基本不等式第一课时公开课课件

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2.2.1 基本不等式课件(28张)

【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1

2.2基本不等式(第一课时)课件(人教版)

必须要满足条件：(1)
；
(2)
；
(3)
.
练一练
4.试判断x(2-x)(0<x<2)与 1 的大小关系.
解答：
+(2−) 2
x(2-x)≤(
) =1
2
, 只有x=1时才取等号
2.2.1 基本不等式
思维篇
知识篇
素养篇
问
核
心
素
养
之
题
逻
辑
推
理
分
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２
二次式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
a×a+b×b
≥
a×b+b×a
自乘的和
不小于
互乘的和
①
如果把两个数相乘看成一
次合作“圈地”(如图)，那
b
a
b
a
么公式 ①折射诞生活的哲理：
自立自强比互相合作更
重要！
1 重要不等式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
①
特别地：
；
1 2
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S ．
4
提示：因为x，y都是正数，所以x＋y ≥2 ．
无论是“和”定还是“积”定，不等号的另一侧部分将会取得最
+
数
学
建
模
1.已知x，y都是正数，求证：
析
方
法
总
结
值，且都在x＝y时取得等号.
基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当

2.2基本不等式(第1课时) 高中数学人教版必修一课件(共14张PPT).ppt

追问1. 基本不等式实质上就是比较大小，以前学习的比较大小的方法都有哪些?你会用这些
方法证明基本不等式吗？作差法
a b ab 1 (a b 2 ab)

2
ab 2
1 ( a b)2 0 2
ab
，即
ab a b 2
【师生共探，证明新知】
问题3. 我们从赵爽弦图得到了重要不等式，又通过代换得到了基本不等式。数学讲究严谨性，请
同学们想一想，可以用什么方法证明基本不等式？
追问2：除了以上的方法，你还能用其它的方法证明吗？
要证只要证要证①，只要证要证②，只要证
2 ab a b
①
2 ab a b 0 ②
( a b)2 0 ③
要证③，只要证
( a b)2 0
④
显然，④成立，当且仅当a=b时，等号成立。
分析法（执果索因法）
a2 b2 2ab(a,b R) ，当且仅当 a b 时，等号成立。那么，当 a 0,b 0 时，我们用 a , b 分别代替上式中的 a, b ，上述
不等关系变为什么？
a2 b2 2ab(a, b R) a b 2 ab
基本不等式（均值不等式）
【合作交流，生成新知】
基本不等式的结构特征：
2.2 基本不等式
【创设情境，发现新知】
【地主分地的故事】地主家有两个儿子，为了分家产，他分给大儿子一块长方形的地，分
给小儿子一块正方形的地，这两块地的周长相同。问：这样分家公平吗？
你分这块长方形的地
你分这块正方形的地
【合作交流，生成新知】
问题1. 上一节我们通过赵爽的弦图得出了一个重要不等式：
【师生共探，证明新知】问题4. 以上的方法都是从代数的角度证明的，你能从几何的角度解释基本不等式吗？

基本不等式公开课课件完整版

4
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常需要运用基本不等式进行求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不等式证明均值不等式。
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22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
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31
26
常见误区与注意事项
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不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +

基本不等式(第一课时) PPT

(当且仅当 x=y= S 时, “=”成立).
4
2
口诀：“和定积最大”
注意：使用条件： “一正，二定，三相等”
练习：
1、当x>0时，x 1 的最小值为 2 ，此时x= 1 . x
变式：当x<0时，x 1 的最大值为 -2 ，此时x= -1 . x
若为负数，则添负号变正. 2、已知 x+y=4(x>0,y>0)，求 xy 的最值. 4
a b 称为a、b的算术平均数，
2
ab 称为a、b的几何平均数.
注意：1．公式适用范围：a>0,b>0
2．文字表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
变形公式：
(1)ab a2 b2 (a R, b R) (当且仅当a=b时取“=”) 2
(2)a b 2 ab(a 0,b 0) (当且仅当a=b时取取“=”)
3、已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明
此时x,y的值．
(当x=6,y=4时,最小值为48)
提升应用
1.下列函数中，y的最小值为4的是( C )
A、y
x
4 x
C、y 3x 4 3x
2.判断正误：
B、y
sin
x
4 sin
x
(0
x
)
D、y
sin
x
4 cos
x
(0
x
2
(3)ab ( a b )2 (a R,b R) (当且仅当a=b时取取“=”) 2
(4)( a +b )2 a2 +b2 (a R,b R) (当且仅当a=b时取取“=”)

