4测量误差基本知识.
测量误差的基本知识
名称：测量误差的基本知识一、基本概念1．真值：一个物理量的真实数值称为真值。
真值是难以准确测量的。
2．约写真值：足够接近真值的量，它与真值的差异可以忽略不计，称这个量为约定真值。
3．标称值：测量器具上标注的数值称为标称值。
4．示值：在测量过程中，测量仪器、仪表的指示值简称示值。
5．影响量：影响测量仪器示值的任何量称为影响量。
6．测量误差：表示测量数值与被测量真值之间的差异称为测量误差。
二、误差的来源1．仪器误差由于仪器本身及附件的电气和机械性能不完善而引入的误差2．使用误差由于仪器的安装、布置、调节不当所造成的误差。
3．影响误差由于受外界温度、湿度、电磁场、机械振动等影响超出仪器技术条件而造成的误差。
4．人身误差由于测量者的分辨能力、工作习惯及责任心等原因引起的误差。
5．方法和理论误差由于采用测量方法或仪表选择不当所造成的误差称为方法误差。
测量时，依据的理论不严格或用近似公式、近似值（例如π，√2，√3等）计算等造成的误差称理论误差。
三、测量误差的表示方法1．绝对误差指测量结果与被测量的真值之差，（因通常真值不能确定，实际上用的是约定真值，一般指被测量的算术平均值或标准值）表示为Δx=x-x0x—测量结果，x0—约定真值，Δx —绝对误差（Δx有大小和符号，其单位与测量结果的单位相同）另：与Δx的绝对值相等但符号相反的量称为修正值。
（用C表示）C=–Δx= x0–x通过检定（校准），由上级标准仪器给出受检仪器的修正值。
因此，将测得值与已知的修正值相加，即可算出被测量的约定真值：x0=x+c我厂仪器分内检和外检两种，检定结果若合格（兰色标签），所得修正值都在公司许可的误差内（这样才能判为合格），对使用者测量不会产生影响，故不再给出修正值，使用者可认为所用仪器的测量结果是准确的。
对于“准用”的仪器，请参照“准用证”旁的准用说明，对测量结果予以修正。
2．相对误差指测量结果的绝对误差：Δx与真值x0之比δx=Δx/x0×100%3．引用误差指计量器具的示值的绝对误差与器具的特定值x lim（如计量的上限值，量程）之比即：δx lim=Δx/x lim×100%一般x lim常指满度值，因此，也称满度相对误差，它是指仪器仪表度盘上最大的绝对误差与量程值（满度值）之比的百分数。
电路与电子知识_测量误差的基本知识
一. 实训目的
掌握测量误差的基本知识
二. 实训内容
1) 实验结果的误差处理 2) 实验数据处理
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2.1
测量误差的基本概念
在实际测量中，由于测量仪器、工具的不 准确，测量方法的不完善以及各种因素的影响， 实验中测得的值和它的真实值之间存在着误差。
误差公理：一切实验结果都具有误差，误差自始
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3) 大数值与小数值都要用幂的乘积的形式来表示。例如， 测得某电阻的阻值为10000Ω ，有效数字为三位时，则应记为 10.0×103Ω 或100×102Ω 。 4) 在计算中，常数(如π 、e等)以及因子的有效数字的位数没有 限制，需要几位就取几位。 5) 当有效数字位数确定以后，多余的位数应一律按四舍五入的规 则舍去，称之为有效数字的修约。 3. 有效数字的运算规则 (1)加减运算：参加运算的各数所保留的位数，一般应与各数小数点 后位数最少的相同。 (2)乘除运算：乘除运算时，各因子及计算结果所保留的位数以百 分误差最大或有效数字位数最少的项为准，不考虑小数点的位置。 (3)乘方及开方运算：运算结果比原数多保留一位有效数字。 (4)对数运算：取对数前后的有效数字位数应相等。
X = X - X0
g = X0 – X = -△X
在高准确度的仪器仪表中，常常给出校正值或校正曲线，因 此，当知道了给出值X及相应的校正值g以后，便可求出被 测量的真值，即：
X0 = X + g
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2.相对误差 绝对误差的表示方法有其不足之处，因为它不能确切地 反映出测量的准确程度，由此又引出了相对误差(又称误差率) 的概念，定义为：测量的绝对误差与被测量的真值的比值，即：
f
1 2 L0 (C S C X )
测量误差的基本知识汇总
测量误差的基本知识在测量工作中，对某量( 如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等 ) 进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量真误差，即:测量真误差 =真值 - 观测值一、误差产生的原因 :1．观测者由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。
