高中数学-圆的标准方程测试题
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.以点为圆心且与直线相切的圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，，故选.【考点】1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系；3.点到直线的距离.2.某圆的圆心在直线上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由已知分析可设圆心为，半径为，则有或，解得，故选C.【考点】圆的标准方程以及弦长的基本知识.3.设点，若在圆上存在点N，使得,则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】过M作⊙O切线交⊙O于R，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN=30°．反过来，如果∠OMR≥30°，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．∴若圆O上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMR≥30°．∵|OR|=1，∴|OM|＞2时不成立，∴|OM|≤2，即=≤4，解得，≤≤，故选A. 考点:直线与圆的位置关系4.若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A．2B．4C．3D．6【答案】B【解析】由题知圆C的圆心C（-1,2），半径为，因为圆C关于直线对称，所以圆心C在直线上，所以，即，所以由点向圆所作的切线长为===，当时，切线长最小，最小值为4，故选B.【考点】圆的标准方程，圆的切线问题，二次函数最值5.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为() A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)【答案】D【解析】MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，以r＝2为半径的圆，除去与x轴的两个交点．6.已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为() A．8B．－4C．6D．无法确定【答案】C【解析】圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心(－，0)，即－＋3＝0，∴m＝6.7.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y－3)2＝1C．(x－3)2＋(y－2)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1【答案】A【解析】设圆心坐标为(a，b)，由题意知a>0，且b＝1.又∵圆和直线4x－3y＝0相切，∴＝1，即|4a－3|＝5，∵a>0，∴a＝2.所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.8.已知圆C的圆心在曲线y＝上，圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是()A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】设圆心C的坐标是(t，)．∵圆C过坐标原点，∴|OC|2＝t2＋，设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋.令x＝0，得y1＝0，y2＝，故B点的坐标为(0，)．令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，故A点的坐标为(2t,0)，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为4.故选C.9.若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为：，故答案为【考点】圆的标准方程.10.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________.【答案】0或6【解析】圆的标准方程为：所以圆的圆心在，半径又直线与圆交于两点，且所以圆心到直线的距离所以，，整理得：解得：或所以答案应填：0或6.【考点】1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.11.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x-2）2+（y-1）2=1B．（x-2）2+（y+1）2=1C．（x+2）2+（y-1）2=1D．（x-3）2+（y-1）2=1【答案】A【解析】设圆心为,半径为,则=1,解得,所以,解得,故圆心坐标为(2,1),所以该圆的标准方程是（x-2）2+（y-1）2=1，选A.12.若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为( ) A．-1<k<1B．1<k<C．1<k<2D．<k<2【答案】B【解析】圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r＝，若圆与两坐标无公共点，即，解得1<k<.故选B．13.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是________.【答案】【解析】由于圆的半径为1且与轴相切，所以可以假设圆心.又圆与直线相切.所以可得.解得，由圆心在第一象限.所以.所以圆的方程为.【考点】1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.14.方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．【答案】(3，0)，3【解析】(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.15.方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________．【答案】m＜或m＞1.【解析】由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜或m＞1.16.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为______________．【答案】x2＋(y－2)2＝1【解析】设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，此圆过点(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.17.如图，已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于.求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么．【答案】(x－4)2＋y2＝7.它表示圆，【解析】设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝|MQ|}.因为圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－1.设点M的坐标为(x，y)，则，整理得(x－4)2＋y2＝7.它表示圆，该圆圆心的坐标为(4，0)，半径为.18. P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，试求x2＋y2的最小值．【答案】3－2【解析】由C(1，1)得OC＝，则OPmin ＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.19.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为()A．(x+1)2+y2=2B．(x-1)2+y2=2C．(x+1)2+y2=4D．(x-1)2+y2=4【答案】A【解析】直线x-y+1=0,令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),因为直线x+y+3=0与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即r==,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.20.求圆心在抛物线x2＝4y上，且与直线x＋2y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程．【答案】(x＋1)2＋＝【解析】设圆心坐标为，半径为r.根据已知得r＝＝ (t2＋2t＋2)＝ [(t＋1)2＋1]≥，当t＝－1时取等号，此时r最小为，圆心坐标为(－1，)，故所求的圆的方程是(x＋1)2＋＝.21.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【答案】（1）(x－5)2＋y2＝16（2）4【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，且|PA|＝2|PB|，则＝2，化简得曲线C：(x－5)2＋y2＝16.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．是此圆的切线，连接CQ，由直线l2则|QM|＝，时，|CQ|取最小值，|CQ|＝，此时|QM|的最小值为＝4.当CQ⊥l122.已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________．【答案】(x－2)2＋y2＝10【解析】依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程，得解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.23.已知半径为2，圆心在直线上的圆C.（Ⅰ）当圆C经过点A（2,2）且与轴相切时，求圆C的方程；（Ⅱ）已知E(1，1),F(1，-3),若圆C上存在点Q，使,求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为原心在直线上故可设原心为，则可根据圆心和圆上的点的距离为半径列出方程。
圆方程测试题及答案
圆方程测试题及答案一、选择题1. 已知圆的一般方程为 \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \)，其中 \( g \)、\( f \) 和 \( c \) 是常数。
若圆心坐标为 \( (-g, -f) \)，那么 \( c \) 的值应该是：A. \( g^2 + f^2 \)B. \( -g^2 - f^2 \)C. \( 1 \)D. \( 0 \)答案：A2. 圆 \( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 \) 的半径是多少？A. 3B. 5C. 10D. 20答案：B二、填空题1. 圆的标准方程为 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)，其中 \( (a,b) \) 是圆心坐标，\( r \) 是半径。
如果圆心坐标为 \( (3, 4) \)，半径为 5，则该圆的方程为________________。
答案：\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)2. 圆 \( x^2 + y^2 = 9 \) 与直线 \( y = x \) 相切，求切点坐标。
答案：切点坐标为 \( (±\sqrt{2}, ±\sqrt{2}) \)。
三、解答题1. 已知圆 \( C \) 的圆心在 \( (1, 1) \)，半径为 2，求圆 \( C \) 的方程。
解答：根据圆的标准方程，圆 \( C \) 的方程为 \( (x-1)^2 + (y-1)^2 = 4 \)。
2. 已知圆 \( x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0 \) 与直线 \( 2x + y- 3 = 0 \) 相切，求圆心到直线的距离。
解答：首先，将圆的方程化为标准形式，得到 \( (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4 \)。
圆心坐标为 \( (-1, 2) \)。
利用点到直线距离公式\( \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)，将圆心坐标代入直线方程，得到距离 \( d = \frac{|2(-1) + 1(2) - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \)。
高中数学圆的标准方程
圆的标准方程层级一 学业水平达标1．方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(|x |－1)2＋(y －1)2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －1)2＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，x ≤－1，故原方程表示两个半圆． 2．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52解析：选A 直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为213，则半径长为13，所以所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.3．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29 B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29 C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116 D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝116解析：选B 圆心为线段AB 的中点(1，－3)，半径为|AB |2＝12(6＋4)2＋(－1＋5)2＝29，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝29.故选B.4．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选D 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)．因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l 的方程是y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.故选D.5．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( ) A ．2 B ．1 C. 3D. 2解析：选B x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.6．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________. 解析：∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上， ∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2， ∴m ＝±2. 答案：±27．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2,4)，从而r ＝(2－0)2＋(4－0)2＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝208．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (－1,1)的圆的方程为________________． 解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r ＝(2＋1)2＋(－3－1)2＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝259．求圆心在x 轴上，且过A (1,4)，B (2，－3)两点的圆的方程． 解：设圆心为(a,0)，则(a －1)2＋16＝(a －2)2＋9，所以a ＝－2. 半径r ＝(a －1)2＋16＝5， 故所求圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝25.10．求过点A (－1,3)，B (4,2)，且在x 轴，y 轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程． 解：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.把点A ，B 的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(2－b )2＝r 2.消去r 2，得b ＝5a －5.① 令x ＝0，则(y －b )2＝r 2－a 2，y ＝b ±r 2－a 2， ∴在y 轴上的截距之和是2b .令y ＝0，则(x －a )2＝r 2－b 2，x ＝a ±r 2－b 2， ∴在x 轴上的截距之和是2a .∴2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2.② ①代入②，得a ＝76，∴b ＝56.∴r 2＝⎝⎛⎭⎫－1－762＋⎝⎛⎭⎫3－562＝16918. ∴圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －762＋⎝⎛⎭⎫y －562＝16918. 层级二 应试能力达标1．点P (a,10)与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外D ．不确定解析：选C ∵(a －1)2＋(10－1)2＝81＋(a －1)2>2，∴点P 在圆外．2．若直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 由题意，知(－a ，－b )为圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心．由直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，得到a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，故圆心位于第四象限．3．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选B 画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.4．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1解析：选C 由已知圆(x －1)2＋y 2＝1得圆心C 1(1,0)，半径长r 1＝1.设圆心C 1(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点为(a ，b )，则⎩⎨⎧ba －1·(－1)＝－1，－a ＋12＝b2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.5．若圆C 与圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程是________________．解析：圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1的圆心为M (－2,1)，半径r ＝1，则点M 关于原点的对称点为C (2，－1)，圆C 的半径也为1，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝16．已知圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点M (2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．解析：由题意，知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点M (2,3)的距离最大，最大距离为(2－3)2＋(3－4)2＋5＝5＋ 2.答案：5＋ 27．已知圆C 的圆心为C (x 0，x 0)，且过定点P (4,2)． (1)求圆C 的标准方程．(2)当x 0为何值时，圆C 的面积最小？求出此时圆C 的标准方程． 解：(1)设圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝r 2(r ≠0)． ∵圆C 过定点P (4,2)， ∴(4－x 0)2＋(2－x 0)2＝r 2(r ≠0)． ∴r 2＝2x 20－12x 0＋20.∴圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20.(2)∵(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20＝2(x 0－3)2＋2，∴当x 0＝3时，圆C 的半径最小，即面积最小． 此时圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝2.8．已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 1关于直线l 对称的圆C 2的方程．解：设圆C 2的圆心坐标为(m ，n )．因为直线l 的斜率k ＝－74，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r ＝2，所以，由对称性知⎩⎪⎨⎪⎧n －1m ＋3＝47，14×－3＋m 2＋8×1＋n2－31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝5.所以圆C 2的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中试卷-专题08 圆的方程(含答案)
