控制系统极点的任意配置
自适应控制--极点配置自校正
A F 1zdBGA m A 0
degF1 degB1 d 1
(14)
degGdegA1
并且右边的阶次小于等于左边阶次，即
d egA 0„d egA F 1d egA m
(15)
现将以上叙述归纳一下：
已知：过程多项式A、z-d和B；
性能要求：期望传递函数分母多项式Am；
1) 对多项式B进行因式分解，BBB，求
（3-2）
其中 F(z1)、R(z1) 和 G ( z 1 ) 为待定多项式，且 F ( z 1 ) 为首一多项式， y r ( k ) 为参考 输入。
这样构成的控制系统方框图见图2，表达式如下。
24
yr (k)
R( z 1 ) F (z1)
(k)
1 A( z 1 )
u(k)
y(k)
zd B(z1)
然后在式（10）中，假定它的左右两边各项有相同阶次，进而确 定和G的阶次，再根据左右两边相同阶次的系数应相等列代数方
程，并解之。
例1 极点配置设计1
设有被控对象：
( 1 1 .3 z 1 0 .3 z 2 ) y ( k ) ( z 2 1 .5 z 3 ) u ( k ) ( k )
两种自校正控制方法 间接自校正控制：按“模型参数－控制器参数－控制量算法”过程获得
的控制量，由于控制器参数是通过模型参数估计间接得到的故取名间接自校正 控制，又由于模型参数有明确的表达式，故又称为显式自校正控制。特点：直 观清晰，便于模块化设计，但计算量大。
直接自校正控制：不用估计模型参数，而是通过输入输出信息直接估计
则反馈系统的系统矩阵为:
0
1
0
L
0
0
1
L
实验八控制系统极点的任意配置综合性设计性实验
实验八控制系统极点的任意配置（综合性设计性实验）
一、实验目的
1. 掌握用全状态反馈的设计方法实现控制系统极点的任意配置；
2. 用电路模拟的方法，研究参数的变化对系统性能的影响。
二、实验设备
同实验一。
三、实验内容
1. 用全状态反馈实现二阶系统极点的任意配置，并用电路模拟的方法予以实现；
2. 用全状态反馈实现三阶系统极点的任意配置，并通过电路模拟的方法予以实现。
四、实验原理（略）
五、实验步骤
请自行提出实验步骤，选择实验台上的通用电路单元设计并组建相应的模拟电路。
（K 值可参考取5，12，20等）。
完成实验报告，结合实验提出相应思考题。
7.4 状态反馈和极点配置
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统
x Ax Bu
假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地 配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。
该定理对多变量系统也成立。
证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
kn 1 ]
由于 u r Kx r KPx ，此时该系统的状态方程为 x ( Ac Bc K ) x Bcr
相应的特征方程为 sI Ac BcK 0
因为非奇异线性变换不改变系统的特征值，当利用 u=r-Kx作为控制输 入时，相应的特征方程与上式相同，均有如下结果。
s
1
0
0
s
0
sI Ac BcK
◆确定将系统状态方程变换为可控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是 可控标准形，则P = I。此时无需再写出系统的可控标准形状态方程。非奇异线 性变换矩阵P=QW。
◆利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为
（s 1（) s 2 ) （s n ) sn an1sn1 a1s a0
从而确定出a1* , a2 *,… an *的值。
◆最后得到状态反馈增益矩阵K为
K [ a0 a0 a1 a1
a n1
an1
]
P 1
10
极点配置 例1
【例】 考虑如下线性定常系统
0
1
0
0
x Ax Bu A 0
0
1 , B 0
1 5 6
1
利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状
现代控制理论课件PPT极点的配置和观测器的设置
(s *1)(s *2 )
(s
* n
)
sn
a1*s n1
an1*s an*
0
通过比较系数，可知
a1
~k~n
a2 kn1
a1* a2
*
an
~ k1
an*
西华大学电气与电子信息学院
由此即有
k~2k~1aann1**
an an1
~ kn
a1*
a1
又因为
u v Kx v KP1x% v K%x%
要求用状态反馈来镇定系统。
解：系统不稳定。同时系统为不能控的。不能控子系统 特征值为－5，符合可镇定条件。故原系统可用状态反馈 实现镇定，镇定后极点设为 s1,2 2 j2
能控子系统方程为
x&C
AC xC
bCu
1 0
0 1 2 xC 1 u
引入状态反馈 u V KC xC ，设 KC [k1 k2 ]
西华大学电气与电子信息学院
5.2 系统的极点配置
所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵， 使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希 望的动态性能。
5.2.1 能控系统的极点配置 定理 5-2 给定系统
x Ax Bu :
y Cx Du
通过状态反馈 u v kx 任意配置极点的充
要条件 完全能控。
西华大学电气与电子信息学院
证: 只就单输入系统的情况证明本定理
充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换
~x Px 必能将它变为能控标准形
%:
x&% A%x% b%u y c%x% d%u
这里，P 为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有
《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器
求解状态反馈阵k 的步骤：
1) 校验系统的可控性
令
计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论：1.状态反馈不改变系统的可控性，但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】 系统S：
此时系统可控可观
1).复合系统结构图（状态反馈＋状态观测器）
输出内反馈及状态可观测性
续
状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即：
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3）特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次（由n 2n ）
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.