同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。
2．测量仪器每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。
同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
3．外界条件观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。
外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。
观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联二观测误差分类：1．系统误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若观测误差的符号及大小保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
这种误差往往随着观测次数的增加而逐渐积累。
如某钢尺的注记长度为 30m，经鉴定后，它的实际长度为 30.016m，即每量一整尺，就比实际长度量小0.016m，也就是每量一整尺段就有+0.016m 的系统误差。
这种误差的数值和符号是固定的，误差的大小与距离成正比，若丈量了五个整尺段，则长度误差为 5×(+0.016)=+0.080m。
若用此钢尺丈量结果为 167.213ｍ，则实际长度为：167.213＋167.213×0.0016=167.213＋0.089=167.302(ｍ) 30系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有：1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。
测量误差基本知识(全面实例)
频率直方图
偶然误差具有正态分布的特性
四个特性：有界性，趋向性，对称性，抵偿性：
1 2 n 0 lim lim n n n n
(5-1-2)
y
正态分布曲线
-ห้องสมุดไป่ตู้4
-21 -15 -18 -12
-9 -6
-3 +3 +9 +15 +21 0 +6 +12 +18 +24
第五章第六章
第五章 测量误差基本知识
内容提要：
第五章 测量误差基本知识
学习要点
◆建立测量误差的基本概念 ◆观测值的中误差 ◆观测值函数的中误差
内容提要第 六章
——误差传播定律 ◆权的概念
#测量误差的基 本概念
5.1 测量误差的分类
讨论测量误差的目的：
用误差理论分析、处理测量误差，评定 测量成果的精度，指导测量工作的进行。
2
2
2
(5-5-10)
三.几种常用函数的中误差
求观测值函数中误差的步骤：
三.几种常用函数 的中误差
(1).列出函数式； (2).对函数式求全微分； (3).套用误差传播定律，写出中误差式。 例3：已知某矩形长a=500米，宽b=440米。如边长测量 的相对中误差为1/4000，求矩形的面积中误差mp。 解：由题意 ma 500 / 4000 0.125米, mb 440 / 4000 0.11米
平均
表5-3 算
vv
计
854245[ 0 ]
16算术平均值: 25 l1 l2 l3 l4 l5 x 854245 9 5 1 观测值的中误差： 9 [vv] 60 m 3". 9 n 1 5 1 [ 60 ]
测量误差基本知识
◆ 测量误差的分类
（1）系统误差:在一定条件下对某量误差的符号和大小保持不 变后按照一定规律变化（累积性）
（2）偶然误差：在一定条件下进行一系列观测，误差大小和 符号都表现出随机性
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小 (d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线， 这条曲线称为 “正态分布曲 线”，又称为 “高斯误差分 布曲线”。 所以偶然误差 具有正态分布 的特性。
•对于一组不同精度的观测值l i ，一
次观测的中误差为mi ，设某次观测
的中误差为m，其权为P0，选定λ= m2，则有：
P0
m2 m2
1
•数值等于1的权，称为单位权；权
等于1的中误差称为单位权中误差， 常用μ表示。对于中误差为mi的观 测值，其权为：
Pi
2
mi2
•相应中误差的另一表示方法为：
mi
(2) f1x1(2) f2x2(2) fnxn(2)
(d)
有k个式
(k) f1x1(k) f2x2(k) fnxn(k)
对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）
2
f12x12
f
2 2
x22
f
2 n
xn2
2 f1 f2x1x2
2 f1 f3x1x3 2 fi f jxix j
对(a)全微分：
dZ
F x1
测量误差基本知识PPT课件
