条件概率、乘法公式和独立性(doc 10页)
概率论
3
由于系统是由这三对并联元件串联而成， 故其可靠性为
R
2
PC1 C2 C3 PC1PC2 PC3 r
2
2r
3
R 显然，
r由 .
3
2 r 3 2 r3 6 r 12 2 r3 .故 R
2
R.
1
而两系统都是由2 3 个可靠性相同的元件
1 n 1 1 1 0 n n n 1 n
类似可得
P A3 P A1 A2 P A3 A1 A2 P A1 A2 P A3 A1 A2 1 P A1 A2 n2
1 1 P A1 P A2 A1 ， n2 n
抽得既是甲车间的产品，又是二级品的概 率为
50 P AB 0.025. 2000
容易验证，以上各概率之间满足关系式：
P AB PB A . P A
一般情况下上式都成立，故可定义在事件 A
发生的前提下事件 B 发生的条件概率为
P AB PB A , P A
1
1e
10.002
0.95.
1500
1 e
1500ln 10.002
1500 0.002
从这个例子可见，虽然每个人带有感 冒病毒的可能性很小，但许多人聚集在一 起时空气中含有感冒病毒的概率可能会很 大，这种现象称为小概率事件的效应。卫 生常识中，不让婴儿到人多的公共场所去
（3） P AC P APC （4） P ABC P APB PC 我们称 A, B, C 是相互独立的。
， 类似的，对于 n 个随机事件A1， A2， An
条件概率 全概公式
但 P( ABC ) ≠ P( A)P( B )P(C ) 三事件不是相互独立的, 所以A、B、C三事件不是相互独立的,但它们 是两两独立的。 是两两独立的。 对于多个随机事件， 对于多个随机事件 ， 若 A1，A2， An 是相 L 互独立的， 互独立的，则n 个事件中至少有一个发生的 概率为
= 1 P( A1 U A2 U L U An )
全概率公式: 1、全概率公式: 是两两互斥的事件， 设 A1 , A2 ,L , An 是两两互斥的事件，且
P ( Ai ) > 0, i = 1,2, L, n, 另有一事件 , 它总是 另有一事件B,
之一同时发生， 与 A1 , A2 ,L , An 之一同时发生，则
P(B) = ∑P( Ai )P(B｜Ai )
1500 P U Ai = 1 P( A1 A2 L A1500 ) i =1 = 1 P( A1 ) P( A2 )L P( A1 ) = 1 (1 0.002 )
1500
= 1 e1500 ln (10.002 )
≈ 1 e1500( 0.002 ) = 1 e 3 ≈ 0.95
B AB A
掷出2 例如，掷一颗均匀骰子A＝{掷出2点}， 掷一颗均匀骰子 B={掷出偶数点}，P(A )=1/6， P(A|B)=？ ={掷出偶数点 ={掷出偶数点} )=1/6， ( = 已知事件B发生 发生， 已知事件 发生，此时试验 掷骰子 所有可能结果构成的集合就是B 所有可能结果构成的集合就是 ， B中共有3个元素，它们的出现是 中共有3个元素， 中共有 等可能的，其中只有1个在集A中 等可能的，其中只有1个在集 中， 于是P( 于是 (A|B)= 1/3. )= 容易看到： 容易看到： 1 1 6 P( AB) P(A B ) = = = 3 36 P(B)
7.1.2全概率公式课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第三册(1)
ഥ)
接收1(
解: 设A “发送的信号为0”
, B “接收到的信号为0”,
A “发送的信号为1”, B “接收到的信号为1”
.
由题意得, P( A) P(B) 0.5, P(B A) 0.9,
P( B A) 0.1, P( B A) 0.05, P( B A) 0.95.
7.1.2
全概率公式
复习引入
1.条件概率公式
P ( AB )
P ( B A)
P ( A)
2.概率的乘法公式
P( AB) P( A) P( B A)
3.条件概率与独立性的关系
当且仅当事件A与B相互独立时, 有P(B A) P(B).
问题探究
思考：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出
P( A3 B)
P( B)
P( B)
0.0525
7
探究新知
思考：例5中P(Ai), P(Ai|B)得实际意义是什么？
P(Ai)是实验之前就已知的概率，它是第i台车床
加工的零件所占的比例，称为先验概率.
