高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1_1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法学业分层测

第1章不等式的基本性质和证明的基本方法 1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法学业分层测评新人教B版选修4-5

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－2x－3≤0}，则∁U M＝( )

A.{x|－1≤x≤3}

B.{x|－3≤x≤1}

C.{x|x＜－3或x＞1}

D.{x|x＜－1或x＞3}

【解析】法一：因为M＝{x|－1≤x≤3}，全集U＝R，

所以∁U M＝{x|x＜－1或x＞3}.

法二：因为M＝{x|x2－2x－3≤0}，所以

∁U M＝{x|x2－2x－3＞0}＝{x|x＜－1或x＞3}.

【答案】 D

2.设a＞1，且m＝log a(a2＋1)，n＝log a(a－1)，

p＝log a(2a)，则m，n，p的大小关系为( )

A.n＞m＞p

B.m＞p＞n

C.m＞n＞p

D.p＞m＞n

【解析】当a＞1时，

∵a2＋1－2a＝(a－1)2＞0，

∴a2＋1＞2a.

∵2a－(a－1)＝a＋1＞0，∴2a＞a－1，

∴a2＋1＞2a＞a－1.

∵函数y＝log a x(a＞1)单调递增，

∴m＞p＞n.

【答案】 B

3.关于x的不等式x2－ax－20a2＜0任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是( )

A.2

B.1

C.0

D.－1

【解析】方程x2－ax－20a2＝0的两根是x1＝－4a，x2＝5a，由关于x的不等式x2－ax－20a2＜0任意两个解的差不超过9，得|x1－x2|＝|9a|≤9，

即－1≤a≤1.

【答案】 C

4.不等式f (x )＝ax 2

－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )

【解析】 由题意得⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＜0，

－2＋1＝1a ，

－2×1＝－c

a

，

解得a ＝－1，c ＝－2，f (x )＝－x 2

－x ＋2， 则函数y ＝f (－x )＝－x 2

＋x ＋2.故方选C. 【答案】 C

5.若a >b >0，则下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b >a

b B.b 2＋1a 2＋1>b 2a

2 C.a ＋1a >b ＋1b

D.a a

>b b

【解析】 选取适当的特殊值，若a ＝2，b ＝1，可知

2a ＋b a ＋2b ＝54，a

b

＝2，由此可知选项A 不成立.利用不等式的性质可知，当a >b >0时，1a <1b ，由此可知，选项C 不恒成立.取a ＝1

2

，

b ＝14

，则a >b >0，则a a ＝b b ，故选项D 不恒成立.

【答案】 B 二、填空题 6.给出四个条件：

①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0. 能得出1a <1

b

成立的有________.

【解析】 1a <1b ⇔1a －1b

<0⇔b －a

ab

<0，

∴①②④可推出1a <1

b

成立. 【答案】 ①②④

7.已知x ＝1是不等式k 2x 2

－6 kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是________.

【导学号：】

【解析】 由题意知，k 2－6k ＋8≥0， 即(k －2)(k －4)≥0， ∴k ≥4或k ≤2，又∵k ≠0，

∴k 的取值范围是(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞). 【答案】 (－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)

8.已知方程x 2

＋(2m －3)x ＋m 2

－15＝0的两个根一个大于－2，一个小于－2，则实数m 的取值范围为________.

【解析】 设函数f (x )＝x 2

＋(2m －3)x ＋m 2

－15， 则由题意：

即⎩

⎪⎨⎪⎧

－12m ＋69＞0，m 2

－4m －5＜0，

∴－1＜m ＜5. 【答案】 (－1,5) 三、解答题

9.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R 元(叫做税率R %)，则每年的销量将减少10R 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税税金不少于112万元，问R 应怎样确定？

【解】 设销售量为每年x 万瓶，则销售收入为每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·R %万元，其中x ＝100－10R .

由题意得，70×(100－10R )·R %≥112， 整理得，R 2

－10R ＋16≤0， 解得2≤R ≤8.

答：当2≤R ≤8时，每年在此项经营中所收附加税税金不少于112万元. 10.已知π＜α＋β＜4π3，－π＜α－β＜－π

3，求2α－β的取值范围.

【解】 设2α－β＝A (α＋β)＋B (α－β)， 则2α－β＝(A ＋B )α＋(A －B )β.

比较两边系数得⎩⎪⎨

⎪⎧

A ＋

B ＝2，

A －

B ＝－1

⇒⎩⎪⎨⎪⎧

A ＝1

2，B ＝3

2，

∴2α－β＝12(α＋β)＋3

2(α－β).

∵π2＜12(α＋β)＜2

3π， －

3π2＜32(α－β)＜－π2

，