逆变电源的几种控制算法
逆变电源的几种控制算法逆变电源广泛运用于各类：电力、通讯、工业设备、卫星通信设备、军用车载、医疗救护车、警车、船舶、太阳能及风能发电领域。
在电路中将直流电转换为交流电的过程称之为逆变，这种转换通常通过逆变电源来实现。
这就涉及到在逆变过程中的控制算法问题。
只有掌握了逆变电源的控制算法，才能真正意义上的掌握逆变电源的原理和运行方式，从而方便设计。
在本篇文章当中，将对逆变电源的控制算法进行总结，帮助大家进一步掌握逆变电源的相关知识。
逆变电源的算法主要有以下几种。
数字PID控制PID控制是一种具有几十年应用经验的控制算法，控制算法简单，参数易于整定，设计过程中不过分依赖系统参数，鲁棒性好，可靠性高，是目前应用最广泛、最成熟的一种控制技术。
它在模拟控制正弦波逆变电源系统中已经得到了广泛的应用。
将其数字化以后，它克服了模拟PID控制器的许多不足和缺点，可以方便调整PID参数，具有很大的灵活性和适应性。
与其它控制方法相比，数字PID具有以下优点：PID算法蕴涵了动态控制过程中过去、现在和将来的主要信息，控制过程快速、准确、平稳，具有良好的控制效果。
PID控制在设计过程中不过分依赖系统参数，系统参数的变化对控制效果影响很小，控制的适应性好，具有较强的鲁棒性。
PID算法简单明了，便于单片机或DSP实现。
采用数字PID控制算法的局限性有两个方面。
一方面是系统的采样量化误差降低了算法的控制精度；另一方面，采样和计算延时使得被控系统成为一个具有纯时间滞后的系统，造成PID控制器稳定域减少，增加了设计难度。
状态反馈控制状态反馈控制可以任意配置闭环控制系统的极点，实现了逆变电源控制系统极点的优化配置，有利于改善系统输出的动态品质，具有良好的瞬态响应和较低的谐波畸变率。
但在建立逆变器的状态模型时将负载的动态特性考虑在内，因此状态反馈控制只能针对空载和已知的负载进行建模。
由于状态反馈控制对系统模型参数的依赖性很强，使得系统的参数在发生变化时易导致稳态误差的出现和以及动态特性的改变。
现代控制理论试题详细答案
现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。
状态变量个数是2。
…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）…..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。
（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分）[][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分）rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为 求两系统串联后系统的最小实现。
控制系统的极点配置实验报告
课程名称： 控制理论乙 指导老师： 姚唯 成绩： 实验名称： 控制系统的极点配置 实验类型： 同组学生姓名： 郁明非一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填）三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填）七、讨论、心得一、实验目的和要求1．掌握全状态反馈系统的极点配置方法2．在Simulink 仿真环境中，研究极点配置对系统特性的影响二、实验内容和原理（一）实验内容1．一被控对象，其传递函数为)3)(2)(1(10)(+++=s s s s G设计反馈控制器u=-kx ，使闭环系统的极点为3221j +-=μ，3222j --=μ，103-=μ。
2．在Simulink 仿真环境下，用基本环节组成经过极点配置后的系统，通过图形观察环节，观察系统的各点响应。
（二）实验原理对一给定控制系统如果其状态完全可控，则可进行任意极点配置即通过设计反馈増益K 使闭环系统具有期望的极点。
极点配置有二种方法：第一种方法是采用变换矩阵T ，使系统具有期望的极点，从而求出矩阵K ；第二种方法基于Caylay-Hamilton 理论，通过矩阵多项式φ（â），可求出K （这种方法称为Ackermann 公式）。
在MATLAB 中，利用控制系统工具箱函数place 和acker 进行极点配置设计。
