结构动力学(运动方程)

p(t)

m
d
2u(t) dt 2源自文库

mu(t)
3.2.1.1-2
式中： mu(t) 称为抵抗质量加速度的惯性力。
直接平衡法
通过动力体系各质点的力矢量平衡关系建立运动方程 的方法。质量所产生的惯性力与它的加速度成正比，但方 向相反。这一概念称为达兰贝尔原理。借助该原理可以把 运动方程表示为动力平衡方程。方程中的力包括多种作用 于质量上的力，如抵抗位移的弹性恢复力、抵抗速度的粘 滞阻尼力以及其它独立确定的外荷载。因此，运动方程的 表达式仅仅是作用于质量上所有力（包含惯性力）的平衡 表达式。在许多简单问题中，直接平衡法是建立运动方程 的最直接而且方便的方法。
间区间 t1 ~ t2 内，动能和位能的变分与非保守力所作的功的变分之和必须等
于零。应用此原理可直接导出任何给定体系的运动方程。 在虚功分析中，尽管功本身是标量，但被用来计算功的力和位移都是矢
量。利用哈密尔顿原理建立运动方程时，不直接使用惯性力和弹性力，而代 之以动能和位能的变分项，平衡关系只与纯粹的标量（能量）有关，这是此 法与虚位移原理方法的区别。
牛顿第二运动定律
任何质量 m 的动量变化率等于作用在这个质量上的力。这一关系在
数学上可用微分方程来表达：
p(t) d (m du(t)) dt dt
3.2.1.1-1
式中： p(t) 为作用力矢量；u(t) 为质量 m 的位移矢量。对于大多数的结
构动力学问题，可以假设质量不随时间变化，这时方程（1）可改写作
例：由刚体质量、支承弹簧与阻尼器组成的单自由度体系如图所示，刚体仅可 作单一方向运动。
x x
(a) 物理模型
(b) 平衡力系
图 3.2.1.1 理想化单自由度运动体系
图中 k 为弹簧刚度， m 为质量， c 为阻尼系数， p(t) 为外力。若 u 、 u 、 u 分
别为体系的位移、速度和加速度反应，则质量块承受的惯性作用 fI mu ，弹性恢 复力 fS ku ，粘滞阻尼力 fD cu 。
如图 3.2.1.1（b）所示，根据力的平衡可以得：
fI fD fS p(t) 即
3.2.1.1-3
mu cu ku p(t)
3.2.1.1-4
公式 3.2.1.1-4 即为单自由度体系运动方程。
虚位移原理
虚位移原理可表述为：如果一组力作用下的平衡体系 承受一个虚位移（即体系约束所允许的任何微小位移）， 则这些力所作的总功（虚功）等于零，虚功为零和体系平 衡是等价的。因此，只要明了作用于体系质量上的全部力 （包括按照达兰贝尔原理所定义的惯性力），然后引入对 应每个自由度的虚位移，并使全部力作的功等于零，则可 导出运动方程。虚功为标量，故可依代数方法相加，这是 此法的主要优点。
当结构体系相当复杂，且包含许多彼此联系的质量点 或有限尺寸的质量块时，直接写出作用于体系上的所有力 的平衡方程可能是困难的；尽管作用于体系的力可以容易 地用位移自由度来表示，但它们的平衡关系则可能十分复 杂。此时，利用虚位移原理建立运动方程更为方便。
例：假设给图 3.2.1.1（b）所示体系一个虚位移u （仅仅 是体系约束所允许的微小位移），则作用于体系的全部力都将做 功，体系所作的总功可写作
哈密尔顿原理
哈密尔顿积分变分原理可表示为
t2 δ(T V )dt t1
t2 t1
δWncdt

0
3.2.1.3-1
式中：T 为体系的总动能；V 为体系的位能，包括应变能及任何保守外力（如 重力）的势能；Wnc 为作用于体系的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载） 所作的功；δ 为在指定时间区间内所取的变分。哈密尔顿原理表明在任何时
例：根据定义，体系的动能为 T (1/ 2)mu2 ，仅由弹簧的应变能表达的位能为
V (1/ 2)ku2 ；该体系的非保守力为阻尼力 fD 和外荷载 p(t) ，这些力所做功的变分 为 δwnc p(t)δu cuδu ，将以上各式代入哈密尔顿原理表达式，经相应的变分和整理 后可得
fIδu fDδu fSδu p(t)δu 0 3.2.1.2-1 式中的负号是表示力的方向和虚位移方向相反。将各力的表达 式代入上式可得
[mu cu ku p(t)]δu 0 3.2.1.2-2 因为 u 不等于零，故可得与式 3.2.1.1-4 相同的方程。
结构动力学
张系斌
2015.5.
二、体系的运动方程建立
2.1 建立运动方程的基本步骤

2.2 运动方程建立举例
2.3 体系运动方程的一般形式
2.4 应注意的几个问题
2.5 刚度法、柔度法列方程的步骤

2.6 运动方程建立总结
运动方程的建立
建立动力体系运动方程常用的三种方法是直接 平衡法、虚位移原理方法和哈密尔顿原理方法；运 动方程可用上述三种方法中的任一种建立。对于简 单体系，最明了的方法是采用直接平衡法建立包括 惯性力在内的作用于体系上的全部力的平衡关系， 得出运动方程。对于更复杂的体系，直接建立矢量 平衡关系可能是困难的，此时采用功和能等标量建 立平衡关系更为方便；其中包括虚位移原理方法和 哈密尔顿原理方法。上述三种方法的结果是完全相 同的，采用何种方法取决于是否方便、个人的喜好 以及动力体系的性质。
零，将上式代回方程 3.2.1.3-2，结果为
t2 [mu cu ku p(t)]δudt 0 t1
3.2.1.3-4
因变分 x 的任意性，括号内的表达式必须为零才能使方程始终得以满足，由此可得
同样的单自由度体系运动方程。
2.1 建立运动方程的基本步骤
作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列
t2 [muδu cuδu kuδu p(t)δu]dt 0 t1
3.2.1.3-2
利用关系 δu d(δu) / dt ，上式中的第一项可表示为如下的分部积分：
t2 muδudt muδu t2 t2 muδudt
t1
t1
t1
3.2.1.3-3
哈密尔顿原理假定变分 u 在积分限 t1 和 t2 时为零，故方程 3.2.1.3-3 右边第一项为