3.3第一类换元积分法
3.3第一类换元积分法
§3.3 第一类换元积分法教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。
重点：第一类类换元积分法及其应用 难点：第一类类换元积分法及其应用教学过程：一、问题的提出不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。
而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。
该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。
本节将介绍第一类换元法。
二、第一类换元积分法（凑微分法）我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。
下面先介绍第一类换元积分法。
定理 设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ证明 设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，⎰du u f )(=Cu F +)(.又因为u 是关于x 的可导函数)(x u ϕ=,所以有⎰⎰⎰+==='⋅C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([ϕϕϕϕϕϕ又)(])([x u du u f ϕ=⎰)(])([x u C u F ϕ=+=C x F +=)]([ϕ从而推得⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ 证毕推论 若 ⎰dx x f )(=C x F +)(成立，则⎰du u f )(=Cu F +)(.也成立，其中u 为x 的任一可导函数该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量x 换为u 的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。
《微积分》第二节 不定积分的第一类换元积分法
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例17 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
例4. 求 解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du 1u2
arcsin u
C
f [ ( x)] ( x)dx f ( (x))d (x)
(直接配元)
例5. 求 解:
sin cos
xdx x
dcos x cos x
类似地,
cos x dx sin x
d sin x sin x
2a xa
例7. 求
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x 1 2 ln x
)
例8. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例9 求
(1
1 x2
x 1
)e xdx.
解
x
1 x
1
1 x2
解
(1
x x
)3
dx
x 1 (1 x)
31dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
高等数学微积分教材答案
高等数学微积分教材答案第一章：导数与微分1.1 导数的定义1.1.1 极限的概念1.1.2 函数的极限1.1.3 导数的定义及计算方法1.2 导数的基本性质1.2.1 可导性与连续性的关系1.2.2 导数的四则运算法则1.2.3 导数的链式法则1.3 高阶导数与隐函数微分1.3.1 高阶导数的定义1.3.2 隐函数的导数计算方法1.4 微分的定义与微分公式1.4.1 微分的定义1.4.2 微分的性质1.4.3 微分公式第二章：微分学的应用2.1 函数的单调性与极值2.1.1 函数单调性的判定2.1.2 函数的极值与最值2.2 函数的凹凸性与拐点2.2.1 函数的凹凸性定义2.2.2 函数的拐点2.3 泰勒公式与函数的近似计算 2.3.1 泰勒公式的定义2.3.2 泰勒公式的应用2.4 最值问题与优化问题2.4.1 最值问题的分析方法2.4.2 优化问题的数学建模第三章：不定积分3.1 原函数与不定积分3.1.1 原函数的定义与性质3.1.2 不定积分的定义3.2 积分基本公式3.2.1 基本积分公式3.2.2 积分的线性性质3.3 第一类换元积分法3.3.1 第一类换元积分法的基本思想 3.3.2 第一类换元积分法的具体步骤3.4 分部积分法与第二类换元积分法 3.4.1 分部积分法的定义与应用3.4.2 第二类换元积分法的基本原理第四章：定积分与定积分的应用4.1 定积分的定义与性质4.1.1 定积分的几何意义4.1.2 定积分的性质4.2 定积分的计算方法4.2.1 定积分的基本计算方法4.2.2 定积分的换元法4.3 定积分的应用4.3.1 曲线与曲面的长度4.3.2 曲线与曲面的面积4.3.3 物理应用中的定积分4.4 微积分基本定理与不定积分的计算方法 4.4.1 微积分基本定理4.4.2 不定积分的计算方法第五章：数项级数5.1 数项级数的概念与性质5.1.1 数项级数的定义5.1.2 