材料力学11-第十一章静不定结构解析

第十一章静不定结构

目录

第十一章静不定结构 (3)

§11.1 静不定结构概述 (3)

一、基本构件 (3)

二、静不定结构 (3)

§11.2 用力法解静不定结构 (4)

一、只有一个多余约束的情况 (4)

二、有多个多余约束情况 (5)

§11.3 对称及反对称性质的利用 (7)

§11.4 连续梁及三弯矩方程 (8)

第十一章 静不定结构

§11.1 静不定结构概述

一、 基本构件

1. 桁架：直杆通过铰节点连接，何载作用在节点上，每一杆件只承受拉伸或压缩。

2. 刚架：直杆通过刚节点连接，每一杆件可以承受拉伸、压缩、弯曲和扭转。

3. 连续梁：连续跨过若干支座的梁。

二、 静不定结构

1. 静不定结构：支座反力不能完全由静力平衡方程求出的结构。分外力静不定结构和内力静不定结构。

2. 几何（运动）不变结构：结构只存在由变形所引起的位移。

3. 多余约束：结构中超过使体系保持几何不变结构的最少约束的约束。 桁架（内力静不定结构）

刚架1（内力静不定结构）

连续梁（外力静不定结构）

维持结构几何不几何可变

多余约束

多余约束用

4. 静不定次数的判断：去掉多余约束使原结构变成静定结构，去掉多余约束的个数为静不定的次数。

多余约束

R

R

解除一个活动铰，相当于解除一个约束；解除一连杆，相当于解除一个约束；解除单铰，相当解除两个约束

5. 基本静定系：解除静不定结构的某些约束后得到的静定结构。

6. 静不定结构的基本解法：力法和位移法。

§11.2 用力法解静不定结构

一、只有一个多余约束的情况 如图所示结构，求其约束反力

解：1. 将约束解除得到基本静定系

B

1X

F R2F R2

2. 何载单独作用在B 点产生的位移()a l EI

Pa P －362

1-=∆

3. 沿约束反力方向单位何载1单独作用在B 点产生的位移

EI

l 3

11＝δ

4. 协变条件 1111X P ∆+∆∆＝ ，即 01111=∆P X ＋δ

解之得： ()a l l

Pa X -=3232

1

二、有多个多余约束情况 如图所示结构，求其约束反力

将B 端约束解除：

变形协变条件

⎪⎭⎪

⎬⎫

=∆+++=∆+++=∆+++000333323213123232221211313212111P P P X X X X X X X X X δδδδδδδδδ

对于n 次静不定结构

⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫=∆+⋯⋯++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∆+⋯⋯++=∆+⋯⋯++00022112222212111212111nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ 上述求图示刚架中杆DE 中点C 点的水平位移。 方程称为正则方程或典型方程。方程系数为⎰=∆=∆l

j i ji ij dx EI

M M

例题：求图示刚架中杆DE 中点C 的水平位移。

3X

2X

解：1. 选取相当系统

该刚架是三次超静定结构，解除固定端B 的三个多余约束，并以单个多余约束力代替。

2. 计算力法正则方程中的系数和常数项。

EI

Fa adx EI Fx 23

a 033

P 1-

=-=∆⎰ EI

Fa dx a EI Fx 6)x (3

a 0333

P 2-

=--=∆⎰ EI

Fa adx EI Fx 22

a 033

P 3-

=-=∆⎰ EI

a adx EI a adx x EI x 343a 022

a 0222

11=

+=∆⎰⎰

R2

E

1

EI

a dx EI x a adx EI a adx EI x 35)(3a 0a 0323

22

a

012122=-++=∆⎰⎰⎰ EI

dx EI adx EI dx EI 3a 3111a 0a 032a 0133=++=∆⎰⎰⎰ EI a dx EI x a a adx EI x 3a 0a 03322

2112)(=

-+∆=∆⎰⎰ EI a dx EI a dx EI x a 23303a 022

3113=

+=∆=∆⎰⎰ EI

a dx EI x a dx EI a dx EI x 2a 0a 0332a 011

222)(=

-++=∆⎰⎰⎰ 3. 建立力法正则方程，求多余约束力 经化简得：

⎪⎭

⎪

⎬⎫

=-++=-++=-++064301210603968321321321Fa F aF aF Fa F aF aF Fa F aF aF R R R R R R R R R 解得： F 731=

R F ,F 21-2=R F ,Fa 7

21=R F 4. 求C 点水平位移 可知刚架各杆弯矩为：

BE 段： F )7

4(21x )M (x 1

2131a

x F F R R --=+= ED 段： F )2

(73x )M (x 2

12232a

x F aF F R R R -=++= DA 段： F )7

3(21x )()M (x 3

212333a

x F aF F x a F R R R --=-+-+= 所以： EI

Fa dx F x M EI x M dx F x M EI x M a 845)()()()(3033

3D =

∂∂=∂∂=∆⎰⎰ §11.3 对称及反对称性质的利用

利用结构上何载的对称或反对称性质，可使正则方程得到一些简化。

1. 对称结构：结构几何形状、支撑条件和各杆的刚度都对称于某一轴线的结构。

2. 对称何载：何载的作用位置、大小和方向都对称于结构的对称轴的荷载。

3. 反对称何载：何载的作用位置、大小是对称的，而方向是反对称的荷载。

一般说来：弯矩M 和轴力N 是对称的，而剪力Q 是反对称的。对称结构在对称荷载作用下，其对称截面上只存在对称内力M 和N ，对称结构在对反称何载作用下，其对称截面上只存在反对称内力Q 。

有些对称结构，其何载即对称的也不是反对称的，但可以把它转化为对称的和反对称两种荷载的叠加。

例题: 图示等截面圆环，其横截面直径为d ，在水平位置受两F 力作用，沿铅垂方向有直径为d 的直杆CD ，其两端为刚性连接。设F 、R 、d 及E 已知，求杆CD 的内力。