秩亏自由网的平差原理与直接解法
秩亏自由网平差及其通解
第32卷第2期2010年6月地球科学与环境学报Journal of Earth Sciences and EnvironmentVol.32No.2Jun.2010收稿日期:2009 07 15基金项目:国家自然科学基金项目(40672173;40802075) 作者简介:赵超英(1976 ),男,山西平遥人,副教授,工学博士,从事InSAR 理论与数据处理的教学与研究。
E mai l:zhaochaoying@秩亏自由网平差及其通解赵超英,黄观文(长安大学地质工程与测绘学院,陕西西安710054)摘要:通过坐标转换将初始坐标系下的特解转换得到任意坐标系下的通解,研究了秩亏自由网基准转换的实质。
结果表明,秩亏自由网平差最优解实质是基于近似值所确定的基准下的最优解,在实际应用中确定合适的基准是关键。
以西安地区GP S 沉降监测网为例,不同基准下秩亏解均为该基准下最优解,但只有顾及板块运动的基准才具有物理意义。
关键词:秩亏;自由网平差;基准条件;坐标系;通解中图分类号:P228.4 文献标志码:A 文章编号:1672 6561(2010)02 0215 03Rank Defect Free Net Adjustment andIts General SolutionZH AO Chao ying ,H UANG Guan w en(S chool of Ge olog ical E ngineer ing an d Su rv ey ing ,Chang an Unive rsity ,X i an 710054,S haanxi,China)Abstract:T hro ug h transfor ming the par ticular solut ion o f initial coo rdinates to the g ener al solution o f ar bitrar y co or dinate,rank def ect free net adjust ment is analyzed,and the essence of the datum tr ansfor matio n is discussed.T he results sho w t hat the o ptimized solution of rank defect fr ee net adjust ment is t he o ne so lution under t he datum which is calculated by the approx imat ion v alue.In pr act ice,the key problem is to determine t he appro pr iate datum.G PS monito ring netw or k in Xi an is t aken as an example to demonstrate the differ ent o pt imal so lutio ns under differ ent data,w hereas the so lutio ns in plate mo tion ar e physically significant.Key words:rank defect ;fr ee net adjustment;datum condition;co or dinate system;general so lutio n0 引言自Messl 提出自由网平差以来[1],其理论研究和应用研究均得到较大的发展,中国学者自20世纪80年代开始对其进行了系统研究[2 3]。
第二章 秩亏平差
长安大学地测学院
主要内容
问题的引入 秩亏自由网平差的原理 广义逆的补充知识 秩亏自由网平差的解法 秩亏自由网平差解的性质
一、问题的引入
1、四个例子、两个概念
例1 ： 设有水准网，如图所示，假设 x3 为已知高程，
按经典间接平差可列出如下误差方程式
0 v1 1 l1 ˆ x1 v2 1 1 ˆ l 2 x v 0 1 2 l 3 3
R( N ) 2
满秩
N
1
2 1 1 / 3 1 2
ˆ N 1 AT L ( AT A) 1 AT L 其中 ( AT A) 1 AT 左逆 所以 X
满足最小二乘法则。
ˆ H ˆ ,X ˆ H ˆ ,X ˆ H ˆ 均为未知高程， 如不设其始高程，令X 1 1 2 2 3 3 误差方程：
根据最小范数条件的不同，秩亏自由网平差主要有： 1）加权秩亏网平差：
X T Px X min
2）普通秩亏网平差：
