概率论期末考试试题北京大学数学科学学院
概率论期末试题及答案
概率论期末试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A的概率为P(A)，则其对立事件的概率为：A. P(A) + 1B. 1 - P(A)C. P(A) - 1D. P(A) / 22. 某校有男女生比例为3:2，随机抽取1名学生，该学生是男生的概率为：A. 1/5B. 3/5C. 2/5D. 5/73. 抛一枚均匀硬币两次，至少出现一次正面的概率是：A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 5/84. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=15，p=0.4，则P(X=7)是：A. C^7_15 * 0.4^7 * 0.6^8B. C^7_15 * 0.6^7 * 0.4^8C. C^7_15 * 0.4^15D. C^8_15 * 0.4^7 * 0.6^85. 若随机变量Y服从泊松分布，λ=2，则P(Y=1)是：A. e^(-2) * 2B. e^(-2) * 2^2C. e^(-2) * 2^1D. e^(-2) * 2^06. 设随机变量Z服从标准正态分布，则P(Z ≤ 0)是：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.337. 若两个事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∩B)是：A. 0.42B. 0.35C. 0.6D. 0.78. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)是：A. 2B. 4C. 0D. 19. 设随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)=-2，则X和Y：A. 正相关B. 负相关C. 独立D. 不相关10. 若随机变量X服从指数分布，λ=0.5，则P(X > 1)是：A. e^(-0.5)B. e^(-1)C. 1 - e^(-0.5)D. 2 - e^(-1)二、填空题（每题3分，共30分）11. 若随机变量X服从参数为θ的概率分布，且P(X=θ)=0.3，P(X=2θ)=0.4，则P(X=3θ)=________。
概率论期末复习题库答案
概率论期末复习题库答案一、选择题1. 某随机事件的概率为0.6，那么它的对立事件的概率为：A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 无法确定答案：A2. 假设事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.2，那么P(A∪B)等于：A. 0.5B. 0.4C. 0.3D. 0.2答案：B3. 如果一个骰子连续投掷两次，求至少出现一次6的概率：A. 1/6B. 5/6C. 2/3D. 1/3答案：B二、填空题1. 随机变量X服从标准正态分布，那么P(X ≤ 0) = _______。
答案：0.52. 如果随机变量X的期望值为2，方差为4，那么P(X = 4) =_______。
答案：无法直接给出，需要更多信息3. 事件A发生的概率为0.3，事件B发生的概率为0.4，且P(A∩B) = 0.1，那么事件A和B是________。
答案：既不互斥也不独立三、简答题1. 什么是条件概率？请给出条件概率的公式。
答案：条件概率是指在已知一个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的公式为：\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]其中，\( P(A|B) \) 是在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，\( P(A \cap B) \) 是事件A和事件B同时发生的概率，\( P(B) \) 是事件B发生的概率。
2. 什么是大数定律？请简要说明其含义。
答案：大数定律是概率论中的一个基本概念，它描述了随机事件在大量重复试验中表现出的稳定性。
具体来说，大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件的相对频率会越来越接近其真实概率。
四、计算题1. 假设有一个装有红球和蓝球的袋子，其中红球有5个，蓝球有3个。
如果从袋子中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
答案：抽到红球的概率 \( P(\text{红球}) \) 可以通过以下公式计算：\[ P(\text{红球}) = \frac{\text{红球的数量}}{\text{总球数}} = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8} \]2. 假设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求X=2的概率。
概率论期末考试试题 - 北京大学数学科学学院
《概率论》期末考试试题1. 一本书共有1,000,000个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为0.0001, 校对时每个排版错误被改正的概率为0.9, 求在校对后错误不多于15个的概率.2. 某赌庄有资产100,000元. 另有一赌徒拥有无穷大的赌资, 试图使该赌庄破产. 他每次压注1000元, 每次赢钱的概率为0.49而输钱的概率为0.51. 问该赌徒能使赌庄破产的概率为多大?3. 考虑[0,∞]上的Poisson过程, 参数为λ. T是与该Poisson过程独立的随机变量,服从参数为μ的指数分布. 以表示[0,T]中Poisson过程的增量, 求的概率分布.4. 设ξ1ξ2……ξn是独立同分布随机变量, 且三阶中心矩等于零,四阶矩存在，求和的相关系数.5. 设X是连续型随机变量,密度函数f X(x)= (1/2)exp(-|x|), -∞<x < ∞.a. 证明特征函数φX(t) = 1/(1+t2).b. 利用上述结果和逆转公式来证明6. 