数项级数的性质5.2 收敛级数的判别法5.2.1 正项级数的判别法5.2.2 任意项级数的判别法5.3 幂级数与函数展开5.3.1 幂级数的收敛半径5.3.2 幂级数的函数展开5.4 常数项级数的求和5.4.1 等比级数的求和5.4.2 绝对收敛级数的求和第六章：级数的应用6.1 函数展开与泰勒级数6.1.1 函数展开与泰勒级数的概念6.1.2 泰勒级数的求法6.2 常微分方程与级数解6.2.1 常微分方程的基本概念6.2.2 幂级数解的构造6.3 分析几何中的级数应用6.3.1 曲线与曲面的参数方程6.3.2 空间曲线与曲面的求交问题6.4 物理学中的级数应用6.4.1 物理学中的振动问题6.4.2 物理学中的波动问题总结高等数学微积分教材涵盖了导数与微分、微分学的应用、不定积分、定积分与定积分的应用、数项级数和级数的应用等内容。
换元积分法(第一类换元法)
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。
所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=，dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
第一类换元积分法
dx dx 1 arctan x c . 20 . arcsin x c . 21 . 2 2 2 a a a x2 a a x dx x a 1 22 . 2 ln c . 2 2a x a x a
dx ax 1 23 . 2 ln c . 2 2a a x a x
例11. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
例12. 求
e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
被积函数中含有三角函数的例子 例13 求三角函数的不定积分
ln cos x cot xdx ? sin x sin x
ln sin x C
sec2 x 1 d tan x dx d x tan x ln tan x c 例 16 . sin x cos x tan x 1 sin2 x cos2 x sinx cos x dx sinx cos x dx (tan x cot x )dx ln cos x ln sin x C ln tan x C 1 1 x 例16ln tan x c . 例 17 . csc x dx d dx x cos x 2 2 sin x sin 2 2 2 sin 2 x 1 cos x x 2 tan csc x cot x . 2 2 sin x cos x sin x 2 2 csc x dx ln csc x cot x c . (新公式)
第一类换元法
原式=
x
2
1 2 1 ( ) x
例4. 求
想到公式
解:
1 dx 2 x 2 a 1 ( a )
dx 1 x2
1 1 x d ( ) 2 x a 1 ( a ) a
arctan x C
考虑求
例5. 求
解:
a
dx 1 (
x 2 a)
d( ) 1 (
x 2 a)
解法2
e d(1 e ) dx x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
x
x
ln(1 e x ) ln[e x (e x 1)] 两法结果一样
例9. 求 解:
sin
2
2
xdx
1 cos 2 x sin xdx dx 2 1 1 dx cos 2 xd (2 x) 2 4 1 1 x sin 2 x C 2 4
第一节 换元积分法
一、第一类换元积分法
二、第二类换元积分法
主讲：唐辉成
基本思路
设 F (u ) f (u ) , 可导, 则有
dF [ g ( x)] f [ g ( x)] g ( x)dx
F[ g ( x)] C F (u ) C
f (u )du
令u g ( x)
u g ( x)
u g ( x)
第一类换元法
一、第一类换元法
定理.
公式
设 f (u ) 有原函数 , u g ( x) 可导, 则有换元
f (u )du
即
u g ( x)
f [ g ( x)] g ( x)dx f ( g ( x))d g ( x)
§3.3定积分换元法
π 2
0
sin n xdx = − ∫
π 2
0
sin n −1 xd (cos x )
π 2 0
= − sin n −1 x cos x
[
= (n − 1) ∫
π 2 0 π 2
]
π 2 0
+∫
cos xd (sin n −1 x )
cos 2 x sin n − 2 xdx
= (n − 1) ∫
0
8．已知 g ( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt ，求 g′( x ) 。
0
x
g( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt
0
x 0
x
令x−t=u
=
− ∫ ( x − u ) f ′(u )du
x
0
= ∫ ( x − u ) f ′(u )du = x
x
∫0 f ′(u )du − ∫0 uf ′(u )du
a a ∫ 0 f(− x) dx
0
f(x) dx =
+
a ∫0
f(x) dx = ∫ [ f(x) + f(− x)] dx.