当已知抽到的零件是次品(B产生)，P(Ai|B)是这
件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为
a
的球不再放回. 显然，第1次摸到红球的概率为
. 那么第2次摸到红
ab
球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
因为抽签具有公平性，所以第2
a
次摸到红球的概率也应该是 a b .
但是这个结果并不显然，因为第2次
摸球的结果受第1次摸球结果的影响.
下面我们给出严格的推导.
2
3
3
问题探究
高等数学 13.4条件概率、乘法公式与事件的独立性
• 需要说明的是，（1-15）式实际上蕴涵着
•C
2 n
Cn3
C
n n
2n
1 n
个等式. 特别地，
• 当n 3 时，（1-15）式蕴涵着以下四个 等式：
Байду номын сангаас
• P( A1 A2 ) P( A1) P( A2 )
，
• P( A1 A3 ) P( A1 ) P( A3 )
，
•
P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 )
复n次得到的复合试验称为n重独立试验；
若E只有两个可能结果（如事件A发生或不 发生），则称其为贝努利试验（Bernoulli
Trial），由它得到的n重独立试验称为n重
贝努利试验.
• 贝努利试验以及相应的概率模型在实际 中有十分广泛的应用. 比如，掷一颗骰子的 试验就是贝努利试验，掷n次就是n重贝努 利试验. 还有，对任一事件A，若试验的目 的只是观察A发生与否，那么，独立地做n 次试验或观察就构成一个n重贝努利试验.
11)
• 这就是概率的乘法公式，它在计算复杂 事件的概率时十分有用.
• 乘法公P(式A1（A2 1-1A1m）1) 还 0可推广到多个事件
的情形，如
时，有
三 事件的独立性
• 一、两个事件的独立性
•
在前面的很多例子中P，(A | B) P(A) ，
这说明事件A与B是有关联的. 比如，P当(A | B) P(A)
生了”
• 定义1.2 设A和B为两个事件P，(B) 0 ，
那么，在“B已发生”的条件下，A发生的
条件概P(率A | B)
定义为
P( A | B) P( AB)
•
条件概率、独立性
P(A )P(B 1)P(A|B 1)P(B 2)P(A|B 2)
P(B)P(A|B)
3
3
0.60.10.30.30.10.20.17
P(B 1|A )P(B 1P )P ((A A )|B 1)0 0..1 0 7 61 67 P2 (|B A)P2 (P )B P(|B A (2A ) )0 0..1 0 7 91 97 15 P3 (|B A)P3 (P )B P(|B A (3A ) )0 0..1 0 7 21 27
P( A) P( A)
P( A)
0.8
5
0.25
1．3．2三个重要公式
1． 乘法公式
定理 1 若 P( A) 0，则有 P( AB) P( A)P(B | A) 推广：若 P(B) 0，则有 P( AB) P(B)P( A | B) 一般地，若 P( AB) 0 ， 则有 P( ABC) P( A)P(B | A)P(C | AB) ， 若 P( A1 An1 ) 0 ， 则有 P( A1 An ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( An | A1 An1 )
13
设 A “顾客拿到的电话机不合格” B , i 1,2,3 分别表示
i
“顾客拿到的电话机是甲乙丙生产的”
则 P(B1 ) 0.6, P(B2 ) 0.3, P(B3 ) 0.1
P( A | B1 ) 0.1， P(A | B2 ) 0.3 P(A | B3 ) 0.2
的k (1kn)及任意的 1i1i2 ikn,都 有等式 P ( A i 1 A i 2 A i k ) P ( A i 1 ) P ( A i 2 ) P ( A i k ) 则称 A1,A2,,An相互独立。
1-3条件概率
(4)
P(A1 U A2
B)
P( A1
B) P(A2
B) P(A1A2
B). 4
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例1 一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只 二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放 回抽样. 设事件A为“第一次取到的是一等品”, 事 件B为“第二次取到的是一等品”. 试求条件概率 P(B∣A).
