中学物理竞赛讲义简谐振动
江苏省南京师范大学附属中学物理竞赛讲义-7.1简谐振动
7.1简谐振动一、简谐运动的定义1、平衡位置：物体受合力为0的位置2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反F k x =-二、简谐运动的性质F kx =-''mx kx =-取试探解（解微分方程的一种重要方法）cos()x A t ωϕ=+代回微分方程得：2m x kx ω-=-解得： 22T πω== 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数cos()x A t ωϕ=+sin()v A t ωωϕ=-+2cos()a A t ωωϕ=-+由以上三个方程还可推导出：222()vx A ω+= 2a x ω=-三、简谐运动的几何表述一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。
因此ω叫做振动的角频率或圆频率，ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心角，也叫做初相位。
四、常见的简谐运动1、弹簧振子(1)水平弹簧振子(2)竖直弹簧振子2、单摆（摆角很小）sin F mg mg θθ=-≈-x l θ≈因此： F k x =-其中： mg k l=周期为：222T πω===例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?例3、位于铅垂平面内的“∠”形等截面弯管．两管分别与水平面成α角和β角．如图所示．其内盛有长为l、质量为m的液柱，受扰动后，液柱将沿管作往返振荡，求振荡周期(设管壁无阻力)．例4、如图所示，假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放置一个小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力，试求小球的最大速度，以及小球从A运动到B所需要的时间，已知地球半径为R，地球半径为R，A和B之间的直线距离为L，设地球内部质量密度均匀，不考虑地球的自转。
高中物理竞赛名校冲刺讲义设计第八章机械振动第一节简谐振动
2021高中物理竞赛江苏省苏州高级中学竞赛讲义第八章机械振动1 题目：§简谐振动§简谐振动的特征量§旋转矢量法目的：掌握简谐振动的根本特点。
掌握简谐振动的特征量。
能根据初始条件写出一维〔弹簧振子〕简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。
理解旋转矢量法，能运用旋转矢量法分析简谐振动的有关问题。
一、引入课题：物体在移动位置附近来回往复的运动叫机械振动，它是物体的一种重要运动形式。
从日常生活到生产技术以及自然界中到处都存在着振动。
一切发声体都在振动，机器的运转总伴随着振动，海浪的起伏以及地震也都是振动，就是晶体中的原子也都在不停地振动着。
振动有各种不同的形式机械振动：位移x随时间t的往复变化电磁振动：电场、磁场等电磁量随t的往复变化微观振动：如晶格点阵上原子的振动广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。
振动分类振动受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动(简谐振动) (SimpleHarmonic Motion)振动有简单和复杂之别，最简单的是简谐振动，它也是最根本的振动，因为一切复杂的振动都可以认为是由许多简谐运动合成的。
本章简谐振动及其数学表达式和无阻尼情况下的动力学方程，然后介绍阻尼振动和受迫振动，最后介绍振动合成的规律。
二、讲授新课：§简谐振动一、简谐振动弹簧振子定义：把连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体系统称为弹簧振子。
简谐振动物体离开平衡位置的位移按余弦函数(或正弦函数)的规律随时间变化。
二、简谐振动的运动规律kl01简谐振动的动力学方程mxFkxma AAod2x2xdt22k令md2x2dt2ωx0简谐振动的定义：如果质点的动力学方程可以归结为d2x2x0dt2ω的形式，且其中的ω决定于振动系统本身的性质，那么该质点的运动称为简谐振动。
上式称为简谐振动的微分方程，其解为简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程x Acos(t )式中：A和Ф是积分常数，由初始条件决定。
高二物理竞赛简谐振动PPT(课件)2
10m， vo =0.