专题08 圆的方程一、单选题1．（2020·湖南省高二月考）曲线方程表示一个圆的充要条件为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】表示圆的充要条件是，即.故选：C ．2．（2019·浙江省高二期中）圆心在上，半径为3的圆的标准方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】圆心在上，半径为3的圆的标准方程为：故选： B3．（2020·北京高三一模）设则以线段为直径的圆的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】的中点坐标为：，圆半径为，圆方程为.故选：.2240x y Ex y ++-+=15E >15E ³215E >215E ³()221440E +--´>215E >(2)1-，22(2)(1)3x y -++=22(2)(1)9x y -++=22(2)(1)3x y -+-=22(2)(1)9x y -+-=(2)1-，22(2)(1)9x y -++=()()2141A B -，，，，AB 22(3)2x y -+=22(3)8x y -+=22(3)2x y ++=22(3)8x y ++=AB ()3,02AB r ===22(3)2x y -+=A4．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）圆心为且过原点的圆的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设圆的方程为，且圆过原点，即，得，所以圆的方程为.故选D.5．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考）已知点，，，则外接圆的圆心坐标为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】线段中点坐标为，线段斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线方程为，即.线段中点坐标为，线段斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线方程为，即.由.所以外接圆的圆心坐标为.故选：A6．（2020·陕西省陕西师大附中高一期末）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ ）()1,1()()22111x y -+-=()()22111x y +++=()()22112x y +++=()()22112x y -+-=()()2211(0)x y m m -+-=>()()220101(0)m m -+-=>2m =()()22112x y -+-=()3,6A ()1,4B ()1,0C ABC D ()5,2()5,2-()2,5()5,2-AB ()2,5AB 64131-=-AB 1-AB ()52y x -=--7y x =-+AC ()2,3AC 60331-=-AC 13-AC ()1323y x -=--11133y x =-+75111233y x x y y x =-+ì=ìïÞíí==-+îïîABC D ()5,2C 430x y -=xA ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】设圆心坐标为（a ，b ）（a ＞0，b ＞0），由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=，化简得：|4a-3b|=5①，又圆与x 轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去），把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1．故选A7．（2020·江苏省王淦昌中学高一开学考试）已知圆M 与直线和都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】到两直线及的距离都相等的直线方程为，联立方程组，解得.两平行线之间的距离为，所以，半径为，从而圆的方程为. 选.8．（2020·广东省高三月考（理））已知圆，点，内接于圆，且，当，在圆上运动时，中点的轨迹方程是（ ）22(2)(1)1x y -+-=227(3)13x y æö-+-=ç÷èø22(1)(3)1x y -+-=223(1)12x y æö-+-=ç÷èø4315a b r -==12340x y -=34+100x y -=4y x =--M 22(3)(1)1x y ++-=22(3)(1)1x y -++=22(3)(1)1x y +++=22(3)(1)1x y -+-=340x y -=34100x y -+=3450x y -+=3450{4x y y x -+==--3{1x y =-=-21M ()()22311x y +++=C 221x y +=()1,0A ABC D 60BAC Ð=°B C BCA ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设中点为，圆心角等于圆周角的一半，，，在直角三角形中，由，故中点的轨迹方程是：，如图，由的极限位置可得，.故选：D9．（2020·全国高三月考（理））已知圆过点，点在圆上，则面积的最大值为（ ）A ．100B ．25C ．50D．【答案】D 【解析】设圆的方程为，将代入可得，2212x y +=2214x y +=221122x y x æö+=<ç÷èø221144x y x æö+=<ç÷èøBC D Q 60BAC Ð=°60BOD \Ð=o BOD 1122OD OB ==D 2214x y +=BAC Ð14x <C ()()()4,6,2,2,5,5--,M N C CMN D 252C 220x y Dx Ey F ++++=()()()4,6,2,2,5,5--，解得.故圆的一般方程为，即，故的面积.面积的最大值为.故选：.10．（2019·全国高三二模（文））已知2，，成等差数列，则圆：上的点到点距离的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．5D ．【答案】C 【解析】因为2，，成等差数列，所以，可得，所以点的轨迹方程为，圆心，则圆上的点到点的最大值为.故选：C 二、多选题11．（2019·辽宁省高二期末）圆（ ）A ．关于点对称B ．关于直线对称C ．关于直线对称D ．关于直线对称【答案】ABC 【解析】，所以圆心的坐标为.A ：圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，所以本选项正确；52460822050550D E F D E F D E F +++=ìï--+=íï+++=î2,4,20D E F =-=-=-C 2224200x y x y +---=()()221225x y -+-=CMN D 11125sin 55sin 5512222S CM CN MCN MCN =Ð=´´Ð£´´´=CMN \D 252D 2m n +6-C (()2214x y -++=(),M m n 2m n +6-()2226m n +=-220m n ++=M 220x y ++=()1-C M max 325d =+=22410x y x +--=()2,00y =320x y +-=20x y -+=22224102)5(x y x x y +--=Þ+=-()2,0()2,0B ：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；C ：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；D ：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以本选项不正确.故选：ABC12．（2019·福建省南安第一中学高二月考）已知点，直线，下列结论正确的是（ ）A ．恒过定点B ．（为坐标原点）C ．到直线的距离有最小值，最小值为3D ．到直线的距离有最大值，最大值为5【答案】ABD 【解析】直线，当时，，故A 正确；，故B 正确；点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，直线过定点，位置如图：由图可知，点到直线的距离最小值为0，当直线与轴垂直时，圆心到直线的距离最大，最大值为4，所以到直线的距离有最大值，最大值为5.故C 错误，D 正确.故选：ABD.13．（2019·福建省高一期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波0y =320x y +-=20x y -+=()()cos ,sin P R q q q Î:40l x my +-=l ()4,01OP =O P l P l :40l x my +-=0y =4x =1OP ==P ()0,0()4,0P l x P l ,A B ()1l l ¹罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系中,点.设点的轨迹为,下列结论正确的是（ ）A ．的方程为B ．在轴上存在异于的两定点,使得C ．当三点不共线时,射线是的平分线D ．在上存在点,使得【答案】BC 【解析】设点，则，化简整理得，即，故A错误；当时，，故B 正确；对于C 选项，，,要证PO 为角平分线，只需证明，即证，化简整理即证，设，则，，则证，故C 正确；对于D 选项，设,由可得，而点M 在圆上，故满足，联立解得，无实数解，于是D 错误.故答案为BC.三、填空题14．（2019·江苏省南京师大附中高三一模）圆关于直线的对称圆的方程为_____.xOy ()()2,0,4,0,A B -12PA P PB=满足P C C ()2249x y ++=x ,A B ,D E 12PD PE=,,A B P PO APB ÐC M 2||MO MA =(),P x y 12PA PB=2280x y x ++=()22416x y ++=()()1,0,2,0,D B -12PDPE =222cos =2AP PO AO APO AP PO+-Ð×222cos =2BP PO BO BPO BP PO +-Ð×cos =cos APO BPO ÐÐ22222222AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO +-+-=××2228PO AP =-(),P x y 222PO x y =+()()222222222282828AP x x y x x y x y x y -=++=++++=+cos =cos APO BPO ÐÐ()00,M x y 2||MO MA =220003316+160x y x ++=2280x y x ++=0=2x 0y 22:(1)(2)4C x y ++-=21y x =-【答案】【解析】的圆心为，关于对称点设为，则有: ，解得，所以对称后的圆心为，故所求圆的方程为.故答案为：15．（2020·广东省红岭中学高二期末）方程表示圆C 中，则圆C 面积的最小值等于________.【答案】【解析】当故答案为16．（2020·全国高三月考（理））已知点，，是圆上一点，则的最小值为_________【答案】【解析】设点，则又因为，则，22(3)4x y -+=22:(1)(2)4C x y ++-=(1,2)-21y x =-(,)x y 2121222112y x y x +-ì=´-ïïí-ï=-ï+î30x y =ìí=î(3,0)22(3)4x y -+=22(3)4x y -+=22230x y x my m +-+--=3p ()222222301424m m x y x my m x y m æö+-+--=\+++=++ç÷èø()222142344m R m m =++=++2m =-23R p p =3p(0,0)O (4,0)A M 22:(2)1C x y -+=||||OM AM 13(,)M x y 222222||||(4)OM x y AM x y +=-+22(2)1x y -+=221(2)y x =--故，，易得函数在上单调递增.则的最小值为，故的最小值为.故答案为：17．（2019·山东省高三期中）已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，且截轴所得的弦长为，则圆的方程为______，则点到圆上动点的距离最大值为______.【答案】 8 【解析】设圆的方程为由题意可得，解得，所以圆的方程为；设点到圆心的距离为，则点到圆上动点的距离最大值为.故答案为：；8四、解答题18．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））求过点A (0,6)且与圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0切于原点的圆的方程．【答案】(x －3)2＋(y －3)2＝18.【解析】设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．由题意得解得∴圆的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18.22||43101||413413OM x AM x x -==-+-+-+[1,3]x Î101413y x =-+-+[1,3]22||||OM AM 19||||OM AM 131330x y -=C y x C ()6,5P C Q ()()22319x y -+-=222()()x a y b r -+-=(0,0)a b >>22308a b a r b r -=ìï=íï+=î313a b r =ìï=íï=î()()22319x y -+-=()6,5P (3,1)C 5d ==()6,5P C Q 538d r +=+=()()22319x y -+-=222222(6)a b r a b r a b ì+=ï+-=íï=î点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．19．（2019·吉林省东北师大附中高一月考）已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，求此圆的方程.【答案】，【解析】设圆的方程为：，则：，，所以或，因此圆的方程为：，. 20．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）已知圆：，圆关于直线对称，圆心在第二象限，半径为.（1）求圆的方程；（2）直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】（1）（2）或.或【解析】分析：(,)a b r ,,a b r ,,a b r y y x =30x y -=22(3)(1)9x y -+-=22(3)(1)9x y +++=222()()x a y b r -+-=||a r =30a b -==313a b r =ìï=íï=î313a b r =-ìï=-íï=î22(3)(1)9x y -+-=22(3)(1)9x y +++=（1）通过圆关于直线对称，可知圆心在直线上，再结合半径为，得到关于的方程组，求解方程组，选择在第二象限中的根，即可求得圆的方程；（2）分截距为零和不为零两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径求解直线方程。
高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)
高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。
以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。
