八年级数学提优试题2018年9月
2018年八年级数学上册测试题及答案(1-6章)
八年级上册数学评价检测试卷第一章 勾股定理班级 姓名 学号 评价等级一、选择题1.以下列各组数据为三角形三边,能构成直角三角形的是( ) (A )4cm ,8cm ,7cm (B ) 2cm ,2cm ,2cm (C ) 2cm ,2cm ,4cm (D )13cm ,12 cm ,5 cm2.一个三角形的三边长分别为15cm ,20cm ,25cm ,则这个三角形最长边上的高为( ) (A )12cm (B )10cm (C )12.5cm (D )10.5cm3.Rt ∆ABC 的两边长分别为3和4,若一个正方形的边长是∆ABC 的第三边,则这个正方形的面积是( ) (A )25 (B )7 (C )12 (D )25或74.有长度为9cm ,12cm ,15cm ,36cm ,39cm 的五根木棒,可搭成(首尾连接)直角三角形的个数为 ( )(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个5.将直角三角形的三边长扩大相同的倍数后,得到的三角形是( ) (A )直角三角形 (B )锐角三角形 (C )钝角三角形 (D )以上结论都不对 6.在△ABC 中,AB =12cm , AC =9cm ,BC =15cm ,下列关系成立的是( ) (A )B C A ∠+∠>∠ (B )B C A ∠+∠=∠ (C )B C A ∠+∠<∠ (D )以上都不对7.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m ,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水平刚好相齐,河水的深度为( ) (A )2m (B )2.5cm (C )2.25m (D )3m 8.若一个三角形三边满足ab c b a 2)(22=-+,则这个三角形是( )(A )直角三角形 (B )等腰直角三角形 (C )等腰三角形 (D )以上结论都不对 9.一架250cm 的梯子斜靠在墙上,这时梯足与墙的终端距离为70cm ,如果梯子顶端沿墙下滑40cm ,那么梯足将向外滑动( ) (A )150cm(B )90cm(C )80cm(D )40cm10.三角形三边长分别为12+n 、n n 222+、1222++n n (n 为自然数),则此三角形是( ) (A )直角三角形 (B )等腰直角三角形 (C )等腰三角形 (D )以上结论都不对二、填空题11.写四组勾股数组.______,______,______,______.12.若一个直角三角形的三边为三个连续的偶数,则它的周长为____________。
人教版八年级初二数学下学期勾股定理单元达标测试提优卷试题
人教版八年级初二数学下学期勾股定理单元达标测试提优卷试题一、选择题1.如图,在△ABC 和△ADE 中,∠BAC =∠DAE =90°,AB =AC ,AD =AE ,点C ,D ,E 在同一条直线上,连接B ,D 和B ,E .下列四个结论:①BD =CE ,②BD ⊥CE ,③∠ACE +∠DBC=30°,④()2222BE AD AB =+.其中,正确的个数是( ) A .1B .2C .3D .4 2.在ABC ∆中,D 是直线BC 上一点,已知15AB =,12AD =,13AC =,5CD =,则BC 的长为( )A .4或14B .10或14C .14D .10 3.如图,在ABC ∆中,,90︒=∠=AB AC BAC ,ABC ∠的平分线BD 与边AC 相交于点D ,DE BC ⊥,垂足为E ,若CDE ∆的周长为6,则ABC ∆的面积为( ).A .36B .18C .12D .94.如图,在Rt ABC 中,90BAC ︒∠=,以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形'A BC ,'AB C △,'ABC △,若'A BC ,'AB C △的面积分别是10和4,则'ABC △的面积是( )A .4B .6C .8D .9 5.直角三角形的面积为 S ,斜边上的中线为 d ,则这个三角形周长为 ( ) A 22d S d +B 2d S d -C .22d S d ++D .()22d S d ++ 6.如图,小红想用一条彩带缠绕易拉罐,正好从A 点绕到正上方B 点共四圈,已知易拉罐底面周长是12 cm ,高是20 cm ,那么所需彩带最短的是( )A .13 cmB .4cmC .4cmD .52 cm 7.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BD 是∠ABC 的平分线,交AC 于点D ,若CD=1,则AB 的长是( )A .2B . 23C . 43D .4 8.将一根 24cm 的筷子,置于底面直径为 15cm ,高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中,设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm ,则 h 的取值范围是( )A .h≤15cmB .h≥8cmC .8cm≤h≤17cmD .7cm≤h≤16cm9.在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别记为a ,b ,c ,下列结论中不正确的是( ) A .如果∠A ﹣∠B =∠C ,那么△ABC 是直角三角形B .如果∠A :∠B :∠C =1:2:3,那么△ABC 是直角三角形C .如果 a 2:b 2:c 2=9:16:25,那么△ABC 是直角三角形D .如果 a 2=b 2﹣c 2,那么△ABC 是直角三角形且∠A =90°10.如图,在矩形ABCD 中,AB =8,BC =4,将矩形沿AC 折叠,点B 落在点B ′处,则重叠部分△AFC 的面积为( )A .12B .10C .8D .6二、填空题11.如图,RT ABC ,90ACB ∠=︒,6AC =,8BC =,将边AC 沿CE 翻折,使点A 落在AB 上的点D 处;再将边BC 沿CF 翻折,使点B 落在CD 的延长线上的点B '处,两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ,则B FC '△的面积为______.12.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,矩形内一动点P使得S△PAD=13S矩形ABCD,则点P到点A、D的距离之和PA+PD的最小值为_____.13.已知,如图:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(10,0)、C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为_____.14.我国古代数学名著《九章算术》中有云:“今有木长二丈,围之三尺.葛生其下,缠木七周,上与木齐.问葛长几何?”大意为:有一根木头长2丈,上、下底面的周长为3尺,葛生长在木下的一方,绕木7周,葛梢与木头上端刚好齐平,则葛长是______尺.(注:l丈等于10尺,葛缠木以最短的路径向上生长,误差忽略不计)15.如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB=13,EF=7,那么AH等于_____.16.已知,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=7,D是AB的中点,点E在AC上,点F在BC上,DE=DF ,若BF=4,则EF=_______17.如图,△ABC 中,∠ABC =45°,∠BCA =30°,点D 在BC 上,点E 在△ABC 外,且AD =AE =CE ,AD ⊥AE ,则AB BD的值为____________.18.如图,在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=,2AC BC ==,D 为BC 边上一动点,作如图所示的AED ∆使得AE AD =,且45EAD ∠=,连接EC ,则EC 的最小值为__________.19.如图,由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,已知25AB = ,24AC = 其中阴影部分面积是_____________平方单位.20.已知:如图,等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1,以AB 边上的高1OA 为直角边,按逆时针方向作等腰11Rt OA B ∆,11A B 与OB 相交于点2A ,若再以2OA 为直角边按逆时针方向作等腰22Rt OA B ∆,22A B 与1OB 相交于点3A ,按此作法进行下去,得到33OA B ∆,44OA B ∆,…,则66OA B ∆的周长是______.三、解答题21.如图,在△ABC 中,AB =30 cm ,BC =35 cm ,∠B =60°,有一动点M 自A 向B 以1 cm/s 的速度运动,动点N 自B 向C 以2 cm/s 的速度运动,若M ,N 同时分别从A ,B 出发.(1)经过多少秒,△BMN 为等边三角形;(2)经过多少秒,△BMN 为直角三角形.22.如图,△ABC 和△ADE 都是等腰三角形,其中AB =AC ,AD =AE ,且∠BAC =∠DAE . (1)如图①,连接BE 、CD ,求证:BE =CD ;(2)如图②,连接BE 、CD ,若∠BAC =∠DAE =60°,CD ⊥AE ,AD =3,CD =4,求BD 的长;(3)如图③,若∠BAC =∠DAE =90°,且C 点恰好落在DE 上,试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系,并加以说明.23.如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=10,E 为CD 边上一点,将△ADE 沿AE 折叠,使点D 落在BC 边上的点F 处.(1)求BF 的长;(2)求CE 的长.24.已知a ,b ,c 88a a -+-=|c ﹣17|+b 2﹣30b +225,(1)求a ,b ,c 的值; (2)试问以a ,b ,c 为边能否构成三角形?若能构成三角形,求出三角形的周长和面积;若不能构成三角形,请说明理由.25.如图,△ABC 中AC =BC ,点D ,E 在AB 边上,连接CD ,CE .(1)如图1,如果∠ACB =90°,把线段CD 逆时针旋转90°,得到线段CF ,连接BF , ①求证:△ACD ≌△BCF ;②若∠DCE =45°, 求证:DE 2=AD 2+BE 2;(2)如图2,如果∠ACB =60°,∠DCE =30°,用等式表示AD ,DE ,BE 三条线段的数量关系,说明理由.26.如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍,则称这个三角形是“优三角形”,这两条边的比称为“优比”(若这两边不等,则优比为较大边与较小边的比),记为k . (1)命题:“等边三角形为优三角形,其优比为1”,是真命题还是假命题?(2)已知ABC 为优三角形,AB c =,AC b =,BC a =,①如图1,若90ACB ∠=︒,b a ≥,6b =,求a 的值.②如图2,若c b a ≥≥,求优比k 的取值范围.(3)已知ABC 是优三角形,且120ABC ∠=︒,4BC =,求ABC 的面积.27.如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形,AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ,且点A 、D 、E 在同一直线上,连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°,CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).28.已知n 组正整数:第一组:3,4,5;第二组:8,6,10;第三组:15,8,17;第四组:24,10,26;第五组:35,12,37;第六组:48,14,50;…(1)是否存在一组数,既符合上述规律,且其中一个数为71?若存在,请写出这组数;若不存在,请说明理由;(2)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长,是否一定可以画出一个直角三角形,使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数?若可以,请说明理由;若不可以,请举出反例.29.在平面直角坐标系中,点A (0,4),B (m ,0)在坐标轴上,点C ,O 关于直线AB 对称,点D 在线段AB 上.(1)如图1,若m =8,求AB 的长;(2)如图2,若m =4,连接OD ,在y 轴上取一点E ,使OD =DE ,求证:CE =2DE ; (3)如图3,若m =43,在射线AO 上裁取AF ,使AF =BD ,当CD +CF 的值最小时,请在图中画出点D 的位置,并直接写出这个最小值.30.已知ABC 是等边三角形,点D 是BC 边上一动点,连结AD()1如图1,若2BD =,4DC =,求AD 的长;()2如图2,以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=,分别交AB ,AC 于点E ,F . ①小明通过观察、实验,提出猜想:在点D 运动的过程中,始终有AE AF =,小明把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的两种想法想法1:利用AD 是EDF ∠的角平分线,构造角平分线的性质定理的基本图形,然后通过全等三角形的相关知识获证.想法2:利用AD 是EDF ∠的角平分线,构造ADF 的全等三角形,然后通过等腰三角形的相关知识获证.请你参考上面的想法,帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考,发现:四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积,x 表示AD 的长,请你直接写出S 与x 之间的关系式.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B解析:B【分析】①由AB=AC ,AD=AE ,利用等式的性质得到夹角相等,利用SAS 得出三角形ABD 与三角形ACE 全等,由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ;②由三角形ABD 与三角形ACE 全等,得到一对角相等,再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ;③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°,等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°; ④由BD 垂直于CE ,在直角三角形BDE 中,利用勾股定理列出关系式,等量代换即可作出判断.【详解】解:如图,① ∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ,即∠BAD=∠CAE ,∵在△BAD 和△CAE 中,AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===∴△BAD ≌△CAE (SAS ),∴BD=CE ,故①正确;②∵△BAD ≌△CAE ,∴∠ABD=∠ACE ,∵∠ABD+∠DBC=45°,∴∠ACE+∠DBC=45°,∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°,∴∠BDC=90°,∴BD ⊥CE ,故②正确;③∵△ABC 为等腰直角三角形,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABD+∠DBC=45°,∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC=45°,故③错误;④∵BD ⊥CE ,∴在Rt △BDE 中,利用勾股定理得BE 2=BD 2+DE 2,∵△ADE 为等腰直角三角形,∴AE=AD ,∴DE 2=2AD 2,∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2,在Rt △BDC 中,BD BC <,而BC 2=2AB 2,∴BD 2<2AB 2,∴()2222BE AD AB<+故④错误,综上,正确的个数为2个.故选:B .【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理,以及等腰直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键. 2.A解析:A【分析】根据AC =13,AD =12,CD =5,可判断出△ADC 是直角三角形,在Rt △ADB 中求出BD ,继而可得出BC 的长度.【详解】∵AC =13,AD =12,CD =5,∴222AD CD AC +=,∴△ABD 是直角三角形,AD ⊥BC ,由于点D 在直线BC 上,分两种情况讨论:当点D 在线段BC 上时,如图所示,在Rt △ADB 中,229BD AB AD =-=,则14BC BD CD =+=;②当点D 在BC 延长线上时,如图所示,在Rt △ADB 中,229BD AB AD =-=, 则4BC BD CD =-=.故答案为:A.【点睛】 本题考查勾股定理和逆定理,需要分类讨论,掌握勾股定理和逆定理的应用为解题关键.3.D解析:D【分析】利用角平分定理得到DE=AD ,根据三角形内角和得到∠BDE=∠BDA ,再利用角平分线定理得到BE=AB=AC ,根据CDE ∆的周长为6求出AB=6,再根据勾股定理求出218AB =,即可求得ABC ∆的面积.【详解】∵90BAC ︒∠=,∴AB ⊥AD,∵DE BC ⊥,BD 平分ABC ∠,∴DE=AD ,∠BED=90BAC ︒∠=,∴∠BDE=∠BDA ,∴BE=AB=AC ,∵CDE ∆的周长为6,∴DE+CD+CE=AC+CE=BC=6,∵,90︒=∠=AB AC BAC∴22236AB AC BC +==,∴2236AB =,218AB =,∴ABC ∆的面积=211922AB AC AB ⋅⋅==, 故选:D.【点睛】此题考查角平分线定理的运用,勾股定理求边长,在利用角平分线定理时必须是两个垂直一个平分同时运用,得到到角两边的距离相等的结论. 4.B解析:B【分析】设AB=c ,AC=b ,BC=a ,用a 、b 、c 分别表示'A BC ,'AB C △,'ABC △的面积,再利用Rt ABC 得b 2+c 2=a 2,求得c 值代入即可求得的面积'ABC △的面积.【详解】设AB=c ,AC=b ,BC=a ,由题意得'A BC 的面积=1102a a ⋅=,'AB C △的面积=142b ⋅=∴2a = 2b =在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,b 2+c 2=a 2,∴c 2=a 2-b 2=∴'ABC △的面积=212c ⋅=6= 故此题选B【点睛】此题考察勾股定理的运用,用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的面积,运用勾股定理的等式求得第三个三角形的面积5.D解析:D【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长,根据勾股定理、完全平方公式计算即可。
第14章 整式的乘法与因式分解 人教版数学八年级上册同步提优专题训练(含答案)
专题训练 整式的乘法与因式分解1.[2020·遵义]下列计算正确的是( )A.x2+x=x3B.(-3x)2=6x2C.8x4÷2x2=4x2D.(x-2y)(x+2y)=x2-2y22.[2019·绵阳]已知4m=a,8n=b,其中m,n为正整数,则22m+6n可以表示为( )A.ab2B.a+b2C.a2b3D.a2+b33.[2020·益阳]下列因式分解正确的是( )A.a(a-b)-b(a-b)=(a-b)(a+b)B.a2-9b2=(a-3b)2C.a2+4ab+4b2=(a+2b)2D.a2-ab+a=a(a-b)4.[2020·淮安]如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是( )A.205B.250C.502D.5205.[2018·乐山]已知实数a,b满足a+b=2,ab=34,则a-b的值为( )A.1B.-52C.±1 D.±526.[2020·乐山改编]已知3m=4,32m-4n=2.若9n=x,则x的值为( )A.8B.4C.8D.27.[2020·武汉]计算:[a3·a5+(3a4)2]÷a2= .8.[2020·成都]已知a=7-3b,则式子a2+6ab+9b2的值为 .9.[2020·聊城]分解因式:x(x-2)-x+2= .10.[2020·绥化]分解因式:m3n2-m= .11.[2020·杭州]设M=x+y,N=x-y,P=xy.若M=1,N=2,则P= .12.[2020·南通]计算:(2m+3n)2-(2m+n)(2m-n).13.[2020·北京]已知5x2-x-1=0,求式子(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.14.[2019·河池]分解因式:(x-1)2+2(x-5).15.[2018·衢州]有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木工师傅设计了如图4-T-1所示的三种方案:图4-T-1小明发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b2=(a+b)2.对于方案一,小明是这样验证的:a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程.方案二:方案三:16.[2018·安庆模拟]特殊两位数乘法的速算——如果两个两位数的十位数字相同,个位数字相加为10,那么能立即说出这两个两位数的乘积.如果这两个两位数分别写作AB和AC(即十位数字为A,个位数字分别为B,C,B+C=10,A>3),那么它们的乘积是一个四位数,前两位数字是A和(A+1)的乘积,后两位数字就是B和C的乘积.如:47×43=2021,61×69=4209.(1)请你直接写出83×87的计算结果;(2)设这两个两位数的十位数字为x(x>3),个位数字分别为y和z(y+z=10),通过计算验证这两个两位数的乘积为100x(x+1)+yz;(3)计算:99991×99999= .17.[2019·随州]若一个两位数十位、个位上的数字分别为m,n,我们可将这个两位数记为mn,易知mn=10m+n;同理,一个三位数、四位数等均可以用此记法,如abc=100a+10b+c.【基础训练】(1)解方程填空:①若2x+x3=45,则x= ;②若7y-y8=26,则y= ;③若t93+5t8=13t1,则t= .【能力提升】(2)交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字,可得到一个新数nm,则mn+nm一定能被 整除,mn-nm一定能被 整除,mn·nm-mn一定能被 整除(请从大于5的整数中选择合适的数填空).【探索发现】(3)北京时间2019年4月10日21时,人类拍摄的首张黑洞照片问世,黑洞是一种引力极大的天体,连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象:任选一个三位数,要求个、十、百位的数字各不相同,把这个三位数的三个数字按大小顺序重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325,则用532-235=297),再将这个新数按上述方式重新排列,再相减,像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ;②设任选的三位数为abc(不妨设a>b>c),试说明其均可产生该黑洞数.典题讲评与答案详析1.C2.A [解析] ∵4m =a ,8n =b ,∴22m+6n =22m ×26n =(22)m ×(23)2n =4m ×82n =4m ×(8n )2=ab 2.故选A .3.C4.D [解析] 设较小的奇数为x ,较大的奇数为x+2,根据题意得(x+2)2-x 2=(x+2-x )(x+2+x )=4x+4.若4x+4=205,即x=2014,不为整数,不符合题意;若4x+4=250,即x=2464,不为整数,不符合题意;若4x+4=502,即x=4984,不为整数,不符合题意;若4x+4=520,即x=129,符合题意.5.C [解析] ∵a+b=2,ab=34,∴(a+b )2=4=a 2+2ab+b 2.∴a 2+b 2=52.∴(a-b )2=a 2-2ab+b 2=1.∴a-b=±1.6.C [解析] ∵3m =4,32m-4n =(3m )2÷(3n )4=2,∴42÷(3n )4=2.∴(3n )4=42÷2=8.又∵9n =32n =x ,∴(3n )4=(32n )2=x 2.∴x 2=8.∵x>0,∴x=8.7.10a 68.49 [解析] ∵a=7-3b ,∴a+3b=7.∴a 2+6ab+9b 2=(a+3b )2=72=49.9.(x-2)(x-1)10.m (mn+1)(mn-1)11.-34 [解析] (x+y )2=x 2+2xy+y 2=1,(x-y )2=x 2-2xy+y 2=4.两式相减得4xy=-3,解得xy=-34.∴P=-34.12.解:原式=4m 2+12mn+9n 2-(4m 2-n 2)=4m 2+12mn+9n 2-4m 2+n 2=12mn+10n 2.13.解:(3x+2)(3x-2)+x(x-2)=9x2-4+x2-2x=10x2-2x-4.∵5x2-x-1=0,∴5x2-x=1.∴原式=2(5x2-x)-4=-2.14.解:原式=x2-2x+1+2x-10=x2-9=(x+3)(x-3).15.解:方案二:a2+ab+(a+b)b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.方案三:a2+[a+(a+b)]b2+[a+(a+b)]b2=a2+ab+12b2+ab+12b2=a2+2ab+b2=(a+b)2.16.解:(1)7221.(2)验证:(10x+y)(10x+z)=100x2+10xz+10xy+yz=100x2+10x(y+z)+yz=100x2+100x+yz=100x(x+1)+yz.(3)999900000917.解:(1)①∵mn=10m+n,∴若2x+x3=45,则10×2+x+10x+3=45,解得x=2.故答案为2.②若7y-y8=26,则10×7+y-(10y+8)=26,解得y=4.故答案为4.③由abc=100a+10b+c及四位数的类似公式,得若t93+5t8=13t1,则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1,解得t=7.故答案为7.(2)∵mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11(m+n),∴mn+nm一定能被11整除.∵mn-nm=10m+n-(10n+m) =9m-9n=9(m-n),∴mn-nm一定能被9整除.∵mn·nm-mn=(10m+n)(10n+m)-mn=100mn+10m2+10n2+mn-mn=10(10mn+m2+n2),∴mn·nm-mn一定能被10整除.故答案为11,9,10.(3)①若选的数为325,则用532-235=297.以下按照上述规则继续计算:972-279=693,963-369=594,954-459=495,954-459=495,….故答案为495.②当任选的三位数为abc时,第一次运算后得100a+10b+c-(100c+10b+a)=99(a-c),结果为99的倍数.∵a>b>c,∴a≥b+1≥c+2.∴a-c≥2.又∵9≥a>c≥0,∴a-c≤9.∴a-c=2,3,4,5,6,7,8,9.∴第一次运算后可能得到198,297,396,495,594,693,792,891,再让这些数字经过运算,分别可以得到:981-189=792,972-279=693,963-369=594,954-459=495,954-459=495,….故均可产生黑洞数495.。
北师大版2018-2019学年下学期八年级数学《因式分解》培优检测试题
2018-2019学年下学期八年级数学《因式分解》培优检测试题姓名:班级:______________________ 考号:一、单选题(共10题;共30分)1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A. a2+ (-b) 2 ।B. 5m2-20mn 9.-x2-y2 । D. -x2+92.下列多项式能因式分解的是( )A. x2-yB. x2+1C. x2+xy+y2D. x2-4x+43.因式分解2x2-8的结果是( )A. (2x+4) (x-4) FB. (x+2) ( x-2)C. 2 (x+2) ( x-2) 卜D. 2 (x+4) (x-4)4.下列因式分解中正确的是( )-J 1 1 1A.串—8工+16=B.-仃2+口-彳三=三(2仃-1),C. x ( a- b) - y (b - a) = (a- b) ( x - y)D. b" = ।fr > )5.把代数式ab:- 6ab十9n分解因式,下列结果中正确的是A. B. C'-Q T■-「I; .,) C.,屋8 T厂 D.6.下列各式中,不能用完全平方公式分解的个数为( )① x2-10x+25;② 4a2+4a - 1 ;③ x2-2x-1;④-m2+m-;;⑤ 4x4-x2+1 .A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.若X-+tm-15=,,则mn 的值为()A. 5B. -5C. 10D. -108.若a , b , c是三角形的三边之长,则代数式a; -2ac+c二-b2的值()A.小于0B.大于0C.等于0 "D.以上三种情况均有可能9.下列多项式中能用提公因式法分解的是( )A. x2+y2B. x 2-y2C. x2+2x+1D. x 2+2x10.已知:a=2014x+2015, b=2014x+2016 , c=2014x+2017 ,则a2+b2+c2-ab- ac- bc 的值是( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题(共8题;共24分)11.因式分解:一疝一/4忸一〃)=12.已知x- 2y= - 5, xy= — 2,贝U 2x2y - 4xy2= .13.分解因式:a3 - 4a2+4a=.14.若屋_a + l = U,那么屋叫1 一屋飒十型颊二.15.如果x+y=5 , xy=2 ,贝U x2y+xy 2=.16.已知= 而=2,求;门取岫'的值为17.多项式2ax2-12axy中,应提取的公因式是18.若x+y= 1,贝U x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy 3+y4的值等于。
2018年9月月考试卷——初二数学带答案
9月份质量检测——初二数学时间120分钟满分120分题目一二三四五【六总分分数(一.单项选择题:每小题2分,共12分1.下列图形中,不是轴对称图形的是()A.B.C.D.2.下列几组线段能组成三角形的是()A.3cm、5cm、8cm B.2cm、2cm、6cmC.、、D.8cm、6cm、15cm—3.在△ABC中,∠A=105°,∠B﹣∠C=15°,则∠C的度数为()A.35°B.60°C.45°D.30°4.以下是四位同学在钝角三角形ABC中画BC边上的高,其中画法正确的是()A.B.C.D.5.下列说法中,正确的是()A.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等B.两边及其中一边上的高分别相等的两个三角形全等C.斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等、D.面积相等的两个三角形全等6.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则图中共有全等三角形()A.5对B.4对C.3对D.2对二.填空题:每小题3分,共24分7.如图,为了使木门不变形,木工师傅在木门上加钉了一根木条,这样是利用三角形的.8.如果一个多边形的内角和为1080°,则它是边形.9.如图,已知AC=AD,要证明△ABC≌△ABD,还需添加的一个条件是.(只添一个条件即可)。
10. 如图,在△ABC中,AB=AC=22cm,DE是AB的垂直平分线,分别交AB、AC于D、E两点.若BC=11cm,则△BCE的周长是__________ cm.11. 如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向&左转24°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是.12.如图所示,在△ABC中,∠B=∠C=50°,BD=CF,BE=CD,则∠EDF的度数是.13.如图,在△ABC中,D、E分别是BC、AD的中点,△ABC的面积为6cm2,则△BDE的面积为.7题图9题图10题图11题图12题图13题图14题图~14. 如图,在Rt△ABC,∠C=90°,AC=12,BC=6,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,要使△ABC和△QPA全等,则AP= .三.解答题:每小题5分,共20分15.如图,已知D为△ABC边BC延长线上一点,DF⊥AB于F交AC于E,∠A=35°,∠D=42°,求∠ACD的度数.16.如图,AC=AD,BC=BD,求证:AB平分∠CAD.17. 一个多边形,它的内角和比外角和的4倍多180°,求这个多边形的边数.18.已知:点B、E、C、F在同一直线上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.求证:△ABC≌△DEF;四.解答题:每小题7分,共28分19. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.(1)求证:∠ACD=∠B;(2)若AF平分∠CAB且分别交CD,BC于点E,F,求证:∠CEF=∠CFE.20.已知:△ABN与△ACM位置如图所示,AB=AC, AD=AE,∠1=∠2.(1)求证:BD=CE;(2)求证:∠M=∠N.21.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D.(1)求证△ADC≌△CEB.(2)AD=5cm,DE=3cm,求BE的长度.22.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD.(1)求证:∠BAD=∠DCB;(2)求证:AB∥CD.五.解答题:每小题8分,共16分23.如图△ADF和△BCE中,∠A=∠B,点D、E、F、C在同﹣直线上,有如下三个关系式:①AD=BC;②DE=CF;③BE∥AF.(1)请用其中两个关系式作为条件,另一个作为结论,写出所有你认为正确的命题.(用序号写出命题书写形式,如:如果①、②,那么③)(2)选择(1)中你写出的一个命题,说明它正确的理由.24.如图所示,点A、E、F、C在同一直线上,AE=CF,过E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,且AB=CD,(1)AB与CD平行吗若平行请说明理由.(2)求证:FG=EG六.解答题:每小题10分,共20分25.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.(1)当点D在AC上时,如图①,线段BD,CE有怎样的数量关系和位置关系答:(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°),如图②,线段BD,CE有怎样的数量关系和位置关系请说明理由.26. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAD=∠BAD,DE⊥AB于E,点F在边AC上,连接DF.(1)求证:AC=AE;(2)若AC=8,AB=10,且△ABC的面积等于24,求DE的长;(3)若CF=BE,直接写出线段AB,AF,EB的数量关系:.9月份质量检测——初二数学答案一.单项选择题:每小题2分,共12分1-6 A C D B C A二.填空题:每小题3分,共24分7.稳定性8. 八9. BC=BD(或∠CAB=∠DAB)10. 33 11. 150米12. 50°13. 1.5 cm214. 6或12三.解答题:每小题5分,共20分15. 解:∵DF⊥AB∴∠AFE=90°…………1’在∆AFE中,∠A=35°∠CEF=∠A+∠AFE=35°+90°=125°…………3’在∆CDE中,∠D=42°∠ACD=∠CEF-∠D=125°-42°=83°…………5’16. 解:在∆ABC和∆ABD中,AC=ADAB=ABBC=BD∴∆ABC ≌∆ABD(SSS)…………3’∴∠BAC=∠BAD∴AB平分∠CAD …………5’17. 解:设边数为n,根据题意得(n-2)·180°=4×360°+180°…………3’n=11 …………5’答:这个多边形的边数是1118. 证明:∵AC∥DF∴∠ACB=∠F …………2’在∆ABC和∆DEF中,∠ACB=∠F∠A=∠DAB=DE∴∆ABC ≌∆DEF(AAS)…………5’四.解答题:每小题7分,共28分19. 解:(1)∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠ACD+∠CAB=90°∵∠ACB=90°∴∠B+∠CAB=90°∴∠ACD=∠B …………4’(2)∵∠EAD+∠AED=90°∠CFE+∠CAF=90°又∵AF平分∠CAB∴∠CAF=∠EAD∴∠AED=∠CFE∴∠AED=∠CEF∴∠CFE =∠CEF …………7’20. 证明:(1)在∆ABD和∆ACE中,AB=AC∠1=∠2AD=AE∴∆ABD ≌∆ACE(SAS)∴BD=CE …………4’(2)∵∆ABD ≌∆ACE∴∠ADB=∠AEC∵∠ADB=∠MDO,∠AEC=∠NEO∴∠MDO=∠NEO∵∠MOD=∠NOE∴∠M=∠N …………7’21. (1)证明:∵BE⊥CE,AD⊥CE∴∠ADC=∠E=90°∵∠ACB=90°∴∠ACD+∠BCE=90°,∠CBE+∠BCE=90°∴∠ACD=∠CBE在∆ADC和∆CEB中,∠ADC=∠E=90°∠ACD=∠CBEAC=CB∴∆ADC ≌∆CEB(AAS)…………4’(2)解:∵∆ADC ≌∆CEB∴AD=CE=5 cm,CD=BE∴CD=CE-DE=5-3=2(cm)∴BE=CD=2 cm …………7’22. 证明:(1)连接BD,在∆ABD和∆CDB中,AB=CDBD=DBAD=CB∴∆ABD ≌∆CDB(SSS)∴∠BAD=∠DCB …………4’(2)∵∆ABD ≌∆CDB∴∠ABD=∠CDB∴AB∥CD …………7’五.解答题:每小题8分,共16分23. (略)24. (1)答AB∥CD …………1’证明:∵AE=CF∴AE+GF=CF+GF∴AF=CE∵DE⊥AC,BF⊥AC∴∠BFA=∠DEC=90°在Rt∆ABF和Rt∆CDE中,AB=CDAF=CE∴Rt∆ABF ≌Rt∆CDE(HL)∴∠A=∠C∴AB∥CD …………5’(2)∵∆ABF ≌∆CDE∴BF=DE在∆BFG和∆DEG中,∠BFG=∠DEG=90°∠BGF=∠DGEBF=DE∴∆BDG ≌∆DEG(AAS)∴FG=EG∴BD平分EF. …………8’六.解答题:每小题10分,共20分25. (1)答BD=CE …………2’BD⊥CE …………4’(2)延长BD交CE于F∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC∴∠BAD=∠CAE在∆ABD和∆ACE中,AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴∆ABD ≌∆ACE(SAS)∴BD=CE …………8’∴∠ABD=∠ACE∵∠AOB=∠COF∴∠BAC=∠CFO=90°∴BD⊥CE …………10’26. (1)证明:在∆ACD和∆AED中,∠CAD=∠BAD∠C=∠AED=90°AD=AD∴∆ACD ≌∆AED(AAS)∴AC=AE …………4’(2)解: ∵∆ACD ≌ ∆AED ∴CD=EDS ∆ABC =S ∆ACD +S ∆ABD 24=21·8·CD+21·10·DE 24=4·DE+5·DE∴DE=38…………8’(3)答: AB=AF+2EB…………10’—。
