n3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式sin x 1, lim(1 1 x e 及性质、迫敛性），归结原则和 Cauchy 收敛准则，两个重要极限lim x x )x 0 xO 与 o 的其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2. 微分学基本定理： Fermat 定理， Rolle 定理， Lagrange 定理， Cauchy 定理， Taylor 公式( Peano 余项与 Lagrange 余项 ).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital ）法则、近似计算.四、多元函数微分学1.偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式 .2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换 .3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线） .4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与 Lagrange 乘数法 .五、一元函数积分学1.原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：R(cos x,sin x) dx 型， R(x, ax2 bx c )dx 型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：i x i）、可积函数类.3.定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L 公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4. 无限区间上的广义积分、Canchy 收敛准则、绝对收敛与条件收敛、 f ( x) 非负时f ( x)dx 的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、a无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5.微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用 .六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换） .2. 三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3. 重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4. 含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性. 含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性 .5. 第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6. 第二型曲线积分概念、性质、计算；Green 公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7. 曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke 公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1.数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy 准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的 Leibniz 判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel 判别法、 Dirichlet 判别法.2.函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy 准则、一致收敛性判别法（M-判别法、 Abel 判别法、 Dirichlet 判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、 Abel 定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor 级数、Maclaurin 级数 .4.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、 2 及 2 l周期函数的 Fourier 级数展开、 Beseel 不等式、Riemanm-Lebesgue 定理、按段光滑函数的 Fourier 级数的收敛性定理 .Ⅱ、高等代数部分一、多项式1.数域与一元多项式的概念2.多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3.互素、不可约多项式、重因式与重根.4.多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、 Gauss 引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein 判别法、有理数域上多项式的有理根.7.多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理 .二、行列式1.n 级行列式的定义 .2.n 级行列式的性质 .3.行列式的计算 .4.行列式按一行（列）展开 .5.拉普拉斯 ( Laplace) 展开定理 .6.克拉默 ( Cramer) 法则 .三、线性方程组1.高斯( Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2.n 维向量的运算与向量组 .3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1.矩阵的概念、矩阵的运算 ( 加法、数乘、乘法、转置等运算 ) 及其运算律 .2.矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3.矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4.分块矩阵及其运算与性质 .5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6.分块初等矩阵、分块初等变换 .五、双线性函数与二次型1.双线性函数、对偶空间2.二次型及其矩阵表示 .3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1.线性空间的定义与简单性质 .2.维数，基与坐标 .3.基变换与坐标变换 .4.线性子空间 .5.子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿- 凯莱定理 .4.线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1.矩阵 .2.行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3.若当标准形 .九、欧氏空间1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2.标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt) 正交化方法 .3.欧氏空间的同构 .4.正交变换、子空间的正交补 .5.对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7.酉空间 .Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4.向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用 .5.应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1. 曲面方程的定义：普通方程、参数方程( 向量式与坐标式之间的互化) 及其关系 .2. 空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3. 建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程 .4. 球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1. 平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2. 从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系 .4.根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1. 柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程 .3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法 .4. 根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1. 二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2. 二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3. 二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4. 二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5. 化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质( 有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1.导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线 .2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数 .5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6.洛必达 ( L ’ Hospital ) 法则与求未定式极限 .7.函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线( 水平、铅直和斜渐近线) 、函数图形的描绘 .8.函数最大值和最小值及其简单应用.9.弧微分、曲率、曲率半径 .三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念 .2.不定积分的基本性质、基本积分公式.3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿 - 莱布尼茨 ( Newton-Leibniz ) 公式 .4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6.广义积分 .7.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四 . 常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利( Bernoulli ) 方程、全微分方程 .3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：y ( n) f ( x ),y f ( x, y ), yf ( y, y ) .4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉 ( Euler ) 方程 .8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离 .6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形 .7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度 .6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式 .8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用 .七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算 ( 直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林 ( Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5. 高斯 ( Gauss) 公式、斯托克斯 ( Stokes) 公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用( 平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与 p 级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨( Leibniz ) 判别法 .3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质 ( 和函数的连续性、逐项求导和逐项积分 ) 、简单幂级数的和函数的求法 .7.初等函数的幂级数展开式 .8. 函数的傅里叶 ( Fourier ) 系数与傅里叶级数、狄利克雷( Dirichlei) 定理、函数在[-l，l] 上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。