X T X min
3）拟稳平差： ˆ X ˆ I 网中未知数分为两类： X ˆ X
ˆ T X min X 当 Px I 时，加权变为普通秩亏网 若取 Px diag0 I ，则加权变为稳定平差。
ˆC x ˆ x ˆC y
B
1 N A A 0 S BC
T
sin 2 T sin T cosT
sin T cosT 2 cos T
R( N ) 1
秩亏
如果增加边长观测值s，
解： t 2
ˆ s
线性化得：
6秩亏自由网平差S的求法与基准
（2）
X 3 X 30
ˆ 设 X 3 X 30 X 3
ˆ 0 X 3
称为基准条件方程
T 0 0 1 T ˆ ，G X GC C
13
ˆ X ˆ X ˆ ˆ 0 ， 其中 X X 1 2 3
2. 二维测角网
假设所有点的纵横坐标为未知数，给定网中两个点的坐标为固定 （已知）坐标或一个点的纵横坐标、一条边方位角、一条边的边长为 固定值（已知）。 ——这些固定数据构成二维网的平差基准。
ˆ Q AT Pl X r 11
S T Q11 0
T T -1 T QX Q A PQ PAQ Q NQ Q Q S ( S S ) S Q11 ˆ X ˆ 11 ll 11 11 11 11 11 r r
NQ11 I S( S T S )1 S T
可以证明
d u
Q11 N N m
S
T
ˆ 0 X r
u1
ˆTX ˆ min X
主要内容
秩亏自由网平差的三种解法回顾 各类自由网S的确定 S与基准的关系
各类自由网S和G的确定
1、水准网
d=1。由于误差方程系数阵A中的每一行元素总是出现两个基 本元素+1和-1，其元素结构总是形如:
ˆ 0 0 X 1 V1 1 1 V 0 X ˆ 0 1 1 2 2 6 ˆ 1 0 1 V3 X 3
x2 h1 h2 x3
（1）
x1
h3
0 ym 0 xm
0 1 0
0 zm
y10
0 zm
0
0 xm 0 ym
秩亏网平差
h2
C
原因：网中没有已知高 程点。
秩亏网平差的概念
2、平差基准
测量控制网以点的坐标（及高程）为未知参数进行参数平 差时，网中必须具有必要的起算数据。例如，水平控制网必须 有一个已知点的坐标，一条已知边长和一个已知方位角；水准 网必须有一个已知点的高程。有时，网中还会有多余的起算数 据。测量平差中，将仅含必要起算数据的控制网称为 经典自由 网，将含有多余起算数据的控制网称为附合网。当控制网中存 在必要起算数据或多余起算数据时，观测方程的系数矩阵才可 能列满秩，起算数据不足时，就产生数亏。
B BT ( BBT )1
当 C 为满秩方阵时，
(GA) GA
T
C C C 1
对于参数平差模型（等精度） ：
( AG)T AG
G 称为 A 的广义逆。
可以只满足一个或几个方程，共有 1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 种不同的广 义逆。
ˆ L V AX ˆ ( AT A)1 AT L A L X
B
h1
A
h3
h2
C
ˆ 1 l1 v1 1 1 0 x v 1 0 1 x l ˆ 2 2 2 ˆ3 v3 0 1 1 x l3 0 l1 1 1 0 x1 h1 l 1 0 1 x 0 h 2 2 2 0 l 0 1 1 x 3 3 h3
（D-4）
R( A) u n ， s n u
相容方程组的通解：
是满足（A-1）和（A-3）的最小范 Am
X X Gα
秩亏自由网
§8-2 秩亏自由网平差2学时在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。
如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。
当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。
在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n t t n n l xB V （8-2-1）式中系数阵B 为列满秩矩阵，其秩为t B R =)( 。
在最小二乘准则下得到的法方程为0ˆ11=-⨯⨯⨯t t tt bb W xN （8-2-2）由于其系数阵的秩为t B R PB B R N R Tbb ===)()()(，所以bb N 为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆bb N 1-，因此具有唯一解，即W N xbb 1ˆ-= （8-2-3）当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u ，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n u u n n l xB V （8-2-4）式中d t u +=d 为必要的起算数据个数。