设随机变量序列ξn依概率收敛于非零常数a, 而且ξn≠0. 证明1/ξn依概率收敛于1/a.7. 假设X与Y是连续型随机变量.记Var[Y|X=x]为给定X=x的条件下Y的方差. 如果E[Y|X=x]=μ与X无关, 证明EY=μ而且VarY=.8. 设{ξn}为独立随机变量序列, 且ξn服从( -n, n)上的均匀分布, 证明对{ξn}中心极限定理成立.9. 设X,Y和Z的数学期望均为0, 方差均为1. 设X与Y的相关系数为ρ1, Y与Z的相关系数为ρ2, X与Z的相关系数为ρ3. 证明.10. 用概率方法证明如下Weierstrass定理:对区间[0,1]上任何连续函数f(x), 必存在多项式序列{b n(x)}, 使在区间[0,1]上一致地有b n(x) →f(x).附: 常用正态分布函数值: Φ(1.28)= 0.9, Φ(2)= 0.977, Φ(2.33)= 0.99,Φ(2.58)= 0.995Φ(1.64)= 0.95, Φ(1.96)= 0.975,。
概率论期末考试题及答案
概率论期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个事件是必然事件？A. 抛硬币正面朝上B. 抛硬币反面朝上C. 抛硬币出现正面或反面D. 抛硬币出现正面和反面2. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，以下哪个选项是正确的？A. μ是X的期望值B. σ²是X的方差C. μ是X的中位数D. σ²是X的期望值3. 假设随机变量X和Y相互独立，以下哪个选项是正确的？A. P(X∩Y) = P(X)P(Y)B. P(X∪Y) = P(X) + P(Y)C. P(X∩Y) = P(X) + P(Y)D. P(X∪Y) = P(X)P(Y)4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，以下哪个选项是正确的？A. X的期望值是npB. X的方差是np(1-p)C. X的期望值是nD. X的方差是p(1-p)二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果随机变量X服从泊松分布，其概率质量函数为P(X=k) =________，其中λ > 0，k = 0, 1, 2, ...2. 假设随机变量X服从均匀分布U(a, b)，其概率密度函数为f(x) = ________，其中a < x < b。
3. 假设随机变量X和Y相互独立，且X服从正态分布N(μ, σ²)，Y 服从正态分布N(ν, τ²)，则Z = X + Y服从正态分布N(μ+ν,________)。
4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其期望值E(X) = np，方差Var(X) = ________。
三、解答题（每题30分，共40分）1. 假设随机变量X服从正态分布N(0, 1)，求P(-1 < X < 2)。
2. 假设随机变量X服从二项分布B(10, 0.3)，求P(X ≥ 5)。
答案：一、选择题1. C2. A3. A4. A二、填空题1. λ^k * e^(-λ) / k!2. 1/(b-a)3. σ² + τ²4. np(1-p)三、解答题1. 根据标准正态分布表，P(-1 < X < 2) = Φ(2) - Φ(-1) =0.9772 - 0.1587 = 0.8185。
北京大学数学期末考试卷
北京大学数学期末考试卷一、选择题（本题共10分，每小题1分）1. 以下哪个数是实数？A. iB. πC. eD. √(-1)2. 直线方程 y = 2x + 3 与 x 轴的交点坐标是：A. (1, 5)B. (-3, 0)C. (0, 3)D. (3, 0)3. 以下哪个不是二次方程？A. x^2 + 2x + 1 = 0B. y^2 - 4 = 0C. z^3 - 2z^2 + z - 2 = 0D. 2x^2 - 3x + 1 = 04. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)5. 以下哪个极限不存在？A. lim (x→0) (sin(x)/x)B. lim (x→0) (1 - cos(x))/x^2C. lim (x→∞) (1/x)D. lim (x→∞) (e^x - x)二、填空题（本题共20分，每空2分）6. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 5 的顶点坐标为 (1, a)，则 a 的值为______。
7. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解为 y = ______。
8. 圆心在原点，半径为 2 的圆的方程为 ______。
9. 若一个向量 a = (1, 2)，向量 b = (3, 4)，则向量 a 与 b 的点积为 ______。
10. 函数 f(x) = ln(x) 的反函数是 ______。
三、计算题（本题共30分，每题6分）11. 计算定积分∫[1, e] (x^2 - 3x + 2) dx。
12. 解微分方程 y' + 2y = e^x，初始条件 y(0) = 1。
13. 证明：若函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，且 f'(x) > 0，则函数 f(x) 在 (a, b) 内严格递增。
概率论期末试题及解析答案
概率论期末试题及解析答案1. 简答题（每题10分）1.1 什么是概率？概率是描述随机事件发生可能性的数值。
它可以用来衡量某一事件在多次重复试验中出现的频率。
1.2 什么是样本空间？样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
1.3 什么是事件？事件是样本空间中包含的一组可能结果的子集。
1.4 什么是互斥事件？互斥事件是指两个事件不能同时发生。
1.5 什么是独立事件？独立事件是指两个事件的发生与不发生互不影响。
2. 计算题（每题20分）2.1 设一枚硬币抛掷3次，计算至少出现两次正面的概率。
