常微分方程解
常系数微分方程解的形式
B1 cos(ωt ) + B2 sin(ωt )
( B1t p + B2t p−1 + L + B pt + B p+1 )eαt cos(ωt )
+ ( D1t p + D2t p −1 + L + D p t + D p+1 )eαt sin(ωt )
2） ）
不同特征根对应的齐次解
特征根 λ 单实根
1） ）
几种典型激励函数对应的特解
激励函数 e(t )
E （常数） 常数） tp eαt
响应函数 r (t ) 的特解
B （常数） 常数）
B1t p + B2t p−1 + L + B p t + B p+1
Beαt
cos(ωt ) sin(ωt )
t p eαt cos(ωt ) t p eαt sin(ωt )
r 重实根
齐次解 y h (t )
Ce λt
Cr −1t r −1e λt + Cr −2t r −2 e λt + L + C1te λt + C0e λt eαt [C cos( βt ) + D sin( βt )]
一对共轭复根
λ1, 2 = α ± jβ
r 重共轭复根
或 Aeαt cos( β t − θ ) ，其中 Ae jθ = C + jD
Ar −1t r −1eαt cos( βt + θ r −1 ) + Ar −2t r −2eαt cos( β t + θ r −2 )
内蒙古工业大学 博学躬行，尚志明德。
常系数微分方程的求解
常系数微分方程的求解1常系数微分方程概述常系数微分方程（Constant Coefficient Differential Equation,CCD），是指存在有限个常数系数的微分方程，即存在有m 个常数a1,a2,…,an的微分方程：y^(n)+a1y^(n-1)+a2y^(n-2)+...+an*y=0其中，y是函数，y^(n)是函数的n阶微分，当n>=0时，常系数微分方程称为普通的常系数微分方程，而当n<0时，称为被动的常系数微分方程。
2常系数微分方程的求解常系数微分方程的求解是数学分析学中的重要内容，目前已经形成了解该类问题的一些方法：（1）对于线性方程，采用求解线性常系数微分方程的一般解法，例如附加变量法、变特征值法等；（2）对于高阶非线性微分方程，采用求解微分方程的数值方法，即差分近似法，例如有限差分法、有限元法等；（3）对于常系数微分方程的拓展问题，则需要添加对应的拓展方法，例如组合数值分析法、Laplace变换法等；（4）对于非线性常系数微分方程的求解，采用求解非线性方程的数值方法，例如弦截法、分段线性化方法、图像法、牛顿迭代法等；（5）对于具有给定强行条件的常系数微分方程，有时需要采用求解条件方程的解析方法，例如克莱姆法、特征值法等；（6）综合方法，例如基于拟牛顿方法的滤波器法、基于随机变量的最大似然估计方法等。
3四个重要概念在学习常系数微分方程的求解时，要熟悉以下4个概念：（1）特征根：对于函数y=f(x)，它的特征根是指y'=0时的解。
所以，当一个微分方程有解时，那么它的特征根就可以成为方程解中特定变量x的“0值变化”点，即可将该方程分解为特征根和变量x的关系。
（2）特征方程：特征方程是指常系数微分方程的特征多项式及其对应的特征方程的求解问题。
特征多项式就是通过将常系数微分方程化为特征形式，转换出来的多项式。
在求解特征方程时，利用传统的多项式解法，即贝祖定理，计算出特征方程的特征根。
常微分方程的解
常微分方程的解是千儿的首篇笔记啦(^_−)☆这一系列笔记大概是来梳理一下各种常微分方程的解法。
证明部分暂时不会作为重点。
这篇笔记将梳理常微分方程的基本解法。
笔记主要采用的教材是丁同仁老师的《常微分方程教程》。
〇、一些名词1、常微分方程凡是联系自变量 x ，这个自变量的未知函数 y = y(x)及其直到 n 阶导数在内的函数方程f(x,y,y',y'',...,y^{(n)}) = 0 叫做常微分方程，并称 n为常微分方程的阶。
如果在上式中， f 对 y,y',...,y^{(n)} 而言都是一次的，那么我们称该方程为线性常微分方程，否则称其为非线性的。
如果未知函数是多元的，那么称之为偏微分方程。
在学习常微分方程的过程中，需要辩证地看待常微分方程和偏微分方程的关系，并及时进行转换。
这样就可以灵活地求解常微分方程。
2、解和通解若函数 y = \varphi (x) 在区间 j 内连续，且存在直到n 阶的导数。
若把 \varphi (x) 及其对应的各阶导数代入原方程，得到关于 x 的恒等式，那么我们称 y = \varphi(x)是原方程在区间 j 上的一个解。
如果解 y = \varphi(x, c_1,c_2,...,c_n) 中包含 n 个独立的任意常数c_1,c_2,...,c_n ，那么我们称其为通解。
若解中不包含任意常数，那么我们称其为特解。
3、初等积分法初等积分法是用一些初等函数或它们的积分来表示微分方程的解的方法。
这也是我们在本节中讨论的方法。
一、恰当方程对于形如 p(x,y)\text dx + q(x,y)\text dy = 0 的方程，如果存在一个可微函数 \phi (x,y) 使得 \text d \phi (x,y) = p(x,y)\text dx = q(x,y) \text dy，那么我们称其为一个恰当方程，或全微分方程。
恰当方程有解的充要条件是 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac{ \partial q(x,y)}{\partial x} 。
线性常微分方程的解法
线性常微分方程的解法线性常微分方程（Linear Ordinary Differential Equation, 简称LODE）是微积分中重要的基础概念之一，它在多个领域中具有广泛的应用。
本文将介绍线性常微分方程的解法，并探讨其中的一些基本原理和方法。
一、一阶线性常微分方程的解法一阶线性常微分方程的一般形式可以表示为:\[\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)\]其中P(x)和Q(x)是已知函数。
为了求解这个方程，我们可以借助于积分因子的方法。