0 -vm -A 0
O 3
2
B 2
0 vm A0
第四章 机械振动
m
x
x
X
x Acos
v A sin
4 – 1 简谐运动
第四章 机械振动
C
0
B
XV
B 0 A O 最低处时：
O
2
X=A, V=0;
0 -vm 0
C -A 0
再次到达平衡位置
x
O 3
2
B 2
0 A
vm 0
X=0,
Tt
4 – 1 简谐运动
三、描述谐振动的物理量
1.振幅
x
A xmax
A
2.周期、频率
o
x Acos(t ) A
第四章 机械振动
xt 图
Tt
T 2
Acos[(t T ) ]
周期 T 2π
频率 1
T 2π
圆频率 2π 2π
T
弹簧振子周期
注意
T 2π m
k
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
x0 A cos v0 Asin
A
x02
v02
2
tan v0 x0
对给定振动系统，周期(或者角频率)由系统本身 性质决定，振幅和初相由初始条件决定.三要素
4 – 1 简谐运动
第四章 机械振动
讨论 已知 t 0, x 0, v 0求
0 Acos
π
2
v0 A sin 0
sin 0 取 π
第二篇 机械振动 和机械波
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
第四章 机械振动
高二物理竞赛简谐振动PPT(课件)
微观振动: 如晶格点阵上原子的振动。 振幅 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 A，由初始条件决定，描述振动的空间范围。
广义地说,任何一物理量在某个定值附近周期性变化的现象称振动。
广义地说,任何一物理量在某个定值附近周期性 变化的现象称振动。
振动的分类:
振动
受迫振动 自由振动
共振 阻尼自由振动
无阻尼自由振动
设两个同频率的简谐振动 x2A 2cots(2)0
相位差 (t2)0 (t1)0
2010
1）同相位和反相位
2kπ (k0， 1， 2, )
两振动步调完全一致，称两个振动同相位。
(2k1)π (k0， 1,2 )
两振动步调完全相反，称两个振动反相位。 2）超前和落后
0 第二个简谐振动比第一个超前
(1) 频率关系：频率相同,均为 两振动步调完全相反，称两个振动反相位。
设两个同频率的简谐振动 物体在单位时间内发生完全振动的次数，称振动的频率.
（1）矢量端点在x轴上的投影为简谐振动
v A a A 二、简谐振动的三个特征量
(2) 振幅关系： 相位关系：v比x超前 /2,a比v超前 /2。
m
2 m
解微分方程可得 第二个简谐振动比第一个超前
比较a、b两点：位移相同，速度不同，相位不同.
二、简谐振动的三个特征量
x A cos(t 0 )
简谐振动运动学方程
二、简谐振动的三个特征量
1.振幅 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 A， 由初始条件决定，描述振动的空间范围。
2.周期 振动状态重复一次所需要的时间,描述振 动的快慢.
A co ( t T s ) [ 0 ] A co t 0 s ) (
高二物理竞赛：简谐振动的运动学课件
描述谐振动的三个特征量
一、简谐振动的运动学方程
（旋转矢量旋转一周所需的时间）
（旋转矢量旋转一周所需的时间）
(2)初位相: t=0时的位相 0
【例】弹簧振子在A、B
间作简谐运动, 从t=0计时开始,
经过1/4周期后，振子有正方向的最大速度, 以下四个图象正确反映该运动的是:
两振动步调相反,称反相
0x10-2m,周期为T=0.
