嘉兴学院高等数学A2期末考试样卷及答案
高等数学A2 答案详解
考试科目： 高等数学A2 考试班级： 理工类2015级班级 考试方式： 闭 卷命题人签字： 命题组 教研室主任签字： 教学院长签字：考生班级： 考生姓名： 考生学号：一、单项选择题（每小题2分，共28分）。
1.D2.A3.D4.C5.A6.D7.C8.B9.B 10.D 11.A 12.C 13.C 14.B二、填空题（每小题2分，共12分）。
15．42123y x C x C x C =+++ 16. 2 17. 3 18. 1(1,,2)4- 19.2sin 2x y xye y +- 20.23012!3!!!n n n x x x x n x n ∞==+++++∑L L 三、解答题（每小题5分，共15分）。
21. 解：分离变量sin sincos cos x ydx dy x y =------------------------------- 1分 两端积分ln cos ln cos ln x y C =+--------------------------- 2分可得通解 cos cos y C x =-------------------------------- 3分由初始值确定常数得2C =----------------------------- 4分于是问题的特解为：cos cos 2y x =cos y x =------ 5分22、解：特征方程为2340r r --=，---------------- 1分即(1)(4)0r r +-= 特征根为 121,4r r =-=，------------------ 2分通解为 412xx y C e C e -=+，----------------------------------- 3分可得 4124xxy C e C e -'=-+ 由初始值得 121,1C C ==-，---- 4分故问题的特解为：4x x y e e -=-.--------------------------------5分23、取()()2,5,2,1,3,8AB AC =---=--u u u r u u u r -------------1分 所求平面法向量为252138i j kn AB AC =⨯=-----rr r u u u r u u u r r ----------------- 2分()34,18,11=-------------- 3分代入A B C (,,),(,,),(,,)135123203---其中任意一点，得到点法式方程------- 4分整理可得所求平面的一般式方程为：------------- 5分四、计算题（每小题5分，共15分）。
10-11-3高等数学A期末考试试卷(A)参考答案及评分标准
共 2 页 第 1 页10-11-3高数A 期末试卷（A ）参考答案及评分标准11.6.21一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 4；2. 2；3. 224()t f t π；4. π-；5. 4π；6. 2，3；7. i π；8. 12；9.2-，0. 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)10．解 点(1,1,1)处切线的方向向量{1,2,2}{2,2,5}{14,9,2}=-⨯-=-a ，（4分）切线方程为1111492x y z ---==-.（3分）（或223022550x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩（7分）） 11．解22201d cos d cos d 2xyy x x x x y x x ===⎰⎰⎰⎰⎰.（3+2+2分） 12．解 由sin ,2sin y x y x ==(0)x π≤≤所围成的区域记为D ，利用Green 公式得2sin 220sin 033(1)d d d d d sin d 24x xCDy x xy y y x y y x x ππσπ++=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ.（3+2+2分） 13. 解 补两个面2211:1x y S z ⎧+≤⎨=⎩，2224:2x y S z ⎧+≤⎨=⎩ ，分别取下侧和上侧，（1分）由12,,S S S 所围成的区域记为Ω，利用Gauss 公式得()d d ()d d Sy x z y z x z y x y -∧+-∧⎰⎰12()d (1)d d (2)d d 0S S y x v x y x y x y x y Ω=+--∧--∧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（3+3分）三（14）．（本题满分8分）解1()n n a a ∞=∑未必收敛，例11n a n =+，10n a n ≤<，而111n n ∞=+∑发散；（2分）1()(1)nn n b a ∞=-∑未必收敛，例111(1)sin 2n n a n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，10n a n ≤<，而11(1)n n n ∞=-∑收敛，11sin n n ∞=∑发散，故1(1)11(1)sin 2n nn n n ∞=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭∑发散；（2分）1()n c ∞=11n a n =+，10n a n ≤<，而1n ∞=发散；（2分）21()(1)n n n d a ∞=-∑必定收敛，2210n a n ≤<，共 2 页 第 2 页而211n n ∞=∑收敛，所以21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛，故21(1)n n n a ∞=-∑收敛. （2分） 四（15）。
高数A_2_期末综合测试2参考答案
高等数学A 2期末期末综合测试综合测试综合测试（（二）参考答案参考答案一、填空填空、、选择题选择题（（27%）1．曲面z xy =在点()122，，处的法线方程是122.211x y z −−−==−−. 2. 已知D 是由直线1,10x y x y x +=−==及所围，则(1) 1 .Dy d σ+=∫∫ 3. 若曲线L 是221x y +=在第一象限的部分，则 1 .Lxds =∫4. 设(,)ln ,2y f x y x x=+则22(1,0)1.4f y ∂=−∂5. 设函数322(,)42f x y x x xy y =−+−，则下列说法正确的是【 B 】(A) 点()2,2是(),f x y 的极小值点； (B) 点()0,0是(),f x y 的极大值点；(C) 点()2,2不是(),f x y 的驻点； (D) ()0,0f 不是(),f x y 的极值。
6. 函数22(,)f x y x y =+在点()11，处沿着下列哪个方向的方向导数最大？（ A ）(A) ()11，； (B) ()21，； (C) ()01，； (D) ()10， 7. 曲线L 为沿22=4x y +顺时针方向一周.则()12Lxdy ydx C −=∫ (A)2π−； （B） 4π； (C） 4π−； (D) 0.8．积分()10,y dy f x y dx =∫（ A ）(A)()210,x x dx f x y dy ∫∫； (B) ()21,xx dx f x y dy ∫∫； (C) ()10,xdx f x y dy ∫∫； (D) ()210,x dx f x y dy ∫.注意注意：：()()110,,(01)y ydy f x y dx dy f x y dx y if y =−≤≤≤∫∫∫9.下列级数中条件收敛的是（ B ）(A)1211(1)sin n n n ∞+=−∑； （B）1(1)n n ∞=−∑；(C）1)1(1+−∑∞=n n n n； （D）)1(1)1(1+−∑∞=n n n n .二、解答题(24分) 1. 设函数()22ln ,yxz x ye=++求()1,0.dz解：22222221,;yyxxz x y z y e e x x y xy x y x∂∂=−=+∂+∂+所以()1,02d d .dz x y =+ 2. 设sin ,,2,uz e v u xy v x y ===−求,.z z x y∂∂∂∂解：sin(2),xyz e x y =− [sin(2)cos(2)],[sin(2)2cos(2)].xy xy z z e y x y x y e x x y x y x y∂∂=−+−=−−−∂∂ 3．设(),xyz f e y = 求2,.z z x x y∂∂∂∂∂解：12;xy z ye f f x ∂′′=+∂21111222122(1)())xy xy xy xy z xy e f ye xe f yf f xe f yf x y ∂′′′′′′′′′′=+++++∂∂212112122sin sin (1)(cos cos 22xy xy xy y yxy e f f xye f y y f yf ′′′′′′′′=++++++ 4. 设方程sin y ze x z e +−=确定隐函数(),z z x y =,求()()0,10,1,.z z x y ∂∂∂∂解法一：由0,1x y ==得，0z =；(,,)sin F sin ,F ,F cos ;y z y z y z x y z F x y z e x z e z e e x z +++=−−=−==−设，则(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)F F sin 0, 1.F cos F cos y zy xy zy z zzzzze x e x zy e x z +++∂∂=−===−=−=−∂−∂−解法二解法二：：首先由0,1x y ==得，0z =，对sin y ze x z e +−=两边求全微分得，()sin cos 0y z e dy dz zdx x zdz ++−−=，将0,1,0x y z ===代入，得 []0(0,1)100x y dy dz dz dx dy ==+=⇒=−，所以(0,1)(0,1)0, 1.zzx y∂∂==−∂∂三、计算计算题题（30分）1.求(2d d ,D x y ∫∫ 其中22: 4.D x y +≤解：(2282d d d (2)d .3Dx y πθρρρπ−=−⋅=∫∫∫∫2. 求,zdv Ω∫∫∫其中Ω是球面z =0z =所围成的闭区域。