三、主要仪器设备一台PC 电脑，matlab 仿真软件，simulink 仿真环境四、实验源代码及实验结果function jidianpeizhinum=[10];den=[1,6,11,6];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den);J=[-2-j*2*sqrt(3),-2+j*2*sqrt(3),-10];K=place(A,B,J);Ksys=ss(A-B*K,[0;0;0],eye(3),0);t=0:0.01:4;X=initial(sys,[1;0;0],t);x1=[1,0,0]*X';x2=[0,1,0]*X';x3=[0,0,1]*X';subplot(3,1,1);plot(t,x2);grid on;title('Reponse to initial condition'); ylabel('x1');subplot(3,1,2);plot(t,x2);grid on;ylabel('x2');subplot(3,1,3);plot(t,x3);grid on;ylabel('x3');xlabel('t(sec)');实验结果K =8.0000 45.0000 154.0000实验验证：>> num=[10];>> den=[1 6 11 6];>> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den);>> J=[-2-j*2*sqrt(3),-2+j*2*sqrt(3),-10];>> K=place(A,B,J)K =8.0000 45.0000 154.0000>> A1=A-B*K;>> sys=ss(A1,B,C,D);>> G1=zpk(sys);>> G1=zpk(sys)G1 =10----------------------(s+10) (s^2 + 4s + 16)Continuous-time zero/pole/gain model.五、simulink仿真1.简单环节叠加仿真2.状态函数仿真六、心得、体会1. 通过本次实验，掌握了状态反馈的概念，并且掌握了利用状态反馈进行极点配置的方法，学会了用MATLAB 求解状态反馈矩阵。
实验九控制系统极点的任意配置
实验九控制系统极点的任意配置The pony was revised in January 2021东南大学自动化学院实验报告课程名称：自动控制实验名称：控制系统极点的任意配置院（系）：自动化专业：自动化姓名：学号：实验室：实验组别：同组人员：实验时间:2016年 4月 30日评定成绩：审阅教师：一、实验目的1. 掌握用状态反馈的设计方法实现控制系统极点的任意配置；2. 用电路模拟的方法，研究参数的变化对系统性二、实验原理内容用全状态反馈实现二阶系统极点的任意配置，并用电路模拟的方法予予以实现；理论证明，通过状态反馈的系统，其动态性能一定会优于只有输出反馈的系统。
设系统受控系统的动态方程为图6-1为其状态变量图。
图6-1 状态变量图令Kx r u -=，其中]...[21n k k k K =，r 为系统的给定量，x 为1⨯n 系统状态变量，u 为11⨯控制量。
则引入状态反馈后系统的状态方程变为相应的特征多项式为)](det[bK A SI --，调节状态反馈阵K 的元素]...[21n k k k ，就能实现闭环系统极点的任意配置。
图6-2为引入状态反馈后系统的方框图。
图6-2 引入状态变量后系统的方框图实验时，二阶系统方框图如6-3所示。
图6-3 二阶系统的方框图引入状态反馈后系统的方框图如图6-4所示。
根据状态反馈后的性能指标：20.0≤p δ，s 5.0Tp ≤，试确定状态反馈系数K1和K2图6-4 引入状态反馈后的二阶系统方框图三、实验步骤1． 引入输出单位反馈根据图6-3二阶系统的方框图，设计并组建该系统相应的模拟电路，如图6-9所示。
图6-9 引入状态反馈前的二阶系统模拟电路图在系统输入端加单位阶跃信号，虚拟示波器HBD-1观测c(t)输出点并记录相应的实验曲线，测量其超调量和过渡时间。
2．引入状态反馈根据图6-4引入状态反馈后的二阶系统的方框图，设计并组建该系统相应的模拟电路，如图6-10所示。
实验十一控制系统极点的任意配置
实验⼗⼀控制系统极点的任意配置实验⼗⼀控制系统极点的任意配置⼀、实验⽬的1. 掌握⽤全状态反馈的设计⽅法实现控制系统极点的任意配置；2. ⽤电路模拟的⽅法，研究参数的变化对系统性能的影响。
⼆、实验设备同实验⼀。