事件同时发生的概率. 乘法公式易推广到多个事件的情形, 设A,B,C为事件, 且P(AB)>0, 则
例如:
(3)
6
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例2 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下打
破的概率为 1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为 7/10, 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为 9/10, 试求透镜落下三次而未
{第一次掷出6点}，
显然，事件 发生，并不影响事件 发生的概率，
这时我们称事件A 独立于B, 在数学上，
可表述为：
其中
(1)
同样，如果
其中
(2)
称事件B 独立于A 由乘法公式易见， (1)式和(2)式
均等价于
(3)
10
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故通常称事件A 与B 相互独立. 注意到 (3) 式当
时恒成立，故它不受 约. 从而可采用 独立性.
求得
24
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2. 将(1)式改写即得乘法公式 3. 事件的独立性
25
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p1 p2 2 p2 (1 p).
21
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采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需比赛 3局(可能赛3局，也可能赛4局或5局)，且最后一 局必需是甲胜，而前面甲需胜二局. 例如,共赛4 局，则甲的胜局情况是:“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”， “甲甲乙甲”，且这三种结局互不相容. 由独立性 得在五局三胜制下甲最终获胜的概率为
条件概率及独立性
1.3条件概率与独立性East China University of Science And TechnologyEast China University of Science And Technology1.3.1 条件概率, 乘法公式条件概率──考虑事件A 已发生的条件下,事件B 发生的概率。
1. 条件概率定义East China University of Science And Technology引例袋中有7只白球, 3只红球, 白球中有4只木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球,1只塑料球.现从袋中任取1球, 假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球, 问它是木球的概率是多少？设A 表示任取一球，取得白球；B 表示任取一球，取得木球.所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。
记为.()A B PEast China University of Science And Technology 解列表()74=A B P ()(|)()P AB P B A P A =白球红球小计木球426塑球314小计73104/107/10=而47(),()1010P AB P A ==P B A P AB P A (|)()()=恒成立吗？?East China University of Science And Technology定义给定一个随机试验, Ω是它的样本空间,对于任意两个事件A,B, 其中P (A )>0, 称为在已知事件A 发生的条件下, 事件B 的条件概率.()(|)()P AB P B A P AEast China University of Science And Technology概率P (B|A)与P (AB)的区别与联系联系：事件A ，B 都发生了.区别：（1）在P (B |A )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，A 先B 后；在P (AB ）中，事件A ，B 同时发生。
D1-3 条件概率及事件的独立性
P AB P A P B
A, B 是相互独立的
定理1: ① A, B 相互独立 P A B P A P B 0
P B A P B P A 0
② 若事件A与B独立， A与 B 、 与B 、A 与 B 也 则 A 相互独立. 证: P AB P A B P A P AB
P A P A P B P A 1 P B P A P B
P AB P A B 1 P A B
1 P A P B P AB 1 P A P B P A P B
两两独立
1 1 但 P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P A2 P( A3 ) 4 8
即三个事件不相互独立
一般地， A1 , A2 ,, An是n个事件， 设 若以下等式成立
P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj )
1 i j n,
1 i j k n, P ( Ai Aj Ak ) P( Ai ) P( Aj ) P( Ak ) P( A1 A2 An ) P( AБайду номын сангаас )P( A2 ) P ( An )
500 0.03 0.001593 25000 ②由贝叶斯公式得： 500 0.03 P( A) P( E | A) 25000 P( A | E ) 0.001593 PE
全概率公式与贝叶斯公式说明： 令 Ai -“原因”， B-“结果”， 则
P Ai -第 i 种原因发生的概率.