省大学生高等数学(微积分)竞赛章程

浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛章程(浙江省高校高等数学教学研究会)（年月）第一条总则浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛（以下简称竞赛）是浙江省高等数学教育研究会主办的面向浙江省大学生的群众性科技活动，旨在激发我省大学生学习数学的积极性，提高学生运用数学知识解决问题的能力，培养学生的创新思维，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革，也借此活动为广大学生的考研提供帮助.第二条竞赛类别及内容．竞赛分为数学类、工科类、经管类和文科与专科类四大类。

．数学类的试题主要依据专业教材《数学分析》（复旦大学数学系或华东师大数学系编）；．工科类、经管类和文科与专科类的试题主要依据国内有关《高等数学》或者《微积分》教材, 具体内容见竞赛大纲。

第三条竞赛形式、规则和纪律．浙江省高等数学教育研究会统一竞赛题目，考试总分分，闭卷考试方式，以各个学校相对集中的形式进行。

．竞赛一般在每年月最后一个星期六举行，考试时间为分钟。

．以大学生所在的学校为单位参赛，专业不限。

仅限本、专科学生。

．工作人员将密封的赛题按时启封发给参赛学生，参赛学生在规定时间内完成答卷，并准时交卷。

．参赛学校应责成有关职能部门负责竞赛的组织和纪律监督工作，保证本校竞赛的规范性和公正性。

．对违反竞赛规则的参赛学生，一经发现，取消参赛资格，成绩无效，并通报给参赛学校。

第四条组织形式竞赛由浙江省高等数学教育研究会竞赛组织委员会主持，负责每年动员报名、拟定赛题、组织阅卷和评奖、印制获奖证书、举办全省颁奖仪式等。

竞赛组委会由全省各参赛学校负责人组成。

竞赛分赛区组织进行。

原则上每个学校为一个赛区（每个赛区参赛人数在人以上），不满人可以与邻近的学校合并成立一个赛区。

每个赛区建立一个工作小组，负责本赛区的宣传发动及报名、监督竞赛纪律等工作。

第五条评奖办法由竞赛委员会评选出一等奖％、二等奖％和三等奖％.对成绩特别优秀的考生,授予特等奖。

获奖人数最多的学校获奖名额不超过总名额的％，获奖人数次多的学校获奖名额不超过总名额的％。

大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛大纲.doc

中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛大纲一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L ’Hospital )法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y = ),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler)方程.8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5.二阶偏导数、方向导数和梯度.6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式.8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。

全国大学生数学竞赛大纲(数学专业组)word资料5页

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组)为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。

一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。

“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。

二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。

（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)nn e n →∞+=及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞=+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital ）法则、近似计算.四、多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法.五、一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：(cos ,sin )R x x dx ⎰型，()R x dx ⎰型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：i i x ωε∆<∑）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L 公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy 收敛准则、绝对收敛与条件收敛、()f x 非负时()a f x dx +∞⎰的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel 判别法、Dirichlet 判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法. 5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green 公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke 公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy 准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz 判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel 判别法、Dirichlet 判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy 准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、Abel 定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor 级数、Maclaurin 级数.4.Fourier 级数三角级数、三角函数系的正交性、2 及2l周期函数的Fourier级数展开、Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分一、多项式1.数域与一元多项式的概念2.多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3.互素、不可约多项式、重因式与重根.4.多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6.本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7.多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、行列式1.n级行列式的定义.2.n级行列式的性质.3.行列式的计算.4.行列式按一行（列）展开.5.拉普拉斯(Laplace)展开定理.6.克拉默(Cramer)法则.三、线性方程组1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型1.双线性函数、对偶空间2.二次型及其矩阵表示.3.二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4.复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1.线性空间的定义与简单性质.2.维数，基与坐标.3.基变换与坐标变换.4.线性子空间.5.子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1.线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2.特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4.线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形λ矩阵.1.-2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.九、欧氏空间1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2.标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3.欧氏空间的同构.4.正交变换、子空间的正交补.5.对称变换、实对称矩阵的标准形.6.主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7.酉空间.Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.。

大学生数学竞赛考试大纲

中国大学生数学竞赛大纲（初稿）为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。

一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。

“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。

二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。

（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%,具体内容如下：I、数学分析部分一、集合与函数1.实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 口2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、口2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在口〃上的推广.3.函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续1.数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2.数列收敛的条件々@皿卜丫准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限lim（1 + i）n = e及其应用.n3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限lim.=1, lim（1 + ：）% = e 及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大置0阶的比较7°记号O与。