解析：样本空间：{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}至少出现两次正面的事件：{HHH, HHT, HTH, THH}概率 = 事件发生的次数 / 样本空间的次数 = 4 / 8 = 1/22.2 设A、B两个事件相互独立，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，计算P(A∪B)。
解析：由于A、B事件相互独立，所以P(A∩B) = P(A) * P(B) = 0.4 * 0.6 = 0.24P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.4 + 0.6 - 0.24 = 0.763. 应用题（每题30分）3.1 甲乙两个备胎分别拥有10个和15个备用轮胎，轮胎坏掉时甲用2个备用轮胎的概率为0.2，乙用3个备用轮胎的概率为0.15。
现在从甲、乙两个备胎中随机挑选一个备用轮胎，请计算此备用轮胎坏掉的概率。
解析：设事件A为甲备胎的备用轮胎坏掉，事件B为乙备胎的备用轮胎坏掉。
P(A) = 0.2 * 10 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.2 * 10 / (2 + 2.25) ≈ 0.6667 P(B) = 0.15 * 15 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.15 * 15 / (2 + 2.25) ≈0.3333由于只能选择甲或乙中的一个备用轮胎，所以备用轮胎坏掉的概率为P(A) + P(B) ≈ 13.2 水果篮子中有5个橙子、3个苹果和2个香蕉，现从篮子中随机挑选两个水果，请计算挑选出的两个水果中至少有一个是橙子的概率。
2020-2021大学《概率论》期末课程考试试卷A1(含答案)
2020-2021大学《概率论》期末课程考试试卷A1适用专业：考试日期：考试时间：120分钟考试方式：闭卷总分100分一、填空题. （每空2分，共22分）1、设为三个事件，用它们表示下列事件（1）发生而不发生可表示为（2）三个事件中至少有一个发生可表示为（3）三个事件中最多有两个发生可表示为2、，则3、设X与Y的联合分布律为YX 1 2 31 1/6 1/9 1/182 1/3 a b若x与y相互独立，则a= ,b=4、设随机变量服从参数为0.5的指数分布，则；5、若服从A上的均匀分布，A由X轴，Y轴及直线所围，则6、设随机变量则7、设每次射击中靶的概率是0.7，某人射击10次，最可能命中炮二、选择题（7小题，每小题2分，共14分）1、袋子中有3个白球，1个黑球，从中不放回的取球，则第3次取到黑球的概率为（）A、B、C、D、2、P（A）=0.5 , P(B)=0.6 , P(B/A)=0.8 则P（A∪B）的值是（）A、0.6B、0.7C、0.8D、0.93、若X则的密度函数为（）A、B、C、D、4、若X~B（n , p ）且Ex=8 ,Dx=4.8 , 则n= ( )A、10B、15C、20D、255、若x的数学期望Ex存在，则E[E(Ex)]= ( )A、ExB、xC、0D、6、下列函数是某随机变量的分布函数的是（）A、B、C、D、7、设二维随机变量的概率密度函数为，则常数C（）A、0.25B、0.5C、2D、4三、解答题（第1，5题12分，2，3，4，6，7每题8分）1、设随机变量的分布列为：已知，试求（1），，（2）（3） X的分布函数X -1 0 1P2、x 的分布函数为求x 的概率密度及P（x<2）,P(0<x≤3).3、的密度函数为求4、若,求的密度函数5、设随机变量X 的概率密度函数为，试求：（1）常数C （2）6、设等可能在区间上取值，求方程有实根的概率7、设联合概率密度函数为，求的分布函数及密度函数2020-2021大学《概率论》期末课程考试试卷A1答案适用专业： 考试日期：考试时间：120分钟 考试方式：闭卷 总分100分一、填空题. （每空2分，共22分）1 （1）C AB （2）（3）2 0.33、a= 2/9 ,b= 1/94、， 5 165、6、0.57、7二、选择题（5小题，每小题3分，共15分）1、 C2、 B3、 C4、 C5、A6、 D7、 A三、解答题 1 解： 1）++=1 -+ =0.1+=0.9 解得 (6)分2）， ……9分3） ………12分2 解：………………4分……………………………8分3 解：…4分…8分4 解：…………2分………4分对求导………8分5解 ⑴，得到（6分）（2）………(8分) ，所以（12分）-----------------------------------------------------装-------------------------------------------订-----------------------------------------线-----------------------------------------院系 专业班级 姓名 学号6.解：方程有实根等价于，得 (4)又服从上的均匀分布，故所求概率为7.解：………….6分所以……………..8分。
概率论期末考试题及答案
概率论期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 随机变量X服从标准正态分布，则P(-1 < X < 1)的值是（）。
A. 0.6827B. 0.9545C. 0.9772D. 0.5000答案：B2. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么E(X)等于（）。
A. λB. λ^2C. 1/λD. 1答案：A3. 两个相互独立的随机事件A和B，P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A∪B)等于（）。
A. 0.2B. 0.5C. 0.8D. 0.6答案：D4. 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则X的方差Var(X)等于（）。
A. npB. np(1-p)C. n(1-p)D. p(1-p)答案：B5. 随机变量X服从均匀分布U(a,b)，则其概率密度函数f(x)为（）。
