2020-2021学年北京市首师大附中高三(上)开学数学试卷 (解析版)

2020-2021学年北京市首师大附中高三（上）开学数学试卷一、选择题（共10小题）.1．复数i（3+i）＝（）A．1+3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．﹣1﹣3i2．函数f（x）＝tan（x+）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π3．已知向量＝（1，﹣），＝（﹣2，m），若与共线，则||＝（）A．B．C．D．24．在二项式（1﹣2x）5的展开式中，x3的系数为（）A．40B．﹣40C．80D．﹣805．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x﹣2B．y＝|lnx|C．y＝2﹣x D．y＝x sin x6．将函数f（x）＝cos2x图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，如果g（x）在区间[0，a]上单调递减，那么实数a的最大值为（）A．B．C．D．7．设点A，B，C不共线，则“”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件8．有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）A．8B．7C．6D．49．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．010．在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2）．L1＝60dB，L2＝75dB，那么＝（）A．10B．10C．﹣D．10二、填空题（共5题，每题5分，共25分）11．已知抛物线y2＝2px的焦点与双曲线﹣y2＝1的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为；准线方程为．12．（x+1）7的展开式中x3的系数是．13．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，E为AC的中点，则＝．14．已知两点A（﹣1，0），B（1，0），若直线x﹣y+a＝0上存在点P（x，y）满足•＝0，则实数a满足的取值范围是．15．集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+；三、解答题（共6小题，共85分，每题必须写出详细的解答过程）16．已知△ABC ，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人专项员工人数老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F 满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．19．已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l 的斜率．20．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，a n}，n∈N*，记集合A中的元素个数为card （A），即card（A）＝n．定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card（A+A），当card（A+A）＝时，称集合A具有性质P．（Ⅰ）A＝{1，4，7}，B＝{2，4，8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）设集合A＝{a1，a2，a3，2020}．a1＜a2＜a3＜2020，且a i∈N*（i＝1，2，3），若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值；（Ⅲ）设集合A＝{a1，a2，…，a n}，其中数列{a n}为等比数列，a i＞0（i＝1，2，…，n）且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．参考答案一、单选题（共10小题）.1．复数i（3+i）＝（）A．1+3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．﹣1﹣3i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：i（3+i）＝3i+i2＝﹣1+3i．故选：B．2．函数f（x）＝tan（x+）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【分析】由题意利用函数f（x）＝A tan（ωx+φ）的最小正周期为，得出结论．解：函数f（x）＝tan（x+）的最小正周期为＝π，故选：C．3．已知向量＝（1，﹣），＝（﹣2，m），若与共线，则||＝（）A．B．C．D．2【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得m＝（﹣）×（﹣2）＝1，即可得＝（﹣2，1）；由向量模的计算公式计算可得答案．解：根据题意，向量＝（1，﹣），＝（﹣2，m），若与共线，则有m＝（﹣）×（﹣2）＝1，则＝（﹣2，1）；则||＝＝；故选：B．4．在二项式（1﹣2x）5的展开式中，x3的系数为（）A．40B．﹣40C．80D．﹣80【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中的x3系数．解：（1﹣2x）5展开式的通项公式为•（﹣2x）r，故令r＝3，可得其中的x3系数为•（﹣2）3＝﹣80，故选：D．