13《运筹学》(第四版)非线性规划罚函数法介绍
一、非线性规划问题的几种求解方法1.罚函数法(外点法)
一般要用到目标函数的导数。
第十九页，共五十九页。
（2）直接(zhíjiē)法
直接(zhíjiē)法是一种数值方法 这种方法的基本思想是迭代，通过迭代产生 一个点序列{ X(k) }，使之逐步接近最优点。 只用到目标函数。 如黄金分割法、Fibonacci、随机搜索法。
第二十页，共五十九页。
第三十一页，共五十九页。
三、Matlab求解(qiú jiě)有约束非线性规划
第三十二页，共五十九页。
1. 用fmincon函数求解(qiú jiě)形如下面的有约束
非线性规划模型 一般(yībān)形式：
第三十三页，共五十九页。
用Matlab求解(qiújiě)有约束非线性最小化问题 求 解 非 线 性 规 划 问 题 的 Matlab 函 数 为 ： fmincon
编写为一个Matlab函数，
nonlcon就是定义这些函数的程序文件名；
不等式约束 c(x)<=0 等式约束 ceq(x)=0. 如果nonlcon=‘mycon’ ; 则myfun.m定义如下(rúxià)
function [c,ceq] = mycon(x)
c = ... % 计算非线性不等式约束在点x处的函数值 ceq = ... %计算机非线性等式约束在点x处的函数值
（3）迭代法一般(yībān)步骤
（1） 选定初始点 X (0)，k=0 （2） 寻找一个合适的方向 P (k)，k=0，1，2，…
P (k)为第 k+1 步的搜索方向。
（3） 求出沿 P (k)方向前进的步长 (k )
（4） 得到新的点 X (k+1)， X (k1) X (k ) (k ) P(k )
x0=fminsearch('fun2min',x0);
运筹学非线性规划
二 、模型的解及相关概念
1.可行解与最优解
★可行解：约束集D中的X。
★最优解：如果有 X * D，对于任意的 X D ， 都有 f ( X *) f ( X ) ，则称 X *为（NLP）的最优
解，也称为全局最小值点。
★局部最优解：如果对于 X 0 D ，使得在 X 0的邻 域 B(X 0, ) {X |P X X 0 P } 中的任意 X D 都有f (X 0 ) f (X ) ，则称 X 0 为（NLP）的局部最
: 风险系数；ij : 第i种与第j种股票收益的协方差
n
nn
max f (x) j xj
xi x j
j 1i1 j1源自s.t.n j 1Pj x j
B
x
j
0
2.模型
min f ( X )
(
NLP
)s.t.
hi
g
( X ) 0,i j ( X ) 0,
1,L , j 1,L
f
(X
)＝f
(X0
)
f
(X0
)（T X－X0）
1 2
(X
X0
)T
H
( X0 )(
X
X0)
o(P X－X 0 P2)
其中：o(P X
X0
P2 )是当X
X
时
0
PX
X0
P2
的高阶无穷小。
例2：写出 f ( X ) 3x12 sin x2 在X 0 [0, 0]T 点的二阶泰勒展开式
解: f ( X ) [6x1 cos x2 ]T , f ( X 0 ) [0 1]T
0
解得：＝－f (Xk )T Pk
PkT H ( X k )Pk
最优化方法 第三章(罚函数法)
这种惩罚策略，对于在无约束的求解过程中企图违反约
束的迭代点给予很大的目标函数值，迫使无约束问题的 极小点或者无限地向可行域D靠近，或者一直保持在可 行域D内移动，直到收敛到原来约束最优化问题的极小 点。
不改变可行域局部极小值，可以将 约束域之外的局部极小值变大。
p ( x) 0, x D p ( x) 0, x D
k k
k 1
k 1
xk 1是F x, M k 1 的最优解.
k 1 k k 1 k 0 M k 1 M k p ( x ) p ( x ) p ( x ) p ( x )
M k 1 M k
(3) f ( x k 1 ) M k p( x k 1 ) F ( x k 1 , M k ) F ( x k , M k ) f ( x k ) M k p( x k )
gi ( x) gi ( x) max gi ( x), 0 = 罚函数p(x)的构造 2 m l p( x) (max gi ( x), 0) 2 h 2 j ( x)
i 1 j 1
(1) p(x)连续 (2) p( x) 0, x D (3) p( x) 0, x D
二、外点法 外点罚函数法算法步骤 1：给定初始点 x 0 ，初始罚因子M1 0 (可取M1 1 ), 精度 0, k : 1. 2：以 x k 1初始点，求解无约束优化问题
min F ( x, M k ) f ( x) M k p( x)
得到极小点 x* ( M k )，记为 x k ， 其中
p( x) (max gi ( x), 0) h 2 j ( x)
2 i 1 j 1 m l
第5讲 非线性规划
例1
min
f
x1
2x2
1 2
x12
1 2
x22
2x1 3x2 6
s.t.
x1
4x2
5
x1, x2 0
1.写成标准形式： min
f
x1
2 x2
1 2
x12
1 2
x22
2x1 3x2 6 0 x1 4x2 5 0
s.t. 0 x1 0 x2
例1
min
f
x1
2）当用新建原料场时,决策变量为：xij，xj，yj
1.使用临时原料场
模型求解
使用两个临时原料场A(5,1)，B(2,7). 求从料场j 向使用单位i 的运送量
xij，在各建筑工地使用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的条件下，
使总的吨千米数最小，此时由于ai，bi 、xj，yj都是已知的，故这是一个线性
输出极值点 M文件 迭代的初值
(6) [x,fval]= fmincon(...) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(...) (8) [x,fval,exitflag,output]= fmincon(...)
