精选高一：零点问题的解题方法.docx

谈函数与方程 ( 零点问题 ) 的解题方法

课题

——解题技能篇

从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．

(1)函数零点的定义

对于函数y＝ f(x) (x∈D )，把使 f(x)＝ 0 成立的实数x 叫做函数y＝ f(x) (x∈ D)的零点．

(2)零点存在性定理 (函数零点的判定 )

若函数y＝ f(x)在闭区间 [a，b] 上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a) ·f(b)＜ 0，则在区间 (a，b)内，函数 y＝ f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝ 0 在区间 (a，b)内至少有一个实数解．

也可以说：如果函数y＝ f(x)在区间 [a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)＜ 0，那么，函数 y＝ f(x) 在区间 (a， b)内有零点，即存在c∈ (a，b)，使得 f(c) ＝0，这个 c 也就是方程f(x)＝ 0 的根．[提醒 ]此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．

(3)几个等价关系

函数 y＝ f(x)有零点?方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与函数y＝ 0(即 x 轴 )有交点．推广：函数 y＝ f( x)－ g(x)有零点?方程f(x)－g(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴 )有交点．

推广的变形：函数 y＝ f(x)－ g(x)有零点 ? 方程 f(x)＝ g(x) 有实数根 ? 函数 y＝ f(x)的图象与 y＝g(x)有交点．

1．函数的零点是函数y＝ f(x)与 x 轴的交点吗？是否任意函数都有零点？

提示：函数的零点不是函数y＝ f(x)与 x 轴的交点，而是y＝ f(x)与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的

零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x) ＝0 有根的函数y＝ f(x)才有零点．2．若函数 y＝ f(x) 在区间 (a， b)内有零点，一定有f(a) ·f(b)<0 吗？

提示：不一定，如图所示，f(a) ·f(b)>0 ．

3．若函数 y＝ f(x) 在区间 (a， b)内，有 f( a) ·f(b)<0 成立，那么 y＝ f(x)在 (a， b)内存在唯一的零点吗？

提示：不一定，可能有多个．

(4) 二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c (a>0)的图象与零点的关系

＝ b 2－ 4ac ＞ 0

＝ 0

＜ 0

二次函数 y ＝ ax 2

＋ bx ＋c (a ＞ 0)的图象

与 x 轴的交点

(x 1， 0)， (x 2， 0)

(x 1， 0)

无交点

零点个数

2

1

对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：

1．函数零点的求解与所在区间的判断；

2．判断函数零点个数；

3．利用函数的零点求解参数及取值范围．

考向一、函数零点的求解与所在区间的判断

1． (2015 ·州十校联考温 )设 f(x)＝ ln x ＋ x － 2，则函数 f(x)的零点所在的区间为 (

)

A ．(0， 1)

B ． (1， 2)

C ．(2， 3)

D ． (3， 4)

【解析】法一 ：∵ f(1) ＝ ln 1＋ 1－ 2＝－ 1＜ 0， f(2) ＝ ln 2＞ 0，∴ f(1) ·f(2) ＜ 0，∵ 函数 f(x) ＝ln x ＋ x － 2

的图象是连续的， ∴函数 f(x)的零点所在的区间是

(1， 2) ．

法二 ：函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g( x)＝ ln x ，h(x)＝－ x ＋ 2 图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知 f(x) 的零点所在的区间为 (1， 2)．

【答案】 B

1

2． (2015 西·安五校联考 )函数 y ＝ ln(x ＋ 1)与 y ＝ x 的图象交点的横坐标所在区间为() A ．(0， 1) B ． (1， 2)

C ．(2， 3)

D ． (3， 4)

【解析】 函数 y ＝ ln( x ＋1)与 y ＝

1

的图象交点的横坐标， 即为函数 f(x) ＝ln( x ＋ 1)－ 1

的零点， ∵ f( x)在 (0，

x

x

1

＋ ∞)上为增函数，且 f(1) ＝ ln 2 －1＜ 0， f(2)＝ ln 3 － 2＞ 0，∴f(x)的零点所在区间为

(1， 2)．

【答案】 B

3．函数 f(x)＝ 3x－7＋ ln x 的零点位于区间(n，n＋ 1)(n∈N)内，则 n＝________．

【解析】求函数 f(x)＝ 3x－ 7＋ ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于 ln 2 ＜ln e ＝ 1，所以 f(2)＜ 0， f(3) ＝2＋ ln 3 ，由于 ln 3 ＞ 1，所以 f(3)＞ 0，所以函数f(x)的零点位于区

间(2， 3)内，故 n＝ 2．

【答案】 2

4．(2015 ·沙模拟长 )若 a＜ b＜ c，则函数 f(x)＝ (x－ a)(x－ b)＋ (x－ b)(x－ c)＋ (x－ c)(x－ a)的两个零点分别

位于区间 ()

A ．(a， b)和 (b， c)内B． (－∞， a)和( a， b)内

C．(b， c)和 (c，＋∞ )内D． (－∞， a)和 ( c，＋∞ )内

【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f(a)＝ (a － b)( a－ c)＞ 0 ， f(b)＝ (b－ c)(b－ a) ＜ 0， f(c)

＝ (c－b)( c－a) ＞0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a， b)和 (b， c)内．【答案】 A

5． (2014 高·考湖北卷 )已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当x≥ 0 时， f(x)＝ x2－ 3x，则函数g(x)＝ f(x)

－ x＋ 3 的零点的集合为()

A ．{1 ，3}B． { － 3，－ 1， 1， 3}

C．{2 －7， 1， 3}D． { － 2－7， 1，3}

【解析】令 x＜ 0，则－ x＞ 0，所以 f(x)＝－ f(－ x)＝－ [( － x)2－ 3(－ x)] ＝－ x2－ 3x．求函数 g(x)＝ f( x)－ x

＋3 的零点等价于求方程 f(x) ＝－ 3＋ x 的解．当 x≥ 0 时， x2－3x＝－ 3＋x，解得 x1＝ 3，x2＝ 1；当 x＜ 0 时，

－ x2－3x＝－ 3＋x，解得 x3＝－ 2－ 7．

【答案】 D

确定函数f(x)零点所在区间的方法

(1)解方程法：当对应方程f(x) ＝0 易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上．

(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝ f(x) 在区间 [a，b] 上的图象是否连续，再看是否有 f(a) ·f(b)

＜ 0．若有，则函数 y＝ f(x)在区间 (a， b)内必有零点．

(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．

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1．已知函数f(x)＝x－ log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()

A ．(0， 1)B． (1， 2)C． (2， 4)D． (4，＋∞ )

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【解析】因为 f(1) ＝6－ log21＝ 6＞ 0， f(2)＝ 3－ log 22＝ 2＞0， f(4) ＝2－ log 24＝－2＜ 0，所以函数f(x)的

零点所在区间为(2， 4)．

【答案】 C

2．方程 log 3x＋ x＝ 3 的根所在的区间为()