5．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝x﹣2B．y＝|lnx|C．y＝2﹣x D．y＝x sin x【分析】根据函数性质，分别判断两个函数的奇偶性和单调性即可．解：A．f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，满足条件B．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．C．函数为非奇非偶函数，不满足条件．D．f（﹣x）＝﹣x sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），f（x）为偶函数，在（0，+∞）不具备单调性，不满足条件．故选：A．6．将函数f（x）＝cos2x图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，如果g（x）在区间[0，a]上单调递减，那么实数a的最大值为（）A．B．C．D．【分析】根据条件先求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．解：将函数f（x）＝cos2x图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（x）＝cos2（x+）＝cos（2x+），设θ＝2x+，则当0＜x≤a时，0＜2x≤2a，＜2x+≤2a+，即＜θ≤2a+，要使g（x）在区间[0，a]上单调递减，则2a+≤π得2a≤，得a≤，即实数a的最大值为，故选：B．7．设点A，B，C不共线，则“”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【分析】由于点A，B，C不共线，则⇔（+）•＝0⇔（+）•（﹣）＝﹣＝0⇔＝⇔“”，根据充分必要条件的定义判断即可．解：由于点A，B，C不共线，则⇔（+）•＝0⇔（+）•（﹣）＝﹣＝0⇔＝⇔“”；故“”是“”的充分必要条件．故选：C．8．有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）A．8B．7C．6D．4【分析】则从下往上第二层正方体的棱长为：＝4，从下往上第三层正方体的棱长为：＝4，从下往上第四层正方体的棱长为：＝2，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法．解：最底层正方体的棱长为8，则从下往上第二层正方体的棱长为：＝4，从下往上第三层正方体的棱长为：＝4，从下往上第四层正方体的棱长为：＝2，从下往上第五层正方体的棱长为：＝2，从下往上第六层正方体的棱长为：＝，从下往上第七层正方体的棱长为：＝1，从下往上第八层正方体的棱长为：＝，∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8．故选：A．9．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．0【分析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数．解：由三视图还原原几何体如图，其中△ABC，△BCD，△ADC为直角三角形．∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3．故选：C．10．在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2）．L1＝60dB，L2＝75dB，那么＝（）A．10B．10C．﹣D．10【分析】由得lgI＝﹣12，分别算出I1和I2的值，从而得到的值．解：∵，∴L＝10（lgI﹣lg10﹣12）＝10（lgI+12），∴lgI＝﹣12，当L1＝60时，lgI1＝＝＝﹣6，∴I1＝10﹣6，当L2＝75时，lgI2＝＝＝﹣4.5，∴I2＝10﹣4.5，∴＝10，故选：D．二、填空题（共5题，每题5分，共25分）11．已知抛物线y2＝2px的焦点与双曲线﹣y2＝1的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为（2，0）；准线方程为x＝﹣2．【分析】由双曲线方程求得双曲线的右顶点坐标，可得抛物线的焦点坐标，进一步求得抛物线的准线方程．解：双曲线﹣y2＝1的右顶点坐标为（2，0），即抛物线y2＝2px的焦点坐标为（2，0）；则抛物线的直线方程为x＝﹣2．故答案为：（2，0）；x＝﹣2．12．（x+1）7的展开式中x3的系数是35．【分析】利用二项式定理求得（x+1）7的展开式的通项公式，进而求得结果．解：∵（x+1）7的展开式的通项公式为T r+1＝C x7﹣r，r＝0，1， (7)∴（x+1）7的展开式中x3的系数为C＝35．故填：35．13．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，E为AC的中点，则＝﹣1．【分析】先在△ABC中，利用余弦定理，算出，确定△ABC是以A为直角的直角三角形，然后＝，结合平面向量数量积的运算法则求解即可．解：由于∠ABC＝60°，BC＝2AB＝2，根据余弦定理可知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝，∴，△ABC为直角三角形，且A为直角，∴＝．故答案为：﹣1．14．已知两点A（﹣1，0），B（1，0），若直线x﹣y+a＝0上存在点P（x，y）满足•＝0，则实数a满足的取值范围是[﹣，]．【分析】问题转化为求直线l与圆x2+y2＝1有公共点时，a的取值范围，利用数形结合思想能求出结果．解：∵直线l：x﹣y+a＝0，点A（﹣1，0），B（1，0），直线l上存在点P满足•＝0，∴P的轨迹方程是x2+y2＝1．