1-12-2高等数学A2期末总复习
淮 海 工 学 院11 – 12 学年 第 二 学期 高等数学A （2） 期末总复习一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1. 由向量)2,0,1(=OA ，)2,1,0(=OB 围成的三角形OAB ∆面积为--------------（A ） （A ）23（B ）2 （C ）3 （D ）4注1：已知,a b ，会求,,a b a b a b ⋅⨯⨯，举例说明并练习.注2：已知,a b ，会求由,a b 构成的面积s a b =⨯，举例说明并练习.2．)tan()1(),(2222y x y y x y x f +-+=，则(,1)xx f x =-----------------------------（B ） （A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x 2 注1：二元初等函数求偏导数值，将另一变量的值代入，在对该变量求导. 如： 2(,)1,f x y y xy =+求(3,1),(,1),(,1),(0,1),(0,),(0,)x x xx y y yy f f x f x f f y f y . 又如：对选择题2，求(1,1),(0,1)x y f f .3. z y e u x-+=ln 在点)1,1,0(-处沿下列哪个方向的方向导数最大-----------（B ） （A ）)1,1,0(- （B ）)1,1,1(- （C ）)1,1,0( （D ）)1,0,1(注1：(,,)u f x y z =在点0M 处沿梯度方向000((),(),())x y z f M f M f M 的方向导数达到最大值222000()()()x y z f M f M f M ++.如：函数32),,(222+-+=z y x z y x f 在点)27,1,1(处沿下列哪个方向的方向导数最大？并求最大值.简要解答：,2x f x =z f y f z y 4,2-==则 )72,2,2()27,1,1(-=g r a df ，6)27,1,1(][max )27,1,1(==∂∂grad l f . 又如：对选择题3，求方向导数的最大值.4．二次积分⎰⎰exdy y x f dx 1ln 0),(的另一种积分次序为----------------------（B ）（A ） x d y x f dy ye e ⎰⎰1),( （B ） x d y x f dy eey ⎰⎰10),(（C ）x d y x f dy ee ey⎰⎰1),( （D ）x d y x f dy eeey ⎰⎰1),(注1：在直角坐标系下，交换二次积分的积分次序，需熟练描绘积分区域的图形，并将其表示成另一种积分区域. 如：⎰⎰1),(yydx y x f dy 的另一种积分次序为--------------------------------------------（C ） （A ）⎰⎰10),(xx dy y x f dx （B ）⎰⎰10),(xxdy y x f dx（C ）⎰⎰102),(xx dy y x f dx （D ）⎰⎰12),(x xdy y x f dx又如：x d y x f dy e ey ⎰⎰1),(的另一种积分次序为⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),(.5．2272(21)(1)x y x y ds +=++=⎰----------------------------------------------------------------（D ）（A ）0 （B ） π （C ）2π （D ） 22π注1：第一种曲线积分的计算需利用(,),L Lx y L ds s ∈=⎰与对称奇偶性来完成.如：设L 为椭圆2215x y +=，其周长为l ，则()(5)Lx y x yd s ++=⎰----------------（D ） （A ）15l （B ） l （C ） 5l （D ） 5l6．设∑为锥面22y x z +=与平面1z =所围立体Ω的表面内侧，则223x zdydz xyzdzdx zdxdy ∑--=⎰⎰----------------------------------------------------（D ）（A ）π- （B ）3π- （C ）3π （D ）π 注1：第二种曲线积分的计算需利用高斯公式与kdv kv ΩΩ=⎰⎰⎰来完成，注意内外侧. 如：设空间闭区域{}(,,)1,2,||3x y z x y z Ω=≤≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的外侧，用高斯公式计算得23xdydz ydzdx zdxdy ∑-+=⎰⎰ 96 .又如：对选择题6，设∑为空间闭区域{}22(,,)1,1x y z x y z Ω=+≤≤的表面内侧，用高斯公式计算223x zdydz xyzdzdx zdxdy ∑--⎰⎰.简要解答: Ω是半径为1、高为2的圆柱体，其体积为2π，令2,23P x z Q xyz R z ==-=-，则3x y z P Q R ++=-则原式()xyz P QR dv Ω=++⎰⎰⎰3dv Ω=⎰⎰⎰6π=．7．设)1(1+=n n u n ，则级数-------------------------------------------------------------（ D ）（A ）∑∑∞=∞=121n n n nu u 与都收敛 （B ）∑∞=1n nu 与∑∞=12n nu都发散（C ）∑∞=1n nu收敛，而∑∞=12n nu发散 （D ）∑∞=1n nu发散，而∑∞=12n nu收敛注1：对于p 级数11p n n ∞=∑，当1p ≤时发散，当1p >时收敛． 如：下列级数中收敛的是--------------------------------------------------------------------（D ）（A ）∑∞=+11n n n （B ）∑∞=+1)1(1n n n （C ）∑∞=+11n n n （D ）∑∞=+111n n n又如：若级数5611pn n∞-=∑收敛，则p 的取值范围是-----------------------------------------（A ）（A ）(,23)-∞ （B ）(,23]-∞ （C ）(23,)+∞ （D ）[23,)+∞ 8．设)(x f 是以π2为周期的周期函数，其在],(ππ-上的解析式为21,0()3,0x x f x x x ππ⎧--<≤=⎨-<≤⎩，若记)(x f 的傅里叶级数为()S x ，则(8)S π=-----（C ） （A ）1 （B ）32（C ）2 （D ）3注1：以π2为周期的)(x f 满足狄利克雷收敛条件，若0x 为)(x f 的第一类间断点，则)(x f 的傅里叶级数001()[()()]2S x f x f x +-=+.如：对选择题8，24(7)2S πππ--+=.二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1. 设),(y x f z =是由 z x z y 25)35ln(-=- 所确定的隐函数,求23x y z z +. 注1：设),(y x f z =是由(,,)0F x y z =所确定的隐函数，则有公式法如下： ,x x z y y z z F F z F F =-=-．解：设=),,(z y x F z x z y 25)35ln(+-------------------------------------1 则03532,355,5≠--=-=-=zy F z y F F z y x (3分,偏导错一个扣分)则23x y z z +(23)x y z F F F =-+ =5.-------------------------------------------------3如： 设0)3cos()2sin(=-+-z y z x 确定了隐函数),(y x z z =，求23x y z z +. 2． 设1(,)z f xy x y x =+，其中f 可微，求)0,1(dz . 解：12211()z f yf f x x x ∂=-++∂-----------------------------------------------------------------2121()z xf f y x∂=+∂-----------------------------------------------------------------------------2 )0,1(dz= 212[(0,1)(0,1)][(0,1)(0,1)]f f dx f f dy -++.-----------3注1：含抽象复合函数的偏导数计算需利用链式法则.如： )(),(xyg yx xy f z +=,其中g f ,均可微，求x y xz yz +. 简要解答: ),(1221y x g x y f y yf x z '-+=∂∂ ),(1221y x g x f yx xf y z '+-=∂∂ 则12x y xz yz xyf +=.又如：对计算题2，求x y z z -.注2：(,)z f x y =的全微分公式为x y dz z dx z dy =+，求出,x y z z ，可得dz ， 进一步，将00,x x y y ==代入dz ，可得00(,)x y dz，或00(,)dz x y .如：设(,)y z yf x y x=-，其中f 可微，求(1,0)dz -.简要解答: 122()x y z y f f x =-+，121()y z f y f f x=+-， 因x y dz z dx z dy =+，则(1,0)(0,1)dz f dy -=-. 又如：对计算题1，求dz .3．设D 由23,1y x y x ==-及x 轴所围成，求2221(1)Ddxdy x y ++⎰⎰. 解: :01,03D r πθ≤≤≤≤----------------------------------------------2则原式122300(1)d r rdr πθ-=+⎰⎰-----------------------------------------212220(1)(1)6r d r π-=++⎰12π=.----------------------------------3 注1：若积分区域为圆（扇、环）域，被积函数为22()f x y +，则用极坐标.