3-1 用消元法解线性方程组

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高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-1

例解下列方程组

5 x1 2 x1

x2 x2
2x3 4x3
x4 7 2x4 1
x1 3x2 6x3 5x4 0
解：对方程组的增广矩阵作初等行变换
5 1 2 1 7 1 3 6 5 0

2 1
1 3
4 6
2 5
asn xn bs
先检查(1)中 x1的系数，若 a11,a21, ,as1全为零，则 x1没有任何限制，即x1可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 , , xn的方程组来解．
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加到第i个方程 (i 2, ,．s)
1 0

2 5
1 1
4 2
2 1
1 7

1 3 6 5 0 1 3 6 5 0

0 0
7 14
16 32
12 24
1 7

0 0
7 0
16 0
12 0
1 5

从最后一行知，原方程组无解。
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
再考虑方程组
a22 x2

a2 n xn b2
(4)
as2 x2 asn xn bs
显然，方程组(4)的一个解代入方程组(3)就得出(3)
的一个解；而方程组(3)的解都是方程组(4)有解。

线性方程组

这三种变换被称为矩阵的初等行变换。
第三章线性方程组
定理:线性方程组的初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。
由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称为方程组的系数矩阵，记为A。由方程组未知量系数和常数组成的矩阵称为方程组的增广矩阵，记为 A 。
a11 a21 A as1
5 0 1 3 6 5 0 1 3 6 0 7 16 12 1 0 7 16 12 1 0 0 0 0 14 32 24 7 0 5
故原方程组无解。
第三章线性方程组
例2. 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1, 4 x1 2 x2 5 x3 4, 2 x x 2 x 5. 3 1 2
第三章线性方程组
例1 解方程组
5 x1 x2 2 x3 x4 7 2 x1 x2 4 x3 2 x4 1 x 3x 6 x 5 x 0 2 3 4 1
解
1 7 5 1 2 0 14 32 24 7 4 2 1 0 7 16 12 1 2 1 1 3 6 5 0 1 3 6 5 0
第三章
线性方程组
§3.1 消元法
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 对一般线性方程组 as1 x1 as 2 x2 asn xn bs .
a11
| A |
a12 a 22
a1n a 2n
a 21 a n1

W084线性代数-3.1 线性方程组的消元解法

解线性方程组
2x1 x1
2x2 2x2
x3 4x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
解
2x1 x1
2x2 2x2
4
x3 x3
6 3
5x1 7x2 x3 28
2
x1
2x2 3x2
(9
/
x3 2)x3
6 0
2x2 (7 / 2)x3 13
2
x1
2x2 3x2
0 0 1 2
可以看出用消元法解线性方程组的过程实质上就是对
该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程解线性方程组
时为了书写简便只写出方程组的增广矩阵的变换过程即可
2x1
2x2 3x2
8 9
x3 2
2
x1
2
x2 x2
8 3
x3 2
2x1
x2
2 3
x3 2
xxx121 x3
233
0001
5 1 0 0
1 1 0 0
1 2
0 0
0021
0001
1 1 0 0
2 1 6 0
3 4
3 0
2911
都是阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边则称该矩阵为阶梯形矩阵
阶梯形矩阵与简化的阶梯形矩阵
如果矩阵自上而下的各行中每一非零行的第一个非零
元素的下方全是零元素全为零的行(如果有的话)都在非零行
的下边则称该矩阵为阶梯形矩阵
如果阶梯形矩阵的每一非零行的第一个非零元素为1 且