的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4.函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性）有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor 公式（Peano余项与Lagrange余项）.3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.四、多元函数微分学1.偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.五、一元函数积分学1.原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：1R（cos x,sin x）dx型，J R（x, 7ax2 + bx + c）dx型.2.定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：Z 3A x <£）、可积函数i i 类.3.定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、f（x）非负时』.f （x）dx的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5.微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1.数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.——2——3.幕级数幕级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幕级数的一致收敛性，幕级数的逐项可积性、可微性及其应用，幕级数各项系数与其和函数的关系、函数的幕级数展开、Taylor级数、Maclaurin 级数.4.Fourier 级数三角级数、三角函数系的正交性、2及21周期函数的Fourier级数展开、Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.11、高等代数部分一、多项式1.数域与一元多项式的概念2.多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3.互素、不可约多项式、重因式与重根.4.多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6.本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7.多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3.行列式的计算.4.行列式按一行(列)展开.5.拉普拉斯(Laplace)展开定理.6.克拉默(Cramer)法则.三、线性方程组1.高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3.向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价4.向量组的极大无关组、向量组的秩.5.矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6.线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1.矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2.矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系3.矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4.分块矩阵及其运算与性质.5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型1.双线性函数、对偶空间2.二次型及其矩阵表示.3.二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法4.复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1.线性空间的定义与简单性质.2.维数，基与坐标.3.基变换与坐标变换.4.线性子空间.5.子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1.线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵2.特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4.线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1.九一矩阵.2.行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3.若当标准形.九、欧氏空间1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2.标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3.欧氏空间的同构.4.正交变换、子空间的正交补.5.对称变换、实对称矩阵的标准形.6.主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形7.酉空间.HI、解析几何部分一、向量与坐标1.向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算2.坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算3.向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4.向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5.应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系 .3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程 .三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4.根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程^2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程 .3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点 .3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径 .4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根 .5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1.函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2.函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4.数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限5.无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6.极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限7.函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8.连续函数的性质和初等函数的连续性.9.闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）.二、一元函数微分学1.导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2.基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性3.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理6.洛必达(L’ Hospital)法则与求未定式极限.7.函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8.函数最大值和最小值及其简单应用.9 .弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1 .原函数和不定积分的概念.2 .不定积分的基本性质、基本积分公式.3 .定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式.4 .不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5 .有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6 .广义积分.7 .定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值.四.常微分方程1 .常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等2 .变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3 .可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：y (n )= f (x ), y 〃= f (x , y '), y 〃 = f (y , y ').4 .线性微分方程解的性质及解的结构定理.5 .二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程6 .简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7 .欧拉(Euler )方程.8 . 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1 .向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积2 .两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3 .向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦4 .曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5 .平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6 .球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7 .空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程六、多元函数微分学1 .多元函数的概念、二元函数的几何意义.2 .二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质3 .多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件4 .多元复合函数、隐函数的求导法.5 .二阶偏导数、方向导数和梯度.6 .空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7 .二元函数的二阶泰勒公式.8 .多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幕级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)、收敛域与和函数.6.幕级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幕级数的和函数的求法.7.初等函数的幕级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在［-1，1］上的傅里叶级数、函数在［0,1］上的正弦级数和余弦级数。

温州大学城市学院大学生数学竞赛(微积分)大纲

温州大学城市学院大学生数学竞赛(微积分)大纲
本次竞赛主要面向非数学系专业的在读本科和专科大学生。

内容涉及到大学本科(专科)《微积分》或《高等数学》课程所涵盖的各知识点。

具体内容如下：
一、函数极限和连续性
考察考生对函数、极限概念的理解和掌握，函数极限的讨论和计算；
掌握函数的连续性，闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理)，并会应用这些性质。

二、导数及其应用
函数可导性的研究，函数导数的计算；
微分中值定理及其应用；
利用导数研究函数的性质 (单调性，凹凸性等)以及导数的应用 (极值、最大值和最小值等)。