尽管增加了d 个参数，但B 的秩仍为必要观测个数，即u t B R <=)(其中B 为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d 。
组成法方程0ˆ11=-⨯⨯⨯u u u u W xN（8-2-5）式中PlB W PB B N T u T uu ==⨯⨯1，，且u t B R PB B R N R T<===)()()(，所以N 也为秩亏阵，秩亏数为：t u d -=（8-2-6）由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。
即有：⎪⎩⎪⎨⎧=测角网网测边网、边角网、导线水准网、测站平差,4,3,1d在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。
也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得xˆ的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。
12秩亏自由网平差
法方程写成： 法方程写成：
ˆ BT PB S x BT Pl T = S O K O
可解出参数改正数。 可解出参数改正数。 或者： 或者：
ˆ x = (B PB + SS ) B Pl
T T
T −1
二）精度评定
单位权方差估值
VT PV VT PV ˆ σ0 = = n −t n − (u − d)
3）测角网： ）测角网：
一、问题的提出
自由网： 自由网： 当控制网中仅含有必要的起算数据时， 当控制网中仅含有必要的起算数据时，通常称 为自由网（说明）。 为自由网（说明）。 附合网： 附合网： 当控制网中除必要起算数据时外， 当控制网中除必要起算数据时外，还有多余 的起算数据的网，称为附合网。 的起算数据的网，称为附合网。 自由网平差方法分为： 自由网平差方法分为： 经典自由网平差和秩亏自由网平差两种。 经典自由网平差和秩亏自由网平差两种。 一些特殊用途的控制网，如变形观测网、 一些特殊用途的控制网，如变形观测网、沉降监测 网等，一般为自由网。 网等，一般为自由网。
单位权方差估值仍为：
VT PV VT PV ˆ2 σ0 = = n − R( A) n − r
广义逆矩阵的概念
一、广义逆A1、定义：设A的秩R（A）=r≤min(n,m)，满足下列 矩阵方程的A-定义为A的广义逆nm n nmAA A = A
nm
−
2、广义逆A-的计算 A是非奇异方阵，凯利逆A-1就是A的广义逆。 − AL1 = ( AT A)−1 AT A是列满秩时 − A是行满秩时 AR1 = AT ( AT A)−1 A是降秩矩阵时：秩分解法、降阶法。
上节内容<误差椭圆> 上节内容<误差椭圆>
秩亏自由网平差
ˆ N BT Pl ( E N N )M 中挑选一个解，使得 从X
X min
所以，平差问题成为：
即求误差方程的最小 二乘、最小范数解。 最小二乘指改正数， 最小范数指参数。亦 即求长度最短的最小 二乘解。 武汉大学测绘学院 孙海燕
V T PV min ˆ l V BX ˆTX ˆ min X
武汉大学测绘学院 孙海燕
第四章 秩亏自由网平差
例：如图水准网，1）设 H 3 已知，则误差方程为
0 v1 1 l1 ˆ1 v 1 1 x l2 2 x ˆ2 v3 0 1 l3
法方程系数阵
rank( B) R( B) u t 2
2 1 B B 1 2
T T T 1
rank( BT B) t u 2
1 2 1 | B B | 3, ( B B) 3 1 2
ˆ ( BT B) 1 BT l x
（5） 若矩阵 P 正定，则
A( AT PA) AT PA A
（6） G 为 AT A 的广义逆，则 G T 也是 AT A的广义逆。 3、广义逆 A 的计算 若
rank ( A) r (n, m)
，设
1 A O 11 A m.n O O
A11 r .r A n.m A21 n r .r
4、不同基准下平差的各种量有什么变化
5、基准如何变换
武汉大学测绘学院 孙海燕
第四章 秩亏自由网平差
第二节 广义逆与线性方程组的解
m,n n ,1
线性方程组
Axb
m,1
a1
自 由 网 平 差