2018-2019学年第二学期期中质量检测八年级数学试题(带答案)
姓名: 班级: 考号: 考场: 座号: 密 封 线 内 不 要 答 题2018-2019学年第二学期期中质量检测八年级数学试题(时间 120分钟 分值 120分)一.选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.下列方程中,是关于x 的一元二次方程的是( ) A .ax 2+bx +c =0(a ,b ,c 为常数) B .x 2﹣x ﹣2=0 C .+﹣2=0D .x 2+2x =x 2﹣12.一元二次方程x 2+ax+a ﹣1=0的根的情况是( ) A .有两个相等的实数根 B .有两个不相等的实数根C .有实数根D .没有实数根3.如果关于x 的一元二次方程(m ﹣3)x 2+3x +m 2﹣9=0有一个解是0,那么m 的值是( )A .﹣3B .3C .±3D .0或﹣34.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排21场比赛,则应邀请( )个球队参加比赛. A.6 B.7C.8D.95.若n (0n ≠)是关于x 的方程220x mx n ++=的根,则m +n 的值为( )A.1B.2C.-1D.-26.已知点A(-3,y 1),B(2,y 2),C(3,y 3)在抛物线y =2x 2-4x +c 上,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A .y 1>y 2>y 3B .y 1>y 3>y 2C .y 3>y 2>y 1D .y 2>y 3>y 17.某烟花厂为春节烟火晚会特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m )与飞行时间t(s )的关系式是h =-52t 2+20t +1,若这种礼炮点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为( )A .3 sB .4 sC .5 sD .6 s 8.已知函数y =ax 2-2ax -1(a 是常数,a ≠0),下列结论正确的是( )A .当a =1时,函数图象过点(-1,1)B .当a =-2时,函数图象与x 轴没有交点C .若a >0,则当x ≥1时,y 随x 的增大而减小D .若a <0,则当x ≤1时,y 随x 的增大而增大9.在同一坐标系内,一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+8x +b 的图象可能是( )10. 如图,抛物线y =ax 2+bx +c(a≠0)与x 轴交于点A(-2,0),B(1,0), 直线x =-0.5与此抛物线交于点C ,与x 轴交于点M , 在直线上取点D ,使MD =MC ,连接AC ,BC ,AD ,BD , 某同学根据图象写出下列结论:①a-b =0;②当-2<x<1时,y>0;③四边形ACBD 是菱形; ④9a-3b +c>0,你认为其中正确的是( )A .②③④B .①②④C .①③④D .①②③ 第10题图二.填空题(本大题共8小题,其中11-14小题每小题3分,15-18题每小题4分,共28分) 11.如果y =(m ﹣2)是关于x 的二次函数,则m =__________.12. 如果一元二次方程x 2﹣4x+k =0经配方后,得(x ﹣2)2=1,那么k = . 13.若m 是方程2x 2+3x ﹣1=0的根,则式子4m 2+6m+2019的值为 .14. 已知抛物线c bx ax y ++=2经过点A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是__________.15. 若函数y =(a -1)x 2-4x +2a 的图象与x 轴有且只有一个交点,则a 的值为 __________.16.已知关于x 的方程(k ﹣2)2x 2+(2k+1)x+1=0有实数根,则k 的取值范围是__________. 17.把二次函数y =12x 2+3x +52的图象向右平移2个单位后,再向上平移3个单位,所得的函数图象的顶点是__________.18.如图,抛物线的顶点为P(-2,2),与y 轴交于点A(0,3). 若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P ′(2,-2), 点A 的对应点为A ′,则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________. 第18题图三.解答题(本大题共7小题,共62分)19.(8分)选择适当方法解下列方程(1)(3x﹣1)2=(x﹣1)2(2)3x(x﹣1)=2﹣2x20.(7分)已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1=0.(1)当m=0时,求方程的实数根.(2)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.21.(8分)如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?22.(8分)为落实素质教育要求,促进学生全面发展,我市某中学2016年投资11万元新增一批电脑,计划以后每年以相同的增长率进行投资,2018年投资18.59万元.(1)求该学校为新增电脑投资的年平均增长率;(2)从2016年到2018年,该中学三年为新增电脑共投资多少万元?23.(9分)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5,当△ABC是等腰三角形时,求k的值.24.(10分)某网店销售某款童装,每件售价60元,每星期可卖300件,为了促销,该网店决定降价销售.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元,设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润是多少元?(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润,每星期至少要销售该款童装多少件?25.(12分)在2016年巴西里约奥运会上,中国女排克服重重困难,凭借顽强的毅力和超强的实力先后战胜了实力同样超强的巴西队,荷兰队和塞尔维亚队,获得了奥运冠军,为祖国和人民争了光.如图,已知女排球场的长度OD为18米,位于球场中线处的球网AB的高度为2.24米,一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去,排球的飞行路线是抛物线的一部分,当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时,到达最高点F,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.(1)当排球运行的最大高度为2.8米时,求排球飞行的高度y(单位:米)与水平距离x(单位:米)之间的函数关系式.(2)在(1)的条件下,这次所发的球能够过网吗?如果能够过网,是否会出界?请说明理由.(3)喜欢打排球的李明同学经研究后发现,发球要想过网,球运行的最大高度h(米)应满足h>2.32,但是他不知道如何确定h的取值范围,使排球不会出界(排球压线属于没出界),请你帮忙解决并指出使球既能过网又不会出界的h的取值范围.姓名: 班级: 考号: 考场: 座号: 密 封 线 内 不 要 答 题2018-2019学年第二学期期中质量检测八年级数学试题答案一.选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1. B2. C3. A4.B5. D6.B7.B8. D9. C 10.D二.填空题(本大题共8小题,其中11-14小题每小题3分,15-18题每小题4分,共28分)11. m=-1 12. 3 13. 2021 14. (1,-8) 15. -1或2或1 16. k ≥ 17. (-1,1) 18. 12三.解答题(本大题共7小题,共62分)19.(8分)解:(1)3x ﹣1=±(x ﹣1)………………………………………………1分 即3x ﹣1=x ﹣1或3x ﹣1=﹣(x ﹣1)……………………3分 所以x 1=0,x 2=;……………………4分(2)3x (x ﹣1)+2(x ﹣1)=0…………………………………1分(x ﹣1)(3x +2)=0x ﹣1=0或3x +2=0…………………3分 所以x 1=1,x 2=﹣.……………………4分20.解:(1)当m =0时,方程为x 2+x ﹣1=0. △=12﹣4×1×(﹣1)=5>0. ∴x =, ∴x 1=,x 2=.…………………4分(2)∵方程有两个不相等的实数根, ∴△>0即(﹣1)2﹣4×1×(m ﹣1) =1﹣4m +4 =5﹣4m >0 ∵5﹣4m >0∴m <.…………………7分21. (8分)解:设AB 的长度为x 米,则BC 的长度为(100-4x)米,根据题意得 (100-4x)x =400,解得x 1=20,x 2=5,………………4分 则100-4x =20或100-4x =80,∵80>25,∴x 2=5舍去, 即AB =20,BC =20,则羊圈的边长AB ,BC 分别是20米,20米。
2018年第一学期八年级数学竞赛试题(含答案)
2018年第一学期八年级数学竞赛试题(满分120分 时间120分钟) 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.若m 为实数,则代数式m +m 的值一定是( ) A.正数 B.0 C.负数 D.非负数 2.已知:三角形的三边a 、b 、c 的长都是整数,且a ≤b <c,如果b=5,那么这样的三角形个数为( ) A .6个 B .10个 C .15个 D .21个 3. 关于x 的方程1x ax =+的解不可能出现的情况为( ) A .正数 B .零 C .负数 D .无解 4.2008年10月,我校进行第9届田径运动会,八年(1)班的甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100米接力赛,甲必须为第一接力棒或第四接力棒的运动员,那么这四名运动员在比赛过程中的接棒顺序有( ) A .3种 B .4种 C .6种 D .12种 5. 如图,是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ,则()2a b +的值是( ) A.13 B.19 C.25 D.169 6. 有一堆形状大小都相同的珠子,其中只有一粒比其它都轻些,其余一样重。
若利用天平(不用砝码)最多两次就找出了这粒较轻的珠子,则这堆珠子最多有( ) A .8粒 B .9粒 C .10粒 D .11粒 7. 如图,等腰直角三角形ABC 中,∠ACB=90°,在斜边AB 上取两点M 、N , 使∠MCN=45°.设MN=x ,BN=n ,AM=m ,则以x 、m 、n 为边的三角形的形状为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .随x 、m 、n 的值而定 8.某人将2008看成了一个填数游戏式:2□□8.于是,他在每个框中各写了一个两位数ab 与 学 校____________________ 班 级______________ 姓 名__________________…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………cd ,结果发现,所得到的六位数28abcd 恰是一个完全立方数,则ab +cd 的值为( ) A.40 B.50 C.60 D.70二、填空题(40分)9. 如图,已知AB ∥CD ,MF ⊥FG ,∠AEM=50°,∠NHC=55°.则∠FGH 的度数为 .第9题 第11题 第12题10.已知实数a 、b 满足a 2+b 2+a 2b 2= 4ab-1,则a+b 的值为 .11.如图,在△ABC 中,AB=AC ,∠BAD=20︒,且AE=AD ,则∠CDE = 度.12.如图,D 是Rt ⊿ABC 斜边AB 边上一点,DE ⊥AC,DF ⊥BC,且DE=DF,若AD=3,BD=4, 则⊿ADE 与⊿BDF 的面积之和....是 . 13. 三个同学对问题“若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩,求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 的解。
2018—2019学年第二学期八年级数学《一元二次方程》提优卷(含答案)
2018—2019学年第二学期八年级数学《一元二次方程》提优卷一.选择题(共10小题)1.若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1=0的一个根为2,则m的值为()A.﹣1或3 B.﹣1或﹣3 C.1或﹣3 D.1或32.已知x1,x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3=0的两个根,下面结论一定正确的是()A.x1+x2>0 B.x1≠x2C.x1•x2>0 D.x1<0,x2<0 3.关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.4.宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天定价为180元时宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房,如果有游客居住宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为x元时宾馆当天的利润为10890元,则有()A.(180+x﹣20)(50﹣)=10890B.x(50﹣)﹣50×20=10890C.(x﹣20)(50﹣)=10890D.(x+180)(50﹣)﹣50×20=108905.若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1=0(a≠0)有一根为x=2019,则一元二次方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)=1必有一根为()A.B.2020 C.2019 D.20186.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k>﹣2 B.k>﹣2且k≠1 C.k<2 D.k<2且k≠1 7.已知关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0,当﹣6<k<0时,该方程解的情况是()A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.不能确定8.用总长10m的铝合金材料做一个如图所示的窗框(不计损耗),窗框的上部是等腰直角三角形,下部是两个全等的矩形,窗框的总面积为3m2(材料的厚度忽略不计).若设等腰直角三角形的斜边长为xm,下列方程符合题意的是()A.B.C.x•=3 D.x•=39.若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2=0有两个不相等的实根,且关于x的方程的解为整数,则满足条件的所有整数a的和是()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.210.我们知道,一元二次方程x2=﹣1没有实数根,即不存在一个实数平方等于﹣1.若我们规定一个新数i,使其满足i2=﹣1(即x2=﹣1方程有一个根为i),并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算,且原有的运算法则仍然成立,于是有i1=i,i2=﹣1,i3=i2•i=(﹣1)•i=﹣i,i4=(i2)2=(﹣1)2=1,从而对任意正整数n,我们可以得到i4n+1=i4n•i=(i4)n•i,同理可得i4n+2=﹣1,i4n+3=﹣i,i4n=1,那么i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019的值为()A.0 B.﹣1 C.i D.1二.填空题(共8小题)11.若m2+n2﹣2m+4n+5=0.则m﹣n=.12.已知m是负整数,关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4=0的两根是x1,x2,若x1+x2>x1x2,则m的值等于.13.已知m为整数,且关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣2=0有两个实数根,则整数m的最小值是.14.若关于x的方程|x2﹣x﹣2|=k有四个不相等的实数根,则整数k的值为.15.我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题:“直田积(矩形面积),八百六十四(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步),问阔及长各几步.”如果设矩形田地的长为x步,那么根据题意列出的方程为.16.如图,有长为24m的篱笆,现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱色的长方形花圃,要围成面积为45m2的花圃,AB的长是.17.若a是方程x2﹣5x+1=0的一个根,则a2+的值是.18.已知m,n是方程x2﹣2017x+2018=0的两根,则(n2﹣2018n+2 019)(m2﹣2018m+2019)=.三.解答题(共11小题)19.已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.20.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1,x2满足x1x2+x1+x2>0,求a的取值范围.21.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣2=0.(1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1﹣x2)2+m2=21,求m的值.22.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)若+=﹣1,求k的值.23.已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=p(p+1).(1)试证明:无论p取何值此方程总有两个实数根;(2)若原方程的两根x1,x2,满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1,求p的值.24.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+k﹣1=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)若此方程的两实数根x1,x2满足x12+x22=11,求k的值.25.南、北两个园林场去年共有员工500人,其中南园林场员工数比北园林场员工数的2倍少100人.(1)求去年南、北两个园林场的员工数;(2)经核算,去年南园林场年产值比北园林场年产值少m%.北园林场人均产值比南园林场人均产值多4m%,且两个园林场人均产值不低于北园林场人均产值的.求m的值.26.先阅读下面的内容,再解决问题.例题:若m2+2n2+2mn﹣6n+9=0,求m和n的值.解:∵m2+2n2+2mn﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴(m+n)2+(n﹣3)2=0∴m+n=0且n﹣3=0∴m=﹣3,n=3问题(1)若x2+3y2﹣2xy+4y+2=0.求x和y的值.(2)代数式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值为.(3)若x﹣y=6,xy+z2﹣4z+13=0.则x=,y=,z=.27.如图,某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边,其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子.设园子中平行于墙面的篱笆长为ym(其中y≥4),另两边的篱笆长分别为xm.(1)求y关于x的函数表达式,并求x的取值范围.(2)若仅用现有的11m长的篱笆,且恰好用完,请你帮助设计围制方案.28.春临大地,学校决定给长12米,宽9米的一块长方形展示区进行种植改造现将其划分成如图两个区域:区域Ⅰ矩形ABCD部分和区域Ⅱ四周环形部分,其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种花卉种植,且EF平分BD,G,H分别为AB,CD中点.(1)若区域Ⅰ的面积为Sm2,种植均价为180元/m2,区域Ⅱ的草坪均价为40元/m2,且两区域的总价为16500元,求S的值.(2)若AB:BC=4:5,区域Ⅱ左右两侧草坪环宽相等,均为上、下草坪环宽的2倍①求AB,BC的长;②若甲、丙单价和为360元/m2,乙、丙单价比为13:12,三种花卉单价均为20的整数倍.当矩形ABCD中花卉的种植总价为14520元时,求种植乙花卉的总价.29.已知关于x的方程x2﹣2(k+1)x+k2+2k﹣1=0…①(1)求证:对于任意实数k,方程①总有两个不相等的实数根;(2)如果a是关于y的方程y2﹣(x1+x2﹣2k)y+(x1﹣k)(x2﹣k)=0…②的根,其中x1,x2是方程①的两个实数根,求代数式(﹣1)÷•的值.答案与解析一.选择题(共10小题)1.若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1=0的一个根为2,则m的值为()A.﹣1或3 B.﹣1或﹣3 C.1或﹣3 D.1或3【分析】先把x=2代入方程x2﹣2mx+m2﹣1=0得4﹣4m+m+m2﹣1=0,然后解关于m的方程即可.【解答】解:把x=2代入方程x2﹣2mx+m2﹣1=0得4﹣4m+m2﹣1=0,解得m=1或3.故选:D.【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.2.已知x1,x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3=0的两个根,下面结论一定正确的是()A.x1+x2>0 B.x1≠x2C.x1•x2>0 D.x1<0,x2<0 【分析】根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=a2+4>0,进而可得出x1≠x2,此题得解.【解答】解:∵△=(﹣m)2﹣4×1×(﹣3)=m2+4>0,∴方程x2﹣mx﹣3=0有两个不相等的实数根,∴x1≠x2.故选:B.【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.3.关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【分析】根据根的判别式,可知△>0,据此即可求出m的取值范围.【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根,∴△=(2m+1)2﹣4m2=4m2+4m+1﹣4m2=4m+1>0,解得m>﹣.故选:C.【点评】此题考查了根的判别式,解题时要注意一元二次方程成立的条件:二次项系数不为0.4.宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天定价为180元时宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房,如果有游客居住宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为x元时宾馆当天的利润为10890元,则有()A.(180+x﹣20)(50﹣)=10890B.x(50﹣)﹣50×20=10890C.(x﹣20)(50﹣)=10890D.(x+180)(50﹣)﹣50×20=10890【分析】设房价定为x元,根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得.【解答】解:设房价定为x元,根据题意,得(x﹣20)(50﹣)=10890.故选:C.【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系.5.若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1=0(a≠0)有一根为x=2019,则一元二次方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)=1必有一根为()A.B.2020 C.2019 D.2018【分析】对于一元二次方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)﹣1=0,设t=x﹣1得到at2+bt﹣1=0,利用at2+bt﹣1=0有一个根为t=2019得到x﹣1=2019,从而可判断一元二次方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)=1必有一根为x=2020.【解答】解:对于一元二次方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)﹣1=0,设t=x﹣1,所以at2+bt﹣1=0,而关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1=0(a≠0)有一根为x=2019,所以at2+bt﹣1=0有一个根为t=2019,则x﹣1=2019,解得x=2020,所以一元二次方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)=1必有一根为x=2020.故选:B.【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.6.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k>﹣2 B.k>﹣2且k≠1 C.k<2 D.k<2且k≠1 【分析】由题意可得△=4﹣4×1×(k﹣1)=8﹣4k>0,且k﹣1≠0,可求解.【解答】解:∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,∴△=4﹣4×1×(k﹣1)=8﹣4k>0,且k﹣1≠0∴k<2且k≠1故选:D.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根,上面的结论反过来也成立.7.已知关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0,当﹣6<k<0时,该方程解的情况是()A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.不能确定【分析】先计算出判别式得到△=16+4k,由k的取值范围可求解.【解答】解:∵△=16+4k,且﹣6<k<0∴当﹣6<k<﹣4时,△<0,方程没有实数根;当k=﹣4时,△=0,方程有两个相等实数根当﹣4<k<0时,△>0,方程有两个不相等实数根故选:D.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.8.用总长10m的铝合金材料做一个如图所示的窗框(不计损耗),窗框的上部是等腰直角三角形,下部是两个全等的矩形,窗框的总面积为3m2(材料的厚度忽略不计).若设等腰直角三角形的斜边长为xm,下列方程符合题意的是()A.B.C.x•=3 D.x•=3【分析】设等腰直角三角形的斜边长为xm,则等腰直角三角形的直角边长为xm,下部两个全等矩形合成的大矩形的长为xm,宽为,根据矩形的面积公式、三角形的面积公式结合窗框的总面积为3m2,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.【解答】解:设等腰直角三角形的斜边长为xm,则等腰直角三角形的直角边长为xm,下部两个全等矩形合成的大矩形的长为xm,宽为,依题意,得:x•+×(x)2=3,即x•+x2=3.故选:D.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及等腰直角三角形,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.9.若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2=0有两个不相等的实根,且关于x的方程的解为整数,则满足条件的所有整数a的和是()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2【分析】关于一元二次方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2=0利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a<且a≠﹣1,再解分式方程得到x=(a≠﹣3),接着利用分式方程的解为整数得到a=0,2,﹣1,3,5,﹣3,然后确定满足条件的a的值,从而得到满足条件的所有整数a的和.【解答】解:∵关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2=0有两个不相等的实根,∴a+1≠0且△=(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)>0,解得a<且a≠﹣1.把关于x的方程去分母得ax﹣1﹣x=3,解得x=,∵x≠﹣1,∴≠﹣1,解得a≠﹣3,∵x=为整数,∴a﹣1=±1,±2,±4,∴a=0,2,﹣1,3,5,﹣3,而a<且a≠﹣1且a≠﹣3,∴a的值为0,2,∴满足条件的所有整数a的和是2.故选:D.【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.10.我们知道,一元二次方程x2=﹣1没有实数根,即不存在一个实数平方等于﹣1.若我们规定一个新数i,使其满足i2=﹣1(即x2=﹣1方程有一个根为i),并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算,且原有的运算法则仍然成立,于是有i1=i,i2=﹣1,i3=i2•i=(﹣1)•i=﹣i,i4=(i2)2=(﹣1)2=1,从而对任意正整数n,我们可以得到i4n+1=i4n•i=(i4)n•i,同理可得i4n+2=﹣1,i4n+3=﹣i,i4n=1,那么i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019的值为()A.0 B.﹣1 C.i D.1【分析】利用积的乘方得到原式=(i+i2+i3+i4)+…+i2012(i+i2+i3+i4)+…+i4×504+1+i4×504+2+i4×504+3,然后利用利用i4n+1=i4n•i=(i4)n•i,i4n+2=﹣1,i4n+3=﹣i,i4n=1进行计算.【解答】解:i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019=(i+i2+i3+i4)+…+i2012(i+i2+i3+i4)+…+i4×504+1+i4×504+2+i4×504+3=(i﹣1﹣i+1)+…+i2012(i﹣1+i+1)+i﹣1﹣i=﹣1.故选:B.【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法:形如x2=p或(nx+m)2=p(p ≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.也考查了阅读理解能力.二.填空题(共8小题)11.若m2+n2﹣2m+4n+5=0.则m﹣n= 3 .【分析】根据完全平方公式把原式变形,根据偶次方的非负性分别求出m、n,计算即可.【解答】解:m2+n2﹣2m+4n+5=0m2﹣2m+1+n2+4n+4=0(m﹣1)2+(n+2)2=0,则m﹣1=0,n+2=0,解得,m=1,n=﹣2,则m﹣n=3,故答案为:3.【点评】本题考查的是配方法的应用,掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键.12.已知m是负整数,关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4=0的两根是x1,x2,若x1+x2>x1x2,则m的值等于﹣1 .【分析】根据根与系数的关系即可得到结论.【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4=0的两根是x1,x2,∴x1+x2=2m,x1x2=﹣4,∴﹣4<2m<0,∵m是负整数,∴m=﹣1,故答案为:﹣1.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了根与系数的关系.13.已知m为整数,且关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣2=0有两个实数根,则整数m的最小值是﹣2 .【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0,可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,再取其中的最小整数值即可得出结论.【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣2=0有两个实数根,∴△=(2m+1)2﹣4(m2﹣2)=4m+9≥0,解得:m≥﹣.又∵m为整数,∴m的最小值为﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△≥0时,方程有两个实数根”是解题的关键.14.若关于x的方程|x2﹣x﹣2|=k有四个不相等的实数根,则整数k的值为1或2 .【分析】先将原方程化为x2﹣x﹣2﹣k=0或x2﹣x﹣2+k=0,然后利用根的判别式即可求出k的值.【解答】解:∵|x2﹣x﹣2|=k,∴x2﹣x﹣2=k或x2﹣x﹣2=﹣k,∴x2﹣x﹣2﹣k=0或x2﹣x﹣2+k=0,∵关于x的方程|x2﹣x﹣2|=k有四个不相等的实数根,∴当k>0时,关于x的方程x2﹣x﹣2﹣k=0和x2﹣x﹣2+k=0,各有两个不相等的实数根,∴,解得,∴k=﹣2,﹣1,0,1,2,∵k>0,∴k=1,2故答案为1或2【点评】本题考查了一元二次方程,熟练运用根的判别式判断根的情况是解题的关键.15.我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题:“直田积(矩形面积),八百六十四(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步),问阔及长各几步.”如果设矩形田地的长为x步,那么根据题意列出的方程为x(x﹣12)=864 .【分析】如果设矩形田地的长为x步,那么宽就应该是(x﹣12)步,根据面积为864,即可得出方程.【解答】解:设矩形田地的长为x步,那么宽就应该是(x﹣12)步.根据矩形面积=长×宽,得:x(x﹣12)=864.故答案为:x(x﹣12)=864.【点评】本题为面积问题,掌握好面积公式即可进行正确解答;矩形面积=矩形的长×矩形的宽.16.如图,有长为24m的篱笆,现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱色的长方形花圃,要围成面积为45m2的花圃,AB的长是5m.【分析】根据AB为xm,BC就为(24﹣3x),利用长方体的面积公式可以列出方程,可求出x即AB的长.【解答】解:根据题意,得S=x(24﹣3x),根据题意,设AB长为x,则BC长为24﹣3x∴x(24﹣3x)=45即:﹣3x2+24x=45.整理,得x2﹣8x+15=0,解得x=3或5,当x=3时,BC=24﹣9=15>10不成立,当x=5时,BC=24﹣15=9<10成立,∴AB长为5m,故答案为:5m.【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆.17.若a是方程x2﹣5x+1=0的一个根,则a2+的值是23 .【分析】把x=a代入方程,得到a2+1=5a,则将其代入整理后的代数式进行求值即可.【解答】解:把x=a代入方程x2﹣5x+1=0,得a2﹣5a+1=0,所以a2+1=5a,则a2+=(a+)2﹣2=()2﹣2=25﹣2=23.故答案是:23.【点评】此题主要考查了方程解的定义,所谓方程的解,即能够使方程左右两边相等的未知数的值.18.已知m,n是方程x2﹣2017x+2018=0的两根,则(n2﹣2018n+2 019)(m2﹣2018m+2019)= 2 .