大学文科数学3-1 线性方程组的消元解法ppt

我们在中学已经学过它的解法，但是实际问题中会遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组，且未知量个数和方程个数未必相同。由于二元一次方程表示平面上的一条直线，所以将一次方程称为线性方程，将一次方程组称为线性方程组。
文科数学
线性方程组的一般形式 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求
解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
文科数学
例1
求解线性方程组
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置 1
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
文科数学
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
文科数学
本章的主要内容
1、线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
文科数学
增广矩阵可以看成线性方程组的简便写法，因此对于方程组的加减消元法用到的三种初等变换也只对增广矩阵进行，反映在矩阵上即为 1、交换矩阵的某两行，记为 ri rj ; 2、用一个非零常数乘矩阵的某一行，记为 k ri ; 3、用一个数乘矩阵的某一行后加到另一行上，记为 ri k 解线性方程组的这一思路，反映了一般线性方程组的求解规律。思考：方程组的解和未知量符号有没有关系？
那和什么有关呢？
没有

用高斯消元法解线性方程组

用高斯消元法解线性方程组高斯消元法是一种常用的解线性方程组的方法。

它通过一系列的行变换将线性方程组转化为一个简化的行阶梯形式，从而可以方便地求解方程组。

基本步骤使用高斯消元法解线性方程组的基本步骤如下：1. 构造增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵和常数向量按照方程的顺序组合成一个增广矩阵。

2. 初等行变换：通过初等行变换操作，将增广矩阵转化为行阶梯形或行最简形。

3. 回代求解：从最后一行开始，反向代入得到方程组的解。

详细步骤以下是用高斯消元法解线性方程组的详细步骤：1. 将线性方程组的系数矩阵和常数向量按照方程的顺序组合成一个增广矩阵，如下所示：[a11 a12 ... a1n | b1][a21 a22 ... a2n | b2][... ... ... ... | ...][an1 an2 ... ann | bn]2. 选择第一个非零元素所在的列，记为第 k 列。

3. 通过初等行变换操作，将第 k 列除了第 k 行之外的所有元素变为零。

首先，将第 k 行的第 k 个元素系数标准化为 1，即将第 k 行的所有元素除以第 k 个元素的值。

然后，对第 i 行（i ≠ k）进行以下操作：将第 i 行的第 k 个元素的系数变为零，即将第 i 行减去第 k 行的 k 个元素乘以第 i 行的第 k 个元素的系数。

4. 重复步骤 2 和步骤 3，直至所有列都处理完毕。

5. 如果最后一行的所有元素都为零，则该线性方程组无解。

6. 如果最后一行的最后一个非零元素所在的列号为 m，则 m+1 到 n 列的所有元素均为自由变量。

7. 从最后一行开始，反向代入求解自由变量。

示例假设有以下线性方程组：2x + 3y - z = 13x + 2y + z = 2x + 3y + 2z = 3将该方程组转化为增广矩阵的形式：[2 3 -1 | 1][3 2 1 | 2][1 3 2 | 3]通过高斯消元法的步骤，可以得到以下的行阶梯形式：[1 3/2 1/2 | 3/2][0 7/2 -3/2 | -3/2][0 0 17/7 | 17/14]根据行阶梯形式，可以得到方程组的解为：x = 1/2y = -1/2z = 2/7总结高斯消元法是一种简单而有效的方法，用于解线性方程组。

