数量关系基本公式(整理版)

常用数学公式汇总一、基础代数公式1. 平方差公式：（a ＋b ）´（a －b ）＝a 2 －b22. 完全平方公式：（a ±b ） 2 ＝a 2 ±2ab ＋b 2完全立方公式：（a ±b ）3=（a ±b ）(a 2 ab+b2) 3. 同底数幂相乘: a m´a n ＝a m ＋n（m 、n 为正整数，a ¹0） 同底数幂相除：a m ¸a n ＝a m －n （m 、n 为正整数，a ¹0）a 0 ＝1（a ¹0）a -p＝ p a1 （a ¹0，p 为正整数）4. 等差数列：（1）s n ＝ 2 ) ( 1 n a a n⨯ + ＝na 1+ 21 n(n-1)d ； （2）a n ＝a 1＋（n －1）d ；（3）n ＝ d a a n 1- ＋1；（4）若a,A,b 成等差数列，则：2A ＝a+b ；（5）若m+n=k+i ，则：a m +a n =a k +a i ；（其中：n 为项数，a 1 为首项，a n 为末项，d 为公差，s n 为等差数列前n 项的和）5. 等比数列：（1）an ＝a 1 q －1 ； （2）s n ＝ q q a n - 1 1 · 1 ） － （ （q 1）≠ （3）若a,G,b 成等比数列，则：G 2＝ab ；（4）若m+n=k+i ，则：a m ·a n =a k ·a i ； （5）am -a n =(m-n)d （6） nma a ＝q (m-n) （其中：n 为项数，a 1 为首项，a n 为末项，q 为公比，s n 为等比数列前n 项的和）6.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 其中：x 1= a ac b b 2 4 2 - + - ；x 2= aac b b 2 4 2 - - - （b 2-4ac 0） ≥ 根与系数的关系：x 1+x 2=- ab ，x 1·x 2= a c二、基础几何公式1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于180°；三角形中任两 边之和大于第三边、任两边之差小于第三边；（1）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形 的角的平分线。

（2）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

（3）三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。

（4）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。

（5）内心：角平分线的交点叫做内心；内心到三角形三边的距离相等。

重心：中线的交点叫做重心；重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。

垂线：高线的交点叫做垂线；三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边。

外心：三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

外心到三角形的三个顶点的距离相等。

直角三角形：有一个角为90度的三角形，就是直角三角形。

直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°；（5）直角三角形中，c2 ＝a 2 ＋b 2 （其中：a 、b 为两直角边长，c 为斜边长）； （6）直角三角形的外接圆半径，同时也是斜边上的中线； 直角三角形的判定： （1）有一个角为90°；（2）边上的中线等于这条边长的一半；（3）若c2 ＝a 2 ＋b 2 ，则以a 、b 、c 为边的三角形是直角三角形； 2. 面积公式：正方形＝边长´边长； 长方形＝ 长´宽；三角形＝ 21´ 底´高； 梯形 ＝2高（上底＋下底）⨯ ； 圆形 ＝R2 平行四边形＝底´高扇形 ＝ 0 360n R 2正方体＝6´边长´边长长方体＝2´（长´宽＋宽´高＋长´高）；圆柱体＝2pr 2＋2prh ；球的表面积＝4R2 3. 体积公式正方体＝边长´边长´边长； 长方体＝长´宽´高；圆柱体＝底面积´高＝Sh ＝pr 2h圆锥 ＝ 3 1 pr 2 h 球 ＝ 3 34 R π 4. 与圆有关的公式设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：（1）d ﹤r ：点在圆内（即圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合）； （2）d ＝r ：点在圆上（即圆上部分是到圆心的距离等于半径的点的集合）； （3）d ﹥r ：点在圆外（即圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合）； 线与圆的位置关系的性质和判定：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，那么： l （1）直线l 与⊙O 相交：d ﹤r ；（2）直线l 与⊙O 相切：d ＝r ； （3）直线l 与⊙O 相离：d ﹥r ； 圆与圆的位置关系的性质和判定：设两圆半径分别为R 和r ，圆心距为d ，那么：（1）两圆外离：； r R d + > （2）两圆外切：； r R d + = （3）两圆相交：（r R d rR + < < -r ≥）； （4）两圆内切：（ r R d - =r R >）； （5）两圆内含：（r R d - <r >）． 圆周长公式：C ＝2pR ＝pd （其中R 为圆半径，d 为圆直径，p »3.1415926»10）；n 的圆心角所对的弧长l 的计算公式：l ＝ 180Rn ；扇形的面积：（1）S 扇＝ 360 n pR 2 ；（2）S 扇＝ 2 1 l ；R ； 若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则它的侧面积：S 侧＝pr l 圆锥的体积：V ＝ 3 1 Sh ＝ 3 1 pr 2 h 。

