必修2-4.2.2-圆与圆的位置关系(优质课)(人教A版)
高中数学(人教A版必修二)教学优质课件 4.2.2 圆与圆的位置关系
① - ②，得
(D1 - D2 )x1 +(E1 - E2 )y1 + F1 - F2 = 0 ③
④
同理可得 (D1 - D2 )x2 +(E1 - E2 )y2 + F1 - F2 = 0 由③④可知 A(x1,y1 ),B(x2 ,y2 )一定在直线
【解析】选B.将两圆方程化为标准方程为 (x-3)2+(y+8)2=121,(x+2)2+(y-4)2=64. 所以O1(3,-8),r1=11;O2(-2,4),r2=8. 因为|O1O2|= 2 3 2 4 8 2 13,
所以3＜|O1O2|＜19,
所以两圆相交，从而公切线有两条.
.
3．若圆：x2+y2－2ax+a2=2和x2+y2－2by +b2=1外
2+b2>3+2 2 a 离，则a、b满足的条件是__________________.
4. 已知以C(-4,3)为圆心的圆与圆 x y 1
2 2
相切，求圆C的方程.
2 2 ( x 4) ( y 3) 16. 答案: 外切
比较d和r1，r2的和与差 的大小，下结论
不要贬低黄昏，黄昏同清晨一样是成 就事业的时间。
32
练习
4、求通过直线l:2x+y+4=0与圆C:x2+y2+2x4y+1=0的交点，并且有最小面积的圆C`的方 程.
人教A版必修二 ,4.2.2,圆与圆的位置关系 ,课件
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:圆C1,C2的方程,经配方后可得 C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, ∴圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1.
∴|C1C2|= (������-2������)2 + (1-1)2 =a.
(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切; 当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切. (2)当3<|C1C2|<5,即3<a<5时,两圆相交. (3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离. (4)当|C1C2|<3,即a<3时,两圆内含.
4.2.2 圆与圆的位置关系
课 标 阐 释 思 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法. 2.会利用圆与圆位置关系的判断方法 进行圆与圆位置关系的判断. 3.能综合应用圆与圆的位置关系解决 其他问题.
维脉络ຫໍສະໝຸດ 圆与圆的位置关系的判定方法 【问题思考】 对于圆与圆的位置关系,是在将两圆放在同一平面内运动状态下, 通过观察、分析、比较、判断得到平面上两圆位置关系有五种(如 图).
2 2 ������1 + ������1 -4F1>0
4.填表:圆与圆位置关系的判定 (1)几何法: 2 2 圆 O1:(x-x1)2+(y-y1)2=������1 (r1>0),圆 O2:(x-x2)2+(y-y2)2=������2 (r2>0), 两圆的圆心距 d=|O1O2|= (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 , 则有 位置关系 图示 d 与 r1, r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|< d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 外离 外切 相交 内切 内含
人教A版数学必修二课件：4.2.2 圆与圆的位置关系
思路分析:求出圆心距,与两半径的和或差比较求出a的值.
-10-
4.2.2
探究一
圆与圆的位置关系
探究二
探究三
首页
课前篇
自主预习
课堂篇
课堂篇
探究学习
探究学习
当堂检测
思维辨析
解:圆C1,C2的方程,经配方后可得
C1:(x-a)2+(y-1)2=16,
C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,
提示:圆心C1(0,0),C2(0,0),d=0,d<r1-r2,内含.
2.如何利用两圆的半径和圆心距的大小关系即“几何法”来判定
圆与圆的位置关系?
提示:设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为r1,r2,则当d>r1+r2时,
圆C1与圆C2外离;当d=r1+r2时,圆C1与圆C2外切;当|r1-r2|<d<r1+r2时,
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
思路分析:(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程,再根据半
径、弦心距、弦长的关系求出弦长.
(2)可求出两圆的交点坐标,结合圆心在直线x-y-4=0上求出圆心
坐标与半径,也可利用圆系方程求解.
-14-
圆C1与圆C2相交;当d=|r1-r2|时,圆C1与圆C2内切;当d<|r1-r2|时,圆C1
与圆C2内含.