关于线性方程组求解的论文

5. 线性方程组的解法在EXCEL中的实践
例2. X1 + X 2 + X 3 + X 4 = 5 X1 + 2X 2 − 1X 3 + 4X 4 = −2 2X1 − 3X 2 − 2X 3 − 5X4 = −2 3X1 + X 2 + 2X 3 + 11X 4 = 0 1) 把方程组的增广矩阵依次输人到A1; E4单元格区域内。 2) 用鼠标拖曳选中区域A5 : D8，其大小与系数矩阵相同，单击“插入”“函数”按钮出现函数粘贴对话框，选中左侧“数学与三角函数”，再在其右侧选中求逆矩阵函数“MINVRSE"，如图。
2. 线性方程组解的结构
n元线性方程组的一个解(c1,c2,„„cn)是一个，维向量，当方程组有无穷多个解时，需要研究这些解向量之间的关系，以便更透彻地把握住它们。关于齐次线性方程组的解的结构有以下结论: 1) 定义1齐次线性方程组的一组解η 1， η 2„„η t称为该方程组的一个基础解系，如果 a) 该方程组的任一解都能表成η 1，η 2„„η t的线性组合。 b) η 1η 2„„η t线性无关。 2) 齐次线性方程组的两个解的和还是解，一个解的倍数还是解。 3) 齐次线性方程组有非零解时必定存在基础解系，并且一个基础解系里有n-r个解，其中n是未知量的个数，r是系数矩阵的秩。如果系数在数域P中的齐次线性方程组
0 0 0 0 0 0 −7 2 5 −1 0 0 1 0
4. 线性方程组的解法在MATLAB中的实践
MATLA B语言是一种以矩阵运算为基础的计算语言，对于实现线性方程组的求解非常方便、对一个四兀一次方程组的求解，可以用克拉默法则和逆阵乘积法来实现，程序如下: tic; D=[1 1 1 1 ; 1 2 -1 4 ; 2 -3 -1 -5;3 1 2 11 ]; det(D) b=[5 -2 -2 0]; D1=[5 1 1 1 ; -2 2-1 4 ; -2 -3 -1 -5 ; 0 1 2 11]; D2=[1 5 1 1 ; 1 -2-1 4 ; 2 -2 -1 -5 ; 3 0 2 11]; D3=[1 1 5 1 ; 1 2 -2 4 ; 2 -3 -2 -5 ; 3 1 0 11]; D4=[1 1 1 5 ; 1 2 -1 -2 ; 2 -3 -1 -2 ; 3 1 2 0]; X1=det(D1)/det(D); X2==det(D2)/det(D); X3=det(D3)/det(D); X4=det(D4)/det(D); X5=inv(D)*b; toc 其中克拉默法则用行列式除法Xi=det(Di)/det(D)来实现;逆阵乘积法用X=inv(D)*b 来实现; det(D)是系数矩阵D的行列式运算; inv(D)是D的逆阵运算。上例中，系数矩阵D不为零，可以用克拉默法则和逆阵乘积法来求解。当系数行列式为零时，只能用初等变换来求解。对于初等变换，利用阶梯生成函数命令rref也可以轻松地实现，举例如下: tic; A=[3,-4,3,2,-1 ; 0, -6,0,-3, -3 ; 4, -3,4,2,-2 ; 1,1,1,0,-1 ; -2,6,-2,1,3] b=[2;-3;2;0;1 ]; B=[A,b],[UB,ip]=rref(B) U0=UB([1:5], [1:5]),d=UB(:,6) toc UB为经过初等变换以后的行阶梯矩阵，可以轻松地求出方程组的解。可见，MATLAB语言实现线性方程组的求解具有程序简单、直观的特点，同时还具有计算效率高的优点，在实际计算巾摆脱了系数矩阵阶数未知元数等的限制。

3-1.初等变换化简矩阵

r4 −3r2
① ② ③ ④
1 0 0 0 1 −2 1 4 1 −1 1 0 = B3 0 0 2 −6 0 0 1 −3
r3
r4
r4 − 2r3
x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4 ① ② x2 − x3 + x4 = 0 x4 = −3 ③
0 0 −1 1 0 −1 0 1 0 0
4 3 0 − 3 0 0
c4 + c1 + c2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 4 0 3 0 − 3 0 0
c5 − 4c1 − 3c2 + 3c3
1 0 0 0
求解线性方程组
对应
增广矩阵
同解
初等行变换
行最简形矩阵
对应
阶梯形的线性方程组
回代法
原方程组的解
例2 用初等行变换把下面矩阵化为阶梯形或行最简形. 用初等行变换把下面矩阵化为阶梯形或行最简形.
1 −1 −1 1 0 0 1 2 −4 1 A= 2 −2 −4 6 − 1 3 −3 −5 7 − 1
（2））
其中c 其中为任意常数 .
小结：小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法．．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如．始终把方程组看作一个整体变形，下三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的倍．）一个方程加上另一个方程的k倍 3．上述三种变换都是同解变换．．上述三种变换都是同解变换．