变量上下限
参数说明
注意：
[1] fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认 时，若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置 为’on’），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函 数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时，使用 中型算法。 [2] fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每 一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日 Hessian矩阵。 [3] fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取 有关。
非线性规划——精选推荐
⾮线性规划author: lunardate: Tue 01 Sep 2020 04:31:18 PM CST⾮线性规划如果⽬标函数中包含⾮线性函数, 就称这种规划问题为⾮线性规划问题.⽬前解决⾮线性规划还没有⼀种通⽤⽅法.线性规划和⾮线性规划的区别如果线性规划的最优解存在, 其最优解只能在其可⾏域的边界上达到(特别是可⾏域的顶点上达到); ⽽⾮线性规划的最优解可能在可⾏域的任意⼀点达到.⾮线性规划的MATLAB解法⾸先可以将⾮线性规划表⽰为如下形式:minC(x), Ceq(x)是⾮线性向量函数.MATLAB计算⾮线性规划的函数为x = fmincon(fun, x0, A, B, Aeq, Beq, LB, UB, NONLCON, OPTIONS)fun是⽤.m⽂件定义的⽬标函数; x0表⽰决策变量的初始值; NONLCON是⽤.m⽂件定义的⾮线性向量函数; OPTIONS定义了优化参数; 其余参数与线性规划⼀致.⽰例求解下列⾮线性规划问题\min f(x) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 8\\ \begin{aligned} s.t.\quad &x_1^2 - x_2 + x_3^2 \ge 0\\&x_1 + x_2^2 + x_3^2 \le 20\\ &-x_1 - x_2^2 + 2 = 0\\ &x_2 + 2x_3^2 = 3\\ &x_1, x_2, x_3 \ge 0\end{aligned}⽤MATLAB代码求解为编写⽬标函数的.m⽂件target.mfunction f = target(x);f = sum(x.^2) + 8;编写⾮线性约束条件的.m⽂件nonlinear.mfunction [g,h] = nonlinear(x);g = [-x(1)^2 + x(2) - x(3)^2x(1) + x(2)^2 + x(3)^3 - 20]; %⾮线性不等式约束f = [-x(1) - x(2)^2 + 2x(2) + 2x(3)^2 - 3]; %⾮线性等式约束主程序⽂件main.moptions = optimset('largescale', 'off');[x, y] = fmincon('target', rand(3,1), [], [], [], [], zeros(3,1),[], 'nonlinear', options)求解⾮线性规划的基本迭代格式(难点)由于线性规划的⽬标函数为线性函数, 可⾏域为凸集, 所以求出的最优解就是整个可⾏域上的最优解. ⾮线性规划则不然, 有时求出的解虽然是⼀部分可⾏域上的极值点, 但不⼀定是整个可⾏域上的全局最优解.对于⾮线性规划模型(NP), 可以采⽤迭代⽅法求最优解. 基本思想为: 从⼀个选定的初始点出发, 按照⼀个特定的迭代规则产⽣⼀个点列{x k}; 使得当{x k}是有穷点列时, 其最后⼀个点是(NP)的最优解; 为⽆穷点列时, 它有极限点, 并且极限点是(NP)的最优解;设x^k\in R^n是某迭代⽅法的第k轮迭代点, x^{k+1}\in R^n是第n+1轮迭代点, 记x^{k+1} = x^k + t_kp^k\\ t_k\in R^1, p^k\in R^n, \lvert p^k\rvert = 1通常将基本迭代格式中的p^k称为第k轮搜索⽅向, t_k为沿p^k⽅向的步长. 有机器学习那味⼉了.对于向量p, 如果存在t\in (0, +\infty)使得f(\overline x + tp) < f(\overline x)\\ \overline x + tp \in KK即为可⾏域, 则称p为\overline x关于K的可⾏⽅向.凸函数, 凸规划凸函数的定义为: 若对区间(0,1)内的任何实数\alpha, 恒有f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \le \alpha f(x_1) + (1-\alpha)f(x_2)的函数为定义在R上的严格凸函数.⽬标函数为凸函数, 约束函数也为凸函数的⾮线性规划为凸规划.可以证明, 凸规划的可⾏域为凸集, 其局部最优解即为全局最优解, ⽽且其最优解的集合形成⼀个凸集. 当凸规划的⽬标函数f(x)为严格凸函数时, 其最优解必定唯⼀.⽆约束问题⽆约束问题即没有约束条件的问题, 即求解函数极⼩值的问题⼀维搜索⽅法当⽤迭代法求函数的极⼩点时, 常常⽤到⼀维搜索, 即沿⼀已知⽅向求⽬标函数的极⼩点.⼀种⽐较⼀个区间上两端函数值的⽅法, 原理⾮常简单, 不讲了.但是这种⽅法⼀般只能⽤于单极值区间, 对于⼀个多极值的函数. 可以尝试先画出函数图, 然后找出所有只有单个极值的区间分别求解.斐波那契法上⾯那种⽅法本是随机选取区间的两个点, 斐波那契法能够保证区间按照按照斐波那契数进⾏缩⼩.即t_1 = a + \frac{F_{n-1}}{F_n}(b-a),t_2 = a + \frac{F_{n-2}}{F_n}(b-a)根据需要求解的精度\delta, 确定迭代次数的⽅式\frac{b-a}{F_n} \le \delta也可以⽤黄⾦⽐例数代替斐波那契数列.⼆次插值法对极⼩化问题, 当f(t)在[a,b]上连续时, 可以考虑⽤多项式插值来进⾏⼀维搜索. 基本思想为: 在搜索区间内,不断⽤低次(不超过三次)多项式来近似⽬标函数, 并逐步⽤插值多项式的极⼩点来逼近极⼩化问题的最优解.⽆约束问题的解法梯度下降法总是朝着梯度下降最快的⽅向前进⽜顿法⾸先需要了解⼀下什么是考虑⽬标函数f在x^k处的⼆次逼近式f(x)\approx Q(x) = f(x^k) + \nabla f(x^k)^T(x-x^k) + \frac12(x-x^k)^T\nabla^2f(x^k)(x-x^k)假设⿊塞矩阵\nabla^2 f(x^k) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f(x^k)}{\partial x_1^2} & \cdots & \frac{\partial^2f(x^k)}{\partial x_1\partial x_n}\\ \vdots & \cdots & \vdots \\ \frac{\partial f(x^k)}{\partial x_n\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial^2 f(x^k)}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}正定由于\nabla^2 f(x^k)正定, 函数Q的驻点x^{k+1}是Q(x)的极⼩点. 令\nabla Q(x^{k+1}) = \nabla f(x^k) + \nabla^2 f(x^k)(x^{k+1} - x^k) = 0解得x^{k+1} = x^k - [\nabla^2 f(x^k)]^{-1}\nabla f(x^k)所以从x^k出发的搜索⽅向为p^k = -[\nabla^2 f(x^k)]^{-1}\nabla f(x^k)⽜顿法的优点是收敛速度快; 缺点是有时不好⽤⽽需采取改进措施, 当维度很⾼时, 计算矩阵的逆矩阵计算量将会很⼤.