假设积分因子是μ(x)，则两边同时乘以μ(x)后，上述方程可以变形为:\[\mu(x)\frac{{dy}}{{dx}} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)\]左边的第一项可以通过乘积法则进行展开得到:\[\frac{{d}}{{dx}}(\mu(x)y) = \mu(x)Q(x)\]再对上式两边同时积分，得到:\[\mu(x)y = \int \mu(x)Q(x)dx\]最后将上式两边除以μ(x)，即可得到y的解:\[y = \frac{{1}}{{\mu(x)}}\int \mu(x)Q(x)dx\]二、二阶线性常微分方程的解法二阶线性常微分方程的一般形式可以表示为:\[y'' + P(x)y' + Q(x)y = R(x)\]其中P(x)，Q(x)和R(x)是已知函数。
通常情况下，我们可以先找到该方程的齐次线性方程的解，即P(x)、Q(x)和R(x)都等于零的情况。
这个方程可以表示为:\[y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0\]假设方程的一个解是y1(x)，我们可以根据叠加原理得到方程的通解:\[y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)\]然后我们需要找到该方程的特解，即当P(x)，Q(x)和R(x)都不等于零的情况。
根据经验，我们通常可以猜测特解的形式，并将猜测的特解代入原方程，通过比较系数的方式求解。
常微分方程的常见解法
# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在1 1 的网格点上画出了向量场
44
的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2 ,1) (-2,2) 的三
条积分曲线，见下图
M (x,y)co x s2xye , y
N (x,y)co x s2xye x
M(x,y)N(x,y)
y
x
所以方程为全微分方程。
由公式F (x ,y ) 0M (s ,y )d s 0N (0 ,s )d s
x(yc o ss 2 se y)d sy2 d s
0
0
ysinxx2ey2y
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
dx
令 zy1n,则 dz(1n)yndy
dx
dx
d z (1 n )P (x )z (1 n )Q (x )
d x
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x ( t )
常微分方程的求解
18—1 常微分方程数值解法2§1 引言§2 Euler 方法§3 Runge －Kutta 方法§4 单步法的收敛性与稳定性§5 线性多步法§6 方程组与高阶方程的情况§7 边值问题的数值解法3§1 引言微分方程：关于一个未知函数的方程，方程中含有未知函数的（偏）导数，以及自变量等，其中关于未知函数导数的最高次数称为微分方程的阶数.例如：0)()(')()(''=++−x c y x b y x a x y4实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解.微分方程的应用情况5对于一个常微分方程：'(,) ,[,]dy y f x y x a b dx==∈为了使解存在，一般要对函数f 施加限制条件，例如要求f 对y 满足Lipschitz 条件：1212(,)(,)f x y f x y L y y −≤−6同时，一个有解的微分方程通常会有无穷多个解例如cos() sin(),dyx y x a a R dx=⇒=+∀∈为了使解唯一，需要加入一个限定条件. 通常会在端点出给出，如下面的初值问题：(,),[,]()dyf x y x a b dx y a y ⎧=∈⎪⎨⎪=⎩7常微分方程的解是一个函数，但是，只有极少数特殊的方程才能求解出来，绝大多数是不可解的.并且计算机没有办法对函数进行运算. 一般考虑其近似解法，一种是近似解析法，如逼近法、级数解法等，另一种是本章介绍的数值解法.8§2 Euler 方法92－1 Euler 公式对常微分方程初值问题：⎩⎨⎧==00')(),(y x y y x f y 数值求解的关键在于消除其中的导数项——称为离散化. 利用差商近似逼近微分是离散化的一个基本途径.10现在假设求解节点为),,1,0(m i ih a x i "=+=，其中ma b h −=为步长，这些节点相应的函数值为)(,),(1m x y x y ". 在点n x 处，已知))(,()('n n n x y x f x y =用n x 的向前差商nn n n x x x y x y −−++11)()(近似代替)('n x y ，如§1，则得到所谓的Euler 公式1(,)n n n n y y hf x y +=+——单步、显式格式11Euler 公式的局部截断误差：假设)(n n x y y =情况下，11)(++−n n y x y 称为局部截断误差.'''2311''23()()()()()2()(,()(()))2n n n n n n n n n y x y x y y x hy x h O h y x h y x f x y x h O h ++−=+++−−=+故有)(2)(''211n n n x y h y x y ≈−++. 122－2 后退的Euler 公式同样对常微分方程初值问题，在1+n x 点，已知))(,()(111'+++=n n n x y x f x y ，如果用向后差商hx y x y n n )()(1−+代替)(1'+n x y ，则得到后退的Euler 公式：111(,)n n n n y y hf x y +++=+——单步、隐式格式13相对于以上可以直接计算1+n y 的Euler 公式（显式），上式是隐式公式. 一般来讲，显式容易计算，而隐式具有更好的稳定性.求解上述公式，通常使用迭代法：对于给定的初值)0(1+n y，计算(1)()111(,)(0,1,)k k n n n n y y f x y k ++++=+="， 如果)(1lim k n k y +∞→收敛，则其极限必满足上述后退Euler 公式.14局部截断误差：假设)(n n x y y =，则),()(111++++=n n n n y x hf x y y .