∴如图，直线l与圆x2+y2＝1有公共点，∴圆心O（0，0）到直线l：x﹣y+a＝0的距离：d＝≤1，解得﹣≤a．∴实数a的取值范围为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．15．集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为②③．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+；【分析】根据曲线性质求出集合A，B对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即可．解：A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，x≥0，y≥0时，即x+y＝a表示在第一象限内的线段将x，y分别换成﹣x，﹣y方程不变，因此|x|+|y|＝a关于x轴对称，也关于y轴对称那么，集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}表示点集为正方形，∵|xy|+1＝|x|+|y|∴|xy|﹣|x|﹣|y|+1＝0即（|x|﹣1）（|y|﹣1）＝0∴|x|＝1或|y|＝1即x＝±1，y＝±1B＝{（x，y）|x＝±1，或x＝±1}，表示2组平行线，A∩B为8个点，构成正八边形①如图1，∠AOB＝45°又A（1，a﹣1），∴tan∠xOA＝a﹣1，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝1，即2a﹣2＝2a﹣a2，∴a2＝2∵a＞0，∴a＝②如图2，∠AOB＝45°又A（a﹣1，1）∴tan∠xOA＝，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝＝1，即2a﹣2＝﹣2a+a2，∴a2﹣4a+2＝0，解得a＝2+或a＝2﹣（舍），综上a＝或a＝2+．故答案为：②③．三、解答题（共6小题，共85分，每题必须写出详细的解答过程）16．已知△ABC，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】选①，先利用余弦定理可解得c＝3，从而求得三角形面积为，由此作出判断；选②，先利用余弦定理可得，结合已知条件可知△ABC是A为直角的三角形，进而求得面积为，此时S＞2不成立．解：选①，△ABC的面积S＞2成立，理由如下：当时，，所以c2﹣2c﹣3＝0，所以c＝3，则△ABC的面积，因为，所以S＞2成立．选②，△ABC的面积S＞2不成立，理由如下：当时，，即，整理得，，所以，因a2＝7，b2+c2＝4+3＝7，所以△ABC是A为直角的三角形，所以△ABC的面积，所以不成立．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人专项员工人数老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可．（Ⅱ）随机变量X的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80＝400人，抽取的老年员工人，中年员工人，青年员工人．（Ⅱ）X的可取值为0，1，2，，，．所以X的分布列为X012P数学期望E（X）＝．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．【分析】（Ⅰ）只需证明GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E，由线面垂直的判定定理可得证明；（Ⅱ）以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，求得平面AGH的法向量和平面EBHG的法向量．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900），即可得到所求值；（Ⅲ）由，则，由．计算可得所求值．解：（Ⅰ）证明：在左图中，△ABD为等边三角形，E为AD中点所以BE⊥AD，所以BE⊥AE．因为∠AEG＝90°，所以GE⊥AE．因为GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E所以AE⊥平面EBHG．（Ⅱ）设菱形ABCD的边长为2，由（Ⅰ）可知GE⊥AE，BE⊥AE，GE⊥BE．所以以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间坐标系可得A（1，0，0），，G（0，0，1），．，设平面AGH的法向量为，所以，即．令x＝1，则．平面EBHG的法向量为．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900）．（Ⅲ）由，则，所以．因为EF∥平面AGH，则．即1﹣2λ＝0．所以．19．已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l 的斜率．【分析】（Ⅰ）由题可知，c＝1，，再结合a2＝b2+c2，解出a和b的值即可得解；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，写出两根之和与系数的关系；由于M为线段AB的中点，利用中点坐标公式可用k表示点M的坐标，利用可求出直线OM的斜率，进而得解；（Ⅲ）若四边形OAPB为平行四边形，则，利用平面向量的线性坐标运算可以用k表示点P的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k的方程，解之即可得解．