高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1_1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法学业分层测

第1章不等式的基本性质和证明的基本方法 1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法学业分层测评新人教B版选修4-5
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－2x－3≤0}，则∁U M＝( )
A.{x|－1≤x≤3}
B.{x|－3≤x≤1}
C.{x|x＜－3或x＞1}
D.{x|x＜－1或x＞3}
【解析】法一：因为M＝{x|－1≤x≤3}，全集U＝R，
所以∁U M＝{x|x＜－1或x＞3}.
法二：因为M＝{x|x2－2x－3≤0}，所以
∁U M＝{x|x2－2x－3＞0}＝{x|x＜－1或x＞3}.
【答案】 D
2.设a＞1，且m＝log a(a2＋1)，n＝log a(a－1)，
p＝log a(2a)，则m，n，p的大小关系为( )
A.n＞m＞p
B.m＞p＞n
C.m＞n＞p
D.p＞m＞n
【解析】当a＞1时，
∵a2＋1－2a＝(a－1)2＞0，
∴a2＋1＞2a.
∵2a－(a－1)＝a＋1＞0，∴2a＞a－1，
∴a2＋1＞2a＞a－1.
∵函数y＝log a x(a＞1)单调递增，
∴m＞p＞n.
【答案】 B
3.关于x的不等式x2－ax－20a2＜0任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是( )
A.2
B.1
C.0
D.－1
【解析】方程x2－ax－20a2＝0的两根是x1＝－4a，x2＝5a，由关于x的不等式x2－ax－20a2＜0任意两个解的差不超过9，得|x1－x2|＝|9a|≤9，
即－1≤a≤1.
【答案】 C
4.不等式f (x )＝ax 2
－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )
【解析】 由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＜0，
－2＋1＝1a ，
－2×1＝－c
a
，
解得a ＝－1，c ＝－2，f (x )＝－x 2
－x ＋2， 则函数y ＝f (－x )＝－x 2
＋x ＋2.故方选C. 【答案】 C
5.若a >b >0，则下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b >a
b B.b 2＋1a 2＋1>b 2a
2 C.a ＋1a >b ＋1b
D.a a
>b b
【解析】 选取适当的特殊值，若a ＝2，b ＝1，可知
2a ＋b a ＋2b ＝54，a
b
＝2，由此可知选项A 不成立.利用不等式的性质可知，当a >b >0时，1a <1b ，由此可知，选项C 不恒成立.取a ＝1
2
，
b ＝14
，则a >b >0，则a a ＝b b ，故选项D 不恒成立.
【答案】 B 二、填空题 6.给出四个条件：
①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0. 能得出1a <1
b
成立的有________.
【解析】 1a <1b ⇔1a －1b
<0⇔b －a
ab
<0，
∴①②④可推出1a <1
b
成立. 【答案】 ①②④
7.已知x ＝1是不等式k 2x 2
－6 kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是________.
【导学号：】
【解析】 由题意知，k 2－6k ＋8≥0， 即(k －2)(k －4)≥0， ∴k ≥4或k ≤2，又∵k ≠0，
∴k 的取值范围是(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞). 【答案】 (－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)
8.已知方程x 2
＋(2m －3)x ＋m 2
－15＝0的两个根一个大于－2，一个小于－2，则实数m 的取值范围为________.
【解析】 设函数f (x )＝x 2
＋(2m －3)x ＋m 2
－15， 则由题意：
即⎩
⎪⎨⎪⎧
－12m ＋69＞0，m 2
－4m －5＜0，
∴－1＜m ＜5. 【答案】 (－1,5) 三、解答题
9.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R 元(叫做税率R %)，则每年的销量将减少10R 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税税金不少于112万元，问R 应怎样确定？
【解】 设销售量为每年x 万瓶，则销售收入为每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·R %万元，其中x ＝100－10R .
由题意得，70×(100－10R )·R %≥112， 整理得，R 2
－10R ＋16≤0， 解得2≤R ≤8.
答：当2≤R ≤8时，每年在此项经营中所收附加税税金不少于112万元. 10.已知π＜α＋β＜4π3，－π＜α－β＜－π
3，求2α－β的取值范围.
【解】 设2α－β＝A (α＋β)＋B (α－β)， 则2α－β＝(A ＋B )α＋(A －B )β.
比较两边系数得⎩⎪⎨
⎪⎧
A ＋
B ＝2，
A －
B ＝－1
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
A ＝1
2，B ＝3
2，
∴2α－β＝12(α＋β)＋3
2(α－β).
∵π2＜12(α＋β)＜2
3π， －
3π2＜32(α－β)＜－π2
，
∴－π＜2α－β＜π
6.
故2α－β∈⎝
⎛⎭⎪⎫－π，π6. [能力提升]
1.已知a ∈[－1,1]，不等式x 2
＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞)
D.(1,3)
【解析】 把不等式的左端看成关于a 的一次函数， 记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2
－4x ＋4)，
则f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立， 有f (－1)＝x 2
－5x ＋6＞0， ① 且f (1)＝x 2
－3x ＋2＞0，
②
联立①②解得x ＜1或x ＞3.故选C. 【答案】 C
2.已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －d
b
＞0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 由已知可组成三个命题.
①若ab ＞0，bc －ad ＞0，则c a －d b
＞0，此命题正确，
只需在不等式bc －ad ＞0两侧同除以ab ，根据不等式性质，整理即得结论； ②若ab ＞0，c a －d b ＞0，则bc －ad ＞0，此命题正确，只需在不等式c a －d b
＞0两侧同乘以
ab ，
根据不等式性质，整理即得结论；
③若c a －d b ＞0，bc －ad ＞0，则ab ＞0，此命题正确，因为c a －d b ＞0⇔bc －ad
ab
＞0， 又因为bc －ad ＞0，故ab ＞0. 【答案】 D
3.若不等式－x 2
＋2x －m ＞0在x ∈[－1,0]上恒成立，则m 的取值范围是________. 【解析】 由m ＜－x 2
＋2x 知m 只需小于u ＝－x 2
＋2x ，x ∈[－1,0]的最小值即可. 又∵u 在[－1,0]上递增，
∴u min ＝－1－2＝－3， ∴m ＜－3.
【答案】 (－∞，－3)
4.不等式ax 2
－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }. (1)求a ，b ；
(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.
【解】 (1)∵ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， ∴x 1＝1，x 2＝b 是方程ax 2
－3x ＋2＝0的两实根，且b >1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＋b ＝3a ，
1×b ＝2
a
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝2.
(2)不等式ax 2
－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2
－(2＋c )x ＋2c <0， ∴(x －2)(x －c )<0.
①当c >2时，(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； ②当c <2时，(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； ③当c ＝2时，(x －2)(x －c )<0的解集为∅.。