如： 若{}1),(22≤+=y x y x D ，求221Dx y dxdy --⎰⎰.简要解答: 原式212001d d πθρρρ=-⋅⎰⎰01)1(32232ρπ--=32π=. 又如：对计算题3，求2231(1)Ddxdy x y ++⎰⎰.4．取L 为22132x y +=的顺时针方向，用格林公式求422(2)(1)23L x y dy y dx x y +-++⎰. 解：原式41(2)(1)6L x y dy y dx =+-+⎰-------------------------------------------------------2221321(21)6Green x y d σ+≤=-+⎰⎰--------------------------------------------------------------3 221321622x y d σπ+≤=-=-⎰⎰.----------------------------------------------------------2 注1：用格林公式求LPdx Qdy +⎰时，若,P Q 含分母，利用(,)x y L ∈将分母变为常数，再用格林公式进行计算，注意L 的逆（顺）时针方向. 如：设L 是221x y +=的逆时针边界曲线，则=+--+⎰Lyx dyy x dx y x 22)()(π2-. 再如：对计算题4，求2(2)(2)y Ly y dx xy e dy --+⎰.三、计算题（8分）记曲面zxy z ln 21+=在点),,(0000z y x M 处的切平面为∏，若已知直线z y xL -==32:与∏垂直，求点),,(0000z y x M 及∏的方程. 解： 设=),,(z y x F z z x y 21ln-+，则 )211,1,1(),,(000--=z x F F F M z y x ------2 由L ⊥∏，知 0000111211,22112x z x z --==⇒==- ------------------------------3 代入zxy z ln 21+=可得：2ln 210+=y ----------------------------------------------1故∏：0)2()2ln 21()21(2=----+-z y x ，即 02ln 22=--+z y x .---2注1：曲面(,,)0F x y z =在点0M 处的法向量为0(,,)x y z M F F F .如：在曲面xy z =上求一点，使该点处曲面的法线垂直于平面.093=+++z y x 简要解答: 设所求点为 ),,(0000z y x M , 令(,,)F x y z z xy =- 则点0M 处的法向量为000(,,)(,,1)x y z M F F F y x =-由已知得113100-==x y ，解之得: 1,300-=-=y x ，则 3000==y x z 故所求点为)3,1,3(--.又如：求曲面0162222=++-+-z x z y x 在)1,3,1(处的切平面I 的方程, （1）判断平面∏：0536=---z y x 与切平面I 的位置关系；（2）判断直线11:63x z L y --==与切平面I 的位置关系. 简要解答: （1）令162),,(222++-+-=z x z y x z y x F则,14-=x F x 62,2+=-=z F y F z y ，切平面I 法向量)8,6,3(1-=n切平面I 方程为： 07863=++-z y x ，∏平面法向量为)3,1,6(2--=n由021=∙n n 知 21n n ⊥ ，即 ∏⊥I . （2）直线L 的方向向量为(6,1,3)s =-由10n s ∙=，知1n s ⊥，又直线L 上的点(1,0,1)∉I ，则L I .注意：当1n s ⊥时，若直线L 上的某点M ∈I ，则有L ⊂I . 四、计算题（８分）求幂级数∑∞=+---11212)12(2)1(n n n nn x 的收敛半径和收敛域．解: =+∞→|)()(|lim 1x u x u n n n 24x -----------------------------------------------------------------2当142<x 时，即2||<x 时，该级数绝对收敛-------------------------------------------1 当214x >时，即||2x >时，该级数发散------------------------------------------------1 则收敛半径2=R ---------------------------------------------------------------------------12±=x 时，相应级数为∑∞=--±1121)1(41n n n 收敛--------------------------------------2∴收敛域为]2,2[-． -------------------------------------------------------------------------1注1：熟练掌握求幂级数收敛半径和收敛域的解题方法与过程． 如：求幂级数n n n x n 2114⋅⋅∑∞=-的收敛半径和收敛域．简要解答: 1lim |()()|n n n u x u x +→∞=24x ，当241x <时，即||12x <时，该级数绝对收敛； 当241x >时，即||12x >时，该级数发散，则收敛半径12R = ，12x =±时，相应级数为14n n∞=∑发散，∴收敛域为(12,12)-． 五、证明计算题（本题8分）求证：23(32)(2)y y x e x y dx x e x y dy +-+-+为某二元函数(,)u x y 的全微分， 并求(,)u x y ．解: 23(,)32,(,)2yyP x y x e x y Q x y x e x y =+-=-+ ----------------------------------1231y P Q x e y x∂∂=-=∂∂-----------------------------------------------------------------------2 则(,)u x y 与积分路径无关-------------------------------------------------------------------1 (,)u x y =(,)23(0,0)(32)(2)x y y yx e x y dx x e x y dy C +-+-++⎰----------------------12300(32)(2)x yy x x dx x e x y dy =++-+⎰⎰---------------------------------------2322y x e x xy y C =+-++．-----------------------------------------------------------1 注1：x y LPdx Qdy du Q P Pdx Qdy +=⇔=⇔+⎰与积分路径L 无关，且000(,)(,)(,)(,)x y x yx y x y u Pdx Qdy P x y dx Q x y dy C =+=++⎰⎰⎰，一般取00(,)x y 为原点.如：证明：dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++在整个xoy 平面内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数．简要解答: 因x y y x yPx Q cos 2sin 2+-=∂∂=∂∂，则命题得证； (,)2(0,0)2(2sin sin )x y xyu Pdx Qdy C xdx y x x y dy C=++=+-+⎰⎰⎰22sin cos y x x y C =++又如：对证明计算题五，求证:LI Pdx Qdy =+⎰与积分路径L 无关,仅与L 的起点仅与L 的起点(0,0)A 与终点(,)B x x 有关，并求出I ． 简要解答: 因231y Q Px e x y∂∂==-∂∂，则命题得证； (,)23(0,0)(32)(2)x x xxy I Pdx Qdy x x dx x e x y dy =+=++-+⎰⎰⎰32x x e x =+．六、计算题（本题8分）求,122σd y x D⎰⎰-+ {}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤．[解] 如图,原式122222(1)(1)D D x y d x y d σσ=--++-⎰⎰⎰⎰------------------------------212222(1)2(1)DD x y d x y d σσ=+-+--⎰⎰⎰⎰-----------------------------221112220000(1)2(1)dx x y dy d r rdr πθ=+-+-⎰⎰⎰⎰-------------------------2143π=-.----------------------------------------------------------2七、应用题（本题8分）如图ABCD 是一块边长为100m 的正方形地皮，其中ATPN 是一座半径为90m 的扇形小山，P 是弧TN 上一点，其余部分都是平地.某开发商想在平地上建造一个有边落在BC 与CD 上的矩形停车场PQCR ， 设,PR x AM y ==，求该停车场PQCR 的最大面积.解：在Rt APM ∆中，222(100)90x y -+=----------------------------------1 停车场PQCR 的面积(100)S x y =-，,(0,100)x y ∈------------------------1 构造222(100)[(100)90]L x y x y λ=-+-+-， ------------------------------------------1 由(100)2(100)0,20x y L y x L x y λλ=---==-+=----------------------1 解得x y =或100x y +=------------------------------------------------1 当x y =时，易得2950S m =---------------------------------------------------------------------1 当100x y +=，易得2(1405090002)S m =----------------------------------------------1 故停车场PQCR 的最大面积为2(1405090002)m -.