一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为_________．【答案】【解析】设圆心为(a,0),半径为r,由弦长为可得,又圆心在x轴的正半轴上，所以a>1,由已知可知半径、半弦长、弦心距围成一等腰三角形，所以有，答案为.【考点】1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系2.已知圆C过原点且与相切，且圆心C在直线上．(1)求圆的方程；(2)过点的直线l与圆C相交于A,B两点, 且, 求直线l的方程．【答案】(1) (2) x=2或4x-3y-2=0．【解析】（1）由题意圆心到直线的距离等于半径, 再利用点到直线的距离公式解出圆心坐标和半径即可．(2)由题知,圆心到直线l的距离为1．分类讨论：当l的斜率不存在时,l:x=2显然成立；若l的斜率存在时, 利用点到直线的距离公式,解得k ；综上,直线l的方程为x=2或4x-3y-2=0．（1）由题意设圆心 ,则C到直线的距离等于 ,, 解得, ∴其半径∴圆的方程为 (6分)(2)由题知,圆心C到直线l的距离． (8分)当l的斜率不存在时,l:x=2显然成立 (9分)若l的斜率存在时,设,由得,解得,∴． (11分)综上,直线l的方程为x=2或4x-3y-2=0． (12分)【考点】圆的方程；点到直线的距离公式．3.已知圆,圆内有定点,圆周上有两个动点，，使，则矩形的顶点的轨迹方程为．【答案】【解析】设A（），B（），Q（），又P（1，1），则，，＝()，＝()．由PA⊥PB，得•＝0，即（x1-1）（x2-1）+（y1-1）（y2-1）=0．整理得：x1x2+y1y2-（x1+x2）-（y1+y2）+2=0，即x1x2+y1y2=x+1+y+1-2=x+y①又∵点A、B在圆上，∴x12+y12＝x22+y22＝4②再由|AB|=|PQ|，得(x1−y1)2+(x2−y2)2＝(x−1)2+(y−1)2，整理得：x12+y12+x22+y22−2(x1y1+x2y2)＝(x−1)2+(y−1)2③把①②代入③得：x2+y2=6．∴矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为：x2+y2=6．故答案为：x2+y2=6．.【考点】直线与圆．4.（1）求圆心在轴上，且与直线相切于点的圆的方程；（2）已知圆过点，且与圆关于直线对称,求圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据题意可设圆心，所以圆心和切点的连线与直线垂直，根据斜率相乘等于，可求出圆心坐标，圆心与切点间的距离为半径，即可求出圆的标准方程。
高中数学圆的标准方程
圆的方程1．以C (a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 2．以原点为圆心，r 为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2. 3．圆的一般方程的概念当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．4．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F .5．对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的说明6、直线与圆的位置关系的判定例题讲解1、已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)()A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外2、已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝523、以点A(－5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()A．(x＋5)2＋(y－4)2＝25B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16C．(x＋5)2＋(y－4)2＝16D．(x－5)2＋(y＋4)2＝25巩固练习1、求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．2、求圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程．3、若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．4、已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|P A|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值.图4-1-15、直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是()A．过圆心B．相切C．相离D．相交但不过圆心6、已知直线ax＋by＋c＝0(ab≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不存在7、已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y ＋3＝0相切，则圆C的方程为____________________．8、过点P(－1,2)且与圆C：x2＋y2＝5相切的直线方程是________.课后练习1、圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)2、已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 3、若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________.4、设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是__________．5、求经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的一般方程.6、过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，求直线l 的方程．7、 已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M 的轨迹方程吗？8、 已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，请求出直角顶点C 的轨迹方程．9、已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y＋1＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)线段PQ 的端点P 的坐标是(5,0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．。
高中数学 圆的方程测试题及答案
圆的方程专项测试题一、选择题1.若直线4x-3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A.-3＜a ＜7B.-6＜a ＜4C.-7＜a ＜3D.-21＜a ＜192.圆(x-3)2+(y -3)2=9上到直线3x+4y -11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y +3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1)D.(2 +2，2-3)4.若直线x+y =r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.22B .1C.2D.25．若曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（ B ）A ．21± B ．22± C ．2221-或 D ．2221或-6.直线x-y +4=0被圆x 2+y 2+4x-4y +6=0截得的弦长等于( ) A.8B.4C.22D.427．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y －11=0的距离等于1的点有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8.圆(x-3)2+(y +4)2=2关于直线x+y =0的对称圆的标准方程是( ) A.(x+3)2+(y -4)2=2 B.(x-4)2+(y +3)2=2 C.(x+4)2+(y -3)=2 D.(x-3)2+(y -4)2=29.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( ) A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51 C.｜a ｜＜121D.｜a ｜＜131 10.关于x,y 的方程Ax 2+Bx y +C y 2+Dx+E y +F=0表示一个圆的充要条件是( ) A.B=0，且A=C≠0 B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0 C.B=0且A=C≠0，D 2+E 2-4AF≥0 D.B=0且A=C≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 11.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0) D.(5，-1)12.若两直线y =x+2k 与y =2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( ) A.-51＜k ＜-1B.-51＜k ＜1C.-31＜k ＜1 D.-2＜k ＜2二、填空题13.圆x 2+y 2+ax=0(a≠0)的圆心坐标和半径分别是 .14.若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y =0，则x-2y 的最大值是 .15.若集合A={(x 、y )｜y =-｜x ｜-2}，B={(x,y )｜(x-a)2+y 2=a 2}满足A∩B=ϕ，则实数a 的取值范围是 .16.过点M(3，0)作直线l 与圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点，当θ= 时，使△AOB 的面积最大，最大值为 (O 为原点).三、解答题17.求圆心在直线2x-y -3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.18. 过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程.19. 已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB . 求m 的值．20.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.21. 自点A （－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆C ：x 2 + y 2 －4x －4y +7 = 0相切，求光线L 、m 所在的直线方程．22. 已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线L ，使L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线L 的方程，若不存在说明理由．参考答案：1.B2.C3.B4.D5.B6.C7.C8.B9.D 10.D 11.D 12.B 13.(-2a ,0), 2a 14.10 15.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)16.θ=arccot22 或π-arccot22, 817.(x-2)2+(y -1)2=10 10.3x+4y +1=0或4x+3y -1=0 ；18. 解：设圆(－1)2+(y －1)2=1的圆心为1O ，由题可知,以线段P 1O 为直径的圆与与圆1O 交于AB 两点,线段AB 为两圆公共弦,以P 1O 为直径的圆方程5)20()23(22=-+-y x △已知圆1O 的方程为(x-1)2+(y -1)2=1 △ △△作差得x+2y -41=0， 即为所求直线l 的方程。
高二数学圆的标准方程试题(有详细解答)
高二数学圆的标准方程试题一．选择题（共16小题）1．（2011重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程；两点间的距离公式．811365专题：数形结合．分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E 最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2 ，MB= ，ME= = ，所以BD=2BE=2 =2 ，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S= ACoBD= ×2 ×2 =10 ．故选B点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．2．（2009辽宁）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2考点：圆的标准方程．811365分析：圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．解答：解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．点评：一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．3．（2001江西）过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=4考点：圆的标准方程．811365分析：先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．解答：解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．故选C．点评：本题解答灵活，符合选择题的解法，本题考查了求圆的方程的方法．是基础题目．4．（2012吉安县模拟）若方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）的任意一组解（x，y）都满足不等式x≤y，则θ的取值范围是（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域．811365专题：综合题．分析：方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切），由此可建立不等式，利用三角函数知识，即可求得θ的取值范围．解答：解：由题意，方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切），则，∴sin（θ﹣）≥∵0≤θ≤2π，∴∴∴∴θ的取值范围是故选B．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数知识的运用，解题的关键是将问题转化为方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切）．5．（2010宁德模拟）已知A（3，3），点B是圆x2+y2=1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程．811365分析：通过定比分点坐标公式，把M的坐标转移到B上，把B的坐标代入圆的方程，整理可得点M的轨迹方程．解答：解：设M点的坐标（x，y），B（a，b），因为点M是线段AB上靠近A的三等分点，所以a=3x﹣6，b=3y﹣6，又点B是圆x2+y2=1上的动点，所以B的坐标适合圆的方程，即故选A．点评：本题考查线段的定比分点坐标公式，相关点法求轨迹方程的方法，是中档题．6．圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）2=2或（x+1）2+（y﹣1）2=2考点：圆的标准方程．811365专题：计算题；数形结合；分类讨论．分析：根据题意画出圆的方程，使圆A满足题意中的条件，分两种情况考虑，当点A在第一象限时，根据垂径定理即可得到OC的长度，根据直线y=x上点的横纵坐标相等，得到圆心A的坐标，根据勾股定理求出OA的长度即为圆A的半径，根据求出的圆心坐标和半径写出圆的标准方程；当点A′在第三象限时，同理可得圆心坐标和半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．解答：解：画出圆A满足题中的条件，有两个位置，当圆心A在第一象限时，过A作AC⊥x轴，又|OB|=2，根据垂径定理得到点C为弦OB的中点，则|OC|=1，由点A在直线y=x上，得到圆心A的坐标为（1，1），且半径|OA|= ，则圆A的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；当圆心A′在第三象限时，过A′作A′C′⊥x轴，又|OB′|=2，根据垂径定理得到点C′为弦OB′的中点，则|OC′|=1，由点A′在直线y=x上，得到圆心A′的坐标为（﹣1，﹣1），且半径|OA′|= ，则圆A′的标准方程为：（x+1）2+（y+1）2=2，综上，满足题意的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2．故选C点评：此题考查学生灵活运用垂径定理化简求值，考查了数形结合及分类讨论的数学思想，是一道中档题．需注意的事项是应注意此题有两解，不要遗漏．7．如果圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1的圆心在第三象限，那么直线ax+by﹣1=0一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：圆的标准方程；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．811365专题：计算题．分析：根据圆的标准方程找出圆心坐标，由圆心在第三象限，得到a与b都小于0，然后把所求直线的方程化为点斜式方程y=kx+m，由a与b都小于0判断得到k与m的正负，即可得出直线一定不经过的象限，得出正确的选项．解答：解：由圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，得到圆心坐标为（a，b），∵圆心在第三象限，∴a＜0，b＜0，∵直线方程可化为y=﹣x+ ，∴﹣＜0，＜0，则直线一定不经过第一象限．故选A点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，要求学生掌握象限点坐标的特点，其中直线y=kx+b的斜率，截距与图象的关系为：当k＞0，b＞0时，直线不经过第四象限；当k＞0，b＜0时，直线不经过第二象限；当k＜0，b＞0时，直线不经过第三象限；当k＜0，b＜0时，图象不经过第一象限，掌握此规律是解本题的关键．8．圆M的圆心在直线y=﹣2x上，经过点A（2，﹣1），且与直线x+y=1相切，则圆M的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣2）2=2 B．（x+1）2+（y+2）2=2 C．（x﹣1）2+（y+2）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣2）2=2考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：根据圆心在一条直线上，设出圆心的坐标，根据圆心的坐标看出只有A，C两个选项符合题意，根据圆过一个点，把这个点代入圆的方程，A不合题意，得到结果．解答：解：∵圆M的圆心在直线y=﹣2x上，∴圆心的坐标设成（a，﹣2a）∴在所给的四个选项中只有A，C符合题意，∵经过点A（2，﹣1），∴把（2，﹣1）代入圆的方程方程能够成立，代入A中，32+32≠2，∴A选项不合题意，故选C．点评：本题考查圆的标准方程，本题解题的关键是根据所给的条件设出圆的方程，可以是一般式方程也可以是标准方程，在根据其他的条件解出方程．9．已知圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0）与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限，则直线ax+by+c=0与直线x+y+1=0的交点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：圆的标准方程；两条直线的交点坐标．811365专题：计算题．分析：由圆C的方程表示出圆心的坐标和半径r，由圆C与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限，可得出b大于a，a大于c，a，b及c都大于0，进而确定出b﹣a 与a﹣c都大于0，然后将两方程联立组成方程组，消去x后得到关于y的一元一次方程，求出方程的解表示出y，根据b﹣a与a﹣c都大于0及两数相除同号得正的取符号法则可得y大于0，由y大于0判断出x小于0，可得出交点在第二象限．