概率论和数理统计(第三学期)第2章条件概率与独立性
PA1PA2 A1PA3 A1A2
(1 p) p p p p 1 p p p p p 1 p p p p p
2
2
2
1 5 3 pp3
2
§2.2 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
定理 设B1，B2，…，Bn 是一组两两互斥的事件，且
n
(1) Bi i 1
(3)P( A3 B) 1 P( A3 B)
1
0.2 0.2
0.93
0.5 0.6 0.3 0.9 0.2 0.2
解法二：
(3)P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) 0.49 0.44 0.93
a a 1 b
a
a b a b 1 a b a b 1
a ab
例2 一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、
丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％， 另两家工厂的产品各占２５％。已知甲、乙、丙各 厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出 一只晶体管是合格品的概率（也就是本商店出售货 的合格率）。
pk
1 4
(
pk
pk 1 )
pn p1 ( p2 p1 ) ( p3 p2 ) ( pn pn1 )
1 1 n1
p1
4 1 1
( p2 p1 )
4
即
pn
3 5
(1)n 10
1 4n 1
贝叶斯公式
定理 设B1，B2，…，Bn是一组两两互斥的事件，且
n
(1) Bi i 1
而p1
m 1 m
pn
1 2
1
m2 m
n
当n
时，pn
1 2
例4 连续做某项试验，每次试验只有成功和失败
条件概率与独立性
A={掷出偶数点}， P(B|A)=？
掷骰子 P(B|A)= 1/3.
1 1 6 P( AB) P(B|A) 3 3 6 P( A)
条件概率 Conditional Probability
定义 设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且Ｐ（A）＞０， 则称
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
1 两事件相互独立的定义
直观定义： 已知事件A与B，若 其中任何一个事件发生
的概率不受另一个事件发生与否的影响，则称事件A与 B是相互独立的。
定义1.3 设 是一个样本空间，A、B是其上的 的两个事件，若A，B满足 P(AB)= P(A) P(B) 则称A与B独立，或称A、B相互独立.
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑桃的}
问事件A、B是否独立？ 解： 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=13/52=1/4 P(AB)=1/52=1/52 可见, P(AB)=P(A)P(B)
说明事件A、B独立.
在实际应用中, 往往根据问题的实际意 义去判断两事件是否独立.
练习.
设A、B为互不相容事件，且P(A)>0,P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
n个事件相互独立的定义： 设A1,A2, …,An是 n个事件，如果对任意k (2 k n)个事件 Ai1,Ai2, …,Aik , 有等式
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik )
条件概率与独立性(包含全概率公式、贝叶斯公式)
P( B) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A 31) 9 1 9 8 1 3 .
10 10 9 10 9 8 10
P( A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )
解：以Ai =“第i枪击中猎物”，i = 1，2，3， 则所求概率 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 A2 A3) 1 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) 1 (1 0.6)(1 0.25)(1 0.1) 0.73
2.2 全概率公式
再看引例１ 有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3
红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一 罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.
解 记 Ai ={ 取到的是 i 号罐 } i=1, 2, 3; B ={ 取得红球 }
3
由全概率公式得P( B) P( Ai) P (B | Ai ) i 1
所求概率为1/3，记为 P(B|A)=1/3 ， 称此概率为在事件A发生下事件B发生的条件概率．
2.1.1 条件概率
如果我们去掉条件A，
这时 = {bb，bg，gb，gg}，B = {bb}，
从而 P(B)=1/4.
前面已算出 P(B A) 1/ 3, 故P(B A) P(B).