(2)初位相: t=0时的位相 0 A、D图象中, 经过T/4后振子的速度v=0, 则A、D错. (1) 能唯一确定系统运动状态，而又能反映其周期性特征的的物理量 振动三要素： 振幅、周期和相位
叫做位相, 是描述系统的机械运动状态的物理量 （2）由该位第一次回到平衡位置的时间 （旋转矢量旋转一周所需的时间）
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x Acos( t 0 )
a
A sin( t
A2 cos(
0 )
t 0
)
m cos( t
am cos(
0
2
)
t 0 )
5
第8章 机械振动
三 简谐振动的旋转矢量表示法
2π
T
当 t 0时
A
以o为 原点 旋转矢 量A 的端点
0
x 在 轴上的
o
x x 0
13
3
Asin (2)0
3 得 2 5
33 即 ＝
所以振动方程为 x4cost(2)
3
方法二：用旋转矢量法求解
第8章 机械振动
x
2
3
x(cm) 4
2
p
0
t=0
1 -2
t(s)
-4
【物理竞赛讲义】第06部分 振动和波
第六部分 振动和波第一讲 基本知识介绍《振动和波》的竞赛考纲和高考要求有很大的不同，必须做一些相对详细的补充。
一、简谐运动1、简谐运动定义：∑F = －k x①凡是所受合力和位移满足①式的质点，均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等。
谐振子的加速度：a= －mk x2、简谐运动的方程回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在x 方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A 。
依据：∑F x = －m ω2Acos θ= －m ω2x对于一个给定的匀速圆周运动，m 、ω是恒定不变的，可以令：m ω2 = k这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式①。
所以，x方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。
从图1不难得出——位移方程：x= Acos(ωt + φ) ②速度方程：v= －ωAsin(ωt +φ) ③加速度方程：a= －ω2A cos(ωt +φ) ④ 相关名词：(ωt +φ)称相位，φ称初相。
运动学参量的相互关系：a = －ω2xA =2020)v (x ω+ tg φ= －x v ω 3、简谐运动的合成a 、同方向、同频率振动合成。
两个振动x 1 = A 1cos(ωt +φ1)和x 2 = A 2cos(ωt +φ2) 合成，可令合振动x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x 1 + x 2 ，解得A =)cos(A A 2A A 12212221φ-φ++ ，φ= arctg 22112211cos A cos A sin A sin A φ+φφ+φ显然，当φ2－φ1 = 2k π时（k = 0，±1，±2，…），合振幅A 最大，当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），合振幅最小。
b 、方向垂直、同频率振动合成。
当质点同时参与两个垂直的振动x = A 1cos(ωt + φ1)和y = A 2cos(ωt + φ2)时，这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程，消去参数t 后，得一般形式的轨迹方程为212A x +222A y －221A A xy cos(φ2－φ1) = sin 2(φ2－φ1) 显然，当φ2－φ1 = 2k π时（k = 0，±1，±2，…），有y = 12A A x ，轨迹为直线，合运动仍为简谐运动；当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），有212A x +222A y = 1 ，轨迹为椭圆，合运动不再是简谐运动；当φ2－φ1取其它值，轨迹将更为复杂，称“李萨如图形”，不是简谐运动。
高二物理竞赛6-1简谐振动PPT(课件)
A
l
m
o
5
解 5时 ,sin
msgin lmgl
mgl
J
d2
dt2
d2
dt 2
g
l
令 2 g
l
d2 2 0
dt2
mcots ()
T2π l g
转动
A
正向
l
FT m
o
P
J m2l
3、 复摆 一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆(物理摆)。
刚体的质心为C, 对过O 点的转 轴的转动惯量为J, O、C 两点间距
§7-1 简谐振动
一 简谐振动（simple harmonic motion）方程的建立
弹簧振子(Spring oscillator)的振动
l0 k
A
x0 F0
m
x
oA
F
o
m
x
x
Fk xma xAcots(0)
令 2 k m
积分常数，根据初始条件确定
a2x
a 与 x 方向相反
vd dx t Asin t(0)
旋转矢量
用旋转矢量图画简谐运动的 xt 图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
旋转矢量
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态xA间变ax x化 bA 所A c c 需的o o 时tt2 1 间s s . (( ) ) (tt 2 t 2 t) 1 ( Abt1 )
（1）写出此振动的 表达式. 解答：
谐振子: 作简谐运动的物体.