A. 1/(b-a), a≤x≤bB. 1/(b-a), x≤a 或x≥bC. 1/(b-a), x<a 或 x>bD. 1/(b-a), x<b答案：A6. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则X的期望E(X)等于（）。
A. σB. μC. 0D. 1答案：B7. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则X的均值μ和方差σ^2的关系是（）。
A. μ = σ^2B. μ^2 = σ^2C. μ = 0D. μ ≠ σ^2答案：D8. 随机变量X服从二项分布B(n,p)，当n趋于无穷大时，X的分布趋近于（）。
A. 泊松分布B. 正态分布C. 均匀分布D. 指数分布答案：B9. 设随机变量X服从指数分布，其概率密度函数为f(x) = λe^(-λx) (x≥0)，则其均值E(X)等于（）。
A. λB. 1/λC. 0D. 1答案：B10. 随机变量X和Y相互独立，且X和Y都服从标准正态分布N(0,1)，则Z=X+Y服从（）。
A. N(0,2)B. N(0,1)C. N(2,1)D. N(1,2)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 设随机变量X服从二项分布B(10,0.5)，则P(X=5) = _______。
北京大学任艳霞概率2013春期末考试题
2013春季学期《概率论》期末考题出题人：任艳霞 教授1.(1)X 是取非负整数的随机变量，且EX <∞证明：1()i EX P X i ∞==≥∑(2)X 与Y 相互独立，都是取非负整数的随机变量，且()E X Y +<∞证明：{}0(max ,)[1()()]i E X Y P X i P Y i ∞==−≤≤∑2.X 与Y 有联合概率密度分布函数如下：1(,),0,x y y f x y e e x y y−−=<<∞ (1)计算Y=y 的条件下X 的条件概率密度(2)求(1|),(0,)P X Y y y >=∈∞3.X 1与X 2是相互独立的随机变量，且均满足标准正态分布。
令1212X X Y +=，2122()4X X Y −= (1)Y 1与Y 2是否独立？为什么？(2)求Y 1，Y 2的联合密度函数。
4.汽车的保险索赔额是随机变量，服从指数分布。
在有了扣除额d(即d 以下不赔付，d 以上则减去d)之后赔付款的期望减少了10%，问方差减少了百分之多少？5.随机变量X 1，……，X n 相互独立，且均服从泊松分布。
证明：X 1+……+X n 服从泊松分布。
6.n 次重复独立试验，结果为1,2，……，k ，概率分别为p 1，……，p k ，且11k i i p ==∑ 令N i 表示出现i 的次数，对i ≠j ，求(|0)j i E N N >7. X i (i=1,2,….12)是独立同分布的随机变量，且服从(0,1)间的均匀分布。
求121(6)i P X>∑的近似值。
8.随机变量X n ，互相独立。
且X 2n 服从参数为λ的泊松分布，X 2n+1服从B(3,p)。
1n n j j S X ==∑，求常数列Cn ，σn 使得222n n n S c σ−依分布收敛到标准正态分布。
9.随机变量Un ，Vn ，n ≥1，且Un 依概率收敛到常数c ，Vn 依概率收敛到常数d 。
概率论期末试卷(含答案)
概率论期末试卷一、填空题1. 设 A , B 是两个事件，且 P (A ) = P (B ) = 0.4, P (A|B̅) = 0.5 ，则 P (B − A ) + P (A − B ) = 。
2. 设随机变量 X ~ B (1, 0.5) ，Y ~ E (1) ，且 X ,Y 相互独立， Z = X +Y ,则 P {Z > 0} = 。
3. 设随机变量 X 和Y 独立同分布, P {X =k }=k+13,k =0.1 则P {X = Y }= 。
4. 设随机变量 X ~ N (1, 4) ，则 E [(X + 3)2]= 。
5. 设随机变量 X ~ P (5) ，由切比雪夫不等式得 P {1 < X < 9} ≥ 。
二、选择题1. 设(X 1,X 2,X 3)是取自总体 X ~ E (1θ)的简单随机样本，以下θ 的点估计中，方差最小的无偏估计是（ ）A.12X 1+ 13X 2+ 16X 3 A.15X 1+ 25X 2+ 25X 3 A.12X 1+ 12X 2+ 14X 3A.12X 1+ 14X 2+ 14X 32.设随机变量 X 的分布律为P {X =i }=k2i ,i =1,2,…，则X 取奇数的概率为（ ）A.23B.34C.12D.143.设随机变量 X 和Y 相互独立，下列结论错误的是（ ）A.若 X ~ B (1, p ),Y ~ B (1,q ) ，则 X +Y ~ B (1, p + q )B.若 X ~ P (λ1),Y ~ P (λ2) ，则 X +Y ~ P (λ1+λ2)C.若 X ~ N (μ1,σ12),Y ~ N (μ2,σ22) ，则 X +Y ~ N (μ1+μ2,σ12+σ22)D.若 X ~ χ 2(m ),Y ~ χ 2(n ) ，则 X +Y ~ χ 2(m + n )4.设 (X 1,X 2,…,X n ) 为来自正态总体 N (μ,σ2) 的简单随机样本.如果μ已知，则σ2的置信度为1−α的置信区间为（ ）A.((n−1)S 2χα22(n),(n−1)S 2χ1−α22(n)) B.((n−1)S 2χα22(n−1),(n−1)S 2χ1−α22(n−1))C.(∑(X i −μ)2n i=1χα22(n),∑(X i−μ)2n i=1χ1−α22(n))D.(∑(X i −μ)2n i=1χα22(n−1),∑(X i−μ)2n i=1χ1−α22(n−1))5. 在假设检验中，下列说法正确的是（ ）.A.一定会犯第一类错误B.一定会犯第二类错误C.可能同时犯两类错误D.不可能同时犯两类错误三、设有两个盒子内装有同型号的电子元件.已知甲盒中有 5 个正品和 3 个次品；乙盒中有 4 个正品和 3 个次品.现从甲盒中任取 3 个元件放入乙盒中，然后再从乙盒中任取一个元件.（1）求从乙盒中所取出的一个元件是正品的概率；（2）已知从乙盒中所取出的元件是正品，求最先从甲盒中取出的 3 个元件都是正品的概率。
概率论期末考试题及答案