解：（Ⅰ）由题意可知，c＝1，，∵a2＝b2+c2，∴，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y得，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，则，∵M为线段AB的中点，∴，，∴，∴为定值．（Ⅲ）若四边形OAPB为平行四边形，则，∴，，∵点P在椭圆上，∴，解得，即，∴当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为．20．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．【分析】（Ⅰ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），则h′（x）＝，利用当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况可得当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立；（Ⅱ）当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），则＝，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．通过对x变化时，m′（x），m（x）的变化情况的分析，可得答案．解：令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），所以h′（x）＝2x ﹣＝，令h′（x ）＝＝0，解得x ＝，当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）h′（x），﹣0+h （x），减极小值增所以在（0，+∞）的最小值为h （）＝﹣aln ＝﹣ln，令h （）＞0，解得0＜a＜2e，所以当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立．（Ⅱ）可作出2条切线．理由如下：当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），g′（x0）＝，即＝，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．当x变化时，m′（x），m（x）的变化情况如下表：x（0，e）e（e，+∞）m′（x）﹣0+m（x）减极小值增所以m（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，且m （）＝ln ﹣+1＝﹣+1＞0，m（e）＝elne﹣2e+1＝﹣e+1＜0，m（e2）＝e2lne2﹣2e2+1＝1＞0，所以m（x ）在（，e）和（e，e2）上各有一个零点，即xlnx﹣2x+1＝0有两个不同的解，所以过点（1，1）可以作出2条切线．21．有限个元素组成的集合A＝{a1，a2，…，a n}，n∈N*，记集合A中的元素个数为card （A），即card（A）＝n．定义A+A＝{x+y|x∈A，y∈A}，集合A+A中的元素个数记为card（A+A），当card（A+A ）＝时，称集合A具有性质P．（Ⅰ）A＝{1，4，7}，B＝{2，4，8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）设集合A＝{a1，a2，a3，2020}．a1＜a2＜a3＜2020，且a i∈N*（i＝1，2，3），若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值；（Ⅲ）设集合A＝{a1，a2，…，a n}，其中数列{a n}为等比数列，a i＞0（i＝1，2，…，n）且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知集合结合定义求得A+A与B+B，再由性质P的概念判断；（Ⅱ）首先说明若三个数a，b，c成等差数列，则A＝{a，b，c}不具有性质P，由a1＜a2＜a3＜2020，得a3≤2019，结合集合A具有性质P依次求出a3＝2019，a2＝2017，a1＝2014，可得a1+a2+a3的最大值；（Ⅲ）设等比数列的公比为q ，得（a1＞0）且q为有理数，假设当i＜k≤l＜j时有a i+a j＝a k+a l成立，则有q j﹣i＝q k﹣i+q l﹣i﹣1，设q＝（m，n∈N*且m与n互质），因此有﹣1，整理后出现矛盾，说明a i+a j＝a k+a l不成立，得到card（A+A）＝，说明集合A具有性质P．解：（Ⅰ）集合A不具有性质P，集合B具有性质P．事实上，∵A＝{1，4，7}，∴A+A＝{2，5，8，11，14}，card（A+A）＝5≠，故A不具有性质P；∵B＝{2，4，8}，∴B+B＝{4，6，8，10，12，16}，card（B+B）＝6＝，故B 具有性质P．（Ⅱ）若三个数a，b，c成等差数列，则A＝{a，b，c}不具有性质P，理由是a+c＝2b．∵a1＜a2＜a3＜2020，且a i∈N*（i＝1，2，3），∴a3≤2019，要使a1+a2+a3取最大，则a3＝2019，a2≤2018，易知{2018，2019，2020}不具有性质P，要使a1+a2+a3取最大，则a2＝2017，a1≤2016，要使a1+a2+a3取最大，检验可得a1＝2014；∴（a1+a2+a3）max＝6050；（Ⅲ）集合A具有性质P．设等比数列的公比为q，∴（a1＞0）且q为有理数．假设当i＜k≤l＜j时有a i+a j＝a k+a l成立，则有q j﹣i＝q k﹣i+q l﹣i﹣1．∵q为有理数，设q＝（m，n∈N*且m与n互质），因此有﹣1，即m j﹣i＝m k﹣i n j﹣k+m l﹣i n j﹣l﹣n j﹣i．上式左边是m的倍数，右边是n的倍数，而m与n互质，显然a i+a j＝a k+a l不成立．∴card（A+A）＝，故集合A具有性质P．。