变尺度法变尺度法由于能够避免计算⼆阶导数矩阵及其逆矩阵, 对于⾼纬度问题具有显著的优越性.为了不计算⼆阶导数矩阵[\nabla^2 f(x^k)]及其逆矩阵, 我们设法构造另⼀个矩阵, 来逼近⼆阶导数矩阵, 这⼀类也称为拟⽜顿法(Quasi-Newton Method).当f(x)是⼆次函数时, 任两点x^k和x^{k+1}的梯度之差为\nabla f(x^{k+1}) - \nabla f(x^k) = A(x^{k+1} - x^k)因此, 我们构造⿊塞矩阵的第k+1次近似\overline H^{k+1}满⾜关系式x^{k+1} - x^k = \overline H^{(k+1)}[\nabla f(x^{(k+1)}) - \nabla f(x^k)]这就是拟⽜顿条件.令\begin{cases} \Delta G^{(k)} = \nabla f(x^{k+1}) - \nabla f(x^k)\\ \Delta x^k = x^{k+1} - x^k\end{cases}记\Delta \overline H^{(k)} = \overline H^{(k+1)} - \overline H^{(k)}称为校正矩阵.省略中间过程, 可求得校正矩阵\Delta \overline H^{(k)} = \frac{\Delta x^k(\Delta x^k)^T}{(\Delta G^{(k)})^T\Delta x^k} -\frac{\overline H^{(k)}\Delta G^{(k)}(G^{(k)})^T\Delta H^{(k)}}{(\Delta G^{(k)})^T\overlineH^{(k)}\Delta G^{(k)}} \tag{17}从⽽有\overline H^{(k+1)} = \overline H^{(k)} + \frac{\Delta x^k(\Delta x^k)^T}{(\Delta G^{(k)})^T\Delta x^k} - \frac{\overline H^{(k)}\Delta G^{(k)}(G^{(k)})^T\Delta H^{(k)}}{(\Delta G^{(k)})^T\overlineH^{(k)}\Delta G^{(k)}} \tag{18}以上矩阵称为尺度矩阵, 取第⼀个尺度矩阵\overline H^{(0)}为单位矩阵.由此可得DFP变尺度法的计算步骤为:给定初始点x_0以及梯度允许误差\varepsilon > 0若\lvert\nabla f(x^{(0)})\rvert \le\varepsilon, 则x_0为近似点, 停⽌迭代.否则转下⼀步.令\overline H^{(0)} = I (单位矩阵)\\ p^0 = -\overline H^{(0)}\nabla f(x^0)在p^0⽅向进⾏⼀维搜索, 确定最佳步长\lambda_0\min_\lambda f(x^0+\lambda p^0) = f(x^0 + \lambda_0p^0)于是可以得到下⼀个近似点x^1 = x^0 + \lambda_0p^0对于近似点x^k, 计算其梯度, 若有\lvert\nabla f(x^k)\rvert\le \varepsilon则停⽌迭代, 最终解为x^k; 否则根据式(18)计算\overline H^{(k)}, 令p^k = -\overline H^{(k)}\nablaf(x^k). 在p^k⽅向进⾏⼀维搜索, 得到\lambda_k, 从⽽得到下⼀个近似点x^{k+1} = x^k + \lambda_kp^k不断重复第4步直到满⾜允许误差.约束极值问题带有约束条件的极值问题称为约束极值问题, 也叫规划问题.⼆次规划问题⽬标函数为⾃变量的⼆次函数的问题称为⼆次规划问题.⼆次规划的模型可以表述为\min \frac12x^THx + f^Tx,\\ s.t.\quad \begin{cases} Ax\le b\\Aeq\dot x = beq\\ \end{cases} MATLAB中求解⼆次规划的函数为[x, f] = quadprog(H, f, A, b, Aeq, beq, LB, UB, X0, OPTIONS)罚函数法利⽤罚函数法, 可将⾮线性规划问题转化为⼀系列⽆约束机制问题. 因此也称这种⽅法为序列⽆约束最⼩化技术, SUMT(Sequential Unconstrained Minization Technique).罚函数法的基本思想是利⽤问题中的约束函数作出适当的罚函数, 由此构造出带参数的增⼴⽬标函数, 把问题转化为⽆约束线性规划问题.罚函数法分为外罚函数法和内罚函数法. 现在介绍外罚函数法.对于问题:\min f(x)\\ s.t.\quad \begin{cases} g_i(x)\le 0, i = 1,\dots,r,\\ h_j(x)\ge 0, j = 1,\dots,s,\\ k_m(x) = 0, m = 1,\dots,t \end{cases}取⼀个充分⼤的正数M, 构造函数P(x, M) = f(x) + M\sum_{i=1}^r\max(g_i(x), 0) - M\sum_{i=1}^s\min(h_i(x), 0) +M\sum_{i=1}^t|k_i(x)|MATLAB 求约束极值问题fminbnd 函数求单变量⾮线性函数在区间[x_1, x_2]上的最⼩值语法格式[x, f] = fminbnd(fun, x1, x2, options)fminimax 函数可以⽤来求解带有⾮线性约束条件的问题x = fminimax(fun, x0, A, B, Aeq, Beq, LB, UB, NONLCON) Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
第4讲非线性规划-精品文档
x 2 ( x ) a a x a x 过三点作抛物线： g 0 1 2 2 g ( x ) a a x a x f ( x ) 1 0 1 1 2 1 1 有 2 g ( x ) a a x a x f ( x ) 2 0 1 2 2 2 2 2 g ( x ) a a x a x f ( x ) 3 0 1 3 2 3 3
则
x x
注：迭代时，若出现退化情形 x x2 x 1 x 2 , 继续迭代。 可取 x 2
#
2. 最速下降法 设f(X) 可微，给定初始点X1,>0, 每次沿使f 下降得最快的负梯度 方向 D=－f (X)搜索，直到满足 终止条件为止。 第k次迭代
f (X)
X
D= －f (X)
x3
x i x j,
1 1 1
x1 x2 x3
x 12 x 22 0 x 32
故方程组有唯一解，且 a2 0
即抛物线的开口向上。
g ( x ) a 2 a x 0 1 2 a1 x 得极小值点 2a 2
令
,x ,x ,x中选出满足前面不等式的三点 ， 再从 x 1 2 3 重复前面的过程，直到满足终止条件： | f ( x ) g ( x ) | ,| x x | 1 3 1 2
高维问题可通过一系列的一维搜索，求出其近似最优解。
沿某些方向作一维搜索
n min{ f ( X ) |X R }
化为无约束问题 min f ( X ) s . tg ( X ) 0 , i 1 , 2 , , m i h ( X ) 0 , j 1 , 2 , , p j
第四节 非线性规划模型的解
第五章 非线性规划
• 由于 g x1, x2 0，故有
dg1 g1 g1 dy 0 dx1 x1 x2 dx1
g1 x1 dy g1 dx1 x2
17
等式约束的极值问题
dZ 0 dx1
g1 dZ f f x1 0 g1 dx1 x1 x2 x2 g1 x1 , x2 0
0
• 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点.