-----------------------1 注1：此类优化应用题应化为条件极值问题，一般利用拉格朗日乘数法解决，也可将条件代入目标函数转化为无条件极值问题加以解决.如：2008年5月12日我国四川汶川发生了强烈地震，整个汶川地区的道路网受到了空前的破坏，为重建家园，政府决定建立一个优化的道路系统．现有一个道路子网将连接汶川地区的四个农庄A B C D 、、、，A B C D 、、、恰好座落在边长为km 2的正方形顶点上，该道路子网有一条关于,AD BC 对称的中心道21O O 及四条支道1122O A O B O C O D 、、、，整个设计要求11,O A O B x ==22O C O D y ==，设21O O 长为2z ，问,,x y z 为多少时，道路子网总长度最短？A BO 1O 2D C简要解答:221122x y z -+-+=，且(1,2),(1,2),(0,1)x y z ∈∈∈该题要求在上述条件下求道路总长度2()d x y z =++的条件最小值构造拉格朗日函数222()(1122)L x y z x y z λ=+++-+-+-222220120122011220x y z xL x y L y L L x y z λλλλ⎧=+=⎪-⎪⎪⎪=+=⎨-⎪⎪=+=⎪=-+-+-=⎪⎩解得213,1333x y z ===-，可使道路子网总长度最短． 注意：本题也可将221122x y z -+-+=化为222211z x y =----，代入目标函数222()2(1)11d x y z x y x y =++=++----令0x y d d ==进行求解．八、微分方程复习题1、yx ey +='的通解为----------------------------------------------------------------------（ B ）（A ）C e e yx=-- （B ）C e e y x =+- （C ）C e e y x =+- （D ）C e e y x =+ 注1：一阶可分离变量微分方程()()y f x g y '=的解法为()()dyf x dxg y =⎰⎰.对选择题1，,x y y e e '=y xe dy e dx -=⎰⎰，则选（ B ）.如：求23x y y e -'=的通解.2、12x y C C e =+是下列哪个微分方程的通解------------------------------------------（ A ） （A ）0='-''y y （B ）0='+''y y （C ）0=-''y y （D ）0=+''y y 注1：0y py qy '''++=的特征方程为20r pr q ++=，0,∆<不要求；若0,∆>特征方程有两个不同实根12r r ≠，原方程通解为1212r x r xy C eC e =+； 若0,∆=特征方程有两个相同实根r ，原方程通解为12()rx y C C x e =+.对选择题2，因011,x x x e e e ==为该微分方程的两个特解，则120,1r r ==为其特征方程有两个不同实根，其特征方程为2(1)0r r r r -=-=，故选（A ） 如：0=-''y y 的通解为12x x y C e C e -=+； 通解为12x x y C e C e -=+，则微分方程为0=-''y y . 又如：20y y y '''++=的通解为12()xy C C x e -=+； 通解为12()x y C C x e -=+，则微分方程为20y y y '''++=.3、 微分方程x xe y y y 244-=+'+''的一个特解可设为---------------------------（C ） （A ）2()x ax b e -+ （B ）x e b ax x 2)(-+ （C ）x e b ax x 22)(-+ （D ）xe x 23-注1：xy py qy ceλ'''++=的特解可设为*k xy ax eλ=，当λ为其相应特征方程20r pr q ++=的非特征根，单根，重根时，k 分别取0,1,2.注2：()x y py qy cx d e λ'''++=+的特解可设为*()k xy ax b x e λ=+，当λ为其相应特征方程20r pr q ++=的非特征根，单根，重根时，k 分别取0,1,2.对选择题3，因2λ=-为其相应特征方程2440r r ++=的重根，取2k =，其特解可设为*22()x y ax b x e -=+；1y y '''+=的特解可设为*y ax =.4、解微分方程.0)0(222⎩⎨⎧==+'-y xe xy y x注1：y Py Q '+=的通解可用公式法()Pdx Pdxy e Qe dx C -⎰⎰=+⎰，也可用构造法，利用()'PdxPdxye Qe ⎰⎰=求其通解.解（一）：公式法：22)(,2)(x xe x Q x x P -==⎰=∴2)(x dx x P ， 2)(222)(x dx e xedx e x Q x x dxx P =⋅=⎰⎰⎰-故通解为)(22C x e y x +=-由0)0(=y 得0=C ， 因此 22x e x y -=.解（二）：构造法：222()'2xdx xdx x ye xe e -⎰⎰=，则2()'2x ye x =，于是222x yexdx x C ==+⎰,有22()x y e x C -=+，下与解（一）相同.如：求解微分方程2111y x y x x +'-=++． 简要解答: 公式法， 111121()1dx dx x x x y e e dx C x -+++⎰⎰=++⎰ ln(1)ln(1)21()1x x x e e dx C x +-++=++⎰21(1)()1x dx C x =+++⎰(1)(arctan )x x C =++ 构造法：111121()'1dx dx x x x e y e x --+++⎰⎰=+，则ln(1)ln(1)21()'1x x x e y e x -+-++=+， 化简得21()'11y x x =++， 则21arctan 11y dx x C x x ==+++⎰，有(1)(arctan )y x x C =++． 注意：ln u e u =，如311ln ln ln ln 23ln 22311,,u x x x xx x x e u ee e e e e x x --=====．。
高等数学a2期末考试题及答案
高等数学a2期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = x^2 - 2x答案：A2. 计算极限lim(x→0) [sin(x)/x] 的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解是？A. y = e^x + e^(-x)B. y = e^(2x) + e^(-2x)C. y = e^x + e^(-x) + xD. y = e^(2x) + e^(-2x) + x答案：A4. 积分∫(0 to 1) x^2 dx 的值是多少？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/4答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数 f(x) = 3x - 2，求 f'(x) = _______。
答案：32. 函数 y = ln(x) 的导数是 _______。
答案：1/x3. 计算定积分∫(1 to 2) (x^2 - 3x) dx = _______。
答案：-14. 求函数 y = e^(-x) 的不定积分 _______。
答案：-e^(-x)三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数 y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 的极值点。
答案：首先求导数 y' = 3x^2 - 12x + 11。
令 y' = 0，解得 x = 1 和 x = 11/3。
然后计算二阶导数 y'' = 6x - 12，代入 x = 1 得到y''(1) = -6 < 0，所以 x = 1 是极大值点；代入 x = 11/3 得到y''(11/3) = 2 > 0，所以 x = 11/3 是极小值点。
《高等数学A2》期末复习题库- 按章分类
高等数学期末复习题库第八章空间解析几何和向量代数一、选择题1、设向量(2,,1)a t = ，()1,-1,2b = ，若a b ⊥，则t =()(A)4(B)2(C)4-(D)22、已知向量)4,1,1(,-=⊥a b a，)1,,2(-=m b ，则=m ()；(A)1(B)1-(C)2(D)2-3、设向量(1,1,1)a =- ，(4,2,2)b =-，则向量a 与向量b 的关系是()(A)//a b (B)a b ⊥ (C)a b < (D)||||a b < 4、设向量2,24,a i mj k b i j nk =++=++ 若//a b，则()(A)2,1m n ==(B)2,4m n ==(C)1,1m n ==(D)1,2m n ==5、向量()1,,2a m = ，()2,4,b n = ，若//,a b，则()(A)2,1m n ==(B)2,4m n ==(C)1,1m n ==(D)1,2m n ==6、向量()2,1,a k =-，()3,2,1b =-- ，相互垂直，则k =()(A)4(B)1-(C)3(D)27、下面方程为圆柱面的方程是()(A)z =(B)222z x y=+(C)224x y +=(D)2221324x y z +-=8、下列方程的图形为旋转抛物面的是（）(A)z =(B)221x y +=(C)z =(D)22z x y =+9、将yoz 坐标面上的抛物线2z y =绕z 轴旋转一周而成的旋转抛物面的方程是()(A)z =(B)22z x y =+(C)z =(D)22=1x y +10、下列方程的图形为旋转抛物面的是()(A)22z x y =+(B)z =(C)z =(D)22=9x y +11、下面说法正确的是()(A)22z x y =+是旋转抛物面，z =是圆锥面(B)2224x y z ++=是旋转面，222z x y =+是球面(C)224x y +=是圆柱面，22z x y =+是旋转抛物面(D)22x y z -=旋转抛物面，222z x y =+是圆柱面12、过点()3,1,1-且与平面24120x y z ---=平行的平面方程是()(A)241311x y z -++==-(B)311241x y z --+==--(C)243=0x y z ---(D)247=0x y z ---13、直线11111x y z -+==-与平面2+2x y z -=的位置关系是()(A)平行(B)垂直(C)夹角为4π(D)夹角为4π-14、过点()12,4-，且与平面2340x y z -+-=垂直的直线方程是()(A)2312=0x y z ++-(B)244=0x y z -+-(C)124231x y z -+-==-(D)231124x y z -+-==-二、填空题1、过点(2,1,3)-且与平面2340x y z -+=垂直的直线方程为.2、过点(1,2,3)-且与直线3123x yz -==--垂直的平面方程为.