由于)]()[,())(,(),(1111111+++++++−+=n n n y n n n n x y y x f x y x f y x f η且''''2111(,())()()()()n n n n n f x y x y x y x hy x O h +++==++15则有'2''31111(,)[()]()()()()n y n n n n n n y hf x y y x y x hy x h y x O h η++++=−++++将此式减去式2'''31()()()()()2n n n n h y x y x hy x y x O h +=+++ 可得，2''311111()(,)[()]()()2n n y n n n n h y x y hf x y x y y x O h η+++++−=−−+16考虑到21111(,)()1(,)y n y n hf x O h hf x ηη++=++−，则有22''3''11()()()()22n n n n h h y x y y x O h y x ++−=−+≈−172－3 梯形公式由于上述两个公式的局部截断误差绝对值相等，符号相反，故求其算术平均得到梯形公式：111[(,)(,)]2n n n n n n hy y f x y f x y +++=++——单步、隐式格式18梯形法同样是隐式公式，可用下列迭代公式求解：(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2n n n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y +++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩局部截断误差：类似于后退Euler ，可计算出)(12)('''311n n n x y h y x y −≈−++192－4 改进的Euler 公式上述用迭代法求解梯形公式虽然提高了精度，但计算量也很大. 实际上常采用的方法是，用Euler 公式求得初始值（预测），然后迭代法仅施行一次（校正）——改进的Euler 公式：1111(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y f x y hy y f x y f x y ++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩20估计上式中第二式当1+n y 为准确值时的局部截断误差：''11113(3)()()(()[()()])2()12n n n n n n n hy x y y x y x y x y x hy x ++++−=−++≈−212－5 Euler 两步公式如果用中心差商hx y x y n n 2)()(11−+−代替)('n x y ，则得Euler 两步公式112(,)n n n n y y hf x y +−=+——两步、显式格式22假设1−n y 及n y 均为准确值，利用Taylor 展式容易计算Euler 两步公式的局部截断误差为：11113(3)()()(()2(,()))()3n n n n n n n y x y y x y x hf x y x h y x +++−−=−+≈23此式与梯形公式相结合，得到如下的预测－校正公式：111112(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y hy y f x y f x y −++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩假设第一式中的1−n y 及n y ，以及第二式中的n y 及1+n y 均是准确值，则有，2441)()(1111−≈−−++++n n n n y x y y x y 从而可得以下的事后估计式，111111114()()51()()5n n n n n n n n y x y y y y x y y y ++++++++⎧−≈−−⎪⎪⎨⎪−≈−⎪⎩25可以期望，以上式估计的误差作为计算结果的补偿，可以提高计算精度.以n p 及n c 分别表示第n 步的预测值和校正值，则有以下的“预测－改进－校正－改进”方案（其中在1+n p 与1+n c 尚未计算出来的前提下，以n n c p −代替11++−n n c p ：26预测：'112n n n hy y p +=−+预测的改进：)(5411n n n n c p p m −−=++计算：),(11'1+++=n n n m x f m校正：)(2'1'1++++=n n n n m y hy c校正的改进：)(511111++++−+=n n n n c p c y计算：),(11'1+++=n n n y x f y27例 用Euler 方法求解初值问题2'[0,0.6](0)1y y xy x y ⎧=−−∈⎨=⎩取0.2h =，要求保留六位小数. 解：Euler 迭代格式为2210.2()0.80.2k k k k k k k k y y y x y y x y +=+−−=−因此2821000(0.2)0.80.20.8y y y x y ≈=−= 22111(0.4)0.80.20.6144y y y x y ≈=−=23222(0.6)0.80.20.461321y y y x y ≈=−=29例 用改进的Euler 方法求解初值问题2'sin 0[0,0.6](0)1y y y x x y ⎧++=∈⎨=⎩取0.2h =，求(0.2),(0.4)y y 的近似值，要求保留六位小数.解：改进的Euler 格式为212211110.2(sin )0.2(sin sin )2k k k k k k k k k k k k k y y y y x y y y y x y y x +++++⎧=+−−⎪⎨=+−−−−⎪⎩30即，222110.820.08sin 0.1(0.80.2sin )sin k k k k k k k k y y y x y y x x ++=−−−则有1(0.2)0.807285y y ≈=，2(0.4)0.636650y y ≈=31§3 Runge －Kutta 方法Def.1如果一种方法的局部截断误差为)(1+p h O ，则称该方法具有p 阶精度. 323－2 Runge —Kutta 方法的基本思想上述的Taylor 级数法虽然可得到较高精度的近似公式，但计算导数比较麻烦. 这里介绍不用计算导数的方法.))