三、实验内容1. ⽤全状态反馈实现⼆阶系统极点的任意配置，并⽤电路模拟的⽅法予予以实现；2. ⽤全状态反馈实现三阶系统极点的任意配置，并通过电路模拟的⽅法予以实现。
四、实验原理由于控制系统的动态性能主要取决于它的闭环极点在S 平⾯上的位置，因⽽⼈们常把对系统动态性能的要求转化为⼀组希望的闭环极点。
⼀个单输⼊单输出的N 阶系统，如果仅靠系统的输出量进⾏反馈，显然不能使系统的n 个极点位于所希望的位置。
基于⼀个N 阶系统有N 个状态变量，如果把它们作为系统的反馈信号，则在满⾜⼀定的条件下就能实现对系统极点任意配置，这个条件就是系统能控。
理论证明，通过状态反馈的系统，其动态性能⼀定会优于只有输出反馈的系统。
设系统受控系统的动态⽅程为bu Ax x+= cx y =图11-1为其状态变量图。
图11-1 状态变量图令Kx r u -=，其中]...[21n k k k K =，r 为系统的给定量，x 为1?n 系统状态变量，u 为11?控制量。
则引⼊状态反馈后系统的状态⽅程变为bu x bK A x+-=)( 相应的特征多项式为)](det[bK A SI --，调节状态反馈阵K 的元素]...[21n k k k ，就能实现闭环系统极点的任意配置。
图11-2为引⼊状态反馈后系统的⽅框图。
图11-2 引⼊状态变量后系统的⽅框图1. 典型⼆阶系统全状态反馈的极点配置⼆阶系统⽅框图如11-3所⽰。
图11-3 ⼆阶系统的⽅框图1.1 由图得)15.0(10)(+=S S S G ，然后求得：223.0=ξ，%48≈p δ同时由框图可得：2115.01)(X S X R =+- ，2110X X = 所以：R X X X 222212+--= R X X ??+??--=2022100 []X X y 011== 1.2 系统能控性[]242200=??-=r a n k Ab b rank 所以系统完全能控，即能实现极点任意配置。
现代控制理论复习题库
现代控制理论复习题库⼀、选择题1.下⾯关于建模和模型说法错误的是( C )。
A．⽆论是何种系统，其模型均可⽤来提⽰规律或因果关系。
B．建模实际上是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种⽅式的组合表⽰状态变量、输⼊变量、输出变量、参数之间的关系。
C．为设计控制器为⽬的建⽴模型只需要简练就可以了。
D．⼯程系统模型建模有两种途径，⼀是机理建模，⼆是系统辨识。
&&&&的类型是( B ) 。
2.系统()3()10()y t y t u t++=A．集中参数、线性、动态系统。
B．集中参数、⾮线性、动态系统。
C．⾮集中参数、线性、动态系统。
D．集中参数、⾮线性、静态系统。
3.下⾯关于控制与控制系统说法错误的是( B )。
A．反馈闭环控制可以在⼀定程度上克服不确定性。
B．反馈闭环控制不可能克服系统参数摄动。
C．反馈闭环控制可在⼀定程度上克服外界扰动的影响。
D．控制系统在达到控制⽬的的同时，强调稳、快、准、鲁棒、资源少省。
x Pz说法错误的是( D )。
4.下⾯关于线性⾮奇异变换=A．⾮奇异变换阵P是同⼀个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵。
B．对于线性定常系统，线性⾮奇异变换不改变系统的特征值。
C．对于线性定常系统，线性⾮奇异变换不改变系统的传递函数。
D．对于线性定常系统，线性⾮奇异变换不改变系统的状态空间描述。
5.下⾯关于稳定线性系统的响应说法正确的是( A )。
A．线性系统的响应包含两部分，⼀部是零状态响应，⼀部分是零输⼊响应。
B．线性系统的零状态响应是稳态响应的⼀部分。
C．线性系统暂态响应是零输⼊响应的⼀部分。
D．离零点最近的极点在输出响应中所表征的运动模态权值越⼤。
6.下⾯关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是( A ) 。
A．能控且能观的状态空间描述⼀定对应着某些传递函数阵的最⼩实现。
B．能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能⼒。
C．能观性表征的是状态反映输出的能⼒。
逆变电源的几种控制算法
一. 逆变电源的几种控制算法逆变电源广泛运用于各类：电力、通讯、工业设备、卫星通信设备、军用车载、医疗救护车、警车、船舶、太阳能及风能发电领域。
在电路中将直流电转换为交流电的过程称之为逆变，这种转换通常通过逆变电源来实现。