3.1 消元法(线性方程组解的判定)

0 x1 − x2 − x3 + x4 = 例4: 求解齐次方程组的通解: 0 x1 − x2 + x3 − 3 x4 = x − x − 2x + 3x = 0 2 3 4 1
解：对系数矩阵 A进行初等变换:
1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1 0 −1 1 1 1 3 0 0 2 4 0 0 1 2 A= − − → − → − 1 −1 2 3 0 0 −1 2 0 0 0 0
x称为未知量矩阵称为常数项矩阵 ,b .
线性方程组的矩阵形式为： Ax = b.
2. 高斯消元法： 2 x1 + x2 = 例: 用消元法解线性方程组： 3 x1 − x2 = 对应方程组的增广矩阵: 对线性方程组用消元法: 2 (1) x1 + x2 = 1 1 2 A= x − x = 3 (2) 1 2 − 1 1 3 消去 x1, (1)-(2)得： 0 2 −1 2 x2 = −1 (3) A1 = x − x = 3 (4) − 1 1 3 1 2 (3)×1/2 得： 1 1 0 1 − = (5) x2 = − A 2 2 2 1 1 3 − 3 (6) x1 − x2 = (5)↔(6) 得：
( )
0, x1 − x2 − x3 + x4 = 其同解方程组为： 2 x 3 − 4 x4 = 1.
取 x2, x4 作为自由未知量，将自由未知量移到等式右端，得： x1 − x3 = x2 − x4 , x3 4 x4 + 1. 2=
令得 = : x2 k = k2 , 1 , x4 :

第1节用消元法解线性方程组

对应矩阵的初等行变换
称上述三种变换为线性方程组的初等变换。
注意到上面用线性方程组初等变换解方程组时，未知量没参与运算且参与运算的仅仅是系数和常数项；并且线性方程组的初等变换正好对应矩阵的初等行变换。因此，上面解线性方程组
的过程可在增广矩阵上进行。如上例：
2 1 3 1 A 1 1 1 2 3 2 5 0 1 1 1 2 r1 r2 2 1 3 1 3 2 5 0
命题1.1 线性方程组的初等变换总是把线性方程组变成同解的方程组。命题1.2 任意矩阵都可经过一系列初等行变换化成行阶梯矩阵。命题1.3 任意矩阵都可经过一系列初等行变换化成简化行阶梯矩阵。
例1.2 用矩阵的初等变换将A化为（简化）行阶梯矩阵
0 1 1 1 A 2 1 1 3 1 2 2 5
x1 x2 x3 2 x2 x3 3 x3 3
回代
x1 5 x2 0 x3 3
上面求解线性方程组都
用了哪些变换？
求解上述线性方程组用到下面三种变换 ① 将一个方程的倍数加到另一个方程上；
② 交换两个方程的位置.
③ 用一个非零的数乘某一个方程；
该矩阵主元都是1且每个主元所在列其它元素都是0.
为了保证上述方法（消元法）对所有方程组可进行，必须解决下面两个问题：
（1）方程组的初等变换不会影响方程组的解；
（2）任一个矩阵都可用初等行变换化成行阶梯矩阵。
三、同解方程组定义1.3 如果两个线性方程组的解集合相同，则称这两个线性方程组是同解的。同解作为线性方程组解之间的关系式一个等价关系，即它具有下面三条性质（1）自反性：任何线性方程组都与它自身是同解的。（2）对称性：如果（I）与（II）同解，则（II）与（I）同解。如果（I）与（II）同解，且（II）与（3）传递性：（III）同解, 则（I）与（III）同解。