-6-
4.2.2
圆与圆的位置关系
首页
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课堂篇
探究学习
当堂检测
3.已知两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12 + 12 -4F1>0)和
高中数学必修二课件-4.2.2 圆与圆的位置关系9-人教A版
C2 : (x 4)2 ( y 2)2 9
C2 (4, 2) r2 3
r1 r2 d r1 r2 相交
(2)C1 : x2 y2 9 C2 : (x 2)2 y2 1
解：C1(0, 0) r1 3
C2 (2, 0) r2 1
d 22 02 2
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
外离
外切
相交
内切
内含
圆和圆的五种位置关系
Rr
O1
O2
外离
|O1O2|>|R+r|
Rr
O1
O2
外切
|O1O2|=|R+r|
Rr O1 O2
相交
|R-r|<|O1O2|<|R+r|
R
O1
O
r
2
内切
|O1O2|=|R-r|
R
O1
O
r
2
内含
0≤|O1O2|<|R-r|
谢 谢！
• 解：联立判两个断方C程1和组得C2的位置关系
x2 y2 2x 8 y 8 0 ①
x2
பைடு நூலகம்
y2
4x
4y
2
0
②
联立方程组
①-②得
x 2y 1 0 ③
消去二次项
把上式代入①
y2 1 0 ④
02 41 (1) 4
消元得一元 二次方程
所以方程④有两个不相等的实根用y1=Δ1，判y断2=两-1. 把y1=1，y2=-1代入方程③得到x1=圆-1的，x位2=置3. 关 所以圆C1与圆C2有两个不同的交点 系
4.2.2圆与圆的位置关系
新课标人教A版必修二第四章第二节圆和圆的位置关系课件共19张
直线和圆的位置关系
d EC F
直线 l与⊙A
相交 d ＜r
两个公共点
d
C
直线 l与⊙A
相切 d ＝r
唯一公共点
d
C
l
直线 l与⊙A
相离 d ＞r
没有公共点
小结：判断直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
?(x? a)2 ? (y ? b)2 ? r 2
? ?
Ax?
By?
C
?Leabharlann 0消去y （或x ）
px2 ? qx ? t ? 0
?d ? r :相交 ??d ? r :相切 ??d ? r :相离
?? ? 0: 相交 ??? ? 0: 相切 ??? ? 0: 相离
直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
类比 猜想
圆和圆的位置关系
几何方法
代数方法
圆与圆的 五 种 位置关系
内切或外切
（2）当Δ<0时，没有交点，两圆位置关系如何 ？
内含或相离
几何方法 直观，但不能 求出交点； 代数方法 能求出交点，但 Δ=0， Δ<0时，不能判 圆的位置关系。
问题探究
联立两个方程组得
? x2 ? y2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0
? ?
x
2
?
y2
?
4x?
4y?
2
?
0
①-②得 x ? 2 y ? 1 ? 0
判断C1和C2的位置关系
解：联立两个方程组得
? x2 ? y2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ①
[精品]新人教版高中数学必修24.2.2 圆与圆的位置关系优质课教案
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教师课时教案备课人授课时间课题 4.2.2 圆与圆的位置关系课标要求利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；教学目标知识目标理解圆与圆的位置的种类技能目标利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；情感态度价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．重点用坐标法判断圆与圆的位置关系．难点用坐标法判断圆与圆的位置关系．教问题与情境及教师活动学生活动学 过 程 及方法过程与方法： 1．初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？教师：引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价；学生：回顾知识点时，可互相交流．2．判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？ 教师：引导学生阅读教科书中的相关内容，注意个别辅导，解答学生疑难，并引导学生自己总结解题的方法． 学生：观察图形并思考，发表自己的解题方法． 3．例3教师课时教案教 问题与情境及教师活动 学生活动点评：由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．学过程及方法师：启发学生利用图形的特征，用代数的方法来解决几何问题．生：观察图形，并通过思考，指出两圆的交点，可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根，进而利用判别式求解．5．从上面你所画出的图形，你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗？师：指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置．生：互相探讨、交流，寻找解决问题的方法，并能通过图形的直观性，利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径．6．如何判断两个圆的位置关系呢？师：对于两个圆的方程，我们应当如何判断它们的位置关系呢？引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善判断两个圆的位置关系的方法．7．阅读例3的两种解法，解决第137页的练习题．教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动10.教师总结：设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21rrl+>时，圆1C与圆2C相离；（2）当21rrl+=时，圆1C与圆2C外切；（3）当<-||21rr21rrl+<时，圆1C与圆2C相交；（4）当||21rrl-=时，圆1C与圆2C内切；（5）当||21rrl-<时，圆1C与圆2C内含；教学小结（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系？课后反4。
《4.2.2圆与圆的位置关系》课件1-优质公开课-人教A版必修2精品
2.圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系．常用的圆系有以 下几个： (1)圆心为定点 (a，b)的同心圆系方程为(x－a)2＋(y－b)2＝
r2，其中a，b为定值，r是参数．
(2) 半径为定值 r 的圆系方程为 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 ，其中 a，b为参数，r>0是定值．
[答案] D
新知导学 1．判断圆与圆的位置关系 (1)几何法：
2 圆 O1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r2 1(r1>0)，圆 O2：(x－x2) ＋(y－
y2)2＝r2 2(r2>0)， 两圆的圆心距 d＝|O1O2|＝ x1－x22＋y1－y22，
则有：
位置 外离 外切 相交 内切 内含 关系 图 示 d与 r1 ， |r1－r2|< d＝|r1－r2| d< d>r1＋r2 d ＝ r ＋ r 1 2 __________ _________ _________ r1 ＋ r2 |r1－r2| d<______ r2 的 关系
)
B．外离 D．相交
2 ．圆 x2 ＋ y2 ＝ 4 与圆 (x － 4)2 ＋ (y － 7)2 ＝ 1 公切线的条数为
