导数解决三次函数问题

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共点，求b的取值范围.
练习：
已知函数f (x) x3 bx2 cx d (b、c、d为常数），当k (,0) (4,)时， f (x) k 0.只有一个实根；当k (0,4)时，f (x) k 0有3个相异实根。 现给出下列四个命题：
①、f (x) 4和f (x) 0有一个相同的实根 ②、f (x) 0和f (x) 0有一个相同的实根 ③、f (x) 3 0的任一实根大于f (x) 1 0的任一实根 ④、f (x) 5 0的任一实根小于f (x) 2 0的任一实根
△>0
a>0 △=0
△<0
△>0
a<0 △=0
△<0
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增区间:
单 (-∞, x1), 调 (x2, +∞)
f(x)= 性 减区间:
ax3+b x2+cx
(x1, x2)
+d 图
象
增区间: (-∞, +∞)
增区间: (-∞, +∞)
减区间: (-∞, x1), (x2, +∞)
增区间: (x1, x2)
2. 三次函数极大值等于零或极小值等于 零时图像与x轴交点有二个；
3. 三次函数极大值大于零且极小值小于 零时图像与x轴交点有三个.
三、与三次函数有关问题
例1、（2009北京文）设函数. f (x) x3 3ax b(a 0)
（Ⅰ）若曲线 y f (x)在点 (2, f (2)) 处与直线 y 8 相切，
其中正确命题的是__①_②__④___
演示
四、品一品：
从本节课的学习中，体会到了什么？
课堂小结
本节课我们运用了导数工具对三次函数进行初步研究： （1）了解三次函数图像形状 （2）了解三次函数的性质（单调性、极值、与x轴交点情况） （3）初步掌握三次函数的有关题型：
①切线问题 ②单调性与极值问题 ③ 图像交点与方程解的问题 并从中体会等价转化思想、函数与方程思想、数形结合思想及分 类讨论思想在解题中的重要作用。
例2：设函数 f (x) x3 9 x2 6x a ,若方程 f(x)=0 有且仅有一
2
个实根，求 a 的取值范围．
变式：
（1）若方程 f(x)=0 有三个不同的实根，求 a 的取值范围 （2）若函数y=f(x)图象与直线y=4 有三个不同的实根，求 a
的取值范围
（3）设函数 g(x)=2x+b-a.若f(x)、g(x)图像只有一 个公
求 a, b 的值；
（Ⅱ）求函数 f (x) 的单调区间与极值点.
小结1： （1）、切线问题：首先，关注是“过”某点还是“在”某点；其次，对于“在”某点
处的切线问题主要是从三方面考虑（f ' (x0） k；点(x0 , y0 )在曲线上；点(x0 , y0 )在切线上） （2）、单调性、极值问题：从导函数入手，列表分析。
思考:已知函数 f（x）=x3-x.
(1)求曲线y=f (x)在点M(t, f(t))处的切线方程; (2)设a>0,若过点A(a,b)可以作曲线y= f（x）的三条切线, 求证:-a<b<f(a).
五、练习题：
已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的 图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
4
4
-2 -2
-4 -4
-6
2
2
-6
-8 -8
-15
-10
-5
-15
-10 5
-5 10
15
5
10
6
-2
-2
6
4 4
2
-15
-10
-5
C -2
5
10
15
2
-15
-10
-5
C
-2
5
10
15
-4
-4
-4
-4
-6
-6
-6 -6
-8
-8
-8
-8
结论:
1. 三次函数没有极值或极大值小于零或 极小值大于零时图像与x轴交点只有一个；
减区间: (-∞, +∞)
减区间: (-∞, +∞)
引例2： 方程x3－6x2+9x－10=0的实根个数是
-15
-10
2 -5
-2 -4 -6 -8 -10 -12
5
10
15
二、探一探： 三次函数图像与x轴交点有哪几种可能性？
6
6
6
6
4
4
2 2
C
-15
-10
-5
5
10
15
-15
-10
-5
5
10
15
课题：运用导数解决有关三次函数问题
引例1： 画一画：如何画出下面三次函数的图像？ Y
导函数：
y x2 2x 3
函数：
几何画板演示
y 1 x3 x2 3x 1 3
-1 O Y
X 3
-1 O
X 3
一、想一想:三次函数与其导函数图象之间的关系
判
f′(x)
别 式
=
3ax2+ 2bx+c 图
象