线性代数第三章

例4 向量组 α1 , α 2 ,⋯ , α s 中的任意一个向量 α j ( j = 1, 2,⋯ , s ) 都可由该向量线性表示，由该向量线性表示，因为 α j = 0α1 + ⋯+ 1α j + ⋯+ 0αs
例题4 例题详见教材85页详见教材页
（例5 + 例6））
定义3.3.2给定向量组给定向量组定义
例6
设有线性方程组
x1 + x2 − 2 x3 + 3x4 = 0 2 x + x − 6 x + 4 x = −1 1 2 3 4 3x1 + 2 x2 + ax3 + 7 x4 = −1 x1 − x2 − 6 x3 − x4 = b
讨论当 a , b 为何值时，为何值时，方程组有解？（？（2 无解？（1）方程组有解？（2）无解？（3）当有解时，试求出其解。当有解时，试求出其解。
0 = (0, 0,⋯ , 0)
n维向量 α = (a1 , a2 ,⋯ , an ) 的各分量都取相反数组成的向维向量量称为的负向量，量称为的负向量，记作
−α = (−a1 , −a2 ,⋯ , −an )
α 定义3.2.3 如果维向量 = (a1 , a2 ,⋯ , an ) 如果n维向量定义
3、仅含有两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的、对应分量成比
定理3.3.1 向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m 线性相关当且仅当以 A = (α1 , α 2 ,⋯ , α m ) 定理为系数矩阵的齐次线性方程组 AX
=0
有非零解。有非零解。
推论3.3.1向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α n 线性相关当且仅当矩阵 A = (α1 , α 2 ,⋯ , α n ) 向量组推论的行列式值为零。的行列式值为零。定理3.3.2向量组 A : α1 , α2 ,⋯, αm (m ≥ 2) 线性相关的充要条件是向量组A: α1,α2 ,⋯,αm 向量组定理中至少有一个向量可由其余向量线性表示。中至少有一个向量可由其余向量线性表示。

3.1 线性方程组的消元解法

变元x 任意取一组值：变元 r+1, xr+2, …, xn任意取一组值：sr+1, sr+2, …, sn, 此时应用情形2, 可得变元x 确定的一组值: 时应用情形 , 可得变元 1, x2, …, xr确定的一组值: s1, s2, …, sr, 并且, (s1, s2, …, sr, sr+1, sr+2, …, sn)为方程组并且, 为方程组 (1)的一个解再由变元x 的一个解. 的任意性, (1)的一个解. 再由变元 r+1, xr+2, …, xn的任意性, 方程组(1)有无穷多个解. (1)有无穷多个解程组(1)有无穷多个解.
定理3.1 线性方程组线性方程组AX=b有解的充分必要条件是: 有解的充分必要条件是: 定理有解的充分必要条件是 r(A b)=r(A). 且当r(A b)=n时有唯一解; 当r(A b)<n时有无且当时有唯一解; 时有无时有唯一解穷多解. 穷多解.
例2 解线性方程组 x1 + 5 x2 − x3 − x4 = −1 x − 2 x + x + 3x = 3 1 2 3 4 3 x1 + 8 x2 − x3 + x4 = 1 x1 − 9 x2 + 3 x3 + 7 x4 = 7 例3 解线性方程组
2 x1 + 2 x2 = 8 → − 3 x2 = −9 ⑤ x3 = 2 2 x1 + 2 x2 = 8 → x2 = 3 ⑥ x3 = 2
=2 2 x1 → x2 = 3 x3 = 2 x1 = 1 → x2 = 3 x = 2 3
⑤
⑥
⑦

华南理工大学网络教育线性代数与概率统计随堂练习答案

1.(单项选择题) 计算？A．;2.(单项选择题) 行列式？B．4;3.(单项选择题) 计算行列式.B．18；4.(单项选择题) 计算行列式？C．0；1.(单项选择题) 计算行列式？C．；2.(单项选择题) 计算行列式？D．.1.(单项选择题) 利用行列式定义，计算n阶行列式：=? C．;2.(单项选择题) 计算行列式展开式中，的系数。