概率论期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪个事件是必然事件？A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，反面朝上C. 抛一枚硬币，正面或反面朝上D. 抛一枚硬币，硬币立起来答案：C2. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则以下哪个选项是正确的？A. μ是X的中位数B. μ是X的众数C. μ是X的期望值D. μ是X的方差答案：C3. 假设随机变量X和Y独立，以下哪个选项是正确的？A. P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)B. P(X=x, Y=y) = P(X=x) + P(Y=y)C. P(X=x, Y=y) = P(X=x) - P(Y=y)D. P(X=x, Y=y) = P(X=x) / P(Y=y)答案：A4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，以下哪个选项是正确的？A. E(X) = npB. E(X) = n/2C. Var(X) = np(1-p)D. Var(X) = np答案：A5. 假设随机变量X服从泊松分布P(λ)，以下哪个选项是正确的？A. E(X) = λB. E(X) = λ^2C. Var(X) = λ^2D. Var(X) = λ答案：A二、填空题（每题5分，共20分）6. 如果随机变量X服从均匀分布U(a, b)，则其概率密度函数为：f(x) = ________，其中x∈(a, b)。
答案：1/(b-a)7. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其标准正态分布的累积分布函数记为Φ(z)，则P(X ≤ x) = Φ((x - μ) / σ)。
答案：Φ((x - μ) / σ)8. 假设随机变量X服从指数分布Exp(λ)，其概率密度函数为：f(x) = ________，其中x≥0。
答案：λe^(-λx)9. 假设随机变量X服从几何分布Geo(p)，其概率质量函数为：P(X = k) = ________，其中k = 1, 2, 3, ...答案：(1-p)^(k-1)p三、计算题（每题15分，共30分）10. 假设随机变量X服从正态分布N(0, 1)，求P(-1 ≤ X ≤ 1)。
《概率论》期末考试试题及答案
07级《概率论》期末考试试题B 卷及答案一、 填空题（满分15分）：1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）“第一卷出现在旁边”的概率为 52 。
52!5!422=⨯=p 2.设,)(,)(,)(r AB P q B P p A P ===则=)(B A P r p - 。
性质 r p AB P A P AB A P B A P B A P -=-=-=-=)()()][)()(3.设随机变量ξ的密度函数为() 003，其它⎩⎨⎧>=-x ce x xϕ则c= 3 . 33)(130=⇒===-+∞+∞∞-⎰⎰c c dx e c dx x x ϕ 4. 设ξ、η为随机变量，且D （ξ＋η）＝7，D （ξ）＝4，D （η）＝1， 则Cov(ξ,η)= 1 .121472)(),cov(),cov(2)(=--=--+=++=+ηξηξηξηξηξηξD D D D D D 5.设随机变量ξ服从两点分布)1,1(B ，其分布律为则ξ的特征函数为=)(t f ξit e 3132+。
二、 单项选择题（满分15分）：1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件恰好一个发生”为( ②. ).① C B A ⋃⋃. ② C B A C B A C B A ++③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++2.设随机变量ξ的分布函数为000)(22<≥⎪⎩⎪⎨⎧+=-x x BAe x F x则其中常数为（① ）。
①A=-1,B=1 ②A=1,B=-1 ③ A=1,B=1 ④ A=-1,B =-1BA B e A x F B B e A x F x x x x x x +=+===+==-→→-+∞→+∞→++200222lim )(lim 0lim )(lim 1解得1,1=-=B A3设随机变量ξ的分布列为.,2,1,21)2)1(( ==-=k k P k k kξ则ξE （ ④ ） ①等于1. ② 等于2ln③等于2ln - ④ 不存在445111=⇒==∑∞=C C C i i ∑∑+∞=+∞=+=⋅-11114545)1(i i i i i i i ，由调和级数是发散的知，EX 不存在 4.对于任意两个随机变量ξ与η，下面（④ ）说法与0),cov(=ηξ不等价。
概率论期末试题(带答案)
草纸：
试卷纸
共4页
第1页
试题要求：1、试题后标注本题得分；2、试卷应附有评卷用标准答案，并有每题每步得分标准；3、试卷必须装订，拆散无效；4、试卷必须
用碳素笔楷书，以便誉印；5、考试前到指定地点领取试卷。
学号：
姓名：
班级：
..........................................................密.......................................................封..........................................................线..........................................................
..
27
解
19
8
设每次试验成功的概率为 p, 由题意知至少成功一次的概率是 ，那么一次都没有成功的概率是
. 即 (1 − p)3 =
8
,故
p=1.
27
27
27
3
4. 设随机变量 X, Y 的相关系数为 0.5 , E(X ) = E(Y ) = 0, E= (X 2) E= (Y 2) 2 , 则 E[( X + Y )2 ] =(空 4)
8. 设 zα , χα2 (n), tα (n) , Fα (n1, n2 ) 分别是标准正态分布 N(0,1)、χ 2 (n)分布、t 分布和 F 分布的上α 分位点, 在
下列结论中错误的是(
).