驻点
极值点
• 需要对该函数的海瑟矩阵进行判断
27
柯恩-塔克（K-T）最优性条件
• 思考题：
– 约束最优化问题的极小值是否满足必要性条件？原因? – 如何建立约束最优化问题局部极小值的必要性条件？ （借鉴可行性方向法）
• 约束最优化问题局部最优点的判别条件： Kuhn-Tucker最优性条件
i 1, 2,, n
1
L g j S2 0 j j
j 1, 2,, m
2
L 2 j S j 0 S j
3
式中共有n+2m个方程式和n+2m个未知量 式（2）保证了gj≤0 式（3）表明λj和Sj至少有一个应为零
24
不等式约束的极值问题
•
由等式约束可以得出
x2 y x1
2
• 将其带入原问题，得 min Z f x1, y x1 • 原问题转化为无约束极值问题
16
等式约束的极值问题
• 目标函数
Z f x1, y x1
存在极值的必要条件
dZ f f dy 0 dx1 x1 x2 dx1
(k )
(k ) T T (k ) (k ) (k ) j
非线性规划
·16·第2章 非线性规划在许多实际问题中，所建立的优化模型的目标函数或约束条件（或二者）是非线性的，所以非线性规划也是运筹学中最常用的方法之一，在生产管理和过程控制中有广泛的应用。
2.1 非线性规划问题举例【例2-1】钢铁厂自备发电厂负荷的最优分配问题。
设自备发电厂有3台蒸汽透平发电机，输入燃料，内部有高炉煤气和焦炉煤气，外购的有液化石油气。
设内部煤气不足，需用外购的液化石油气。
由于机组对输入各种燃料的输出特性不同，应如何分配燃料，使自备电厂效益最好？为了确定各种燃料的分配，设y i ，i =1，2，3为各机组的有效电力（MW ），x 1i ，i =1，2，3为各机组输入高炉煤气；x 2i ，i =1，2，3为各机组输入焦炉煤气；x 3i ，i =1，2，3为各机组输入液化石油气。
设电力单价为e c ，液化石油气单价为l c ，则可写出如下模型NP ：目标函数 max f(x )=e c (1y +2y +3y )-l c (31x +32x +33x ) 约束条件1）高炉煤气使用量上限B F11x +12x +13x ≤B F2）焦炉煤气使用量上限C F21x +22x +32x ≤C F3）各机组电力上、下限max ,i y 和min ,i ymax ,i y ≤i y ≤min ,i y i =1，2，3其中各机组电力与输入燃料关系如下：i y =a 0i +a 1i 2i p +a 2i i p +a 3i F s i i =1，2，3式中 a ——系数；si F ——抽气流量(t/h)；i p ——中间变量。
且 i p =i b 1b q i x 1+i b 2c q i x 2+i b 3l q i x 3式中b 为系数，q 为各燃料热值（103Kcal/Nm 3）。
这一数学模型的约束是线性的，而目标函数是非线性的，构成一个非线性规划问题。
第2章 非线性规划·17·2.2 基础知识非线性规划问题的一般形式是（NP ） min f (x 1，x 2，…，x n )（2-1a ） s.t. i g (1x ，2x ，…n x ) ≤0，i =1，2，…，m （2-1b ）j h (1x ，2x ，…n x )≤0，i =1，2，…，s（2-1c ） 写成向量形式，为 （NP ） min ()f x（2-2a ） s.t. i g (x )≤0，i =1，2，…，m（2-2b ）j h (x )≤0，i =1，2，…，s（2-2c ）定义2-1（全局最优解） 一个定义在X ∈x 上的函数()f x ，如果对X ∈x 的每一点 都有f (x ) ≥f (xˆ) 则称ˆx为全局极小解，ˆ()f x 为全局极小值。
4非线性规划
最优解和最优值
定义 4.1.1 对于非线性规划(MP)，若 x * X ，并且有 f ( x * ) f ( x), x X 则称 x * 是(MP)的整体最优解或整体极小点，称 f ( x * ) 是 (MP)的整体最优值或整体极小值。如果有 f ( x * ) f ( x), x X, x x * 则称 x * 是(MP)的严格整体最优解或严格整体极小点，称 f ( x * ) 是(MP)的严格整体最优值或严格整体极小值。
谷区间。
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ; 第 2 步 计算最初两个探索点 t1 a 0.382(b a) b 0.618(b a) t 2 a 0.618(b a ) 并计算 1 ( t 1 ) ， 2 (t 2 ) ； 第 3 步 若 1 2 ，转第 4 步。否则转第 5 步； 第 4 步 若 t 2 a ，停止迭代，输出 t 1 。否则令 b : t 2 ， t 2 : t 1 ， t 1 : b 0.618(b a ) ， 2 : 1 ，计算 1 ( t 1 ) ，转第 3 步； 第 5 步 若 b t 1 ，停止迭代，输出 t 2 。否则令 a : t 1 ， t 1 : t 2 ， t 2 : a 0.618(b a ) ， 1 : 2 ，计算 2 (t 2 ) ，转第 3 步。
1 2
若-f 是 S 上的（严格）凸函数，则称 f 是 S 上的（严格） 凹函数，或 f 在 S 上是（严格）凹的。 注：线性函数是既凸又凹的函数。
第14页
定理 4.2.4 设 S R n 是非空开凸集， f : S R 二阶连续可导，则 f 是 S 上的凸函数的充要条件是 f 的 Hesse 矩阵 2 f ( x ) 在 S 上是半正定的。 当 2 f ( x ) 在 S 上是正定矩阵时，f 是 S 上的严格凸函数。 （注意：该逆命题不成立。）
运筹学13 惩罚函数法
(13.1.20)
又x ( k )为F ( x, k )的极小点, 则 f ( x ) f ( x ) k P( x ) f ( x ( k ) ) k P( x ( k 1) ) F ( x ( k ) , k )
min F ( x, )的解为x( )
(13.1.12)
x( )
2
2
1 x*,
TP SHUAI 10
13.1 外点罚函数法
罚因子的选取非常重要!!!