三、积分学
不定积分的概念、计算（不定积分的换元法、分部积分法）；
定积分的概念、性质、计算（定积分的换元法、分部积分法）。

注：试卷总分为150分，考试时间为两个半小时。

2006年浙江省大学高等数学(微积分)竞赛试题及解答

2006年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题及解答一．计算题1. 求()1lim 2xx x e x →∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.解法一令1t x =，原式011lim 2t t e t t →⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()0211limtt t e t→-+=()0lim 211tt t e →=+=；解法二原式112lim 1x x x e x e x -→∞⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭121lim1xx e x x-→∞-+=122221lim1xx e xxx-→∞-+=-1lim 21x x e -→∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.2. 求()()2ln 2ln 132x x dx x x +-+++⎰.解：原式()()()11ln 2ln 112x x dx x x ⎛⎫=+-+-⎪++⎝⎭⎰ ()()()()()()ln 2ln 1ln 2ln 1x x d x x =-+-++-+⎰()()21ln 2ln 12x x C =-+-++⎡⎤⎣⎦.3. 求曲线222,arctan ,y x t t y t e e ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩在0t =处的切线方程.解：当0t =时，()00x =，()02y =，由22x t t =-，22dx t dt=-，2t dx dt==-，由2arctan yy t e e +=，21arctan 01yy t y e y t''+⋅+=+，该式中令0t =，2y =，解出()220t dy y dt e='==-，因此201t dy dxe==，所求曲线()y fx =在0t =处的切线方程为()2120y x e-=-，即212y x e=+.4. 设()1x fx x=+，求()()10fx .解：()()()112211111x fx x x x-+-==+-++()()12f x f x =+，()()1121112f x x -'=+，()()1221111122f x x -⎛⎫''=-+ ⎪⎝⎭，，()()()1101021111191222f x x -⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1122112f x x --'=-+，()()1222111122f x x --⎛⎫''=---+ ⎪⎝⎭，，()()()1101022111191222f x x --⎛⎫⎛⎫=-----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()10101012fx f x f x =+()()()()()()91019212210101113171131719122x x ----=⋅+-⋅⋅+()192101317191121x x -⋅⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭ .二．设()36xxfx e=-，问()0fx =有几个实根？并说明理由.解：()22xxf x e '=-，()xf x e x ''=-，显然()0x f x e x ''=->，(),x ∈-∞+∞，()f x '在(),-∞+∞上严格递增； ()11102f e '-=-<，()010f '=>，由零点定理，存在唯一()01,0x ∈-，使得()00f x '=，即0x 为()f x 的唯一的驻点.同时，0x 为()fx 在(),-∞+∞内唯一的极小值点，也是最小值点，又在()1,0-，()306xxf x e=->，故方程()0fx =在(),-∞+∞内无实根.三．已知()323lim1x x x ax b →∞++-=，求a ，b 的解.解：由条件，可得()32310lim1x x x ax b x→∞=++--3211lim 1x a x x →∞⎛⎫=++- ⎪⎝⎭1a =-，于是1a =，从而()323lim1x b x x x →∞=++-3211lim 11x x x x →∞⎛⎫=++- ⎪⎝⎭221332211lim 1111111x x xx x x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13=.四．求由0y =，1y x e=，ln y x =围成的平面图形D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体体积. 解：1y x e=与ln y x =的交点坐标为2x e =，1y =，在()20,e内，1lnx x e>，所以D 的面积221ln e ex A dx x dx e=-⎰⎰()22321121ln 132ee x x x e =⋅--()2136e=-；或者()1222yA ee ydy =-⎰122301123yeey ⎛⎫=-⎪⎝⎭ ()2136e=-；D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积222211ln 4e ex V dx xdx eππ=-⎰⎰()221l n l n2224e e x x x x ππ=--+⎡⎤⎣⎦2π=；或者()12222yV y ee ydy π=-⎰1222yydee ππ=-⎰1221222y y e e πππ⎛⎫=--=⎪⎝⎭.五．设()f x 有连续的二阶导数，证明：()()()()000x f x f f x tf x t dt '''=++-⎰.证明：因为()0xtf x t dt ''-⎰()()0x td f x t '=--⎰()()00x xf f x t dt ''=-+-⎰()()()00xd xf f x t dt dt'=-+--⎰()()()00xf f f x '=--+，所以()()()()000x f x f f x tf x t dt '''=++-⎰.六．证明：(),x ∀∈-∞+∞，sin sin 2sin a x b x x +≤的充分必要条件为21a b +≤. 证明：必要性设sin sin 2sin a x b x x +≤，两边分别约去sin 0x ≠，由此，得2cos 1a b x +≤，令0x →，取极限，得21a b +≤，在2cos 1a b x +≤中，令x π→，取极限得21a b -+≤，当a ，b 同号时，221a b a b +=+≤，当a ，b 异号时，221a b a b +=-≤. 充分性设21a b +≤，因为2cos 21a b x a b +≤+≤，两边同时乘以sin x ，所以sin sin 2sin a x b x x +≤.。