0
a
续上
∴∫
a
−a
f(x) dx = ∫ [f(x) + f( − x)] dx ，
0
a
（2）∵ f ( x ) 为偶函数，即 f (− x ) = f ( x ) ，
∴∫
π 2 sin 2 t − 1 dt π sin t 6
6 cos t dt = π cos t sin t 2
∫
6 cos t dt π cos t ⋅ sin t 2
第一类换元积分法
ln 2 x C 2
第二节 换元积分法
第四章 不定积分
第二节 换元积分法
例9、 sin2x cosxdx
例10、 2
sin x cos
x
dx
解：原式
u sin x
sin2xd sin x 解：原式
u 2du
1 (sin x)dx 2 cos x
1 u3 C 3
2
1 ( cos u) C 2
（4）u还原为x
1 cos(2x 3) C 2
1 4
sin
udu
1 ( cosu) C 4
1 cos(4x 5) C 4
第四章 不定积分
第二节 换元积分法
凑微分公式1：dx 1 d(ax b) a
例4、e5x3dx
练习2： e6x2dx
（1）凑微分
第二节 换元积分法
凑微分公式2：xdx 1 d(x2 b) 2
例6、xex2 2dx
凑微分公式 2：xdx 1 d (a x2 b) 2a
例7： xe3x2 2dx
（1）凑微分
解：原式 1 ex22d (x2 2) 2 （2）换元
1 2
eu du
（3）查积分公式写结果
解：原式 1 e3x2 2d (3x2 2) 6
2、利用微分公式凑微分
exdx dex
1 x2
dx
d
1 x
sin xdx d cos x
1 dx d x
cos xdx d sin x 2 x
1 dx d ln x x
2xdx dx2
第四章 不定积分
二、小结与布置作业 第一类换元积分法
熟背不定积分的基本公式， 勤做题，善积累，练就一双 火眼金睛，找出相应公式。
高等数学-换元积分法
න = න
1
= −න
( )′
1
= −න
= − | | + ．
同理可得 | | = + ．
8
01 第一类换元积分法
例3
解
1
求不定积分
．
2
令 2 = ，则 = ， = .
2
+1−1
න
=න
= න
1+
1+
1 + 2
1
= න(1 −
) = − | 1 + | +
1+
= 2 − | 1 + 2| + ．
14
02 第二类换元积分法
通过变量代换去掉根号的主要形式有：
而
= 5，考虑将被积函数恒等变形，得
1
1
1
1
1
= ⋅
⋅5= ⋅
⋅ (5 − 2)′
5 − 2 5 5 − 2
5 5 − 2
此时令 = 5 − 2， 得到
4
01 第一类换元积分法
1
1
1
න
= න
(5 − 2)′
5 − 2
5 5 − 2
1
1
= න
( 5 − 2)
0，又设[()] ′ ()的一个原函数为()，则
න()
= ()
න[()] ′ () = [() + ]=−1()
该公式称为第二换元公式． 其中 = −1 ()为函数
= ()的反函数.
微积分第一类换元法
定理1
u 设 f (u) 具有原函数， ( x ) 可导，
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x )dx
1 2 a
例10 解
1 求 x 2 a 2 dx.
1 1 1 原式 ( x a x a )dx 2a
1 xa ln C. 2a x a
令：u ( x) x a 可以吗？
2 2
1 a 2 x 2 dx ?
例11 求 解
tan xdx
解
1 dx 2 2 ( x 1) 2
1 dx 用 2 2 x a 1 xa ln C 2a x a
1 d ( x 1) 2 2 ( x 1) 2
1 x 1 1 ( x 1) 2 C. ln C ln 4 x3 4 ( x 1) 2
ln csc x cot x C.
类似地可推出
sec xdx ln sec x tan x C.
基 本 积 分 表
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
1 1 xa (21) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a 1 x (22) dx arcsin C. a a2 x2
化为
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d [ ( x)].