这就涉及到在逆变过程中的控制算法问题。
只有掌握了逆变电源的控制算法，才能真正意义上的掌握逆变电源的原理和运行方式，从而方便设计。
在本篇文章当中，将对逆变电源的控制算法进行总结，帮助大家进一步掌握逆变电源的相关知识。
1.1.逆变电源的算法主要有以下几种。
1.1.1.数字PID控制PID控制是一种具有几十年应用经验的控制算法，控制算法简单，参数易于整定，设计过程中不过分依赖系统参数，鲁棒性好，可靠性高，是目前应用最广泛、最成熟的一种控制技术。
它在模拟控制正弦波逆变电源系统中已经得到了广泛的应用。
将其数字化以后，它克服了模拟PID控制器的许多不足和缺点，可以方便调整PID参数，具有很大的灵活性和适应性。
与其它控制方法相比，数字PID具有以下优点：PID算法蕴涵了动态控制过程中过去、现在和将来的主要信息，控制过程快速、准确、平稳，具有良好的控制效果。
PID控制在设计过程中不过分依赖系统参数，系统参数的变化对控制效果影响很小，控制的适应性好，具有较强的鲁棒性。
PID算法简单明了，便于单片机或DSP实现。
采用数字PID控制算法的局限性有两个方面。
一方面是系统的采样量化误差降低了算法的控制精度；另一方面，采样和计算延时使得被控系统成为一个具有纯时间滞后的系统，造成PID控制器稳定域减少，增加了设计难度。
1.1.2.状态反馈控制状态反馈控制可以任意配置闭环控制系统的极点，实现了逆变电源控制系统极点的优化配置，有利于改善系统输出的动态品质，具有良好的瞬态响应和较低的谐波畸变率。
但在建立逆变器的状态模型时将负载的动态特性考虑在内，因此状态反馈控制只能针对空载和已知的负载进行建模。
由于状态反馈控制对系统模型参数的依赖性很强，使得系统的参数在发生变化时易导致稳态误差的出现和以及动态特性的改变。
极点配置
得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全可控的， 可任意配置极点。 下面用两种方法求解。
方法1：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵A的特征多 项式，求特征值。
s | sI A | 0 1 s 3 6s 2 1 s 5 5s 1 0 1 s 6
a1 1 a1
a2 2 a2
an n an
求解上述方程组，得到 i 的 值，则 K KP 1 [ n n 1 1 ]P 1
1 [ an an a n a a a a a ] P 1 n 1 2 2 1 1
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统 Ax Bu x 假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任 意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全 可控。 该定理对多变量系统也成立。 证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
上式为可控标准形。选取一组期望的特征值
为
u1 , u2 ,, un
，则期望的特征方程为
n * n1 1 * *
( s 1 )(s 2 )( s n ) s a s a n1s a n 0
设
x 由于 u r Kx r KPx r K，此时该系统的状态方程为
式中ai为特征多项式的系数： sI A s n a1s n1 an1s an
x Px 定义一个新的状态向量 如果可控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全可控的）， 则矩阵Q的逆存在，并且可将原线性系统 Ax Bu x Ac x Bcu 改写为 x
控制系统的极点配置实验报告
课程名称：控制理论乙指导老师：姚唯成绩：实验名称：控制系统的极点配置实验类型：同组学生姓名：郁明非一、实验目的和要求（必填）二、实验内容和原理（必填）三、主要仪器设备（必填）四、操作方法和实验步骤五、实验数据记录和处理六、实验结果与分析（必填）七、讨论、心得一、实验目的和要求1．掌握全状态反馈系统的极点配置方法2．在 Simulink 仿真环境中，研究极点配置对系统特性的影响二、实验内容和原理（一）实验内容1．一被控对象，其传递函数为10G ( s )( s 1)( s 2 )( s 3 )设计反馈控制器u=-kx ，使闭环系统的极点为12j 23，2 2 j 2 3 ，310 。