【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出m2﹣2017m=﹣2018、n2﹣2017n=﹣2018、m+n=2017、mn=2018,将其代入原式即可求出结论.【解答】解:∵m、n是方程x2﹣2 017x+2 018=0的两根,∴m2﹣2017m=﹣2018,n2﹣2017n=﹣2018,m+n=2017,mn=2018,∴原式=(﹣n+1)(﹣m+1)=mn﹣(m+n)+1=2018﹣2017+1=2.故答案为:2.【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系,根据一元二次方程的解和根与系数的关系找出m2﹣2017m=﹣2018、n2﹣2017n=﹣2018、m+n=2017、mn =2018是解题的关键.三.解答题(共11小题)19.已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.【分析】根据方程的系数结合根的判别式△>0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出实数m的取值范围.【解答】解:∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根,∴△=(﹣2)2﹣4×1×m=4﹣4m>0,解得:m<1.【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键.20.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1,x2满足x1x2+x1+x2>0,求a的取值范围.【分析】由方程根的个数,利用根的判别式可得到关于a的不等式,可求得a的取值范围,再由根与系数的关系可用a表示出x1x2和x1+x2的值,代入已知条件可得到关于a 的不等式,则可求得a的取值范围.【解答】解:∵该一元二次方程有两个实数根,∴△=(﹣2)2﹣4×1×a=4﹣4a≥0,解得:a≤1,由韦达定理可得x1x2=a,x1+x2=2,∵x1x2+x1+x2>0,∴a+2>0,解得:a>﹣2,∴﹣2<a≤1.【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系,掌握根的个数与根的判别式的关系及一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键.21.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣2=0.(1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1﹣x2)2+m2=21,求m的值.【分析】(1)利用判别式的意义得到△=(2m+1)2﹣4(m2﹣2)≥0,然后解不等式得到m的范围,再在此范围内找出最小整数值即可;(2)利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣(2m+1),x1x2=m2﹣2,再利用(x1﹣x2)2+m2=21得到(2m+1)2﹣4(m2﹣2)+m2=21,接着解关于m的方程,然后利用(1)中m的范围确定m的值.【解答】解:(1)根据题意得△=(2m+1)2﹣4(m2﹣2)≥0,解得m≥﹣,所以m的最小整数值为﹣2;(2)根据题意得x1+x2=﹣(2m+1),x1x2=m2﹣2,∵(x1﹣x2)2+m2=21,∴(x1+x2)2﹣4x1x2+m2=21,∴(2m+1)2﹣4(m2﹣2)+m2=21,整理得m2+4m﹣12=0,解得m1=2,m2=﹣6,∵m≥﹣,∴m的值为2.【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=.也考查了根的判别式.22.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)若+=﹣1,求k的值.【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△>0,即可得出关于k的一元一次不等式,解之即可得出k的取值范围;(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2k﹣3、x1x2=k2,结合+=﹣1即可得出关于k的分式方程,解之经检验即可得出结论.【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根,∴△=(2k+3)2﹣4k2>0,解得:k>﹣.(2)∵x1、x2是方程x2+(2k+3)x+k2=0的实数根,∴x1+x2=﹣2k﹣3,x1x2=k2,∴+===﹣1,解得:k1=3,k2=﹣1,经检验,k1=3,k2=﹣1都是原分式方程的根.又∵k>﹣,∴k=3.【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:(1)牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”;(2)根据根与系数的关系结合+=﹣1找出关于k的分式方程.23.已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=p(p+1).(1)试证明:无论p取何值此方程总有两个实数根;(2)若原方程的两根x1,x2,满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1,求p的值.【分析】(1)将原方程变形为一般式,根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=(2p+1)2≥0,由此即可证出:无论p取何值此方程总有两个实数根;(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6﹣p2﹣p,结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1,即可求出p值.【解答】解:(1)证明:原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p=0.∵△=(﹣5)2﹣4(6﹣p2﹣p)=25﹣24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)2≥0,∴无论p取何值此方程总有两个实数根;(2)∵原方程的两根为x1、x2,∴x1+x2=5,x1x2=6﹣p2﹣p.又∵x12+x22﹣x1x2=3p2+1,∴(x1+x2)2﹣3x1x2=3p2+1,∴52﹣3(6﹣p2﹣p)=3p2+1,∴25﹣18+3p2+3p=3p2+1,∴3p=﹣6,∴p=﹣2.【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:(1)牢记“当△≥0时,方程有两个实数根”;(2)根据根与系数的关系结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1,求出p值.24.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+k﹣1=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)若此方程的两实数根x1,x2满足x12+x22=11,求k的值.【分析】(1)根据方程有实数根得出△=[﹣(2k﹣1)]2﹣4×1×(k2+k﹣1)=﹣8k+5≥0,解之可得.(2)利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值,根据条件可得到关于k的方程,可求得k的值,注意利用根的判别式进行取舍.【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+k﹣1=0有实数根,∴△≥0,即[﹣(2k﹣1)]2﹣4×1×(k2+k﹣1)=﹣8k+5≥0,解得k≤.(2)由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1,x1x2=k2+k﹣1,∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=(2k﹣1)2﹣2(k2+k﹣1)=2k2﹣6k+3,∵x12+x22=11,∴2k2﹣6k+3=11,解得k=4,或k=﹣1,∵k≤,∴k=4(舍去),∴k=﹣1.【点评】此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.25.南、北两个园林场去年共有员工500人,其中南园林场员工数比北园林场员工数的2倍少100人.(1)求去年南、北两个园林场的员工数;(2)经核算,去年南园林场年产值比北园林场年产值少m%.北园林场人均产值比南园林场人均产值多4m%,且两个园林场人均产值不低于北园林场人均产值的.求m的值.【分析】(1)设北园林场员工x人,则南园林场场员工(2x﹣10)人.根据总人数的500人列出方程.(2)设北园林场年产值y元(万元均可),根据题意列出方程=(1+4m%)和不等式≥×,通过计算求得m的值.【解答】解:(1)设北园林场员工x人,则南园林场场员工(2x﹣10)人∴x+2x﹣10=500.∴x=200(北场)∴南场300人;答:北园林场员工200人,则南园林场场员工300人.(2)设北场年产值y元(万元均可),∴=(1+4m%),解得:m=25或m=50.又∵≥×验证后,m=25成立;m=50不成立.∴m=25.【点评】考查了一元二次方程和二元一次方程组的应用,解题的关键是读懂题意,找到数量关系,列出方程或不等式.26.先阅读下面的内容,再解决问题.例题:若m2+2n2+2mn﹣6n+9=0,求m和n的值.解:∵m2+2n2+2mn﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴(m+n)2+(n﹣3)2=0∴m+n=0且n﹣3=0∴m=﹣3,n=3问题(1)若x2+3y2﹣2xy+4y+2=0.求x和y的值.(2)代数式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值为﹣6 .(3)若x﹣y=6,xy+z2﹣4z+13=0.则x= 3 ,y=﹣3 ,z= 2 .【分析】(1)、(2)、(3)把原式利用完全平方公式化为平方和的形式,根据偶次方的非负性计算即可.【解答】解:(1)x2+3y2﹣2xy+4y+2=0x2﹣2xy+y2+2y2+4y+2=0(x﹣y)2+2(y+1)2=0x﹣y=0,y+1=0,解得,x=﹣1,y=﹣1;(2)x2+2x+y2﹣4y﹣1=x2+2x+1+y2﹣4y+4﹣6=(x+1)2+(y﹣2)2﹣6,则代数式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值为﹣6,故答案为:﹣6;(3)∵x﹣y=6,∴x=y+6,则(y+6)y+z2﹣4z+13=0y2+6y+9+z2﹣4z+4=0(y+3)2+(z﹣2)2=0,∴y+3=0,z﹣2=0,解得,y=﹣3,z=2,∴x=y+6=3,故答案为:3;﹣3;2.【点评】本题考查的是配方法,掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键.27.如图,某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边,其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子.设园子中平行于墙面的篱笆长为ym(其中y≥4),另两边的篱笆长分别为xm.(1)求y关于x的函数表达式,并求x的取值范围.(2)若仅用现有的11m长的篱笆,且恰好用完,请你帮助设计围制方案.【分析】(1)由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式,结合4≤y≤8可求出x 的取值范围;(2)由篱笆的长可得出y=(11﹣2x)m,利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.【解答】解:(1)∵矩形的面积为12m2,∴y=.∵4≤y≤8,∴1.5≤x≤3.(2)∵篱笆长11m,∴y=(11﹣2x)m.依题意,得:xy=12,即x(11﹣2x)=12,解得:x1=1.5,x2=4(舍去),∴y=11﹣2x=8.答:矩形园子的长为8m,宽为1.5m.【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用,解题的关键是:(1)利用矩形的面积公式,找出y关于x的函数表达式;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.28.春临大地,学校决定给长12米,宽9米的一块长方形展示区进行种植改造现将其划分成如图两个区域:区域Ⅰ矩形ABCD部分和区域Ⅱ四周环形部分,其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种花卉种植,且EF平分BD,G,H分别为AB,CD中点.(1)若区域Ⅰ的面积为Sm2,种植均价为180元/m2,区域Ⅱ的草坪均价为40元/m2,且两区域的总价为16500元,求S的值.(2)若AB:BC=4:5,区域Ⅱ左右两侧草坪环宽相等,均为上、下草坪环宽的2倍①求AB,BC的长;②若甲、丙单价和为360元/m2,乙、丙单价比为13:12,三种花卉单价均为20的整数倍.当矩形ABCD中花卉的种植总价为14520元时,求种植乙花卉的总价.【分析】(1)根据题意可得300S+(48﹣S)200≤12000,解不等式即可;(2)①设区域Ⅱ四周宽度为a,则由题意(9﹣2a):(12﹣4a)=4:5,解得a=,由此即可解决问题;②设乙、丙瓷砖单价分别为13x元/m2和12x元/m2,则甲的单价为(360﹣12x)元/m2,由GH∥AD,可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半,设乙的面积为s,则丙的面积为(40﹣s),由题意40(360﹣12x)+13x•s+12x•(40﹣s)=14520,解方程求得s =,结合s的实际意义解答.【解答】解:(1)由题意180S+(108﹣S)×40=16500,解得S=87.∴S的值为87;(2)①设区域Ⅱ上、下草坪环宽度为a,则左右两侧草坪环宽度为2a,由题意(9﹣2a):(12﹣4a)=4:5,解得a=,∴AB=9﹣2a=8,CB=12﹣4a=10;②设乙、丙瓷砖单价分别为13x元/m2和12x元/m2,则甲的单价为(360﹣12x)元/m2,∵GH∥AD,∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=40,设乙的面积为s,则丙的面积为(40﹣s),由题意40(360﹣12x)+13x•s+12x•(40﹣s)=14520,解得s=,∵0<s<40,∴0<<40,又∵360﹣12x>0,综上所述,3<x<30,39<13x<390,∵三种花卉单价均为20的整数倍,∴乙花卉的总价为:∴丙瓷砖单价3x的范围为150<3x<300元/m2.【点评】本题考查一元二次方程的应用、矩形的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会构建方程或不等式解决实际问题,属于中考常考题型.29.已知关于x的方程x2﹣2(k+1)x+k2+2k﹣1=0…①(1)求证:对于任意实数k,方程①总有两个不相等的实数根;(2)如果a是关于y的方程y2﹣(x1+x2﹣2k)y+(x1﹣k)(x2﹣k)=0…②的根,其中x1,x2是方程①的两个实数根,求代数式(﹣1)÷•的值.【分析】(1)求出判别式△的值,即可得出答案;(2)根据根与系数的关系得出x1+x2=2(k+1),x1•x2=k2+2k﹣1,求出x1+x2﹣2k =2,(x1﹣k)(x2﹣k)=﹣1,求出方程②,求出a2﹣2a﹣1=0,即可得出答案.【解答】(1)证明:△=[﹣2(k+1)]2﹣4×1×(k2+2k﹣1)=8>0,所以对于任意实数k,方程①总有两个不相等的实数根;(2)解:∵x1,x2是方程①的两个实数根,∴x1+x2=2(k+1),x1•x2=k2+2k﹣1,∴x1+x2﹣2k=2(k+1)﹣2k=2,(x1﹣k)(x2﹣k)=x1•x2﹣(x1+x2)k+k2=k2+2k ﹣1﹣(2k+2)k+k2=﹣1,方程②为y2﹣2y﹣1=0,∵a是关于y的方程y2﹣(x1+x2﹣2k)y+(x1﹣k)(x2﹣k)=0…②的根,∴a2﹣2a﹣1=0,∴a2﹣1=2a,∴(﹣1)÷•=••=﹣=﹣=【点评】本题考查了根与系数的关系,根的判别式的应用,能熟记知识点是解此题的关键,注意:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=.。
山西省太原市志达中学2018-2019学年第一学期9月调研八年级数学试题(PDF版)
21.略 【考点】无理数在数轴上的表示方法 【难度星级】★★★★ 【答案】通过勾股定理即可 【解析】见答案
-6-
22. (1)35m (2)15m 【考点】勾股定理的实际应用和直角三角形的等面积法 【难度星级】★★★ 【答案】(1)通过勾股定理求解即可
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
4. 下列二次根式中,是最简二次根式的是( )
D. 5 D. 第四象限
A. 18
B. 13
5. 下列计算正确的是( )
C. 27
D. 12
A. 22 2
B. 22 2
C. 42 2
D. 42 2
6. 如图,有四个三角形,各有一边长为 6,一边长为 8,若第三边分别为 6,8,10,12,则面积最大的三 角形是( )
22.(7 分)如图,某小区的两个喷泉 A,B 位于小路 AC 的同侧,两个喷泉的距离 AB 的长为 25m.现要为 喷泉铺设供水管道 AM,BM,供水点 M 在小路 AC 上,供水点 M 到 AB 的距离 MN 的长为 12m,BM 的长 为 15m. (1)求供水点 M 到喷泉 A,B 需要铺设的管道总长; (2)直接写出喷泉 B 到小路 AC 的最短距离.
【解析】过点 C 作 CM⊥AB,垂足为 M. 在 Rt△AMC 中,∵∠A=60°,AC=4, ∴AM=2,MC= 2 3 ∴BM=AB-AM=3. 在 Rt△BMC 中, BC= BM 2 CM 2 = 32 (2 3)2 21 ∵DE 是线段 AC 的垂直平分线, ∴AD=DC, 又∵∠A=60°, ∴△ADC 是等边三角形 ∴CD=AD=AC=4 ∴L△BDC=DB+DC+BC=AD+DB+BC =AB+BC=5+ 21
[小初高学习]2018年秋八年级数学上册 第1章 三角形的初步知识自我评价练习 (新版)浙教版
第1章自我评价一、选择题(每小题3分,共30分)(第1题)1.如图,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,则下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是(B) A.∠M=∠NB.AM=CNC.AB=CDD.AM∥CN2.若一个三角形的两边长分别是2和4,则该三角形的周长可能是(C)A. 6 B. 7C. 11 D. 123.如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD的度数为(B)A. 145° B. 150°C. 155° D. 160°(第3题)(第4题)4.如图,把一块含有45°角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°,那么∠2的度数为(C)A . 15°B . 20°C . 25°D . 30°(第5题)5.如图,在△ABC 中,分别以点A 和点B 为圆心,大于12AB 长为半径画弧,两弧分别相交于点M ,N ,作直线MN ,交BC 于点D ,连结AD .若△ADC 的周长为10,AB =7,则△ABC 的周长为(C )A . 27B . 14C . 17D . 206.如图,已知∠1=∠2,AE ⊥OB 于点E ,BD ⊥OA 于点D ,AE ,BD 的交点为C ,则图中的全等三角形共有(C )A . 2对B . 3对C . 4对D . 5对, (第6题)) ,(第7题))7.如图,BE ⊥AC 于点D ,且AD =CD ,BD =ED .若∠ABC=72°,则∠E 等于(B ) A .18° B.36° C .54° D.72°【解】 可证△ADB ≌△CDE ,△ABD ≌△CBD , ∴∠E =∠ABD =12∠ABC =36°.8.如图,△ABC 的三边AB ,BC ,CA 的长分别是100,110,120,其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形,则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO =(C )A .1∶1∶1 B.9∶10∶11 C .10∶11∶12 D.11∶12∶13【解】 利用角平分线的性质定理可得△ABO ,△BCO ,△CAO 分别以AB ,BC ,AC 为底时,高线长相等,则它们的面积之比等于底边长之比.,(第8题)) ,(第9题))9.如图,AB ∥CD, AP ,CP 分别平分∠BAC 和∠ACD,PE ⊥AC 于点E ,且PE =3 cm ,则AB 与CD 之间的距离为(B )A . 3 cmB . 6 cmC . 9 cmD . 无法确定【解】 过点P 作PF ⊥AB ,垂足为F ,延长FP 交CD 于点G . ∵AB ∥CD ,∴∠FGD =∠AFG =90°, ∴PG ⊥CD .∵AP 平分∠BAC ,PF ⊥AB ,PE ⊥AC , ∴PF =PE =3. 同理,PG =PE =3, ∴FG =PF +PG =3+3=6, 即AB 与CD 之间的距离为6 cm .10.如图,AD 是△ABC 的一个外角的角平分线,P 是AD 上异于点A 的任意一点,设PB =m ,PC =n ,AB =c ,AC =b ,则m +n 与b +c 的大小关系是(A )A . m +n >b +cB . m +n <b +cC . m +n =b +cD . 无法确定 导学号:91354007,(第10题)) ,(第10题解))【解】 如解图,在BA 的延长线上取一点E ,使AE =AC ,连结ED ,EP . ∵AD 是△ABC 的一个外角的角平分线, ∴∠CAD =∠EAD.在△ACP 和△AEP 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧AC =AE ,∠CAP =∠EAP,AP =AP ,∴△ACP≌△AEP(SAS).∴PC=PE.在△P BE中,PB+PE>AB+AE,即PB+PC>AB+AC.∵PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,∴m+n>b+c.二、填空题(每小题3分,共30分)11.有下列命题:①对顶角相等;②同旁内角互补;③全等三角形的对应角相等;④两直线平行,同位角相等.其中是假命题的是__②__(填序号).(第12题)12.如图,AC与BD相交于点O,∠A=∠D,请添加一个适当的条件:AO=DO(答案不唯一),使得△AOB≌△DOC.13.已知三角形的三边长分别为3,5,x,则化简式子|x-2|+|x-9|=__7__.【解】提示:2<x<8.(第14题)14.如图,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE=__3__.【解】在△ABE和△ACD中,∵∠1=∠2,∠A=∠A,BE=CD,∴△ABE≌△ACD(AAS),∴AC=AB=5.∵AE=2,∴CE=3.15.如图,在4×5的网格中,每个小正方形的边长都为1,在图中找两个格点D和E,使∠ABE=∠ACD=90°,并使AC=DC,AB=EB,则四边形BCDE的面积为__3__.,(第15题)),(第15题解))【解】 如解图,四边形BCDE 的面积为8-3-32-12=3.(第16题)16.如图,四边形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,△ABO ≌△ADO .有下列结论:①AC⊥BD;②CB=CD ;③△ABC≌△ADC;④AD=CD .其中正确结论的序号是①②③.【解】 ∵△ABO≌△ADO,∴∠AOB =∠AOD,AB =AD ,∠BAO =∠DAO. ∵∠AOB +∠AOD=180°, ∴∠AOB =∠AOD =90°, ∴AC ⊥BD ,故①正确.在△ABC 和△ADC 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧AB =AD ,∠BAC =∠DAC ,AC =AC ,∴△ABC ≌△ADC (SAS ), ∴CB =CD ,故②③正确.AD 与CD 不一定相等,故④错误.综上所述,正确结论的序号是①②③.(第17题)17.如图,△ABC 三边上的中线AD ,BE ,CF 的交点为G .若S △ABC =12,则图中阴影部分的面积是__4__.【解】 ∵△ABC 的三条中线AD ,BE ,CF 交于点G ,∴S △ABD =S △ACD ,S △AFG =S △BFG ,S △AGE=S △CGE ,S △BDG =S △CDG ,∴S △ABG =S △ACG ,∴S △BFG =S △CGE .同理,S △BFG =S △BDG ,∴图中6个小三角形的面积都相等.∴S 阴影=13S △ABC =4.18.如图,在△ABC 中,AB =5,AC =3,AD 是△ABC 的中线,则AD 长的取值范围是1<AD<4.(第18题)【解】 延长AD 至点E ,使ED =AD ,连结BE . ∵AD 是△ABC 的中线, ∴BD =CD .在△EBD 和△ACD 中, ∵⎩⎪⎨⎪⎧BD =CD ,∠BDE =∠CDA,ED =AD ,∴△EBD ≌△ACD(SAS),∴EB =AC =3. ∵AB =EB<AE<AB +EB , ∴5-3<2AD<5+3,∴1<AD<4.(第19题)19.如图,在△ABC 中,∠A =52°,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点D 1,∠ABD 1与∠ACD 1的平分线交于点D 2……依次类推,∠BD 5C 的度数为__56°__.【解】 ∵∠A =52°, ∴∠ABC +∠ACB =128°.∵BD 1,CD 1分别平分∠ABC 和∠ACB ,∴∠D 1BC +∠D 1CB =12(∠ABC +∠ACB )=64°,∴∠D 1=180°-64°=116°.同理,∠D 2=180°-64°-12×64°=84°……∴∠D 5=180°-64°-12×64°-⎝ ⎛⎭⎪⎫122×64°-⎝ ⎛⎭⎪⎫123×64°-⎝ ⎛⎭⎪⎫124×64°=56°.20.如图,图①是一块边长为1,周长记为P 1的等边三角形纸板,沿图①的底边剪去一块边长为12的等边三角形纸板后得到图②,然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板(即边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的12)后得到图③……记第n(n≥3)块纸板的周长为P n ,则P n -P n -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1.(第20题)【解】 ∵P 1=3,P 2=212,P 3=234,P 4=278,∴P 3-P 2=14=⎝ ⎛⎭⎪⎫122,P 4-P 3=18=⎝ ⎛⎭⎪⎫123=⎝ ⎛⎭⎪⎫124-1……依次类推得P n -P n -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1.三、解答题(共40分)21.(5分)如图,已知∠AOB 内有两点M ,N ,请找出一点P ,使得PM =PN ,且点P 到OA和OB 的距离相等(要求:尺规作图,保留作图痕迹).(第21题)(第21题解)【解】 作法如下:(1)连结MN ,作MN 的垂直平分线l .(2)作∠AOB 的平分线OC ,与l 相交于点P ,则点P 即为所求,如解图所示.(第22题)22.(5分)如图,∠BAC =∠DAM,AB =AN ,AD =AM .求证:∠B=∠ANM. 【解】 ∵∠BAC=∠DAM,∴∠BAC -∠DAC=∠DAM-∠DAC,即∠BAD=∠NAM. 在△ABD 和△ANM 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧AB =AN ,∠BAD =∠NAM,AD =AM ,∴△ABD ≌△ANM(SAS),∴∠B =∠ANM.(第23题)23.(6分)如图,在△ABC 中,AB =CB ,∠ABC =90°,D 为AB 的延长线上一点,点E在BC 边上,且BE =BD ,连结AE ,DE ,CD .(1)求证:△ABE ≌△CBD .(2)若∠CAE =27°,∠ACB =45°,求∠BDC 的度数. 【解】 (1)∵∠ABC =90°, ∴∠CBD =90°=∠ABC .在△ABE 和△CBD 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧AB =CB ,∠ABE =∠CBD ,BE =BD ,∴△ABE ≌△CBD (SAS ).(2)∵△ABE ≌△CBD ,∴∠AEB =∠CDB . ∵∠AEB 为△AEC 的一个外角,∴∠AEB =∠CAE +∠ACB =27°+45°=72°,∴∠BDC=72°.24.(6分)如图,已知BD,CE是△ABC的高线,点F在BD上,BF=AC,点G在CE的延长线上,CG=AB,连结AF,AG.求证:AG⊥AF.(第24题)【解】设BD与CG相交于点H.∵BD,CE是△ABC的高线,∴∠BEC=∠CDB=90°.∵∠EHB=∠DHC,∴∠EBH=∠DCH.又∵BF=CA,AB=GC,∴△ABF≌△GCA(SAS),∴∠BAF=∠G.∵∠AEG=90°,∴∠G+∠GAE=90°,∴∠BAF+∠GAE=90°,即∠GAF=90°,∴AG⊥AF.(第25题)25.(8分)如图,已知BE,CF分别是△ABC中AC,AB边上的高线,在BE的延长线上取点P,使PB=AC,在CF的延长线上取点Q,使CQ=AB.求证:AQ⊥AP.【解】∵BE,CF分别是△ABC中AC,AB边上的高线,∴∠AEB=∠AFC=90°,∴∠ABP+∠EAF=90°,∠ACQ+∠EAF=90°,∴∠ABP=∠ACQ.在△ABP和△QCA中,∵PB=AC,∠ABP=∠QCA,AB=QC,∴△ABP≌△QCA(SAS),∴∠APB=∠QAC,∴∠APB+∠PAE=∠QAC+∠PAE,即180°-∠AEP=∠PAQ,∴∠PAQ=90°,即AQ⊥AP.26.(10分)旧知新意:我们知道,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢?(1)尝试探究:如图①,∠DBC 与∠ECB 分别为△ABC 的两个外角,试探究∠A 与∠DBC+∠ECB 之间的数量关系.(2)初步运用:如图②,在△ABC 纸片中剪去△CED,得到四边形ABDE .若∠1=130°,则∠2-∠C =50°.小明联想到了曾经解决的一个问题:如图③,在△ABC 中,BP ,CP 分别平分外角∠DBC ,∠ECB ,则∠P 与∠A 有何数量关系?请利用上面的结论直接写出答案:∠P =90°-12∠A .(第26题)(3)拓展提升:如图④,在四边形ABCD 中,BP ,CP 分别平分外角∠EBC,∠FCB ,则∠P 与∠A,∠D 有何数量关系?导学号:91354008【解】 (1)∠DBC+∠ECB=(180°-∠ABC )+(180°-∠ACB )=360°-(∠ABC +∠ACB )=360°-(180°-∠A )=180°+∠A .(2)∵∠1+∠2=180°+∠C ,∴130°+∠2=180°+∠C ,∴∠2-∠C =50°.∵∠DBC +∠ECB =180°+∠A ,BP ,CP 分别平分外角∠DBC ,∠ECB , ∴∠PBC +∠PCB =12(∠DBC +∠ECB )=12(180°+∠A ),∴∠P =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-12(180°+∠A )=90°-12∠A ,小初高试卷教案习题集小初高试卷教案习题集 即∠P =90°-12∠A .(第26题解)(3)如解图,延长BA ,CD 相交于点Q ,则∠P=90°-12∠Q , ∴∠Q =180°-2∠P ,∴∠BAD +∠CDA =180°+∠Q =180°+180°-2∠P =360°-2∠P .。
苏科版八年级数学上册期末提优测试卷(含答案)
苏科版八年级数学上册期末提优测试卷(含答案)一、选择题(每题3分,共30分)1.2的算术平方根是()A .2±B .2C .2-D .22.点P (1,—2)关于y 轴对称的点的坐标是()A .(1,2)B .(—1,2)C .(—1,—2)D .(—2,1)3.已知点A (a ,2)在一次函数1+=x y 的图像上,则a 的值为()A .3B .2C .1D .—14.据统计,2018年国家公务员考试报名最终共有1659745人通过了招聘单位的资格审查,这个数据用科学记数法可表示为(精确到万位)()A .410166⨯B .61066.1⨯C .41066.1⨯D .610659.1⨯5.如图,在长方形纸片ABCD 中,AB =3,点E 在边BC 上,将△ABE 沿直线AE 折叠,点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处.若∠EAC =∠ECA ,则AC 的长是()A .33B .6C .4D .56.将一次函数x y 2=的图像向上平移2个单位长度后,当0>y 时,则x 的取值范围是()A .1->xB .1>xC .2->xD .2>x 7.已知函数b kx y +=的图像经过点(1,2)和(—1,a 2).若1>a ,则b k ,的取值范围是()A .20>>b k ,B .20<<b k ,C .20<>b k ,D .20><b k ,8.已知一次函数b kx y +=与kbx y =,则它们在同一平面直角坐标系内的图像可能为()9.小东家与学校之间是一条笔直的公路,早饭后,小东步行前往学校,途中发现忘带画板,停下给妈妈打电话,妈妈接到电话后,带上画板马上赶往学校,同时小东沿原路返回,两人相遇后,小东立即赶往学校,妈妈沿原路返回,16min 到家,再过5min 小东到达学校.小东始终以100m/min 的速度步行,小东和妈妈的距离y (m)与小东打完电话后的步行时间t (min)之间的函数关系如图所示,下列四种说法:①打电话时,小东和妈妈的距离是1400m ;②小东与妈妈相遇后,妈妈回家的速度是50m/min ;③小东打完电话后,经过27min 到达学校;④小东家离学校的距离为2900m .其中正确的个数是()A .1B .2C .3D .410.如图,△AOB 的边OA ,OB 分别落在x 轴,y 轴上,点P 在边AB 上,将△AOP 沿OP 所在直线折叠,使点A 落在点A '的位置.若A (—3,0),B (0,4),连接BA ',当BA '的长度最小时,点P 的坐标为()A .(712-,712)B .(711-,711)C .(74-,72)D .(74-,73)二、填空题(每题3分,共30分)11.计算:327-=_____________________.12.如图,已知在△ABC 中,DE 是BC 的垂直平分线,垂足为E ,交AC 于点D .若BE =5,△ABD 的周长是15,则△ABC 的周长是________________.13.如果三角形的三边长分别为3,4,5,那么该三角形最长边上的中线长等于_________________.14.若点P (3-a a ,)在第四象限,则a 的取值范围是_________________________.15.若函数3)1(1-+=-m x m y 是关于x 的一次函数,且y 随x 的增大而减小,则m =____________.16.与直线13+=x y 平行,且经过点(0,—2)的一次函数表达式为______________________.17.已知43<<x ,化简4)3(2-+-x x =___________________.18.如图,在平面直角坐标系中,经过点B (—4,0))的直线b kx y +=与直线2+=mx y 相交于点A (23-,—1),则不等式组02<+<+b kx mx 的解集为_______________________.19.在平面直角坐标系中,已知A ,B ,C ,D 四点的坐标依次为(0,0),(6,0),(8,6),(2,6).若一次函数m mx y 6-=的图像将四边形ABCD 的面积分成1:3两部分,则m 的值为________________.20.如图,直线322+=x y 与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点,以OB 为边在y 轴的左侧作等边三角形OBC .将△OBC 沿y 轴上下平移,使点C 的对应点C '好落在直线AB 上,则点C '的标为________________.三、解答题(共60分)21.(6分)(1)计算:0)31(29-+--(2)解方程:16)3(2=-x 22.(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为A (—1,—2),B (—2,—4),C (—4,—1).(1)把△ABC 向上平移4个单位长度后得到△A 1B 1C 1,请画出△A 1B 1C 1,并写出点B 1的坐标;(2)已知点A 与点A 2(3,2)关于直线l 成轴对称,请画出直线l 及△ABC 关于直线l 对称的△A 2B 2C 2,并直接写出直线l 的函数表达式.23.(8分)已知2+y 与3-x 成正比例,且当5=x 时,2=y .(1)求y 与x 之间的函数表达式;(2)当4=y 时,x 的值是多少?24.(8分)如图,已知在四边形ABCD 中,点E 在AD 上,∠BCE =∠ACD =90°,∠BAC =∠D ,BC =CE .(1)求证:AC =CD ;(2)若AC =AE ,求∠DEC 的度数.25.(8分)某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召,绿化校园,计划购进A ,B 两种树苗,共21棵.已知A 种树苗每棵90元,B 种树苗每棵70元.设购买A 种树苗x 棵,购买两种树苗所需费用为y 元.(1)求y 与x 的函数表达式,其中210≤≤x ;(2)若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量,请给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用.26.(10分)南京、上海相距300km ,快车与慢车的速度分别为100km/h 和50km/h ,两车同时从南京出发,匀速行驶,快车到达上海后,原路返回南京,慢车到达上海后停止.设两车出发的时间为x h ,快车、慢车行驶过程中离南京的距离分别为21y y ,km .(1)求21y y ,与x 之间的函数表达式,并在所给的平面直角坐标系中画出它们的图像;(2)若镇江与南京相距80km ,求两车途经镇江的时间间隔;(3)直接写出出发多长时间,两车相距100km .27.(12分)一次函数22+-=x y 的图像与x 轴,y 轴分别交于点A ,B .在y 轴的左侧有点P (—1,a ).(1)如图,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ,且∠BAC =90°,求点C 的坐标;(2)当23=a 时,求△ABP 的面积;(3)当2-=a 时,Q 是直线22+-=x y 上一点,且△POQ 的面积为5,求点Q 的坐标.。