（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。
测量误差的基本知识
项目二
测量误差的基本知识
任务1 任务1 测量误差 任务2 任务2 衡量精度的指标
任务1 任务1 测量误差
1.1 测量误差
任何观测量都存在一个真值(理论值) 任何观测量都存在一个真值(理论值)。由 于客观原因使得观测值总与它的理论值有一定 的差异，在测量上称为观测误差，用△表示。 表示。 的差异，在测量上称为观测误差， 观测误差
偶然误差具有如下特性： 偶然误差具有如下特性：
（1）有界性 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。 （2）聚中性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。 （3）对称性 绝对值相等的正负误差出现的机会大致相等。 绝对值相等的正负误差出现的机会大致相等。 （4）抵偿性 随着观测次数的增加，偶然误差的算术平均值趋近于零。 随着观测次数的增加，偶然误差的算术平均值趋近于零。
2.极限误差 2.极限误差
极限误差就是最大误差。 极限误差就是最大误差。 我国现行的作业规范中，以二倍中误差做为极限误差。 我国现行的作业规范中，以二倍中误差做为极限误差。
△限=
3.相对误差 3.相对误差
测量误差的基本知识
m乙 =
=
= 4.3
n
6
12
二、相对误差
l 绝对误差 :真误差、中误差 l 相对误差: 在某些测量工作中，绝对误差不能完全
反映出观测的质量。 相对误差K—— 等于误差的绝对值与相应观测值的
比值。常用分子为1的分式表示，即：
相对误差
=
误差的绝对值 观测值
=1 T
13
l 相对中误差：当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时， K称为～，即 k=1/m 。
3
1．系统误差
l 系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列 观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变 化，这种误差称为～ 。
l 系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的 某些习惯的影响；外界环境的影响。
l 系统误差的特点： 具有累积性
4
系统误差消减方法 ❖1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
中误差、相对误差、极限误差和容许误差
10
一、中误差
在测量实践中观测次数不可能无限多，实际应用中，以 有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作 为衡量精度的一种标准：
m = ±sˆ = ± [ ]
n
在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。
11
l 有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角 形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和 的真误差）分别为：
例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响
5
2．偶然误差 l 偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量 进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有 明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号 均呈现偶然性，这种误差称为 ～。 l 产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感 觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误 差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的 温度、风力等外界环境)所造成。
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性
测量误差基本知识
四、测量误差的特性
系统误差的特性：具有确定性，主要来源于 仪器、工具的误差；一般具有累积性，对测 量影响较大，应通过一般的改正或用一定的 观测方法加以消除或限制到最小程度。 系统误差的处理方法：
测量前对仪器结构进行检验与校正，把系统误 差降低到最小程度。
测定仪器误差，在观测结果中加入系统误差改 正数，如尺长改正等。
b a c
ΔXi=ai+bi+ci-180°