(,()()()('1h x y h x f h x y hx y x y n n n n n θθθ++=+=−+——平均斜率.33如果粗略地以),(n n y x f 作为平均斜率，则得Euler 公式；如果以221K K +作为平均斜率，其中),(1n n y x f K =，),(112hK y x f K n n +=+，则得改进的Euler 公式.343－3 二阶的Runge －Kutta 方法对点n x 和)10(≤<+=+p ph x x n p n ，用这两点斜率的线性组合近似代替平均斜率，则得计算公式：11122121()(,)(,)n n n n n p n y y h K K K f x y K f x y phK λλ++⎧=++⎪=⎨⎪=+⎩35现确定系数p ,,21λλ，使得公式具有二阶精度. 因为，取n y 为()n y x ，则'1(,)(,())'()n n n n n nK f x y f x y x y x y === 再把2K 在),(n n y x 处展开，有36'21(,)(,)n p n n n n K f x y phK f x ph y phy +=+=++代入可得，'2''31122()()n n n n y y hy ph y O h λλλ+=++++'2(,)(,)(,)()n n x n n y n n n f x y f x y ph f x y phy O h =+⋅+⋅+'2(')(,)()n x y n n y ph f f y x y O h =+⋅+⋅+'''2()n n y ph y O h =+⋅+37相比较二阶Taylor 展开''2'12n n n n y h hy y y ++=+，有，⎪⎩⎪⎨⎧==+211221p λλλ满足此条件的公式称为二阶Runge －Kutta 公式.38可以验证改进的Euler 公式属于二阶Runge －Kutta 公式. 下列变形的Euler 公式也是二阶Runge －Kutta 公式：12121(,)(,)22n n n n n n y y hK K f x y h h K f x y K +⎧⎪=+⎪=⎨⎪⎪=++⎩393－4 三阶Runge －Kutta 公式同二阶Runge －Kutta 公式，考虑三点,,(01)n n p n q x x x p q ++≤≤≤试图用它们的斜率321,,K K K 的线性组合近似代替平均斜率，即有如下形式的公式：1112233121312()(,)(,)(,())n n n n n n n n y y h K K K K f x y K f x ph y phK K f x qh y qh rK sK λλλ+=+++⎧⎪=⎪⎨=++⎪⎪=+++⎩40把32,K K 在),(n n y x 处展开，通过与)(1+n x y 在n x 的直接Taylor 展式比较，可确定系数s r q p ,,,,,,321λλλ，满足下式，从而使得上述公式具有三阶精度，41特别地，2,1,1,21,32,61231=−======s r q p λλλ是其一特例.123232223311213161p q p q pqs r s λλλλλλλλ++=⎧⎪⎪+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎪+=⎪⎩423－5 四阶Runge －Kutta 公式相同的方法，可以导出下列经典的四阶Runge －Kutta 公式：112341213243(22)6(,)(,)22(,)22(,)n n n n n n n n n n h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩43例 用经典四阶Runge —Kutta 方法求解初值问题'83[0,0.4](0)1y y x y =−⎧∈⎨=⎩，取0.2h =，求(0.4)y 的近似值，要求保留六位小数.解：四阶Runge —Kutta 格式为44112341211123122241330.2(22)6(,)830.2(,)83(0.1) 5.6 2.120.2(,)83(0.1) 6.32 2.372(,0.2)83(0.2) 4.208 1.578k k k k k k k k k k k kk k k k ky y K K K K K f x y y K f x y K y K yK f x y K y K y K f x y K y K y ++++⎧=++++⎪⎪==−⎪⎪⎪=+=−+=−⎨⎪⎪=+=−+=−⎪⎪⎪=+=−+=−⎩则10.5494 1.2016k k y y +=+，45故12(0.2) 2.3004,(0.4) 2.4654y y y y ≈=≈=.注：由准确解382()33xy x e −=−可得(0.2) 2.300792,(0.4) 2.465871y y ==46§5 线性多步法基本思想：在计算1+i y 之前，已计算出一系列的近似值i y y ,,1"，如果充分利用这些已知信息，可以期望会获得更高精度的)(1+i x y 的近似值1+i y .基本方法：基于数值积分与基于Taylor 展开的构造方法.475－1 基于数值积分的构造方法对方程),('y x f y =两边从i x 到1+i x 积分，则得∫++=+1),()()(1i ix x i i dxy x f x y x y 设)(x P r 是f (x , y )的插值多项式，由此可得以下的一般形式的计算公式：∫++=+1)(1i ix x r i i dxx P y y 48例 取线性插值))(,())(,()(11111+++++−−+−−=i i i i ii i i i i r x y x f x x x x x y x f x x x x x P ，则得到梯形法：)],(),([2111+++++=i i i i i i y x f y x f hy y495－2 Adams 显式公式在区间],[1+i i x x 上利用r ＋1个数据点),(,),,(),,(11r i r i i i i i f x f x f x −−−−"构造插值多项式)(x P r ，由牛顿后插公式（注意到：j i j i j f f −Δ=∇）j i jrj j i r f j t th x P −=Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+∑0)1()(其中!)1()1(j j s s s j s +−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛". 