全国大学生数学竞赛(数学类)竞赛大纲

Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.四、多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.五、一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet 判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.4.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分一、多项式1. 数域与一元多项式的概念2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3. 行列式的计算.4. 行列式按一行（列）展开.5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.6. 克拉默(Cramer)法则.三、线性方程组1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型1. 双线性函数、对偶空间2. 二次型及其矩阵表示.3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1. 线性空间的定义与简单性质.2. 维数，基与坐标.3. 基变换与坐标变换.4. 线性子空间.5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4. 线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1.矩阵.2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.九、欧氏空间1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 欧氏空间的同构.4. 正交变换、子空间的正交补.5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.。

浙江省大学高等数学(微积分)竞赛试题及解答

20####省高等数学〔微积分〕竞赛试题与解答一．计算题1. 求()1lim 2x x x e x →∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 解法一令1t x =,原式011lim 2t t e t t →⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()0211lim t t t e t→-+= ()0lim 211t t t e →=+=；解法二原式112lim 1x x x e x e x -→∞⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 121lim 1xx e xx-→∞-+= 122221lim 1x x e xx x -→∞-+=-1lim 21x x e -→∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 2. 求()()2ln 2ln 132x x dx x x +-+++⎰. 解：原式()()()11ln 2ln 112x x dx x x ⎛⎫=+-+- ⎪++⎝⎭⎰ ()()()()()()ln 2ln 1ln 2ln 1x x d x x =-+-++-+⎰()()21ln 2ln 12x x C =-+-++⎡⎤⎣⎦. 3. 求曲线222,arctan ,y x t t y t e e ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩在0t =处的切线方程.解：当0t=时,()00x =,()02y =, 由22x t t =-,22dx t dt=-, 02t dx dt ==-, 由2arctan y y t e e +=,21arctan 01y y t y e y t ''+⋅+=+, 该式中令0t=,2y =, 解出()2020t dy y dt e='==-, 因此201t dy dx e==, 所求曲线()y f x =在0t =处的切线方程为()2120y x e-=-, 即212y x e=+. 4. 设()f x =,求()()10f x .解：()()()112211f x x x -==+-+ ()()12f x f x =+,()()1121112f x x -'=+, ()()1221111122f x x -⎛⎫''=-+ ⎪⎝⎭, ,()()()1101021111191222f x x -⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()1122112f x x --'=-+, ()()1222111122f x x --⎛⎫''=---+ ⎪⎝⎭, ,()()()1101022111191222f x x --⎛⎫⎛⎫=-----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()()()()()10101012f x f x f x =+()()()()()()91019212210101113171131719122x x ----=⋅+-⋅⋅+()192101317191121x x -⋅⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭. 二．设()36xx f x e =-,问()0f x =有几个实根？并说明理由. 解：()22xx f x e '=-, ()x f x e x ''=-,显然()0x f x e x ''=->,(),x ∈-∞+∞,()f x '在(),-∞+∞上严格递增；()11102f e '-=-<,()010f '=>, 由零点定理,存在唯一()01,0x ∈-,使得()00f x '=,即0x 为()f x 的唯一的驻点. 同时,0x 为()f x 在(),-∞+∞内唯一的极小值点,也是最小值点,又在()1,0-,()306x x f x e =->, 故方程()0f x =在(),-∞+∞内无实根.三．已知)lim x ax b →∞-=,求a ,b 的解. 解：由条件,可得)10limxax bx→∞=--limxa→∞⎫=-⎪⎭1a=-,于是1a=,从而)limxb x→∞=-lim1xx→∞⎫=-⎪⎭221332211lim1111111xxx xx x x x→∞⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13=.四．求由0y=,y=y=围成的平面图形D的面积与D绕x轴旋转一周所得旋转体体积.解：y=y=的交点坐标为2x e=,1y=,在()20,e内>所以D的面积2201e eA dxe=-⎰⎰()22321121ln132eex x xe=⋅--()2136e=-；或者()1222yA e e y dy=-⎰122301123y e e y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()2136e =-； D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积2222011ln 4e e x V dx xdx e ππ=-⎰⎰ ()221ln ln 2224e e x x x x ππ=--+⎡⎤⎣⎦2π=；或者()122202y Vy e e y dy π=-⎰ 12202y yde e ππ=-⎰ 12201222y y e e πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 五．设()f x 有连续的二阶导数,证明：()()()()000xf x f f x tf x t dt '''=++-⎰. 证明：因为()0x tf x t dt ''-⎰ ()()0x td f x t '=--⎰ ()()00xxf f x t dt ''=-+-⎰ ()()()00xd xf f x t dt dt'=-+--⎰ ()()()00xf f f x '=--+,所以()()()()000xf x f f x tf x t dt '''=++-⎰. 六．证明：(),x ∀∈-∞+∞,sin sin2sin a x b x x +≤的充分必要条件为21a b +≤. 证明：必要性设sin sin2sin a x b x x +≤,两边分别约去sin 0x ≠,由此,得2cos 1a b x +≤,令0x →,取极限,得21a b +≤, 在2cos 1a b x +≤中,令x π→,取极限得21a b -+≤,当a ,b 同号时,221a b a b +=+≤,当a ,b 异号时,221a b a b +=-≤. 充分性设21a b +≤,因为2cos 21a b x a b +≤+≤, 两边同时乘以sin x , 所以sin sin2sin a x b x x +≤.。