例1 求
e dx
5x
1 解 令u 5x, 则du 5dx, 从而dx du , 5
换元积分法
§ 换元积分法Ⅰ 讲课题目§ 换元积分法（第一类换元法）Ⅱ 教课目标与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它其实是复合函数求导法例的逆过程，其要点是“凑微分”， d (x)( x)dx .2. 掌握几种典型的凑微分的方法，娴熟应用第一类换元积分法求相关不定积分 .Ⅲ教课要点与难点：要点：第一换元法的思想，难点：娴熟应用第一换元法计算相关函数的不定积分.Ⅳ讲解内容：一、第一类换元积分法设 f (u) 拥有原函数 F (u) ，f (u)du F (u) C . 若 u 是中间变量， u( x) ， (x) 可微，则依据复合函数求导法例，有dF ( ( x))dF du f (u)duf [ ( x)] ( x) 。
dx du dxdx所以依据不定积分的定义可得：f [ ( x)] ( x)dxF [ ( x)] Cu( x)F [u] C[ f (u)du ]以上是一个连等式能够改变次序重新写一遍，就有f [ ( x)]( x)]dxu ( x)[f (u) du] F uCF( x) C .以上就是第一换元积分法。
从以上能够看出， 固然f [ ( x)] ( x)dx 是一个整体记号， 可是被积表达式中的 dx 可看作变量x 的微分来对待进而上式中的( x)dx 能够当作是(x) 的微分，经过换元 u(x) ，应用到被积表达式中就获得( x)dx du .定理 1 设 f (u) 拥有原函数F (u) ， u( x) 可导， du( x)dx ，则f [ ( x) ( x)dx f (u)du F (u) C F [ ( x)] C(1)怎样应用公式 (1) ，在求不定积分积分g(x)dx 时假如被积函数 g ( x ) 能够化为一个复合函数 与它内函数的导函数的积的形式f [( x)] ( x) 的形式那么g( x)dx f [ (x)] (x)dx( x) u [f (u)du]F (u)Cu( x)F [ ( x)] C .所以第一换元积分法表现了“凑”的思想 . 把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积f [ ( x)] ( x) 来 .例 1 求 3e 3x dx3x3x3x ) u 3x 解(，可设中间变量 ，3edxe 3dx= e3x dxdu d (3x) 3dx3dx du ，所以有e 3x dx e 3x 3dx e u du e u C e 3xC .第一察看被积函数的复合函数是什么样的，而后看能否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
定积分第一类换元法和第二类换元法
定积分是微积分中的重要概念，通过定积分我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积、体积以及质心等问题。
在求解定积分时，换元法是一种常用且有效的方法。
换元法分为第一类换元法和第二类换元法，它们在不同类型的积分计算中发挥着重要作用。
下面我们将分别介绍这两种换元法的原理和应用。
一、第一类换元法1.1 换元法简介第一类换元法，又称代换法或变量代换法，是对定积分中被积函数中的变量进行替换，将原来的积分变为更容易求解的积分。
其基本思想是通过引入适当的新变量，将被积函数中的复杂部分转化为简单的形式，从而便于积分计算。
1.2 换元法的步骤（1）寻找合适的变量替换：根据被积函数的形式和特点，选择适当的新变量代替原来的变量。
（2）计算新变量的微分：对新变量进行微分，求出新变量的微分表达式。
（3）将被积函数用新变量表示：将原来的积分中的被积函数用新变量表示出来，得到新的积分形式。
（4）进行积分计算：对新的积分形式进行计算，得出最终结果。
1.3 换元法的应用第一类换元法常用于代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分。
通过合适的变量替换，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
二、第二类换元法2.1 换元法简介第二类换元法，又称参数代换法或极坐标代换法，是通过引入参数来替换被积函数中的自变量，从而实现对原积分的简化。
这种换元法常用于解决平面曲线和曲面的面积、弧长以及质心等问题。
2.2 换元法的步骤（1）引入参数：选择适当的参数替换自变量，通常选择直角坐标系下的参数形式或极坐标系下的参数形式。
（2）表达被积函数：将原来的被积函数用参数表示出来，并求出新的被积函数。
（3）进行积分计算：对新的被积函数进行积分计算，得出最终结果。
2.3 换元法的应用第二类换元法常用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
通过引入参数替换自变量，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
三、第一类换元法和第二类换元法的比较3.1 适用范围（1）第一类换元法适用于一般的代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分；（2）第二类换元法适用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
第一换元积分法(一)
C
2
；
sin
x
； C
（5） （6）
1 d (1 x2 1 x2
1 d（ln x） ln2 x