50可得10rj i i rj i jj y y h f αΔ+−==+∑——Adams 显式公式其中1(1)j j t dt j α−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∫，它可写成：∑=−++=rj ji rj i i f h y y 01β515－3 Adams 隐式公式在区间],[1+i i x x 上利用r ＋1个数据点),(,),,(),,(1111+−+−++r i r i i i i i f x f x f x "构造插值多项式)(x P r ，由牛顿后插公式101)1()(+−=+Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+∑j i jrj ji r f j t th x P 可得*11rj i i rj i j j y y h f α+−+==+Δ∑——Adams 隐式公式52其中01(1)jj t dt j −−⎛⎞α=−⎜⎟⎝⎠∫，它又可写成： *11ri i rj i j j y y h f β+−+==+∑535－4 Adams 预测－校正公式以r ＝3时的Adams 显式与隐式公式为例. 此时，显式公式为)9375955(243211−−−+−+−+=i i i i i i f f f f hy y 利用Taylor 展式，容易计算局部截断误差为)(720251)5(5i x y h . 54)5199(242111−−+++−++=i i i i i i f f f f hy y 同样利用Taylor 展开可得，其局部截断误差为5(5)19()720i h y x −. 隐式公式为55⎪⎩⎪⎨⎧+−++=−+−+=−−+++−−−+)519),(9(24)9375955(24211113211i i i i i i i i i i i i i f f f y x f hy y f f f f h y y 注 利用2－5节的相同作法同样可以构造更精确的计算过程.可构造利用显式预测，隐式校正的计算公式：56§6 方程组与高阶方程的情形6－1 一阶方程组常微分方程初值问题为⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 此时T m y y y ),,(1"=，Tm f f f ),,(1"=. 此时上述的一切方法均可使用，只是注意y 与f 此时为向量.576－2 化高阶方程为一阶方程组解下列的m 阶方程()(1)'(1)(1)000000(,,',,)(),'(),,()m m m m y f x y y y y x y y x y yx y −−−⎧=⎨===⎩""令)1(21,,',−===m m y y y y y y "，则有58'12'23'1'12(,,,,)m m m m y y y y y yy f x y y y −⎧=⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎩#"初始条件为：)1(00'002001)(,,)(,)(−===m m y x y y x y y x y "。
常微分方程的常见解法
实例解析
实例1
求解一阶线性常微分方程 $y' + p(x)y = q(x)$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda y = q(x)$，从而简化求解过程。
实例2
求解二阶常微分方程 $y'' + y' + y = 0$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda^2 + lambda + 1 = 0$，从而求解出 $lambda$ 的值，进一步得到原方程的解。
当 (M(x)) 和 (N(x)) 均为非零函数时，该方法适用。
实例解析
1. 确定积分因子
选择积分因子为 (e^x)
5. 解出原方程
将 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C) 代入 原方程，解得 (y = frac{1}{3} x^2 + Ce^{-x})
4. 解方程
对两边积分，得到 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C)
04 积分因子法
定义与特点
定义
积分因子法是一种通过引入一个因子来简化微分方程的方法。
特点
通过乘以一个适当的因子，可以将微分方程转化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。
适用范围
适用于形如 (M(x)y' + N(x)y = f(x)) 的线性微分方程，其中 (M(x)) 和 (N(x)) 是 已知函数，(f(x)) 是给定的函数。
实例2
考虑一阶常微分方程 (dy/dx = xy)，其中 (x > 0) 且 (y > 0)。通过分离变量法， 我们可以得到 (dy/y = xdx)，进一步求解得到 (ln|y| = frac{1}{2}x^2 + C)，其 中 (C) 是积分常数。
常微分方程解法
常微分方程解法常微分方程是数学中的一门重要分支，研究描述自然界和社会现象中变化规律的方程。
解常微分方程的方法多种多样，下面将介绍常见的几种解法。
一、分离变量法分离变量法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 将方程写成dy/g(y)=f(x)dx的形式，将变量分离。
2. 对两边同时积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。
3. 左边的积分可以通过换元或者使用常见函数的积分公式进行计算。
4. 右边的积分可以通过与左边的积分结果进行比较来判断是否需要使用特殊的积分技巧。
5. 对左右两边同时积分后，解出方程中的积分常数。
6. 将积分常数代回原方程中，得到完整的解。
二、常数变易法常数变易法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 先求出对应的齐次方程dy/dx+p(x)y=0的通解。
2. 假设原方程的特解为y=u(x)v(x)，其中u(x)是一个待定的函数，v(x)是齐次方程的通解。
3. 将y=u(x)v(x)代入原方程中，整理后得到关于u(x)和v(x)的方程。
4. 解出关于u(x)的方程，得到u(x)的值。
5. 将u(x)的值代入v(x)中，得到特解。
6. 特解与齐次方程的通解相加，即得到原方程的完整解。
三、二阶齐次线性方程解法二阶齐次线性方程的一般形式为d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0。