自由网平差班级：测绘0911 学号：姓名：日期：一、实验分析（1）实验的目的1.熟悉广义逆的概念和计算当观测值之间不存在着函数相关，是满秩的，以间接平差为例，在求解NX=BTPl的时候，N=BTPB，其秩R(N)=R(BTPB)=R(B)=t，N为非奇异的，存在凯利逆，所以法方程存在唯一的解，称为经典自由网平差，而当网中不设起始数据或不存在必要的起始数据，而且又设网点坐标为待平差参数，误差方程系数阵列亏，这样的平差称为秩亏自由网平差，而这里就引入了广义逆的概念，广义逆是对任何矩阵定义的一种逆矩阵，设A为n*m阵，秩R(A)=γ<=min（m，n），满足方程AGA=A，的G定义为A的广义逆，G为m*n阵，记为A-不唯一，称为A-型广义逆。
（仅当A为m=n阶非奇异方阵时，A-1=A-,唯一）2.了解秩亏自由网平差的原理和方法秩亏自由网平差的原理:误差方程式为V=BX-l，权阵P为D=σ02Q=σ02P-1平差原则：V T PV=min，X T X=min法方程及其解为 NX=B T Pl X=N M-B T Pl=N(NN)-B T Pl因N+也满足最小范数逆的两个条件，故N+∈Nm-,其解也可以用N+表达，即有X=N+B T Pl=N(NN)-N(NN)-NB T Pl,单位权方差估值仍为σ02=V T PV/f=V T PV/(n-R(B))X的协因数阵为 Q XX=Nm-B T PQPB(Nm-)T=N(NN)-N(NN)-N=N+ 或者Q XX=N+ B T PQPBN+=N+NN+=N+ 法方程系数阵N的伪逆N+就是参数估值X的协因数阵。
由误差方程式，顾及Q XV=Q-BQ XX B T=Q-BN+B T秩亏自由网平差的方法:第一步：求得误差方程：V=BX-l第二步：组成法方程:NX=B T Pl第三步：计算N(NN)-和Nm-=N(NN)-第四步：计算X=Nm-B T l第五步：平差结果的计算第六步：X的协因数计算Q XX=N+3.掌握如何使用自由网拟稳平差解决变形监测数据处理在监测自由网中，假定有一部分对于另一部分点是相对稳定的。
5第二章秩亏自由网平差的解法精品PPT课件
增加虚拟观测：
l B Xˆ P I R(B) d
（2）
d ,t
① R(B) d 即当 BBT I 时满足该条件。 相当于 B 中的行向量线性无关
② ABT 0 要求 A 中的行向量与 B 中的行向量也是线性无关。
ll BA Xˆ
P P I
R BA t
应用LS准则，得法方程
NXˆ C
(NN )
1 9
1
2
0
0 0 0
1 0 0
N m1
N (NN )
1 3
0
1 0
1 1 0
Xˆ r1
N m1
AT
Pl
0
2
2T
实习内容一：广义逆的求法
（2）满秩分解法。令 N BC
1 0
B
0
1
1 1
，则可解得
NB C 33 32 23
C
2 1
1 2
1 1
显然 R( B ) R( C ) 2
l T PAQ Q AT Pl l T PAQ Q BT l lT BQ Q AT Pl lT BQ Q BT l
d
主要内容
➢ 问题的引入 ➢ 秩亏自由网平差的原理 ➢ 广义逆的补充知识 ➢ 秩亏自由网平差的解法
秩亏自由网平差的解法分类
√①求N 的最小范数逆
----Mittermayer（1971）
√②伪逆解法 ③√ 附加条件法 ④√ 伪观测法
----Mittermayer（1971）
----Mittermayer（1972）
NX AT Pl 0 N AT PA, R(N ) R( A) t0 t
秩亏数 d t t0
N 的凯莱逆（ N 1 ）不存在，法方程解不唯一， 为了确定唯一的解，加入最小范数条件：
5第二章秩亏自由网平差的解法
N
m
N (NN )
为最小范数逆
Xˆ r Nm AT Pl
以上是最小二乘最小范数解
根据最小范数的定义知，该逆应满足：
NN
m
N
N
(
N
m
N
)
T
N
m
N
[证明]：
(1)
NN
m
N
NN (NN )
N
N
由广义逆的性质三有 A( AT A) AT A A或AT A( AT A) AT AT
DDT ( AT A( AT A) AT AT )(A( AT A) AT A A) ( AT A( AT A) AT A( AT A) AT A AT A( AT A) AT A AT A( AT A) AT A AT A 0
的条件极值问题。 组成新的函数：
Xˆ T Xˆ 2K T (NXˆ AT Pl)
对 Xˆ 求偏导数并令其等于零，得：
Xˆ
2Xˆ T
2K T N
0
Xˆ N T K
(1)
NXˆ AT Pl
(2)
NN T K AT Pl