) ln(1
1 C ln x
x2
)
C
．
；
二、 第一换元积分法（凑微分法）
例1 求 sin 2xdx
解： sin
2
xdx
1 2
2 sin
2
xdx
凑微分 1
换元
2 sin 2xd(2x) 令2x u
3.3.1 第一类换元积分法
课前复习
一、基本积分公式（熟记）
二、直接积分法求不定积分的具体方法和技巧
（1）化 x 型 （4）三角恒等变形
（2）先展后积 （3）先约后积
（5）拆项：①假分式=整式+真分式 ②按分母的因式拆项
作业解析：P124 2题
解： (2) (3x ex 3sin x 1)dx
23
x3
(6)
x3 x
3
dx
5
x 2 dx
xdx
3
1 dx x
2
7
x2
1
x2
6
x C
72
(8)
cos2
x 2
dx
1
cos 2
xdx
1 2
dx
1 2
cos
xdx
cos 2x 2cos2 x 1
1 x 1 sin x C 22
(10)
第一换元积分法
变量x换成中间变量u, 公式仍然成立. ? ? 3x 3x 例 e d ( 3 x ) e C , cos(ln x )d (ln x ) sin(ln x ) C
2
0
应用定理1的思路如下：
恒等变形
g( x )dx
f [ ( x )]d ( x )
代换u ( x )
2 sin xd (sin x ) sin x 2 C ;
解（三） sin 2 xdx 2 sin xcos xdx
2 cos xd (cos x ) cos x C .
2
1 例7 求 2 dx (a 0) 2 a x 1 1 1 1 x dx 2 dx 1 解 2 d( ) 2 x 2 a x a 1 ( ) a 1 ( x )2 a a a 1 x arctg C a a 1 练习 求 dx (a 0) 2 2 a x 1 1 1 x dx 解 2 dx d( ) 2 x 2 a x x 2 a a 1 ( ) 1 ( ) a a x arcsin C a
f [ ( x )]d ( x ) F [ ( x )] C .
定理1 设 f (u)du F (u) C , u ( x )具有连续的导数，
则
f [ ( x )]d ( x ) F [ ( x )] C .
证明： F (u) f (u)
1 cos 3 x cos 2 xdx 2 (cos x cos 5 x )dx 1 1 sin x sin 5 x C . 2 10
1 例13 求 2 x
解
1 e x dx
1 cos 3 x cos 2 x (cos x cos 5 x ), 2
§3.3定积分换元法11
8
x 令 =t 2
7 5 3 1 π 35 = 4 = π . 8 6 4 2 2 64
13． 例 13 ． 设
x 2 t 2 f ( x )= e dt 1
∫
， 求 ∫ x f ( x )dx .
0
x4
1
解 ： f ( x )= ∫
1
x 2 t 2 e dt 1
， f ′( x ) = 2 xe
则
∫ a f ( x )dx = ∫ α f [(t )]′(t )dt 。
b
β
证：设 F ( x ) 是 f ( x ) 在 [a , b] 上的一个原函数，则 设 上的一个原函数，
上的一个原函数。 F [( t )] 是 f [( t )]′( t ) 在 [α ,β ] 上的一个原函数 。
由牛顿— 由牛顿—莱布尼兹公式得
∫
b b udv =[uv ]a a a
b
∫
vdu 。
例 8．计算定积分（1） ∫ 1 ．计算定积分（ ）
2
π
1 2
(1+ x )arcsin x 1 x 2
dx 。
(2) ∫ e 2 x cos xdx
2
0
n 例 10．计算 I n = ∫ sin xdx （ n ∈ N + ） ．
π 2
（1） ∫
π
2
0
6 4 2 16 sin xdx = 1 = . 7 5 3 35
7
π
2
5 3 1 π 5π （2） π cos xdx = 2∫ 0 cos xdx = 2 = 6 4 2 2 16 2
∫
6
π
2Leabharlann 6（3） π∫π
换元积分法公式
换元积分法公式
换元积分法是求解不定积分的一种重要方法，其基本思想是通过变量代换将原函数中的变量替换为一个新的变量，从而将原不定积分转化为一个更容易求解的形式。
常用的换元积分法有三种：第一类换元法，第二类换元法以及特殊换元法。
下面将分别介绍这三种换元积分法的公式。
第一类换元积分法的公式如下：
若对于函数f(x)，存在一个可导函数g(x)，满足f(x) = h(g(x))g'(x)，其中h(t)为可导函数，则有∫f(x)dx = ∫h(g(x))g'(x)dx = H(g(x)) + C，其中C为常数，H(t)为h(t)的一个原函数。
第二类换元积分法的公式如下：
若对于函数f(x)，存在一个可导函数g(x)，满足f(x)中至少含有一个因式为g(x)，则有∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt，其中x = g(t)。
特殊换元积分法的公式如下：
常用的特殊换元积分法包括三角换元法、指数换元法、倒代换法、万能代换法等。
以上是换元积分法的三种常用公式。
在实际应用中，需要根据具体问题的不同选择不同的换元积分法，以求出较为简单的积分形式。
同时，需要注意选取合适的换元变量，并保证换元变量的可导性和可逆性，避免引入新的难以求解的形式。
换元积分法
x
dx
22
tan
1 x cos2
x
d( x) 2
22
1 tan
x
d(tan
x )
2
ln tan x C 2
2
lncsc x cot x C.