解题步骤如下：1. 求解对应的齐次方程d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0的特征方程r^2+p(x)r+q(x)=0，其中r为未知数。
2. 求解特征方程得到两个不同的根r1和r2。
3. 根据r1和r2的值，得到齐次方程的通解y=c1e^r1x+c2e^r2x，其中c1、c2为任意常数。
四、变量替换法变量替换法适用于形如dy/dx=f(y/x)的一阶常微分方程。
解题步骤如下：1. 进行变量替换，令u=y/x，即y=ux。
常系数微分方程的通解
常系数微分方程的通解常系数微分方程是微积分中的重要内容，常见于物理、工程、经济等领域的建模和分析中。
常系数微分方程的通解是指一类形式相同的微分方程的解的集合，它能够描述该类方程的所有解。
本文将对常系数微分方程的通解进行详细介绍和讨论。
常系数微分方程是指方程中的系数是常数而非变量的微分方程。
常系数微分方程的一般形式为：\[a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y = 0\]其中，\(y^{(n)}\)表示y的n阶导数，\(a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0\)为常数。
常系数微分方程的通解可以通过特征方程的根来确定。
特征方程是将方程中的导数符号化，然后去掉常数项后得到的代数方程。
对于n阶常系数微分方程，其特征方程为：\[a_n\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0 = 0\]其中，\(\lambda\)为特征方程的根。
根据特征方程的根的不同情况，常系数微分方程的通解可以分为三种情况：单根情况、重根情况和复根情况。
考虑单根情况。
如果特征方程的根是不相等的实数\(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\)，那么常系数微分方程的通解形式为：\[y = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x} + \cdots + C_ne^{\lambda_nx}\]其中，\(C_1, C_2, \cdots, C_n\)为任意常数。
考虑重根情况。
如果特征方程的根是重根\(\lambda\)，那么常系数微分方程的通解形式为：\[y = (C_1 + C_2x)e^{\lambda x} + C_3e^{\lambda_2x} + \cdots + C_ne^{\lambda_nx}\]其中，\(C_1, C_2, \cdots, C_n\)为任意常数。
常微分方程的分类及其解法
常微分方程的分类及其解法常微分方程是数学中非常重要的一门学科，它涉及到的领域很广，如物理学、工程学、经济学等等都有很多应用。
常微分方程的分类及其解法，是常微分方程学习的重要内容，下面本文将就此做出一定的阐述。
一、常微分方程的分类常微分方程按照阶数，可以分为一阶常微分方程、二阶常微分方程、三阶常微分方程以及高阶常微分方程。
按照变量的个数，可以分为一元常微分方程和多元常微分方程。
按照系数的定性，可以分为常系数微分方程和变系数微分方程。
二、常微分方程的解法1. 一阶常微分方程的解法（1）可分离变量方程法对于形如$y^{'}=f(x)g(y)$的方程，如果能将变量x和y分离到等式两端，即$$\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx$$两端对x积分，得到$$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$$式中C为常数。
这里需要注意的是，$g(y)$不能为0，如果出现$g(y)$为0的情况，需要特别处理。
（2）积分因子法对于形如$y^{'}+P(x)y=Q(x)$的方程，如果能找到一个函数$\mu(x)$，使得方程两端同时乘上$\mu(x)$得到的新方程，可以写成$$\mu(x)y^{'}+\mu(x)P(x)y=\mu(x)Q(x)$$其中左边一项可以通过链式法则写成$(\mu(x)y)^{'}$的形式，于是方程可以转化为$$ (\mu(x)y)^{'}=\mu(x)Q(x)$$这是一个可积的方程，可以积分得到原方程的解。
（3）直接积分法对于形如$y^{'}=f(x)$的方程，可以直接对方程两边积分得到$$y=\int f(x)dx+C$$式中C为常数。
2. 二阶常微分方程的解法（1）常系数齐次线性方程法形如$y^{''}+py^{'}+qy=0$的方程称为齐次线性方程，如果其系数不随自变量x的变化而变化，即p、q为常数，那么称为常系数齐次线性方程。
常微分方程常见形式及解法
常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。
简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。
接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。
一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。
齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。
一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。
2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。
当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。
常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。
二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。
对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。
例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。
2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。