太原市2018年八年级上学期阶段测评(一)数学试题
太原市2018年八年级上学期阶段测评(一)数学试题一、单选题(共12小题)1.在平面直角坐标系中,已知点(2,-3),则点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是()A.9、12、15B.41、40、9C.25、7、24D.6、5、43.在3.14,π,3.212212221,2+,,—5.121121112……中,无理数的个数为().A.5B.2C.3D.44.下列计算正确的是()A.B.C.D.5.如果点P(在轴上,则点P的坐标为()A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,6.点P(-3,5)关于x轴的对称点P′的坐标是()A.(3,5)B.(5,-3)C.(3,-5)D.(-3,-5)7.如图,已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数-2、1、2、3,则表示数3-的点P应落在线段()A.AO上B.OB上C.BC上D.CD上8.下列说法中,不正确的是()A.3是的算术平方根B.±3是的平方根C.-3是的算术平方根D.-3是的立方根9.已知,那么的值为()A.-1B.1C.D.10.在直角坐标系中A(2,0)、B(-3,-4)、O(0,0),则△AOB的面积()A.4B.6C.8D.311.如图,一架云梯长25米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,如果梯子的顶端下滑4米,那么梯子的底部在水平方向上滑动了()A.4米B.6米C.8米D.10米12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4.分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于()A.2πB.3πC.4πD.8π二、填空题(共4小题)13.-27 的立方根为, 的平方根为,的倒数为.14.如果用(3,19)表示电影院的座位号是3排19号,那么(23,1)表示;10排15号可表示为.15.如图,有一圆柱,其高为12cm,它的底面半径为3cm,在圆柱下底面A处有一只蚂蚁,它想得到上面B处的食物,则蚂蚁经过的最短距离为.(π取3)16.已知,如图,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,且∠A=90°,则四边形ABCD的面积.三、解答题(本大题含8个小题,共52分)17.(每小题3题,共12分)计算:18.(本题7分)下面的方格图是由边长为1的若干个小正方形拼成的, ABC的顶点A,B,C均在小正方形的顶点上.(1)在图中建立恰当的平面直角坐标系,取小正方形的边长为一个单位长度,且使点A 的坐标为(-4,2);(2)在(1)中建立的平面直角坐标系内画出 ABC关于y轴对称的,并写出各顶点的坐标.19.(本题5分)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术,即已知三角形的三边长,求它的面积.用符号表示即为:(其中a,b,c为三角形的三边长,S为面积).请利用这个公式求a=5,b=3,c=25时的三角形的面积.20.(本题5分)已知一次函数的图象与x轴交于A,与y轴交于点B. (1)求点A,B的坐标并在如图的坐标系中画出函数的图象;(2)若一次函数的图象经过点A,求它的表达式.21.(本题6分)根据道路交通管理条例的规定,在某段笔直的公路l上行驶的车辆,限速60千米/时。
2017-2018学年度第一学期期末教学质量检测八年级数学试题(含答案)
2017-2018学年度第一学期期末教学质量检测八年级数学试题(时间:120分钟)友情提示:亲爱的同学,你好!今天是你展示才能的时候,只要你仔细审题,认真答题,你就会有出色的表现!1.考生务必将姓名、班级、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,共25道小题。
3.第Ⅰ卷是选择题,共8道小题,每小题选出的答案后,用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答案不能答在试卷上。
4.第Ⅱ卷是填空题和解答题,共17小题,答案必须用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡题目指定区域内相应的位置,不能写在试题上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案。
不按以上要求作答的答案无效。
5.考试结束只上交答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题:下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的,请将所选答案的字母标号涂在答题卡的相应位置。
1.3的相反数是()A、3B、-3C、3D、-32.在平面直角坐标系中,点P(-2,3)关于x轴的对称点坐标为()A、(-2,3)B、(2,-3)C、(-2,-3)D、(3,-2)3.下列语句:①三角形的内角和是180°;②作为一个角等于一个已知角;③两条直线被第三条直线所截,同位角相等;④延长线段AB到C,使BC=AB,其中是命题的有()A、①②B、②③C、①④D、①③4.方程组的解是()A、 B、 C、 D 、5.若一次函数y=kx+b,(k,b为常熟,且k≠0)的图像经过点(1,2)且y随x的增大而减小,则这个函数的表达式可能是()A、y=2x+4B、y=3x-1C、y=-3x-1D、y=-2x+46.如图,∠AOB的边OA为平面反光镜,一束光线从OB上的C点射出,经OA上的D点反射后,反射光线DE恰好与OB平行,若∠AOB=40°,则∠BCD的度数是()A、60°B、80°C、100°D、120°x +|y-2|=0,则(x+y)2017的值为()7.若3A、-1B、1C、±1D、08.若一组数据10,9.a,12,9的平均数是10,则这组数的方差是()A、0.9B、1C、1.2D、1.4第Ⅱ卷二、填空题:请把正确答案填写在答题卡的相应位置9.实数7的整数部分是_______10.命题“对顶角相等”的条件是_______________ ,结论是___________ 。
初二数学提优训练含答案
A DBCEF(第2题图)B A CDEF(第1题图)第6题DOC A Py x初二数学提优训练一.选择题:1.如图,点E 在正方形ABCD 外,连接AE 、BE 、DE ,过点A 作AE 的垂线交DE 于点F .若A E =AF =1,BF =错误!.则下列结论:①△AFD ≌△AEB ;②点B 到直线AE 的距离为错误!;③EB ⊥ED ;④S △AFD +S △AFB =1+错误!;⑤S正方形ABCD=4+错误!.其中正确结论的序号是…………………………………………………………………( ) A .①③④B .①②⑤C .③④⑤D .①③⑤2、函数y =错误!和y =错误!在第一象限内的图象如图,点P 是y =错误!的图象上一动点,PC ⊥x 轴于点C ,交y =错误!的图象于点A 。
PD ⊥y 轴于点D ,交y =错误!的图象于点B.。
下面结论:①△ODB 与△OCA 与PB 始终相等;③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化;④CA = 错误!AP 。
其中正的面积相等;②PA 确结论是 A.①②③B. ①②④ C 。
①③④ D 。
②③④二.填空题: 1.如图,菱形ABCD中,E 、F 分别为BC 、CD 上的点,⊿ACF 经旋转后能与⊿ABE 重合,且∠BAE =20º,则∠FEC 的度数是 。
2.如图,Rt △ABC 中,已知∠C =90°,∠B =50°,点D 在边BC 上,BD =2CD .将△ABC 绕点D 按顺时针旋转角α(0<α<180°)后,如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上,那么α= °.3.如图,D 是△ABC 的BC 边的中点,AE 平分∠BAC ,AE ⊥CE 于点E ,且AB =10,AC =16,则DE 的长度为 . 4.如图,矩形ABCD 的边AB 在x 轴上,AB 的中点与原点O 重合,AB =2,AD =1,点E 的坐标为(0,2).点F (x ,0)在边AB 上运动,若过点E 、F 的直线将矩形ABCD 的周长分成2 : 1两部分,则x 的值为 .5.设函数2y x =与1y x =-的图像的交点坐标为(a ,b ),则11a b-的值为__________. 6.如图,在∆AOB 中,已知C 是AB 的中点,反比例函数ky x= (k >0)在第一象限的图像经过A 、C两点,若∆OAB 面积为6,则k 的值为 .三.解答题:1.如图,正方形ABCD 中,AB =6,点E 在边CD 上,且CD =3DE .将△ADE 沿AE 对折至△AFE ,延长EF交边BC 于点G ,连结AG 、CF .(1)求证:①△ABG ≌△AFG ; ②BG =GC ;(2)求△FGC 的面积。
苏科版八年级数学第二学期《一元二次方程》提优卷(含答案)
八年级第二学期数学《一元二次方程》提优卷一.选择题(共10小题)1.若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1=0的一个根为2,则m的值为()A.﹣1或3B.﹣1或﹣3C.1或﹣3D.1或32.已知x1,x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3=0的两个根,下面结论一定正确的是()A.x1+x2>0B.x1≠x2C.x1•x2>0D.x1<0,x2<0 3.关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.4.宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天定价为180元时宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房,如果有游客居住宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为x元时宾馆当天的利润为10890元,则有()A.(180+x﹣20)(50﹣)=10890B.x(50﹣)﹣50×20=10890C.(x﹣20)(50﹣)=10890D.(x+180)(50﹣)﹣50×20=108905.若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1=0(a≠0)有一根为x=2019,则一元二次方程a (x﹣1)2+b(x﹣1)=1必有一根为()A.B.2020C.2019D.20186.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k>﹣2B.k>﹣2且k≠1C.k<2D.k<2且k≠1 7.已知关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0,当﹣6<k<0时,该方程解的情况是()A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.不能确定8.用总长10m的铝合金材料做一个如图所示的窗框(不计损耗),窗框的上部是等腰直角三角形,下部是两个全等的矩形,窗框的总面积为3m2(材料的厚度忽略不计).若设等腰直角三角形的斜边长为xm,下列方程符合题意的是()A.B.C.x•=3D.x•=39.若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2=0有两个不相等的实根,且关于x的方程的解为整数,则满足条件的所有整数a的和是()A.﹣2B.﹣1C.1D.210.我们知道,一元二次方程x2=﹣1没有实数根,即不存在一个实数平方等于﹣1.若我们规定一个新数i,使其满足i2=﹣1(即x2=﹣1方程有一个根为i),并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算,且原有的运算法则仍然成立,于是有i1=i,i2=﹣1,i3=i2•i=(﹣1)•i=﹣i,i4=(i2)2=(﹣1)2=1,从而对任意正整数n,我们可以得到i4n+1=i4n•i=(i4)n•i,同理可得i4n+2=﹣1,i4n+3=﹣i,i4n=1,那么i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019的值为()A.0B.﹣1C.i D.1二.填空题(共8小题)11.若m2+n2﹣2m+4n+5=0.则m﹣n=.12.已知m是负整数,关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4=0的两根是x1,x2,若x1+x2>x1x2,则m的值等于.13.已知m为整数,且关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣2=0有两个实数根,则整数m的最小值是.14.若关于x的方程|x2﹣x﹣2|=k有四个不相等的实数根,则整数k的值为.15.我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题:“直田积(矩形面积),八百六十四(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步),问阔及长各几步.”如果设矩形田地的长为x步,那么根据题意列出的方程为.16.如图,有长为24m的篱笆,现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱色的长方形花圃,要围成面积为45m2的花圃,AB的长是.17.若a是方程x2﹣5x+1=0的一个根,则a2+的值是.18.已知m,n是方程x2﹣2017x+2018=0的两根,则(n2﹣2018n+2 019)(m2﹣2018m+2019)=.三.解答题(共11小题)19.已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.20.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1,x2满足x1x2+x1+x2>0,求a 的取值范围.21.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣2=0.(1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1﹣x2)2+m2=21,求m的值.22.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)若+=﹣1,求k的值.23.已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=p(p+1).(1)试证明:无论p取何值此方程总有两个实数根;(2)若原方程的两根x1,x2,满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1,求p的值.24.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+k﹣1=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)若此方程的两实数根x1,x2满足x12+x22=11,求k的值.25.南、北两个园林场去年共有员工500人,其中南园林场员工数比北园林场员工数的2倍少100人.(1)求去年南、北两个园林场的员工数;(2)经核算,去年南园林场年产值比北园林场年产值少m%.北园林场人均产值比南园林场人均产值多4m%,且两个园林场人均产值不低于北园林场人均产值的.求m的值.26.先阅读下面的内容,再解决问题.例题:若m2+2n2+2mn﹣6n+9=0,求m和n的值.解:∵m2+2n2+2mn﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴(m+n)2+(n﹣3)2=0∴m+n=0且n﹣3=0∴m=﹣3,n=3问题(1)若x2+3y2﹣2xy+4y+2=0.求x和y的值.(2)代数式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值为.(3)若x﹣y=6,xy+z2﹣4z+13=0.则x=,y=,z=.27.如图,某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边,其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子.设园子中平行于墙面的篱笆长为ym(其中y≥4),另两边的篱笆长分别为xm.(1)求y关于x的函数表达式,并求x的取值范围.(2)若仅用现有的11m长的篱笆,且恰好用完,请你帮助设计围制方案.28.春临大地,学校决定给长12米,宽9米的一块长方形展示区进行种植改造现将其划分成如图两个区域:区域Ⅰ矩形ABCD部分和区域Ⅱ四周环形部分,其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种花卉种植,且EF平分BD,G,H分别为AB,CD中点.(1)若区域Ⅰ的面积为Sm2,种植均价为180元/m2,区域Ⅱ的草坪均价为40元/m2,且两区域的总价为16500元,求S的值.(2)若AB:BC=4:5,区域Ⅱ左右两侧草坪环宽相等,均为上、下草坪环宽的2倍①求AB,BC的长;②若甲、丙单价和为360元/m2,乙、丙单价比为13:12,三种花卉单价均为20的整数倍.当矩形ABCD中花卉的种植总价为14520元时,求种植乙花卉的总价.29.已知关于x的方程x2﹣2(k+1)x+k2+2k﹣1=0…①(1)求证:对于任意实数k,方程①总有两个不相等的实数根;(2)如果a是关于y的方程y2﹣(x1+x2﹣2k)y+(x1﹣k)(x2﹣k)=0…②的根,其中x1,x2是方程①的两个实数根,求代数式(﹣1)÷•的值.答案与解析一.选择题(共10小题)1.若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1=0的一个根为2,则m的值为()A.﹣1或3B.﹣1或﹣3C.1或﹣3D.1或3【分析】先把x=2代入方程x2﹣2mx+m2﹣1=0得4﹣4m+m+m2﹣1=0,然后解关于m 的方程即可.【解答】解:把x=2代入方程x2﹣2mx+m2﹣1=0得4﹣4m+m2﹣1=0,解得m=1或3.故选:D.【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.2.已知x1,x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3=0的两个根,下面结论一定正确的是()A.x1+x2>0B.x1≠x2C.x1•x2>0D.x1<0,x2<0【分析】根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=a2+4>0,进而可得出x1≠x2,此题得解.【解答】解:∵△=(﹣m)2﹣4×1×(﹣3)=m2+4>0,∴方程x2﹣mx﹣3=0有两个不相等的实数根,∴x1≠x2.故选:B.【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.3.关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【分析】根据根的判别式,可知△>0,据此即可求出m的取值范围.【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根,∴△=(2m+1)2﹣4m2=4m2+4m+1﹣4m2=4m+1>0,解得m>﹣.故选:C.【点评】此题考查了根的判别式,解题时要注意一元二次方程成立的条件:二次项系数不为0.4.宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天定价为180元时宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房,如果有游客居住宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为x元时宾馆当天的利润为10890元,则有()A.(180+x﹣20)(50﹣)=10890B.x(50﹣)﹣50×20=10890C.(x﹣20)(50﹣)=10890D.(x+180)(50﹣)﹣50×20=10890【分析】设房价定为x元,根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得.【解答】解:设房价定为x元,根据题意,得(x﹣20)(50﹣)=10890.故选:C.【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系.5.若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1=0(a≠0)有一根为x=2019,则一元二次方程a (x﹣1)2+b(x﹣1)=1必有一根为()A.B.2020C.2019D.2018【分析】对于一元二次方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)﹣1=0,设t=x﹣1得到at2+bt﹣1=0,利用at2+bt﹣1=0有一个根为t=2019得到x﹣1=2019,从而可判断一元二次方程a(x ﹣1)2+b(x﹣1)=1必有一根为x=2020.【解答】解:对于一元二次方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)﹣1=0,设t=x﹣1,所以at2+bt﹣1=0,而关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1=0(a≠0)有一根为x=2019,所以at2+bt﹣1=0有一个根为t=2019,则x﹣1=2019,解得x=2020,所以一元二次方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)=1必有一根为x=2020.故选:B.【点评】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.6.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k>﹣2B.k>﹣2且k≠1C.k<2D.k<2且k≠1【分析】由题意可得△=4﹣4×1×(k﹣1)=8﹣4k>0,且k﹣1≠0,可求解.【解答】解:∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,∴△=4﹣4×1×(k﹣1)=8﹣4k>0,且k﹣1≠0∴k<2且k≠1故选:D.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根,上面的结论反过来也成立.7.已知关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0,当﹣6<k<0时,该方程解的情况是()A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.不能确定【分析】先计算出判别式得到△=16+4k,由k的取值范围可求解.【解答】解:∵△=16+4k,且﹣6<k<0∴当﹣6<k<﹣4时,△<0,方程没有实数根;当k=﹣4时,△=0,方程有两个相等实数根当﹣4<k<0时,△>0,方程有两个不相等实数根故选:D.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.8.用总长10m的铝合金材料做一个如图所示的窗框(不计损耗),窗框的上部是等腰直角三角形,下部是两个全等的矩形,窗框的总面积为3m2(材料的厚度忽略不计).若设等腰直角三角形的斜边长为xm,下列方程符合题意的是()A.B.C.x•=3D.x•=3【分析】设等腰直角三角形的斜边长为xm,则等腰直角三角形的直角边长为xm,下部两个全等矩形合成的大矩形的长为xm,宽为,根据矩形的面积公式、三角形的面积公式结合窗框的总面积为3m2,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.【解答】解:设等腰直角三角形的斜边长为xm,则等腰直角三角形的直角边长为xm,下部两个全等矩形合成的大矩形的长为xm,宽为,依题意,得:x•+×(x)2=3,即x•+x2=3.故选:D.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及等腰直角三角形,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.9.若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2=0有两个不相等的实根,且关于x的方程的解为整数,则满足条件的所有整数a的和是()A.﹣2B.﹣1C.1D.2【分析】关于一元二次方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2=0利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a<且a≠﹣1,再解分式方程得到x=(a≠﹣3),接着利用分式方程的解为整数得到a=0,2,﹣1,3,5,﹣3,然后确定满足条件的a的值,从而得到满足条件的所有整数a的和.【解答】解:∵关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2=0有两个不相等的实根,∴a+1≠0且△=(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)>0,解得a<且a≠﹣1.把关于x的方程去分母得ax﹣1﹣x=3,解得x=,∵x≠﹣1,∴≠﹣1,解得a≠﹣3,∵x=为整数,∴a﹣1=±1,±2,±4,∴a=0,2,﹣1,3,5,﹣3,而a<且a≠﹣1且a≠﹣3,∴a的值为0,2,∴满足条件的所有整数a的和是2.故选:D.【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac 有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.10.我们知道,一元二次方程x2=﹣1没有实数根,即不存在一个实数平方等于﹣1.若我们规定一个新数i,使其满足i2=﹣1(即x2=﹣1方程有一个根为i),并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算,且原有的运算法则仍然成立,于是有i1=i,i2=﹣1,i3=i2•i=(﹣1)•i=﹣i,i4=(i2)2=(﹣1)2=1,从而对任意正整数n,我们可以得到i4n+1=i4n•i=(i4)n•i,同理可得i4n+2=﹣1,i4n+3=﹣i,i4n=1,那么i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019的值为()A.0B.﹣1C.i D.1【分析】利用积的乘方得到原式=(i+i2+i3+i4)+…+i2012(i+i2+i3+i4)+…+i4×504+1+i4×504+2+i4×504+3,然后利用利用i4n+1=i4n•i=(i4)n•i,i4n+2=﹣1,i4n+3=﹣i,i4n=1进行计算.【解答】解:i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019=(i+i2+i3+i4)+…+i2012(i+i2+i3+i4)+…+i4×504+1+i4×504+2+i4×504+3=(i﹣1﹣i+1)+…+i2012(i﹣1+i+1)+i﹣1﹣i=﹣1.故选:B.【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法:形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.也考查了阅读理解能力.二.填空题(共8小题)11.若m2+n2﹣2m+4n+5=0.则m﹣n=3.【分析】根据完全平方公式把原式变形,根据偶次方的非负性分别求出m、n,计算即可.【解答】解:m2+n2﹣2m+4n+5=0m2﹣2m+1+n2+4n+4=0(m﹣1)2+(n+2)2=0,则m﹣1=0,n+2=0,解得,m=1,n=﹣2,则m﹣n=3,故答案为:3.【点评】本题考查的是配方法的应用,掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键.12.已知m是负整数,关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4=0的两根是x1,x2,若x1+x2>x1x2,则m的值等于﹣1.【分析】根据根与系数的关系即可得到结论.【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4=0的两根是x1,x2,∴x1+x2=2m,x1x2=﹣4,∴﹣4<2m<0,∵m是负整数,∴m=﹣1,故答案为:﹣1.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了根与系数的关系.13.已知m为整数,且关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣2=0有两个实数根,则整数m的最小值是﹣2.【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0,可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,再取其中的最小整数值即可得出结论.【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣2=0有两个实数根,∴△=(2m+1)2﹣4(m2﹣2)=4m+9≥0,解得:m≥﹣.又∵m为整数,∴m的最小值为﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△≥0时,方程有两个实数根”是解题的关键.14.若关于x的方程|x2﹣x﹣2|=k有四个不相等的实数根,则整数k的值为1或2.【分析】先将原方程化为x2﹣x﹣2﹣k=0或x2﹣x﹣2+k=0,然后利用根的判别式即可求出k的值.【解答】解:∵|x2﹣x﹣2|=k,∴x2﹣x﹣2=k或x2﹣x﹣2=﹣k,∴x2﹣x﹣2﹣k=0或x2﹣x﹣2+k=0,∵关于x的方程|x2﹣x﹣2|=k有四个不相等的实数根,∴当k>0时,关于x的方程x2﹣x﹣2﹣k=0和x2﹣x﹣2+k=0,各有两个不相等的实数根,∴,解得,∴k=﹣2,﹣1,0,1,2,∵k>0,∴k=1,2故答案为1或2【点评】本题考查了一元二次方程,熟练运用根的判别式判断根的情况是解题的关键.15.我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题:“直田积(矩形面积),八百六十四(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步),问阔及长各几步.”如果设矩形田地的长为x步,那么根据题意列出的方程为x(x﹣12)=864.【分析】如果设矩形田地的长为x步,那么宽就应该是(x﹣12)步,根据面积为864,即可得出方程.【解答】解:设矩形田地的长为x步,那么宽就应该是(x﹣12)步.根据矩形面积=长×宽,得:x(x﹣12)=864.故答案为:x(x﹣12)=864.【点评】本题为面积问题,掌握好面积公式即可进行正确解答;矩形面积=矩形的长×矩形的宽.16.如图,有长为24m的篱笆,现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱色的长方形花圃,要围成面积为45m2的花圃,AB的长是5m.【分析】根据AB为xm,BC就为(24﹣3x),利用长方体的面积公式可以列出方程,可求出x即AB的长.【解答】解:根据题意,得S=x(24﹣3x),根据题意,设AB长为x,则BC长为24﹣3x∴x(24﹣3x)=45即:﹣3x2+24x=45.整理,得x2﹣8x+15=0,解得x=3或5,当x=3时,BC=24﹣9=15>10不成立,当x=5时,BC=24﹣15=9<10成立,∴AB长为5m,故答案为:5m.【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆.17.若a是方程x2﹣5x+1=0的一个根,则a2+的值是23.【分析】把x=a代入方程,得到a2+1=5a,则将其代入整理后的代数式进行求值即可.【解答】解:把x=a代入方程x2﹣5x+1=0,得a2﹣5a+1=0,所以a2+1=5a,则a2+=(a+)2﹣2=()2﹣2=25﹣2=23.故答案是:23.【点评】此题主要考查了方程解的定义,所谓方程的解,即能够使方程左右两边相等的未知数的值.18.已知m,n是方程x2﹣2017x+2018=0的两根,则(n2﹣2018n+2 019)(m2﹣2018m+2019)=2.【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出m2﹣2017m=﹣2018、n2﹣2017n=﹣2018、m+n=2017、mn=2018,将其代入原式即可求出结论.【解答】解:∵m、n是方程x2﹣2 017x+2 018=0的两根,∴m2﹣2017m=﹣2018,n2﹣2017n=﹣2018,m+n=2017,mn=2018,∴原式=(﹣n+1)(﹣m+1)=mn﹣(m+n)+1=2018﹣2017+1=2.故答案为:2.【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系,根据一元二次方程的解和根与系数的关系找出m2﹣2017m=﹣2018、n2﹣2017n=﹣2018、m+n=2017、mn=2018是解题的关键.三.解答题(共11小题)19.已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.【分析】根据方程的系数结合根的判别式△>0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出实数m的取值范围.【解答】解:∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根,∴△=(﹣2)2﹣4×1×m=4﹣4m>0,解得:m<1.【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键.20.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1,x2满足x1x2+x1+x2>0,求a 的取值范围.【分析】由方程根的个数,利用根的判别式可得到关于a的不等式,可求得a的取值范围,再由根与系数的关系可用a表示出x1x2和x1+x2的值,代入已知条件可得到关于a 的不等式,则可求得a的取值范围.【解答】解:∵该一元二次方程有两个实数根,∴△=(﹣2)2﹣4×1×a=4﹣4a≥0,解得:a≤1,由韦达定理可得x1x2=a,x1+x2=2,∵x1x2+x1+x2>0,∴a+2>0,解得:a>﹣2,∴﹣2<a≤1.【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系,掌握根的个数与根的判别式的关系及一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键.21.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣2=0.(1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1﹣x2)2+m2=21,求m的值.【分析】(1)利用判别式的意义得到△=(2m+1)2﹣4(m2﹣2)≥0,然后解不等式得到m的范围,再在此范围内找出最小整数值即可;(2)利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣(2m+1),x1x2=m2﹣2,再利用(x1﹣x2)2+m2=21得到(2m+1)2﹣4(m2﹣2)+m2=21,接着解关于m的方程,然后利用(1)中m的范围确定m的值.【解答】解:(1)根据题意得△=(2m+1)2﹣4(m2﹣2)≥0,解得m≥﹣,所以m的最小整数值为﹣2;(2)根据题意得x1+x2=﹣(2m+1),x1x2=m2﹣2,∵(x1﹣x2)2+m2=21,∴(x1+x2)2﹣4x1x2+m2=21,∴(2m+1)2﹣4(m2﹣2)+m2=21,整理得m2+4m﹣12=0,解得m1=2,m2=﹣6,∵m≥﹣,∴m的值为2.【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=.也考查了根的判别式.22.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)若+=﹣1,求k的值.【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△>0,即可得出关于k的一元一次不等式,解之即可得出k的取值范围;(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2k﹣3、x1x2=k2,结合+=﹣1即可得出关于k的分式方程,解之经检验即可得出结论.【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根,∴△=(2k+3)2﹣4k2>0,解得:k>﹣.(2)∵x1、x2是方程x2+(2k+3)x+k2=0的实数根,∴x1+x2=﹣2k﹣3,x1x2=k2,∴+===﹣1,解得:k1=3,k2=﹣1,经检验,k1=3,k2=﹣1都是原分式方程的根.又∵k>﹣,∴k=3.【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:(1)牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”;(2)根据根与系数的关系结合+=﹣1找出关于k的分式方程.23.