解答：解：由圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0），得到圆心坐标为（b，c），半径r=a，∵圆C与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限，∴b＞a＞0，0＜c＜a，即b﹣a＞0，a﹣c＞0，联立两直线方程得：，由②得：x=﹣y﹣1，代入①得：a（﹣y﹣1）+by+c=0，整理得：（b﹣a）y=a﹣c，解得：y= ，∵﹣a＞0，a﹣c＞0，∴＞0，即y＞0，∴x=﹣y﹣1＜0，则两直线的交点在第二象限．故选B点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：直线与圆的位置关系，点的坐标，两数相除的取符号法则，以及两直线的交点坐标，其中根据圆C与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限得到b﹣a＞0，a﹣c＞0是解本题的关键．10．（2012泉州模拟）圆心在曲线上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：= |3a+ +3|=r，|3a+ +3|=5r，由a＞0，知3a+ +3=5r，欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，由此能求出面积最小的圆的方程．解答：解：设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：= |3a+ +3|=r，（圆半径）∴|3a+ +3|=5r，∵a＞0，∴3a+ +3=5r，欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，∵5r=3a+ +3≥2 +3=15，∴r≥3，当3a= ，即a=2时，取等号，∴面积最小的圆的半径r=3，圆心为（2，）所以面积最小的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣）2=9．故选A．点评：本题考查圆的标准方程的求法，考查点到直线的距离公式和圆的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．11．（2009山东模拟）已知实数x，y满足x2+y2=9（y≥0），则的取值范围是（）A． m≤或m≥ B．≤m≤ C． m≤﹣3或m≥D．﹣3≤m≤考点：圆的标准方程；直线的斜率．811365专题：计算题；数形结合．分析：考查题意，可知的几何意义是：圆上的点与（﹣1，﹣3）连线的斜率，作出图形，求出直线的斜率即可．解答：解：由题意可知的几何意义是：圆上的点与（﹣1，﹣3）连线的斜率，作出图形，所以m的范围是：m = ．或m =﹣．故所求m的范围是：m≤或m≥．故选A．点评：本题是中档题，考查圆的方程与直线的斜率的关系，考查数形结合，注意圆的方程的范围，考查计算能力．12．（2008深圳二模）过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别A，B，O是坐标原点，则△AOB外接圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x+4）2+（y+2）2=20 D．（x+2）2+（y+1）2=5考点：圆的标准方程．811365专题：计算题；转化思想．分析：由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△AOB外接圆就是四边形AOBP的外接圆．解答：解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，OP的中点为（2，1），OP=2 ，∴四边形AOBP的外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，∴△AOB外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，故选B．点评：本题考查圆的标准方程的求法，把求△AOB外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程，体现了转化的数学思想．13．已知P（x，y）为圆（x﹣2）2+y2=1上任意一点，则的最小值为（）A． . B． .﹣ C．）D．）﹣考点：圆的标准方程；斜率的计算公式．811365专题：计算题；数形结合．分析：根据题意画出图形，所求的式子刚好为直线OP的斜率，由P为圆A上任一点，根据图形得出直线OP斜率的取值范围，即可得到斜率的最小值，即为所求式子的最小值．解答：解：根据题意画出图形，连接AP，如图所示：由圆A的方程（x﹣2）2+y2=1，得到A（2，0），半径r=1，∵直线OP为圆A的切线，∴AP⊥OP，即∠APO=90°，又|AP|=1，|OA|=2，∴∠AOP=30°，∵P（x，y）为圆A上任一点，且表示直线OP的斜率，∴﹣≤≤，则的最小值为﹣．故选D点评：此题考查了圆的标准方程，直线斜率的计算，以及直角三角形的性质，利用了转化及数形结合的数学思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．14．过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A． x2+（y﹣1）2=2 B． x2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+y2=1考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：根据切线的性质可知PA垂直于CA，PB垂直于CB，所以过A、B、C三点的圆即为四边形PACB的外接圆，且线段AC为外接圆的直径，所以根据中点坐标公式求出外接圆的圆心，根据两点间的距离公式即可求出圆的半径，根据求出的圆心坐标与圆的半径写出圆的标准方程即可．解答：解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，得到圆心C（1，2），又P（﹣1，0）则所求圆的圆心坐标为（，）即为（0，1），圆的半径r= = ，所以过A、B、C的圆方程为：x2+（y﹣1）2=2．故选A点评：此题考查学生掌握直线与圆相切的性质，掌握90°的圆周角所对的弦为直径，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道综合题．15．（2007上海）圆x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线2x﹣y+3=0对称的圆的方程是（）A．B．C．（x+3）2+（y﹣2）2=2 D．（x﹣3）2+（y+2）2=2考点：关于点、直线对称的圆的方程．811365分析：先求圆心和半径，再去求对称点坐标，可得到圆的标准方程．解答：解：圆x2+y2﹣2x﹣1=0?（x﹣1）2+y2=2，圆心（1，0），半径，关于直线2x﹣y+3=0对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线2x﹣y+3=0上，C中圆（x+3）2+（y﹣2）2=2的圆心为（﹣3，2），验证适合，故选C点评：本题是选择题，采用计算、排除、验证相结合的方法解答，起到事半功倍的效果．16．（理）若圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0关于直线ax+2by﹣4=0对称，则ab的最大值是（）A． 1 B．C． 2 D． 4考点：关于点、直线对称的圆的方程；基本不等式．811365专题：计算题．分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线ax+2by﹣4=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由b表示出a，将表示出的b代入ab中，得到m关于b的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．解答：解：圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0 即（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，表示以C（2，1）为圆心，以3为半径的圆．再由此圆关于直线ax+2by﹣4=0对称，可得直线过圆心，即2a+2b﹣4=0，即a+b=2．故a=2﹣b，则ab=（2﹣b）b，故函数ab 是关于b的二次函数，故当b=1时，函数ab 取得最大值等于1．故选A．点评：本题主要考查直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质，根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键，属于中档题．二．填空题（共7小题）17．（2010宁夏）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．811365专题：压轴题．分析：设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．解答：解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．点评：命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．18．（2010天津）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．则圆C的方程为（x+1）2+y2=2．考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解，欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆与直线相切建立等量关系，解之即可．解答：解：令y=0得x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0，与x轴的交点为（﹣1，0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为（x+1）2+y2=2；故答案为（x+1）2+y2=2点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题．19．（2013江门二模）已知圆C经过点A（0，3）和B（3，2），且圆心C在直线y=x上，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．811365专题：直线与圆．分析：设圆心坐标为C（a，a），则由题意可得半径r= = ，解得a的值，即可求得圆C 的方程．解答：解：设圆心坐标为C（a，a），则由题意可得半径r= = ，解得a=1，故圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，故答案为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程，属于中档题．20．（2012许昌县一模）圆心在直线x+2y﹣3=0上且与直线x﹣y﹣1=0切于点B（2，3）的圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．考点：圆的标准方程；点到直线的距离公式．811365专题：计算题；直线与圆．分析：设出圆心坐标，列方程组解之．其中由圆心在直线x+2y﹣3=0上得出一个方程；再由圆心到直线x+y﹣1=0的距离即半径得出另一个方程．解答：解：设圆心坐标为（a，b），则，解得a=3，b=0，所以r= ，所以要求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．点评：本题主要考查方程思想及点到线的距离公式，圆的方程的求法，考查计算能力．21．设，，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是[2，4]．考点：圆的标准方程；交集及其运算．811365专题：直线与圆．分析：根据A∩B≠?，可得当圆B和圆A从内切到外切时，a有最大值、最小值，由此可得结论．解答：解：由题意，A为以原点O为圆心，a为半径，在x轴上方的半圆，B为以O′（2，）为圆心，以1半径的圆．∵A∩B≠?，∴当圆B和圆A从内切到外切时，a有最大值、最小值当A、B内切时，即|OO'|=a﹣1=3，∴a=4当A、B外切时，即|OO'|=a+1=3，∴a=2所以2≤a≤4故答案为：[2，4]．点评：本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．22．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．考点：圆的标准方程；二元一次不等式（组）与平面区域．811365专题：数形结合；转化思想．分析：根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．解答：解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．点评：本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．23．设a＞0，b＞0，4a+b=ab，则在以（a，b）为圆心，a+b为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣6）2=81．考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：要求面积最小的圆的即要半径最小，就要a+b最小，求出a+b的最小值即可得到圆的半径及a、b的值，写出圆的标准方程即可．解答：解：因为4a+b=ab，当a＞1时得：b= ，所以a+b=a+ =a﹣1+ +5≥4+5=9，当且仅当a﹣1= 即a=3时取等号，所以半径最小值为9，此时a=3，b=6，所以面积最小的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣6）2=81．故答案为（x﹣3）2+（y﹣6）2=81．点评：考查学生会利用基本不等式求最小值的能力，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．三．解答题（共7小题）24．（2007嘉定区一模）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．考点：圆的标准方程；等比数列的性质；圆方程的综合应用．811365专题：计算题；压轴题．分析：首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．解答：解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．得圆O的方程为x2+y2=4．（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，即x2﹣y2=2. =x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．由于点P在圆O内，故由此得y2＜1．所以的取值范围为[﹣2，0）．点评：此题主要考查圆的标准方程的求法，以及圆与直线交点问题，属于综合性试题，有一定的计算量，难易中等．25．（2012北京模拟）如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交y轴正半轴于点A，l2交x轴正半轴于点C．（1）若A（0，1），求点C的坐标；（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．考点：圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆的位置关系．811365专题：综合题；直线与圆．分析：（1）先求l1的方程，进而可求l2的方程，即可得到点C的坐标；（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径，分类讨论，确定A、C的坐标，表示出AC，即可求得结论．解答：解：（1）由直线l1经过两点A（0，1），B（1，2），得l1的方程为x﹣y+1=0．由直线l2⊥l1，且直线l2经过点B，得l2的方程为x+y﹣3=0．所以，点C的坐标为（3，0）．（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径．①若l1⊥y轴，则l2∥y轴，此时四边形OABC为矩形，．②若l1与y轴不垂直，则两条直线斜率都存在．不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为．所以直线l1的方程为y﹣2=k（x﹣1），从而A（0，2﹣k）；直线l2的方程为，从而C（2k+1，0）．令解得，注意到k≠0，所以．此时|AC|2=（2﹣k）2+（2k+1）2=5k2+5＞5，，所以半径的最小值为．此时圆的方程为．点评：本题考查确定直线位置的几何要素，直线的倾斜角和斜率，过两点的直线斜率的计算公式，直线方程的点斜式，两条直线平行或垂直的判定，圆的标准方程，属于中档题．26．已知圆心在直线y=2x上的圆C经过点M（﹣1，1），且该圆被x轴截得的弦长为2．（1）求圆C的方程；（2）是否存在过圆心C的两条互相垂直的直线，使得点M到这两条直线的距离之积为，若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．811365专题：直线与圆．分析：（1）由圆心在直线y=2x上，设圆心坐标为（a，2a），半径为r，表示出圆的方程，将M坐标代入得到关于a与r的关系式，再有弦长为2，利用垂径定理及勾股定理列出关系式，联立求出a与r的值，即可确定出圆C的方程；（2）由（1）得到圆C的圆心坐标与半径，假设存在互相垂直的两条直线满足条件，当一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0时，经检验不合题意；故两直线斜率都存在，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，设一个斜率为k，另一个为﹣，由C坐标表示出直线方程，利用点到直线的距离公式求出M到两直线的距离，根据距离之积列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出满足条件的直线方程．解答：解：（1）∵圆心在直线y=2x上，∴设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2，…①又∵圆C经过点（﹣1，1），∴（﹣1﹣a）2+（1﹣2a）2=r2，…②又∵圆C被x轴截得的弦长为2，∴1+（2a）2=r2，…③由①②③解得a=1，r2=5，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；（2）由（1）知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，圆心C（1，2），假设存在互相垂直的两条直线满足条件，当一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0时，点（﹣1，1）到两条垂直直线的距离之积为2≠，不符合题意；当它们的斜率均存在时，分别设为y﹣2=k（x﹣1），y﹣2=﹣（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，x+ky﹣2k﹣1=0，∴o = ，即= ，当= 时，即k2+6k﹣7=0，解得：k=1或k=﹣7；当=﹣时，即7k2+6k﹣1=0，解得：k=﹣1或k= ，则存在互相垂直的两条直线方程分别为x﹣y+1=0，x+y﹣3=0或x﹣7y+13=0，7x+y﹣9=0．