三、解答题1、设(1,2,1),(2,1,3)a b =-= ，求(2)a a b ⋅+及a b ⨯ .2、设(2,1,3),(1,1,2)a b =-=- ，求a b ⋅ 及a b ⨯.3、设(0,1,4),(2,1,1)a b =-=-，求3a b ⋅ 及||a b ⨯ .4、设平面通过点(1,2,1)-且与两向量(1,0,1),(1,1,0)a b =-=都平行，求该平面的方程.5、一平面过点()2,-4,1且垂直与平面231x y z ++=与651,x y z -+=求该平面方程.6、求过点()0,2,4且与两平面21x z +=和32x y -=平行的直线方程.7、求垂直于两平面30x y z --+=与210x y z +--=且通过点()1,-2,-1的平面方程.8、一平面过原点且垂直于平面231x y z ++=与651,x y z -+=求该平面方程.9、求过点(1,2,1)且垂直于平面21x y z --=与20x y z --=的平面方程.第九章多元微分学一、选择题1、设函数2(,)2f x y x =+，则(1,1)'=y f ().(A)3(B)2(C)1(D)122、设函数(),z f x y =在点()00,x y 处可偏导，则()(A)(),f x y 在点()00,x y 处可微(B)()()0000,=,0x y f x y f x y ''=时，(),f x y 在点()00,x y 处必有极值(C)(),f x y 在点()00,x y 处有极值时，必有()()0000,=,0x y f x y f x y ''=(D)(),f x y 在点()00,x y 处连续3、设(,)f x y 偏导数存在，则00000(2,)(,)lim x f x x y f x y x∆→-∆-=∆()(A)002(,)f x y '-(B)002(,)f x y '(C)001(,)2f x y '-(D)001(,)2f x y '4、设函数(),z f x y =在点()00,x y 处存在连续偏导数，则()(A)()()0000,=,0x y f x y f x y ''=(B)(),f x y 在点()00,x y 处必有极值(C)(),f x y 在点()00,x y 处可微(D)(),f x y 在点()00,x y 处不连续5、设()z f ax by =+，且f 可微，则()(A)z z x y ∂∂=∂∂(B)z z x y ∂∂=-∂∂(C)z za b x y ∂∂=∂∂(D)z z ba x y∂∂=∂∂6、考虑二元函数(),f x y 的下面四条性质：(1)(),f x y 在()00,x y 处连续(2)(),x f x y '、(),y f x y '在()00,x y 处连续(3)(),f x y 在()00,x y 处可微(4)()00,x f x y '、()00,y f x y '存在若用""P Q ⇒表示可由性质P 推出性质Q ，则下列四个选项中正确的是().(A)()()()231⇒⇒(B)()()()321⇒⇒(C)()()()341⇒⇒(D)()()()314⇒⇒7、设函数(),z f x y =且()()0000,=,0,x y f x y f x y ''=则函数(),f x y 在点()00,x y 处()(A)必有极值，可能是极大值，也可能是极小值(B)必有极大值(C)可能是极值，也可能无极值(D)必有极小值8、设函数(),z f x y =在点()00,x y 处可微，则下面结论错误的是()(A)()()()00,,,limx y x y f x y →在()00,x y 存在(B)(),x f x y '、(),y f x y '在()00,x y 处连续(C)函数(),f x y 在()00,x y 处连续(D)()00,x f x y '及()00,y f x y '存在9、设函数2xz y =在点()11，处的全微分是()(A)2dz dx dy =-(B)2dz dx dy =+(C)2dz dx dy=+(D)2dz dx dy=-10、若(),,zf x y z xy x=+-则()1,0,1x f 等于()(A)0(B)1(C)1-(D)2-11、曲线221z x y y ⎧=+⎨=⎩在点()0,1,1处的切线对于x 轴的倾角是()(A)0(B)4π(C)3π(D)2π12、二元函数(),f x y 在()00,x y 处两个偏导数()00,x f x y '、()00,y f x y '存在是(),f x y 在()00,x y 处连续的()(A )充分而非必要条件(B )必要而非充分条件(C )充分必要条件(D )既非充分也非必要条件13、设函数yz x =，则(,1)|e zy∂=∂()(A)e(B)1e(C)1(D)014、若函数(),z f x y =在()00,x y 处可微，且()00,0x f x y '=，()00,0y f x y '=，则(),f x y 在()00,x y 处()(A)必有极值，可能是极大值，也可能是极小值(B)可能有极值，也可能无极值(C)必有极大值(D)必有极小值15、设33z x x y =--，则它在点(1,0)处()(A)取到极小值(B)取不到极值(C)取到极大值(D)无法判断是否有极值二、填空题1、函数21z x y=+的定义域为.2、函数)2ln 21z y x =-+的定义域为.3、函数()1ln z x y =+的定义域为.4、()()(),2,0sin 3lim2x y xy y→=.5、()(),0,1lim x y →=.6、()()(),2,0sin lim x y xy y→=.7、()(),0,3tan lim x y xyx →=.8、()()(),2,0ln 1lim x y xy x→+=.9、设函数(),z f x y =，在点()00,x y 具有偏导数，且在点()00,x y 处有极值，则()00,y f x y '=.10、曲线221z x y x ⎧=+⎨=⎩，在点()1,0,1处的切线对于y 轴的倾角为.三、解答题1、设函数2ln 5xyz xy e =+-，求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.2、设22(,,)xy z f x y e x y =+-，其中f 具有一阶连续偏导数，求,z z x y∂∂∂∂.3、设(),z z x y =由方程30z y xyz e -+=所确定，求z x ∂∂，,z dz y∂∂4、设函数2sin()yz xy x xe =-+，求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.5、设223(,)xy z f x y e =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求,z z x y∂∂∂∂.6、设(),z z x y =由方程2230z x yz e y --=所确定，求z x ∂∂，,z dz y ∂∂7、设(),z z x y =由方程点220z y x z e ++=所确定，求z x ∂∂，zy∂∂及.dz 8、设()22,xyz f x y e=-，其中f 具有一阶偏导数，求z x ∂∂，.z y∂∂9、设44224z x y x y =++，求z x ∂∂，z y∂∂及y x z∂∂∂2.10、设()22,z f x y xy =-，其中f 具有一阶偏导数，求z x ∂∂，.zy∂∂11、设(),z z x y =由方程点0z e xyz -=所确定，求z x ∂∂，z y∂∂.12、设()2222,u f xy z x y z =++，其中f 具有一阶偏导数，求u u x y∂∂∂∂，.13、设44224z x y x y =+-，求dz ，yx z∂∂∂2.14、设()2cos z x y xy =-，求z x ∂∂，z y ∂∂及yx z∂∂∂2.15、设(),z z x y =由方程点33340x y z xyz +++=所确定，求z x ∂∂，zy∂∂及.dz 16、求二元函数2126332--++-=y x y x z 的极值.17、求二元函数8632+-+=xy y x z 的极值.18、求函数33124z x y xy =+-+的极值.19、求函数22685z x x y y =--++的极值.20、求函数333z x y xy =+-的极值点与极值.21、求二元函数46332--+=xy y x z 的极值.四、应用题与证明题1、设()22,z f x y =+其中f 是可微函数，求证：0.z z y x x y∂∂-=∂∂2、设11,x y z e⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=求证：222.z zx y z x y∂∂+=∂∂3、设yxz xe =，求证：.z z xy z x y∂∂+=∂∂4、设z =，求证：22220.z zx y∂∂+=∂∂5、设(),z z x y =由(),0F x z y z ++=所决定，其中(),F u v 具有一阶偏导数，求证：1.z z x y∂∂+=-∂∂6、设(),yz xyf u u x==，且()f u 可导，求证：2.z z xy z x y∂∂+=∂∂第十章二重积分一、选择题1、设1{(,)0,01}2D x y x y =≤≤≤≤，则=⎰⎰+Dy x y x e d d 2().