解(二)
csc xdx
1 sin
x
dx
sin sin2
x x
dx
1
1 cos2
x
d(cos
x) u2
du
1 2
1
1
u
1
常数因子恰好是中间变量u的导数. 作变换u 2x,有
2cos2xdx cos2x 2dx cos2x (2x)dx cos udu sin u C
sin 2x C.
例2
求
3
1 2
dx. x
解
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
d(2 x
x
)
1 2
3
1 d(3 2x
2
x
)
令 u 3 2x
sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin 3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时, 拆开奇次项 去凑微分.
例14 求 cos2 xdx.
解
cos2
例12 求 sin3 xdx. 解 sin3 xdx sin2 xsinxdx
(1 cos2 x)d(cos x) d(cos x) cos2 xd(cos x)
cos x 1 cos3 x C . 3
第一类换元积分法
第一类换元积分法第一类换元积分法是一种常用的积分计算方法，它可以用来解决复杂的数学问题。
本文将介绍第一类换元积分法的定义、性质以及应用，以加深读者对这种积分计算方法的理解。
一、第一类换元积分法的定义第一类换元积分法是一种积分计算方法，它可以用来解决复杂多元数学问题。
其定义是：当一个函数f(x)在某一区间上有一定的变换关系，即f(x)可以表示为f(x) = g(u)，那么，该函数在该区间上的积分可以表示为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$二、第一类换元积分法的性质第一类换元积分法有两个重要的性质：（1）对称性：当一个函数f(x)的变换关系可以表示为f(x) = g(u)，其中x与u的变换关系是对称的，即x = h(u)，那么该函数积分的变换关系也是对称的，即：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$（2）结果一致性：当一个函数f(x)的变换关系可以表示为f(x) = g(u)，其中x与u 的变换关系不对称，即x = h(u)，那么该函数积分的变换关系也是一致的，即：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$三、第一类换元积分法的应用第一类换元积分法的应用非常广泛，可以用来解决复杂的数学问题。
它的应用可以分为以下几类：（1）解方程：第一类换元积分法可以用来解决含有复杂项的多元方程；（2）求积分：第一类换元积分法可以帮助计算复杂函数的积分；（3）求极限：有时候，函数的极限可以通过第一类换元积分法来求解；（4）求微分：第一类换元积分法也可以用来求解复杂函数的微分。
四、结论综上所述，第一类换元积分法是一种常用的积分计算方法，它具有对称性和结果一致性的性质，并且可以用来解决复杂的数学问题。
因此，它在数学领域的应用十分广泛，深受广大学者的青睐。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.3 第一类换元积分法教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。
重点：第一类类换元积分法及其应用 难点：第一类类换元积分法及其应用教学过程：一、问题的提出不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。
而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。
该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。
本节将介绍第一类换元法。
二、第一类换元积分法（凑微分法）我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。
下面先介绍第一类换元积分法。