一般的策略是:取一趋向无穷大的严格递增正数列{k }, 从某个1开始, 对每个k , 求解 min f ( x) k P( x) (13.1.13) 从而得到一个极小点的序列{xk }在适当条件下, 此序列 收敛于约束问题的最优解. 序列无约束极小化方法(SUMT)
由上引理知, 若迭代不终止, 则{ f ( x ( k ) )},{F ( x ( k ) , k )} 为非减序列, {P( x ( k ) )}为非增序列.
引理13.1.2 设x 是问题(13.1.1)的最优解, 且对任意的
k 0, 由(13.1.3)定义的F ( x, k )存在极小点x ( k ) , 则对
由(13.1.20)-(13.1.21)知(13.1.19)成立.
TP SHUAI 17
(131 .. 21)
13.1 外点罚函数法
i S x (13.1.22) h j ( x) , j 1, 2,...l 是紧的, 又设{k }是趋向的严格递增正数列, 且对每个k , {x
运筹学-非线性规划(四)(名校讲义)
1．外点法（又称惩罚法）
其思路是在目标函数中增加一项使之变为无约束问题，同时 对破坏约束项需付出高昂代价，该法的起始点在可行域外， 一旦进入可行域内便得到最优解。
§1 多维有约束寻优方法 （9）
①思路 设原问题为min：f[X] 约束：XS S是En中一个约束子集，即X的可行域为S，
则将其变成无约束问题： min：f[X]+ p(X)
p(x) =1 =10 =100
=100
b
=10
=1
图4-19
x
a
§1 多维有约束寻优方法 （11）
②求解过程
令{k }（k=1，2，…，）是一无穷序列，且k≥0，k＋1 >k，定义函数q(，X)=f(X)+Xk，若原问题有解，则当k→∞，
§1 多维有约束寻优方法 （2）
一、库恩-塔克（简称库塔）条件
1．可行方向和起作用约束 ①可行方向：
设X(0)是可行点，即X(0) R，若对于某一方向D，存在一 个数 0>0,使对于任意 （0≤≤0 ）均有下式成立：X(0) +DR，则称方向D是点X(0)处的可行方向。 ②下降方向：对于f(X)的台劳级数展开，若▽f[X(0)]T· D<0, 则称D方向为f[X]的下降方向。
第二十四讲 非线性规划（四）
§1 多维有约束寻优方法
§1 多维有约束寻优方法 （1）
非线性规划的一般形式
min f(X) hi(X)=0 i=1，2，…，m (1)
gi(X)≥0 j=1，2，…，l
下面，先阐述非线性规划的重要理论成果——库恩-塔克 条件(Kuhn-Tucker),然后介绍比较重要的几种有约束的寻 优方法。
0 1 2 x1
第四章 非线性规划2-SUMT方法(罚函数法)
第二节 SUMT 方法（罚函数法）一、SUMT 方法的原理SUMT （sequential unconstrained minimization technique ）法，序列无约束极小化方法,亦称为罚函数法。
它是一种不等式约束最优化问题的间接解法它的基本思想是将原来的目标函数和约束函数按一定的方式构成一个新的函数，在这个新函数中，既包括目标函数，又包括全部约束函数和一个可以变化的乘子。
当这个乘子按一定的方式改变时，就得到一个新函数序列，求每一个新函数的最优解都是一个无约束最优化问题，这样就把一个约束最优化问题转化为一系列无约束最优化问题进行求解。
所得到的最优解序列将逐步逼近原问题的最优解。
引例一：min ()f X ax = s.t ()0g X b x =-≤ 显然f （X ）的最优点为x*=b ，对应的最小值为f （X*）=ab用SUMT 求解函数的最优解 构造函数11(,)()()k k kX r f X r ax r g X b xΦ=-=--0k r >—可变化乘子，它是一个很小的正数。
其最优解为：*()kX r b =+此时对应的(,)k X r Φ的最小值为***1(,)k k X r ax r b x ab Φ=--=+最优点*()k X r 和最小值*(,)k X r Φ均是kr 的函数。
当kr 取不同值时，它们有不同的值，而当0kr →时，**()k X r X b →=，*(,)*k X r f X ab Φ→=（），即最后收敛于约束最优点。
minlim[min (,)]() {|()0}kki r X r f X R X g X X R→Φ==≤∈ 以上分析从理论上说明了无约束最优化问题min (,)kX r Φ与约束优化问题min() {|()0}i f X R X g X X R=≤∈之间的联系：约束非线性规划问题可以通过构造新目标函数序列，用无约束优化方法求其极小点，并逐次逼近原问题的最优点。
约束非线性规划的罚函数方法
重庆大学本科学生毕业设计（论文）求解约束非线性规划问题的罚函数方法学生：蒋晨曦学号：20102262指导教师：王开荣专业：统计学（金融与精算方向）重庆大学数学与统计学院二O一四年六月Graduation Design(Thesis) of Chongqing UniversityPenalty function method for solving constrained nonlinearprogramming problemUndergraduate: Jiang ChenxiSupervisor: Prof. Wang KairongMajor:Statistics(Oriented in Finance andactuarial science)College of Mathematics and StatisticsChongqing UniversityJune 2014重庆大学本科毕业设计(论文) 中文摘要摘要约束非线性规划问题广泛见于工程、国防、经济等许多重要领域，现代科学、经济和工程的许多问题都有赖于相应的约束非线性规划问题的全局最优解的计算技术。