全国大学生数学竞赛大纲(非数学专业组)

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(初稿)为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。

一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。

“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。

二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。

（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7. 欧拉(Euler )方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。

微积分考试大纲

附件3《微积分》考试大纲第一部分：总要求考生应按本大纲的要求，了解或理解“微积分”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。

应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

第二部分：考试内容一、函数、极限和连续函数的概念，复合函数的概念；基本初等函数的性质与图形，极限的基本性质，极限的存在准则（单调有界数列必有极限以及夹逼定理），两个重要极限，函数极限与数列极限的关系，无穷小与无穷大概念，极限存在与无穷小的关系；函数在一点连续的概念，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最值性与介值性）。

二、一元函数微分学导数的概念及其几何、物理意义，导数的四则运算法则，基本初等函数的导数公式，复合函数的求导法，隐函数以及由参数方程所确定的函数的求导法，高阶导数的概念：罗尔(Rolle )定理，拉格朗日（Lagrange）定理，洛必达（L'Hospital）法则，五个基本的麦克劳林（Maclaurin）公式，函数单调性与曲线的凹凸性，函数极值的概念和求法，函数的最大值与最小值的求法。

三、一元函数积分学原函数与不定积分的概念及其几何意义，不定积分的基本性质与运算法则。

基本积分公式表，不定积分的换元法与分部积分法；定积分的概念及其几何意义，定积分的基本性质，变上限的积分及其求导，原函数存在定理，牛顿——莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，定积分的换元法与分部积分法；定积分的应用（计算平面图形面积、立体体积、变力沿直线所作的功等）；广义积分（无穷区间广义积分）。

四、多元函数微积分二元函数及多元函数概念，有界闭区域上二元连续函数的性质（最大值与最小值定理，介值定理）；偏导函数的概念及其几何意义，高阶偏导函数的概念，混合偏导数与求导次序无关的定理，复合函数的求导法，隐函数的求导法，多元函数的极值，函数的最大值与最小值，条件极值的概念与拉格朗日乘数法；二重积分的概念、二重积分的性质，二重积分的计算法（在直角坐标系与极坐标系下），重积分的应用（立体体积、物体的质量等）。

省大学生数学竞赛(微积分)大纲

知识不仅是指课本的内容,还包括社会经验、文明文化、时代精神等整体要素,才有竞争力,知识是新时代的资本,五六十年代人靠勤劳可以成事；今天的香港要抢知识,要以知识取胜
浙江省大学生数学竞赛（微积分）大纲
浙江省大学生数学竞赛微积分组
主要面向全省各高校非数学系专业的在读本科和专科大学生
内容涉及到大学本科(专科)《微积分》或《高等数学》课程所涵盖的各知识点
以单变量内容为主
具体内容如下：
一．函数极限和连续性
考察考生对函数、极限概念的理解和掌握
函数极限的讨论和计算
函数的连续性
闭区间上连续函数的性质（有界性、应用这些性质
二．导数及其应用
函数可导性的研究
微分中值定理及其应用
利用导数研究函数的性质
专科和文科类考生只考第一至第三部分（功、压力、引力不要求）
2. 主要参考书：《高等数学竞赛教程》（浙江大学出版社出版）《微积分》与《高等数学》教材
（单调性
凹凸性等）以及导数的应用（极值、最大值和最小值等）
三．积分
不定积分和定积分的计算
定积分的应用（面积、体积、引力、功、压力）和广义积分
四．级数
级数的收敛性及其判别定理
几类特殊的级数的敛散性
如正项级数、一般级数等
幂级数的求和、函数的Taylor级数展开和Fourier级数展开等
五．多元微积分
矢量及其运算和空间解析几何
多元函数的微分及其性质和应用
二重积分、三重积分、第一、二类曲线与曲面积分的计算
三个重要公式：Green公式、Gauss公式和Stokes公式以及曲线积分与路径无关性的应用和计算
注：