( ) A．1 C．3 [答案] D B．2 D．4
[解析]
圆 x2＋y2＝4 的圆心 O1(0,0)，半径 r1＝2，圆(x－
4)2＋(y－7)2＝1 的圆心 O2(4,7)，半径 r2＝1，则 d＝|O1O2|＝ 4－02＋7－02＝ 65>r1＋r2＝3. ∴这两圆的位置关系是外离．有 4 条公用线，故选 D.
点的圆系方程是常用的．在过两圆交点的圆系方程x2＋y2＋D1x
＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，λ∈R)中，要 注意参数 λ的取值以及此方程不能包括第二个圆，但可以包括 第一个圆(λ＝0)．
高一数学人教版A版必修二课件：4.2.2 圆与圆的位置关系
第四章 § 4.2 直线、圆的位置关系4.2.2 圆与圆的位置关系学习目标1.理解圆与圆的位置关系的种类；2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系；3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.问题导学题型探究达标检测问题导学 新知探究 点点落实知识点 两圆位置关系的判定思考1 圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？答案 圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含.几何方法判断圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含.思考2 已知两圆C：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋1E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？答案 联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含.题型探究 重点难点 个个击破类型一 两圆位置关系的判定例1 a为何值时，两圆C：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋12x－2ay＋a2－3＝0(1)外切；(2)相交；(3)外离.跟踪训练1 (1)圆x2＋y2－2y＝0与圆(x－4)2＋(y＋2)2＝4的位置关系是( )A A.外离 B.相交 C.外切 D.内切解析 圆的方程x2＋y2－2y＝0化为x2＋(y－1)2＝1，∴两圆圆心分别为(0,1)，(4，－2)由d＝5>r1＋r2＝1＋2，∴两圆外离.D (2)已知0<r< ＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是( )A.内切B.外切C.内含D.相交解析两圆的圆心分别为(0,0)，(1，－1)，∴两圆相交.类型二 两圆相交的问题例2 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)判断两圆的位置关系；解 将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴r1∴两圆相交.(2)求公共弦所在的直线方程；解 将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.解 方法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到方法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组直线x －2y ＋4＝0的距离(3)求公共弦的长度.跟踪训练2 (1)两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x－y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为____.解析 由题意知：直线AB 与直线x －y ＋c ＝0垂直，AB 的中点坐标为(3,1)，AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上.∴3－1＋c ＝0，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝5－2＝3.3∴k AB ×1＝－1，(2)求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长.解 由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.圆C3的圆心为(1,1)，类型三 两圆相切问题例3 (1)已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36方程是__________________________________________.解析 设圆C的半径为r，当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36.(2)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：①m取何值时两圆外切.②m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？跟踪训练3 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于( )A.21B.19C.9D.－11解析 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.∵C1，C2两圆的圆心分别为(0,0)，(3,4)，C则d＝r1＋r2，达标检测 41231.两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )BA.内切B.相交C.外切D.外离解析 圆x2＋y2－1＝0的圆心C(0,0)，半径r1＝1，1圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心C2(2，－1)，半径r2＝3，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r1<d<r1＋r2，故两圆相交.2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( )B A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析 圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.D3.若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( )A.±3B.±5C.3或5D.±3或±5当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5，当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.4.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直C平分线的方程是( )A.x＋y＋3＝0B.2x－y－5＝0C.3x－y－9＝0D.4x－3y＋7＝0解析 AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A、B、D.规律与方法1.判断两圆的位置关系的方法：(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用.(2)依据连心线的长与两圆半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系.2.若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长.返回。
人教A版 必修二 第4章 2 42 圆与圆的位置关系 公开课一等奖课件
① ， ② ③，
3 ①－②并整理得，y＝2x
将③代入①式整理得 13x2－24x－24＝0.