又因为A = { bb，bg，gb } ， P(A)=3/4，
(1)先取出的零件是一等品的概率；
(2)两次取出的零件均为一等品的概率．
条件概率和独立性-PPT文档资料
解：由 P (A B C ) 1 P (A B C ) P (A B C )P (A )P (B )P ( C ) P (AB )P (AC )P (BC )P (ABC )
第一讲 古典概型与加法公式 1 1 1 11 由 P 已 ( A B 知 C ) 0 P ( AB ) 4 4 4 16 16 5 P ( A B C ) 1 P ( A B C ) 1 P ( ABC ) 8 又 P ( ABC ) P （ AB ) 0 , P ( ABC ) 0 ,
P A B P A P B P AB
一般加法公式 到也 有可 限推 个广 事件 如的 ：情 形 P (A B C )P (A ) P ( B ) P ( C ) P (AB ) P ( BC ) P (AC ) P (ABC )
第二讲 条件概率与独立性
例1-3-5（95数学一，3分）
设随 A : { 机 X 0 }; B 事 : { Y 件 0 }, 3 4 已 P ( AB 知 ) ; P ( A ) P ( B ) , 则P 求 {max( X ： , Y ) 0 } 7 7
解：设事件 C ｛ max( X , Y ) 0 }, 则： C ｛ max( X , Y ) 0 } { X 0 } { Y 0 } A B
例1-3-3 设P (A) > 0， P (B) > 0 ，将下列四个数： P (A) 、P (AB) 、P (A∪B) 、P (A) + P (B)
用“≤”连接它们，并指出在什么情况下等号成立. 解 P A B P ( A ) P ( B ) P ( AB )
事件的独立性、概率乘法定理
P(B) P( Ai)P(B | Ai) i 1
=0.3×0.25＋ 0.２×0.3＋ 0.１×0.1＋ 0.4×0
=0.145。
练习2 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第 二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的 零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概 率为多少？
P(B)= P(A1)P(B|A1 )+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
C22 C52
C32 C72
C32 C52
0 C72
C31C21 C22 C52 C72
3. 70
(2)
P(A1|B)
P( A1B) P(B)
P( A1)P(B | A1)
3
P( Ai )P(B | Ai )
1、三好学生，拿到奖学金的概率是p(A1)=0.3。 2、四好 学生，拿到奖学金的概率是p(A2)=0.4。3、五好学生， 拿到奖学金的概率是p(A3)=0.5。4、六好学生，拿到奖 学金的概率是p(A4)=0.6。这些学生只能是三好四好五好 六好学生种的一种，不能跨种类。这个学校学生是三好 学生的概率是p(B1)=0.4，四好学生的概率是p(B2)=0.3， 五好学生的概率是p(B3)=0.2，六好学生的概率是p(B4)=0.1。 现在问题出来了，一个学生能够拿到奖学金的概率是多少？
p,
P( A2 | A1)
p,
P( A1) 1 p, P( A2 | A1)
p. 2
于是，由全概率公式得
P( A2
)
P( A1)P( A2
|
A1)
13条件概率及事件的独立性
定义1.3.1 则称
设 A, B 是的两个随机事件，且 P( B) 0,
P( AB) P( A B) P( B)
为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。
性质
0 P( A B) 1
P( A B) P( A B) 1
各有红、白两色， 例2 一盒中混有100只新 、旧乒乓球， 分类如下表。 从盒中随机取出一球， 若取得的是一只红球， 试求该红球是新球的概率。 红 白 30 10
(2) 事件A与事件B相互对立； (3) 事件A与事件B不相互独立；
(4) 事件A与事件B相互独立；
例11. 从一付52张(去掉王)的扑克牌中任意抽取一张,令 A={抽出一张K}, B={抽出一张黑桃},问A与B是否独立?
1 解: P A , P B , P AB 1 , 1 1 C52 C52 C52
第三节
条件概率及事件 的相互独立性
一、条件概率和乘法公式
第一章
二、全概率公式和Bayes公式 三 、事件的相互独立性
§1.3.1 条件概率和乘法公式
在实际问题中，除了要知道事件 A 发生的概率 P(A) 外，有时还要考虑“在事件 B 发生的条件下，事件 A 发
生的概率”，这个概率记作 P(A|B)。 由于增加了条件“事 件B 已经发生”，所以一般说来，P(A|B) 和 P(A) 不同。 称P(A|B) 为在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的 条件概率。
C 4 P( A | B1 ) C 5 由Bayes公式: P( B1 ) P( A | B1 ) P( B1 | A) 2 0.0848 P( Bi ) P( A | Bi )
i 0
4 19 4 20
1_4条件概率与事件的独立性
每次１件，取后不放回，求在第一次取得正品的情况下，第二 次取得正品的概率．
解：设 Ａ＝第一次取得正品，Ｂ＝第二次取得正品，则
P(B|A)=6/9
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结束
例2 设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活
到25岁的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物活到25岁 的概率？
解： 设A={活到20岁}，B={活到25岁}，
则 P(A)=0.8 ， P(B)=0.4，
由于 A B，有AB=B，因此P(AB)= P(B)=0.4，
于是所求概率为
P(B | A) P( AB) 0.4 0.5. P( A) 0.8
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结束
二、 乘法公式 若Ｐ(B)>0, 则 P(AB)=P(B)·P(A|B)
证明 因为A B=B－AB，且 B AB，所以有
P( AB) P(B AB) P(B) P( AB) P(B) P(A)P(B)
P(B)[1 P( A)] P( A)P(B).