《微积分》学习大纲

《微积分》学习大纲一、本课程所学主要内容、各内容之间的相互联系本课程包含了一元函数及多元函数微分学和积分学、微分方程和差分方程、无穷级数四部分，它们是几乎所有专业必学内容。

各部分之间的相互联系如下：第一部分，一元函数微积分，主要包括一元函数微分学和积分学两部分。

其中最为重要的是极限与连续、导数与微分、不定积分与定积分等概念和计算方法，还有它们的一些应用。

一元函数微积分是高等数学的基础部分和重要支柱。

第二部分，多元函数微积分，主要包括二元函数微分学和重积分两部分。

其中最为重要的是偏导数、全微分及二重积分的概念和计算方法，还有它们的一些应用。

多元函数微积分是在第一部分基础上的拓展，其应用范围更为广泛。

第三部分，微分方程和差分方程，主要介绍微分方程和差分方程以它们的应用，其中最为重要的是一阶、二阶微分方程的求解方法，还有它们的一些应用。

微分方程的基础是一元函数微积分。

第四部分，无穷级数，是利用极限理论以及微积分等知识将“有限个常数求和”的问题拓展为“无穷多个常数求和或无穷多个函数求和”，即常数项级数和函数项级数。

从“有限”到“无限”其实就是量变引起质变的一个过程，这一点在第一部分极限和定积分中已经有所体现。

请读者在学习中仔细体会。

需要特别说明的是，极限是贯穿于微积分始终的一个最基本的概念，同时也是应用最为广泛、最重要的工具。

许多概念都是利用极限定义的，比如，连续、导数和偏导数、定积分和重积分、级数收敛和发散等等。

因此，可以说极限是整个高等数学这座高楼大厦的根基。

二、各部分学习要求第一部分一元函数微积分（第一~ 六章）通过一元函数微积分的学习，读者应该：1．正确理解以下概念并了解它们之间的联系：●函数—反函数—复合函数—初等函数●数列极限—函数极限●无穷小—无穷大—无穷小的比较●连续—间断（点）—可导—可微●原函数—不定积分—定积分—广义积分2．牢固掌握并能熟练使用以下公式：●导数基本公式●微分基本公式●积分基本公式●牛顿—莱布尼滋公式3．熟练掌握以下法则和方法：●求极限的各种法则和方法●求导数的各种法则和方法●求微分的各种法则和方法●求积分的各种法则和方法4．能够利用所学知识解决以下实际问题：●求平面曲线上某点处的切线方程和法线方程●求变速直线运动的瞬时速度与加速度●求物体转动的角速度●求电流强度和线密度●经济中边际分析与弹性分析●函数单调性、凹凸性的判断●求函数的极值与最值●求函数增量或某点附近函数值的近似值●求平面图形的面积、平面曲线段的弧长●连续函数的平均值●求旋转体或已知截面表达式的立体体积●求变力沿直线作功●求液体的侧压力●求非均匀细杆的质量5．能够利用所学知识，进行有关的讨论或证明：●方程根的讨论或证明●某些等式或不等式的证明第二部分多元函数微积分（第七~ 九章）通过多元函数微积分的学习，读者应该：1．正确理解以下概念并了解它们之间的联系：●多元函数—二重极限—连续—间断（点或线）●偏导数—全微分●二重积分2．熟练掌握以下方法：●求偏导数的各种方法●求全微分的各种方法●求二重积分的各种方法3．能够利用所学知识解决以下实际问题：●求空间曲线上某点处的切线方程和法平面方程●求空间曲面上某点处的切平面方程和法线方程●经济中偏边际分析与偏弹性分析●求二元函数的极值与最值●求二元函数全增量的近似值●求立体的体积●求非均匀平面薄板的质量第三部分微分方程与差分方程（财大版第十三章；高教版第十章）通过微分方程与差分方程的学习，读者应该：1．正确理解以下概念并了解它们之间的联系：●微分方程—微分方程的阶—微分方程的解、通解、特解●差分方程—差分方程的阶—差分方程的解、通解、特解2．熟练掌握以下方法：●求各种一阶微分方程的通解和特解（主要包括可分离变量、齐次、一阶线性、贝努利微分方程）的方法；●求高阶微分方程的通解和特解（主要包括可降阶、二阶常系数线性微分方程）的方法；●一阶常系数线性差分方程的求解方法。