(A)1(1)2e -(B)1e -(C)2(1)e -(D)21(1)2e -2、交换二次积分的顺序⎰⎰-xy y x f x 1010d ),(d =()；(A)⎰⎰110d ),(d yxy x f y (B)⎰⎰yxy x f y 11d ),(d (C)⎰⎰-yxy x f y 1010d ),(d (D)⎰⎰-1110d ),(d yxy x f y 3、设(,)f x y 是连续函数,210(,)=⎰⎰xx dx f x y dy ()(A)110(,)⎰⎰ydy f x y dx(B)10(,)⎰y dy f x y dx(C)1(,)⎰y dy f x y dx(D)11(,)⎰⎰dy f x y dx4、二次积分()1201,xdx f x y dy -⎰⎰更换积分次序后为()(A)()2110,dy f x y dx ⎰⎰(B)()2210,y dy f x y dx -⎰⎰(C)()1201,ydy f x y dx-⎰⎰(D)()2212,ydy f x y dx-⎰⎰5、二次积分()1,xdx f x y dy ⎰⎰更换积分次序后为()(A)()100,xdy f x y dx⎰⎰(B)()11,ydy f x y dx⎰⎰(C)()1,y dy f x y dx⎰⎰(D)()1,xdy f x y dx⎰⎰二、填空题1、设D 是由422≤+y x 所确定的闭区域，则=⎰⎰Dy x d 5d .2、设平面区域是由1,==y x y 与y 轴所围成，则=⎰⎰Dy x d 4d .3、设平面区域D 是由224x y +=y 轴所围成，则3Ddxdy =⎰⎰.4、设平面区域D 是由,4y x y ==与y 轴所围成，则2Ddxdy =⎰⎰.5、设平面区域D 是由直线220x y -+=与x 轴及y 轴所围成，则2Ddxdy =⎰⎰.6、设平面区域D 是由直线240x y -+=与x 轴及y 轴所围成，则4Ddxdy =⎰⎰.三、解答题1、计算22(2)DI x y d σ=+-⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围的闭区域.2、计算DI σ=⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围的闭区域.3、计算二重积分22,x y Ded σ--⎰⎰其中D 是由22+y 1x =及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.4、计算二重积分22,xy De d σ+⎰⎰其中D 是由22+y 1x y x ==，和0x =在第一象限围成的闭区域.5、计算二重积分,Dxydxdy ⎰⎰其中D 是由坐标轴，直线=1x y +所围成的闭区域.6、计算二重积分,Dxydxdy ⎰⎰其中D 是由直线=2y x +、=y x 、=4x 和y 轴所围成的闭区域.四、应用题与证明题1、已知一元函数f 连续，证明()()()21100.y xdy f x dx e e f x dx =-⎰⎰2、证明：()()()ln 12211.2exydx xf y dy e e f y dy =-⎰⎰⎰3、计算以xoy 面上的圆221x y +=围成的闭区域为底，221z x y =++为顶的曲顶柱体的体积.第十二章无穷级数一、选择题1、设正项级数1n n u ∞=∑，当1lim n n n uu +→∞=()时，级数1n n u ∞=∑收敛.(A)1(B)12(C)2(D)32、若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数不收敛的是()(A)1(10)∞=+∑nn u (B)110∞=+∑nn u (C)10∞=∑nn u(D)110∞=∑nn u3、若级数1n n u ∞=∑收敛（0n u ≠），则必有()(A)211()n n u n ∞=+∑收敛(B)1(1)nnn u∞=-∑收敛(C)1||n n u ∞=∑收敛(D)211()n n u n∞=+∑发散4、幂级数211(1)n n n x ∞-=-∑在（－1，1）内的和函数()s x =()(A)21x x -+(B)21x x --(C)221x x -+(D)221x x --5、幂级数11(1)n nn x ∞-=-∑在（－1，1）内的和函数()s x =()(A)1x x-(B)1x x -+(C)1x x+(D)1x x--6、幂级数12(1)1(1)n n n x∞--=-=∑()(A)211x -，11x -<<(B)211x +，11x -<<(C)211x-，x -∞<<∞(D)211x+，x -∞<<∞7、幂级数11(1)nn n x ∞-=-=∑()(A)11x -，11x -<<(B)11x +，11x -<<(C)11x -，11x -<<(D)11x -+，11x -<<8、幂级数0(1)nn n x ∞=-=∑()(A)11x -，11x -<<(B)11x +，11x -<<(C)11x -，11x -<<(D)11x -+，11x -<<二、填空题1、判断正项级数1(2n ∞=+∑的敛散性（收敛还是发散）.2、判断正项级数1n ∞=的敛散性（收敛还是发散）.3、幂级数113n n n x n ∞=⋅∑的收敛半径为.4、幂级数11n n nx ∞-=∑的收敛区间为，和函数为.5、函数3x e 展开为麦克劳林级数是.6、函数12x-展开为麦克劳林级数是.三、解答题1、判定级数1(1)nn ∞=-∑是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？2、判定级数12/311(1)n n n ∞-=-∑是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？3、判定级数1(1)n n ∞=-∑是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？4、求幂级数11n n nx ∞-=∑的收敛半径、收敛区间及和函数.5、求幂级数1111n n x n ∞-=+∑的收敛半径、收敛区间.6、求幂级数112n nn x n ∞=⋅∑的收敛半径、收敛区间.。
高数A2复习试题及答案
高数A2复习试题及答案一、单项选择题1．设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则xb x a f b x a f x ),(),(lim 0--+→= 。
A 、 0； B 、),2(b a f x ； C 、),(b a f x ； D 、),(2b a f x 。
2．设曲面),(y x f z =与平面0y y =的交线在点)),(,,(000y x f y x o 处的切线与x 轴正向所成的角为6π，则 。
A 、236cos ),(00==πy x f x ； B 、21)62cos(),(00=-=ππy x f y ； C 、336),(00==πtg y x f x ； D 、3)62(),(00=-=ππtg y x f y 。
3．0lim =∞→n n u是级数∑∞=0n n u 发散的 。
A 、 必要条件； B 、充分条件； C 、充要条件； D 、既非充分又非必要。
4．在区域D ：220x R y -≤≤上的σd xy D⎰⎰2值为 。
A 、2R π；B 、24R π；C 、332R π； D 、0。
5．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解 。
A 、x y 2=；B 、2x y =；C 、x y 2-=；D 、2x y -=。
二、是非判断题（15分） 1．⎰+-L y x ydx xdy 22=0，其中L 为圆周122=+y x 按逆时针转一周（ ） 2．如果x ∂∂ϕ，y∂∂ϕ均存在，则),(y x ϕϕ=沿任何方向的方向导数均存在（ ） 3．以),(y x f 为面密度的平面薄片D 的质量可表为σd y x f D ⎰⎰),(。
（ ） 4．)(x f 在],0(π上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且],0[π上收敛于)(x f 。
（ ）1． 微分方程的通解包含了所有的解。
（ ）三、计算题（16分）1． 设),(22xye y xf -=μ，其中f 具有一阶连续偏导数，求x ∂∂μ，y x ∂∂∂μ2。
高数a2下期末考试题及答案
高数a2下期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)上可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在(a, b)上一定连续B. f(x)在(a, b)上一定单调C. f(x)在(a, b)上一定有极值D. f(x)在(a, b)上一定有最大值和最小值答案：A2. 若函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1，则f'(x)为：A. 3x^2+6x+3B. x^3+3x^2+3C. 3x^2+6xD. 3x^2+6x+3x+1答案：A3. 设函数f(x)=ln(x+√(1+x^2))，则f'(x)为：A. 1/(1+x^2)B. 1/(1+x+√(1+x^2))C. 1/(1+√(1+x^2))D. 1/(1+x+√(1+x^2))^2答案：B4. 若函数f(x)=x^2-4x+c，且f(1)=-3，则c的值为：A. 0B. 1C. -2D. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x+2，则f''(x)=_________。
答案：6x-32. 设函数f(x)=e^x+ln(x+1)，则f'(x)=_________。
答案：e^x/(x+1)3. 若函数f(x)=x^2-6x+10，则f(x)的最小值为_________。
答案：-24. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，则f(0)=_________。
答案：-1三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数f(x)=x^3-3x+2的一阶导数和二阶导数。
答案：f'(x)=3x^2-3，f''(x)=6x-32. 求函数f(x)=e^x*sin(x)的导数。