B．1，-4;1.(单项选择题) 计算行列式=？B．-7;2.(单项选择题) 计算行列式=？D．160.3.(单项选择题) 四阶行列式的值等于多少？D．.4.(单项选择题) 行列式=？B．；5.(单项选择题) ，则？A．6m；1.(单项选择题) 设＝，则?D．18|A|.2.(单项选择题) 设矩阵，求=？B．0;3.(单项选择题) 计算行列式=?C．-1800;1.(单项选择题) 齐次线性方程组有非零解，则=？C．1;2.(单项选择题) 齐次线性方程组有非零解的条件是=？A．１或－３;3.(单项选择题) 如果非线性方程组系数行列式，那么，以下正确的结论是哪个？B．唯一解;4.(单项选择题) 如果齐次线性方程组的系数行列式，那么，以下正确的结论是哪个？A．只有零解;5.(单项选择题) 齐次线性方程组总有___解；当它所含方程的个数小于未知量的个数时，它肯定有___解。

B．零,非零;1.(单项选择题) 设，，求=？D．.2.(单项选择题) 设矩阵，，为实数，且，则的取值分别为什么？A．1，-1，3;3.(单项选择题) 设矩阵，求=？C．1；1.(单项选择题) 设, 满足, 求=？〔〕C．;2.(单项选择题) 设，，求=？〔〕D．.3.(单项选择题) 如果，则分别为？B．0，-3;4.(单项选择题) 设,矩阵，定义，则=？B．;5.(单项选择题) 设,n>1，且n为正整数，则=？D． .6.(单项选择题) 设为n阶对称矩阵，则下面结论中不正确的选项是哪个？C．为对称矩阵 ;7.(单项选择题) 设为m阶方阵，为n阶方阵，且,,,则=？D．.1.(单项选择题) 以下矩阵中，不是初等矩阵的是哪一个？C．；2.(单项选择题) 设，则？C．；3.(单项选择题) 设，求=？〔〕D． .4.(单项选择题) 设，求矩阵=？B．5.(单项选择题) 设均为n阶矩阵，则必有〔〕.C． ;6.(单项选择题) 设均为n阶矩阵，则以下结论中不正确的选项是什么？D．假设，且，则 .7.(单项选择题) 设均为n阶可逆矩阵，则以下结论中不正确的选项是〔〕B． ;8.(单项选择题) 利用初等变化，求的逆=?〔〕 D． .9.(单项选择题) 设，则=?B． ;10.(单项选择题) 设,是其伴随矩阵，则=？〔〕A． ;11.(单项选择题) 设n阶矩阵可逆，且，则=？〔〕A．;12.(单项选择题) 设矩阵的秩为r，则下述结论正确的选项是〔〕D．中有一个r阶子式不等于零.13.(单项选择题) 阶行列式中元素的代数余子式与余子式之间的关系是〔〕。

线性代数3-1

0 0
1 0
0 1
0 0
0

0

A4

0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
:c4
4 c1

0
c5
5 c1

0
1 0
0 1
0 0
0

0

A5

0 0 0 0 0
§1 矩阵的初等变换
定义:矩阵A3和 A4都称为行阶梯形矩阵,其特点是:可画出一条阶梯线,线的下方全为0 ; 每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元.
(1) 变换ri↔rj 的逆变换就是其本身ri↔rj ; (2)变换ri×k的逆变换为ri÷k ;
(3)变换ri+krj的逆变换为ri- krj .
§1 矩阵的初等变换
定义:如果矩阵A经过有限次初等行变换变成
矩阵B,就称矩阵A与B行等价,记作
A
r
~
B
;
定义:如果矩阵A经过有限次初等列变换变成
矩阵B,就称矩阵A与B列等价,记作
§1 矩阵的初等变换
主要内容：一、矩阵的初等行变换二、矩阵的初等变换三、矩阵之间等价四、行阶梯形矩阵五、行最简形矩阵六、初等矩阵七、三种初等变换对应着三种初等矩阵八、初等矩阵的相关定理
§1 矩阵的初等变换
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4