K (NN T ) AT Pl Xˆ r N T (NN T ) AT Pl N (NN ) AT Pl
主要内容
➢ 问题的引入 ➢ 秩亏自由网平差的原理 ➢ 广义逆的补充知识 ➢ 秩亏自由网平差的解法
秩亏自由网平差的解法分类
√①求N 的最小范数逆
----Mittermayer（1971）
√②伪逆解法 ③√ 附加条件法 ④√ 伪观测法
----Mittermayer（1971）
----Mittermayer（1972）
H
0 1
【免费下载】秩亏网平差若干计算方法
秩亏网平差若干计算方法1.概述在测量平差中，控制网中除了必要起算数据外还有多余起算数据的是附合网，仅有必要起算数据的是自由网，这两种控制网在间接平差时误差方程系数矩阵都是满秩的，由此得到的法方程系数阵也是满秩的，即法方程B N =B T PB 有唯一解。
这是经典平差的范畴。
自由网中有一种具有特殊用途的控制网，就是秩亏自由网，这种自由网没有起始数据参与平差并且以待定点的坐标为待定参数。
此时的误差方程的系数阵是列亏阵，由此所得的法方程系数阵也是秩亏阵。
一般设网中全B N =B T PB 部的待定坐标个数为，必要观测数为，全部观测数为，为阶矩阵，相u t n B n ×u 应的法方程系数阵是阶矩阵，，秩亏数都为N u ×u R （B ）=R （N ）=t <u ，所以法方程有无穷组解。
这里产生秩亏的原因是控制网中没有起算d =u ‒t 数据，所以就是网中必要的起算数据个数。
对于水准网，必要起算数据是一个d 点的高程，故；对于测角网，必要起算数据是两个点的坐标，故；d =1d =4对于测边网或是边角网，必要起算数据是一个点的坐标和一条边的方位，故。
d =32.秩亏网平差模型以间接平差为例，令个坐标参数的平差值为，观测向量为，则秩亏网的误u X ~L 差方程为：（1）V =Bx ~‒l 式中，，，，R （B ）=t <u d =u ‒t X ~=X 0+x ~l =L ‒L0随机模型是：（2）D =σ2Q =σ2P ‒1根据最小二乘原理，在下，可组成发方程如下：V T PV =min （3）B T PBx ~‒B T Pl =0若是按照直接解法用如下的方程组来解求的解：x ~（a ）{V =Bx ~‒lB T PBx ~-B T Pl =0V T PV =min容易得到，即该方程组有解但不唯一，虽然满足最小二乘准则，但|B T PB|=0有无穷多组的解，无法求得唯一的，因为参数必须在一定的坐标基准下x ~x ~x ~才能唯一确定。
7秩亏自由网的直接解法与拟稳平差
直接解法
上式完全一样，因为均采用LS准则，那区别是什么？
（1）最小范数解
ˆ N X ˆ AT Pl N11 X 1 12 2 1
1 M N 22 N 21 N11 N12
T 1 T T A2 N 21 N11 A1
ˆ T Pl MX 2
ˆTX ˆ min X 2 2
1 1 ˆ N N 1 N 1 N AT Pl ( N 21 N11 N11 N12 I ) X 2 21 11 11 12 1 ˆ ( N N 1 N 1 N I ) 1 N N 1 N 1 N AT Pl X 2 21 11 11 12 21 11 11 12 1
----Wolf（1972）
√ ⑥坐标转换法
----e.g. Xu PL（1999？2000？）
解法一：最小二乘最小范数解法
ˆ A Pl 0 NX
T
T ˆ X r N m A Pl
T ˆ X r N A Pl
ˆ X ˆ min X
T
解法二：伪观测法
1 T 1 T ˆ X N C Q C ( N SS ) A Pl
P T P T
ˆTX ˆ X ˆTX ˆ X ˆTX ˆ min 直接解法 X 1 1 2 2 1 1 ˆ ( N 1 N ) T N 1 N 1 AT Pl (( N11 N12 ) T ( N11 N12 ) I T I ) X 2 11 12 11 11 1 ˆ N N 1 N 1 N AT Pl ( N N 1 N 1 N I ) X
1 T 1 1 T ˆ ˆ X N A P l N N X N 11 1 11 12 2 11 A 1 Pl 1 ˆ X ˆ X X2为未知参数，X1为改正数 2 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A2
Xˆ 1 Xˆ 2
l
（2）计算
N11 A1T PA1 N21 A2T PA1 u1 A1T Pl
N12 A1T PA2 N22 A2T PA2
u2 A2T Pl
（3）计算
H
1 1
H11 (N11N11 N12 N21)1
（4）计算未知参数
Xˆ 1 Xˆ 2
N11H11u1