相位(phase)
a 与 x 方向相反
弹簧振子(Spring oscillator)的振动
高二物理竞赛课件：简谐振动
01 简谐振动的特征
第
02 研究简谐振动的意义
一
03 简谐振动的动力学方程
讲
简
04 简谐振动的物理量
谐
振
05 振幅和初相的确定
动
06 简谐振动的矢量图示法
07 单摆和复摆
01/ 49
振动 —— 一个物理量在某一个值的附近作周期性变化 机械振动 —— 物体在稳定平衡位置作往返运动
傅科摆 —— 1851年在巴黎物理学家傅科用长67米的摆做了 实验。摆的周期T＝16.5 秒, 相对地球摆面转过0.05° 经过32小时，摆面转动一周，证明地球自转
振荡电荷
P P0 sin(t )
LC 振荡电路
U U0 sin(t )
简谐振动的特征
物体坐标按余弦函数变化
x Acos(t )
简谐振动 —— 物体运动的位置与时间关系按余弦规律变化
05 / 49
02 研究简谐振动的意义
振动是研究波动的基础
驻波
机械波 —— 各向均匀介质中质点共同振动形成
晶体中原子在平衡位置做微小振动 —— 简谐振动 晶格振动形成格波
电荷的振荡 —— 空间电场和磁场发生变化 电场和磁场相互激发，相互作用形成电磁波
微观粒子的物质波 —— 几率波 波函数 —— 粒子在空间出现几率
经典物理眼中的电子运动
量子物理眼中的电子运动
复杂振动 —— 用傅立叶变换展开为 若干个不同频率简谐振动的叠加
10 / 49
简谐振动的动力学方程
一维弹簧振子 —— 物体m做一维运动
弹性力
F kx
动力学方程
m
d2x dt 2
kx
x 2x 0
2 k —— 圆频率
2020湖南师大附中物理竞赛辅导课件B简谐振动的运动学
0
A sin0
(3)位相差
0
tg1( 0 x0
)
两振动位相之差 21
当=2k ,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相
5
当=(2k+1) , k=0,±1,±2...
两振动步调相反,称反相
0 2 超前于1 或 1滞后于 2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落 谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
k
(3)已知t＝0时，x0＝－b，0＝0，可求出
A
x02 022
bm g k
0arctan(0x0)
xm k cgosm (kI/R2t)
11
例：已知如图示的谐振动曲线，试写出振动方程.
解：方法一
x(cm)
设谐振动方程为
4
2
p
xAcots(0)
从图中得：A＝4 cm
0
1 -2
t(s)
-4
t＝0时，x0＝-2 cm，且0＜0，得
弹簧振子
固有圆频率
k m
固有振动周期
T 2 m
k
单摆
g l
T 2 l g
复摆
mgh
I
T 2 I
m gh
4
3. 位相和初位相
(1) 能唯一确定系统运动状态，而又能反映其周期性 特征的的物理量
=t+ 0 叫做位相, 是描述系统的机械运动状态的物理量
(2)初位相:
t=0时的位相0
x
0
A cos 0
1.振幅A
由初始条件决定
t=0
x0
A cos 0
0
A sin 0
A
x02
02 2
高中物理竞赛-简谐振动
第五讲机械振动和机械波§5. 1简谐振动5. 1.1、简谐振动的动力学特点如果一个物体受到的回复力氏4与它偏离平衡位置的位移〒大小成正比， 方向相反。
即满足：%=-K=的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律，物体的加速度g 板=-孟,因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方何相反。
尸T上L .现有一劲度系数为k 的轻质弹簧，上端固定在P 点，下端固定一个质量为m 的物体，物体平衡时的位置记作0点。
现把物体拉离0点后松手，使其上下振动，如图5-1-1所示。
当物体运动到离0点距离为x 处时，有F^=F-mg = k(x 0+x)-mg式中％为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有图 5-1-1机=〃屹，因此% =灯说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x 成正比。
因回复力指向平衡位置0,而位移x 总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位 置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。
注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧伸长的长度。
