基本不等式第一课时公开课课件

a
a
E
C
A
A
H
E(FGH) b
C
B
B
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我 们有 2 2
a b 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
如何证明?
思考：你能给出不等式 a 2 b 2≥2ab 的证明吗？
2 ( a b ) 证明：（作差法） a b 2ab
2 2
当a b时
当a b时
2Baidu Nhomakorabea
(a b) 0
2
2
(a b) 0
所以(a b) ≥0
所以a b ≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立
2 2
新课探究
D
如果a＞0，b＞0我们用
a 、 b ，代替上式中a、b
可得
a b 2 ab ,
G
F
C
这个不等式又如何 证明？
A
H
a
E
ab
b
B
从不等式的性质推导基本不等式
a,b∈R
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
a =b
a =b
变式训练:
1 1 4 1、已知a>0,b>0,求证 (a b)( ) . a b
2、已知a、b、c 为两两不相等的实 2 2 2 数，求证 a b c ab bc ac
小结：
a b ≥2ab
2 2
ab ≥ ab 2
a>0,b>0
适用范围 文字叙述 “=”成立条件
②如何用a, b表示CD?
ab CD=______
BC DC Rt△ACD∽Rt△DCB， 所以 DC AC
所以DC 2 BC AC ab
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a b b a ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2 2
②如何用a, b表示CD?
D
A a OC b B
E
ab CD=______
≥ OD_____CD ＞
③OD与CD的大小关系怎样?
演示
ab ≥ ab 2
几何意义：半径不小于弦长的一半
剖析公式应用
1、 基本不等式可以叙述为:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 从数列的角度来看： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
ab ab 2
我们一起来分析一下： 要证
ab ab 2
（1）
只要证
a+b

2 ab
（2）
（3） （4）
要证（2），只要证 a+b- 2 ab 0
要证（3），只要证 （ a- b ）
2 2
0
显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时， （4）中的等号成立。
通常我们把上式写作：
ab ab (a 0, b 0) 2
基本不等式(一)
ab ab 2
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如图，这是在北 京召开的第24届 国际数学家大会 会标．会标根据 中国古代数学家 赵爽的弦图设计 的，颜色的明暗 使它看上去象一 个风车，代表中 国人民热情好客。 ICM2002会标
赵爽弦图是由四个全等的直角三角形所 组成，你能找出一些相等关系或不等关 系吗？
ICM 2002
International Congress of Mathematicians
Bejing
August 20-28,2002
赵爽弦图
D
G
F
C
a +b > 2ab
S四个三角形 2ab S大正方形 a b
2 2
2
2
A
aH
a 2 b2
E
b
B
D
D
a 2 b2
b
G F
b c 2 bc 0,
c a 2 ac 0,
(a b)(b c)(c a) 8 ab bc ca 8abc.
y x 2.已知x, y R , 求证 2. x y

证明:
x, y R

y x , R , x y
y x y x 2 2 x y x y
2、正用、逆用，注意成立的条件 ⑴ a、 b是两个正数
.
⑵ 当且仅当a=b时“＝”号成立 3、变形用 2 ab ab a b 2 ab 2
例1:
1.已知a, b, c都是正数, 求证(a b)(b c)(c a) 8abc.
证明:
a b 2 ab 0,
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫 做基本不等式.
在数学中，我们把
ab 叫做正数a，b的几何平均数。
ab 叫做正数a，b的算术平均数 2
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? D 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 A B a C O b AD、BD、OD. ab ①如何用a, b表示OD? OD=______ E 2