因此，了解和掌握求解约束非线性规划问题的方法无疑是非常重要的。
在过去的几十年里，求解非线性规划问题的方法已取得了很大的发展。
求解非线性规划问题的重要途径之一是把它转化为无约束问题求解。
而罚函数方法是把约束问题转化为无约束问题的一种主要方法，它通过求解一个或者一系列的无约束问题来求解原约束问题。
罚函数方法包括外点罚函数法，内点罚函数法以及混合罚函数法，但是这几种方法均会由于罚参数的变化（无限增大或减小）会导致相应的增广目标函数的Hesse矩阵出现病态的不良后果，因而往往使求解在实用中失败。
所以我们需要寻求一些新的方法来解决这个问题，为了利用惩罚函数的思并克服它的缺点，我们考虑把问题的惩罚函数和Lagrange函数结合起来，构造出更适当的增广目标函数。
最优化方法之罚函数法讲解
contents
目录
• 引言 • 罚函数法基本原理 • 经典罚函数法介绍 • 改进型罚函数法探讨 • 数值实验与案例分析 • 结论与展望
01 引言
最优化问题概述
01
02
03
最优化问题的定义
最优化问题是在一定条件 下，寻找一组参数值，使 得某个或某些目标函数达 到最优的问题。
混合罚函数法
• 基本思想：混合罚函数法结合了外点罚函数法和内点罚函数法的特点，通过同时构造包含原目标函数、等式约 束和不等式约束的辅助函数，将约束问题转化为无约束问题进行求解。
• 辅助函数构造：混合罚函数法的辅助函数通常包括原目标函数、等式约束的二次惩罚项以及不等式约束的对数 障碍项。其中，二次惩罚项用于处理等式约束，对数障碍项用于处理不等式约束。
内点罚函数法
• 基本思想：与外点罚函数法类似，内点罚函数法也是通过构造辅助函数将约束问题转化为无约束问题。不同之 处在于，内点罚函数法要求迭代点始终保持在可行域内部，并在可行域边界上对原目标函数进行惩罚。
• 辅助函数构造：内点罚函数法的辅助函数通常取为原目标函数加上一个障碍项，该障碍项在可行域内部为零， 在可行域边界上取正值，且随着接近边界程度的增加而趋于无穷大。
• 迭代过程：从满足所有约束条件的一个点出发（通常通过其他方法获得），通过求解无约束问题的极小化序列 来逼近原问题的最优解。在迭代过程中，根据当前点违反约束的情况动态调整惩罚因子和障碍参数，以保证算 法的稳定性和收敛性。
• 优缺点：混合罚函数法能够同时处理等式和不等式约束，具有较广泛的适用性。然而，由于需要同时考虑多种 类型的约束和惩罚项，算法的复杂性和计算量相对较大。此外，惩罚因子和障碍参数的选择对算法效果也有一 定影响。
非线性规划中的罚函数及填充函数方法的开题报告
非线性规划中的罚函数及填充函数方法的开题报告一、研究背景和意义非线性规划是数学规划中的一种重要研究领域。
相比线性规划，非线性规划的解法更为困难，解决非线性规划问题需要使用专门的数学方法。
罚函数及填充函数方法是求解非线性规划的两种主要方法之一，它们可以有效地降低问题的复杂度，提高求解效率。
罚函数方法是一种将约束条件的违反程度作为惩罚因子添加到目标函数中的方法，将原问题转化为一个无约束的优化问题，从而使用专门的无约束优化算法求解。
相比其他方法，罚函数方法具有实现简单、稳定可靠等优点，广泛用于实际问题求解过程中。
填充函数方法是一种将约束条件转化为边界条件的方法，这种方法将非线性规划转化为一系列求解带有边界条件的线性规划问题，然后使用线性规划的求解方法进行求解。
填充函数方法具有数学基础适用广泛等优点，被广泛地应用于数学规划中。
二、研究内容和方法本文研究非线性规划中罚函数及填充函数方法的原理和应用。
主要内容包括：1.罚函数方法的原理和应用：介绍罚函数方法的数学原理和基本概念，详细讨论罚函数方法在非线性规划中的应用，包括罚函数参数的设置、罚函数算法的求解等。
2.填充函数方法的原理和应用：介绍填充函数方法的数学原理和基本概念，详细讨论填充函数方法在非线性规划中的应用，包括填充函数的构造方法、线性化方法、求解算法等。
3.比较和分析：对罚函数和填充函数两种方法进行比较分析，研究它们在不同情况下的优劣势，并结合实例进行分析和验证。
本文主要采用文献资料法和实例分析法。
通过系统梳理相关文献资料，深入研究罚函数和填充函数两种方法的原理和应用，探索它们在不同情况下的局限性和优越性。
同时结合实例进行数学模型的建立和求解，验证两种方法在实际问题中的应用效果，给出具体实施方案和可行性建议。
三、预期结果和意义本文研究非线性规划中罚函数及填充函数方法的原理和应用，深入分析它们在实际问题中的应用效果，将对数学规划领域的教学和实际应用有很大的帮助。
非线性规划中的两种罚函数的开题报告
非线性规划中的两种罚函数的开题报告非线性规划 (Nonlinear Programming, NLP) 是数学规划中的一个分支，研究的是目标函数和约束条件中存在非线性项的优化问题。
在实际应用中，非线性规划模型的求解具有广泛的应用背景，例如：经济学、管理学、生物学、工程学等领域。
在非线性规划中，罚函数是一类常用的求解方法之一。
本篇开题报告主要介绍了非线性规划中的两种罚函数：外罚函数和内罚函数。
针对这些罚函数，我们将会探讨其原理、优缺点以及在实际应用中的使用情况。
一、外罚函数外罚函数（Exterior Penalty Function, EPF）是一种将罚函数作用在约束条件上的优化方法。
外罚函数将约束条件中不满足要求的部分利用罚函数进行惩罚，从而将问题转化为无约束条件下的优化问题。