5. 1. 2、简谐振动的方程图 5-1-2由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便,为此。
可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置。
为圆心，以振幅A为半径作圆，这圆就称为参考圆，如图5-1-2,设有一质点在参考圆上以角速度刃作匀速圆周运动，它在开始时与0的连线跟X轴夹角为例,那么在时刻t,参考圆上的质点与O的连线跟工的夹角就成为伊=d+代，它在x轴上的投影点的坐标x=/cos伽+伊())(2)这就是简谐振动方程，式中伊。
是t=0时的相位，称为初相：d+外是t时刻的相位。
参考圆上的质点的线速度为力口，其方向与参考圆相切，这个线速度在x轴上的投影是v=-Acocos((ot+(p())(3)这也就是简谐振动的速度参考圆上的质点的加速度为^2,其方向指向圆心，它在X轴上的投影是a=—Aa)2cos(cot+)(4)这也就是简谐振动的加速度由公式(2)、(4)可得a=—a)2x由牛顿第二定律简谐振动的加速度为F ka=—=---xm m因此有2kCD=—m(5)简谐振动的周期T也就是参考圆上质点的运动周期，所以T=-=27t-w5.1.3、简谐振动的判据物体的受力或运动，满足下列三条件之一者，其运动即为简谐运动:①物体运动中所受回复力应满足F=—kx：②物体的运动加速度满足a=-a）2x:③物体的运动方程可以表示为x=/cos（d+%）。
高二物理竞赛课件：简谐振动的旋转矢量图示法
单摆周期 T与角振幅 m的关系为：
T
T0
1
1 22
sin 2
m
2
1 22
32 42
sin 4
m
2
T0 为 m很小时单摆的周期。
根据上述周期的级数公式，可以将周期计算到 所要求的任何精度。
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t 0
P
X
x
r
Ar 旋转的方向
逆时针方向
A 与参考方向X的夹角
振动相位
M 点在 X 轴上投影(P点)的运动规律：
x Acos(t 0 )
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A
O
v0
X
O
v0
X
A
速度、加速度的旋转矢量表示法：
v
v, a沿X 轴的投
影为简谐运动的速度、 加速度表达式。
M 点:
vm A
am 2 A
23 6 t 0.83s
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几种常见的谐振动
(1) 单摆
一根不会伸长的细线，上端固定，下端悬挂一个 很小重物，重物略加移动就可以在竖直平面内来回摆动。
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单摆受力分析如右图所示，
根据牛顿第二运动定律可得
mg sin
ml
d2
dt 2
q 很小时（小于 5o），可取
sin
d2
dt 2
g
l
2
其中2 g
l
C
l F
of
mg
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单摆在摆角很小时，在平衡位置附近作角谐振动，周期
T 2 2 g
l
转角q 的表达式可写为：
m cos(t 0 )
高二物理竞赛简谐振动PPT(课件)
x A cos(t )
例2. 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如 图所示，确定其振动方程.
解: 设矢量确定振 动初相位：当 t = 0,
2
3
v0 2
3
A t=0
x t = 1s
A O
A x0
代入 x Acos (t ), v A s in( t )
得 x0 A cos , v0 A sin
arctan( v0 ) x0
A
x02
( v0
)2
k
m
x
A O A
例如：v0 = 0, x0 = A
= 0
例1. 一质点沿x 轴作简谐振动，A= 0.12 m, T= 2 s, 当t = 0 时, x0 = 0.06 m, 此时刻质点向x 正向运动。求此简 谐振动的表达式。
例：由旋转矢量确定简谐振动中位移与速度、位移与加速度的相位差。 振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初始条件. 例：由旋转矢量确定简谐振动中位移与速度、位移与加速度的相位差。 用旋转矢量表示振动相位关系 简谐振动与匀速圆周运动 用旋转矢量表示振动相位关系 振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初始条件. 若 = 2 1 > 0, 称x2比x1超前 (或x1比x2落后)。 求此简谐振动的表达式。 例：由旋转矢量确定简谐振动中位移与速度、位移与加速度的相位差。 注意：旋转矢量本身绕起始端匀角速度逆时针旋转，其末端在x轴上的投影点才做简谐振动。 由旋转矢量确定振动初相位：当 t = 0, 由旋转矢量确定振动初相位：当 t = 0, 振幅A 物体离开平衡位置的最大距离,决定于初始条件. 求此简谐振动的表达式。