高中数学人教版必修2课件
∵Δ＝(－24)2－4×13×(－24)>0，故此方程有两个不等实 根， ∴圆 C1 与圆 C2 有两个不同的交点，
思维突破：可用方程思想和几何法两种方法，几何法更为
简便：先求出公共弦所在直线方程，再通过直角三角形求解． 解法一：由题意，列出方程组
2 2 x ＋y －4＝0 2 2 x ＋y －4x＋4y－12＝0
，消去二次项，得 y＝x＋2.
把 y＝x＋2 代入 x2＋y2－4＝0， 得 x2＋2x＝0，重点
圆与圆的位置关系及判定方法
圆 C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝R2， 圆 C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2(R>r)． 两圆的位置关系如下表：
两圆的位 图示 置关系 几何法 代数法
相离
|C1C2|>R＋r
Δ<0
高中数学人教版必修2课件
续表
两圆的位
置关系
图示
几何法
代数法
外切
|C1C2|＝R＋r
Δ＝0
内切
|C1C2|＝R－r
Δ＝0
相交
R－r<|C1C2|<R＋r
Δ>0
内含
|C1C2|<R－r
Δ<0
高中数学人教版必修2课件
难点
两圆的公切线
和两个圆都相切的直线称为两圆的公切线，公切线条数如 下表：
两圆位 相离 置关系 公切线 外切 内切 相交 内含
4条
∴圆 C1 与圆 C2 相交．
人教A版必修2_4.2.2_圆与圆的位置关系
a 5或 2 时, 两圆外切 .
当 | AB || r r2 | 即 (a 1)2 (a 2)2 3 2 1
a 2或 1 时两圆内切.
(2) 当 | r r2 || AB | r r2 即1 (a 1)2 (a 2)2 5 1 1
天 才 在 于 勤 奋， 努 力 才 能 成 功！
直线与圆的位置关系 1、直线和圆相离 2、直线和圆相切
判定方法
C2
d r
0
C2
d r
d r
0 0
3、直线和圆相交
C2
直线和圆的位置关系
几何方法
类比
猜想
代数方法
圆和圆的位置关系
几何方法
代数方法
1、点和圆的位置关系有几种？如何判定?
5 a 2 或 1 a 2 时两圆相交.