基本不等式第一课时公开课ppt课件

S四个三角形 2ab S大正方形 a2 b2
编辑版pppt
5
D
D
a2 b2
b
A
G
F
a
HE
C A
a
E(FGH) b
C
B
B
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我
们有
a2b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
如何证明?
编辑版pppt
6
思考：你能给出不等式 a2b2≥2ab 的证明吗？
证明：（作差法） a2b22ab(ab)2 当ab时 (ab)2 0 当ab时 (ab)2 0 所以(ab)2≥0 所以 a2b2≥ 2ab.当且仅当a=b 时等号成立
过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
A
aa bb ①如何用a, b表示OD? OD=___2_2__
②如何用a, b表示CD? CD=____a _b _
D a OC b B
E
③OD与CD的大小关系怎样? OD__≥＞___CD 演示
a b≥ 2
ab
几何意义：半径不小于弦长的一半
D a OC b B
E
②如何用a, b表示CD? CD=____a _b _
Rt△ACD∽Rt△DCB，所以 BC D C DC A C
所以 D C 2B C A C a b
编辑版pppt
11
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心，
点C是AB上一点, AC=a, BC=b.
编辑版pppt
12
剖析公式应用
1、基本不等式可以叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.2 第1课时基本不等式(课件)

2
1
1

②a＋ab＋b≥4；

1 1
③(a＋b)a＋b≥4；

④a2＋9＞6a.
当堂达标
2 3
1

①②③ 解析：由于 a2＋1－a＝a－2 ＋＞0，故①恒成立；
4

1
1
1 b a
1
ba

a＋
b＋
由于
a
b＝ab＋ab＋a＋b≥2 ab·ab＋2 a·b＝4.
>
x＋y
2
2
2
2
2
1
，排除 A.
2x2＋y2
1
1 11 1 3
解法二：取 x＝1，y＝2.则
＝3；4 x＋ y＝8；

x＋y
1
1
1
1
＝
＝ .其中
最小．
2 xy 2 2
8
10
1
1
；
2
2 ＝
2x ＋y
10
经典例题
题型三
用基本不等式证明不等式
例 3 已知 a，b，c 为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c> ab＋ bc＋ ca.
当堂达标
x2＋2
5.若不等式 2
≥2 恒成立，则当且仅当 x＝________时取“＝”号．
x ＋1
0 解析：
x2＋2
x2＋1 ＋1
1
2
＝
＝ x ＋1＋ 2
≥2
2
2
x ＋1
x ＋1
x ＋1
1
x ＋1 2
＝2，
x ＋1
2
1
其中当且仅当 x ＋1＝ 2

基本不等式(共43张)ppt课件

15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式，并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。

基本不等式公开课课件

三角函数值的比较
三角函数的最值
三角恒等式的证明
04
基本不等式的推广
柯西不等式
总结词详细描述
均值不等式
总结词详细描述
贝努利不等式
总结词
详细描述
贝努利不等式表明对于任何正整数n和正实数x，都有(x+1/x)^n >= x^n + n*x^(n-1)/n。这个不等式在证明其他不等式和解决优化问题时非常有用。
对于任何正数a、b，有$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$。
性质
不等式的传递性不等式的加法性质不等式的乘法性质
分类
严格不等式与非严格不等式
1
单调性
2
可比与不可比
3
02
基本不等式的证明方法
代数证法
代数证法是通过代数运算和代数恒等式来证明基本不等式的方法。
常用的代数恒等式包括平方差公式、完全平方公式、均值不等式
等。
代数证法通常需要经过一系列的推导和变换，最终得出基本不等
式的结论。
几何证法
几何证法是通过几何图形和几何性质来证明基本不等式的方法。
常用的几何图形包括三角形、矩形、圆等。
几何证法通常利用几何图形的性质和面积、周长等计算来证明基本不等式。
Hale Waihona Puke 函数证法反证法反证法是通过假设相反的结论来证明基本不等式的方法。
反证法需要严密的逻辑推理和推理能力，是数学证明中常用的一种方法。
反证法通常先假设基本不等式不成立，然后推导出矛盾，从而证明基本不等式成立。
03
基本不等式的应用
在代数中的应用
01
02
代数式简化