线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组

线性方程组的解法学会利用消元法解决线性方程组线性方程组的解法——学会利用消元法解决线性方程组线性方程组是数学中常见的问题之一，解决线性方程组的方法有很多种，而消元法是其中最常用的一种解法。

本文将详细介绍线性方程组的消元法解法及其应用。

一、线性方程组的基本概念在介绍消元法之前，我们首先需要了解线性方程组的基本概念。

线性方程组由多个线性方程组成，每个线性方程可以写成如下形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为系数，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，b₁,b₂, ..., bₙ为常数项，m为方程组的数量，n为未知数的数量。

二、消元法的原理消元法的基本思想是通过变换线性方程组的等价形式，将未知数的系数化为0，使得方程组具备易解性。

具体来说，消元法通过一系列的行变换和列变换，将线性方程组化为最简形式，也即阶梯形式。

三、消元法的步骤1. 第一步：将线性方程组写成增广矩阵的形式将线性方程组转化为矩阵形式，如下所示：⎡ a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ | b₁⎤⎢ a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ | b₂⎥⎢ ... ... ... ... | ... ⎥⎢ aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ | bₙ ⎥⎣以矩阵的形式更方便进行行变换和列变换。

2. 第二步：选主元在进行消元操作前，需要选取主元。

主元是指每一行首个不为0的元素，它将作为该行进行消元的依据。

3. 第三步：消元操作通过行变换和列变换，将主元下方的元素化为0。

行变换包括以下几种操作：- 交换两行位置- 将某行乘以一个非零常数- 将某行的倍数加到另一行上4. 第四步：重复进行消元操作重复进行消元操作，直到将所有非主元下方的元素全部化为0。

5. 第五步：回代求解未知数消元完成后，可得到一个阶梯形矩阵。

Chapter 3-1 矩阵的初等变换分析

(i) 非零行(元素不全为零的行)的标号小于零行(元素全为零的行)的标号; (ii) 设矩阵有 r 个非零行,第 i 个非零行的第一个非零元素所在的列号为 ti (i = 1, 2, · · ·, r ), 则 t1 < t2 < · · ·< tr .
程组与变换后的方程组是同解的, 这三种变换都是
方程组的同解变换.
在上述变换过程中, 实际上只对方程组的系数
和常数项进行运算, 未知数并未参与运算. 因此, 若
记
2 1 1 1 1 1 2 1 B ( A b) 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 , 4 9
解：
(1) ①② ③2
① ② (1)
③
④
x1 x2 2 x3 x4 4 , 2 x x x x 2 , 1 2 3 4 2 x1 3x2 x3 x4 2 , 3x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
①
② ③ ④ (B1)
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变换的定义. 矩阵的初等行变换与初等列变换, 统
称初等变换.
上述三种初等变换都是可逆的,且逆变换是同注：一类型的初等变换. 例如：
变换ri rj的逆变换就是本身；
1 变换ri k的逆变换是ri ; k
变换ri krj的逆变换是 ri (k )rj .
等价 ~ A;
(ii) 对称性
(iii) 传递性
若 A ~ B, 则 B ~ A;
若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
数学中把具有上述三条性质的关系称为等价, 例如两个线性方程组同解, 就称这两个线性方程组等价.

高斯消元法（完整）

高斯消元法（完整）高斯消元法解线性方程组在工程技术与工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型得数学模型,这些模型中方程与未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同.那么这样得线性方程组就是否有解呢？如果有解，解就是否唯一？若解不唯一，解得结构如何呢？这就就是下面要讨论得问题.一、线性方程组设含有n个未知量、有m个方程式组成得方程组（3、1）其中系数，常数都就是已知数,就是未知量（也称为未知数）。

当右端常数项，，…，不全为0时,称方程组（３、１)为非齐次线性方程组；当== …＝= 0时,即（3、2）称为齐次线性方程组.由n个数, , …, 组成得一个有序数组（，，…，),如果将它们依次代入方程组(3、１)中得，，…, 后，(3、1）中得每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（，，…，)为方程组（3、1)得一个解。