举例来说，对于如下的非线性规划模型：min f(x)s.t. g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，g(x) 和 h(x) 分别表示不等式约束和等式约束，可以通过以下的 EPF 方法进行求解：min f(x) + ρg(x)²s.t. h(x) = 0其中，ρ为罚函数系数。
通过 EPF 可以将原问题转化为一个无约束条件下的问题，可使用常用的优化算法（如梯度法、牛顿法）进行求解。
在 EPF 方法中，罚函数系数ρ的选取对求解结果的影响较大。
一般情况下，应根据具体问题合理选取ρ值，使得求解的结果更加符合实际情况。
二、内罚函数内罚函数（Interior Penalty Function, IPF）是一种将罚函数作用在目标函数上的优化方法。
在 IPF 方法中，将约束条件视为目标函数的一部分，并同样利用罚函数进行惩罚，使得约束条件是目标函数的一部分。
在 IPF 方法中，约束条件不再是严格限制的，而是成本函数的一部分。
举例来说，对于如下的非线性规划模型：min f(x)s.t. g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，g(x) 和 h(x) 分别表示不等式约束和等式约束，可以通过以下的 IPF 方法进行求解：min f(x) + μ[g(x)]_+^2+ λ[h(x)]^2其中，[g(x)]_+ 表示不等式约束 g(x) 的正部，μ和λ分别为罚函数系数。
罚函数法(SUMT法)
线性规划3-6
一.外点法迭代原理
(NP) min f (X )
( X , M ) f ( X ) M [min(0, gi ( X ))]2
设min( X , M )的最优解为 X (M ) XRn
s.t. gi ( X ) 0
i 1,2, , m
20 若 X (M ) D, 当M很大时， X *(M)也会相当靠近
设min( X , M )的最优解为 X (M ) XRn
s.t. gi ( X ) 0
i 1,2, , m
20 若 X (M ) D, 当M很大时， X *(M)也会相当靠近
(NP) 可行域D的边界，是(NP)的最优解X *的近似解
证明： X ( M ) D, 至少存在 i0 使 gi0 (X(M)) 0
D
g2(X ) 0
g1( X ) 0
X (k)(Mk )
X
x1
线性规划3-6
一.外点法迭代原理
(NP) min f (X )
s.t. gi ( X ) 0
i 1,2, , m
( NP) min f (X )
s.t
.
gi hj
( (
X X
) )
0, 0,
i j
1, 2,L 1, 2,L
m
构造罚函数： ( X , M ) f ( X ) M [min( 0, gi ( X ))]2
罚函数的特点：
罚因子 i1 惩罚项
f (X ),
XD
(X , M) f (X) + 很大的正数, X D
( NP) 求解 min( X , M ) 设其最优解为 X*(M)， XRn
研究 X*(M) 与(NP)的最优解 X* 之间的关系
第四章 非线性规划2-SUMT方法(罚函数法)
第二节 SUMT 方法（罚函数法）一、SUMT 方法的原理SUMT （sequential unconstrained minimization technique ）法，序列无约束极小化方法,亦称为罚函数法。
它是一种不等式约束最优化问题的间接解法 它的基本思想是将原来的目标函数和约束函数按一定的方式构成一个新的函数，在这个新函数中，既包括目标函数，又包括全部约束函数和一个可以变化的乘子。
当这个乘子按一定的方式改变时，就得到一个新函数序列，求每一个新函数的最优解都是一个无约束最优化问题，这样就把一个约束最优化问题转化为一系列无约束最优化问题进行求解。
所得到的最优解序列将逐步逼近原问题的最优解。
引例一：min ()f X ax =s.t ()0g X b x =-≤显然f （X ）的最优点为x*=b ，对应的最小值为f （X*）=ab用SUMT 求解函数的最优解 构造函数11(,)()()k k kX r f X r ax r g X b xΦ=-=-- 0k r >—可变化乘子，它是一个很小的正数。
其最优解为：*()k X r b =+ 此时对应的(,)k X r Φ的最小值为***1(,)k kX r ax r b x ab Φ=--=+最优点*()k X r 和最小值*(,)k X r Φ均是k r 的函数。
当k r 取不同值时，它们有不同的值，而当0k r →时，**()k X r X b →=，*(,)*k X r f X ab Φ→=（），即最后收敛于约束最优点。
0min lim[min (,)]() {|()0}k k i r X r f X R X g X X R→Φ==≤∈ 以上分析从理论上说明了无约束最优化问题min (,)k X r Φ与约束优化问题min () {|()0}i f X R X g X X R=≤∈之间的联系：约束非线性规划问题可以通过构造新目标函数序列，用无约束优化方法求其极小点，并逐次逼近原问题的最优点。
非线性_线性二层规划问题的罚函数方法_吕一兵
王 广 民
(中国地质大学管理学院, 武汉 43007 4 ) 摘要 利用下层问题的 K 一 T 最优性条件将下层为线性规划 的一类非线性二层规划转化成 相 应 的单层 规划 , 同时取 下层 问题 的互 补条 件 为罚项 , 构 造 了该 类 非线性 二 层规 划 的罚 问 题 . 通过 对相 应罚 间题性质 的分析 , 得 到了该 类非 线性二 层规 划 问题 的最 优性 条件 , 同时设 计 了该 类二层 规划 问题 的求解 方法 . 数 值结 果表 明该 方法 是 可行 有效 的 .