所以 A 和Ｂ相互独立．
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结束
例6 甲、乙两人各自同时向一目标射击。已知甲击中目标的
概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5。求目标被击中的概率。
P( A | B) P( AB) P(B)
为在事件B已发生的条件下，事件A发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质：如：
若 BC＝Φ，P((B∪C)|A)= P(B|A)+ P(C|A)，
P(B | A) 1 P(B | A).
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概率论第2章条件概率与独立性精品PPT课件
解 设Ai 第 i 次考试及格 i 1, 2, 3
B＝{他考试能及格}
则
B A1A2A3 A1A2A3A4 A1A2A3A4 A1A2A3A4
P B = P A1A2A3A4 + P A1A2A3A4 + P A1A2A3A4 + P A1A2A3
= P A1 P A2 A1 P A3 A1A2 P A4 A1A2A3
2、规范性 若A B，则P(B A) 1 特别地，P( A) 1
3、可加性
若B1, B2 , ，Bn , 为一列两两互不相容事件，
则 P( Bk A) P(Bk A)
k1
k1
常用到 P(B | A) = 1 - P(B | A)
例2 一个家庭中有二个小孩，已知其中有一个是女孩， 问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大(假定一个小 孩是男还是女是等可能的)？ 解 样本空间Ω={(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)}
A={已知有一个是女孩}={(男,女)，(女,男)，(女,女)} B={另一个也是女孩}={(女，女)} 则
P(B | A) P(AB) 1/ 4 1 P(A) 3 / 4 3
例3 设已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8,能活 过25岁的概率是0.4, 问现龄20岁的该种动物能活过25岁的 概率是多少？ 解 设 A={该种动物能活过20岁}
P(A1A2…An-1)＞0, 则有 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1) 上式表明，事件积的概率可通过一系列条件概率的乘积来 计算。
证明：当P(A1A2An-1)＞0时， 由于A1A1A2…A1A2…An-1, 则有 P(A1)≥P(A1A2)≥…≥P(A1A2…An-1)＞0 由条件概率的定义，得
第二章 条件概率与独立性 优质课件
证 因为
A＝A＝A( Bk ) ABk
k 1
k 1
由概率的完全可加性及乘法定理(已知P (Bk)>0），得
P(A) P( ABk ) P(ABk ) P(Bk )P(A Bk )
证毕。
k 1
k 1
k 1
2019/11/17
图2－2
概率论与数理统计
将这些数据代入式①，得 P(A)=0.15×0.05+0.20×0.04+0.30×0.30+0.35 ×0.02=0.0315
2019/11/17
概率论与数理统计
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第二章 条件概率与独立性
2.2.2 贝叶斯公式 定理4 设B 1 ，B 2 ，…为一系列(有限或无限个)两两
互不相容的事件，有
定理2 设A 1 ，A 2 ，…，A n 为任意n个事件，n≥2， 且P（A 1 A 2 …A n-1 ）>0，则有P(A1A2…A n ）=P （A 1 ）P（A 2 |A 1 ）P（A 3 |A 1 A 2 ）…P（A n |A 1 A 2 …A n-1 ） 证 当P（A 1 A 2 …A n-1 ）>0时，由于
P（A）=P（AB 1 ）+P（AB 2 ）
=P（B 1 ）P（A|B 1 ）+P（B 2 ）P（A|B 2 ）
a a 1 b a a b a b 1 a b a b 1
a ab
2019/11/17
概率论与数理统计
第15页
第二章 条件概率与独立性
例2-4 （抽签问题） 6人分两张球票，抽签决定。问:第一 人抽得球票的概率与第二人抽得球票的概率是否相等? 解 设A=｛第一人得票｝,B=｛第二人得票｝,则
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条件概率、乘法公式和独立性(doc 10页)
§3．条件概率、乘法公式、独立性
前面讲到随机事件时，说到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，如果除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。
但是在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A 已经发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。