已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=p(p+1).(1)试证明:无论p取何值此方程总有两个实数根;(2)若原方程的两根x1,x2,满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1,求p的值.【分析】(1)将原方程变形为一般式,根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=(2p+1)2≥0,由此即可证出:无论p取何值此方程总有两个实数根;(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6﹣p2﹣p,结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1,即可求出p值.【解答】解:(1)证明:原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p=0.∵△=(﹣5)2﹣4(6﹣p2﹣p)=25﹣24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)2≥0,∴无论p取何值此方程总有两个实数根;(2)∵原方程的两根为x1、x2,∴x1+x2=5,x1x2=6﹣p2﹣p.又∵x12+x22﹣x1x2=3p2+1,∴(x1+x2)2﹣3x1x2=3p2+1,∴52﹣3(6﹣p2﹣p)=3p2+1,∴25﹣18+3p2+3p=3p2+1,∴3p=﹣6,∴p=﹣2.【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:(1)牢记“当△≥0时,方程有两个实数根”;(2)根据根与系数的关系结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1,求出p值.24.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+k﹣1=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)若此方程的两实数根x1,x2满足x12+x22=11,求k的值.【分析】(1)根据方程有实数根得出△=[﹣(2k﹣1)]2﹣4×1×(k2+k﹣1)=﹣8k+5≥0,解之可得.(2)利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值,根据条件可得到关于k的方程,可求得k的值,注意利用根的判别式进行取舍.【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+k﹣1=0有实数根,∴△≥0,即[﹣(2k﹣1)]2﹣4×1×(k2+k﹣1)=﹣8k+5≥0,解得k≤.(2)由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1,x1x2=k2+k﹣1,∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=(2k﹣1)2﹣2(k2+k﹣1)=2k2﹣6k+3,∵x12+x22=11,∴2k2﹣6k+3=11,解得k=4,或k=﹣1,∵k≤,∴k=4(舍去),∴k=﹣1.【点评】此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.25.南、北两个园林场去年共有员工500人,其中南园林场员工数比北园林场员工数的2倍少100人.(1)求去年南、北两个园林场的员工数;(2)经核算,去年南园林场年产值比北园林场年产值少m%.北园林场人均产值比南园林场人均产值多4m%,且两个园林场人均产值不低于北园林场人均产值的.求m的值.【分析】(1)设北园林场员工x人,则南园林场场员工(2x﹣10)人.根据总人数的500人列出方程.(2)设北园林场年产值y元(万元均可),根据题意列出方程=(1+4m%)和不等式≥×,通过计算求得m的值.【解答】解:(1)设北园林场员工x人,则南园林场场员工(2x﹣10)人∴x+2x﹣10=500.∴x=200(北场)∴南场300人;答:北园林场员工200人,则南园林场场员工300人.(2)设北场年产值y元(万元均可),∴=(1+4m%),解得:m=25或m=50.又∵≥×验证后,m=25成立;m=50不成立.∴m=25.【点评】考查了一元二次方程和二元一次方程组的应用,解题的关键是读懂题意,找到数量关系,列出方程或不等式.26.先阅读下面的内容,再解决问题.例题:若m2+2n2+2mn﹣6n+9=0,求m和n的值.解:∵m2+2n2+2mn﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴(m+n)2+(n﹣3)2=0∴m+n=0且n﹣3=0∴m=﹣3,n=3问题(1)若x2+3y2﹣2xy+4y+2=0.求x和y的值.(2)代数式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值为﹣6.(3)若x﹣y=6,xy+z2﹣4z+13=0.则x=3,y=﹣3,z=2.【分析】(1)、(2)、(3)把原式利用完全平方公式化为平方和的形式,根据偶次方的非负性计算即可.【解答】解:(1)x2+3y2﹣2xy+4y+2=0x2﹣2xy+y2+2y2+4y+2=0(x﹣y)2+2(y+1)2=0x﹣y=0,y+1=0,解得,x=﹣1,y=﹣1;(2)x2+2x+y2﹣4y﹣1=x2+2x+1+y2﹣4y+4﹣6=(x+1)2+(y﹣2)2﹣6,则代数式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值为﹣6,故答案为:﹣6;(3)∵x﹣y=6,∴x=y+6,则(y+6)y+z2﹣4z+13=0y2+6y+9+z2﹣4z+4=0(y+3)2+(z﹣2)2=0,∴y+3=0,z﹣2=0,解得,y=﹣3,z=2,∴x=y+6=3,故答案为:3;﹣3;2.【点评】本题考查的是配方法,掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键.27.如图,某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边,其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子.设园子中平行于墙面的篱笆长为ym(其中y≥4),另两边的篱笆长分别为xm.(1)求y关于x的函数表达式,并求x的取值范围.(2)若仅用现有的11m长的篱笆,且恰好用完,请你帮助设计围制方案.【分析】(1)由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式,结合4≤y≤8可求出x 的取值范围;(2)由篱笆的长可得出y=(11﹣2x)m,利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.【解答】解:(1)∵矩形的面积为12m2,∴y=.∵4≤y≤8,∴1.5≤x≤3.(2)∵篱笆长11m,∴y=(11﹣2x)m.依题意,得:xy=12,即x(11﹣2x)=12,解得:x1=1.5,x2=4(舍去),∴y=11﹣2x=8.答:矩形园子的长为8m,宽为1.5m.【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用,解题的关键是:(1)利用矩形的面积公式,找出y关于x的函数表达式;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.28.春临大地,学校决定给长12米,宽9米的一块长方形展示区进行种植改造现将其划分成如图两个区域:区域Ⅰ矩形ABCD部分和区域Ⅱ四周环形部分,其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种花卉种植,且EF平分BD,G,H分别为AB,CD中点.(1)若区域Ⅰ的面积为Sm2,种植均价为180元/m2,区域Ⅱ的草坪均价为40元/m2,且两区域的总价为16500元,求S的值.(2)若AB:BC=4:5,区域Ⅱ左右两侧草坪环宽相等,均为上、下草坪环宽的2倍①求AB,BC的长;②若甲、丙单价和为360元/m2,乙、丙单价比为13:12,三种花卉单价均为20的整数倍.当矩形ABCD中花卉的种植总价为14520元时,求种植乙花卉的总价.【分析】(1)根据题意可得300S+(48﹣S)200≤12000,解不等式即可;(2)①设区域Ⅱ四周宽度为a,则由题意(9﹣2a):(12﹣4a)=4:5,解得a=,由此即可解决问题;②设乙、丙瓷砖单价分别为13x元/m2和12x元/m2,则甲的单价为(360﹣12x)元/m2,由GH∥AD,可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半,设乙的面积为s,则丙的面积为(40﹣s),由题意40(360﹣12x)+13x•s+12x•(40﹣s)=14520,解方程求得s=,结合s的实际意义解答.【解答】解:(1)由题意180S+(108﹣S)×40=16500,解得S=87.∴S的值为87;(2)①设区域Ⅱ上、下草坪环宽度为a,则左右两侧草坪环宽度为2a,由题意(9﹣2a):(12﹣4a)=4:5,解得a=,∴AB=9﹣2a=8,CB=12﹣4a=10;②设乙、丙瓷砖单价分别为13x元/m2和12x元/m2,则甲的单价为(360﹣12x)元/m2,∵GH∥AD,∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=40,设乙的面积为s,则丙的面积为(40﹣s),由题意40(360﹣12x)+13x•s+12x•(40﹣s)=14520,解得s=,∵0<s<40,∴0<<40,又∵360﹣12x>0,综上所述,3<x<30,39<13x<390,∵三种花卉单价均为20的整数倍,∴乙花卉的总价为:∴丙瓷砖单价3x的范围为150<3x<300元/m2.【点评】本题考查一元二次方程的应用、矩形的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会构建方程或不等式解决实际问题,属于中考常考题型.29.已知关于x的方程x2﹣2(k+1)x+k2+2k﹣1=0…①(1)求证:对于任意实数k,方程①总有两个不相等的实数根;(2)如果a是关于y的方程y2﹣(x1+x2﹣2k)y+(x1﹣k)(x2﹣k)=0…②的根,其中x1,x2是方程①的两个实数根,求代数式(﹣1)÷•的值.【分析】(1)求出判别式△的值,即可得出答案;(2)根据根与系数的关系得出x1+x2=2(k+1),x1•x2=k2+2k﹣1,求出x1+x2﹣2k=2,(x1﹣k)(x2﹣k)=﹣1,求出方程②,求出a2﹣2a﹣1=0,即可得出答案.【解答】(1)证明:△=[﹣2(k+1)]2﹣4×1×(k2+2k﹣1)=8>0,所以对于任意实数k,方程①总有两个不相等的实数根;(2)解:∵x1,x2是方程①的两个实数根,∴x1+x2=2(k+1),x1•x2=k2+2k﹣1,∴x1+x2﹣2k=2(k+1)﹣2k=2,(x1﹣k)(x2﹣k)=x1•x2﹣(x1+x2)k+k2=k2+2k﹣1﹣(2k+2)k+k2=﹣1,方程②为y2﹣2y﹣1=0,∵a是关于y的方程y2﹣(x1+x2﹣2k)y+(x1﹣k)(x2﹣k)=0…②的根,∴a2﹣2a﹣1=0,∴a2﹣1=2a,∴(﹣1)÷•=••=﹣=﹣=【点评】本题考查了根与系数的关系,根的判别式的应用,能熟记知识点是解此题的关键,注意:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=.。
八年级初二数学下学期勾股定理单元测试提优卷试卷
八年级初二数学下学期勾股定理单元测试提优卷试卷一、选择题1.如图,ABC 是等边三角形,点D .E 分别为边BC .AC 上的点,且CD AE =,点F 是BE 和AD 的交点,BG AD ⊥,垂足为点G ,已知75∠=︒BEC ,1FG =,则2AB 为( )A .4B .5C .6D .72.如图:在△ABC 中,∠B=45°,D 是AB 边上一点,连接CD ,过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ,交BC 于点F .已知AC=CD ,CG=3,DG=1,则下列结论正确的是( )①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF=- ④ AC=AF A .①②③ B .①②③④ C .②③④ D .①③④3.已知,如图,ABC ,点,P Q 分别是BAC ∠的角平分线AD ,边AB 上的两个动点,45C ︒∠=,6BC =,则PB PQ +的最小值是( )A .3B .3C .4D .324.如图,已知45∠=MON ,点A B 、在边ON 上,3OA =,点C 是边OM 上一个动点,若ABC ∆周长的最小值是6,则AB 的长是( )A .12B .34C .56D .15.如图,□ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点E ,∠AEB=45°,BD=2,将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内,若点B 的落点记为B′,则DB′的长为( )A .1B .2C .32D .36.如图,已知直线a ∥b ,且a 与b 之间的距离为4,点A 到直线a 的距离为2,点B 到直线b 的距离为3,AB 230=.试在直线a 上找一点M ,在直线b 上找一点N ,满足MN ⊥a 且AM +MN +NB 的长度和最短,则此时AM +NB =( )A .6B .8C .10D .12 7.以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是( ) A .a =3,b=4,c=6B .a =1,2,3C .a =5,b=6,c=8D .a 3b=2,58.已知,,a b c 是ABC ∆的三边,且满足222()()0a b a b c ---=,则ABC ∆是( )A .直角三角形B .等边三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形9.下列命题中,是假命题的是( )A .在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC 是直角三角形B .在△ABC 中,若a 2=(b +c) (b -c),则△ABC 是直角三角形C .在△ABC 中,若∠B=∠C=∠A,则△ABC 是直角三角形D .在△ABC 中,若a :b :c =5:4:3,则△ABC 是直角三角形10.下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中,不能构成直角三角形的是( ) A .9,41,40a b c ===B .5,5,52a b c ===C .::3:4:5a b c =D .11,12,13a b c === 二、填空题11.如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,4AC =,2BC =,以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ,则CD 的长可以是__________.12.在Rt ABC 中,90,30,2C A BC ∠=∠==,以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形,它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上,则这个等腰三角形的腰长为_________.13.Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =2,以 AC 为一边.在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ,则线段 BD 的长为_____.14.如图,正方体的底面边长分别为2cm 和3cm ,高为5cm .若一只蚂蚁从P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q 点,则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm .15.一块直角三角形绿地,两直角边长分别为3m ,4m ,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充时只能延长长为3m 的直角边,则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2.16.如图,在矩形ABCD 中,AD >AB ,将矩形ABCD 折叠,使点C 与点A 重合,折痕为MN ,连接CN .若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1:3,则22MN BM 的值为______________.17.四边形ABCD 中AB =8,BC =6,∠B =90°,AD =CD =52,四边形ABCD 的面积是_______.18.如图,把平面内一条数轴x 绕点O 逆时针旋转角θ(0°<θ<90°)得到另一条数轴y ,x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.规定:已知点P 是平面斜坐标系中任意一点,过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点A ,过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点B ,若点A 在x 轴上对应的实数为a ,点B 在y 轴上对应的实数为b ,则称有序实数对(a ,b )为点P 的斜坐标.在平面斜坐标系中,若θ=45°,点P 的斜坐标为(1,22),点G 的斜坐标为(7,﹣22),连接PG ,则线段PG 的长度是_____.19.如图,由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,已知25AB = ,24AC = 其中阴影部分面积是_____________平方单位.20.在Rt ABC 中,90A ∠=︒,其中一个锐角为60︒,23BC =P 在直线AC 上(不与A ,C 两点重合),当30ABP ∠=︒时,CP 的长为__________.三、解答题21.(1)计算:1312248233⎛÷ ⎝ (2)已知a 、b 、c 满足2|2332(30)0a b c -+-=.判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形?若能构成三角形,说明此三角形是什么形状?并求出三角形的面积;若不能,请说明理由.22.如图,已知ABC ∆中,90B ∠=︒,8AB cm =,6BC cm =,P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点,其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动,且速度为每秒1cm ,点Q 从点B 开始沿B C →方向运动,且速度为每秒2cm ,它们同时出发,设出发的时间为t 秒.(1)当2t =秒时,求PQ 的长;(2)求出发时间为几秒时,PQB ∆是等腰三角形?(3)若Q 沿B C A →→方向运动,则当点Q 在边CA 上运动时,求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间.23.如图,△ABC 中AC =BC ,点D ,E 在AB 边上,连接CD ,CE .(1)如图1,如果∠ACB =90°,把线段CD 逆时针旋转90°,得到线段CF ,连接BF , ①求证:△ACD ≌△BCF ;②若∠DCE =45°, 求证:DE 2=AD 2+BE 2;(2)如图2,如果∠ACB =60°,∠DCE =30°,用等式表示AD ,DE ,BE 三条线段的数量关系,说明理由.24.我们规定,三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如图1,在ABC ∆中,AO 是BC 边上的中线,AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值,可记为22AB AC OA BO ∇=-(1)在ABC ∆中,若90ACB ∠=︒,81AB AC ∇=,求AC 的值.(2)如图2,在ABC ∆中,12AB AC ==,120BAC ∠=︒,求AB AC ∇,BA BC ∇的值.(3)如图3,在ABC ∆中,AO 是BC 边上的中线,24ABC S ∆=,8AC =,64AB AC ∇=-,求BC 和AB 的长.25.如图,ABC ∆是等边三角形,,D E 为AC 上两点,且AE CD =,延长BC 至点F ,使CF CD =,连接BD .(1)如图1,当,D E 两点重合时,求证:BD DF =;(2)延长BD 与EF 交于点G .①如图2,求证:60BGE ∠=︒;②如图3,连接,BE CG ,若30,4EBD BG ∠=︒=,则BCG ∆的面积为______________.26.如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍,则称这个三角形是“优三角形”,这两条边的比称为“优比”(若这两边不等,则优比为较大边与较小边的比),记为k . (1)命题:“等边三角形为优三角形,其优比为1”,是真命题还是假命题?(2)已知ABC 为优三角形,AB c =,AC b =,BC a =,①如图1,若90ACB ∠=︒,b a ≥,6b =,求a 的值.②如图2,若c b a ≥≥,求优比k 的取值范围.(3)已知ABC 是优三角形,且120ABC ∠=︒,4BC =,求ABC 的面积.27.已知ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC BC =,过顶点A 作射线AP .(1)当射线AP 在BAC ∠外部时,如图①,点D 在射线AP 上,连结CD 、BD ,已知21AD n =-,21AB n =+,2BD n =(1n >).①试证明ABD ∆是直角三角形;②求线段CD 的长.(用含n 的代数式表示)(2)当射线AP 在BAC ∠内部时,如图②,过点B 作BD AP ⊥于点D ,连结CD ,请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系,并说明理由.28.定义:在△ABC 中,若BC =a ,AC =b ,AB =c ,若a ,b ,c 满足ac +a 2=b 2,则称这个三角形为“类勾股三角形”,请根据以上定义解决下列问题:(1)命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题(填“真”或“假”);(2)如图1,若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”,其中AB =BC ,AC >AB ,请求∠A 的度数;(3)如图2,在△ABC 中,∠B =2∠A ,且∠C >∠A .①当∠A =32°时,你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗?若能,请在图2中画出分割线,并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数;若不能,请说明理由; ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”.29.如图1,在平面直角坐标系中,直线AB 经过点C (a ,a ),且交x 轴于点A (m ,0),交y 轴于点B (0,n ),且m ,n 6m -n ﹣12)2=0.(1)求直线AB 的解析式及C 点坐标;(2)过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ,请在图1中画出图形,并求D 点的坐标;(3)如图2,点E (0,﹣2),点P 为射线AB 上一点,且∠CEP =45°,求点P 的坐标.30.如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点,连结DE,过点D作DF⊥DE交边BC于点F(点F与点B、C不重合),延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:△ADG≌△BDF;(2)请你连结EG,并求证:EF=EG;(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(4)求线段EF长度的最小值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【分析】结合等边三角形得性质易证△ABE≌△CAD,可得∠FBG=30°,BF=2FG=2,再求解∠ABE =15°,进而两次利用勾股定理可求解.【详解】∵△ABC为等边三角形∴∠BAE=∠C=60°,AB=AC,CD=AE∴△ABE≌△CAD(SAS)∴∠ABE=∠CAD∴∠BFD =∠ABE+∠BAD =∠CAD+∠BAF =∠BAC =60°,∵BG ⊥AD ,∴∠BGF =90°,∴∠FBG =30°,∵FG =1,∴BF =2FG =2,∵∠BEC =75°,∠BAE =60°,∴∠ABE =∠BEC ﹣∠BAE =15°,∴∠ABG =45°,∵BG ⊥AD ,∴∠AGB =90°,∴AG=BG=222221BF FG -=-=3,AB 2=AG 2+BG 2=(3)2+(3)2=6.故选C .【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理,证明△ABG 为等腰直角三角形是解题关键.2.B解析:B【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ,根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠,根据AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠,可以证得①是正确的,利用勾股定理求出AG 的长,算出三角形ACD 的面积证明②是正确的,再根据角度之间的关系证明AFC ACF ∠=∠,得到④是正确的,最后利用勾股定理求出CF 的长,得到③是正确的.【详解】解:如图,过点C 作CH AB ⊥于点H ,∵AC CD =,∴CAD CDA ∠=∠,1802ACD CDA ∠=︒-∠,∵AF CD ⊥,∴90AGD ∠=︒,∴90FAB CDA ∠=︒-∠,∴2ACD FAB ∠=∠,故①正确;∵3CG =,1DG =,∴314CD CG DG =+=+=,∴4AC CD ==,在Rt ACG 中,AG ==,∴12ACD S AG CD =⋅= ∵90CHB ∠=︒,45B ∠=︒,∴45HCB ∠=︒,∵AC CD =,CH AD ⊥, ∴12ACH HCD ACD ∠=∠=∠, ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠,45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒,12ACH ACD FAB ∠=∠=∠, ∴AFC ACF ∠=∠,∴4AC AF ==,故④正确;∴4GF AF AG =-=-在Rt CGF 中,2CF ===,故③正确.故选:B .【点睛】本题考查几何的综合证明,解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定,勾股定理和三角形的外角和定理. 3.D解析:D【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD 是线段QE 垂直平分线,再根据垂直平分线的性质、两点之间线段最短得出PB PQ +最小值为BE ,最后根据垂线段最短、直角三角形的性质得出BE 的最小值即可得.【详解】如图,作QE AD ⊥,交AC 于点E ,∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD=∠CAD ,AD ∴是线段QE 垂直平分线(等腰三角形的三线合一)PQ PE ∴=PB PQ PB PE ∴+=+由两点之间线段最短得:当点,,B P E 共线时,PB PE +最小,最小值为BE 点,P Q 都是动点BE ∴随点,P Q 的运动而变化由垂线段最短得:当BE AC ⊥时,BE 取得最小值在Rt BCE ∆中,456,C C B ∠=︒= 2322BE CE BC ∴=== 即PB PQ +的最小值为32故选:D .【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点,利用两点之间线段最短和垂线段最短确认PB PQ +的最小值是解题关键.4.D解析:D【分析】作点A 关于OM 的对称点E ,AE 交OM 于点D ,连接BE 、OE ,BE 交OM 于点C ,此时△ABC 周长最小,根据题意及作图可得出△OAD 是等腰直角三角形,OA=OE=3,,所以∠OAE=∠OEA=45°,从而证明△BOE 是直角三角形,然后设AB=x ,则OB=3+x ,根据周长最小值可表示出BE=6-x ,最后在Rt △OBE 中,利用勾股定理建立方程求解即可.【详解】解:作点A 关于OM 的对称点E ,AE 交OM 于点D ,连接BE 、OE ,BE 交OM 于点C , 此时△ABC 周长最小,最小值=AB+AC+BC=AB+EC+BC=AB+BE ,∵△ABC 周长的最小值是6,∴AB+BE=6,∵∠MON=45°,AD ⊥OM ,∴△OAD 是等腰直角三角形,∠OAD=45°,由作图可知OM 垂直平分AE ,∴OA=OE=3,∴∠OAE=∠OEA=45°,∴∠AOE=90°,∴△BOE 是直角三角形,设AB=x ,则OB=3+x ,BE=6-x ,在Rt △OBE 中,()()2223+3+6x x =-,解得:x=1,∴AB=1.故选D.【点睛】本题考查了利用轴对称求最值,等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理,熟练掌握作图技巧,正确利用勾股定理建立出方程是解题的关键.5.B解析:B【解析】【分析】如图,连接BB′.根据折叠的性质知△BB′E 是等腰直角三角形,则BB′=2BE .又B ′E 是BD 的中垂线,则DB′=BB′.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形,BD=2,∴BE=12BD=1. 如图2,连接BB′.根据折叠的性质知,∠AEB=∠AEB′=45°,BE=B′E .∴∠BEB′=90°,∴△BB′E 是等腰直角三角形,则BB′=2BE=2,又∵BE=DE ,B′E ⊥BD ,∴DB′=BB′=2.故选B .【点睛】考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.6.B解析:B【解析】【分析】MN 表示直线a 与直线b 之间的距离,是定值,只要满足AM +NB 的值最小即可.过A 作直线a 的垂线,并在此垂线上取点A ′,使得AA ′=MN ,连接A 'B ,则A 'B 与直线b 的交点即为N ,过N 作MN ⊥a 于点M .则A 'B 为所求,利用勾股定理可求得其值.【详解】过A 作直线a 的垂线,并在此垂线上取点A ′,使得AA ′=4,连接A ′B ,与直线b 交于点N ,过N 作直线a 的垂线,交直线a 于点M ,连接AM ,过点B 作BE ⊥AA ′,交射线AA ′于点E ,如图,∵AA ′⊥a ,MN ⊥a ,∴AA ′∥MN .又∵AA ′=MN =4,∴四边形AA ′NM 是平行四边形,∴AM =A ′N .由于AM +MN +NB 要最小,且MN 固定为4,所以AM +NB 最小.由两点之间线段最短,可知AM +NB 的最小值为A ′B .∵AE =2+3+4=9,AB 230=,∴BE 2239AB AE =-=. ∵A ′E =AE ﹣AA ′=9﹣4=5,∴A ′B 22'A E BE =+=8.所以AM +NB 的最小值为8. 故选B .【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离,解答本题的关键是找到点M 、点N 的位置,难度较大,注意掌握两点之间线段最短.7.B解析:B【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可.【详解】A 、222346+≠,C 、222568+≠,D 、222325+≠,故错误;B 、()()2221233+==,能构成直角三角形,本选项正确. 故选B .【点睛】本题考查了勾股定理的知识点,解题的关键是熟练的掌握勾股定理的定理与运算.8.D解析:D【分析】由(a-b )(a 2-b 2-c 2)=0,可得:a-b=0,或a 2-b 2-c 2=0,进而可得a=b 或a 2=b 2+c 2,进而判断△ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形.【详解】解:∵(a-b )(a 2-b 2-c 2)=0,∴a-b=0,或a 2-b 2-c 2=0,即a=b 或a 2=b 2+c 2,∴△ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形.故选:D .【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定,解题时注意:有两边相等的三角形是等腰三角形,满足a 2+b 2=c 2的三角形是直角三角形.9.C解析:C【分析】一个三角形中有一个直角,或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形,否则则不是,据此依次分析各项即可.【详解】A. △ABC 中,若∠B=∠C -∠A ,则∠C =∠A+∠B ,则△ABC 是直角三角形,本选项正确;B. △ABC 中,若a 2=(b+c)(b -c),则a 2=b 2-c 2,b 2= a 2+c 2,则△ABC 是直角三角形,本选项正确;C. △ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5,则∠,故本选项错误; D. △ABC 中,若a ∶b ∶c=5∶4∶3,则△ABC 是直角三角形,本选项正确;故选C.【点睛】本题考查的是直角三角形的判定,利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤:①确定三角形的最长边;②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和;③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等.若相等,则此三角形是直角三角形;否则,就不是直角三角形. 10.D解析:D【分析】根据直角三角形的判定,符合a 2+b 2=c 2即可;反之不符合的不能构成直角三角形.【详解】解:A 、因为92+402=412,故能构成直角三角形;B 、因为52+52=()252,故能构成直角三角形;C 、因为()()()222345x x x +=,故能构成直角三角形;D 、因为112+122≠152,故不能构成直角三角形;故选:D .【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理,当三角形中三边满足222a b c +=关系时,则三角形为直角三角形.二、填空题11.210或213或32【分析】在ABC 中计算AB ,情况一:作AE CE ⊥于E ,计算AE ,DE ,CE ,可得CD ;情况二:作BE CE ⊥于E ,计算BE ,CE ,DE ,可得CD ;情况三:作DE CE ''⊥,计算,,DF DE CE '',可得CD .【详解】∵90ACB ︒∠=,4,2AC BC ==,∴25AB =,情况一:当25AD AB ==时,作AE CE ⊥于E∴ 1122BC AC AB AE ⋅=⋅,即45AE =,145DE = ∴22855CE AC AE =-= ∴22213CD CE DE =+=情况二:当25BD AB ==时,作BE CE ⊥于E ,∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅,即455BE =,1455DE = ∴22255CE BC BE =-= ∴22210CD CE DE =+=情况三:当AD BD =时,作DE CE ''⊥,作BE CE ⊥于E∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅, ∴455BE =35CE ∴= ∵ABD △为等腰直角三角形∴152BF DF AB === ∴955DE DF E F DF BE ''=+=+= 2535555CE EE CE BF CE ''=-=-=-= ∴2232CD CE E D ''=+=故答案为:210或213或32【点睛】本题考查了等腰直角三角形的探索,勾股定理的计算等,熟知以上知识是解题的关键.12.23或2【分析】先求出AC 的长,再分两种情况:当AC 为腰时及AC 为底时,分别求出腰长即可.【详解】在Rt ABC 中,90,30,2C A BC ∠=∠==,∴AB=2BC=4,∴22224223AC AB BC =-=-=,当AC 为腰时,则该三角形的腰长为23;当AC 为底时,作AC 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E ,如图,此时△ACD 是等腰三角形,则AE=3,设DE=x ,则AD=2x ,∵222AE DE AD +=,∴222(3)(2)x x +=∴x=1(负值舍去),∴腰长AD=2x=2,故答案为:32【点睛】此题考查勾股定理的运用,结合线段的垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,解题时注意:“AC 为一边的等腰三角形”没有明确AC 是等腰三角形的腰或底,故应分为两种情况解题,这是此题的易错之处.13.4或2510【分析】分三种情况讨论:①以A 为直角顶点,向外作等腰直角三角形DAC ;②以C 为直角顶点,向外作等腰直角三角形ACD ;③以AC 为斜边,向外作等腰直角三角形ADC .分别画图,并求出BD .【详解】①以A 为直角顶点,向外作等腰直角三角形DAC ,如图1.∵∠DAC =90°,且AD =AC ,∴BD =BA +AD =2+2=4;②以C为直角顶点,向外作等腰直角三角形ACD,如图2.连接BD,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于E.∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACD=90°,∴∠DCE=45°.