求此简谐振动的表达式。
高中物理竞赛高二竞赛班全套物理讲义(答案解析)高二竞赛班第14讲 简谐振动的判定和相位计算.教师版
导读1、 判定简谐振动的定义是说，一个量随着时间变化规律满足0()cos()A t A t ωϕ=+ 如果是由动力学因素引起的，则可以归结为方程：2A A ω=-两边同时乘以A ，然后消去dt ，得到22211()022d A A ω+=也就说，本质上是需要寻找正比于A 平方的势能项和正比于A 平方的动能项。
这也就形成了判定简协振动的两种常见思路：受力分析和能量分析。
要注意的是，受力分析要精确到一阶小量，而能量分析要到第二阶（复习在平衡点的势能展开）。
比较好的运算习惯是在平衡点，设无量纲数作为展开变量。
简谐振动是广泛存在于物理世界中的，乃们好好学习…遇到两个自由度运动的时候，如果猜想其中一个是简谐振动，可以考虑用守恒量消去一个。
如果两个自由度看起来都在振动而且相互有关系，就要考虑是否要换元到独立变量了。
2、 相位计算这个是竞赛为了增加计算量而独有的一坨题目。
特点是包含不止一个运动过程，每次切换过程，需要用速度和位移，以及平衡点的位置，确定下一个过程的振幅的相位。
常见的办法是直接对比运动方程：0()cos()A t A t ωϕ=+；0()sin()A t A tωωϕ=-+或者比较能量方程。
这个计算过程相对来说较长，每个状态结束的时候，振幅、相位、位移、速度之类的一般会作为采分点出现。
例题精讲【例1】 如图，在半径为r 的光滑碗底，有两个质点，质量为均为m ，之间用一根长为r 的轻杆连接。
在平衡点上给一个小扰动，求简谐振动周期。
比较能量和受力两种做法。
第14讲简谐振动的判定和相位计算【例2】如图四根杆铰接，长度比为3：3：1：1。
短杆长度为l，两边吊着质量为m的重物，中间放着原长为22l的弹簧，弹簧下端和短杆一起铰接在地面上，平衡的时候杆和水平角度为45︒。
始终保持左右对称，求微小振动的时候系统的周期。
重力加速度为g。
比较受力分析和能量两种办法。
【例3】在光滑平面上放有一个质量为m的匀质圆环，内径为r。
物理竞赛6.1-简谐振动
一．基本知识1．振动物体在平衡位置所做的往复运动叫做机械振动，通常简称为振动。
归纳：(1) 物体振动时有一中心位置；(2) 物体在中心位置两侧做往复运动；2．简谐运动：是一种最简单，最基本的振动，研究简谐运动的基本模型是弹簧振子 弹簧振子结构(理想模型）：（１）小球的运动是平动，可以看作质点；（２）弹簧的质量远小于小球的质量，可以忽略不计；（３）小球运动时不计阻力；（４）小球运动时有一中心位置，叫平衡位置；定义：物体在与位移大小成正比，并且在总指向平衡位置的力的作用下的振动叫简谐运动 即： F= —Kx3．回复力：物体在振动时，一定受到指向中心位置的力，这个力的作用总能使物体回到中心位置，这个力叫回复力回复力的特点：（1) . 回复力总是指向中心位置；（２）．回复力是根据力的效果命名的；（３）．回复力可以是弹力或其它的力；（４）．回复力可以是一个力，或几个力的合力，或某个力的分力；（５）．在Ｏ点，回复力是零，叫振动的平衡位置；简谐运动是一种简单的、基本的振动，许多物体的微小振动都可以看作是简谐运动，复杂的振动可以看作简谐运动的叠加，它的特征是：回复力与偏离平衡位置的位移成正比。
4．简谐运动的方程理论证明，满足F= —Kx 的振动物体的位移x 随时间t 的变化规律是一条余弦函数（当然可以表达为正弦函数）这就是简谐运动的方程 式中Aω叫此振动的角频率（也称为圆频率），它与此振动的周期T 叫振动的位相， 叫此振动的初相位，简谐运动的周期是由振动系统本身的物理条件来决定的，其关系为km T π2＝式中m 为振动物体的质量。
故此周期又称为此物体的固有周期（对应的也有固有频率）5．简谐运动的几何表述（详见课本242页）6．简谐运动的能量做简谐运动的系统，除具有动能外，还具有势能，其能量是动能和势能的和。
（1）．能量表达式以弹性振子为例。
假设在t 时刻质点的位移为x ，速度为v ，则()ϕω+=t A x cos()ϕωω+-=t A v sin)cos(ϕω+=t A x νπ2π2==ωT )(ϕω+t ϕ则系统动能为：()ϕωω+==t mA mv E k 2222sin 2121 系统动能为：()ϕω+=t kA kx E p 222cos 2121＝ 因而系统的总能量为()()ϕωϕωω++=t kA t mA E E E p k 22222cos 21sin 21＋＋＝ 考虑到mk ＝2ω，则 2222121kA mA E ＝＝ω 即弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。