(3) 当 | AB | r r2 即 (a 1)2 (a 2)2 5 1
a 5或a 2时两圆相离
例题讲解
例1.判断C1和C2的位置关系，如果相交，求出 相交弦的方程。
C1 : x 2 y 2 2 x 8 y 8 0 C2 : x y 4 x 4 y 2 0
外切
2 2
3.求圆心在直线x y 4 0上，且经过两圆x +y -4x-3=0 和x +y -4y-3=0的交点的圆的方程
2 2
圆方程为（x-3） ( y 1) 13
2 2
解：C1 (0, 0)
d 22 02
r1 3
新课标人教A版必修二第四章4.2.2圆与圆的位置关系课件
外切
O1O2=R+r
Rr O1 O2
相交
R-r<O1O2<R+r
R
O1 O2r
内切
O1O2=R-r
R
O1 O2r
内含
0≤O1O2<R-r
R
O1O2r
同心圆 (一种特殊的内含)
O1O2=0
判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
圆心距d （两点间距离公式）
外离 d>R+r 外切 d=R+r
小结：判断两圆位置关系
几何方法
代数方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
圆心距d （两点间距离公式）
比较d和r1，r2的 大小，下结论
(
(x a1)2 ( y b1)2 x a2 )2 ( y b2 )2
r12 r22
消去y（或x）
px2 qx r 0
0 : 相交
0
:内切或外切
问题探究
联立两个方程组得
x2 y2 2x 8 y 8 0
x
2
y2
4x
4y
2
0
①-②得 x 2y 1 0
方程x+2y-1=0表示一条直线，
（1）这条直线与两个圆有什么关系吗？
两相交圆的公共弦所在直线方程
（2）你能求出公共弦的弦长吗？
（3）公共弦的中垂线的方程是什么？
变式训练
练习：判断下列两圆的位置关系，如果两圆相 交，要求出公共弦的方程。 （1）(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16; （2）x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.
高中数学 (4.2.2 圆与圆的位置关系)示范教案 新人教A版必修2
4.2.2 圆与圆的位置关系整体设计教学分析本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.根据学生的基础,学习的自觉性和主动性,自主学习和探究学习能力,平时的学习养成的善于观察、分析和思考的习惯,同时由于本节课从内容结构与思维方法上与直线与圆的位置关系相似,学生对上节课内容掌握较好,从而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的障碍,因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆位置关系来自主研究圆与圆的位置关系.三维目标使学生理解并掌握圆和圆的位置关系及其判定方法.培养学生自主探究的能力.通过用代数的方法分析圆与圆的位置关系,使学生体验几何问题代数化的思想,深入了解解析几何的本质,同时培养学生分析问题、解决问题的能力,并进一步体会数形结合的思想.重点难点教学重点：求弦长问题,判断圆和圆的位置关系.教学难点:判断圆和圆的位置关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系.两圆的位置关系：外离外切相交内切内含d＞R+r d=R+r |R-r|＜d＜R+r d=|R-r| d＜|R-r|在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课题,教师板书课题圆与圆的位置关系.思路2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,那么,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题:圆与圆的位置关系.推进新课新知探究提出问题①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种？②判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗？③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？④根据你所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？⑤如何判断两个圆的位置关系呢？⑥若将两个圆的方程相减,你发现了什么？⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？活动：教师引导学生回顾学过的知识、举例,并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时,可互相交流.教师引导学生阅读教科书中的相关内容,注意个别辅导,解答学生疑难,并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考,发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求解,对这些学生应该给予表扬.同时强调,解析几何是一门数与形结合的学科.启发学生利用图形的特征,用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流,寻找解决问题的方法,并能通过图形的直观性,利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径.讨论结果：①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是外离、外切、相交、内切、内含.②判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆的位置关系的判定,目前我们只有初中学过的几何法,利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.③略.④根据所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与两圆半径(r,R)的和与差之间的关系.⑤判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1°当d＞R+r时,圆C1与圆C2外离；2°当d=R+r时,圆C1与圆C2外切；3°当|R-r|＜d＜R+r时,圆C1与圆C2相交；4°当d=|R-r|时,圆C1与圆C2内切；5°当d＜|R-r|时,圆C1与圆C2内含；二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离.总结比较两种方法的优缺点.几何方法：直观,容易理解,但不能求出交点坐标.代数方法：1°只能判断交点,并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切,无交点时不能判断内含还是外离).2°优点是可以求出公共点.⑥若将两个圆的方程相减,得到一个一元一次方程,既直线方程,由于它过两圆的交点,所以它是相交两圆的公共弦的方程.⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问题.由点到直线的距离公式来判断.