又∵DE⊥CE,∴∠DEC=90°,∴∠CDE=45°,∴CE=DE=2222⨯=.在Rt△BAC中,BC2222=+=22,∴BD22222222BE DE()()=+=++= 25;③以AC为斜边,向外作等腰直角三角形ADC,如图3.∵∠ADC=90°,AD=DC,且AC=2,∴AD=DC=AC sin45°=2222⨯=.又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形,∴∠ACB=∠ACD=45°,∴∠BCD=90°.又∵在Rt△ABC中,BC2222=+=22,∴BD222222210BC CD=+=+=()().故BD的长等于4或510.故答案为4或510.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识.解题的关键是分情况考虑问题,14.5【解析】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体展开,然后利用两点之间线段最短解答.【详解】展开图如图所示:由题意,在Rt △APQ 中,PD=10cm ,DQ=5cm ,∴蚂蚁爬行的最短路径长=PQ=2222105PD QD +=+=55(cm ),故答案为:55.【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后,再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间,线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.15.8或10或12或253【详解】解:①如图1:当BC=CD=3m 时,AB=AD=5m ,AC ⊥BD ,此时等腰三角形绿地的面积:12×6×4=12(m 2); ②如图2:当AC=CD=4m 时,AC ⊥CB ,此时等腰三角形绿地的面积:12×4×4=8(m 2); ③如图3:当AD=BD时,设AD=BD=xm,在Rt△ACD中,CD=(x-3)m,AC=4m,由勾股定理,得AD2=DC2+CA2,即(x-3)2+42=x2,解得x=256,此时等腰三角形绿地的面积:12BD·AC=12×256×4=253(m2);④如图4,延长BC到D,使BD=AB=5m,故CD=2m,此时等腰三角形绿地的面积:12BD·AC=12×5×4=10(m2);综上所述,扩充后等腰三角形绿地的面积为8m2或12m2或10m2或253m2.点睛:此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用,解决问题的关键是根据题意正确画出图形.16.12【解析】如图,过点N作NG⊥BC于点G,连接CN,根据轴对称的性质有:MA=MC,NA=NC,∠AMN=∠CMN.因为四边形ABCD 是矩形,所以AD ∥BC ,所以∠ANM=∠CMN.所以∠AMN=∠ANM,所以AM=AN.所以AM=AN=CM=CN.因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1:3,所以DN:CM=1:3.设DN=x ,则CG=x ,AM=AN=CM=CN=3x ,由勾股定理可得NG=()22322x x x -=, 所以MN 2=()()22222312x x x x +-=,BM 2=()()222322x x x -=.所以222212MN x BM x==12. 枚本题应填12.点睛:矩形中的折叠问题,其本质是轴对称问题,根据轴对称的性质,找到对应的线段和角,也就找到了相等的线段和角,矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”),所以常常会结合等腰三角形,勾股定理来列方程求解. 17.49【解析】连接AC ,在Rt △ABC 中,∵AB =8,BC =6,∠B =90°,∴AC =22AB BC + =10. 在△ADC 中,∵AD =CD =52,∴AD 2+CD 2=(52)2+(52)2=100.∵AC 2=102=100,∴AD 2+CD 2=AC 2,∴∠ADC =90°,∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12AB •BC +12AD •DC =12×8×6+12×52×52=24+25=49.点睛:本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理,不规则几何图形的面积,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.18.5【分析】如图,作PA ∥y 轴交X 轴于A ,PH ⊥x 轴于H .GM ∥y 轴交x 轴于M ,连接PG 交x 轴于N ,先证明△ANP ≌△MNG (AAS ),再根据勾股定理求出PN 的值,即可得到线段PG 的长度.【详解】如图,作PA ∥y 轴交X 轴于A ,PH ⊥x 轴于H .GM ∥y 轴交x 轴于M ,连接PG 交x 轴于N .∵P (1,2),G (7.﹣2),∴OA =1,PA =GM =2,OM =7,AM =6,∵PA ∥GM ,∴∠PAN =∠GMN ,∵∠ANP =∠MNG ,∴△ANP ≌△MNG (AAS ),∴AN =MN =3,PN =NG ,∵∠PAH =45°,∴PH =AH =2,∴HN =1, ∴2222215PN PH NH =+=+=∴PG =2PN =5.故答案为5【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题,掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键.19.49【分析】先计算出BC 的长,再由勾股定理求出阴影部分的面积即可.【详解】∵∠ACB=90︒,25AB = ,24AC =,∴22222252449BC AB AC =-=-=,∴阴影部分的面积=249BC =,故答案为:49.【点睛】此题考查勾股定理,能利用根据直角三角形计算得到所需的边长,题中根据勾股定理的图形得到阴影部分面积等于BC 的平方是解题的关键.20.232或4【分析】根据题意画出图形,分4种情况进行讨论,利用含30°角直角三角形与勾股定理解答.【详解】解:如图1:当∠C=60°时,∠ABC=30°,与∠ABP=30°矛盾;如图2:当∠C=60°时,∠ABC=30°,∵∠ABP=30°,∴∠CBP=60°,∴△PBC 是等边三角形, ∴23CP BC ==;如图3:当∠ABC=60°时,∠C=30°,∵∠ABP=30°,∴∠PBC=60°-30°=30°,∴PC=PB ,∵23BC =, ∴222213,(23)(3)32AB BC AC BC AB ===-=-=, 在Rt △APB 中,根据勾股定理222AP AB BP +=, 即222()AC PC AB PC -+=, 即222(3)(3)PC PC -+=,解得2PC =,如图4:当∠ABC=60°时,∠C=30°,∵∠ABP=30°,∴∠PBC=60°+30°=90°,∴12BP PC = 在Rt △BCP 中,根据勾股定理222BP BC PC +=,即2221()(23)2PC PC +=,解得PC=4(已舍去负值).综上所述,CP 的长为232或4.故答案为:32或4.【点睛】本题考查含30°角直角三角形,等边三角形的性质和判定,勾股定理.理解直角三角形30°角所对边是斜边的一半,并能通过勾股定理去求另外一个直角边是解决此题的关键. 三、解答题21.(1)423;(2)以a 、b 、c 为边能构成三角形,此三角形的形状是直角三角形,6【分析】(1)根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可;(2)先根据绝对值,偶次方、算术平方根的非负性求出a 、b 、c 的值,再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形,再求出面积即可.【详解】解:(1)⎛÷ ⎝=÷=÷ =423; (2)以a 、b 、c 为边能构成三角形,此三角形的形状是直角三角形,理由是:∵a 、b 、c 满足2|a (c 0-=,∴a ﹣=0,﹣b =0,c 0,∴a =,b =,c∵,,∴以a 、b 、c 为边能组成三角形,∵a =,b =,c∴a 2+b 2=c 2,∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形,直角边是a 和b ,则此三角形的面积是12⨯. 【点睛】此题考查了计算能力,掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质,绝对值,偶次方、算术平方根的非负性,勾股定理的逆定理是解题的关键.22.(1)2)83;(3)5.5秒或6秒或6.6秒【分析】(1)根据点P 、Q 的运动速度求出AP ,再求出BP 和BQ ,用勾股定理求得PQ 即可; (2)由题意得出BQ BP =,即28t t =-,解方程即可;(3)当点Q 在边CA 上运动时,能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况: ①当CQ BQ =时(图1),则C CBQ ∠=∠,可证明A ABQ ∠=∠,则BQ AQ =,则CQ AQ =,从而求得t ;②当CQ BC =时(图2),则12BC CQ +=,易求得t ;③当BC BQ =时(图3),过B 点作BE AC ⊥于点E ,则求出BE ,CE ,即可得出t .【详解】(1)解:(1)224BQ cm =⨯=,8216BP AB AP cm =-=-⨯=,90B ∠=︒, 222246213()PQ BQ BP cm =+=+=; (2)解:根据题意得:BQ BP =,即28t t =-,解得:83t =; 即出发时间为83秒时,PQB ∆是等腰三角形; (3)解:分三种情况:①当CQ BQ =时,如图1所示:则C CBQ ∠=∠,90ABC ∠=︒, 90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒,90A C ∠+∠=︒,A ABQ ∴∠=∠BQ AQ ∴=,5CQ AQ ∴==,11BC CQ ∴+=,112 5.5t ∴=÷=秒.②当CQ BC =时,如图2所示:则12BC CQ +=1226t ∴=÷=秒.③当BC BQ =时,如图3所示:过B点作BE AC⊥于点E,则684.8()10AB BCBE cmAC⨯===22 3.6CE BC BE cm∴=-=,27.2CQ CE cm∴==,13.2BC CQ cm∴+=,13.22 6.6t∴=÷=秒.由上可知,当t为5.5秒或6秒或6.6秒时,BCQ∆为等腰三角形.【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质;本题有一定难度,注意分类讨论思想的应用.23.(1)①详见解析;②详见解析;(2)DE2=EB2+AD2+EB·AD,证明详见解析【分析】(1)①根据旋转的性质可得CF=CD,∠DCF=90°,再根据已知条件即可证明△ACD≌△BCF;②连接EF,根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°,再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE 即可证明;(2)根据(1)中的思路作出辅助线,通过全等三角形的判定及性质得出相等的边,再由勾股定理得出AD,DE,BE之间的关系.【详解】解:(1)①证明:由旋转可得CF=CD,∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD≌△BCF②证明:连接EF,由①知△ACD≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°,∠BCF=∠ACD,BF=AD∴∠EBF=90°∴EF2=BE2+BF2,∴EF2=BE2+AD2又∵∠ACB=∠DCF=90°,∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF,CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2= AD2+BE2⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由:如图2,将△ADC绕点C逆时针旋转60°,得到△CBF,过点F作FG⊥AB,交AB 的延长线于点G,连接EF,∴∠CBE=∠CAD,∠BCF=∠ACD, BF=AD∵AC=BC,∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA =60°∴∠ABE=120°,∠EBF=60°,∠BFG=30°∴BG=12BF,FG=32BF∵∠ACB=60°,∠DCE=30°,∴∠ACD+∠BCE=30°,∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF,CE=CE∴△ECF≌△ECD∴EF=ED在Rt△EFG中,EF2=FG2+EG2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+12 BF,∴EF2=(EB+12BF)2+3)2∴DE2=(EB+12AD)2+3)2∴DE2=EB2+AD2+EB·AD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型,解题的关键是找出全等三角形,转换线段,并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系.24.(1)AC=9;(2)AB ∇AC =-72,BA ∇BC =216;(3)BC=2OC=273,AB=10.【分析】(1)在Rt AOC ∆中,根据勾股定理和新定义可得AO 2-OC 2=81=AC 2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO =2,OB =23,再用新定义即可得出结论; ②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.【详解】(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,在Rt AOC ∆中, AO 2-OC 2=AC 2因为81AB AC ∇=所以AO 2-OC 2=81所以AC 2=81所以AC=9.(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB 2222126AB AO -=-3∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72,②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =12AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=+=∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;(3)作BD ⊥CD,因为24ABC S ∆=,8AC =,所以BD=26ABC S AC ∆÷=,因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线, 所以AO 2-OC 2=-64, 所以OC 2-AO 2=64,由因为AC 2=82=64,所以OC 2-AO 2= AC 2所以∠OAC=90°所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯÷=⨯÷= 所以22228373AC OA +=+所以73在Rt △BCD 中,()2222276163BC BD -=-= 所以AD=CD-AC=16-8=8所以22228610AD BD +=+=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.25.(1)见解析;(2)①见解析;②2.【分析】(1)当D、E两点重合时,则AD=CD,然后由等边三角形的性质可得∠CBD的度数,根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F的度数,于是可得∠CBD与∠F的关系,进而可得结论;(2)①过点E作EH∥BC交AB于点H,连接BE,如图4,则易得△AHE是等边三角形,根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF,∠BHE=∠ECF=120°,BH=EC,于是可根据SAS 证明△BHE≌△ECF,可得∠EBH=∠FEC,易证△BAE≌△BCD,可得∠ABE=∠CBD,从而有∠FEC=∠CBD,然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE=∠BCD,进而可得结论;②易得∠BEG=90°,于是可知△BEF是等腰直角三角形,由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE和BF的长,过点E作EM⊥BF于点F,过点C作CN⊥EF于点N,如图5,则△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形,然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的长,进而可得△GCN也是等腰直角三角形,于是有∠BCG=90°,故所求的△BCG的面积=12BC CG⋅,而BC和CG可得,问题即得解决.【详解】解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,当D、E两点重合时,则AD=CD,∴1302DBC ABC∠=∠=︒,∵CF CD=,∴∠F=∠CDF,∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°,∴∠F=30°,∴∠CBD=∠F,∴BD DF=;(2)①∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=AC,过点E作EH∥BC交AB于点H,连接BE,如图4,则∠AHE=∠ABC=60°,∠AEH=∠ACB=60°,∴△AHE是等边三角形,∴AH=AE=HE,∴BH=EC,∵AE CD=,CD=CF,∴EH=CF,又∵∠BHE=∠ECF=120°,∴△BHE≌△ECF(SAS),∴∠EBH =∠FEC ,EB=EF ,∵BA=BC ,∠A =∠ACB =60°,AE=CD ,∴△BAE ≌△BCD (SAS ),∴∠ABE =∠CBD ,∴∠FEC =∠CBD ,∵∠EDG =∠BDC ,∴∠BGE =∠BCD =60°;②∵∠BGE =60°,∠EBD =30°,∴∠BEG =90°,∵EB=EF ,∴∠F =∠EBF =45°,∵∠EBG =30°,BG =4,∴EG =2,BE =23, ∴BF =226BE =,232GF =-,过点E 作EM ⊥BF 于点F ,过点C 作CN ⊥EF 于点N ,如图5,则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形,∴6BM ME MF ===,∵∠ACB =60°,∴∠MEC =30°,∴2MC =, ∴62BC =+,266262CF =--=-, ∴()26231CN FN ==⨯-=-,∴()2323131GN GF FN CN =-=---=-=, ∴45GCN CGN ∠=∠=︒,∴∠GCF =90°=∠GCB ,∴62CG CF ==-,∴△BCG 的面积=()()116262222BC CG ⋅=+-=. 故答案为:2.【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识,涉及的知识点多、难度较大,正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键,灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键.26.(1)该命题是真命题,理由见解析;(2)①a 的值为92;②k 的取值范围为13k ≤<;(3)ABC ∆的面积为3或5. 【分析】 (1)根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断;(2)①先利用勾股定理求出c 的值,再根据优三角形的定义列出,,a b c 的等式,然后求解即可;②类似①分三种情况分析,再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下,,a b c 之间的关系,然后根据优比的定义求解即可;(3)如图(见解析),设BD x =,先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC 、AB 的长及ABC ∆面积的表达式,再类似(2),根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式,然后解出x 的值,即可得出ABC ∆的面积.【详解】(1)该命题是真命题,理由如下:设等边三角形的三边边长为a则其中两条边的和为2a ,恰好是第三边a 的2倍,满足优三角形的定义,即等边三角形为优三角形又因该两条边相等,则这两条边的比为1,即其优比为1故该命题是真命题;(2)①90,6CB b A ∠=︒=c ∴=根据优三角形的定义,分以下三种情况:当2a b c +=时,6a +=,整理得24360a a -+=,此方程没有实数根当2a c b +=时,12a =,解得92a =当2b c a +=时,62a =,解得86a =>,不符题意,舍去综上,a 的值为92; ②由题意得:,,a b c 均为正数 根据优三角形的定义,分以下三种情况:(c b a ≥≥)当2a b c +=时,则1b k a=≥ 由三角形的三边关系定理得b a c a b -<<+。
八年级初二数学下学期勾股定理单元提优专项训练试卷
一、选择题1.如图,透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为15cm ,在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,位于离容器上沿3cm 的点A 处,若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm ,则该圆柱底面周长为( )A .20cmB .18cmC .25cmD .40cm2.如图,P 为等边三角形ABC 内的一点,且P 到三个顶点A ,B ,C 的距离分别为3,4,5,则△ABC 的面积为( )A .25394+B .25392+C .18253+D .253182+ 3.在ΔABC 中,211a b c =+,则∠A( ) A .一定是锐角 B .一定是直角 C .一定是钝角 D .非上述答案4.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AB 的中垂线交AC 于D ,P 是BD 的中点,若BC =4,AC =8,则S △PBC 为( )A .3B .3.3C .4D .4.55.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知90A ∠=︒正方形ADOF 的边长是2,4BD =,则CF 的长为( )A .6B .42C .8D .10 6.在直角三角形ABC 中,90C ∠=︒,两直角边长及斜边上的高分别为,,a b h ,则下列关系式成立的是( )A .222221a b h +=B .222111a b h +=C .2h ab =D .222h a b =+7.在ABC ∆中,::1:1:2BC AC AB =,则△ABC 是( )A .等腰三角形B .钝角三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形8.如图,点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2,分别以点A 和点B 为圆心,线段AB 的长度为半径画弧,在数轴的上方交于点C .再以原点O 为圆心,OC 为半径画弧,与数轴的正半轴交于点M ,则点M 对应的数为( )A .3.5B .23C .13D .36 9.如图,在ABC ∆中,D 、E 分别是BC 、AC 的中点.已知90ACB ∠=︒,4BE =,7AD =,则AB 的长为( )A .10B .53C .213D .1510.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A =90°,BD =4,CF =6,设正方形ADOF 的边长为x ,则210x x +=( )A .12B .16C .20D .24二、填空题11.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OAA 1的直角边OA 在x 轴上,点A 1在第一象限,且OA=1,以点A 1为直角顶点,OA 1为一直角边作等腰直角三角形OA 1A 2,再以点A 2为直角顶点,OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3…依此规律,则点A 2018的坐标是_____.12.如图,在ABC 中,D 是BC 边中点,106AB AC ==,,4=AD ,则BC 的长是_____________.13.在ABC ∆中,90BAC ∠=︒,以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆,连接DA ,若22AB =,42AC =,则DA 的长为______.14.如图在三角形纸片ABC 中,已知∠ABC =90º,AC =5,BC=4,过点A 作直线l 平行于BC ,折叠三角形纸片ABC ,使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处,折痕为MN ,当点P 在直线l 上移动时,折痕的端点M 、N 也随之移动,若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上(包括端点)移动,则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________.15.如图,在四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD ,BC=CD=10,AC=17,AD=9,则AB=_____.16.在Rt △ABC 中,直角边的长分别为a ,b ,斜边长c ,且a +b =35,c =5,则ab 的值为______.17.如图,P 是等边三角形ABC 内的一点,且PA=3,PB=4,PC=5,以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ,连接PQ ,则以下结论中正确有_____________ (填序号)①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°18.四边形ABCD 中AB =8,BC =6,∠B =90°,AD =CD =52,四边形ABCD 的面积是_______.19.如图,在△ABC 中,AB =AC =10,BC =12,BD 是高,则点BD 的长为_____.20.如图,在等腰△ABC 中,AB =AC ,底边BC 上的高AD =6cm ,腰AC 上的高BE =4m ,则△ABC 的面积为_____cm 2.三、解答题21.如图,△ABC 和EDC ∆都是等边三角形,7,3,2AD BD CD ===求:(1)AE长;(2)∠BDC 的度数:(3)AC 的长.22.如图,在两个等腰直角ABC 和CDE △中,∠ACB = ∠DCE=90°.(1)观察猜想:如图1,点E 在BC 上,线段AE 与BD 的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)探究证明:把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置,(1)中的结论还成立吗?说明理由;(3)拓展延伸:把CDE △绕点C 在平面内自由旋转,若AC = BC=10,DE=12,当A 、E 、D 三点在直线上时,请直接写出 AD 的长.23.阅读与理解:折纸,常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如,在ABC 中,AB AC >(如图),怎样证明C B ∠>∠呢?分析:把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折,因为AB AC >,所以,点C 落在AB 上的点C '处,即AC AC '=,据以上操作,易证明ACD AC D '△△≌,所以AC D C '∠=∠,又因为AC D B '∠>∠,所以C B ∠>∠.感悟与应用:(1)如图(a ),在ABC 中,90ACB ∠=︒,30B ∠=︒,CD 平分ACB ∠,试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系,并说明理由;(2)如图(b ),在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠,16AC =,8AD =,12DC BC ==,①求证:180B D ∠+∠=︒;②求AB 的长.24.如图,△ABC 中AC =BC ,点D ,E 在AB 边上,连接CD ,CE .(1)如图1,如果∠ACB =90°,把线段CD 逆时针旋转90°,得到线段CF ,连接BF , ①求证:△ACD ≌△BCF ;②若∠DCE =45°, 求证:DE 2=AD 2+BE 2;(2)如图2,如果∠ACB =60°,∠DCE =30°,用等式表示AD ,DE ,BE 三条线段的数量关系,说明理由.25.如图,ABC ∆是等边三角形,,D E 为AC 上两点,且AE CD =,延长BC 至点F ,使CF CD =,连接BD .(1)如图1,当,D E 两点重合时,求证:BD DF =;(2)延长BD 与EF 交于点G .①如图2,求证:60BGE ∠=︒;②如图3,连接,BE CG ,若30,4EBD BG ∠=︒=,则BCG ∆的面积为______________.26.已知ABC ∆中,AB AC =.(1)如图1,在ADE ∆中,AD AE =,连接BD 、CE ,若DAE BAC ∠=∠,求证:BD CE =(2)如图2,在ADE ∆中,AD AE =,连接BE 、CE ,若60DAE BAC ∠=∠=,CE AD ⊥于点F ,4AE =,5EC =,求BE 的长;(3)如图3,在BCD ∆中,45CBD CDB ∠=∠=,连接AD ,若45CAB ∠=,求AD AB的值.27.我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理,这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2),其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成,恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);(2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2a b +的值.28.定义:在△ABC 中,若BC =a ,AC =b ,AB =c ,若a ,b ,c 满足ac +a 2=b 2,则称这个三角形为“类勾股三角形”,请根据以上定义解决下列问题:(1)命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题(填“真”或“假”);(2)如图1,若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”,其中AB =BC ,AC >AB ,请求∠A 的度数;(3)如图2,在△ABC 中,∠B =2∠A ,且∠C >∠A .①当∠A =32°时,你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗?若能,请在图2中画出分割线,并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数;若不能,请说明理由; ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”.29.菱形ABCD 中,∠BAD =60°,BD 是对角线,点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点,且满足AE=DF,连接BF与DE相交于点G.(1)如图1,求∠BGD的度数;(2)如图2,作CH⊥BG于H点,求证:2GH=GB+DG;(3)在满足(2)的条件下,且点H在菱形内部,若GB=6,CH=43,求菱形ABCD的面积.30.如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点,连结DE,过点D作DF⊥DE交边BC于点F(点F与点B、C不重合),延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:△ADG≌△BDF;(2)请你连结EG,并求证:EF=EG;(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(4)求线段EF长度的最小值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【分析】将容器侧面展开,建立A关于EG的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为最短路径,由勾股定理求出A′D即圆柱底面周长的一半,由此即可解题.【详解】解:如图,将圆柱展开,EG 为上底面圆周长的一半,作A 关于E 的对称点A ',连接A B '交EG 于F ,则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF BF +的长,即 25cm AF BF A B '+==,延长BG ,过A '作A D BG '⊥于D ,3cm AE A E '==,153315cm BD BG DG BG AE ∴=+=+=-+=,Rt A DB '∴△中,由勾股定理得:2222251520cm A D A B BD ''=-=-=, ∴该圆柱底面周长为:20240cm ⨯=,故选D .【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题,将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.2.A解析:A【解析】分析:将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ,根据旋转的性质得BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,则△BPE 为等边三角形,得到PE=PB=4,∠BPE=60°,在△AEP 中,AE=5,延长BP ,作AF ⊥BP 于点F .AP=3,PE=4,根据勾股定理的逆定理可得到△APE 为直角三角形,且∠APE=90°,即可得到∠APB 的度数,在直角△APF 中利用三角函数求得AF 和PF 的长,则在直角△ABF 中利用勾股定理求得AB 的长,进而求得三角形ABC 的面积.详解:∵△ABC 为等边三角形,∴BA=BC ,可将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ,连EP ,且延长BP ,作AF ⊥BP 于点F .如图,∴BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,∴△BPE为等边三角形,∴PE=PB=4,∠BPE=60°,在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,∴AE2=PE2+PA2,∴△APE为直角三角形,且∠APE=90°,∴∠APB=90°+60°=150°.∴∠APF=30°,∴在直角△APF中,AF=12AP=32,PF=3AP=332.∴在直角△ABF中,AB2=BF2+AF2=(4+332)2+(32)2=25+123.则△ABC的面积是3•AB2=3•(25+12)253故选A.点睛:本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.3.A解析:A【解析】【分析】根据211a b c=+以及三角形三边关系可得2bc>a 2,再根据(b-c)2≥0,可推导得出b 2 +c 2>a 2,据此进行判断即可得.【详解】∵211a b c =+,∴2b ca bc+ =,∴2bc=a(b+c),∵a、b、c是三角形的三条边,∴b+c>a,∴2bc>a·a,即2bc>a 2,∵(b-c)2≥0,∴b 2 +c 2 -2bc≥0,b 2 +c 2≥2bc,∴b 2 +c 2>a 2,∴一定为锐角,故选A.【点睛】本题考查了三角形三边关系、完全平方公式、不等式的传递性、勾股定理等,题目较难,得出b 2 +c 2>a 2是解题的关键.4.A解析:A【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,根据勾股定理求出BD,得到CD的长,根据三角形的面积公式计算,得到答案.【详解】解:∵点D在线段AB的垂直平分线上,∴DA=DB,在Rt△BCD中,BC2+CD2=BD2,即42+(8﹣BD)2=BD2,解得,BD=5,∴CD=8﹣5=3,∴△BCD的面积=12×CD×BC=12×3×4=6,∵P是BD的中点,∴S△PBC=12S△BCD=3,故选:A.【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理,掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.5.A解析:A【分析】设CF=x,则AC=x+2,再由已知条件得到AB=6,BC=6+x,再由AB2+AC2=BC2得到62+(x+2)2=(x+4)2,解方程即可.【详解】设CF=x,则AC=x+2,∵正方形ADOF的边长是2,BD=4,△BDO≌△BEO,△CEO≌△CFO,∴BD=BE,CF=CE,AD=AF=2,∴AB=6,BC=6+x,∵∠A=90°,∴AB2+AC2=BC2,∴62+(x+2)2=(x+4)2,解得:x=6,即CF=6,故选:A.【点睛】考查正方形的性质、勾股定理,解题关键是设CF=x,则AC=x+2,利用勾股定理得到62+(x+2)2=(x+4)2.6.B解析:B【分析】设斜边为c ,根据勾股定理得出【详解】解:设斜边为c ,根据勾股定理得出 ∵12ab=12ch ,∴,即a 2b 2=a 2h 2+b 2h 2, ∴22222a b a b h =22222a h a b h +22222b h a b h, 即21a +21b =21h . 