奇异方阵，则满足 ()的解也一定满足 ()。
记
V
n1
A1
nt0
A2
nd
Xˆ 1 Xˆ 2
l
n1
则
Xˆ
Xˆ 1 Xˆ 2
u
u1 u2
A1T A2T
Pl Pl
N
N11 N21
N12 N22
A1T A2T
PA1 PA1
A1T A2T
PA2 PA2
（4）
2
1 1 2 0 3 / 2 3 / 2 0 0
0
一、基本原理
设某平差问题选取了t 个未知参数，而必要未知 数的个数为 t0 ，且t ＞t0 ,则
V A Xˆ l 和 N Xˆ u 中 R( A) R(N ) t0 t ，产生秩亏数 d t t0 ,使 得 N 0 ， Xˆ 的解不唯一。在 Xˆ T Xˆ min条件下,
§1—2 秩亏自由网的平差原理与直接解法
引例 如图所示，等精度观 测了3个高差，并设3个点的高程 均为未知数，则组成的法方程有 多少个解？如何进行平差计算？
该问题的法方程系数阵为不满秩阵，故参数的解 有无穷个。
2 1 1 2 1 1 2 1 1
1
2
1 :
0
3/2
3
/
2
:
0
3/2
3
/
N12
T
KLeabharlann N11 N21K即 将（6）代入
()
得
Xˆ 1 Xˆ 2
N11K N 21 K
(N11N11 N12 N21)K u1
令 H1 (N11N11 N12 N21)
则有秩亏自由网的法方程
H1K u1
故 K H11u1
（6）
（7） （8） （9）
Xˆ1 Xˆ 2
ＱXˆXˆ
例：如图所示，测得
h1 12.345m， h2 3.478m，
h3 15.817m
已知各路线等长，试用直
接解法 Xˆ 求和ＱXˆXˆ 。
解：设各点高程的平差值分别为
Xˆ1，Xˆ
2，Xˆ
，
3
其近似值
为
X
0 1
0,
X
0 2
12.345,
X
0 3
15.823
，则
可根据 以下步骤求解参数平差值及其协因数：
N21H11u1
Xˆ X 0 Xˆ
（5）精度评定
ˆ0 V T PV /(n t0 )
Ｑ XˆXˆ
N11 N21
H11N11H11
N11
证明 ＱXˆXˆ
因
N12
Xˆ
Xˆ 1 Xˆ 2
N11 N21
H11u1
N11 N21
H11
A1T
Pl
故根据协因数传播律有
3
6
H11
1 9
2 1
1 2
（4）未知数
Xˆ
Xˆ 1
Xˆ 2
Xˆ 3
N11 N21
H11u1
2
0
2
0 2 0.002
Xˆ
X0
Xˆ
12.345
m
0
mm
12.345
m
15.823 2
15.825
（5）ＱXˆXˆ
2 1 1
ＱXˆXˆ
L
1 9
N Xˆ u
（2）
tt t1 t1
将法方程写成
N11 t0 t0 N21 dt0
N12
t0 d
N 22
dd
Xˆ1
t0 1
Xˆ 2
d 1
u1 t0 1
u2
d 1
即
N11 Xˆ1 N12 Xˆ 2 u1 N21 Xˆ1 N22 Xˆ 2 u2
()
()
（3）
其中，() 为 t0个线性无关的方程组，N11 为 t0 t0 的非
1 1
2 1
1 2
作业：
1.完成引例中的有关计算。
2.证明
。
ＱXˆXˆ
N11 N21
H11N11H11
N11
N12
N11K N21K
N11H11u1
N21H11u1
（10）
即
Xˆ
Xˆ 1 Xˆ 2
N11H11 N21H11
H
可以证明，H N 。证明略。
0 0
u1
u2
HU
U
2.计算步骤
（1）根据平差问题，选取t个平差参数和近似值
（t t0），列出误差方程
V A Xˆ l A1
为求即满足 () ，又使 Xˆ T Xˆ min的 Xˆ ，构造函数
Xˆ T Xˆ 2K T (N11 Xˆ1 N12 Xˆ 2 u1) （5）
令
Xˆ T Xˆ 2K T { N11 N12 Xˆ u1}
Xˆ
2 Xˆ T
2K T N11
N12 0
得
Xˆ N11
可得 Xˆ 的唯一解 Xˆˆ ，因该解同时满足V T PV min
和 Xˆ T Xˆ min ，故称为最小二乘最小范数解。这 就是秩亏自由网平差的基本原理。
二、用直接解法求解秩亏自由网
1.原理
由
V A Xˆ l
n1 nt t1 n1
（1）
在 V T PV min的约束下，可导出 t 个相关的法方程
（1）误差方程
v1 1
V
v2
0
v3 1
1 1 0
M M M
0
1
-1
Xˆ 1 Xˆ 2 Xˆ 3
0
0
6
（2）法方程
2
1
L
1
1 2 L 1
M M M M
1
1
L
2
Xˆ 1 Xˆ 2 Xˆ 3
6
0
L
6
（3）
H1
及
H
1 1
6 3
H1
N11N11 N12 N21