2008年浙江省大学生高等数学竞赛相关规则条例

2008年浙江省大学生高等数学竞赛相关规则条例一、竞赛时间竞赛时间：2008年12月6日上午8：30－11：30二、竞赛地点竞赛地点：由参赛学校落实。

三、竞赛项目类别本次竞赛分为数学、文科与专科、经管、工科四大类四、竞赛内容数学专业组的赛题主要依据专业教材《数学分析》（复旦大学数学系或华东师大数学系编）。

其他专业的赛题主要依据教材《高等数学》或者《微积分》。

五、竞赛形式、规则和纪律1. 浙江省高等数学教育研究会统一竞赛题目，考试总分150分，闭卷考试方式。

2. 以大学生所在的学校为单位参赛，专业不限，报名费20元。

仅限本、专科学生。

3. 参赛学生应在考试规定时间内完成答卷，并准时交卷。

4. 对违反竞赛规则的参赛学生，一经发现，取消参赛资格，成绩无效，并进行通报批评。

六、评奖办法由竞赛委员会评选出一等奖5％、二等奖15％和优秀奖30％。

对成绩特别优秀的考生，授予特等奖。

对获奖学生均颁发获奖证书和奖金。

浙江省高校高等数学教学研究会2008年9月20日浙江省大学生数学竞赛（微积分）大纲浙江省大学生数学竞赛微积分组，主要面向全省各高校非数学系专业的在读本科和专科大学生。

内容涉及到大学本科（专科）《微积分》或《高等数学》课程所涵盖的各知识点，以单变量内容为主，具体内容如下：一、函数极限和连续性考察考生对函数、极限概念的理解和掌握，函数极限的讨论和计算，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理），并会应用这些性质。

二、导数及其应用函数可导性的研究，微分中值定理及其应用，利用导数研究函数的性质（单调性，凹凸性等）以及导数的应用（极值、最大值和最小值等）。

三、积分不定积分和定积分的计算，定积分的应用（面积、体积、引力、功、压力）和广义积分。

四、级数级数的收敛性及其判别定理，积累特殊的级数的敛散性，如正项级数、一般级数等，收敛级数的性质，幂级数的求和、函数的Taylor级数展开和Fourier 级数展开等。

全国大学生数学竞赛大纲(数学专业组)

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组)为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。

一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。

“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。

二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。

（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广.3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)nn e n →∞+=及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞=+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital ）法则、近似计算.四、多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法.五、一元函数积分学1. 原函数与不定积分、换元法、分部积分法）、有理函数积分：(cos ,sin )R x x dx ⎰型，()R x dx ⎰型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：i i x ωε∆<∑）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L 公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy 收敛准则、绝对收敛与条件收敛、()f x 非负时()a f x dx +∞⎰的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel 判别法、Dirichlet 判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green 公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke 公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy 准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz 判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel 判别法、Dirichlet 判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy 准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.4.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2 及2l周期函数的Fourier级数展开、Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分一、多项式1.数域与一元多项式的概念2.多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3.互素、不可约多项式、重因式与重根.4.多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6.本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7.多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、行列式1.n级行列式的定义.2.n级行列式的性质.3.行列式的计算.4.行列式按一行（列）展开.5.拉普拉斯(Laplace)展开定理.6.克拉默(Cramer)法则.三、线性方程组1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型1.双线性函数、对偶空间2.二次型及其矩阵表示.3.二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4.复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1.线性空间的定义与简单性质.2.维数，基与坐标.3.基变换与坐标变换.4.线性子空间.5.子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1.线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2.特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4.线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形λ矩阵.1.-2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.九、欧氏空间1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2.标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3.欧氏空间的同构.4.正交变换、子空间的正交补.5.对称变换、实对称矩阵的标准形.6.主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7.酉空间.Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.。