故选:B .【点睛】 本题考查勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题关键.7.D解析:D【分析】根据题意设出三边分别为k 、k k ,然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形,又有BC 、AC 边相等,所以三角形为等腰直角三角形.【详解】设BC 、AC 、AB 分别为k ,k k ,∵k 2+k 2=k )2,∴BC 2+AC 2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形,又BC=AC ,∴△ABC 是等腰直角三角形.故选D .【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定,利用设k 法与勾股定理证明三角形是直角三角形是难点,也是解题的关键.8.B解析:B【分析】如图,作CD ⊥AB 于点D ,由题意可得△ABC 是等边三角形,从而可得BD 、OD 的长,然后根据勾股定理即可求出CD 与OC 的长,进而可得OM 的长,于是可得答案.【详解】解:∵点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2,∴OB=2,OA=4,如图,作CD ⊥AB 于点D ,则由题意得:CA=CB=AB=2,∴△ABC 是等边三角形,∴BD=AD=112AB =, ∴OD=OB+BD=3,223CD BC BD =-=,∴()22223323OC OD CD =+=+=,∴OM=OC=23,∴点M 对应的数为23.故选:B .【点睛】本题考查了实数与数轴、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识,属于常见题型,正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键.9.C解析:C【分析】设EC=x ,DC=y ,则直角△BCE 中,x 2+4y 2=BE 2=16,在直角△ADC 中,4x 2+y 2=AD 2=49,由方程组可求得x 2+y 2,在直角△ABC 中,2244ABx y 【详解】解:设EC=x ,DC=y ,∠ACB=90°, ∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点,∴AC=2EC=2x ,BC=2DC=2y ,∴在直角△BCE 中,CE 2+BC 2=x 2+4y 2=BE 2=16在直角△ADC 中,AC 2+CD 2=4x 2+y 2=AD 2=49,∴2255164965x y ,即2213x y +=,在直角△ABC 中,2244413213ABx y .故选:C .【点睛】本题考查了勾股定理的灵活运用,考查了中点的定义,本题中根据直角△BCE和直角△ADC 求得22x y+的值是解题的关键.10.D解析:D【分析】设正方形ADOF的边长为x,在直角三角形ACB中,利用勾股定理可建立关于x的方程,整理方程即可.【详解】解:设正方形ADOF的边长为x,由题意得:BE=BD=4,CE=CF=6,∴BC=BE+CE=BD+CF=10,在Rt△ABC中,AC2+AB2=BC2,即(6+x)2+(x+4)2=102,整理得,x2+10x﹣24=0,∴x2+10x=24,故选:D.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识;熟练掌握正方形的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键.二、填空题11.(0,21009)【解析】【分析】本题点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系.【详解】∵∠OAA1=90°,OA=AA1=1,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2,再以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3,…,∴OA1,OA2=)2,…,OA2018=)2018,∵A1、A2、…,每8个一循环,∵2018=252×8+2∴点A2018的在y轴正半轴上,OA2018=2018=21009,故答案为(0,21009).【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题,除了研究动点变化的相关数据规律,还应该注意象限符号.12.【分析】延长AD至点E,使得DE=AD=4,结合D是中点证得△ADC≌△EDB,进而利用勾股定理逆定理可证得∠E=90°,再利用勾股定理求得BD长进而转化为BC长即可.【详解】解:如图,延长AD至点E,使得DE=AD=4,连接BE,∵D是BC边中点,∴BD=CD,又∵DE=AD,∠ADC=∠EDB,∴△ADC≌△EDB(SAS),∴BE=AC=6,又∵AB=10,∴AE2+BE2=AB2,∴∠E=90°,∴在Rt△BED中,2222=++=,64213BD BE DE∴BC=2BD=13故答案为:13【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理,正确作出辅助线是解决本题的关键.13.6或2.【分析】由于已知没有图形,当Rt△ABC固定后,根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论:①当D点在BC上方时,如图1,把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE,证明A、C、E三点共线,在等腰Rt△ADE中,利用勾股定理可求AD长;②当D点在BC下方时,如图2,把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED,证明过程类似于①求解.【详解】解:分两种情况讨论:①当D点在BC上方时,如图1所示,把△ABD绕点D逆时针旋转90°,得到△DCE,则∠ABD=∠ECD,2,AD=DE,且∠ADE=90°在四边形ACDB中,∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°,∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°,∴∠ACD+∠ECD=180°,∴A、C、E三点共线.∴AE=AC+CE=42+22=62在等腰Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2,即2AD2=(62)2,解得AD=6②当D点在BC下方时,如图2所示,把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED,则CE=AB=22,∠BAD=∠CED,AD=AE且∠ADE=90°,所以∠EAD=∠AED=45°,∴∠BAD=90°+45°=135°,即∠CED=135°,∴∠CED+∠AED=180°,即A、E、C三点共线.∴AE=AC-CE=42-22=22在等腰Rt△ADE中,2AD2=AE2=8,解得AD=2.故答案为:6或2.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理,解决这类等边(或共边)的两个三角形问题,一般是通过旋转的方式作辅助线,转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解.1471【分析】分别找到两个极端,当M与A重合时,AP取最大值,当点N与C重合时,AP取最小,即可求出线段AP长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示,当M 与A 重合时,AP 取最大值,此时标记为P 1,由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形,在Rt △ABC 中,2222AB=AC BC =54=3--,∴AP 的最大值为A P 1=AB=3如图所示,当点N 与C 重合时,AP 取最小,过C 点作CD ⊥直线l 于点D ,可得矩形ABCD ,∴CD=AB=3,AD=BC=4,由折叠的性质有PC=BC=4,在Rt △PCD 中,2222PD=PC CD =43=7--,∴AP 的最小值为AD PD=47-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=347=71-- 71【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题,可以动手实际操作进行探索.15.21【分析】在AB 上截取AE=AD ,连接CE ,过点C 作CF ⊥AB 于点F ,先证明△ADC ≌△AEC ,得出AE=AD=9,CE=CD=BC =10的长度,再设EF=BF=x ,在Rt △CFB 和Rt △CFA 中,由勾股定理求出x ,再根据AB=AE+EF+FB 求得AB 的长度.【详解】如图所示,在AB 上截取AE=AD ,连接CE ,过点C 作CF ⊥AB 于点F ,∵AC 平分∠BAD ,∴∠DAC=∠EAC .在△AEC 和△ADC 中, AE AD DAC EACAC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===∴△ADC ≌△AEC (SAS ),∴AE=AD=9,CE=CD=BC =10,又∵CF ⊥AB ,∴EF=BF ,设EF=BF=x.∵在Rt△CFB中,∠CFB=90°,∴CF2=CB2-BF2=102-x2,∵在Rt△CFA中,∠CFA=90°,∴CF2=AC2-AF2=172-(9+x)2,即102-x2=172-(9+x)2,∴x=6,∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21,∴AB的长为21.故答案是:21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识,解题的关键是作辅助线,构造全等三角形,再运用用方程的思想解决问题.16.10【分析】先根据勾股定理得出a2+b2=c2,利用完全平方公式得到(a+b)2﹣2ab=c2,再将a+b=5c=5代入即可求出ab的值.【详解】解:∵在Rt△ABC中,直角边的长分别为a,b,斜边长c,∴a2+b2=c2,∴(a+b)2﹣2ab=c2,∵a+b=5c=5,∴(52﹣2ab=52,∴ab=10.故答案为10.【点睛】本题考查勾股定理以及完全平方公式,灵活运用完全平方公式是解题关键.17.①②③【解析】【详解】解:∵△ABC是等边三角形,∴∠=,60ABC∵△BQC≌△BPA,∴∠BPA=∠BQC,BP=BQ=4,QC=PA=3,∠ABP=∠QBC,60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=,∴△BPQ 是等边三角形,①正确.∴PQ =BP =4,2222224325,525PQ QC PC +=+===,222PQ QC PC ∴+=,90PQC ∴∠=,即△PQC 是直角三角形,②正确.∵△BPQ 是等边三角形,60PBQ BQP ∴∠=∠=,∵△BQC ≌△BPA ,∴∠APB =∠B QC ,6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=,③正确.36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠,90PQC PQ QC ∠=≠,,45QPC ∴∠≠,即135APC ∠≠,④错误.故答案为①②③.18.49【解析】连接AC ,在Rt △ABC 中,∵AB =8,BC =6,∠B =90°,∴AC =22AB BC + =10. 在△ADC 中,∵AD =CD =52,∴AD 2+CD 2=(52)2+(52)2=100.∵AC 2=102=100,∴AD 2+CD 2=AC 2,∴∠ADC =90°,∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12AB •BC +12AD •DC =12×8×6+12×52×52=24+25=49.点睛:本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理,不规则几何图形的面积,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.19.485【解析】试题分析:根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC 边上的高为8,然后根据三角形的面积法可得111012822BD ⨯⨯=⨯⨯,解得BD=485. 20.【分析】 根据三角形等面积法求出32AC BC = ,在Rt△ACD 中根据勾股定理得出AC 2=14BC 2+36,依据这两个式子求出AC 、BC 的值.【详解】∵AD 是BC 边上的高,BE 是AC 边上的高, ∴12AC•BE=12BC•AD, ∵AD=6,BE =4, ∴AC BC =32, ∴22AC BC =94, ∵AB=AC ,AD⊥BC,∴BD=DC =12BC , ∵AC 2﹣CD 2=AD 2,∴AC 2=14BC 2+36, ∴221364BC BC +=94, 整理得,BC 2=3648⨯, 解得:BC=∴△ABC 的面积为12×cm 2故答案为:【点睛】本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用,找出AC 与BC 的数量关系是解答此题的关键.三、解答题21.(12)150°;(3【分析】(1)根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ,再根据全等三角形的性质即得结果;(2)在△ADE 中,根据勾股定理的逆定理可得∠AED =90°,进而可求出∠AEC 的度数,再根据全等三角形的性质即得答案;(3)过C 作CP ⊥DE 于点P ,设AC 与DE 交于G ,如图,根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长,进而可得AE =CP ,然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ,于是可得AG =CG ,PG =EG ,根据勾股定理可求出AG 的长,进一步即可求出结果.【详解】解:(1)∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形,∴BC =AC ,CD =CE =DE =2,∠ACB =∠DCE =60°,∴∠BCD =∠ACE ,在△BCD 与△ACE 中,∵BC =AC ,∠BCD =∠ACE ,CD =CE ,∴△BCD ≌△ACE ,∴AE =BD =3; (2)在△ADE 中,∵7,3,2AD AE DE ===, ∴DE 2+AE 2=()()222237+==AD 2, ∴∠AED =90°,∵∠DEC =60°,∴∠AEC =150°,∵△BCD ≌△ACE ,∴∠BDC =∠AEC =150°;(3)过C 作CP ⊥DE 于点P ,设AC 与DE 交于G ,如图,∵△CDE 是等边三角形,∴PE =12DE =1,CP 22213-=,∴AE =CP ,在△AEG 与△CPG 中,∵∠AEG =∠CPG =90°,∠AGE =∠CGP ,AE =CP ,∴△AEG ≌△CPG ,∴AG =CG ,PG =EG =12, ∴AG =()222211332AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭, ∴AC =2AG =13.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识,熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键.22.(1)AE BD =,AE BD ⊥;(2)成立,理由见解析;(3)14或2.【分析】(1)先根据等腰三角形的定义可得AC BC =,CE CD =,再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =,EAC DBC ∠=∠,然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=︒,由此即可得;(2)先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =,EAC DBC ∠=∠,再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒,然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒,从而可得90OHB ∠=︒,由此即可得;(3)先利用勾股定理求出102AB =,再分①点,,A E D 在直线上,且点E 位于中间,②点,,A E D 在直线上,且点D 位于中间两种情况,结合(1)(2)的结论,利用勾股定理求解即可得.【详解】(1)AE BD =,AE BD ⊥,理由如下:如图1,延长AE 交BD 于H ,由题意得:AC BC =,90ACE BCD ∠=∠=︒,CE CD =,∴()ACE BCD SAS ≅,∴AE BD =,EAC DBC ∠=∠,∵90DBC BDC ∠+∠=︒,∴90EAC BDC ∠+∠=︒,∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒,即AE BD ⊥,故答案为:AE BD =,AE BD ⊥;(2)成立,理由如下:如图2,延长AE 交BD 于H ,交BC 于O ,∵90ACB ECD ∠=∠=︒,∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠,即ACE BCD ∠=∠,在ACE △和BCD 中,AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()ACE BCD SAS ≅,∴AE BD =,EAC DBC ∠=∠,∵90ACB ∠=︒,∴90EAC AOC ∠+∠=︒,∵AOC BOH ∠=∠,∴90BOH DBC ∠∠+=︒,即90OBH BOH ∠+∠=︒,∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒,即AE BD ⊥;(3)设AD x =,10,90AC BC ACB ==∠=︒,2102AB AC ∴==,由题意,分以下两种情况:①如图3-1,点,,A E D 在直线上,且点E 位于中间,同理可证:AE BD =,AE BD ⊥,12DE =,12BD AE AD DE x ∴==-=-,在Rt ABD △中,222AD BD AB +=,即222(12)(102)x x +-=,解得14x =或2x =-(不符题意,舍去),即14AD =,②如图3-2,点,,A E D 在直线上,且点D 位于中间,同理可证:AE BD =,AE BD ⊥,12DE =,12BD AE AD DE x ∴==+=+,在Rt ABD △中,222AD BD AB +=,即222(12)(102)x x ++=,解得2x =或14x =-(不符题意,舍去),即2AD =,综上,AD 的长为14或2.【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点,较难的是题(3),正确分两种情况讨论,并画出图形是解题关键.23.(1)BC−AC =AD ;理由详见解析;(2)①详见解析;②AB=14【分析】(1)在CB 上截取CE =CA ,连接DE ,证△ACD ≌△ECD 得DE =DA ,∠A =∠CED =60°,据此∠CED =2∠CBA ,结合∠CED =∠CBA +∠BDE 得出∠CBA =∠BDE ,即可得DE =BE ,进而得出答案;(2)①在AB 上截取AM =AD ,连接CM ,先证△ADC ≌△AMC ,得到∠D =∠AMC ,CD =CM ,结合CD =BC 知CM =CB ,据此得∠B =∠CMB ,根据∠CMB +∠CMA =180°可得;②设BN =a ,过点C 作CN ⊥AB 于点N ,由CB =CM 知BN =MN =a ,CN 2=BC 2−BN 2=AC 2−AN 2,可得关于a 的方程,解之可得答案.【详解】解:(1)BC−AC =AD .理由如下:如图(a ),在CB 上截取CE =CA ,连接DE ,∵CD 平分∠ACB ,∴∠ACD =∠ECD ,又CD =CD ,∴△ACD ≌△ECD (SAS ),∴DE =DA ,∠A =∠CED =60°,∴∠CED =2∠CBA ,∵∠CED =∠CBA +∠BDE ,∴∠CBA =∠BDE ,∴DE =BE ,∴AD =BE ,∵BE =BC−CE =BC−AC ,∴BC−AC =AD .(2)①如图(b ),在AB 上截取AM =AD ,连接CM ,∵AC 平分∠DAB ,∴∠DAC =∠MAC ,∵AC =AC ,∴△ADC ≌△AMC (SAS ),∴∠D =∠AMC ,CD =CM =12,∵CD =BC =12,∴CM =CB ,∴∠B =∠CMB ,∵∠CMB +∠CMA =180°,∴∠B +∠D =180°;②设BN =a ,过点C 作CN ⊥AB 于点N ,∵CB =CM =12,∴BN =MN =a ,在Rt △BCN 中,2222212CN BC BN a --==,在Rt △ACN 中,2222216(8)CN AC AN a --+==, 则22221216(8)a a --+=, 解得:a =3,即BN =MN =3,则AB =8+3+3=14,∴AB=14.【点睛】本题考查了四边形的综合题,以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质;本题有一定难度,需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果.24.(1)①详见解析;②详见解析;(2)DE2=EB2+AD2+EB·AD,证明详见解析【分析】(1)①根据旋转的性质可得CF=CD,∠DCF=90°,再根据已知条件即可证明△ACD≌△BCF;②连接EF,根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°,再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE 即可证明;(2)根据(1)中的思路作出辅助线,通过全等三角形的判定及性质得出相等的边,再由勾股定理得出AD,DE,BE之间的关系.【详解】解:(1)①证明:由旋转可得CF=CD,∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD≌△BCF②证明:连接EF,由①知△ACD≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°,∠BCF=∠ACD,BF=AD∴∠EBF=90°∴EF2=BE2+BF2,∴EF2=BE2+AD2又∵∠ACB=∠DCF=90°,∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF,CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2= AD2+BE2⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由:如图2,将△ADC绕点C逆时针旋转60°,得到△CBF,过点F作FG⊥AB,交AB 的延长线于点G,连接EF,∴∠CBE=∠CAD,∠BCF=∠ACD, BF=AD∵AC=BC,∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA =60°∴∠ABE=120°,∠EBF=60°,∠BFG=30°∴BG=12BF,FG=3BF∵∠ACB=60°,∠DCE=30°,∴∠ACD+∠BCE=30°,∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF,CE=CE∴△ECF≌△ECD∴EF=ED在Rt△EFG中,EF2=FG2+EG2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+12 BF,∴EF2=(EB+12BF)2+(32BF)2∴DE2=(EB+12AD)2+(3AD)2∴DE2=EB2+AD2+EB·AD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型,解题的关键是找出全等三角形,转换线段,并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系.25.(1)见解析;(2)①见解析;②2.【分析】(1)当D、E两点重合时,则AD=CD,然后由等边三角形的性质可得∠CBD的度数,根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F的度数,于是可得∠CBD与∠F的关系,进而可得结论;(2)①过点E作EH∥BC交AB于点H,连接BE,如图4,则易得△AHE是等边三角形,根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF,∠BHE=∠ECF=120°,BH=EC,于是可根据SAS 证明△BHE≌△ECF,可得∠EBH=∠FEC,易证△BAE≌△BCD,可得∠ABE=∠CBD,从而有∠FEC=∠CBD,然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE=∠BCD,进而可得结论;②易得∠BEG=90°,于是可知△BEF是等腰直角三角形,由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE和BF的长,过点E作EM⊥BF于点F,过点C作CN⊥EF于点N ,如图5,则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形,然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM 、MC 、CF 、FN 、CN 、GN 的长,进而可得△GCN 也是等腰直角三角形,于是有∠BCG =90°,故所求的△BCG 的面积=12BC CG ⋅,而BC 和CG 可得,问题即得解决. 【详解】 解:(1)∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC =∠ACB =60°,当D 、E 两点重合时,则AD=CD ,∴1302DBC ABC ∠=∠=︒, ∵CF CD =,∴∠F =∠CDF , ∵∠F +∠CDF =∠ACB =60°,∴∠F =30°,∴∠CBD =∠F ,∴BD DF =;(2)①∵△ABC 是等边三角形,∴∠ABC =∠ACB =60°,AB=AC ,过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ,连接BE ,如图4,则∠AHE =∠ABC =60°,∠AEH =∠ACB =60°,∴△AHE 是等边三角形,∴AH=AE=HE ,∴BH =EC ,∵AE CD =,CD=CF ,∴EH=CF ,又∵∠BHE =∠ECF =120°,∴△BHE ≌△ECF (SAS ),∴∠EBH =∠FEC ,EB=EF ,∵BA=BC ,∠A =∠ACB =60°,AE=CD ,∴△BAE ≌△BCD (SAS ),∴∠ABE =∠CBD ,∴∠FEC =∠CBD ,∵∠EDG =∠BDC ,∴∠BGE =∠BCD =60°;②∵∠BGE =60°,∠EBD =30°,∴∠BEG =90°,∵EB=EF ,∴∠F =∠EBF =45°,∵∠EBG =30°,BG =4,∴EG =2,BE 3∴BF 226BE =232GF =,过点E 作EM ⊥BF 于点F ,过点C 作CN ⊥EF 于点N ,如图5,则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形,∴6BM ME MF ===∵∠ACB =60°,∴∠MEC =30°,∴2MC =, ∴62BC =266262CF ==∴()262312CNFN ==⨯-=-,∴()2323131GN GF FN CN =-=---=-=, ∴45GCN CGN ∠=∠=︒,∴∠GCF =90°=∠GCB , ∴62CG CF ==-,∴△BCG 的面积=()()116262222BC CG ⋅=+-=. 故答案为:2.【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识,涉及的知识点多、难度较大,正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键,灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键.26.(1)详见解析;(241;(33【分析】(1)证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得;(2)连接BD ,证1302FEA AED ∠=∠=,证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5,利用勾股定理求解;(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=,利用勾股定理得AE 2AB =,3AB ,根据(1)思路得3AB .【详解】(1) 证明:∵∠DAE=∠BAC ,∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ,即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中,AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACE ≌△ABD(SAS),∴BD CE =;(2)连接BD因为AD AE =, 60DAE BAC ∠=∠=, 所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4 因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS),所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5 所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠= 所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠= 所以222AB AC AC + 因为AB AC =所以AE 2=又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠= 所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS) 所以3AB所以33AD AB AB ==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.27.(1)见解析;(2)证明见解析;(3)25.【分析】(1)直接叙述勾股定理的内容,并用字母表明三边关系;(2)利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明;(3)将原式利用完全平方公式展开,由勾股定理的内容可得出()2a b +为大正方形面积和4个直角三角形的面积和,根据已知条件即可求得.【详解】解:(1)勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中,两条直角边分别为 a 、b ,斜边为 c ,a 2+b 2= c 2.(2)∵ S 大正方形=c 2,S 小正方形=(b-a)2,4 S Rt △=4×12ab=2ab , ∴ c 2=2ab+(b-a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2,即 a 2+b 2= c 2.(3)∵ 4 S Rt △= S 大正方形- S 小正方形=13-1=12,∴ 2ab=12.∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab=c 2+2ab=13+12=25.【点睛】本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证,利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.28.(1)假;(2)∠A =45°;(3)①不能,理由见解析,②见解析【分析】(1)先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a 2=c 2,再由勾股定理得a 2+b 2=c 2,即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形;(2)由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形,即可得出结论; (3)①分三种情况,利用等腰三角形的性质即可得出结论;②先求出CD=CB=a ,AD=CD=a ,DB=AB-AD=c-a ,DG=BG=12(c-a ),AG=12(a+c ),两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论.。
2018年秋八年级数学上册全一册试题(打包77套 202页 含答案)(新版)新人教版