点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．27．设直线l1：y=kx，l2：y=﹣kx，圆P是圆心在x轴的正半轴上，半径为3的圆．（Ⅰ）当k= 时，圆P恰与两直线l1、l2相切，试求圆P的方程；（Ⅱ）设直线l1与圆P交于A、B，l2与圆P交于C、D．（1）当k= 时，求四边形ABDC的面积；（2）当k∈（0，）时，求证四边形ABDC的对角线交点位置与k的取值无关．考点：圆的标准方程；直线与圆相交的性质．811365专题：综合题．分析：直线l1：y=kx，l2：y=﹣kx 关于x轴对称．（Ⅰ）设圆心P（a，0），a＞0．利用切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，列方程求a．（Ⅱ）设A（x1，y1）B（x2，y2），（1）等腰梯形ABDC的面积= （AC+BD）×h，AC，BD，h用x1，y1，x2，y2，表示．代入求解．（2）根据图形的对称性，四边形ABDC的对角线交点在x轴上．能证明此点是定点即可．解答：解：直线l1：y=kx，l2：y=﹣kx 关于x轴对称（Ⅰ）设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=9，利用切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，∴=3，解得a=5∴圆的标准方程为（x﹣5）2+y2=9（Ⅱ）（1）设A （x1，y1）B（x2，y2），则C（x1，﹣y1）D（x2，﹣y2），直线l1：y= x 与圆P方程联立，消去x得5y2﹣20y+16=0，得A（，），B（，）．等腰梯形ABDC的面积= （AC+BD）×h= （2y1+2y2）（x2﹣x1）= ×8×= ．（2）当k∈（0，）时，y=kx与圆P方程联立，并整理得：（1+k2）x2﹣10x+16=0，△=﹣64k2+36＞0．x1= ，x2=y1= ，y2= ，AC的斜率为k= = ．AC的方程为y﹣y1=k（x﹣x1），将x1，y1，k代入并化简整理得：y= ．与x 轴交与定点（，0）与k的值无关．点评：本题考查直线与圆的位置关系：相切，相交．联立方程组是最基本的解题方法，考查圆心到直线的距离公式，考查题目的理解能力计算能力．28．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．811365专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设出圆的一般式方程，利用曲线y=x2﹣6x+1与方程的对应关系，根据同一性求出参数，即可得到圆C的方程；（II）设斜率为1的直线方程为x﹣y+a=0，圆C与直线x﹣y+a=0的交点于A（x1，y1）、B （x2，y2）．将直线与圆C方程消去y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理结合OA⊥OB建立关于x1、x2、a的方程组，解出a=﹣1即可得到存在斜率为1的直线满足题中的条件．解答：解：（I）设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．在曲线y=x2﹣6x+1中令x=0，得y=1，则点（0，1）在圆C上，可得1+E+F=0（*）再令y=0，可得方程x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，得D=﹣6，F=1，代入（*）解出E=﹣2，∴圆C方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=9（Ⅱ）设斜率为1的直线方程为x﹣y+a=0设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组由消去y，得方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，∴△=56﹣16a﹣4a2＞0．利用根与系数的关系，得到x1+x2=4﹣a，x1x2= （a2﹣2a+1）①，若OA⊥OB，则可得x1x2+y1y2=0，结合y1=x1+a，y2=x2+a，代入可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②联解可得a=﹣1，此时△=56﹣16a﹣4a268＞0．∴a=﹣1，得存在斜率为1的直线x﹣y﹣1=0，使其与圆C交于A、B两点满足OA⊥OB．点评：本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法和函数方程思想，以及直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查解析几何中垂直问题的一般解题思路，属于中档题．29．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点B（0，），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．（1）求直线BC的斜率及点C的坐标；（2）求BC边所在直线方程；（3）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程．考点：圆的标准方程；直线的斜率；直线的一般式方程．811365专题：计算题；直线与圆．分析：（1）由经过两点的斜率公式，可算出直线Ab的斜率，从而得出与AB垂直的直线BC的斜率为．由两点间距离公式算出AB= ，进而在Rt△ABC利用相似三角形算出且OC=4，由此可得点C的坐标；（2）根据B、C两点的坐标，运用直线方程的点斜式列式，再化简即可得到直线BC方程为y= x﹣2 ；（3）根据A、C两点的坐标算出AC中点M坐标为（1，0），而圆M的半径R= |AC|=3，利用圆方程的标准形式即可写出圆M的方程为（x﹣1）2+y2=9．解答：解：（1）∵A（﹣2，0），B（0，），∴直线Ab的斜率为，又∵AB⊥BC，∴（3分）由两点间距离公式，得，∵△OAB∽△OBC，得，∴，可得，∴Rt△OBC中，BC2=AC×OC，。
高中数学必修二第四章 章末复习题圆的相关试题(含答案)
章末复习一、知识导图二、要点归纳1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).2.点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外.(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内.(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上.3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r⇒相离；d＝r⇒相切；d<r⇒相交.4.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|关系(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一圆的方程例1一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，求该圆的方程.考点题点解∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，可得圆心与点M(3，－3)的连线与直线x＋3y＝0垂直，其斜率为 3.设圆C的圆心为(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋3a －3＝3，(a －1)2＋b 2＝1＋|a ＋3b |2.解得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，∴圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.反思感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤：第一步：选择圆的方程的某一形式.第二步：由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组).第三步：解出a ，b ，r (或D ，E ，F ).第四步：代入圆的方程.注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.跟踪训练1 (1)如图所示，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为____________________.答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2解析 取AB 的中点D ，连接CD ，AC ，则CD ⊥AB .由题意知，|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，所以圆心C (1，2)，故圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)求半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，被直线x －y ＝0截得的弦长为42的圆的方程. 解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心坐标为(a ，b )，半径r ＝10，圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2， 由半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形得，d 2＋⎝⎛⎭⎫4222＝r 2， 即(a －b )22＋8＝10， ∴(a －b )2＝4，又∵b ＝2a ，∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离考点题点答案 B解析 由垂径定理得⎝⎛⎭⎫a 22＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4， ∴圆M ：x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆M 与圆N 的圆心距d ＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵2－1<2<2＋1，∴两圆相交.(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.考点题点答案 4解析 联立⎩⎨⎧ x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，消去x 得y 2－33y ＋6＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2 3. 不妨设A (－3，3)，B (0,23)，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x ＋y ＋23＝0，令y ＝0得x C ＝－2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D ＝2，∴|CD |＝4.反思感悟 直线与圆、圆与圆的主要题型为：①位置关系的判断，②弦长问题，③求圆的方程.解决问题的方法主要有两种，一种代数法，一种几何法.跟踪训练2 (1)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A.1B.2C. 2D.2 2考点题点答案 C(2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.考点题点答案 4π解析 x 2＋y 2－2ay －2＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，则圆心为C (0，a ).又|AB |＝23，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为|0－a ＋2a |2， 所以⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2， 得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.题型三 对称问题例3 从点B (－2,1)发出的光线经x 轴上的点A 反射，反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2＝12相切，求点A 的坐标.考点题点解 点B (－2,1)关于x 轴对称的点为B ′(－2，－1)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设反射光线所在的直线方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.由题意，得|0－0＋2k －1|k 2＋1＝12， 化简得7k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝1或k ＝17， 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或x －7y －5＝0.令y ＝0，则x ＝－1或x ＝5.所以A 点的坐标为(－1,0)或(5,0).反思感悟 (1)对称的两种类型即轴对称与中心对称.(2)准确把握对称的几何性质.(3)圆的对称图形关键是圆心的对称，其半径不变.跟踪训练3 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________________________________________________________________________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.题型四 圆中的最值问题例4 圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－2＝0的公共弦长的最大值为( )A.2 2B.2C. 2D.1考点 与圆有关的最值问题题点 与圆的几何性质有关的最值答案 B解析 由题意得，两圆的标准方程分别为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1和(x ＋b )2＋(y ＋b )2＝2，两圆的圆心坐标分别为(－a ，－a )，(－b ，－b )，半径分别为1，2，则当公共弦为圆(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1的直径时，公共弦长最大，最大值为2.反思感悟 与圆有关的最值问题包括(1)求圆O 上一点到圆外一点P 的最大距离、最小距离：d max ＝|OP |＋r ，d min ＝||OP |－r |.(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m ，则d max ＝m ＋r ，d min＝|m －r |.(3)已知点的运动轨迹是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，求①y x ；②y －m x －n；③x 2＋y 2等式子的最值，一般是运用几何法求解.跟踪训练4 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值为________. 考点 与圆有关的最值问题题点 与面积有关的最值答案 2 2解析 圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心为C (1,1)，半径为1，由题意知，当圆心C 到点P 的距离最小时(即为圆心到直线的距离)，四边形的面积最小，又圆心到直线的距离d ＝|3＋4＋8|32＋42＝3， ∴|P A |＝|PB |＝d 2－r 2＝22，∴S 四边形P ACB ＝2×12|P A |r ＝2 2.1.以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A.(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B.(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C.(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D.(x ＋3)2＋(y －4)2＝9考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的标准方程答案 B2.已知圆C 与直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2题点 求圆的标准方程答案 B3.两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线的条数为( )A.4B.3C.2D.1考点 圆与圆的位置关系题点 两圆的位置关系与其公切线答案 C解析 两圆的标准方程分别为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121；(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为C 1(3，－8)，r 1＝11；C 2(－2,4)，r 2＝8.圆心距为|C 1C 2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13.∵r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2，∴两圆相交，则公切线共2条.4.经过两个定点A (a,0)，A 1(a ，a )，且圆心在直线y ＝13x 上的圆的方程为________________________.答案 ⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22 解析 圆过点A (a,0)，A 1(a ，a )，则圆心在直线y ＝a 2上. 又圆心在直线y ＝13x 上， 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32a ，a 2，则半径r ＝⎝⎛⎭⎫a －32a 2＋⎝⎛⎭⎫－a 22＝22|a |， 故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22. 5.已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2105时，求实数m 的值. 考点 直线和圆的位置关系解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)，r ＝2. 因为直线x －my ＋3＝0与圆相切， 所以|3＋3|1＋(－m )2＝2， 解得m ＝±2 2.(2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝|3＋3|1＋(－m )2.由24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3＋3|1＋(－m )22＝2105， 得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9.故m ＝±3.。