2．在 Simulink仿真环境下，用基本环节组成经过极点配置后的系统，通过图形观察环节，观察系统的各点响应。
（二）实验原理对一给定控制系统如果其状态完全可控，则可进行任意极点配置即通过设计反馈増益 K 使闭环系统具有期望的极点。
极点配置有二种方法：第一种方法是采用变换矩阵T，使系统具有期望的极点，从而求出矩阵K ；第二种方法基于 Caylay-Hamilton 理论，通过矩阵多项式φ（a），可求出 K（这种方法称为 Ackermann 公式）。
在 MATLAB 中，利用控制系统工具箱函数 place 和 acker 进行极点配置设计。
三、主要仪器设备一台 PC 电脑， matlab 仿真软件， simulink 仿真环境四、实验源代码及实验结果function jidianpeizhinum=[10];den=[1,6,11,6];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den);J=[-2-j*2*sqrt(3),-2+j*2*sqrt(3),-10];K=place(A,B,J);Ksys=ss(A-B*K,[0;0;0],eye(3),0);t=0:0.01:4;X=initial(sys,[1;0;0],t);x1=[1,0,0]*X';x2=[0,1,0]*X';x3=[0,0,1]*X';subplot(3,1,1);plot(t,x2);grid on ;title('Reponse to initial condition'); ylabel('x1');subplot(3,1,2);plot(t,x2);grid on ;ylabel('x2');subplot(3,1,3);plot(t,x3);grid on ;ylabel('x3');xlabel('t(sec)');实验结果K =8.000045.0000 154.0000实验验证：>>num=[10];>>den=[1 6 11 6];>>[A,B,C,D]=tf2ss(num,den);>>J=[-2-j*2*sqrt(3),-2+j*2*sqrt(3),-10];>>K=place(A,B,J)K =8.000045.0000 154.0000>>A1=A-B*K;>>sys=ss(A1,B,C,D);>>G1=zpk(sys);>>G1=zpk(sys)G1 =10----------------------(s+10) (s^2 + 4s + 16)Continuous-time zero/pole/gain model.五、 simulink 仿真1.简单环节叠加仿真2.状态函数仿真六、心得、体会1.通过本次实验，掌握了状态反馈的概念，并且掌握了利用状态反馈进行极点配置的方法，学会了用MATLAB求解状态反馈矩阵。
控制系统极点的任意配置
检查能控性 0 2500 =2 50 −2500 所以系统完全能控，即具备极点任意配置的条件。 rank b Ab = rank λ I−A = 可知，原系统中 ζω n = 25 若要极点配置后系统的响应时间是原系统的5，且为临界阻尼则 ζω n = 125 ζ = 1，ω n = 125 希望的闭环特征多项式为： s 2 + 250s + 15625 引入状态反馈后系统的特征方程式为 s −50 sI − (A − bk) = 50 + 50k1 s + 50 + 50k 2 = s 2 + (50k 2 + 50)s + 2500k1 + 2500 = s2 + 250s + 15625 解得： k1 = 5.25，k 2 = 4 R1 = 3.81kΩ ，R 2 = 5kΩ 引入状态反馈后的方框图为
15625引入状态反馈后系统的特征方程式为si505050k250s156255k引入状态反馈后的方框图为系统框图可简化为62515625250s15625250015625625系统存在稳态误差需要在通过一个增益进行补偿可以通过反馈环路外的反相放大器来实现这样就不会改系统的性能
实验十六 控制系统极点的任意配置
实验步骤
1、 按照系统模拟电路图搭建原系统的模型 2、 运放电压为±15V，输入正负方波的幅值为 0.5V，频率为 1Hz，测量输入 和输出波形，观察输出对输入的跟踪情况，以及系统的阶跃响应。 3、 按照系统模拟电路图搭建控制器的模型，加入到原系统中。 4、 同样的输入下测量输出波形，并与校正前的系统比较，看是否满足题目 要求，是否与仿真结果相同。 5、 如果与仿真结果有差异，分析差异产生的原因，并作出调整。