应用示例思路1例1 已知圆C 1：x 2+y 2+2x+8y-8=0,圆C 2：x 2+y 2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系.活动:学生思考交流,教师引导提示,判断两圆的位置关系有两种基本的方法,要合理使用.方法一看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,方法二利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.解:方法一:圆C 1与圆C 2的方程联立得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---+=-+++)2(.0244)1(,08822222y x y x y x y x①-②得x+2y-1=0, ③ 由③得y=21x +,把上式代入①并整理得x 2-2x-3=0. ④ 方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16＞0,所以方程④有两个不等的实数根,即圆C 1与圆C 2相交.方法二:把圆C 1:x 2+y 2+2x+8y-8=0,圆C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0,化为标准方程,得(x+1)2+(y+4)2=25与(x-2)2+(y-2)2=10.圆C 1的圆心是点(-1,-4),半径长r 1=5;圆C 2的圆心是点(2,2),半径长r 2=10.圆C 1与圆C 2的连心线的长为22)24()21(--+--=35,圆C 1与圆C 2的半径长之和为r 1+r 2=5+10,半径长之差为r 1-r 2=5-10.而5-10＜35＜5+10,即r 1-r 2＜35＜r 1+r 2,所以圆C 1与圆C 2相交,它们有两个公共点A 、B.点评:判断两圆的位置关系,一般情况下,先化为标准方程,利用几何法判断较为准确直观. 变式训练判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16,(2)x 2+y 2+6x-7=0与x 2+y 2+6y-27=0.解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r 1=1和r 2=4,两圆的圆心距d=22)25()2(2[-+--=5.因为d=r 1+r 2,所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y 2=16,x 2+(y+3)2=36.故两圆的半径分别为r 1=4和r 2=6,两圆的圆心距d=23)03()30(22=-+-.因为|r 1-r 2|＜d ＜r 1+r 2,所以两圆相交.例2 已知圆C 1:x 2+y 2+2x-6y+1=0,圆C 2:x 2+y 2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.活动：学生审题,思考并交流,探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联立方程组,消去x 2项、y 2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长.解:设两圆交点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则A 、B 两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-++)2(.01124)1(,01622222y x y x y x y x①-②,得3x-4y+6=0.因为A 、B 两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(-1,3),半径r=3.又点C 1到直线的距离为d=22)4(3|63431|-++⨯-⨯-=59. 所以AB=2524)59(322222=-=-d r ,即两圆的公共弦长为524. 点评:处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用.思路2例1 求过点A(0,6)且与圆C:x 2+y 2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.图1活动:学生思考交流,回顾圆的方程的求法,教师引导学生注意题目的条件,灵活处理,如图 1.所求圆经过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.解:将圆C 化为标准方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为C(-5,-5),半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.由题意,知O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心M(a,b)在直线x-y=0上,则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=-+-,0,)6()0(,)0()0(222222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===.23,3,3r b a于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.点评:求圆的方程,一般可从圆的标准方程和一般方程入手,至于选择哪一种方程形式更恰当,要根据题目的条件而定,总之要让所选择的方程形式使解题过程简单.例2 已知⊙O 方程为x 2+y 2=4,定点A(4,0),求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹方程.活动：教师引导学生回顾学过的知识,两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心线长等于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件,然后将这个几何条件坐标化,即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以|PA|即为动圆半径.当动圆P 与⊙O 外切时,|PO|=|PA|+2；当动圆P 与⊙O 内切时,|PO|=|PA|－2.综合这两种情况,得||PO|－|PA||=2.将此关系式坐标化,得 |2222)4(y x y x +--+|=2.化简可得(x －2)2－32y =1. 解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系||OP|－|PA||=2,即P 点到两定点O 、A 的距离差的绝对值为定值2,所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点,2为实轴长的双曲线,中心在OA 中点(2,0),实半轴长a=1,半焦距c=2,虚半轴长b=322=-a c ,所以轨迹方程为(x －2)2－32y =1. 点评：解题的过程就是实现条件向结论转化的过程,对于圆与圆,要综合平面几何知识、解析几何、代数知识,将条件转化成我们熟悉的形式,利用常规思路去解,求点的轨迹更要注意平面几何的知识运用.