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知圆与直线相交于两点则当的面积最大时此时实数的值为【答案】【解析】因为的面积等于,所以当时的面积最大，此时圆心到直线的距离为，因此【考点】直线与圆位置关系2.已知圆C的圆心在曲线y＝上，圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是()A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】设圆心C的坐标是(t，)．∵圆C过坐标原点，∴|OC|2＝t2＋，设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋.令x＝0，得y1＝0，y2＝，故B点的坐标为(0，)．令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，故A点的坐标为(2t,0)，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为4.故选C.3.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝1【答案】D【解析】圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，选D4.已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意直线与x轴的交点为,因为圆与直线相切,所以半径为圆心到切线的距离,即,则圆的方程为,故选A 【考点】切线圆的方程5.求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．【答案】(x－2－2)2＋(y＋4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝42【解析】由题意，设所求圆的方程为圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.圆C与直线y＝0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，－4)．又已知圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3.若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.①当C1(a，4)时，有(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a＝2±2.∴所求圆方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝42.②当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2.∴所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝42.6.以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是_________．【答案】(x－1)2＋(y－2)2＝25【解析】设P(x，y)是所求圆上任意一点．∵A、B是直径的端点，∴·＝0.又＝(－3－x，－1－y)，＝(5－x，5－y)．由·＝0 (－3－x)·(5－x)＋(－1－y)(5－y)＝0 x2－2x＋y2－4y－20＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝25.7.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．【答案】(－1，1)【解析】∵点(1，1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.8.如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得PM＝PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．【答案】(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．【解析】以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)．由已知PM＝PN，得PM2＝2PN2.因为两圆的半径均为1，所以－1＝2(－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33,所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．9.已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA′、PB′是圆M的两条切线，A′、B′为切点，求四边形PA′MB′面积的最小值．【答案】（1）(x－1)2＋(y－1)2＝4.（2）2【解析】(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据题意得解得a ＝b ＝1，r ＝2.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题知，四边形PA′MB′的面积为S ＝S △PA′M ＋S △PB′M ＝|A′M||PA′|＋|B′M||PB′|.又|A′M|＝|B′M|＝2，|PA′|＝|PB′|，所以S ＝2|PA′|，而|PA′|＝＝，即S ＝2.因此要求S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM|的值最小，所以|PM|min ＝＝3，所以四边形PA′MB′面积的最小值为S ＝2＝2＝210. 已知M(-2,0),N(2,0),则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为( )A ．x 2+y 2=2B ．x 2+y 2=4C ．x 2+y 2=2(x≠±2)D ．x 2+y 2=4(x≠±2)【答案】D【解析】设P(x,y),则|PM|2+|PN|2=|MN|2, 所以x 2+y 2=4(x≠±2).【误区警示】本题易误选B.错误的根本原因是忽视了曲线与方程的关系,从而导致漏掉了x≠±2.11. 设定点M(-3,4),动点N 在圆x 2+y 2=4上运动,以OM,ON 为邻边作平行四边形MONP,则点P 的轨迹方程为 .【答案】(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-,)和(-,)【解析】设P(x,y),圆上的动点N(x 0,y 0),则线段OP 的中点坐标为(,),线段MN 的中点坐标为(,),又因为平行四边形的对角线互相平分,所以有可得又因为N(x 0,y 0)在圆上,所以N 点坐标应满足圆的方程.即有(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-,)和(-,).12. 若原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部,则实数m 的取值范围是( ) A ．-2<m<2 B ．0<m<2 C ．-2<m<2 D ．0<m<2【答案】C【解析】由已知得m 2+m 2<8,即m 2<4,解得-2<m<2.13. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】圆的圆心坐标为，此点关于直线的对称点的坐标为，由于两圆关于直线对称，它们的圆心关于直线对称，大小相等，因此所求的对称圆的圆心坐标为，其半径长为，即为，故选A. 【考点】1.两点关于直线对称；2.圆的标准方程14.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是________．【答案】20【解析】配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为C(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2 ＝4，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝AC×BD＝20 .15.已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为()．A．(x－1)2＋y2＝B．x2＋(y－1)2＝C．(x－1)2＋y2＝1D．x2＋(y－1)2＝1【答案】C【解析】因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以a＝1，b＝0.又根据＝1＝r，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.16.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，当动点M在底面ABCD内运动时，总有D1A＝D1M，则动点M在面ABCD内的轨迹是________上的一段弧．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】A【解析】因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时，动点的轨迹是以D1D为轴线，以D1A为母线的圆锥，所以动点M在面ABCD内的轨迹是圆的一部分．17.已知圆：，则下列命题：①圆上的点到的最短距离的最小值为；②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；③已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为A．B．C．D．【答案】D【解析】已知动圆的圆心的轨迹方程为：，所以动圆构成的轨迹为夹在抛物线和抛物线之间的部分（包括边界），所以①②③都满足题意【考点】圆的方程的性质、点、直线与圆的位置关系及其判断.18.已知圆与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，又切线斜率为1，故切线方程为，即.【考点】1、圆的标准方程；2、圆的切线的性质；3、直线的方程.19.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是_______。
高中数学组卷园的标准方程
高中数学组卷园的标准方程一．选择题（共10小题）1．圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．22．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=103．已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与y轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆的标准方程为（）A．x2+（y﹣1）2=8 B．x2+（y+1）2=8 C．（x﹣1）2+（y+1）2=8 D．（x+1）2+（y﹣1）2=84．经过原点并且与直线x+y﹣2=0相切于点（2，0）的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y﹣1）2=2 C．（x﹣1）2+（y+1）2=4 D．（x+1）2+（y﹣1）2=45．点P（2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定6．圆x2+y2﹣2x=0的圆心坐标和半径分别为（）A．（1，0），1 B．（0，1），1 C．（﹣1，0），1 D．（1，0），27．圆C：x2+y2﹣x+2y=0关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（）A．x2+y2+4x﹣y+4=0 B．x2+y2+2x﹣3y+4=0C．x2+y2+4x﹣3y+4=0 D．x2+y2+4x﹣3y+5=08．圆x2+y2﹣2x+2y=0的周长是（）A．B．2πC．D．4π9．已知圆：C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣2）2=1 B．（x+2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣2）2=1 D．（x﹣2）2+（y+2）2=110．圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心和半径分别为（）A．（﹣2，3），4 B．（﹣2，3），16 C．（2，﹣3），4 D．（4，﹣6），16二．填空题（共9小题）11．过三点0（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程为．12．动圆x2+y2+2nx﹣6y+6n=0恒过定点，写出这个定点的坐标．13．圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别．14．若经过点P（﹣3，0）的直线l与圆M：x2+y2+4x﹣2y+3=0相切，则圆M的圆心坐标是；半径为；切线在y轴上的截距是．15．已知圆的﹣条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．则此圆方程是．16．圆x2+y2+2x=0关于y轴对称的圆的一般方程是．17．圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标．18．已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0．x2+y2的最小值为．19．圆x2+y2﹣4x+6y=0的半径r=．三．解答题（共9小题）20．求过点A（1，﹣1），B（﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程．21．已知圆C经过A（1，﹣1），B（5，3），并且被直线m：3x﹣y=0平分圆的面积．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若过点D（0，﹣1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的公共点，求实数k的取值范围．22．已知△ABC的顶点A（3，2），B（1，0），C（﹣1，4），求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）AC边上的中线所在直线的方程；（3）△ABC外接圆方程．23．若圆C的圆心坐标为（2，﹣3），且圆C经过点M（5，﹣7），求其标准方程并判断点P（2，4）与圆的关系．24．已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，求m的值．25．若圆经过点（2，0），（0，4），（0，2）求：（1）圆的方程（2）圆的圆心和半径．26．求圆心在直线2x﹣y﹣3=0上，且过点A（5，2）和点B（3，﹣2）的圆的方程．27．求圆关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程．28．求圆C：x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线x﹣y+1=0的对称圆C′的方程．高中数学组卷园的标准方程参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•北京）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．2【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d==．故选：C．2．（2016•长沙模拟）已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．3．（2016•河池校级一模）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与y轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆的标准方程为（）A．x2+（y﹣1）2=8 B．x2+（y+1）2=8 C．（x﹣1）2+（y+1）2=8 D．（x+1）2+（y﹣1）2=8【解答】解：对于直线x﹣y+1=0，令x=0，解得y=1．∴圆心C（0，1），设圆的半径为r，∵圆C与直线x+y+3=0相切，∴r==2，∴圆的标准方程为x2+（y﹣1）2=8．故选：A．4．（2016•许昌三模）经过原点并且与直线x+y﹣2=0相切于点（2，0）的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y﹣1）2=2 C．（x﹣1）2+（y+1）2=4 D．（x+1）2+（y﹣1）2=4【解答】解：设圆心的坐标为（a，b），则a2+b2=r2①，（a﹣2）2+b2=r2②，=1③；由①②③组成方程组，解得a=1，b=﹣1，r2=2；故所求圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+1）2=2．故选：A．5．（2016春•延边州校级月考）点P（2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定【解答】解：圆x2+y2=24的圆心O（0，0），半径r=2，∵点P（2，5）与圆心O（0，0）的距离：|OP|==，∴点P在圆外．故选：A．6．（2016•福建模拟）圆x2+y2﹣2x=0的圆心坐标和半径分别为（）A．（1，0），1 B．（0，1），1 C．（﹣1，0），1 D．（1，0），2【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0 即（x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆，故选：A．7．（2016春•天门期末）圆C：x2+y2﹣x+2y=0关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（）A．x2+y2+4x﹣y+4=0 B．x2+y2+2x﹣3y+4=0C．x2+y2+4x﹣3y+4=0 D．x2+y2+4x﹣3y+5=0【解答】解：圆C：x2+y2﹣x+2y=0，即圆C：（x﹣）2+（y+1）2 =，它的圆心为（，﹣1），半径为，设圆心（，﹣1）关于直线x﹣y+1=0对称点为M（x，y），则由，求得，可得M（﹣2，），故圆C 关于直线x﹣y+1=0对称的圆M的方程为：（x+2）2+（y﹣）2 =，即x2+y2+4x﹣3y+5=0，故选：D．8．（2015秋•西藏校级期末）圆x2+y2﹣2x+2y=0的周长是（）A．B．2πC．D．4π【解答】解：x2+y2﹣2x+2y=0即（x﹣1）2+（y+1）2=2所以圆的半径为，故周长为故选A9．（2014秋•天津期末）已知圆：C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣2）2=1 B．（x+2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣2）2=1 D．（x﹣2）2+（y+2）2=1【解答】解：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线x﹣y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1上，∴有（y+1+1）2+（x﹣1﹣1）2=1，即（x﹣2）2+（y+2）2=1，∴答案为（x﹣2）2+（y+2）2=1．故选：D．10．（2016春•钦州期末）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心和半径分别为（）A．（﹣2，3），4 B．（﹣2，3），16 C．（2，﹣3），4 D．（4，﹣6），16【解答】解：将圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的方程化成标准形式，得（x+2）2+（y﹣3）2=16，∴圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心为C（﹣2，3），半径r=4，故选：A．二．填空题（共9小题）11．（2016•包头二模）过三点0（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程为x2+y2﹣8x+6y=0．