(i=1,2…，96)
10
偶然误差分布表 正误差 个数 频率 区间 K K/n
0.0-0.5 0.5-1.0 1.0-1.5 1.5-2.0 2.0-2.5 20 12 9 4 2
密 度
负误差 区间
个数 频率 K K/n
19 13 8 5 2
密 度
0.208 0.416 -0.5- 0.0 0.125 0.250 -1.0- -0.5 0.094 0.188 -1.5- -1.0 0.042 0.084 -2.0- -1.5 0.021 0.042 -2.5- -2.0
2.进行多余观测。
3.求平均值，使偶然误差有效抵偿。
15
系统误差与偶然误差的区别
对成果 的影响
误差
产生的原因
处理方法 可以用一定的观测方 法、计算改正的方法 消除 没有办法消除，可采 用仪器、工具的检校 和多次观测取平均值 的方法减弱
系统 仪器工具误差、 大，有 误差 测量方法 累积性 偶然 误差 小，有 抵消性
11
偶然误差频率直方图
0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 真误差 -3.0以下 -3.0_-2.5 -2.5_-2.0 -2.0_-1.5 -1.5_-1.0 -1.0_-0.5 -0.5_0.0 0.0-0.5 0.5-1.0 1.0-1.5 1.5-2.0 2.0-2.5 2.5-3.0 3.0以上
4、测量误差基本知识
四、测量误差基本知识1、测量误差分哪两类？它们各有什么特点？测量中对它们的主要处理原则是什么？2、产生测量误差的原因有哪些？偶然误差有哪些特性？3、何谓标准差、中误差和极限误差？4、对某个水平角以等精度观测4个测回，观测值列于下表（表4-1）。
计算其算术平均值x、一测回的中误差m及算术平均值的中误差m x。
表4-15、对某一三角形（图4-1）的三个内角重复观测了九次，定义其闭合差∆=α+β+γ-180︒，其结果如下：∆1=+3"，∆2=-5"，∆3=+6"，∆4=+1"，∆5=-3"，∆6=-4"，∆7=+3"，∆8=+7"，∆9=-8"；求此三角形闭合差的中误差m∆以及三角形内角的测角中误差mβ。
图4-16、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角（内角）α和β，其测角中误差均为m=±20"，根据角α和角β可以计算第三个水平角γ，试计算γ角的中误差mγ。
15167、量得某一圆形地物直径为64.780m ，求其圆周的长S 。
设量测直径的中误差为±5㎜，求其周长的中误差m S 及其相对中误差m S /S 。
8、对某正方形测量了一条边长a =100m ，a m =±25mm ；按S=4a 计算周长和P=a 计算面积，计算周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。
9、某正方形测量了四条边长a 1=a 2=a 2=a 4=100m ，m =m =m =m =±25mm ；按S=1a +2a +3a +4a 计算周长和P=（1a ⨯2a +3a ⨯4a ）/2计算面积，求周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。
10．误差传播定律应用 （1）（1）已知m a =m c =m ，h=a -b ，求h m 。
（2）已知a m =m =±6"，β=a -c ，求βm 。
测量误差的基本知识汇总
测量误差的基本知识在测量工作中，对某量(如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等)进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量真误差，即:测量真误差=真值-观测值一、误差产生的原因:1．观测者由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。
同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。
2．测量仪器每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。
同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
3．外界条件观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。
外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。
观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联二 观测误差分类： 1．系统误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若观测误差的符号及大小保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