一．【例1】设箱中有100件同型产品。
其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂，
30件(25件正品，5件次品)来自乙厂。
现从中任取一件产品。
(1)求取得甲厂产品的概率；
(2)求取得次品的概率；
(3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。
分析：为了直观，我们将产品情况列成表
上面的问题，可用古典概率计算法求得。
解：
则（1）（2），
，，
（3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次品)中任取一件。
这时样本空间只含70个基本事件(是原的样本空间的一部分)。
由古典概率知：
为了给出条件概率的数学定义，我们对
{例1}的条件概率问题进行分析：
即有
二。
条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞0，则称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率,
且
【例1】从带有自标号1，2，3，4，5，6的六个球中，任取两个，如果用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：
【例】
φ
解；（ⅰ）∵ABφ
=，
三．概率的乘法公式：
乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。
即
【例2】盒中有10件同型产品。
其中8件正品，2件次品，现从盒中无放回地连取2
件，求第一次、第二次都取得正品的
概率。
因为在第一次已取得正品下，第二次再取产品时，盒中只剩9件产品，其中正品只有7件。
【例3】10个考签中有4个难签，3人参加抽签(不放回)，甲先、乙次、丙最后。
求甲
抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没抽
到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽
到难签的概率。
解：设事件A，B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签，则
【例4】
【例5】袋中有三个阄，其中仅有一阄为有物之阄，三人排队抓阄，每人取一个，记
从此例看出，抓阄时虽排队，但三人是等概的，否则这个办法就不会被人类采纳达数千年之久。
三．事件的独立性：
如果
则 表示事件A 发生并不影响事件B 发生的概率。
即 ()()()()()P B A P B P AB P A P B =⇔= 1．定义：设A ，B 是两个随机事件，如果
2．性质： 若 四对事件 A
与B ；A 与B ；A 与B ；A
与B 中有一对相互独立，
则其余三对也相互独立．即下面四个命题是等价的：
３．定义２：
应用独立性概念，可以简化概率的计算．
【例6】在不超过100个自然数里任取一数，则它能被2或能被5整除的概率为多少？
3
5
【例】袋中放有a个白球和b个黑球，随机取出一个，然后放回，并同时再放进与取出的球同色的球c个，再取第二个，这样连续取3次，问取出的3个球中头两个是黑球，第3个是白球酌概率是多少?
解：
【例】
【例８】已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0．4％，且他们是否含有肝炎病毒是相
互独立的．今混合100个人的血清，试求混
合后的血清中含有肝炎病毒的概率．
现在我们知道对１００人的血清作检验．用新方法要检验l01次的可能性为0．33，而只需检验一次的可能性为１—o．33＝o．67．由此，可以知道，只做一次检验的可能性远大于t01次检验的可能性．以后我们将知道：用新方法对100个人平均需做34次检验，当然这比老方法要做too次检验确实减少了工作量．
【例】
【例】甲、乙两人同时向一敌机炮击，已知甲击中的概率为o．6，乙击中的概率为o．5，求敌机
被击中的概率。
【例１１】（１）两门火炮同时向一敌机射击，
每门火炮的命中率为０．6，求敌
机被击中的概率．
（２）现若干门炮同时向向一敌机炮击，问欲以９９％的把握击中这敌机，至少需要几门炮？
（２）解：设至少n门炮同时向向一敌机炮击，
i A =
“第i 门炮击中这敌机” (1,2,,)
i n =，
A =
“敌机被击中”，
则
12n
A A A A =++
+，
（∵
12,,,n
A A A 不是两两互不相容，Ｐ（Ａ）
计算量太大，可以考虑A 的逆事件）
∵ 12
n
A A A A =， 且1
2
,,
,n
A A A 是相互独
立的，
∴ 12()()()
()10.60.4n n
n P A P A P A P A ==-=，
()1()10.40.99
n P A P A =-=-≥
因而
5.026
n ≥，
可见， 至少需要６门炮才能以９９％的把握击中这敌机。
【例】 若n 次独立试验中，A 至少出现一次的概率为 ,, 求一次试验中Ａ出现的概率。
四．习题：
Ｐ。
２９―――１，２，３，４。