定理 设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ证明 设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，⎰du u f )(=Cu F +)(.又因为u 是关于x 的可导函数)(x u ϕ=,所以有⎰⎰⎰+==='⋅C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([ϕϕϕϕϕϕ 又)(])([x u du u f ϕ=⎰)(])([x u C u F ϕ=+=C x F +=)]([ϕ 从而推得⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ 证毕推论 若 ⎰dx x f )(=C x F +)(成立，则⎰du u f )(=Cu F +)(.也成立，其中u 为x 的任一可导函数 该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量x 换为u 的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。
该方法的关键在于从被积函数)()]([x x f ϕϕ'中成功地分出一个因子)(x ϕ'与dx 凑成微分)(x d ϕ，而剩下部分正好表成)(x ϕ的函数，然后令u x =)(ϕ，就将所要求的不定积分变为基本积分表中已有的形式。
通过第一类换元积分公式来计算积分的方法叫第一类换元积分法。
三、第一类换元积分法的一般步骤:若某积分⎰dxx g )(可化为⎰'⋅dx x x f )()]([ϕϕ的形式,且⎰du u f )(比较容易积分,那么可按下列的方法和步骤来计算所给积分⑴凑微分 设法将积分⎰dx x g )(变形为⎰'⋅dx x x f )()]([ϕϕ的形式，从而可得：)()]([)()]([)(x d x f x x f dx x g ϕϕϕϕ⎰⎰⎰='=⑵作变量代换 作变量代换)(x u ϕ=，则)()(x d dx x du ϕϕ='=，从而将积分变为du u f x x f dx x g ⎰⎰⎰='=)][)()]([)(ϕϕ并计算该积分;⑶将变量回代 根据所作代换, 用)(x ϕ替换积分结果中的u ,从而求得原积分的结果，即：C x F C u F du u f dx x g x u +=+====⎰⎰)]([)()][)()(ϕϕ注：显然第一步是第一类换元积分法的关键，第一类换元积分法又叫做凑微分法。
四 、举例例1 求⎰-dxxx )1cos(22解：因为)1(22'-=x x 于是⎰-dx x x )1cos(22⎰'-⋅-=dx x x )1()1cos(22⎰udu cos C u +=sinC x +-)1sin(2一般地，对于积分dx x x f k k ⎰-1)((k 为不等于“0”的常数)，总可以作变换k x u =，把它化为⎰⎰⎰==-du u f k dx x f k dx x x f kk k k )(1)(1)(1 例2 求⎰⋅xdxx 210sec tan解：因为)(tan sec 2'=x x⎰⋅xdxx 210sec tan=⎰'⋅dxx x )(tan tan10du u ⎰10=C u +11111C x +11tan 111例3 求⎰-dxx 4)23(解：由于2)23(-='-x ，所以⎰-dx x 4)23(=dx x x )23()23(214'---⎰)23()23(214x d x ---=⎰ ⎰-du u 421=C u +-5101C x +--5)23(101一般地，对于积分dx b ax f ⎰+)(，总可以作变换b ax u +=，把它化为⎰⎰⎰=++=+du u f ab ax d b ax f a dx b ax f )(1)()(1)( ux =-12令12-=x u 回代u x =tan 令xu tan =回代u x =-23令x u 23-=回代注：①运用换元积分法，必须要熟悉基本积分公式和一些常用的微分等式，如)()(1x a d b ax d a dx --=±=（其中a 、b 为常数且a 不为零） )(21)(21)(212222x a d b ax d a x d xdx --=±== )(ln 1x d dx x = )(x x e d dx e =)(sin cos x d xdx = )(cos sin x d xdx -= 等等；②在运算比较熟练以后，可省略写出变量代换的过程，这样可使运算过程更捷。