显然由=0, =0, …, =0组成得有序数组（0，0,…，0）就是齐次线性方程组(３、２)得一个解，称之为齐次线性方程组(3、２）得零解，而当齐次线性方程组得未知量取值不全为零时,称之为非零解.（利用矩阵来讨论线性方程组得解得情况或求线性方程组得解就是很方便得。

因此,我们先给出线性方程组得矩阵表示形式。

) 非齐次线性方程组(3、1)得矩阵表示形式为：AX =Ｂ其中A＝，X＝，B =称A为方程组(3、１）得系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。

将系数矩阵Ａ与常数矩阵B放在一起构成得矩阵=称为方程组（３、1)得增广矩阵。

齐次线性方程组（3、2)得矩阵表示形式为:ＡＸ=O二、高斯消元法(下面介绍利用矩阵求解方程组得方法，那么矩阵初等行变换会不会改变方程组得解呢?我们先瞧一个定理。

)定理３、1若用初等行变换将增广矩阵化为,则AＸ= Ｂ与CX =D 就是同解方程组。

证由定理3、1可知，存在初等矩阵,，…, ,使…＝记…= P，则P可逆,即存在。

设为方程组A X＝Ｂ得解,即A＝ B在上式两边左乘Ｐ,得P A = PB即Ｃ＝D说明也就是方程组C X＝D得解。

经典：3-1线性方程组的同解变换

A 称为方程组的增广矩阵.
《线性代数》
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方程组的解定义2 若以n个数组成的有序数组c1, c2, …, cn替代
未知量x1, x2, …, xn，使方程组(1)的每一个方程都成为恒等式，则称该有序数组c1, c2, …, cn是方程组(1)的一个解.
即若c1, c2, …, cn是方程组(1)的一个解，则有：
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1.设 A 是 mn 矩阵，AX=O 是非齐次线性方程组
AX=B 所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（） A、若 AX=O 仅有零解，则 AX=B有惟一解；
B、若 AX=O有非零解，则 AX=B 有无穷多个解； C、若 AX=B有无穷多个解，则 AX=O 仅有零解；
D、若 AX=B有无穷多个解，则 AX=O 有非零解．
例1.
r1r2 —— —rr2—3-+3rr11 —r3—-2r2
《线性代数》
+3x1-5x2+14x3=12 + x1-2x2+ 4x3= 3 - x1+4x2+ x3= 5
x1 -2x2+ 4x3 = 3 3x1 -5x2+14x3 =12 -x1 +4x2+ x3 = 5
x1 -2x2+4x3 = 3
- 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = - 4
1
[A b] =
1
-1 2 1
1
-2
-1
2
0
0 1
0 0
10
7
-
1 7
3 -1 5 3
-
2
2

线性方程组有解判别定理

组
高等
a11 a12 L
若
A
a21
a22
L
代数
L L L
an1
an2
L
行列式，记为 A
a1n
a11 a12 L
a2n
，则
a21
a22
L
L
L LL
ann
an1 an2 L
a1n
a2n 称为矩阵A的
L ann
注意行列式与矩阵在形式上与本质上的区别。
定义2（矩阵的初等变换）：以下三种变换称为矩阵的初等变换：
用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上； 3 （消法变换）
用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换）
线交换矩阵中某两行（列）的位置。（换法变换）
性
为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决
方以下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是
程否与原方程组同解。
组
高
定理3.1.1: 方程组的初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。
等证明：对第（1）种初等变换证明之。
代由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称为方程
数组的系数矩阵，记为A。由方程组未知量系数和常数组成的矩
阵称为方程组的增广矩阵，记为 A
对方程组进行初等变换，其实质就是对方程组中未知量系数和
常数项组成的矩阵 A（称为增广矩阵）进行相应的初等变换，
因此由定理3.1.1，我们有
把第2行与第3行互换位置
2 x1
2x3 6 x2 x3 5
2 0 2 6
→
0
1
1
5
3
3x3 18