状态转移矩阵

x A (t )
a1n (t ) x1 x 2 (1 50) ann (t ) x n
x
因此，其解向量x(t) 必然属于 。称 Y (t )是微 分方程(1-50)的一个解，系指：
n
Y (t ) A(t )Y (t )
定理1—2 方程dx/dt=A(t)x 的所有解的集合，组 成了实数域上的n 维向量空间。 要证： a) 解的集合组成线性空间； b) 解空间的维数是n 。分成两部分证明：1） dx/dt=A(t)x有n个线性无关的解；2）其任一 解均可表成它们的线性组合。 证明： a) 方程所有解构成线性空间：任取dx/dt=A(t)x的 两个解1、 2，则对任意的实数1和2，有 d (a 1Y1 a 2 Y2 ) a 1Y1 a 2 Y2 a 1A (t )Y1 a 2 A(t )Y2 dt A (t )(a 1Y1 a 2 Y2 )
A = PAP -1
B = PB
C = CP
-1
（1 — 68）
D=D
动态方程是等价动态方程的必要条件是它们 的维数相同和传递函数阵相同。但反之未必成立。 定义（零状态等价）：两个时不变动态系统称为 是零状态等价的，当且仅当它们具有相同的脉冲 响应矩阵或相同的传递函数阵。 根据这个定义，两个等价的动态方程显然是 零状态等价的。但反之不真（见习题）。
1
2
Y (t )
2) 证明dx/dt=A(t)x的任一解均可表成它们的线性 组合 ，即解的集合组成了n维线性空间。 令 Y 是方程dx/dt=A(t)x满足初条件 Y (t0 ) e
1 2 e 的任一解。e 显然可唯一地被 , e ,
, en 线性表出：
e a1e1 a 2e2
an en ai ei
[Y 1 Y 2
特别，当t=t0时就有
Y n ]a 0
n
t
[Y (t0 ) Y (t0 ) [e
1
1
2
Y (t0 )]a e ]a 0
n
e
2
上式意味着向量组 e1 , e2 , 先假设矛盾。矛盾表明
, en 线性相关，这写原
n
Y (t ), Y (t ),
在 (, ) 上线性无关。
t
0
的解由式（1—54）给出：
x(t ) t , t0 x (t , )B( )u( )d
0 t0
(1 54)
其中
t , t0 x
0
是初值x0的线性函数，称为零输 入响应 是外作用u的线性函数， 称为零状态响应

t
t0
Φ(t , t )B(t )u(t )d t
其中E为某个非奇异常量矩阵。
(1- 51)
定理1—3 方程 x = A(t )x的基本矩阵对于 (, 中) 的每一个 t 均为非奇异矩阵。 在证明该定理之前，需要了解如下命题： 命题：
若 Y (t ) 是微分方程 x= A(t )x 的一个解，且对某个 t0，有 Y (t 0 ) 0 , 则
式对应的传递函数阵
(1 65)
G(s) C(sI A)1 B D
这是一个有理函数矩阵。
(1 66)
四、等价变换,等价动态方程
1. 时不变系统的等价动态方程 定义1—10 线性时不变方程 x = Ax Bu
x Px
(1 67)
y Cx Du
称为原系统(A, B, C, D) 的等价动态方程，当且仅 当存在非奇异矩阵P，使得
1 1
4). 由基本矩阵的性质 Y = A (t )Y
Y (t 0 ) E
可证明 Φ t ,t 0 是下列矩阵微分方程的唯一解：
d Φ(t , t 0 ) A(t )Φ(t , t 0 ) dt Φ(t 0 , t 0 ) I (1 52)
0 x ( t ) x 5).齐次方程dx/dt=A(t)x在初始条件 0
0
(1 63)
y(t ) Ce x(0) CeA (t t )Bu(t )d t Du(t )
At 0
t
(1 64)
式对应的脉冲响应矩阵
t t
G(t t ) Ce
tt
A ( t t )
B Dd(t t )
G (t , t ) 0
或更通常地写为
G(t ) CeAt B D (t ), t 0
证明：反证法。若不然，设有t0，使得基本矩阵
Y (t 0 )为奇异阵。于是，存在非零实向量 ，使得
[Y 1 (t 0 ) Y 2 (t 0 )
由于
Y n (t 0 )]a ai Y i (t 0 ) 0
i 1
n
a Y (t
i i 1 i
n
0
) 0 是微分方程的一个解，故
i
由以上命题知
1. 基本矩阵 定义1—8：以方程 x = A(t )x 的 n 个线性无关解所构 成的矩阵
[Y 1 (t ) Y 2 (t )
Y n (t )]: Y (t ), t (, )
称为方程 x = A(t )x 的基本矩阵或基本解矩阵。 根据 定理1-2，基本矩阵具有如下性质：
Y = A (t )Y Y (t 0 ) E
B(t ) P(t )B(t )
C(t ) C(t )P (t )
1
（1—71）
D(t ) D(t )
3. 经等价变换后系统的基本矩阵和状态转移矩阵： 若(t,t0)是(A(t), B(t), C(t), D(t))的状态转移矩 阵，则 P(t)(t,t0)P-1(t0) 是 (A(t ), B(t ), C(t ), D(t )) 的转移矩阵。 若(t) 是(A(t), B(t), C(t), D(t))的一个基本矩阵， 则 P(t)(t)
例：试证明状态转移矩阵是唯一的，即状态转移 矩阵与基本矩阵的选取无关。
三、非齐次方程的解
1. 时变线性系统的解
x A(t )x B(t )u
令