例4 求dxxx ⎰sin解：dx x x⎰sin =C x x d x +-=⎰cos 2sin 2例5 求dxxxex ⎰++2112解：原式=Cex d ex x +=+++⎰22121)1(例6 求⎰xdx tan解：⎰xdx tan =C x x d x dx x x +-=-=⎰⎰cos ln )(cos cos 1cos sin同理可求得C x xdx +=⎰sin ln cot例7 求⎰-+dx e x 11.解：⎰-+dx e x 11==+⎰dx e e x x 1⎰+'+dx e e x x 1)1(=⎰++)1(11x x e d e C e x ++=)1ln( 例8 求⎰+-dx x x xx sin cos sin cos .解：⎰⎰+'+=+-dx x x x x dx x x x x sin cos )cos (sin sin cos sin cosCx x x x x x d ++=++=⎰cos sin ln sin cos )cos (sin 例9 求⎰xdxcsc解：)2(2cos 2tan 12cos 2sin 2sin 1csc 2xd x x x x dx dx xxdx ⎰⎰⎰⎰===)2(tan 2tan 1x d x ⎰=C x +=2tan ln C x x +-=cot csc ln 同理可得：⎰++=Cx x xdx tan sec ln sec例10 求⎰+dx xa 221)0(>a 解：dx a x a dx x a ⎰⎰+⋅=+2222)(1111)()(1112axd a x a ⎰+=Ca x +=arctan例11 求⎰+)ln 21(x x dx解：⎰⎰⎰+=+=+x x d x x d x x dx ln 21)ln 2(21ln 21)(ln )ln 21(⎰++=x x d ln 21)ln 21(21Cx ++=ln 21ln 21一般地，对于积分⎰x dxx f )(ln ，总可以作变换x u ln =，把它化为 ⎰⎰⎰==du u f x d x f xdx x f )(ln )(ln )(ln一个较为复杂的积分往往需要借助两个或两个以上的积分来完成。
例12 求⎰-dx ax 221)0(>a 解：⎰⎰-+--+=-dx a x a x a x a x a dx a x ))(()()(21122)11(21⎰⎰+--=dx a x dx a x a )](1)(1[21⎰⎰++---=a x d a x a x d a x aC a x a x a ++--=)ln (ln 21C a x a x a ++-=ln 21例13 求⎰xdx2sin解：⎰xdx 2sin =⎰-dx x 22cos 1⎰⎰-=dx xdx 22cos 21⎰-=)2(2cos 4121x xd x C x x +-=2sin 4121例14 求⎰xdx x 52cos sin解：⎰xdx x 52cos sin ⎰=xdx x x cos cos sin 42⎰-=)(sin )sin 1(sin 222x d x x )(sin )sin sin 2(sin 642x d x x x ⎰+-=C x x x ++-=753sin 71sin 52sin 31一般的，对于形如⎰x x n m cos sin dx (m,n ∈N)的积分,当m,n 中有一个为奇数时,可考虑从奇次幂因式中分一个因子与dx 凑微分,并借助公式cos 2x+sin x 2=1,再利用凑微分法求 解(如例14);当m,n 同为偶数时,利用公式cos x 2=21(1+cos2x), sin x 2=21(1-cos2x) 先降幂,再利用求微分法求解(如例14).例15 求dxx ⎰3sin解：dx x ⎰3sin )(cos )cos 1(sin sin 22x d x xdx x ⎰⎰--=⋅=⎰⎰-=)(cos )(cos cos 2x d x xdC x x +-=cos cos 313例16求⎰xdxx 3cos 5sin解：根据三角学中的积化和差公式得⎰xdx x 3cos 5sin ⎰+=dx x x )2sin 8(sin 21 )]2(2sin 21)8(8sin 81[21⎰⎰+=x xd x xd C x x +--=2cos 418cos 161例17求⎰xdxx 35sec tan解：⎰xdx x 35sec tan⎰⋅⋅⋅=xdx x x x tan sec sec tan 24⎰⋅-=x xd x sec sec )1(sec 222C x x x ++-=357sec 31sec 52sec 71小结：⑴由前面举例可以看出，①求形式为⎰'dx x x )()(ϕϕ的积分时，可用下列公式计算②求形如⎰⋅xdx x n m cos sin 的积分，若m 为奇数时，只要根据x x 22cos 1sin -=、)(cos sin x d xdx -=变形，并取x x cos )(=ϕ即可；若n 为奇数，可作类似处理。