【解答】解：设过三点0（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则由求得，故要求的圆的方程为x2+y2﹣8x+6y=0，故答案为：x2+y2﹣8x+6y=0．12．（2016春•江苏校级月考）动圆x2+y2+2nx﹣6y+6n=0恒过定点，写出这个定点的坐标（﹣3，3）．【解答】解：x2+y2+2nx﹣6y+6n=0，∴x2+y2﹣6y=（2x+6）n，∴，解得x=﹣3，y=3，∴定点的坐标是（﹣3，3）．故答案为（﹣3，3）．13．（2016春•松原月考）圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别（2，0），2．【解答】解：把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，所以圆心坐标为（2，0），半径为2，故答案为：（2，0），2．14．（2015•东阳市模拟）若经过点P（﹣3，0）的直线l与圆M：x2+y2+4x﹣2y+3=0相切，则圆M的圆心坐标是（﹣2，1）；半径为；切线在y轴上的截距是﹣3．【解答】解：圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=2，则圆心坐标为（﹣2，1），半径R=，设切线斜率为k，过P的切线方程为y=k（x+3），即kx﹣y+3k=0，则圆心到直线的距离d===，平方得k2+2k+1=（k+1）2=0，解得k=﹣1，此时切线方程为y=﹣x﹣3，即在y轴上的截距为﹣3，故答案为：15．（2015秋•红桥区期末）已知圆的﹣条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．则此圆方程是（x﹣2）2+（y+1）2=1．【解答】解：∵圆的﹣条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．∴圆心坐标为（，），即（2，﹣1），则半径r=1，则圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=1，故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=116．（2015春•玉溪校级期末）圆x2+y2+2x=0关于y轴对称的圆的一般方程是x2+y2﹣2x=0．【解答】解：圆x2+y2+2x=0，即（x+1）2+y2 =1，由于圆心（﹣1，0）关于于y轴对称的点为（1，0），故圆x2+y2+2x=0关于y轴对称的圆的方程为（x﹣1）2+y2 =1，即x2+y2﹣2x=0，故答案为：x2+y2﹣2x=0．17．（2015秋•南京期中）圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标（2，﹣3）．【解答】解：将圆x2+y2﹣4x+6y=0化成标准方程，得（x﹣2）2+（y+3）2=13∴圆表示以C（2，﹣3）为圆心，半径r=的圆故答案为：（2，﹣3）18．（2015秋•慈溪市期中）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0．x2+y2的最小值为．【解答】解：x2+y2﹣4x+1=0等价为（x﹣2）2+y2=3，则圆心C（2，0），半径R=，x2+y2的几何意义为圆上的点到原点距离的平方．原点到圆心的距离d=2，则圆上点到圆的最小值为|R﹣d|=2﹣，则x2+y2的最小值为．故答案为：．19．（2015春•绵阳校级月考）圆x2+y2﹣4x+6y=0的半径r=．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+6y=0可化为（x﹣2）2+（y+3）2=13，∴圆x2+y2﹣4x+6y=0的半径r=．故答案为：．三．解答题（共9小题）20．（2016春•资阳期末）求过点A（1，﹣1），B（﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，根据已知条件可得（1﹣a）2+（﹣1﹣b）2=r2，①（﹣1﹣a）2+（1﹣b）2=r2，②a+b﹣2=0，③联立①，②，③，解得a=1，b=1，r=2．所以所求圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．21．（2016春•龙海市期末）已知圆C经过A（1，﹣1），B（5，3），并且被直线m：3x﹣y=0平分圆的面积．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若过点D（0，﹣1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的公共点，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）线段AB的中点E（3，1），故线段AB中垂线的方程为y﹣1=﹣（x﹣3），即x+y﹣4=0（2分）由圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上又直线3x﹣y=0平分圆的面积，所以直线m经过圆心由解得即圆心的坐标为C（1，3），（4分）而圆的半径r=|AC|=故圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=16（6分）（Ⅱ）由直线l的斜率为k，故可设其方程为y=kx﹣1（18分）由消去y得（1+k2）x2﹣（8k+2）x+1=0由已知直线l与圆C有两个不同的公共点故△=（8k+2）2﹣4（1+k2）＞0，即15k2+8k＞0解得：或k＞0（12分）22．（2016春•建湖县校级期中）已知△ABC的顶点A（3，2），B（1，0），C（﹣1，4），求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）AC边上的中线所在直线的方程；（3）△ABC外接圆方程．【解答】解：（1）k AB==1，∴AB边上的高的斜率为﹣1，∴AB边上的高所在直线的方程为y﹣4=﹣（x+1），即x+y﹣3=0；（2）AC的中点坐标为（1，3），∴AC边上的中线所在直线的方程为x=1；（3）△ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．则∴D=﹣，E=﹣，F=，∴△ABC外接圆方程为x2+y2﹣x﹣y+=0．23．（2013秋•库尔勒市校级期中）若圆C的圆心坐标为（2，﹣3），且圆C经过点M（5，﹣7），求其标准方程并判断点P（2，4）与圆的关系．【解答】解：依题意可设所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=r2．∵点M（5，﹣7）在圆上，∴r2=（5﹣2）2+（﹣7+3）2=25∴圆的标准方程是（x﹣2）2+（y+3）2=52．点P（2，4）代入圆的方程可得：（2﹣2）2+（4+3）2=49＞25．所以点在圆外．24．（2016春•庄河市期末）已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，求m的值．【解答】解：（1）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，∴D2+E2﹣4F＞0，即4+16﹣4m＞0解得m＜5，∴实数m的取值范围是（﹣∞，5）．（6分）（2）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，∴（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心（1，2）到直线x+2y﹣4=0的距离d==，（8分）∵圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，∴，解得m=4．（14分）25．（2016春•延安校级期中）若圆经过点（2，0），（0，4），（0，2）求：（1）圆的方程（2）圆的圆心和半径．【解答】解：（1）设圆的一般式为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将已知三点代入方程得：，解得；所以圆的方程为x2+y2﹣6x﹣6y+8=0；…（5分）（2）因为圆的方程为x2+y2﹣6x﹣6y+8=0，所以﹣=3，﹣=3，即圆心坐标为（3，3）；所以圆的半径为：r===．…（10分）26．（2016春•曲阜市校级月考）求圆心在直线2x﹣y﹣3=0上，且过点A（5，2）和点B（3，﹣2）的圆的方程．【解答】解：∵圆心在直线2x﹣y﹣3=0上，∴可设圆心C（a，2a﹣3），半径为r，则圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a+3）2=r2，把点A（5，2）和点B（3，﹣2）的坐标代入方程，得（5﹣a）2+（2﹣2a+3）2=r2 ①，（3﹣a）2+（﹣2﹣2a+3）2=r2②，由①②可得a=2，r2=10故所求的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=10．27．（2016春•临沂校级月考）求圆关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程．【解答】解：设圆的圆心（，﹣1）关于直线x﹣y+1=0对称的点的坐标为（m，n），由，求得，可得对称圆的圆心为（﹣2，），故对称圆的方程为（x+2）2+=．28．（2014秋•武侯区校级期中）求圆C：x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线x﹣y+1=0的对称圆C′的方程．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣1=0的方程可化为：（x﹣1）2+y2=2设圆心（1，0）关于直线x﹣y+1=0的对称点为（m，n）则解得：∴对称点为（﹣1，2）所以圆C：x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线x﹣y+1=0的对称圆C′的方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=2．。
【高中数学】新人教A版高二2.4.1 圆的标准方程(练习题)
新人教A版高二2.4.1 圆的标准方程(2016)1.方程|x−1|=√1−(y−1)2表示的曲线是（）A.一个圆B.两个半圆C.两个圆D.半圆2.已知直线l过圆x2＋(y−3)2=4的圆心，且与直线x＋y＋1=0垂直，则l的方程为（）A.x＋y−2=0B.x−y＋2=0C.x＋y−3=0D.x−y＋3=03.圆心为(3，1)，半径为5的圆的标准方程是（）A.(x+3)2+(y+1)2=5B.(x+3)2+(y+1)2=25C.(x−3)2+(y−1)2=5D.(x−3)2+(y−1)2=254.点(2a,a−1)在圆x2+(y−1)2=5的内部，则a的取值范围是（）A.−1<a<1B.0<a<1C.−1<a<15D.−15<a<15.已知圆C的一条直径的端点坐标分别是(4,1)和(−2,3)，则圆C的方程是（）A.(x+1)2+(y+2)2=10B.(x−1)2+(y−2)2=40C.(x−1)2+(y−2)2=10D.(x+1)2+(y+2)2=406.已知某圆的圆心为点A(2，−3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则该圆的标准方程为（）A.(x＋2)2＋(y−3)2=13B.(x−2)2＋(y＋3)2=13C.(x−2)2＋(y＋3)2=52D.(x＋2)2＋(y−3)2=527.已知直线(3+2λ)x+(3λ−2)y+5−λ=0恒过定点P，则与圆C：(x−2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（）A.(x−2)2+(y+3)2=36B.(x−2)2+(y+3)2=25C.(x−2)2+(y+3)2=18D.(x−2)2+(y+3)2=98.过点A(−1,3),B(3,−1)，且圆心在直线x−2y−1=0上的圆的标准方程为（）A.(x+1)2+(y+1)2=4B.(x+1)2+(y+1)2=16C.(x−1)2+y2=13D.(x−1)2+y2=59.以点(−2，3)为圆心且过坐标原点的圆的方程是.10.圆(x−3)2＋(y＋1)2=1关于直线x＋y−3=0对称的圆的标准方程是.11.若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为.12.以A(2,2)，B(5,3)，C(3,−1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程是.13.已知圆C的圆心在直线x−2y−3=0上，且过点A(2,−3)，B(−2,−5)，求圆C的标准方程.14.已知三点A(3，2)，B(5，−3)，C(−1，3)，以点P(2，−1)为圆心作一个圆，使A,B,C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.15.设P(x,y)是圆C：(x−2)2+y2=1上任意一点，则(x−5)2+(y+4)2的最大值为（）A.6B.25C.26D.3616.设A(x A,y A),B(x B,y B)为平面直角坐标系内的两点，其中x A,y A,x B,y B∈Z.令Δx=x B−x A,Δy=y B−y A，若|Δx|+|Δy|=3，且|Δx|·|Δy|≠0，则称点B为点A的“相关点”，记作B=τ(A).(1)求点(0,0)的“相关点”的个数.(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在，写出圆的方程；若不在，请说明理由.参考答案1.【答案】:A2.【答案】:D【解析】:圆x2＋(y−3)2=4的圆心坐标为(0,3). 因为直线l与直线x＋y＋1=0垂直，所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l的方程是y−3=x−0，化简得x−y＋3= 0.3.【答案】:D【解析】:∵所求圆的圆心为(3，1)，半径为5，∴所求圆的标准方程为(x−3)2+(y−1)2=25.故选D.4.【答案】:D【解析】:∵点(2a,a−1)在圆x2+(y−1)2=5的内部，<a<1.∴(2a)2+(a−1−1)2<5，整理得5a2−4a−1<0，解得−155.【答案】:C【解析】:圆C的一条直径的端点坐标分别是(4，1)和(−2，3)，故利用中点坐标√(4+2)2+(1−3)2=√10，故圆的方程为(x−1)2+公式得圆心为(1，2)，半径为12(y−2)2=10，故选C.6.【答案】:B【解析】:如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径r=√(2−0)2+(−3−0)2=√13.故所求圆的标准方程为(x−2)2＋(y＋3)2=13.7.【答案】:B【解析】:由(3+2λ)x+(3λ−2)y+5−λ=0，得到(2x+3y−1)λ+(3x−2y+5)=0，由{2x +3y −1=0，3x −2y +5=0，得{x =−1，y =1，即P(−1,1).∵圆C ：(x −2)2+(y +3)2=16的圆心坐标是(2,−3)，∴|PC|=√(−1−2)2+(1+3)2=5，∴所求圆的标准方程为(x −2)2+(y +3)2=25.故选 B.8.【答案】:B【解析】:过AB 的直线的方程为y =−x +2，AB 的中点为(1,1)， 所以AB 的垂直平分线为y =x ， 所以圆心坐标(x,y)满足{y =x,x −2y −1=0, 解得{x =−1,y =−1, 即圆心坐标为(−1,−1)， 半径r =√(−1+1)2+(−1−3)2=4， 所以圆的方程为(x +1)2+(y +1)2=16， 故选 B.9.【答案】:(x +2)2+(y −3)2=13【解析】:以点(−2，3)为圆心且过坐标原点的圆的半径r =√(0+2)2+(0−3)2=√13， 故圆的标准方程为(x +2)2+(y −3)2=13.10.【答案】:(x −4)2＋y 2=1【解析】:设圆心A(3，−1)关于直线x ＋y −3=0对称的点B 的坐标为(a ，b)， 则{b+1a−3·(−1)=−1,a+32+b−12−3=0,解得{a =4,b =0, 故所求圆的标准方程为(x −4)2＋y 2=1.11.【答案】:x 2+y 2=1【解析】:因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，所以点C 的坐标为(0，0).又圆C 的半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2+y 2=1.12.【答案】:(x −4)2+(y −1)2=5【解析】:设所求圆的标准方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2，则有 {(2−a)2+(2−b)2=r 2,(5−a)2+(3−b)2=r 2,(3−a)2+(−1−b)2=r 2, 解得{a =4，b =1,r 2=5,则ABC 的外接圆的标准方程为(x −4)2+(y −1)2=5.13.【答案】:由题知，线段AB 的中垂线所在直线与直线x −2y −3=0的交点即为圆C 的圆心.直线AB 的斜率k AB =−3+52−(−2)=12，∴线段AB 的中垂线所在直线的斜率为−2，又∵线段AB 的中点为(0,−4)，∴线段AB 的中垂线所在直线的方程为y +4=−2x ，即2x +y +4=0.由{x −2y −3=0,2x +y +4=0,得{x =−1,y =−2,∴圆C 的圆心坐标为(−1,−2)，圆C 的半径r =√(2+1)2+(−3+2)2=√10，∴圆C 的标准方程为(x +1)2+(y +2)2=10.14.【答案】:要使A ，B ，C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内， 则圆的半径是|PA|，|PB|，|PC|的中间值.因为|PA|=√10,|PB|=√13,|PC|=5，所以|PA|<|PB|<|PC|，所以圆的半径r =|PB|=√13.故所求圆的方程为(x −2)2+(y +1)2=13.15.【答案】:D【解析】:(x −5)2+(y +4)2的几何意义是点P(x,y)到点Q(5,−4)的距离的平方.因为点P 在圆(x −2)2+y 2=1上，所以所求最大值为(|QC|+1)2=36.16(1)【答案】因为|Δx|+|Δy|=3(Δx,Δy 为非零整数)，所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1，所以点(0,0)的“相关点”有8个.(2)【答案】设“相关点”的坐标为(x 1,y 1)，因为(Δx)2+(Δy)2=5，即(x 1−0)2+(y 1−0)2=5，所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,√5为半径的圆上，且圆的方程为x 2+y 2=5.。
高中数学选修必修2-圆的标准方程
A．－4<a<3 B．－5<a<4
C．－5<a<5 D．－6<a<4
1.已知P是圆 x2 y2 4 上的动点，
点A的坐标为(0,5)，求PA的取值范围
2．点M(0,1)与圆 x2 y 52 25 上的动
点N之间的距离的取值范围
3.已知实数 x0 , y0 满足 x0 12 y0 22 5
己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和 B(2,-2),且圆心在直线l :x-y+1=0上,求 圆心为C的圆的标准方程.
1．点 sin30,cos30 与圆 x2 y2 1
的位置关系是（ ）．
2
A．点在圆上 B．点在圆内
C．点在圆外 D．不能确定
2．已知点P(a，a＋1)在圆 x2 y2 25 内部，那么a的取值范围是( )
一、圆的标准方程(圆心A（a，b）及圆的半径r) 若圆心为O(0,0),半径为r，则圆的标 准方程为：
二、求圆的标准方程需确定的要素：
1.自主测评P78 自主练习 1，2，3，4．
2. △ABC的三个顶点的坐标分别A(5, 1), B(7, -3), C(2, -8), 求它的外接圆的方程．
求 x0 52 y0 42 的最小值.