原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。
常微分方程解法
-179-第十五章 常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。
如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如22x y dxdy+=，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。
§1 常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=0)(),(y a y bx a y x f dx dy(1)在下面的讨论中，我们总假定函数),(y x f 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L ，使得|||),(),(|y y L y x f y x f −≤−这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
所谓数值解法，就是求问题（1）的解)(x y 在若干点b x x x x a N =<<<<=L 210处的近似值),,2,1(N n y n L =的方法，),,2,1(N n y n L =称为问题（1）的数值解，n n n x x h −=+1称为由n x 到1+n x 的步长。
今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：（i ）用差商近似导数若用向前差商hx y x y n n )()(1−+代替)('n x y 代入（1）中的微分方程，则得),1,0())(,()()(1L =≈−+n x y x f hx y x y n n n n 化简得))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+如果用)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为)(1+n x y 的近似值，记为1+n y ，则有),1,0(),(1L =+=+n y x hf y y n n n n （2）这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题⎩⎨⎧==+=+)(),1,0(),(01a y y n y x hf y y n n n n L （3） 得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出L ,,21y y 。
常微分方程常见形式及解法
齐次二阶线性微分方程：
描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
非齐次一阶非线性微分方程：
描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
常微分方程 毕文彬 3
微分方程的解
微分方程的解通常是一个函数表达式（含一 个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如： dy/dx=sinx， 的解是 y=-cosx+C， 其中C是待定常数； 例如，如果知道 y=f(π)=2， 则可推出 C=1， 而可知 y=-cosx+1，
常微分方程
毕文彬
4
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
常微分方程
毕文彬
5
01
一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： 对于方程： 可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
常微分方程
毕文彬
6
02
二阶常系数齐次常微分方程
对于二阶常系 其特征方程： 根据其特征方程，判断根的分布情况， 然后得到方程的通解 一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):
(在的r1≠r2情况下): (在共轭复数根的情况下)：
常微分方程 毕文彬 7
一般通解
常微分方程常见形式及解法
知行1301 13275001 毕文彬
常微分方程 毕文彬 1
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关 系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而 在初等数学的代数方程，其解是常数值。 常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是 单一自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是 一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向 量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程 组成的系统。微分方程的表达通式是：
常微分方程通解
常微分方程通解随着科学技术的不断发展，微积分成为了现代科学的基础，其中常微分方程是微积分的重要分支之一。
常微分方程在物理、化学、生物学等领域中都有广泛的应用，因此其研究具有重要的理论和实际意义。
一、常微分方程的定义常微分方程是指一个未知函数与其导数之间的关系式，其中未知函数是一个自变量的函数，而其导数是该函数的导数。
通常情况下，我们用y表示未知函数，x表示自变量，y'表示y关于x的一阶导数，y''表示y关于x的二阶导数，以此类推。
因此，常微分方程可以表示为：F(x, y, y', y'', …, y^(n)) = 0其中，F是一个给定的函数，n是方程的阶数。
二、常微分方程的分类常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程两种。
1. 线性常微分方程线性常微分方程是指未知函数y及其导数y'、y''、…、y^(n)之间的关系式为线性关系。
其一般形式为：a_0(x)y + a_1(x)y' + a_2(x)y'' + … + a_n(x)y^(n) = f(x) 其中，a_0(x)、a_1(x)、a_2(x)、…、a_n(x)是已知函数，f(x)是已知函数或常数。