(A) zα = −z1−α .
(B)
χ
2 α
(n)=-
χ2 1−α
(word版)概率论期末考试复习题及答案
第一章1.设P 〔A〕=1，P〔A∪B〕=1，且A与B互不相容，那么P〔B〕=____1_______.3262.设P〔A〕=1，P〔A∪B〕=1，且A与B相互独立，那么P〔B〕=______1_____.324 3．设事件 A与B互不相容，P〔A〕，P〔B〕，那么P〔A B〕=___0.5_____.4．P〔A〕=1/2，P〔B〕=1/3，且A，B相互独立，那么P〔AB〕=________1/3________.A与B相互独立5．设P〔A〕，P〔AB〕，那么P〔B|A〕=___0.2________.6．设A，B为随机事件，且，，，那么P(A|B)=__________．7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，那么这两只恰为一红一黑的概率是________________．8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同颜色的球，假设连取两次，那么第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____.9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，那么第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____.10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：〔1〕从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率；3.5%〔2〕该件次品是由甲车间生产的概率.1835第二章1.设随机变量X~N〔2，22〕，那么P{X≤0}=___0.1587____.〔附：Φ〔1〕〕设随机变量X~N〔2，22〕，那么P{X≤0}=〔P{(X-2)/2≤-1}=Φ〔-1〕=1-Φ〔1〕1 e3x, x0;2.设连续型随机变量X的分布函数为F(x)0,x0,那么当x>0时，X的概率密度f(x)=___3e3x_____.3．设随机变量X的分布函数为F〔x〕=a e2x,x 0;那么常数a=____1____.0,x0,4．设随机变量X~N〔1，4〕，标准正态分布函数值Φ〔1〕，为使，那么常数a<___3_________.5．抛一枚均匀硬币5次，记正面向上的次数为31X，那么P{X≥1}=____________.32表示4次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为，那么X~_B(4,0.5)____7.设随机变量X服从区间[0，5]上的均匀分布，那么PX 3=____0.6_______.X-11 2 8.随机量X 的分布律3 1 ，且Y=X 2，随机1 7 P816168量Y 的分布函数 F Y 〔y 〕，F Y 〔3〕=_____9/16____________. 9.随机量 X 的分布律 P{X=k}=a/N ， k=1，2，⋯，N ， 确定常数 a.110.随机量 X 的密度函数f(x)=Ae|x|∞<x<+ ∞,,求：〔1〕A ；〔2〕P{0<X<1};(3) F(x).111 1e xx 0)F(x)22(1-e12xx 0e211.随机量X 分布函数F 〔x 〕=ABe xt ,x0,(0),0,x 0.1〕求常数A ，B ；2〕求P{X ≤2}，P{X ＞3}；3〕求分布密度f 〔x 〕.A=1 B=-1P{X ≤2}=1e2P{X ＞3}=e3f(x)e xxx12.随机量 X 的概率密度x,0 x 1, f 〔x 〕=2x,1 x2,0,其他.求X 的分布函数 F 〔x 〕.0 x1x 20 x 1 F(x)21x 22x 11 x 221x 213.随机量X 的分布律X2 1 0 13 P k1/51/61/51/1511/30求〔1〕X 的分布函数，〔2〕Y=X 2的分布律.0 x 21 /52 x111 /30 1 x 0F(x)/30 0 x 1 17 19 /301 x 31 x3Y14 9 P k1/57/301/511/30（ 14.设随机变量 X~U 〔0,1〕，试求： （1〕Y=e X 的分布函数及密度函数；（ 2〕Z=2lnX 的分布函数及密度函数.1ye1e f Y (y)1 f Z (z)yothers2第三章z20others(xy),x0,y0; 1．设二维随机变量〔 X ，Y 〕的概率密度为f(x,y)e0, 其他,〔1〕求边缘概率密度 f X (x)和f Y (y)，〔2〕问X 与Y 是否相互独立，并说明理由.e x x 0 e y y0 f X (x)xf Y (y)y因为f(x,y)f X (x)f Y (y)，所以X 与Y 相互独立2．设二维随机变量 (X,Y)~N( 1,2, 12, 22, )，且X 与Y 相互独立，那么=____0______.3.设X~N 〔-1，4〕，Y~N 〔1，9〕且X 与Y 相互独立，那么2X-Y~___N 〔-3，25〕____.4.设随机变量 X 和Y 相互独立，它们的分布律分别为X-10 1Y-1，，P1 3 5 P1 3 31212445那么PX Y 1 ____________.165．设随机变量(X,Y)服从区域D 上的均匀分布，其中区域 D 是直线y=x ，x=1和x 轴所围成10 yx1． 的三角形区域，那么(X,Y)的概率密度f(x ，y)20 others6．设随机变量X 与Y 相互独立，且X ，Y 的分布律分别为X 0 1 Y 1 2P1 3 P2 34455试求：〔1〕二维随机变量〔 X ，Y 〕的分布律；〔2〕随机变量Z=XY 的分布律.X1Y 012Z12P7．设二维随机向量〔X ，Y 〕的联合分布列为X 12Y 012 a求：〔1〕a 的值；〔2〕〔X ，Y 〕分别关于X 和Y 的边缘分布列；〔3〕X 与Y 是否独立？为什么？〔4〕X+Y 的分布列.X 012Y 12PP因为P{X0,Y 1} P{X0}P{Y 1}，所以X 与Y 不相互独立。
概率期末考试试题及答案