这种误差往往随着观测次数的增加而逐渐积累。
如某钢尺的注记长度为30m ，经鉴定后，它的实际长度为30.016m ，即每量一整尺，就比实际长度量小0.016m ，也就是每量一整尺段就有+0.016m 的系统误差。
这种误差的数值和符号是固定的，误差的大小与距离成正比，若丈量了五个整尺段，则长度误差为5×(+0.016)=+0.080m 。
若用此钢尺丈量结果为167.213ｍ，则实际长度为：167.213＋30213.167×0.0016=167.213＋0.089=167.302(ｍ)系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有： 1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。
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四、测量误差基本知识1测量误差分哪两类？它们各有什么特点？测量中对它们的主要处理原则是什么?3、何谓标准差、中误差和极限误差?4、对某个水平角以等精度观测4个测回，观测值列于下表（表4-1）。
计算其算术平均值一测回的中误差m及算术平均值的中误差表4-15、对某一三角形（图4-1）的三个内角重复观测了九次，定义其闭合差结果如下：1=+3 , 2=- 5 , 3=+6 , 4=+1 , 5=- 3 , 6=- 4 , 7=+3 , 8=+7 , 求此三角形闭合差的中误差m以及三角形内角的测角中误差6、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角（内角）a和B,其测角中误差均为20，根据角a和角B可以计算第三个水平角丫，试计算丫角的中误差2、产生测量误差的原因有哪些? 偶然误差有哪些特性?m x。
X、+ + -180 ，其9=-8 ；m= ±已知 m a = m b = m , S=100(a- b)，求 m s 。
7、量得某一圆形地物直径为 64.780m ，求其圆周的长 S 。
设量测直径的中误差为± 其周长的中误差m s 及其相对中误差m S /S 。
8、对某正方形测量了一条边长 a =100m ，m a = 25mm ；按S=4a 计算周长和 P= a' 计算周长的中误差 m s 和面积的中误差 m p 。
计算面积,9、某正方形测量了四条边长 S=a i + a 2+ a 3+ a 4计算周长和 的中误差m p 。
a i =a 2=a 2=a 4=l00m , m a = m ^ = m a i = m a J = 25mm ； P= ( a a 2+ a 3 a 4) /2计算面积，求周长的中误差按m s 和面积10.误差传播定律应用 （1） (1)已知 m a =m c = m , h=a-b ，求 m h。
(2) 已知 m a = m c = 6=a-c ,求 m 。
(4)已知 D= s' h ，m s = 5mm , m h = 5mm ，求 m D 。
（5）如图 4-2，已知 m xa = 40 mm ，m = 6。
求P 点坐标的中误差 m xp 、m ya = m yp、30 mm ；S=30.00m, =30 15 10 , m s = 5.0mm , M ( M= J£3 \m xpm yp)。
(3)（6）如图m s = 5.0mm,4-3，已知(7)如图m xa = 40 mm, m ya = 30 mm；S=130.00m, =130 1510 , 求P点坐标的中误差m xp、m yp、M。
m xa = 40 mm,4-4，已知于AB的延长线上。
求P点坐标的中误差m ya = 30 mm；S=30.00m, m s = 5.0mm, P 点位m xp、m yp、M。
图4-4(8)如图4-5,已知m xa= 40 mm,P点位于AB的直线上。
求P点坐标的中误差m ya = 30 mm；AP 距离S=30.00m, m s = 5.0mm,m xp、m yp、M。
AA（9）已知h=Ssin +i-L ,S=100m, =1530 ；计算中误差m h。
图m s= 5.0mm, m = 54-5,m i = m L = 1mm,(10)已知边长和b可由下式求出:C=100m, =23 15, =35csi n , csina -------------- ; bsin（）25 ；m = m = 5 ,m c = 5 mm,边长asin()，计算中误差ma和mb。
已知用J6经纬仪一测回测量角的中误差 法可以提高观测角精度，如需使所测角的中误差达到12、何谓不等精度观测？何谓权？权有何实用意义?13、某点P 离开水准点 A 为1.44畑（路线1）,离开水准点 B 为0.81 km 准测量从A 点到P 点测得其高程为16.848m,又从B 点至P 点测得其高程为16.834m 。