知能训练课堂练习P 141练习题课堂小结本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法.作业习题4.2 A 组8、9、10、11.设计感想本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.《圆与圆的位置关系》这个课题在新课标中,被作为一个独立的章节,说明新课标对这一章节的要求已经有所提高,可见有其重要性.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上得到圆与圆的位置关系的几何方法,但用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的基本方法.因此,用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.这堂课是建立在初中已经对圆与圆的位置关系有个粗略地了解的基础上,对这个位置关系的了解进一步深化,而且前一堂课学习过直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系的研究和直线与圆的位置关系的研究方法是类似的,所以可以用类比的思想来引导学生自主地探究圆与圆的位置关系.作为解析几何的一堂课,判断圆与圆的位置关系,体现的正是解析几何的思想：用代数方法处理几何问题,用几何方法处理代数问题.所以在教材处理上,对判断两圆位置关系用了代数和几何两种方法,两种方法贯穿始终,使学生对解析几何的本质有所了解.。
高中数学 4.2.2圆与圆的位置关系课件 新人教A版必修2 (2)
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7
名师讲解
1.判断圆与圆的位置关系的方法与步骤
(1)判断两圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r
2 1
，C2：(x－a2)2＋(y
－b2)2＝r22位置关系的常用方法：
两圆C1、C2外离⇔|C1C2|>r1＋r2；
两圆C1、C2外切⇔|C1C2|＝r1＋r2；
两圆C1、C2相交⇔|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2；
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8
两圆C1、C2内切⇔|C1C2|＝|r1－r2|； 圆C1内含于圆C2⇔0≤|C1C2|<|r2－r1|，其中|C1C2|＝0时，两 圆同心． (2)判断两圆的位置关系时的一般步骤： 第一步：将两圆的方程化为标准方程； 第二步：依据圆的标准方程计算出两圆的半径r1，r2及圆 心距d(即|C1C2|)； 第三步：根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置关 系．
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2．判断两圆的位置关系为什么不用代数法 跟判断直线与圆的位置关系一样，判断两圆的位置关系也 可以用代数法求方程组解的组数，但由于解两个二元二次方程 组通常计算量较大，较为麻烦，而且当无解或是一解时往往还 得重新用几何法来讨论，不如直接运用几何法简便.
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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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典例剖析 一 圆与圆的位置关系
【例1】 a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和 x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.
(1)外切； (2)内切． 【分析】 把圆的方程化成标准方程，求出两圆半径及圆 心距，再作比较．
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【解】 将两圆方程化成标准方程 (x－a)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－a)2＝4. 设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a ＋5. (1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－ 5，或a＝2. (2)当d＝1即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，解得a＝－1， 或a＝－2.
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A 圆与圆的位置关系
一、情境 日食的形成：
A 圆与圆的位置关系
一、情境：日食的形成：
月亮在地球 与太阳之间绕 着地球旋转， 当月亮正好遮 住了太阳射向 地球的光线时， 就形成了 “日食”
A 圆与圆的位置关系 2、两圆的位置关系
A 圆与圆的位置关系 R dr
圆心距
do1o2
连心线
A 圆与圆的位置关系
点 A 、 B 的坐标 0 ， 0 3 ， 3 分别为
A 圆与圆的位置关系
习题3已知圆 C 1:x2y2和6圆y0 C 2:相x2交,y交2 点6x0
为A、B.则求：（1）A、B的坐标；（2）公共弦长AB ； 以AB为直径的圆的方程；（4）A、B所在的直线方程.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）
解 2 由 1 知 ： A 0 ， 0 ， B 3 ， 3 A B3 23 21 8 32
由xx22
y2 y2
6y0 6x0
① ②
由①- ②，得
观察发现： xy0④
在第一问中我们把两个方程相减得到的方程正好与我们用两
点式求出的一样
结论：求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个圆的
方程相减即可
A 圆与圆的位置关系
三、归 纳小结
1、
名称 外离
外切
相交
内切 内含
图形
判 外离 外切
相交内切内含
y
3所 半径 求 思为 12考A圆 ：BA 公3的 共2A 2弦B 的 x B 长圆 2 x 1 中 2 心 2 3y ， 2 2 3点 为 y 1 2
C1
321
6
5
4B
3 2 1 2 3 4 56
以AB为 还有直 没法有求径 别？的的方圆的方程A为 3210 C 2
x
x2 32y2 3232229 2
圆 C 2 : x 1 2 y m 2 4 , 圆 C 2 1 , m , 半 心 r 2 2 d 径 R r
（ 即 1m ）2 m 如 3 果1 m 2 圆 1 m C与1 圆2 0 2 C外3 m 2 切 2 ， 5 5 则 ,或 有m m 1 C 2 2 1 C 2m r12 2 r 225 内d切R R
r
r
（2）如果圆 C与1 圆 C内2 切，则有 C1C2 r2r1
即 m 1 2 m 2 2 3 2 1 m 2 3 m 2 0
m 2 ,或 m 1
A 圆与圆的位置关系
习题3已知圆 C 1:x2y2 和6 圆y0 C 2相:x交2 ,交y2点6为x A0 、B.则求：
（1）A、B的坐标；（2）公共弦长 ； （3）以AABB 为直径 的圆的方程；（4）A、B所在的直线方程.