第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边知识要点基础练知识点1三角形的概念1.三角形是(B)A.连接任意三个角组成的图形B.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形C.由三条线段组成的图形D.以上说法均不对2.如图,图中三角形的个数有6个.在△ABE中,AE所对的角是∠B ,∠BAE所对的边是BE ;在△ADE中,AD是∠AED 的对边;在△ADC中,AC是∠ADC 的对边.知识点2三角形的分类3.三角形按角分类可以分为(A)A.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形B.等腰三角形、等边三角形、不等边三角形C.直角三角形、等腰直角三角形D.以上答案都不正确知识点3三角形的三边关系4.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是5<c<9;当周长为奇数时,第三边长为6或8.5.用一条长为35 cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长的3倍,那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长为1 cm的等腰三角形吗?为什么?解:(1)设底边长为x cm,则腰长为3x cm.x+3x+3x=35,解得x=5.故底边长为5 cm,腰长为15 cm.(2)能.当该边为腰长时,底边为35-1³2=33,33>2,所以不存在.当该边为底边时,腰长为(35-1)÷2=17,符合条件,所以能.故能围成有一边的长为1 cm的等腰三角形,腰长为17 cm.综合能力提升练6.已知a,b,c是△ABC的三边长,且(a+b+c)(a-b)=0,则△ABC一定是(A)A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.不能确定7.如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是(D)A.6<L<15B.6<L<16C.11<L<13D.10<L<168.满足下列条件的三条线段a,b,c中,不能组成三角形的是(B)A.a=m+2,b=m+3,c=m+5(m>1)B.a=2m,b=3m,c=5m+1(m>1)C.a=2m,b=3m,c=5m-1(m>1)D.a∶b∶c=2∶3∶49.有四根细木棒,长度分别为 3 cm,4 cm,6 cm,9 cm,以其中任意三条为边可以构成2个三角形.10.若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为 2 cm,则该等腰三角形的底边长为 2 cm.11.已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为0.12.已知等腰三角形的两边长a,b满足|2a-3b+5|+(2a+3b-13)2=0,求三角形的周长.解:∵|2a-3b+5|+(2a+3b-13)2=0,∴当2为底边长时,三角形的周长为8;当3为底边长时,三角形的周长为7,∴三角形的周长为7或8.13.小红用长度为10 cm,45 cm和50 cm的三根木条钉一个三角形,若将50 cm的木条截去一部分后,就怎么也钉不成一个三角形.(1)最长的木条至少截去了多少厘米?(2)如果最长的木条截去了25 cm,你通过怎样的截一根木条的方法钉成一个小三角形?解:(1)∵已知两根木条的长为10 cm,45 cm,设第三根木条长为x cm,∴45-10<x<45+10,即35<x<55.∵50-35=15,∴最长的木条至少截去了15 cm.(2)∵50-25=25,25+10<45,∴将长45 cm的木条截去大于10 cm而小于30 cm的一部分,这根木条与其他两根木条可钉成一个小三角形.14.观察下列一组三角形,将第1个图中三角形各边中点连接起来得到第2个图形,再分别连接第2个图形中间的小三角形各边中点得到第3个图形,按此方法继续下去,根据图形的变化规律完成下列问题:(1)将下表填写完整.(2)在第n 个图形中三角形的个数是 4n-3 .(用含n 的式子表示,n 为正整数)拓展探究突破练15.已知△ABC.(1)如图1,边BC 上有1个点D ,连接AD ,则图中共有多少个三角形?(2)如图2,边BC 上有2个点D ,E ,连接AD,AE ,则图中共有多少个三角形?(3)如图3,边BC 上有3个点D ,E ,F ,连接AD ,AE ,AF ,则图中共有多少个三角形?(4)如图4,边BC 上有2018个点D ,E ,F ,…,连接AD ,AE ,AF ,…,则图中共有多少个三角形?解:(1)图中共2+1=3个三角形. (2)图中共有3+2+1=6个三角形. (3)图中共有4+3+2+1=10个三角形.(4)图中共有2019+2018+…+1==2039190个三角形.11.1.2 三角形的高、中线与角平分线知识要点基础练知识点1 三角形的高1.如图,在△ABC 中,正确画出边AC 上的高的是(D )2.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,则BC边上的高是AB ,AB边上的高是BC ,AC边上的高是BD .知识点2三角形的中线3.能把三角形分成两个面积相等的三角形的线段是(A)A.中线B.高C.角平分线D.以上三种情况都正确4.如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,若CE=9 cm,则BC=12 cm.知识点3三角形的角平分线5.下列说法正确的是(B)A.三角形的三条高都在三角形内B.三角形的三条中线相交于一点C.三角形的三条角平分线可能在三角形内,也可能在三角形外D.三角形的角平分线是射线综合能力提升练6.如果一个三角形三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是(B)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定7.【教材母题变式】如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论中错误的是(D)A.BD是△ABC的角平分线B.CE是△BCD的角平分线C.∠3=∠ACBD.CE是△ABC的角平分线8.三角形的角平分线、中线、高都是(A)A.线段B.射线C.直线D.以上都有可能9.如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法中错误的有(A)①BE是△ABD的中线;②BD是△BCE的角平分线;③∠1=∠2=∠3;④BC是△ABE的高.A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图,AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有6个.11.BD是△ABC的中线,若AB=5 cm,BC=3 cm,则△ABD与△BCD的周长之差为 2 cm.12.如图,在△ABC中,已知点E,F分别是AD,CE边上的中点,且S△ABC=8 cm2,则S△BEF的值为 2 cm2.13.如图,已知△ABC.(1)画中线AD;(2)画△ABD的高BE及△ACD的高CF.解:(1)AD如图所示.(2)如图所示.14.如图,已知AD是△ABC的角平分线,P为AD上一点,PM∥AC交AB于点M,PN∥AB交AC于点N,求证:PA平分∠MPN.证明:∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.∵PM∥AC,PN∥AB,∴∠APM=∠PAN,∠APN=∠PAM,∴∠APM=∠APN,∴PA平分∠MPN.15.若等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为15 cm和12 cm两部分,求这个等腰三角形的底边的长.解:如图,设腰AB长为x cm,底边BC长为y cm,①当AB+AD=15 cm,BC+CD=12 cm时,则有解得经检验符合题意;②当AB+AD=12 cm,BC+CD=15 cm时,则有解得经检验符合题意.故这个等腰三角形的底边的长为7 cm或11 cm.拓展探究突破练16.如图1,AD,AE分别是△ABC的边BC上的高和中线,已知AD=5 cm,EC=2 cm.(1)求△ABE和△AEC的面积.(2)通过做题,你能发现什么结论?请说明理由.(3)根据(2)中的结论,解决下列问题:如图2,CD是△ABC的中线,DE是△ACD的中线,EF是△ADE的中线,若△AEF的面积为1 cm2,求△ABC的面积.解:(1)∵AE是△ABC的边BC上的中线,∴BE=EC=2 cm,∴S△ABE=³BE³AD=³2³5=5(cm2),S△AEC=³EC³AD=³2³5=5(cm2).(2)三角形的一条中线将这个三角形分成的两个三角形的面积相等.理由:等底同高的两个三角形的面积相等.(3)∵EF是△ADE的中线,△AEF的面积为1 cm2,∴S△DFE=S△AEF=1 cm2,∴S△ADE=2 cm2,∵DE是△ACD的中线,∴S△DEC=S△ADE=2 cm2,∴S△ADC=4 cm2,∵CD是△ABC的中线,∴S△BDC=S△ADC=4 cm2,∴S△ABC=8 cm2.11.1.3三角形的稳定性知识要点基础练知识点1三角形的稳定性1.用五根木棒钉成如下四个图形,具有稳定性的有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个知识点2三角形的稳定性的实际应用2.【教材母题变式】桥梁上的拉杆,电视塔的底座,都是三角形结构,而活动挂架是四边形结构,这是分别利用三角形和四边形的(B)A.稳定性,稳定性B.稳定性,不稳定性C.不稳定性,稳定性D.不稳定性,不稳定性3.如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,这种做法的根据是(D)A.两点之间线段最短B.长方形的对称性C.长方形的四个角都是直角D.三角形的稳定性综合能力提升练4.在现实的生产、生活中有以下四种情况:①用“人”字梁建筑屋顶;②自行车车梁是三角形结构;③起重机三角形吊臂;④商店的推拉防盗铁门.其中用到三角形稳定性的是(C)A.①②B.②③C.①②③D.②③④5.手工课上,小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条,首尾连接制作了一个五角星,他发现五角星的形状不稳定,稍微一动五角星就变形了.于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓,使其稳定不再变形,他至少需要添加的螺栓数为(A)A.1个B.2个C.3个D.4个6.下列图形中具有稳定性的共有4个.拓展探究突破练7.(1)如图,要使四边形(用四根木条钉成)不变形,至少要再钉上几根木条?五边形和六边形呢?请在下面画出草图.(2)按照上述方法,猜想如果是一个n边形,至少要再钉上几根木条才能不变形呢?解:(1)如图所示,四边形至少要再钉上1根木条,五边形至少需要再钉上2根木条,六边形至少需要再钉上3根木条.(画法不唯一)(2)如果是一个n边形,至少要再钉上(n-3)根木条才能不变形.11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角知识要点基础练知识点1三角形内角和定理1.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C=80°.2.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度数之比为2∶3∶4,则∠B=60°.知识点2直角三角形的性质3.在直角三角形中,其中一个锐角是另一个锐角的2倍,则此三角形中最小的角是(B)A.15°B.30°C.60°D.90°4.【教材母题变式】如图,∠BAC=90°,AD⊥BC,∠BAD=30°,则∠C的度数是(A)A.30°B.40°C.50°D.60°知识点3直角三角形的判定5.具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是(C)A.∠A-∠B=∠CB.∠A=3∠C,∠B=2∠CC.∠A=∠B=2∠CD.∠A=∠B=∠C综合能力提升练6.在△ABC中,∠A+∠B=130°,∠B+∠C=140°,则△ABC的形状是(B)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形7.如图,CD是∠ACB的平分线,∠EDC=25°,∠A=60°,∠B=70°,则∠BDC的度数是(C)A.70°B.80°C.85°D.95°8.(德阳中考)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于点E,∠BAC=60°,∠ABE=25°,则∠DAC的大小是(B)A.15°B.20°C.25°D.30°9.如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD=150°.10.如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D,若∠BDC=115°,则∠A= 50°.11.如图,在△ABC中,已知∠ABC=50°,∠ACB=60°,BE是AC边上的高,CF是AB边上的高,H 是BE和CF的交点,则∠BHC=110°.12.如图,有A,B,C三个小岛,B岛在A岛的北偏东85°方向,A岛在C岛的西南方向,B岛在C 岛的南偏西20°方向,求∠ABC的度数.解:依题意得∠DAB=85°,∠ACE=45°,∠BCE=20°,∴∠ACB=∠ACE-∠BCE=25°.又∵AD∥CE,∴∠DAC=∠ACE=45°,∴∠CAB=∠DAB-∠DAC=40°,∴∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=115°.13.如图是一个大型模板,设计要求BA与CD相交成20°角,DA与CB相交成40°角,现测得∠A=145°,∠B=75°,∠C=85°,∠D=55°,就断定这块模板是合格的,这是为什么?解:延长BA,CD,相交于点E,∵∠C+∠ABC=85°+75°=160°,∴∠E=180°-160°=20°.延长DA,CB,相交于点F,∵∠C+∠ADC=85°+55°=140°,∴∠F=180°-140°=40°.∴这块模板是合格的.14.如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,CE是AB边上的高.(1)若∠A=45°,∠B=75°,求∠DCE的度数;(2)若∠A<∠B,试写出∠DCE与∠A,∠B之间的关系式,并说明理由.解:(1)∵∠A=45°,∠B=75°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°,∵CD是∠ACB的平分线,∴∠ACD=∠ACB=30°,∵CE是AB边上的高,∴∠ACE=90°-∠A=45°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=45°-30°=15°.(2)∠DCE=(∠B-∠A).理由:在△ABC中,∠ACB=180°-∠A-∠B.∵CD是∠ACB的平分线,∴∠ACD=∠ACB=(180°-∠A-∠B),∵CE是AB边上的高,∴∠ACE=90°-∠A,∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=90°-∠A-(180°-∠A-∠B)=(∠B-∠A).拓展探究突破练15.(1)如图1,把△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCED内部点A'的位置.试写出∠A 与∠1+∠2之间的关系,并说明理由.(2)如果把△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCED外部点A'的位置,如图2所示.此时∠A与∠1,∠2之间存在怎样的数量关系?(3)如果把四边形ABCD沿EF折叠,使点A,D分别落在四边形BCFE内部点A',D'的位置,如图3所示.∠A',∠D',∠1与∠2之间又存在怎样的数量关系?解:(1)根据翻折的性质,∠ADE=(180°-∠1),∠AED=(180°-∠2),∵∠A+∠ADE+∠AED=180°,∴∠A+(180°-∠1)+(180°-∠2)=180°,整理得,2∠A=∠1+∠2.(2)根据翻折的性质,∠ADE=(180°-∠1),∠AED=(180°+∠2).∵∠A+∠ADE+∠AED=180°,∴∠A+(180°-∠1)+(180°+∠2)=180°,整理得,2∠A=∠1-∠2.(3)根据翻折的性质,∠AEF=(180°-∠1),∠DFE=(180°-∠2).∵∠A+∠D+∠AEF+∠DFE=360°,∴∠A+∠D+(180°-∠1)+(180°-∠2)=360°,整理得,2(∠A+∠D)=∠1+∠2+360°,即2(∠A'+∠D')=∠1+∠2+360°.11.2.2三角形的外角知识要点基础练知识点三角形的外角1.下列命题中,正确的是(C)A.三角形的外角大于它的内角B.三角形的一个外角等于它的两个内角和C.三角形的一个内角小于和它不相邻的外角D.三角形的外角和等于180°2.【教材母题变式】如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=35°,∠ACE=60°,则∠A=(C)A.35°B.95°C.85°D.75°3.如图,直线AB∥CD,∠A=70°,∠C=40°,则∠E=30°.综合能力提升练4.如图,将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起,若∠1=20°,则∠2=50°.5.如图,在△AEC中,点D和点F分别是AC和AE上的两点,连接DF,交CE的延长线于点B,若∠A=25°,∠B=45°,∠DFE=106°,则∠C=36°.6.如图,是一台起重机的工作简图,前后两次吊杆位置OP1,OP2与线绳的夹角分别是30°和70°,则吊杆前后两次的夹角∠P1OP2=40°.7.如图,已知∠EGF=∠E+∠F,求∠A+∠B+∠C+∠D的度数.解:如图,过点G作GM∥BE,∴∠EGM=∠E.∵∠EGF=∠E+∠F=∠EGM+∠FGM,∴∠F=∠FGM,∴GM∥FC,∴BE∥FC,∴∠BHP+∠CPH=180°,∵∠BHP=∠A+∠B,∠CPH=∠C+∠D,∴∠A+∠B+∠C+∠D=180°.拓展探究突破练8.如图,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,F是AD上一点,FE的延长线交BC的延长线于点G.求证:(1)∠EGH>∠ADE;(2)∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.解:(1)∵∠EGH是△FBG的外角,∴∠EGH>∠B,又∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE,∴∠EGH>∠ADE.(2)∵∠BFE是△AFE的外角,∴∠BFE=∠A+∠AEF,∵∠EGH是△BFG的外角,∴∠EGH=∠B+∠BFE.∴∠EGH=∠B+∠A+∠AEF,又∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE,∴∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.11.3多边形及其内角和11.3.1多边形知识要点基础练知识点1多边形及其相关概念1.下列说法正确的是(B)A.由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形B.多边形相邻两边组成的角是这个多边形的内角C.连接多边形的两顶点的线段,叫做多边形的对角线D.四边形是边数最少的多边形2.下列各图中,是凸多边形的是(D)知识点2多边形的对角线3.若从多边形的一个顶点出发,最多可以引9条对角线,则它是(B)A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形4.【教材母题变式】从六边形的一个顶点出发,可以画出m条对角线,它们将六边形分成n 个三角形,则m,n的值分别为(C)A.4,3B.3,3C.3,4D.4,4知识点3正多边形5.下列说法正确的是(C)A.每条边相等的多边形是正多边形B.每个内角相等的多边形是正多边形C.每条边相等且每个内角相等的多边形是正多边形D.以上说法都正确6.下列图形中,是正多边形的是(C)A.等腰三角形B.长方形C.正方形D.五边都相等的五边形综合能力提升练7.多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形,则经过这一点的对角线的条数是(C)A.8B.9C.10D.11【变式拓展】一个六边形截去一个角后,所形成的新多边形共有5或9或14条对角线.8.关于正多边形的特征,下列说法正确的有①②③⑤.①各边相等;②各个内角相等;③各个外角相等;④各条对角线相等;⑤从一个顶点出发的对角线有(n-3)条;⑥从一个顶点引出的对角线将n边形分成面积相等的(n-2)个三角形.9.若一个多边形内角的个数是过它的一个顶点的对角线数的4倍,那么这个多边形是四边形.10.过m边形的一个顶点有4条对角线,n边形没有对角线,p边形有p条对角线,则(m-p)n= 8.11.如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第n个图形需要黑色棋子的个数是n2+2n .12.如图所示,①中多边形(边数为12)是由正三角形“扩展”而来的,②中多边形是由正方形“扩展”而来的,…,依此类推,则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n(n+1).13.画出下列多边形的全部对角线.解:如图所示.14.已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线,该n边形的周长为56,且各边长是连续的自然数,求这个多边形的各边长.解:依题意有n-3=4,解得n=7,设最短边为x,则7x+1+2+3+4+5+6=56,解得x=5.故这个多边形的各边长是5,6,7,8,9,10,11.15.在多边形边上或内部取一点,与多边形各顶点的连线将多边形分割成若干个小三角形,图1给出了四边形的具体分割方法,分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形.(1)请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割,并写出每种方法所得到的小三角形的个数;(2)当多边形为n边形时,按照上述方法进行分割,写出每种分法所得到的小三角形的个数.解:(1)如图所示.所分割成的三角形的个数分别是4个,5个,6个.(2)结合两个特殊图形,可以发现:第一种分割法把n边形分割成了(n-2)个三角形;第二种分割法把n边形分割成了(n-1)个三角形;第三种分割法把n边形分割成了n个三角形.16.如图,用钉子把木棒AB,BC和CD连接起来,用橡皮筋把A,D两端连接起来,设橡皮筋AD 的长是x cm.(1)若AB=5 cm,CD=3 cm,BC=11 cm,求x的最大值和最小值.(2)在(1)的条件下要围成一个四边形,你能求出橡皮筋长x的取值范围吗?解:(1)最大值应该是所有其他三条线段的和,即最大值是5+3+11=19(cm);最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长,即最小值是11-3-5=3(cm).(2)由(1)中的最大值和最小值可得要围成一个四边形,橡皮筋长x的取值范围为3 cm<x<19 cm.拓展探究突破练17.观察下面图形,并回答问题.(1)四边形有2条对角线;五边形有5条对角线;六边形有9条对角线.(2)根据规律七边形有14条对角线,n边形有条对角线.(3)为丰富学生的课余生活,合肥市第一中学8个班级之间举行篮球赛活动,如果采取单循环比赛(每两个班级之间只进行一场比赛),则篮球赛共需赛多少场?解:(3)当n=8时,=20(场),答:篮球赛共需赛20场.11.3.2多边形的内角和知识要点基础练知识点1多边形的内角和1.【教材母题变式】若一个一般的四边形的一组对角都是直角,则另一组对角可以(D)A.都是钝角B.都是锐角C.是一个锐角和一个直角D.是一个锐角和一个钝角2.正八边形的内角和等于1080°.3.已知一个多边形的内角和是900°,则这个多边形是七边形.知识点2多边形的外角和4.一个正多边形的每个外角都等于36°,那么它是(C)A.正六边形B.正八边形C.正十边形D.正十二边形5.科技馆为某机器人编制一段程序,如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走,那么该机器人所走的总路程为12米.6.如图,六边形ABCDEF中,AB∥DC,∠1,∠2,∠3,∠4分别是∠BAF,∠AFE,∠FED,∠EDC的外角,则∠1+∠2+∠3+∠4=180°.综合能力提升练7.多边形的内角中,锐角最多有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图,四边形ABCD中,∠A+∠B=200°,∠ADC,∠DCB的平分线相交于点O,则∠COD的度数是(C)A.80°B.90°C.100°D.110°9.(宜昌中考)如图,将一张四边形纸片沿直线剪开,如果剪开后的两个图形的内角和相等,下列四种剪法中,符合要求的是(B)A.①②B.①③C.②④D.③④10.(安徽中考)在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C,点E在边AB上,∠AED=60°,则一定有(D)A.∠ADE=20°B.∠ADE=30°C.∠ADE=∠ADCD.∠ADE=∠ADC11.若一个多边形的内角和与外角和的度数比为4∶1,则此多边形共有对角线(B)A.10条B.35条C.40条D.50条【变式拓展】若一个多边形的每个内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是(A)A.5∶4B.5∶2C.2∶1D.1∶112.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为(C)A.90°B.105°C.130°D.120°13.如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍,则n=6.14.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°,则该多边形的对角线的条数是14.15.平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,如图,则∠1+∠2= ∠3.(填“>”“<”或“=”)16.若一个多边形的各边都相等,它的周长为96,且它的内角和是1800°,则它的边长是8.17.将一块正五边形纸片(图1)做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面,见图2),需在每一个顶点处剪去一个四边形,例如图1中的四边形ABCD,求∠BAD 的度数.解:由题意得纸盒的侧面是长方形,∴∠ABC=∠ADC=90°,又∵正五边形的每个内角的度数为=108°,∴∠BAD=360°-108°-90°³2=72°.18.李明在计算某个多边形的内角和时得到1840°,老师说他算错了,于是李明认真地检查了一遍.(1)若他检查发现其中一个内角多算了一次,求这个多边形的边数是多少?(2)若他检查发现漏算了一个内角,求漏算的那个内角是多少度?这个多边形是几边形? 解:(1)设这个多边形的边数是n,重复计算的内角的度数是x,则(n-2)²180°=1840°-x,解得n=12,x=40°.故这个多边形的边数是12.(2)设这个多边形的边数是n,没有计算在内的内角的度数是x,则(n-2)²180°=1840°+x,解得n=13,x=140°,故漏算的那个内角是140度,这个多边形是十三边形.拓展探究突破练19.(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图1中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.(2)若对图1中星形截去一个角,如图2,请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.(3)若再对图2中的角进一步截去,你能由题(2)中所得的方法或规律,猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗?解:(1)如图1,∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D,∠1+∠A+∠C=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.(2)如图2,∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F,∠1+∠A+∠C+∠D=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.(3)根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°,每截去一个角则会增加180度,所以当截去5个角时增加了5³180度,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=180°³5+180°=1080°.三角形本章中考演练1.(河池中考)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是(A)A.中线B.角平分线C.高D.三等分线2.(百色中考)多边形的外角和等于(B)A.180°B.360°C.720°D.(n-2)²180°3.(泰州中考)三角形的重心是(A)A.三角形三条边上中线的交点B.三角形三条边上高线的交点C.三角形三条边垂直平分线的交点D.三角形三条内角平分线的交点4.(舟山中考)长度分别为2,7,x的三条线段能组成一个三角形,x的值可以是(C)A.4B.5C.6D.95.(长春中考)如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,DE∥BC.若∠A=62°,∠AED=54°,则∠B的大小为(C)A.54°B.62°C.64°D.74°6.(新疆中考)如图,AB∥CD,∠A=50°,∠C=30°,则∠AEC等于(C)A.20°B.50°C.80°D.100°7.如图,若干个完全相同的正五边形排成环状.图中所示的是前3个五边形,要完成这一圆环还需五边形的个数为(B)A.6B.7C.8D.98.(铜仁市中考)一个多边形的每个内角都等于144°,则这个多边形的边数是(C)A.8B.9C.10D.119.(临沂中考)一个多边形的内角和是外角和的2倍,这个多边形是(C)A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形10.(郴州中考)小明把一副含45°,30°的直角三角板如图摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠α+∠β等于(B)A.180°B.210°C.360°D.270°11.(常德中考)如图,在△ABC中,∠B=40°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC=70°.12.(成都中考)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A的度数为40°.13.(巴中中考)若a,b,c为三角形的三边,且a,b满足+(b-2)2=0,第三边c为奇数,则c= 9.14.(盐城中考)在“三角尺拼角”实验中,小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置,则∠1=120°.15.(广东中考)一个n边形的内角和是720°,则n=6.16.(葫芦岛中考)正八边形的每个外角的度数为45°.17.(西宁中考)若正多边形的一个外角是40°,则这个正多边形的边数是9.18.(益阳中考)如图,多边形ABCDE的每个内角都相等,则每个内角的度数为108°.19.(南京中考)如图,∠1是五边形ABCDE的一个外角,若∠1=65°,则∠A+∠B+∠C+∠D= 425°.20.(扬州中考)如图,若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的,则图中的∠1= 67.5°.21.(河北中考)已知n边形的内角和θ=(n-2)³180°.(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n;若不对,说明理由.(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.解:(1)甲对,乙不对.若θ=360°,则(n-2)³180°=360°,解得n=4,∴甲的说法对.若θ=630°,则(n-2)³180°=630°,解得n=,∵n为整数,∴θ不能取630°.∴乙的说法不对.(2)依题意,得(n-2)³180°+360°=(n+x-2)³180°,解得x=2.22.(内江中考)问题引入:(1)如图1,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=90°+ (用α表示);如图2,∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,则∠BOC=120°+ (用α表示);(2)如图3,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,请猜想∠BOC=∠BOC=120°- (用α表示),并说明理由;类比研究:(3)BO,CO分别是△ABC的外角∠DBC,∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,请猜想∠BOC=.解:(2)理由如下:∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∴∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-(180°-∠A)=180°+∠A,∵∠OBC=∠DBC,∠OCB=∠ECB,∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(∠DBC+∠ECB)=180°-(180°+∠A)=120°-.第十一章检测卷(45分钟100分)一、选择题(本大题共10小题,1.从五边形的一个顶点出发的对角线,把这个五边形分成的三角形的个数是A.5B.4C.3D.22.已知三角形的两边长分别为4和6,则第三边可能是A.2B.7C.10D.123.若△ABC各内角的度数满足∠A+∠B=120°,∠C=2∠A,则这个三角形是A.锐角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形4.直角三角板和直尺如图放置,若∠1=20°,则∠2的度数为A.60°B.50°C.40°D.30°5.一个多边形的每一个外角都等于45°,则这个多边形的内角和为A.360°B.720°C.1080°D.1440°6.如图,已知在△ABC中,D,E分别为边BC,AD的中点,且S△ABC=8 cm2,则S阴影面积等于A.4 cm2B.3 cm2C.2 cm2D.1 cm27.在下列条件中:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B=∠C.能确定△ABC是直角三角形的条件有A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,DE∥BC,交AB于点E,∠A=60°,∠BDC=95°,则∠BED的度数是A.35°B.70°C.110°D.130°9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则其顶角为A.45°B.135°C.45°或67.5°D.45°或135°10.如图,七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线相交于点O.若图中∠1,∠2,∠3,∠4的外角的度数和为220°,则∠BOD的度数为A.40°B.45°C.50°D.60°二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分)11.如图,六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF,要使框架稳固且不活动,至少还需要添3根木条.12.如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=540°.13.如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,在△ABD中,BE是边AD上的中线.若△ABC的面积是24,则△ABE的面积是6.14.把一副三角板按如图所示的方式摆放,则两条斜边所成的钝角x为165°.三、解答题(本大题共5小题,满分44分)15.(6分)一个多边形的内角和比四边形的外角和多720°,并且这个多边形的各内角都相等.这个多边形是几边形?它的每一个内角等于多少度?解:设这个多边形边数为n,则(n-2)³180°=360°+720°,解得n=8,∴这个多边形是八边形,∵这个多边形的每个内角都相等,∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°.16.(8分)如图,阴影部分是一个喷水池,现要修建两条通向水池的小道PA和QB,要求PA与QB所在的直线互相垂直.为了检验PA与QB是否垂直,小亮同学在水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C,然后测得∠P=25°,∠C=45°,∠Q=20°.请问:PA与QB是否垂直?请说明理由.解:如图,延长PA,QB,由三角形的外角性质知∠1=∠P+∠C=25°+45°=70°,∠2=∠Q+∠1=20°+70°=90°,所以PA⊥QB.17.(10分)在△ABC中,AB=AC,周长为24,AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为6的两个三角形,则△ABC各边的长为多少?解:根据题意结合图形,分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差,若AB>BC,则AB-BC=6,①又因为2AB+BC=24,②联立①②,解得AB=10,BC=4,所以△ABC的各边长为10,10,4;若AB<BC,则BC-AB=6,③又因为2AB+BC=24,④联立③④,解得AB=6,BC=12,6,6,12三边不能组成三角形,因此三角形的各边长为10,10,4.18.(10分)如图,△ABC的两个外角的平分线BP,CP交于点P.求证:∠P=90°-∠A.证明:∵∠PBC=∠CBD,∠PCB=∠BCE,∴∠PBC+∠PCB=(∠CBD+∠BCE).又∵∠CBD=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠CBD+∠BCE=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°,∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(∠A+180°)=90°-∠A.19.(12分)如图,在△ABC中,∠A=60°,E是两条内角平分线的交点,F是两条外角平分线的交点,A1是∠ABC与∠ACD平分线的交点.(1)求∠A1EC的度数;(2)求∠BFC的度数;(3)探索∠A1与∠A的数量关系,并说明理由;(4)若∠A=100°,在(3)的情况下,作∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2,以此类推,∠A n BC与∠A n CD的平分线交于点A n,求∠A n的度数.(直接写出结果)解:(1)∵E是两条内角平分线的交点,∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,。
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八年级数学提优试题
一、选择题
1.如图,正方体的棱长为cm,用经过A、B、C三点的平面截这个正方体,所得截面的周长是()
A. 2cm
B. 3cm
C. 6cm
D. 8cm
2.如图,Rt△ABC中,∠B=90〬,AB=9,BC=6,,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段AN的长等于( )
A.5 B.6 C.4 D.3
3
.我国是最早了解勾股定理的国家之一下面四幅图中,不能证明勾股定理的是A.B.C.D.
4.如图,一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,测得AO=2 m.若梯子的顶端沿墙下滑0.5米,这时梯子的底端也恰好外移0.5米,则梯子的长度AB为()
A.2.5 m B.3 m C.1.5 m D.3.5 m
5.已知y=﹣+3,则的值为()
A.2B.3C.12 D.18
6.若a<<b,且a、b是两个连续整数,则a+b的值是()
A.2 B.3 C.4 D.5
7
.若,则估计m的值所在范围是
A .B.C.D.
8.将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去.若用有序实数对(m,n)表示第m 排,从左到右第n个数,如(4,3)表示实数,则(8,6)表示的实数是()
A.B.C.D.
9.的平方根是()
A.5 B.±5 C.25 D.±25
10.-64的立方根与的平方根之和为()
A.-2或2 B.-2或-6
C.-4+2或-4-2D.0
11
.实数a、b在数轴上对应的位置如图所示,则等于
A .B.C.D.
12
.已知,则x的取值范围是
A.B.C.D.为任意实数
二、填空题
13.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处,则重叠部分△AFC的面积为_____.
14.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ABC=135°,CD=6,AB=2,则四边形ABCD的面积为___________
15.有一个数值转换器,原理如图所示,若开始输入x的值是3,可发现第1次输出的结果是10,第2次输出的结果是5,第3次输出的结果是16,第4次输出的结果是8,依次继续
下去…,第2018次输出的结果是_____.
16.比较大小:_____5(填“>”、“<”或“=”)
17.一个正方形的面积为15,则边长x的小数部分为_____.
18.若+(y﹣2)2=0,那么(x+y)2018=_____.
三、解答题
19.如图,四边形ABCD中,AB=AD=2,BC=3,CD=1,∠A=90°,请问△BCD是直角三角形吗?请说明你的理由.
20.已知:实数a,b在数轴上的位置如图所示,
化简:﹣|a﹣b|.
21.已知a是16的算术平方根,b是9的平方根,c是﹣27的立方根,求a2+b2+c3+a﹣c+2的值.
22.如图, 在东西方向的海岸线MN上有A,B两港口,海上有一座小岛P,渔民每天都乘轮船从A,B 两港口沿AP,BP的路线去小岛捕鱼作业.已知小岛P在A港的北偏东60°方向,在B港的北偏西45°方向,小岛P距海岸线MN的距离为30海里.
(1)求AP,BP的长(参考数据:≈1.4,≈1.7,≈2.2);
(2)甲、乙两船分别从A,B两港口同时出发去小岛P捕鱼作业,甲船比乙船晚到小岛24分钟.已知甲船速度是乙船速度的1.2倍,利用(1)中的结果求甲、乙两船的速度各是多少海里/时?。