答案：f'(x)=e^x*sin(x)+e^x*cos(x)3. 求函数f(x)=ln(x+√(1+x^2))的导数。
答案：f'(x)=1/(1+x+√(1+x^2))四、解答题（每题15分，共15分）1. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求其在x=1处的切线方程。
大学高等数学A-2试卷答案
《高等数学》考试试卷A-2参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题3分, 共15分)1．B 2．C 3．C 4．D 5．B二、填空题（每小题3分，共15分)1．12dx dy + 2．533．2(,)x f a b ' 4．230+-=y z 5．18π三、计算题(每题7分；共56分)1．解： 设平面方程为 0+++=Ax By Cz D根据题意有000+++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩A B C D B C D A B C （4分）所以有0=D ；::2:1:1=-A B C所求平面方程为 20--=x y z （3分）2．解：21212()2()4,z z u z v u v x y x y x x u x v x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=++-= （3分） ()21212()2()4.z z u z v u v x y x y y y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅-=+--= （4分）3解：D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域也就是{}22(,)11,21=-≤≤≤≤+D x y x x y x （3分）(){}22221111120212240(2)(2)223221415++-+=+==+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x D x y dxdyD dx x y dy dx ydyx x dx （4分）4．解：计算三重积分:zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+及平面1z =所围成的闭区域． 解： {}(,,)(,),01z x y z x y D z Ω=∈≤≤,其中z D ：222x y z +≤ (+2分)故10z D zdxdydz zdz dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰12022 3z dz ππ==⎰ (+5分) 5．解： 设2222(,),(,)y x P x y Q x y x y x y ==-++，因为()()22:111L x y -+-=， 所以220x y +≠，而且有()22222Q x y P x y x y ∂-∂==∂∂+， .(3分) 故由格林公式得22 L ydx xdy I x y -=+⎰0xy D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=-= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ .(4分) 6．解：计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，∑是抛物面22y x z +=被平面1=z 所截下的有限部分的下侧。
2015-2016-2大学数学A2期末试题--标准答案
-----4分
注意到 的方程为 ，取下侧，其中 为单位圆面，因此有从而 --- Nhomakorabea---9分
5. 解：对函数 偶延拓，因此
-------2分
----6分
由此得到函数 的余弦级数为
-----9分
四、计算题 (本题满分 12分)
解：考虑幂级数
，所以幂级数在 收敛---------3分
令和函数为 ，即
两边积分 --------6分
3. 解：记 ， ，只要 ，便有
，
在区域 内 ，
所以 在区域 内是某个二元函数 的全微分。-----4分
在区域 内取定点 和动点 ，由 知曲线积分 在 内与路径无关，该积分只依赖于点 ，取从 到 再到 的折线作为积分路径，得
----------9分
4. 解：记平面 被 所截得的圆面的下侧为 ，则 构成一个外法线方向的闭曲面，另记 所包围的立体为 ，由Gauss公式得
本科课程考试试题参考答案及评分标准
开课单位：数学学院 学生所在学院： （2015 ～2016年第2学期）
课程编号
0910411012
学分/总学时
6/96
课程名称
高等数学A2
课程类别
█公共课 □专业课
专业/年级
专业 2015 年级
修读方式
█必修 □选修
出题教师
大学数学部
是否主干基础课
是
考试方式
█闭卷 □开卷
一、填空题
（1）2
（2）
（3）
（4）
（6）D
（5）
二、选择题
（1）C
（2）B
（3）C
（4）A
2015-2016-2大学数学A2期末试题--标准答案
本科课程考试试题参考答案及评分标准开课单位：数学科学学院 学生所在学院： （2015 ～2016年第2学期） 课程编号 0910411012 学分/总学时 6/96 课程名称 高等数学A2课程类别 █公共课 □专业课 专业/年级 专业 2015 年级 修读方式 █必修 □选修 出题教师 大学数学部是否主干基础课是考试方式█闭卷 □开卷一、填空题 （1）2（2）2（3）4260x y z +--=（4）24212d (,)d d (,)d x xxx f x y y x f x y y +⎰⎰⎰⎰（6）D（5）[4,6)二、选择题 （1）C （2）B （3）C （4）A （5）A三、计算题（本题满分 45分，每小题9分）1. 解：积分区域D 关于y 轴对称，函数221xyx y ++关于x 是奇函数，故22d d =01D xyx y x y ++⎰⎰------3分从而22122222002d d 12d d d =d d =2=2d 111D D D xyx yx y x yx y x y x y πρρθρ++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--------6分ln 2π=----9分 2. 解：122zxf yf x∂=+∂------4分 21112221222211122221221=2(2)(2)42()()zx yf xf f y yf xf x yxyf x y f xyf f f f ∂++++∂∂=++++=-----------5分(3)d d d x x y z ΩΩ∂-⎰⎰⎰⎰⎰⎰注：1.出题教师负责制订课程考试试题参考答案及评分标准（列出答案要点即可），不够可另附页。
2.试题参考答案及评分标准与试题一并交学院。
3.试卷评完后，此表随同试卷交学院，由学院妥善保存。
高数A2期末试卷及答案
浙江理工大学2011—2012学年第2学期 《高等数学A2》期末试卷（A ）卷（本试卷共四页）一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） 1. 函数()()224,y x y x y x f ---=的极值为（ ）A .极大值为8B ．极小值为0C .极小值为8D .极大值为02.二元函数(,)f x y 在点00(,)P x y 处 ①连续；②两个偏导数连续；③可微；④两个偏导数都存在，那么下面关系正确的是（ ）A ．③①④ B. ③②① C. ③④① D. ②③①3. 曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 4. 设⎰⎰σ=+Dy x d e I 22, 4:22≤+y x D , 则=I （ ）A.)1(24-πe B. )1(24-πe C. )1(4-πe D. 4e π 5. 设∑是球面2222x y z R ++=，则222dSx y z ∑++⎰⎰＝（ ） A. 24R π B. 4π C. 2R π D. π6. 若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 敛散性不能确定 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 曲面xy z =上点M 处的法线垂直于平面52=--z y x ，则M 的坐标是 ;2. 设22z xy u -=，则u 在)1,1,2(-处的方向导数的最大值为 ;3. 交换积分顺序，有()=⎰⎰--221,y y ydx y x f dy______________________ ;4. 设椭圆L：13422=+y x 的周长为l，则⎰=+Lds y x 2)23(;5. 设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 .三、解答题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）1．求过点M （4,-3,1）且与两直线：326-==zy x 和⎩⎨⎧=+-=+-+022012z x z y x 都平行的平面方程．2. 设(,)sin xz f xy y y=+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂．3. 将函数1()f x x=展开为3x -的幂级数，并求收敛域. 4. 计算⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域.5. 求曲线积分22(2)(sin )Lxy dx x y dy --+⎰，其中L是沿曲线1y =由点（0，1）到点（2，1）的弧段.6. 计算曲面积分2y dzdx zdxdy ∑+⎰⎰，其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧.四、综合题（本题共2小题，每小题8分，满分16分）1. 验证2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++在整个 xoy 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分,并求这样的一个(,)u x y .2. 