概率期末考试试题及答案### 概率论期末考试试题及答案#### 一、选择题（每题2分，共20分）1. 某事件A的概率为0.3，事件B的概率为0.5，如果事件A和B是互斥的，那么P(A∪B)等于：- A. 0.3- B. 0.5- C. 0.8- D. 无法确定答案：C2. 抛一枚均匀硬币两次，出现正面朝上的概率是：- A. 0.25- B. 0.5- C. 0.75- D. 1答案：B3. 随机变量X服从正态分布N(0,1)，那么P(X > 1.96)的值最接近： - A. 0.025- B. 0.05- C. 0.1- D. 0.2答案：A#### 二、填空题（每空2分，共20分）4. 连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，则P(a≤X≤b)等于∫_a^b f(x)dx。
5. 事件A和B是相互独立的，那么P(A∩B)等于P(A)P(B)。
6. 随机变量X的期望E(X)定义为∑xP(X=x)，对于连续型随机变量，期望定义为∫x f(x)dx。
#### 三、简答题（每题15分，共30分）7. 解释什么是大数定律，并给出一个实际应用的例子。
答案：大数定律是指随着试验次数的增加，样本均值会越来越接近总体均值。
例如，在保险业中，保险公司通过收集大量客户的数据来计算平均寿命，从而为不同年龄段的客户提供合理的保险费率。
8. 描述什么是中心极限定理，并解释它在统计推断中的重要性。
答案：中心极限定理指出，大量独立同分布的随机变量之和，在标准化后，其分布趋近于正态分布，无论原始变量的分布是什么。
这在统计推断中非常重要，因为它允许我们使用正态分布的性质来进行假设检验和置信区间的估计，即使原始数据不服从正态分布。
#### 四、计算题（每题15分，共30分）9. 假设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求P(X=3)。
答案：P(X=3) = e^(-λ) * λ^3 / 3! = λ^3 / 3! * e^(-λ)10. 假设随机变量Y服从参数为μ和σ^2的正态分布，求Y的方差。
概率论期末考试试题和答案
概率论期末考试试题和答案### 概率论期末考试试题#### 第一部分：选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和事件B是互斥的，如果P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A∪B)的值是：A. 0.1B. 0.3C. 0.7D. 0.52. 若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)的表达式是：A. \( e^{-\lambda}\lambda^k / k! \)B. \( \lambda^k / e^{\lambda} \)C. \( e^{-k}\lambda^k / k! \)D. \( k! / \lambda^k e^{\lambda} \)3. 以下哪个不是随机变量的期望值的性质？A. 线性B. 非负性C. 可加性D. 可分解性4. 两个事件A和B独立，如果P(A)=0.6，P(B)=0.5，那么P(A∩B)的值是：A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.35. 随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)表示的是：A. X和Y的平均值B. X和Y的方差C. X和Y的线性相关性D. X和Y的独立性6. 如果随机变量X服从标准正态分布，那么P(X<0)的值是：A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.257. 以下哪个是大数定律的表述？A. 随机变量的期望值等于其观察值的平均值B. 随机变量的方差随着观察次数的增加而减小C. 随机变量的观察值的平均值随着观察次数的增加而趋于稳定D. 随机变量的观察值的方差随着观察次数的增加而趋于稳定8. 以下哪个是中心极限定理的结论？A. 独立同分布的随机变量之和的分布趋近于正态分布B. 独立同分布的随机变量之差的分布趋近于正态分布C. 独立同分布的随机变量之积的分布趋近于正态分布D. 独立同分布的随机变量之比的分布趋近于正态分布9. 以下哪个是马尔可夫链的性质？A. 状态转移概率只依赖于当前状态B. 状态转移概率只依赖于初始状态C. 状态转移概率只依赖于最终状态D. 状态转移概率依赖于所有历史状态10. 以下哪个是贝叶斯定理的应用？A. 根据先验概率和似然函数计算后验概率B. 根据后验概率和先验概率计算似然函数C. 根据似然函数和后验概率计算先验概率D. 根据先验概率和后验概率计算似然函数#### 第二部分：简答题（每题10分，共30分）1. 解释什么是条件概率，并给出一个实际的例子。
概率论期末考试题及答案
概率论期末考试题及答案概率论是一门研究随机现象及其规律性的数学分支。
以下是一套概率论期末考试题及答案，供参考。
一、选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和事件B是互斥的，P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A∪B)等于多少？A. 0.1B. 0.7C. 0.35D. 0.6答案：B2. 抛一枚均匀的硬币两次，求正面朝上的次数为1的概率。
A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案：B3. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求P(X=1)。
A. λB. λe^(-λ)C. e^(-λ)D. 1/λ答案：B4. 某工厂有5台机器，每台机器正常工作的概率都是0.9，求至少有3台机器正常工作的概率。
A. 0.999B. 0.99C. 0.95D. 0.9答案：C5. 一个骰子连续抛掷两次，求点数之和为7的概率。