设水 准测量高差观测值的权为路线长度（单位为m ）的倒数，试用加权平均的方法计算P 点的11、限差讨论 （1） 中误差）。
已知 m L m R = 8.5，=（ L+R ）/2，f=L-R 。
求容许误差 f （取3倍(2) 已知f= I n -(n 2)180 ;m = 8.5 ,求f （取2倍中误差）。
（4）已知三角形三个内角 、 合差为：f= + + -180，求m f 和 、的中误差f （ f =3m = m = m = 8.5 , m f )。
定义三角形角度闭（5）已知三角形三个内角 合差为：f= + + - 180，: 、、的中误差-f/3 ；求 m ' °m = m = m = 8.5，定义三角形角度闭m = 8.5，采用多次测量取平均值的方6 ，问需要观测几测回？(3) （路线2）。
今用水高程H P 及其高程中误差m H (表4-3)。
表4-314、由实验和推算得知：在三、四等水准测量中，每观测一次的中误差(包括气泡居中误差、 瞄准误差、读数误差、仪器误差和外界影响等)分别为± 0.78mm 和± 1.04mm.根据这两个 数据，并取两倍中误差作为容许误差 ，推算验证现行规范中对黑红面读数差、黑红面高差之 差的限差。
15、DJ 6光学经纬仪出厂检验的精度为方向一测回中误差± (1) (2)(3) (4) 6" ，请推证:半测回中照准单方向的中误差 m 方=± 8.5"; 斗测回的测角中误差； 一测回的测角中误差等于照准单方向的中误差； 测回差的限差为± 24 ”。
16、若三角形的三内角为a 、 则(1) (2) (3) B 、Y,已知a 及B 角之权分别为4、2, a 角的中误差为± 9 ",根据a 、P 计算丫角, 计算单位权中误差； 求P 、丫角的中误差 求丫角之权 P Y ； m p 和 m Y 。
已知观测值L 1、L 2、 p i =卩2/m i 2完成以下作用； (1 )设L 1为单位权观测，求 (2 )设L 2为单位权观测，求17、 L 3的中误差分别为± 2 ”、 ± 3 〃、± 4 〃，应用公式L i 、L 2、L 3 的权; L i 、L 2、L 3 的权;（3）设单位权中误差u= ± T,求L1、L2、L3的权；4）根据以上结果，写出一组权的比例关系，并说明它与中误差表示精度的区别。
18、设观测一个方向的中误差（为单位权中误差）m0=± 4〃，求由两个方向组成角度的权。
19、设10km 水准路线的权为单位权，其单位权中误差差及其权。
m o= ± 16mm,求1km水准测量的中误20、已知三角形三内角a、B、丫观测值的权分别为形闭合差w 的权倒数。
p a=1/2、p B= 1/2、P Y =1/4，求三角21、在图4-6中，B点的高程由水准点BM o经a、观测高差的精度相同，若取一测站观测高差的权为少？两点间高差最或然值的权又是多少？b、c 三条水准路线分别测得，设每个测站30，问a、b、c三段水准线的权各是多图4-622、已知在角度观测在一测回中误差为±4〃，欲使测角精度提高一倍，问应观测几个测回？23、甲、乙、丙三人在A、B两水准点间作水准测量。
甲路线观测，高差为a,单位权中误差为± 3mm,（以2公里为单位权）。
乙路线观测高差为b，单位权中说差为± 2mm （为1 公里为单位权）。
丙路线观测高差为C,单位权中误差为± 4mm （以4公里为单位权）。
现欲根据a、b、c 三值求A、B 之间高差的带权平均值，试求三者的权之比。
24、X角为L1、L2两角之和，L1=32° 18’ 14〃，是由20次观测结果平均而得，每次观测中误差为± 5〃。
L2=8O° 16' 07〃，是由16次观测结果平均而得，每次观测中误差为± 8”，如以± 5〃作为单位权中误差，求X角的权。
5.0mm，欲使平25、若要在坚强点间布设一条附含水准路线，已知每公里观测中误差等于± 差后线路中点高程中误差不大于±10mm，问该路线长度最多可达几公里26、有单一水准路线AB,其距离S AB=40km,已知A、B两点高程的中误差为m a= ± 4mm,m b=±2mm。
（相互独立），欲使路线上的最弱点的高程中误差为±J15mm，问每公里观测高差的中误差应为多少？最弱点在何处？27、设对10km的距离同精度丈量10次，令其平均值的权为5，现以同样等级的精度丈量2.5 km。
问丈量此距离一次的权是多少？在本题计算中是以几公里的丈量中误差作为单位权中误差的？28、已知L1、L2是相互独立的观测值，其中分别是b 1和b 2。
又知W1=3L1-L2, W2=L1+L2,而且有：-3X1+X2-W1=0\ X1-X2-W2=0试求X 1和X2的中误差b X1 ,b X2。
29、在同精度直接平差中，设被观测量的最或然值为X ，第二个观测值及其改正数分别为L2、V2。
已知b x= ± 4.6cm V2=± 10.2cm，试求L2的中误差是多少？解：••• L2=X-V2,b V22=± 10.2cm, L2=± 11.2cm，这样解法对不对？为什么？。