求幂级数115n n n n x ∞-=∑的收敛域、和函数以及数项级数15n n n∞=∑的和.五、证明题（4分）设∑∞=12n na收敛，证明级数1nn a n∞=∑绝对收敛.2011~2012学年第二学期《高等数学A2》期末试题（A ）卷参考答案一、选择题（本题共6小题, 每小题4分，满分24分）1．A; 2．D ; 3．A; 4．C; 5．B ； 6.B 二、填空题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分） 1. (-1,2,-2);2. 3.()()⎰⎰⎰⎰----+11111012,,x xdy y x f dxdy y x f dx ;4. 12l ;5.32三、解答题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）1. 1(6,2,3)s =-, 2121(2,1,4)201i j ks =-=----, ………2分取平面的法向量为12623(11,30,2)214ij kn s s =⨯=-=----- ………2分 所以平面方程为：11(4)30(3)(1)0x y z --++--=，即11301350.x y z -+-=…2分 2.121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂, ……………2分 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂ 111222231.xf xyf f f y y''''''=+-- .………4分 3.解：)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x , ……………2分 因为∑∞=+=-011)1(n n nxx ，)1,1(-∈x , 所以∑∞=-⋅-=-+⋅)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x , 其中1331<-<-x ，即60<<x . ……………3分 当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x ，)6,0(∈x . ………1分4. 解：如图，选取柱面坐标系,此时⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤,10,2π0,10:r z θΩ所以π112000d d d d d cos sin d xy x y z r r r r z θθθΩ=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ………3分=⎰⎰r r d d 2sin 213102πθθ=814)42cos (142π0=⋅-r θ. ………3分5. 解：令22P x y =-，2(sin )Q x y =-+,则2,Py∂=-∂1,Q x ∂=-∂ ………2分 选择:1BA y =由B （2，1）到A （0，1）,则由格林公式得 原式2222(2)(sin )(2)(sin )L BAABx y dx x y dy x y dx x y dy +=--++--+⎰⎰ ………2分22()(2)(sin )AB DQ Pdxdy x y dx x y dy x y∂∂=--+--+∂∂⎰⎰⎰220(2)Ddxdy x dx =-+-⎰⎰⎰2208(2)423Ddxdy x dx π=-+-=-+-⎰⎰⎰. ………2分6. 解：补上221:0 (4)z x y ∑=+≤下侧。
高数 大一 下册期末考试复习试卷
高等数学A2 试卷（ A 卷） 适用专业： 全校本科一年级1、过点()3,0,1-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程是（ ） A. 37540x y z -+-= B. 37550x y z -+-= C. 375100x y z -+-= D. 375110x y z -+-=2、直线124x y z x y z -+=-⎧⎨++=⎩与平面2340x y z --+=的位置关系是（ ）A. 相交但不垂直B. 直线在平面内C. 平行D. 垂直 3、函数3226z x y x =+-的极小值点为（ ）A. ()1,0-B. ()1,0C. ()2,0-D. ()2,04、级数()11112n n n n∞--=-∑ 的收敛性是 ( )A .条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 不能确定 5、二次积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰的次序可以转化为（ ）A. 101(,)xdx f x y dy ⎰⎰B. 011(,)xdx f x y dy -⎰⎰C.11(,)xdx f x y dy ⎰⎰D.11(,)xdx f x y dy -⎰⎰6、设2I zdxdy ∑=⎰⎰，∑是长方体{}(,,)01,02,03x y z x y z Ω=≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧，则I =（ ）A . 0 B. 10 C. 12 D. 14 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）. 1、函数ln z xy y =的全微分dz = .2、函数u xyz =在点()5,1,2处由点()5,1,2到点()9,4,14方向的方向导数为 .3、设2ln z u v =，而u x y =+，32v x y =-，则zy∂=∂ . 4、微分方程x dyy e dx-+=的通解是 . 5、周期为2π的函数()f x 在[,)ππ-的表达式为1,0()1,0x f x x ππ--≤<⎧=⎨≤<⎩，它的傅里叶（Fourier ）展开式中系数n b = . 6、对弧长的曲线积分()22Lxy ds +=⎰ ，其中L 是圆周cos x a t =，sin y a t = ()02t π≤≤.三、计算题（本题共6小题，每小题8分，共48分）. 1、已知微分方程20y y y '''++=， （1）求出20y y y '''++=的通解； （2）求出满足02x y ==，01x y ='=的特解.2、设z y x z y x 32)32sin(-+=-+，求yz x z ∂∂+∂∂3、求曲线23121y x z x ⎧=-⎨=-⎩在点(1,2,1)处的切线方程和法平面方程.4、计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由三条坐标平面及平面 1x y z ++=所围成的区域.5、利用格林公式，计算曲线积分()536Lydx y x dy ++-⎰，其中L 为上半圆周22(1)1x y -+=，0y ≥沿逆时针方向.6、已知幂级数21121n n x n -∞=-∑，（1）求出收敛域（先求收敛半径，再讨论端点）；（2）求出幂级数的和函数（先求导、后积分）.四、应用题（本题共2小题，每小题8分，共16分）1、求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.（利用拉格朗日乘数法求解）2、计算抛物面226z x y =--和锥面z =.高等数学A2 试卷（ A 卷）参考答案及评分标准一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）1. ()ln 1ln dz y ydx x y dy =++2. 98133. 22()2()ln(32)32x y x y x y x y ++---4. ()x e x C -+5. 2[1(1)]n n π-- 或4,1,3,5,......0,2,4,6,.....n n n π⎧=⎪⎨⎪=⎩ 6. 32a π三、计算题（本题共6小题，每小题8分，共48分）1、计算微分方程20y y y '''++=满足初值条件02x y ==，01x y ='=的特解。
高等数学a2期末考试题及答案
高等数学a2期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B2. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A3. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B4. 函数y=e^(-x)的不定积分是（）。
A. -e^(-x)B. e^(-x)C. -e^xD. e^x答案：A5. 微分方程dy/dx = y的通解是（）。
A. y = Ce^xB. y = Cxe^xC. y = CxD. y = C/x答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x)=ln(x)的二阶导数是______。
答案：1/x^27. 曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是______。
答案：-48. 定积分∫(0,π) sin(x) dx的值是______。
答案：29. 极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值是______。
答案：e10. 微分方程d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0的特征方程是______。
答案：r^2 + 4r + 4 = 0三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算定积分∫(0,2) (x^2-2x+1) dx，并给出结果。
解：∫(0,2) (x^2-2x+1) dx = [1/3x^3 - x^2 + x](0,2) = (8/3 -4 + 2) - (0) = 2/312. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x的极值点。
解：f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。
经检验，x=1为极大值点，x=3为极小值点。
13. 解微分方程dy/dx - 2y = 4e^(2x)。
解：y=e^(2x)(Ce^(-2x) + 2)，其中C为常数。