函数周期与对称轴

抽象函数的周期与对称轴

1.函数

()y f x =的图象的对称性（自身）:

定理1: 函数()y f x =的图象关于直2

a b x +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=。特殊的有：

①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。

②函数

()y f x =的图象关于y 轴对称（奇函数）)()(x f x f =-⇔。③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。

定理2：函数

()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++；特殊的有： ① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。 ② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。 ③

函数

)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。

○4)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2

(b

a +为对称中心。

证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++

令2a b x x -+

=代入

)()(x b f x a f --=+ 则)2

()2(x b a f x b a f -+-=++

方法二：设

)(x f y =它的图象为C; C y x P ∈∀),(00则P 关于点)0,2

(b a +的对称点),(00y x b a P --+'

)()]([)]([)(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+∵00)(y x f = ∴00)(y x b a f -=-+ ∴ C P ∈'

定理3：（性质） ①若()y f x =的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么()f x 为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。 ②若()y f x =的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么()f x 为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。

③若

()y f x =图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a ≠b ），则()f x 是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。

④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。 2.两个函数图象的对称性: ①函数

()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.

②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m

+=对称.

特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称

③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--

3.若)(x f 是偶函数，则必有[])()(b ax f b ax f +-=+；若)(x f 是奇函数，则必有[])()(b ax f b ax f +--=+

若

)(b ax f +为偶函数，则必有)()(b ax f b ax f +-=+；若)(b ax f +是奇函数，则必有)()(b ax f b ax f +--=+

2.函数的周期性的主要结论： 结论1：如果()()f x a f x b +=+（a b ≠），周期T a b

=-

结论2：如果()()f x a f x b +=-+（a b ≠），周期2T a b

=-

证：令a x x

-= ∴ )()(a b x f x f -+-= ① 令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②

由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+- ∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴ a

b T -=2

结论3：如果定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =、x b =对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-

结论4：如果偶函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a = 结论5：如果奇函数

()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a

=

结论6：如果函数同时关于两点(),a c 、(),b c （a b ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-

结论7：如果奇函数()f x 关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a

=

结论8：如果函数

()f x 的图像关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，且关于直线x b =（a b ≠）成轴对称，那么()f x 是周期

函数，其中一个周期4T a b =-

结论9：如果

1()()

f x p f x +=或1()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p =

结论10：如果1()()21()p f x f x f x ++

=-或1()

()21()

p f x f x f x -+=+，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p = 结论11：如果()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期

典型例题1：设

)(x f 是定义在

R 上的函数，R x ∈∀均有

0)2()(=++x f x f 当11≤<-x 时12)(-=x x f ，求

当31≤<

x 时，)(x f 的解析式。

解：由R x ∈∀有

)2()(+-=x f x f 得4=T

设]3,1(∈x 则]1,1()2(-∈-x

)()2()42()2(x f x f x f x f -=+=+-=-

∴ 52]1)2(2[)2()(+-=---=--=x x x f x f

∴

31≤

例2：已知

)(x f 满足)2()2(-=+x f x f ，

)4()4(x f x f -=+，当26-≤≤-x 时，

c bx x x f ++=2)(且13)4(-=-f ，若)3(b

f m =，

)2

(c

f n =，)11(f p =求m 、n 、p 的大小关系？

解：4=T

，对称轴4=x ∴ 4-=x 也为一条对称轴∴

42

-=-b

∴8=b 464(4)134c f --=

=- ∴ 3=c ∴ )3

8(f m =，)23

(f n =，)3()11(f f p ==

∴ p m n >>

练习：设

)(x f 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x +=-,

当－1≤x ≤0，1()2

f x x =-

，则f(8.6)= _______ 解： x = 0，x =1是y = f (x) 对称轴。T=2 ∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

例3：定义在R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）（第十二届希望杯高二 ） (A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数 解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y 轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。故选(A) 例4：设定义域为R 的函数()y f x =、()y g x =都有反函数，

并且(1)f x -和1

(2)g

x --函数的图像关于直线y=x 对称，若

(5)1999g =那么(4)f =（C ）。

A 1999；

B 2000；

C 2001；

D 2002。 解：(1)f x -和1

(2)g

x --函数的图像关于直线y=x 对称

(1)(x)2f x g -=+ ∴有(51)(5)2f g -=+

例5：若函数y=f(x)的图像有一个对称中心A(a ,c)和一条对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。

解析∵y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， ∴f (x) + f (2a －x) =2c ，用2b －x 代x 得： f (2b －x) + f [2a －(2b －x) ] =2c ………………（*）

又∵函数y = f (x)图像直线x =b 成轴对称， ∴ f (2b －x) = f (x)代入（*）得：