A. 1/6B. 1/3C. 5/36D. 2/9答案：C二、填空题（每题2分，共10分）6. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，其密度函数的峰值出现在X=______。
答案：μ7. 假设事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.5，则P(A∩B)=______。
答案：0.38. 某随机试验中，事件A发生的概率为0.2，事件B发生的概率为0.3，且P(A∪B)=0.4，则P(A∩B)=______。
答案：0.19. 连续型随机变量X的分布函数F(x)=1-e^(-λx)，其中λ>0，当x≥0时，X服从______分布。
答案：指数10. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，求其期望E(X)=______。
答案：np三、简答题（每题10分，共30分）11. 简述什么是条件概率，并给出条件概率的公式。
答案：条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B) 是事件A和B 同时发生的概率，P(B) 是事件B发生的概率。
概率论期末试题及答案
概率论期末试题及答案### 概率论期末试题及答案#### 一、选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和B是互斥的，P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A∪B)等于：A. 0.5B. 0.8C. 0.3D. 0.22. 抛一枚均匀硬币两次，求至少出现一次正面的概率是：A. 0.5B. 0.75C. 0.25D. 13. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，其中μ=0，σ²=1，求P(X>1)：A. 0.1587B. 0.3173C. 0.6827D. 0.84134. 某工厂生产的产品中，有5%的产品是次品。
若随机抽取100件产品，求至少有3件次品的概率：A. 0.95B. 0.05C. 0.02D. 0.985. 某随机实验中，事件A发生的概率为0.6，事件B发生的概率为0.3，且P(A∩B)=0.1，则P(A∪B)等于：A. 0.8B. 0.9C. 0.7D. 0.6#### 二、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是条件概率，并给出一个实际应用的例子。
条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，一个事件发生的概率。
例如，在医学领域，如果已知某人患有某种疾病，那么在这种情况下，他出现某种症状的条件概率可能会比一般人群要高。
2. 解释什么是大数定律，并说明它在统计学中的重要性。
大数定律是概率论中的一个重要定理，它描述了在重复进行独立随机实验时，随着实验次数的增加，实验结果的相对频率会越来越接近事件发生的概率。
在统计学中，大数定律是进行概率估计和推断的基础，它保证了样本均值的稳定性和可靠性。
#### 三、计算题（每题15分，共40分）1. 某工厂生产零件，每个零件的合格率为0.95。
求生产100个零件中，至少有90个合格的概率。
设X为100个零件中合格的数量，X服从二项分布B(100, 0.95)。
使用二项分布公式计算P(X≥90)。
2. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，求P(X>2)。
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《概率论》期末考试试题
1. 一本书共有1,000,000个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为0.0001, 校对时每个排版错误被改正的概率为0.9, 求在校
对后错误不多于15个的概率.
2. 某赌庄有资产100,000元. 另有一赌徒拥有无穷大的赌资, 试图使该赌庄破产. 他每次压注1000元, 每次赢钱的概率为0.49而
输钱的概率为0.51. 问该赌徒能使赌庄破产的概率为多大?
3. 考虑[0,∞]上的Poisson 过程, 参数为λ. T 是与该Poisson 过程独立的随机变量,服从参数为μ的指数分布. 以T N 表示[0,T ]
中Poisson 过程的增量, 求T N 的概率分布.
4. 设ξ1ξ2……ξ
n 是独立同分布随机变量, 且三阶中心矩等于零, 四阶矩存在，求∑==n k k n 11ξξ和21)(1ξξ-∑=n k k n
的相关系数.
5. 设X 是连续型随机变量,密度函数f X (x)= (1/2)exp(-|x|), -∞< x < ∞.
a. 证明特征函数φX (t) = 1/(1+t 2).
b. 利用上述结果和逆转公式来证明
dt t e dt t e e ixt ixt x )
1(1)1(122||+=+=
⎰⎰∞∞-∞∞---ππ
6. 设随机变量序列ξn 依概率收敛于非零常数a, 而且ξn ≠0. 证明1/ξn 依概率收敛于1/a.
7. 假设X 与Y 是连续型随机变量.记Var[Y|X=x]为给定X=x 的条件下Y 的方差. 如果E[Y|X=x]=μ与X 无关, 证明EY=μ而且
VarY=⎰∞
∞-=dx x f x X Y Var X )(]|[.
8. 设{ξn }为独立随机变量序列, 且ξn 服从( -n, n)上的均匀分布, 证明对{ξn }中心极限定理成立.
9. 设X,Y 和Z 的数学期望均为0, 方差均为1. 设X 与Y 的相关系数为ρ1, Y 与Z 的相关系数为ρ2, X 与Z 的相关系数为ρ3. 证
明 213ρρρ≥211ρ--22
1ρ-.
10. 用概率方法证明如下Weierstrass 定理:对区间[0,1]上任何连续函数f(x), 必存在多项式序列{b n (x)}, 使在区间[0,1]上一致地有
b n (x) → f(x).
附: 常用正态分布函数值: Φ(1.28)= 0.9, Φ(2)= 0.977, Φ(2.33)= 0.99, Φ(2.58)= 0.995
Φ(1.64)= 0.95, Φ(1.96)= 0.975,。