关社 词 非 线性二层 规划 , 非 线性 规划 , K一 T 条件 , 罚 函数.
M R (2000 ) 主题分类号
90C 05 , 90 C 26
1
引
言
二层 规划 是一 种具 有递 阶结构 的优化 间题 , 其 数 学模 型可 以写 为 ma X m Va x F (x , , )
(1)
5. t.G (x , , ) 三 , f (x , 功 st 夕 (x , , ) 三 , 其中 x 任R , , 任R m 分别 称为上层决 策变量及下 层决策变量 . F :R x m * R , f : R x m
Q (入 二 : + (1 一入 ) 2, 入 v : + (1 一入 )vZ)
一( 二 ,器 系二{F ( x, )一 k[ ( 入 u +(一 ^) 2) + (入 vl+ ( 一 入 )vZ), ] }
一 ( 二 ,咒 轰 : {入 F( x , )一 k[ 入m+入 v ]+ ( 一 入 )F ( x, )一 kl (一 入 )2 +(一 入 )vZ, ] } 三 人 ( 二 ,票尧 二[ F( x , )一 k( + )]+ ( 一 入 )( 二 滥 z [ F( x, )一 k( , + vZ )]
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(8-10)
条件(8-10)式常简称为K-T条件。满足这个条件的点(它当然也满足非线 性规划的所有约束条件)称为库恩-塔克点(或K-T点)。
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4、二次规划：
若非线性规划的目标函数为自变量X的二次函数，约束条件全是线性 的，称这种规划为二次规划。二次规划的数学模型为：
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温
一般模型
故
求解
知
罚函数法
新
可行方向法
基本概念
最优性条件
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第二章 非线性规划
基本概念 最优性条件 凸函数和凸规划 一维搜索方法
2
3 4
5
6
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无约束最优化方法
约束最优化方法★
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6.4 可行方向法
min f ( X ) hi ( X ) 0, i 1, 2, , m g j ( X ) 0, j 1, 2, , l
规划的一般形式为
或
min f ( X ) g j ( X ) 0,
j 1, 2,
,l
,l
上述问题也常写成
min f ( X ), X R En R X g j ( X ) 0,
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3、库恩-塔克条件：
设X*是非线性规划(7-3)式的极小点，而且在X*点的各起作用
* T , , l* )，使下述条件成立： 约束的梯度线性无关，则存在向量 * ( 1* , 2
l * * * f ( X ) g ( X )0 j j j 1 * * j g j ( X ) 0, j 1, 2, ,l * j 1, 2, ,l j 0,
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5、二次规划的转化：
对二次规划问题进行修正，从而得到如下线性规划问题：
min
(Z ) z j
j 1
n
a
i 1 n
m
ij
yn i y j c j k xk sgn(c j ) z j c j , j 1, 2,
j 1, 2,
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2、可行下降方向
如果方向D既是X(0)点的可行方向，又是这个点的下降方向，就称它 是该点的可行下降方向。 （1）假如X(0)点不是极小点，继续寻优时的搜索方向就应从该点的可 行下降方向中去找。若某点存在可行下降方向，它就不会是极小点。 （2）若某点为极小点，则在该点不存在可行下降方向。
（7-12）
（7-13）
（7-14）
(8-12)式右端的第二项为二次型。如果该二次型正定(或半正定)，则目 标函数为严格凸函数 (或凸函数 )；此外，二次规划的可行域为凸集， 因而，上述规划属于凸规划。第7章已指出：凸规划的局部极值即为全 局极值。对于这种问题，库恩-塔克条件不但是极值点存在的必要条件 ，而且也是充分条件。
可行方向法
现考虑非线性规划(8-3)式，设X(k)是它的一个可行解
，但不是要求的极小点。为了求它的极小点或近似
极小点，根据以前所说，应在X(k)点的可行下降方向 中选取某一方向D(k) ，并确定步长λk，使
( k 1) (k ) (k ) X X λ D R k ( k 1) (k ) f ( X ) f ( X )
n 1 n n min f ( X ) c j x j 2 c j k x j xk j 1 j 1 k 1 c j k ck j , k 1, 2, ,n n ai j x j bi 0, i 1, 2, ,m j 1 x j 0, j 1, 2, ,n
min
f ( X ( k ) ) T D , g j ( X
k 1
n
,n
a
j 1
（8-20）
,m
ij
x j xn i bi 0, i 1, 2, j 1, 2, j 1, 2, j 1, 2, ,n m ,n m ,n
x j 0, y j 0, z j 0,
该线性规划尚应满足(8-17)式。这相当于说，不能使xj和yj(对每一个j ) 同时为基变量。
（8-21）
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6.4 可行方向法
若满足精度要求，迭代停止，X(k+1)就是所要的点。否 则，从X(k+1)出发继续进行迭代，直到满足要求为止。
上述方法称为可行方向法，其特点是：
迭代过程中采用的搜索方向为可行方向，所产生的迭
代点列｛X(k)｝始终在可行域内，目标函数值单调下降
。
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6.4 可行方向法
设X(k)点的起作用约束集非空，为求X(k)点的可行下降方向，可由下述不等 式组确定向量D： (k ) T f ( X ) D 0 （8-22） (k ) T
g j ( X ) D 0, jJ
这等价于由下面的不等式组求向量D和实数η： f ( X ( k ) )T D (k ) T （8-23） g j ( X ) D , j J 0 (k ) T (k ) T 若使 f ( X ) D 和 gj ( X ) D (对所有 j J )的最大值极小化， 即可将上述选取搜索方向的工作，转换为求解下述线性规划问题：
第二章 非线性规划(Nonlinear Programming)
主讲人：莫 莉
moli@
2015 年 6 月
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温
一般模型
故
求解
知
罚函数法
新
可行方向法
基本概念
最优性条件
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1、一般模型
大多数极值问题其变量的取值都会受到一定限制，这种限制由约束 条件来体现。带有约束条件的极值问题称为约束极值问题。非线性