1.已知P是圆 x2 y2 4 上的动点，
点A的坐标为(0,5)，求PA的中点M的轨 迹方程
2．点M(0,1)与圆 x2 y 52 25 上的动
点N的中点P的轨迹
己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和 B(2,-2),且圆心在直线l :x-y+1=0上,求 圆心为C的圆的标准方程.
已知圆的圆心A及圆的半径r,在直角坐标 系下，如何用坐标表示圆的方程？
P={M||MC|=r}
高中数学圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0=y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．例2求半径为4，与圆042422=---+y某y某相切，且和直线0=y相切的圆的方程．例3求经过点)5,0(A，且与直线02=-y某和02=+y某都相切的圆的方程．例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被某轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y某l：的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆422=+y某O：，求过点()42，P与圆O相切的切线．例6两圆0111221=++++FyE某Dy某C：与0222222=++++FyE某Dy某C：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．例7、过圆122=+y某外一点)3,2(M，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。
练习：1．求过点(3,1)M，且与圆22(1)4某y-+=相切的直线l的方程．2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y某y某相切的直线的方程为3、已知直线0125=++ay某与圆0222=+-y某某相切，则a的值为.类型三：弦长、弧问题例8、求直线063:=--y某l被圆042:22=--+y某y某C截得的弦AB 的长.例9、直线0323=-+y某截圆422=+y某得的劣弧所对的圆心角为例10、求两圆0222=-+-+y某y某和522=+y某的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线0323=-+y某和圆422=+y某，判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线m某y+=与曲线24某y-=有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.例13圆9)3()3(22=-+-y某上到直线01143=-+y某的距离为1的点有几个？练习1：直线1=+y某与圆)0(0222>=-+aayy某没有公共点，则a的取值范围是练习2：若直线2+=k某y与圆1)3()2(22=-+-y某有两个不同的交点，则k的取值范围是.3、圆034222=-+++y某y某上到直线01=++y某的距离为2的点共有（）．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个4、过点()43--，P作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆()()42122=++-y某C：有公共点，如图所示．类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例14、判断圆02662:221=--++y某y某C与圆0424:222=++-+y某y某C的位置关系，例15：圆0222=-+某y某和圆0422=++yy某的公切线共有条。
高中数学圆的方程典型例题(含答案)
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
高中数学-圆与方程试题含答案
高中数学-圆与方程试题含答案1.圆(x+2)^2+y=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。
(x-2)^2+y=5B。
x+(y-2)^2=5C。
(x+2)^2+(y+2)^2=5D。
x+(y+2)^2=52.若P(2,-1)为圆(x-1)^2+y=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=03.圆x+y-2x-2y+1=1的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1+2√2D。
1+24.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x^2+y^2+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A。
-3或7B。
-2或8C。
0或10D。
1或115.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。
1条B。
2条C。
3条D。
4条6.圆x+y-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（）A。
x+3y-2=0B。
x+3y-4=0C。
x-3y+4=0D。
x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x^2+y^2+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是 _________.2.由动点P向圆x^2+y^2=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为 _________.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)，则圆C的方程为 _________.4.已知圆(x-3)^2+y^2=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为 _________.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x^2+y^2-2x-2y+1=0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是 _________.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a^2+b^2-2a-2b+2的最小值。
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积【答案】（1）;（2）的方程为; 的面积为.【解析】（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，根据求曲线方程的方法可设，由向量的知识和几何关系：，运用向量数量积运算可得方程：;（2）由第（1）中所求可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，加之题中条件，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而，不难得出的方程为;结合面积公式可求又的面积为.试题解析：（1）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，设，则，，由题设知，故，即.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是.（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而.因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.又，O到的距离为，，所以的面积为.【考点】1.曲线方程的求法;2.圆的方程与几何性质;3.直线与圆的位置关系2.圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为 .【答案】【解析】因为圆心在直线上，所以，可设圆心为.因为圆与轴相切，所以，半径，又因为圆截轴所得弦长为所以，.解得，故所求圆的方程为.【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系.3.（2011•湖北）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．（1）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为_________；（2）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）2+2y2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是_________．【答案】（2，2）；（x﹣1）2+y2=1．【解析】（1）由题意知点P′在平面上的射影P距离x轴的距离不变是2，距离y轴的距离变成2cos45°=2，∴点P′在平面α内的射影P的坐标为（2，2）（2）设（x′﹣）2+2y2﹣2=0上的任意点为A（x0，y），A在平面α上的射影是（x，y）根据上一问的结果，得到x=x0，y=y，∵，∴∴（x﹣1）2+y2=1，故答案为：（2，2）；（x﹣1）2+y2=1．4.以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0B．x2+y2+x=0C．x2+y2﹣x=0D．x2+y2﹣2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，故选D．5.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝1【答案】D【解析】圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C2的圆心设为(a，b)，C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，∴解得圆C2的半径为1，∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，选D6.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．【答案】(－1，1)【解析】∵点(1，1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.7.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．【答案】（1）<1且b≠0.（2）x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0（3）C必过定点(－2，1)【解析】(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b ＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b，令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．证明：将(0，1)代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点(0，1)；同理可证圆C必过定点(－2，1)．8. P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，试求x2＋y2的最小值．【答案】3－2【解析】由C(1，1)得OC＝，则OPmin ＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.9.若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧,且被直线x+2y=0截得的弦长为4,则圆C的方程是()A．(x-)2+y2=5B．(x+)2+y2=5C．(x-5)2+y2=5D．(x+5)2+y2=5【答案】B【解析】设圆心为(a,0)(a<0),因为截得的弦长为4,所以弦心距为1,则d==1,解得a=-,所以,所求圆的方程为(x+)2+y2=5.10.与直线l:x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是.【答案】(x-2)2+(y-2)2=2【解析】【思路点拨】数形结合得最小圆的圆心一定在过x2+y2-12x-12y+54=0的圆心与直线x+y-2=0垂直的垂线段上.解:∵圆A:(x-6)2+(y-6) 2=18,∴A(6,6),半径r1=3,且OA⊥l,A到l的距离为5,显然所求圆B的直径2r2=2,即r2=,又OB=OA-r1-r2=2,由与x轴正半轴成45°角,∴B(2,2),∴方程为(x-2)2+(y-2)2=2.11.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是() A．(x-2)2+(y+1)2=1B．(x-2)2+(y+1)2=4 C．(x+4)2+(y-2)2=4D．(x+2)2+(y-1)2=1【答案】A【解析】设圆上任一点为Q(x0,y),PQ的中点为M(x,y),则解得又因为点Q在圆x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.12.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()．A．10B．20C．30D．40【答案】B【解析】配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为C(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2＝4，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝AC×BD＝20.13.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【答案】（1）(x－5)2＋y2＝16（2）4【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，且|PA|＝2|PB|，则＝2，化简得曲线C：(x－5)2＋y2＝16.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．是此圆的切线，连接CQ，由直线l2则|QM|＝，当CQ⊥l时，|CQ|取最小值，|CQ|＝，此时|QM|的最小值为＝4.114.过点引直线与曲线相交于两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于．【答案】－【解析】由得：；表示圆心在原点，半径的圆位于轴下方的部分（含端点）；如下图：直线的方程为：，即，所以，当，即，整理得：又因为，所以，.故答案填：【考点】1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、数形结合.15.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是_______。
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高中数学-圆的标准方程测试题
自我小测
1．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( )
A.(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13
C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52
D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52
2．圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝2上的点与点(0，－5)的最大距离为( )
B ．
C ．
D ．
3．从点P(3，b)向圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1作切线，则切线长的最小值为( ) Ａ.5 B ．4 C ．5.5 D ．2 6
4．过点(－2,0)且倾斜角为45°的直线l 被圆x 2＋y 2＝5截得的弦长|MN|为( )
B ．3
C ．
D ．6
5．经过原点的直线l 与圆C ：x 2＋(y －4)2＝4有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是
( )
A.[,33⎡
-⎢⎣⎦
C ．( D.,⎡-∞⎢⎣⎭∪⎫+∞⎪⎪⎣⎭
6．圆(x －3)2＋(y ＋1)2
＝1关于直线x ＋2y －3＝0对称的圆的方程是__________．
7．过点A(4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B(2,1)，则圆C 的方程为__________．
8．已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程．
9．已知△ABC 的三个顶点A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC 的外接圆的方程．
10．有一种大型商品，A ，B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，回运的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A ，B 两地距离10千米，顾客选A 或B 地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A ，B 两地售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．
参考答案1．解析：设直径的两个端点为M(a,0)，N(0，b)，
则
2
a+
＝2⇒＝4，
2
b+
＝－3⇒b＝－6.
所以M(4,0)，N(0，－6)．
因为圆心为(2，－3)，故r
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故选A. 答案：A
2．答案：D
3．解析：切线长d
所以
当b＝－2时，d取最小值
.
答案：D
4．解析：l的方程为x－y＋2＝0，圆心(0,0)到直线l的距离d
，则弦长|MN|＝
2
答案：C
5．答案：C
6．解析：关于直线x＋2y－3＝0对称的两圆半径相等，圆心连线被直线x＋2y－3＝0垂直平分．设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1.
由题意得
11
1,
32
31
230.
22
b
a
a b
⎧+⎛⎫
⨯-=-
⎪
⎪⎪-
⎝⎭
⎨
+-
⎪+⨯-=
⎪⎩
解得
19
,
5
3
.
5
a
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
所以所求圆的方程为
2
19
5
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＋
2
3
5
y
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＝1.
答案：
2
19
5
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＋
2
3
5
y
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＝1
7．解析：由题意知A，B两点在圆上，
所以直线AB的垂直平分线x＝3过圆心．
又圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，所以k BC＝－1. 所以直线BC的方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3.
由y＝－x＋3与x＝3联立得圆心C的坐标为(3,0)，
所以r＝|BC|
.
所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.
答案：(x －3)2＋y 2＝2
8．解：因为A(1,1)和B(2，－2)，所以线段AB 的中点D 的坐标为31,22⎛⎫-
⎪⎝⎭，直线AB 的斜率k AB ＝2121
---＝－3， 因此线段AB 的垂直平分线l ′的方程为y ＋
12＝1332x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即x －3y －3＝0. 圆心C 的坐标是方程组330,10
x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解．
解此方程组，得3,2.x y =-⎧⎨=-⎩
所以圆心C 的坐标是(－3，－2)． 圆心为C 的圆的半径长r ＝|AC|
5.
所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2
＝25.
9．解：(方法一)设△ABC 的外接圆方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由已知得222222222(1)(4),(2)(3),(4)(5).a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪--+-=⎨⎪-+--=⎩
解得1,1,5.a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩
故所求△ABC 的外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.
(方法二)因为k AB ＝4312-+＝13，k AC ＝4514
+-＝－3， 因为k AB ·k AC ＝－1，所以AB⊥AC.
所以BC 为△ABC 外接圆的直径，BC 中点为M(1，－1)．
r ＝|MA|＝|4＋1|＝5，所以△ABC 的外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2
＝25.
10．解：如图，以A ，B 所确定的直线为x 轴，A ，B 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(－5,0)，B(5,0)．
设某地P的坐标为(x，y)，且P地居民选择A地购买商品便宜并设A地的运费为3a元/千米，B地的运费为a元/千米．
价格＋每单位距离运费×到A地的距离≤价格＋每单位距离运费×到B地的距离，
即
因为a>0，所以
即
2
25
4
x
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
＋y2≤
2
15
4
⎛⎫
⎪
⎝⎭
.
所以以点C
25
,0
4
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
为圆心，
15
4
为半径的圆是这两地购货的分界线．
圆C内的居民从A地购货便宜．
圆C外的居民从B地购货便宜．
圆C上的居民从A，B两地购货的总费用相等，因此，可随意从A，B两地之一购货．。