习题七二次型和二次曲面

习题七 二次型与二次曲面

1. 求下列二次型的矩阵A 及秩

()()22212312132

3

2222

123412131423

2

4

12644242424f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x

x x x x +-+=+++++=++-+-

2. 用正交变换法将下列二次型化为标准形，并写出所用的变换

()()2221231213

23

12233441

15225448f x x x x x x x x x f x x x x x x x x +=+++--=++

3. 分别用配方法和初等变换法把下列二次型化为标准形，并写出所作的可逆线性变换

()()22121213

122331

12222f x x x x x x f x x x x x x =++-=++

4. 设A 是n 阶反对称阵，则对任意n 维列向量X 都有X T AX=0。

5. 设A 是n 阶对称阵，若对任意n 维列向量X 都有X T AX=0，则A=0。

6. 设12n λλλ≤≤≤为二次型f 的矩阵A 的特征值，求证对任意实向

量

()

12,,

,T

n αααα=，

下

述

不

等式成立

()1

2

2

2

2121

1,,,,n

n i i n f αααααααλλ=⎛

⎫= ⎪⎝⎭

≤≤∑

7. 若二次型f 的负惯性指数为0，则对任意的X ，恒有

()

12120,,

,T T

n n X AX f λλλαααα=≥≤≤

≤=。

8. 若二次型f 的正、负惯性指数都不为0，则存在不全为零的实数

12,,

,n k k k 使得12)0(,,

,n f k k k =

9. 判别下列二次型是否正定

()()222

12312232222

1234122334

132342222248f x x x x x x x f x x x x x x x x x x

+=++--=++-+-

10. 判断下列各对称矩阵是否正定

()()52

2121121

210

3001212324201

2

7

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢

⎥⎢⎥-⎢

⎥⎣⎦ 11. 若A 是正定矩阵，则矩阵A -1，A*都是正定矩阵。 12. 设A 是n 阶实对称矩阵，求证A 2+A+I n 是正定矩阵。 13. 求下列二次型中的参数t ，使得二次型正定

()()222123121323

222

12313123542222t f x x x x x x x x x f x x x x x =+++--=+++

14. 为何值时，二次型122212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+为正定二次型。

15. 二次型()2221232353320f x x x ax x a =+++≥通过正交变换化成标准形

22212325f y y y =++，求参数a 及所用的正交变换矩阵。 16. 已知二次型122212312132355266f x x c x x x x x x x =++-+-的秩为2。 （1） 求参数c 及f 的矩阵A 的特征值； （2） 指出方程f=1表示何种二次曲面。

17. 已知二次曲面方程222y 2224x a z bxy xz yz +++++=可以经过正交变

换x y P z εηξ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

化为椭圆柱面方程2244ηξ+=，求a 、b 的值和正交矩阵P 。

18. 设n 元实二次型f=X T AX ，X=(x 1, x 2, …,x n )T ，证明f 在条件

x 12+x 22+…+x n 2=1小的最大值恰为方阵A 的最大特征值。

19. 将xOy 坐标面上的双曲线22

194

x y -=分别绕x 轴及y 轴旋转一周，

求所生成的两个旋转曲面的方程。

20. 求母线平行于x 轴且通过曲线2222222y 16

y 0

x z x z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程。

21. 求球面x 2+y 2+z 2=9与平面x+z=1的交线在xOy 面上的投影的方程。 22. 求直线 11

:

111

x y z l --==-在平面210:x y z π-+-=上的投影直线的方程0l ，并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程。 23. 下列方程表示什么曲面

()()()()22222

2222

1169y 16

144244y 3614434y 9

4x

z x z x z z xy

++=-+=

+-+==

24. 下列方程表示什么曲线

()()2222

2y 25y 480

1234x z z x x y ⎧⎧++=+-+=⎨⎨

==⎩⎩

25. 画出下列曲面所围成立体的图形

()(

)()()(

)()2222

2

2

2

12366,0,0,0

20310,34,2,0,2

516xOy z R+x y z x y z z z x y z z y x y z z x x y x x y R R

++======+-+=======

=

=+==界于面及之间。

26. 用正交变换和坐标平移将下面二次曲面方程化为标准方程