[整理]5平面向量基础知识

平面向量基础知识

第一课时：向量的概念

向量的定义（两要素）

向量与矢量、数量、标量的区别 作用点、实际意义（单位）、可比性

向量是矢量的抽象、数量是标量的抽象

向量的表示

几何表示 （几何中用点表示位置、用射线表示方向 起点到终点）

用有向线段表示向量使向量具有几何直观性

有向线段（三要素）与向量的区别 （人的身高不随位置改变而改变）

向量只与其起点和终点的相对位置有关，与起点和终点的绝对位置无关

符号表示 有向线段的起点与终点符号（大写）（具体） 小写符号（抽象） 手写必须带箭头 （“帽子”）

用符号表示向量使向量具有代数的属性

坐标表示

用坐标表示向量使向量具有算术的属性

向量的模及其表示 写法与读法 （“外套”）

模特殊的向量

零向量 定义、表示0、方向

单位向量 定义 方向的惟一性

与已知非零向量共线的单位向量常用表示符号e 、i 、j 、ｋ

位置特殊的向量

位置向量 起点为坐标原点的向量

方向关系特殊的向量与表示

平行向量（共线向量 “平行向量”与“共线向量”是等意词）

垂直向量

相等向量 平移变换用之

相反向量 反向变换用之

零向量的规定：零向量与任一向量共线，零向量的相反向量是零向量

判断：

1、若两向量相等，则它们的起点与终点相同

2、AB BA =-

3、若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c

4、若AB CD =，则AB CD

5、若a 与b 不共线，则a ≠0，b ≠0

6、若AB ∥CD ，则A 、B 、C 、D 四点共线

7、若AB ∥AC ，则A 、B 、C 三点共线

8、若AB=CD ，则AB CD =

∥ ＝

9、若AB=CD ，则||||AB CD = （既戴帽子，又穿外套）

两个向量平行，这两个向量可以在一条直线上，这与平面几何中的“平行”的含义不同；两个向量共线，这两个向量不一定在一条直线上，这与平面几何中的“共线”的含义也不同．而规定零向量与任一向量平行，使几何中的“平行公理”对于向量平行不再成立．（在几何中，“平行”和“共线、重合”绝不相同，而在向量中，“平行”和“共线”绝对一样）

向量的类型：自由向量、滑动向量、固定向量

第二课时：向量的加法

向量加法的定义

向量加法处理方法：三角形法则、平行四边形法则

（当两个向量共线时，平行四边形法则不适用，只适用三角形法则；当两个向量不共线时，平行四边形法则和三角形法则是一致的）

向量加法的特征：尾首相接，首尾相连（与接点的位置无关）

向量的和拆分 封闭折线的和向量

△ABC 中，G 是重心⇔GA ＋GB ＋GC ＝0

求和向量时需要把向量具体化、几何化

向量加法的运算律：交换律、结合律

向量加法的性质

1、两个向量的和为一个向量

2、若两个向量平行，则它们的和向量与它们也平行

3、若两个向量不平行，则它们的和向量与它们也不平行

4、||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，

当且仅当a 与b 同向，或其中至少一个是零向量时，后一等号成立；当且仅当a 与b 反向或其中至少一个是零向量时，前一等号成立．

第三课时：向量的减法

向量减法的定义 向量减法是向量加法的逆运算

向量减法处理方法：三角形法则、平行四边形法则

向量减法的特征：首首相聚，被减被指（与起点的位置无关）

向量的差拆分

向量减法是向量加法的逆运算，即减去一个向量等于加上该向量的相反向量

求差向量时需要把向量具体化、几何化

向量减法的性质

1、两个向量的差为一个向量

2、若两个向量平行，则它们的差向量与它们也平行

3、若两个向量不平行，则它们的差向量与它们也不平行

4、||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |，

当且仅当a 与b 反向或其中至少一个是零向量时，后一等号成立；当且仅当a 与b 同向或其中至少一个是零向量时，前一等号成立．

平行四边形与向量的加减法：平行四边形ABCD中AB＝a，AD＝b，若|a＋b|＝|a －b|，则平行四边形ABCD是

第四课时：向量的加减法

第五课时：向量的数乘

乘法的类型、意义与表示方法乘法的加法意义

乘法是加法的简便运算系数范围从自然数扩大到实数

实数与向量的积的定义可看作是实数与实数的积的概念的推广

向量的数乘的定义

实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘，其积是一个向量，记作λa，且满足（1）|λa|＝|λ||a|；（2）当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；

当λ＝0时，λa＝0，总之λa∥a

向量数乘的几何表示伸缩变换与反向变换

向量数乘的运算律结合律、分配律（第一、第二）、交换律

向量数乘与实数乘法的异同：运算结果不同，运算律相同

向量的线性运算的定义向量的加法、减法、数乘及其混合运算叫做向量的线性运算，又叫向量的初等运算（结果为向量的“一次”式）

向量的线性运算结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似（去掉箭头即为多项式法则）

第六课时：向量的线性表示

向量的线性表示：若a≠0，且b＝λa，则称b可用非零向量a线性表示，其中a叫做基底

非零向量的单位向量的定义与表示公式

若向量a≠0，则称与a方向相同的单位向量叫做a的单位向量；

若x是a的单位向量，则x＝a a

向量共线定理（向量共线的判定与性质）

已知a≠0，

（1）若b＝λa，则b∥a；

（2）若b∥a；，则有且只有一个实数λ，使b＝λa

只有以非零向量作为基底，才能线性表示与之共线的所有向量，且线性表达式是惟一的；若以零向量作为基底，则无法线性表示非零向量，而表示零向量时，线性表达式有无数个

若OC＝λOA＋μOB，且λ＋μ＝1，则A、B、C三点共线

已知λa＋μb＝0，（1）若λ与μ不全为零，则a∥b；（2）若a与b不共线，则λ＝μ＝0