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检查能控性 0 2500 =2 50 −2500 所以系统完全能控，即具备极点任意配置的条件。 rank b Ab = rank λ I−A = 可知，原系统中 ζω n = 25 若要极点配置后系统的响应时间是原系统的5，且为临界阻尼则 ζω n = 125 ζ = 1，ω n = 125 希望的闭环特征多项式为： s 2 + 250s + 15625 引入状态反馈后系统的特征方程式为 s −50 sI − (A − bk) = 50 + 50k1 s + 50 + 50k 2 = s 2 + (50k 2 + 50)s + 2500k1 + 2500 = s2 + 250s + 15625 解得： k1 = 5.25，k 2 = 4 R1 = 3.81kΩ ，R 2 = 5kΩ 引入状态反馈后的方框图为
实验步骤
1、 按照系统模拟电路图搭建原系统的模型 2、 运放电压为±15V，输入正负方波的幅值为 0.5V，频率为 1Hz，测量输入 和输出波形，观察输出对输入的跟踪情况，以及系统的阶跃响应。 3、 按照系统模拟电路图搭建控制器的模型，加入到原系统中。 4、 同样的输入下测量输出波形，并与校正前的系统比较，看是否满足题目 要求，是否与仿真结果相同。 5、 如果与仿真结果有差异，分析差异产生的原因，并作出调整。
1
λ 50
−50 λ + 50
=λ
2
+ 50λ + 2500
系统框图可简化为
R(s) +
-
50 X 2 50 X 1 C(s) s 250 s
6.25
R(s) +
-
2500 s2 250s
C(s)
6.25
R(s) C(s) 2500 s 2 250s 15625
1 2500 2500 1 ∙ 2 )= = s →0 s s + 250s + 15625 15625 6.25 系统存在稳态误差， 需要在通过一个增益进行补偿，可以通过反馈环路外的 反相放大器来实现，这样就不会改系统的性能。 模拟电路图为： C t |t →∞ = lim(s ∙
图 1
图 2 极点配置后系统的阶跃响应波形
实验结ห้องสมุดไป่ตู้分析
极点配置前 Ts=340ms 极点配置后 Ts=50ms 设计要求：极点配置后调节时间变为原系统的 1/5，可见这样进行极点配置满足 设计要求。
实验思考题
1、系统极点能任意配置的充要条件为什么是状态可控？
系统状态可控，即输入可以影响系统状态，只有输入可以影响系统状态，反 馈到输入的状态反馈才能影响系统的状态。 2、为什么引入状态反馈后的系统，其性能一定会优于输出反馈的系统？ 因为状态反馈引入的是全反馈，是所有状态的反馈； 而输出反馈只把输出反 馈至输入，对系统内部某些与输出无关的状态没有合理的控制。 3、附录中图 16-3 所示的系统引入状态反馈后，能不能使输出的稳态值高于 给定值
实验十六 控制系统极点的任意配置
实验目的
二阶系统方框图如图所示
R(s) +
-
50 X 2 50 X 1 C(s) s s 50
使用状态空间知识为该系统合理配置极点。 要求极点配置后系统的响应时间是原系统的 ，且为临界阻尼。
5 1
实验原理
由系统框图，得 50 x s 2 x1 = 50x2 50 x2 = (R − x1 ) s + 50 x2 = −50x1 − 50x2 + 50R x1 0 0 50 x1 = + R x2 50 −50 −50 x2 x1 C= 1 0 x 2 x1 = 模拟电路图为：
应用 Matlab 仿真及其结果
原系统的阶跃响应：
校正后系统的阶跃响应：
应用 multisim 仿真及其结果
校正前
校正后 由仿真结果可得，校正后系统为临界阻尼，无超调量，两个系统的调节时间为五 倍的关系。故系统设计符合要求。
实验结果
系统极点配置前的阶跃响应 图 1 测量调节时间 图 2 测量超调
由系统的稳态值 1 K1 当K1 < 1时，系统的输出稳态值高于给定值。 c t |t →∞ =
注意事项
1、根据之前基本实验的经验，如果输出波形与仿真结果不同，可能是因为 输入的幅值较大， 导致系统中某一部分的幅值因接近运放正负电源电压而引起非 线性失真，此时可以降低输入的幅值。 2、如果实验发现输出结果在 0.5s 内并没有稳定，则需要检查系统是否出现 失真或其他原因引起的失真， 如果系统工作正常， 则需降低输入正负方波的频率。