3、探索圆心距与两圆半径的关系：
外离 dRr 外切 dRr 相交
R r d R r
内切 dRr 内含 dRr
A 圆与圆的位置关系
设大圆半径为R,小圆半径为r, 圆心 o1o2距 d
Rr
O1
O2
d=R+r
R
O1 r
O2
d =R-r
相 两圆相交 交
R-r<d<R+r
r
O1
O2
R-r<d<R+r
习题2 已知 圆 C 1 : x 2 y 2 2 m 4 y y m 2 5 0 圆 C 2 : x 2 y 2 2 y 2 m m 2 3 y 0 ,m 为何值时，圆 与C 1圆 C 2
（1）相外切 （2）内切.
圆 解C ：1 : 对 x 于 圆m 2 C与 1 圆y 2 的C 2 2方 9 程， ，经C 配1 m 方, 后2 , 半 圆 r 1 3 外切 径 心
定 d>R+r d=R+r R-r <d<R+rd=R-r d＜R-r
交点 没有
一个
两个
一个 没有
公切 线数
4条
3条
2条
1条 没有
2、两个相交圆的公切线所在直线方程及公切线长的求法
A 等比数列
四、作业布置
1、精析精炼 p132 1～10
2、优化 p38
A 等比数列
五、板书设计
圆与圆的位置关系
一、两圆的位置关系及判定 1、外离 2、外切 3、相交 4、内切 5、内含
x
A 圆与圆的位置关系
变式1-1：
在习题1中外离的基础上，我们保持圆心 C26不,0变，让 半径变化，你是否也能相应的给出分别满足这五种位
置关系下的圆的方程呢？
圆的两个
最基本要
y
2 1
素是： 圆心和半径 ，圆心确定 位置，半径
2 1 011 2 3 4 5 6 x
确定大小。
2
A 圆与圆的位置关系
A 圆与圆的位置关系
5、举例应用，巩固新知
习题1 给定圆 C 1:x2 现y在2 由4,你来设计一个圆心在x轴上的
圆 ，使得C 它2 与圆 的位置C关1 系分别为 ：（1）外离 （2）外切 （3）相交 （4）内切 （5）内含.
y
2 1
2 1 011 2 3 4 5 6
2
圆的两个最基本要素是： 圆心和半径，圆心确定 位置，半径确定大小。
例题1
A 等比数列
圆与圆的位置关系
一、两圆的位置关系及判定 1、外离 2、外切 3、相交 4、内切 5、内含 二、两个相交圆的公共弦 1、公共弦所在直线方程的求法 2、公共弦长的求法
例题2
例题1
解：（1）设交点坐标为 A x 1 ,y 1 ,B x 2 ,y 2
联 立 方 x x2 2 yy程 2 2 6 6x y 0 0
① ②
由①- ②，得 x y 0 ,即 y x④
把④代入②，得 x23x0 x10或 x23
原方程组 x y1 1的 0 0或 解 x y2 2 3 3为
A 圆与圆的位置关系
例3已知圆 C 1:x2y2和6 圆y0 C 2相:x交2,交y2 点6x0
为A、B.则求：（1）A、B的坐标；（2）公共弦长AB ；
（3）以AB为直径的圆的方程;（4）公共弦AB所在直线的方程.
解 4 由 1 知 ： A 0 ， 0 ， B 3 ， 3
由两点式A知B所在直线的 方程为x：y0