人教版高中数学必修1《基本不等式》第1课时PPT课件

当然，我们可以用作差比较法证明基本不等式 .
∀ a > 0,b > 0， ab ≤
高中数学
一、温故知新-新知形成
分析法
分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证
明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，
把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条
件、定理、定义、公理）为止.
高中数学
四、画龙点睛－关键之处
例2 已知x,y都是正数，求证：
（１）如果积等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 2 P ；
x+ y
证明：因为x,y都是正数，所以 2 ≥
x+ y
≥
所以
2
P ，当且仅当x=y时，上式等号成立．于是，当x=y时，和
x+y有最小值 2 P ；
高中数学
xy ．
四、画龙点睛－关键之处
高中数学
一、温故知新-新知特征
问题2
由
，
即由
⟹
，
根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不
等式反向,这里，根据前面的知识，我们可以知道⑤是④成立的充
分条件；
显然，⑤成立，当且仅当 = 时，⑤中的等号成立.
高中数学
一、温故知新-新知特征
分析法的证明格式
由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的
要证②，只要证
要证③，只要证
要证④，只要证
高中数学
≤
+
，
2 ≤ + .
2 − − ≤0.
2
− − ≤0 .
2
− ≥0 .
2
①
②

1 第1课时　基本不等式(共42张PPT)

解析：因为 a＞0，且 2x＋ax≥2 当且仅当 2x＝ax，
2x·ax＝2 2a，
即 x＝ 22a时，2x＋ax取得最小值，所以 22a＝3，解得 a＝18. 答案：18
5．已知 x，y 为正实数，且 x＋y＝4，求1x＋3y的最小值．解：因为 x，y 为正实数，所以(x＋y)1x＋3y ＝4＋xy＋3yx≥4＋2 3. 当且仅当xy＝3yx，
(1)若 a＋b＝S(和为定值)，当 a＝b 时，积 ab 有最大值S42，可以用基本不等式 ab≤a＋2 b求得． (2)若 ab＝P(积为定值)，则当 a＝b 时，和 a＋b 有最小值 2 P，可以用基本不等式 a＋b≥2 ab求得．不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．
1．已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为
【解析】对于选项 A，当 x<0 时，4x＋x≥4 显然不成立；对于选项 B，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项 C，忽视了验证等号成立的条件，即 x＝1x，则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选项 D，x－1x在 0<x≤2 的范围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
A．7
B．8
C．9
D．10
()
解析：选 C.因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2 ＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
ab·4ba
探究点 3 利用基本不等式求最值 (1)已知 x>2，则 y＝x＋x－4 2的最小值为________．
(2)若 0<x<12，则函数 y＝12x(1－2x)的最大值是________． (3)若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．

基本不等式第一课时(课件)

解：（1）设矩形的长、宽分别为x(米)，y(米)，依题意有xy=100(平方米)，
因为x>0，y>0，所以， x y ≥ xy 2
因此，即2(x+y)≥40。
当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=10。
因此，当这个矩形的长与宽都是10米时，它的周长最短，最短周长是40米.
（2）已知矩形的周长是36米，问这个矩形的长、
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第三章基本不等式 ab≤a＋2 b 第1课时基本不等式
学习目标
❖ 1.掌握基本不等式的证明方法。 ❖ 2.理解基本不等式的应用条件。 ❖ 3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值
问题.
问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为Sa=2——b—2 —，
如果取等纳总结
在运用基本不等式时，要注意“一正、二定、三相等”
重要不等式 a2 b2 2ab 基本不等式 a b 2 ab (a、b∈R+)
结（1）两个正数积为定值，和有最小值。论（2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：一正、二定、三相等
宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
分析：在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个常数，求长与宽的乘积的最大值。
（2）已知矩形的周长是36米，问这个矩形的长、
宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
（2）设矩形的长、宽分别为x(米)，y(米)，依题意有
2(x+y)=36，即x+y=18，因为x>0，y>0，所以，
因此
xy ≤ x y 2
xy ≤9