江苏省南京师范大学附属中学物理竞赛讲义-7.1简谐振动
7.1简谐振动一、简谐运动的定义1、平衡位置：物体受合力为0的位置2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反F k x =-二、简谐运动的性质F kx =-''mx kx =-取试探解（解微分方程的一种重要方法）cos()x A t ωϕ=+代回微分方程得：2m x kx ω-=-解得： 22T πω== 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数cos()x A t ωϕ=+sin()v A t ωωϕ=-+2cos()a A t ωωϕ=-+由以上三个方程还可推导出：222()vx A ω+= 2a x ω=-三、简谐运动的几何表述一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。
因此ω叫做振动的角频率或圆频率，ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心角，也叫做初相位。
四、常见的简谐运动1、弹簧振子(1)水平弹簧振子(2)竖直弹簧振子2、单摆（摆角很小）sin F mg mg θθ=-≈-x l θ≈因此： F k x =-其中： mg k l=周期为：222T πω===例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?例3、位于铅垂平面内的“∠”形等截面弯管．两管分别与水平面成α角和β角．如图所示．其内盛有长为l、质量为m的液柱，受扰动后，液柱将沿管作往返振荡，求振荡周期(设管壁无阻力)．例4、如图所示，假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放置一个小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力，试求小球的最大速度，以及小球从A运动到B所需要的时间，已知地球半径为R，地球半径为R，A和B之间的直线距离为L，设地球内部质量密度均匀，不考虑地球的自转。
物理竞赛讲义·《振动》
简谐振动的判断和周期的计算以下运动是否简谐运动，若是，请求出其周期。
1．质点沿（1）隧道1：沿地球直径（2）隧道2：沿某一弦2．力心A、B相距l，质量为m的质点受到（1）与距离平方反比有心引力作用（2）与距离平方反比有心斥力作用，平衡于两点连线上的O点，若将质点稍稍偏离平衡位置。
3．将一粗细均匀、两边开口的U型管固定，其中装有一定量的水银，汞柱总长为L 。
当水银受到一个初始的扰动后，开始在管中振动。
4．密度为ρ，总长为l，弯折管之两段与水平夹角为α、β。
对液体平衡状态加一扰动，分析其振动。
1 2ABαβ5．匀质杆ρ，ρ<ρ水，使杆在水面上下浮动。
6．匀质板，放在柱形滚轮上。
主要参数如图。
木板放置时，重心不在两滚轮的正中央。
试证明木板做简谐运动，并求木板运动的周期。
7．三根长度均为L地质量均匀直杆，构成一正三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平轴上，整个框架可绕转轴C转动。
杆AB是一导轨，一电动松鼠可在导轨上运动。
现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试讨论松鼠的运动是一种什么样的运动。
μμ8．质量为m的质点固定在长为l的细弦A、B的中点上，细弦水平张紧，其张力为G，忽略弦的质量。
使质点在被垂直纸面向外拉动一小段位移，分析其运动。
9．弹簧10．一个简谐振动系统如图，不计一切摩擦，绳不可伸长，m 1、m 2及弹簧的劲度系数k 已知。
求整个系统的周期。
11．如图，质量为m 的小球用轻杆悬挂，两侧用劲度系数为k 的弹簧连接。
杆自由下垂时，弹簧无形变，图中a 、l 已知，求摆杆做简谐振动的周期。
12．一轻质刚性杆，长为l ，下端固结质量为m 的质点，构成单摆，同时与劲度系数为k 的水平弹簧相连，求系统振动的周期。
m 1 m2 k M m 1 m 213．如图所示，有一个均质的细圆环，借助一些质量不计的辐条，将一个与环等质量的小球固定于环心处，然后用三根竖直的、长度均为L且不可伸长的轻绳将这个物体悬挂在天花板上，环上三个结点之间的距离相等。
高二物理竞赛课件：振动
速度 与振动频率
相等，这个矢量就 叫做旋转矢量.