(1 49)
x(t ) Φ t, t0 ξ(t )
(s 1)
则容易得到如下结论：
定理1—5 状态方程
x A(t )x B(t )u x(t0 ) x
b)证明解空间的维数是n： 1 2 n e , e , , e 1)设 Y i (t )是在初 是个n个线性无关的向量， 始条件 i i Y (t0 ) e (i=1，2，…，n)
1 2 n x A ( t ) x Y , Y , , Y 时方程 的解。要证明， 是线
性无关的 n个解。
1 2 n Y , Y , , Y 反证法。 若线性相关，必存在 一个n×1非零实向量 使得
上的解x=x(t) ，满足初值条件 0 x(t 0 ) x ( A2)
并且方程(A1)也只能有一个解满足(A2)。
x =A(t)x 打开后的形式是： 说明：
x1 a11 (t ) a12 (t ) x 2 x n an 1 (t )
Y (t ) 0, t
证明：显然，x(t ) 0, t 是方程的一个解；又已知
Y (t 0 ) 0
由于满足上述初始条件的解只有一个，故必有
Y (t ) x(t ) 0, t
证完。
(, ) 定理1—3 方程dx/dt=A(t)x的基本矩阵对于 中的每一个 t 均为非奇异矩阵。
i 1
n
a i Y (t ) 是方程dx/dt=A(t)x满足初 容易验证， i 1 值条件
i
n
ai Y
i 1
n
i
(t 0 ) ai e e
i i 1
n
的解。根据唯一性定理，满足初值条件的解只有一 个。故必有
Y (t )
i a Y i (t ) i 1 n
证完。
二、基本矩阵与状态转移矩阵
解为
x(t ) e
y(t ) Ce
A ( t t0 )
x eA (t t ) Bu(t )d t
0 t0
t t0
t
A ( t t0 )
x CeA (t t ) Bu(t )d t Du(t )
0
通 常 假 定 t0=0， 这 时 则 有 t At x(t ) e x(0) eA (t t )Bu(t )d t
a Y (t ) 0, t
i 1 i
n
这与基本矩阵的定义相矛盾。
证完。
定理1—4 若 Y1、Y2均为dx/dt=A(t)x的基本矩
阵，则存在n×n非奇异实常量矩阵C，使得
Ψ1 (t ) Ψ2 (t ) C
证明：根据基本矩阵的性质即可证明。
2. 状态转移矩阵
定义1—9 令 (t ) 是的任一基本矩阵，则
§1—3 线性动态方程与等价动态方程
来自百度文库
一、齐次方程的解 x= A(t )x
(1- 50)
x (t 0 ) x R
0 n
首先考虑一般的线性微分方程：
x= A (t )x+ f (t ),
的解的性质。
x , f R n , A (t ) (aij (t ))n n
(A1)
预备定理（解的存在和唯一性）设A及f 的每个元素 ) t 0 (, ) aij(t) ，fi 均在 ( , 上连续，则对于任何 及任何常向量x0，方程(A1) 恒有定义在整个 ( , )
2. 时变系统的等价动态方程 设线性时变动方程为
x A(t )x B(t )u y C(t )x D(t )u
(1 69)
x(t ) P(t )x(t )
其中P(t )为定义在(, )上的复数 矩阵，对所有t ，P(t )非奇异且关于 t 是连续可微的。
定义1—10′动态方程
F t ,t 0 Y (t )Y 1 (t 0 )
称为(1—50)的状态转移矩阵，这里 t , t 0 (, )
状态转移矩阵具有下列重要性质：
1). Φ t , t I 2). Φ 3).
t , t 0 Ψ(t 0 )Ψ (t ) Φ t 0 , t Φ t 2 , t 0 Φ t 2 , t1 Φ t1 , t 0
x A(t ) x B(t )u y C(t ) x D(t )u
x(t ) P(t )x(t )
(1 70)
称为(A(t), B(t), C(t), D(t)) 的代数等价动态方程， 当且仅当存在P(t)，使得
-1 A (t ) P ( t ) A ( t ) P ( t ) P (t )
下的
解为
故 Φ t , t0 可看作一个线性变换，它将t0时的状态x0 映射到时刻t 的状态x(t)。事实上，
x(t ) Φt, t0 x0
（1－53）
x(t)总可以表示为 x(t ) Ψ(t )α, α 0 特别， x(t0 ) Ψ(t0 )α α Ψ-1 (t0 )x(t0 ) 将其代入上式，就是所要证明的。
2. 输入输出关系 推论1—5 动态方程（1—34）的输出为
y (t ) C(t ) t , t0 x 0 C(t )(t , t )B(t )u(t )d t D(t )u(t )
t0 t
(1 57)
特别，若 x(t0)=0，可得到脉冲响应矩阵：
t t : G(t , t ) C(t )(t , t )B(t ) D(t )d(t t ) t t : G(t , t ) 0
)) 是 (A(t ), B(t ), C(t ), D(t 的一个基本矩阵；
这里利用了脉冲函数的采样特性。
3. 线性时不变动态方程的解 线性时不变动态方程：
x Ax Bu y = Cx + Du (1 60)
其中A、B、C和D分别为n×n、n×p、q×n和 q×p的实常量矩阵。由对应的齐次方程可得： 基本矩阵为:
e
At
状态转移矩阵:
Φ t ,t 0 e At (e At 0 )1 e A(t t 0 ) Φ t t 0