三、其他常用知识1． 2 X 、3 X 、7 X 、8 X 的尾数都是以4为周期进行变化的；4 X 、9 X 的尾数都是以2为周期进行变化的；另外5 X 和6 X 的尾数恒为5和6，其中x 属于自然数。

2． 对任意两数a 、b ，如果a －b ＞0，则a ＞b ；如果a －b ＜0，则a ＜b ；如果a －b ＝0，则a ＝b 。

当a 、b 为任意两正数时，如果a/b ＞1，则a ＞b ；如果a/b ＜1，则a ＜b ；如果a/b ＝1，则a ＝b 。

当a 、b 为任意两负数时，如果a/b ＞1，则a ＜b ；如果a/b ＜1，则a ＞b ；如果a/b ＝1，则a ＝b 。

对任意两数a 、b ，当很难直接用作差法或者作商法比较大小时，我们通常选取中间值C ，如果 a ＞C ，且C ＞b ，则我们说a ＞b 。

3． 工程问题：工作量＝工作效率´工作时间；工作效率＝工作量¸工作时间； 工作时间＝工作量¸工作效率；总工作量＝各分工作量之和； 注：在解决实际问题时，常设总工作量为1。

4． 方阵问题：（1）实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2 最外层人数＝（最外层每边人数－1）´4（2）空心方阵：中空方阵的人数＝（最外层每边人数）2 -（最外层每边人数-2´层数） 2 ＝（最外层每边人数-层数）´层数´4=中空方阵的人数。

例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？5． 利润问题：（1）利润＝销售价（卖出价）－成本；利润率＝成本 利润 ＝ 成本 销售价－成本 ＝ 成本销售价－1； 销售价＝成本´（1＋利润率）；成本＝ ＋利润率销售价1 。

（2）单利问题利息＝本金´利率´时期；本利和＝本金＋利息＝本金´（1+利率´时期）； 本金＝本利和¸（1+利率´时期）。

年利率¸12=月利率； 月利率´12=年利率。

例解：用月利率求。

3年=12月´3=36个月 2400´（1+10．2％´36） =2400´1．3672 =3281．28（元） 6． 排列数公式：P ＝n （n －1）（n －2）¼（n －m ＋1），（m £n ）mn 组合数公式：C mn ＝P ¸P ＝（规定＝1）。

mn mm 0n C “装错信封”问题：D 1＝0，D 2＝1，D 3＝2，D 4＝9，D 5＝44，D 6＝265， 7. 年龄问题：关键是年龄差不变；几年后年龄＝大小年龄差¸倍数差－小年龄 几年前年龄＝小年龄－大小年龄差¸倍数差8. 日期问题：闰年是366天，平年是365天，其中：1、3、5、7、8、10、12月都是31天，4、6、9、11是 30天，闰年时候2月份29天，平年2月份是28天。

9. 植树问题（1）线形植树：棵数＝总长÷间隔＋1 （2）环形植树：棵数＝总长÷间隔 （3）楼间植树：棵数＝总长÷间隔－1（4）剪绳问题：对折N 次，从中剪M 刀，则被剪成了（2 N´M ＋1）段 10. 鸡兔同笼问题：鸡数＝（兔脚数´总头数-总脚数）¸（兔脚数-鸡脚数） （一般将“每”量视为“脚数” ） 得失问题（鸡兔同笼问题的推广）：不合格品数＝（1只合格品得分数´产品总数-实得总分数）¸（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数） ＝总产品数-（每只不合格品扣分数´总产品数+实得总分数）¸（每只合格品得分数+每只不合格品 扣分数）“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。

每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记 分，还要扣除15分。

某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？” （4´1000-3525）¸（4+15） =475¸19=25（个）11．盈亏问题：（1）一次盈，一次亏：（盈+亏）¸（两次每人分配数的差）=人数（2）两次都有盈： （大盈-小盈）¸（两次每人分配数的差）=人数 （3）两次都是亏： （大亏-小亏）¸（两次每人分配数的差）=人数 （4）一次亏，一次刚好：亏¸（两次每人分配数的差）=人数 （5）一次盈，一次刚好：盈¸（两次每人分配数的差）=人数“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。