5
t t
o
A
t
x
x Acos(t )
点旋以转o矢为量原A
的端点在 x轴
上的投影点的 运动为简谐运 动.
注意 运用旋转矢量法求相位（举例略）
6
三、简谐运动的能量
（1） 动能
Ek
1 mv2 2
• 建立简谐运动的动力学方程 即通过牛顿第二定律得出物体满足
d2 x 的动2力x 学微分方程
dt 2
建立简谐运动的运动方程
即求
x Acos(t )
旋转矢量法的运用
10
例：将m向左移动到x0自静止释放，此时开始计时。求振
动方程。
k1x k2x mx
k1
k2
m
x0
o F1 m F2
x
ox
2 A1
A2
cos(2
1
)
tan
A sin A sin
1
1
2
2
A cos A cos
1
1
2
2
8
（1）相位差
2
1
2k
π
(k 0，1，)
A A1 A2
加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1，)
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9
主要题目类型
t0
A A2 0 A x
t 7.5s
0
2 3
7.5
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7.1简谐振动
一、简谐运动的定义
1、平衡位置：物体受合力为0的位置
2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力
3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反
F k x =-
二、简谐运动的性质
F kx =-
''mx kx =-
取试探解（解微分方程的一种重要方法）
cos()x A t ωϕ=+
代回微分方程得： 2m x kx ω-=-
解得： 22T π
ω
=
= 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数
cos()x A t ωϕ=+ sin()v A t ωωϕ=-+
2cos()a A t ωωϕ=-+
由以上三个方程还可推导出： 222()v
x A ω
+=
2a x ω=-
三、简谐运动的几何表述
一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。
因此ω叫做振动的角频率或圆频率，ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫做相位，φ为初始时刻质点位置对应
的圆心角，也叫做初相位。
四、常见的简谐运动 1、弹簧振子 (1)水平弹簧振子 (2)竖直弹簧振子
2、单摆（摆角很小）
sin F mg mg θθ=-≈-
x l θ≈
因此： F k x =-
其中： mg
k l =
周期为：222T πω===
例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，
把在北京走时
准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？
例2、三根长度均为l=2.00m、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架ABC．C点悬
挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?
例3、位于铅垂平面内的“∠”形等截面弯管．两管分别与水平面成α角和β
角．如图所示．其内盛有长为l、质量为m的液柱，受扰动后，液柱将沿管作往返振荡，求振荡周期(设管壁无阻力)．
例4、如图所示，假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放置一
个小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力，试求小球的最大速度，以及小球从A运动到B所需要的时间，已知地球半径为R，地球半径为R，A和B之间的直线距离为L，设地球内部质量密度均匀，不考虑地球的自转。
例5、如图所示，车厢在平直的公路以a=g/3的加速度做匀加速运动，用长为L 的轻绳将小球悬于车厢天花板上，当小球相对车厢静止时，将其稍稍拉离平衡位置，并将其由相对车厢静止的状态而释放，以后小球将在平衡位置附近做小角度摆动，求小球摆动的周期是多少?
例6、一个摆长为l 的单摆置于倾角为θ的光滑斜面上，悬点在垂直斜面的直杆上，且悬线与斜面的夹角为α，求单摆沿斜面作简谐运动时的周期。
例7、用两根长度均为l 的轻杆把质量为m 的小球悬挂在水平杆AB 上，可以前后摆动，两杆间夹角为θ，当吧AB 稍稍向上转过α角度，这个摆的周期多大？
例8、两个系统，每个都由两个质量均为m 的相同物体组成，两物体间用弹性系数为k 的弹簧相连。
两系统以大小相同的恒定速度相向运动，弹簧保持原长。
某处时时刻，两系统相距L ，求再经过多长时间，两系统重新回到初始时刻的位置，但速度的方向相反？。