2. 非线性常微分方程非线性常微分方程是指未知函数y及其导数y'、y''、…、y^(n)之间的关系式为非线性关系。
其一般形式为：F(x, y, y', y'', …, y^(n)) = 0其中，F是已知函数。
三、常微分方程的解法常微分方程的解法很多，常见的有解析解法和数值解法。
1. 解析解法解析解法是指通过解析方法求得方程的解析解，即用已知的函数表达式表示出未知函数y。
解析解法需要有一定的数学基础，但是其解法具有一定的普遍性和通用性，可以解决许多常见的常微分方程。
例如，对于一阶线性常微分方程：y' + p(x)y = q(x)可以通过求出其通解：y = e^(-∫p(x)dx)(∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx + C)其中，C为任意常数。
常见的常微分方程的一般解法
常见的常微分方程的一般解法总结了常见常微分方程的通解。
如无意外，本文将不包括解的推导过程。
常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类：1.可分离变量的微分方程（一阶）2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努利3.二阶常系数微分方程（二阶）4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉1.可分离变量的微分方程（一阶）这类微分方程可以变形成如下形式：f ( x ) d x =g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy函数可以通过同时整合两边来解决。
难点主要在于不定积分，不定积分是最简单的微分方程。
p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。
2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)的方程叫做一阶线性微分方程，若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。
解法：直接套公式：y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{-\int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C)y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)多套几遍熟练就好。
伯努利方程形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈R , n ≠ 1\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u，方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n，得到d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x )\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)即 d u d x + P ′ ( x ) u = Q ′ ( x )\frac{du}{dx}+P'(x)u=Q'(x) dxdu+P′(x)u=Q′(x)这是一个可以公式化的一阶线性微分方程。
常微分方程高阶方程解法
常微分方程高阶方程解法常微分方程是描述变量关系的数学方程。
常微分方程可以分为一阶方程和高阶方程两种形式。
一阶方程是指方程中最高阶导数的阶数为一阶，高阶方程则是指方程中最高阶导数的阶数高于一阶。
高阶常微分方程解法较为复杂，需要借助一些特定的方法和技巧。
下面将介绍几种常见的高阶常微分方程解法。
1.常系数线性齐次方程的解法：齐次方程是指方程中没有出现自变量的项，且系数是常数的方程。
对于常系数线性齐次方程：a_n*y^n + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_0*y = 0可以使用特征根法来求解。
假设y=e^(rx)是方程的解，代入方程可得：a_n*r^n*e^(rx) + a_(n-1)*r^(n-1)*e^(rx) + ... + a_0*e^(rx) = 0化简得到特征方程：a_n*r^n + a_(n-1)*r^(n-1) + ... + a_0 = 0解特征方程得到方程的特征根r1, r2, ..., rn，则方程的通解为：y = C1*e^(r1x) + C2*e^(r2x) + ... + Cn*e^(rnx)其中，C1, C2, ..., Cn为任意常数。
2.可降阶的高阶常微分方程的解法：可降阶的高阶常微分方程是指可以通过变量代换和符号分解等方法将高阶方程转化为一阶方程的形式。
例如，对于二阶常系数线性非齐次方程：a_2*y'' + a_1*y' + a_0*y = f(x)可以通过令z=y'代换变量，得到一阶常系数线性非齐次方程：a_2*z' + a_1*z + a_0*y = f(x)这样，高阶方程就转化为了一阶方程，可以采用一阶方程的解法来求解。
解出z后再求一次积分即可得到y的解。
3.常微分方程的级数解法：对于某些高阶常微分方程，可以采用级数展开的方法得到解的近似表达式。
假设方程的解可以表示为幂级数的形式：y = ∑(n=0 to ∞) a_n*x^n将该表达式代入方程，逐次求出各个系数a_n，即可得到解的级数表达式。
常微分方程的求解方法
r 2 pr q 0
这表明方程 与
④
r 2 e rx pre rx qe rx 0 r 2 pr q 0
是等价的。
8 33
由上可知：为了求微分方程方程 ① 的特解，可以求形式为
y e rx 的特解，而且求解代数方程 ④ 就可以了。 换句话说，如果 r 是方程 ④ 的一个根，则 y e rx 就
（得两个特解：e 2 x ， xe 2 x ） 所求通解为
14 33
（3）共轭复根（判别数 p 2 4q 0 ）
这时特征方程的两个根为
r1, 2
设
p
p 2 4q 2
则
2 p 4 q p , , 2 2 r1 i , r2 i
y py qy ( xy1 ) p( xy1 ) q( xy1 )
) p( y1 xy1 ) qxy1 ( y1 xy1 y1 xy1 py1 pxy1 qxy1 y1 py1 x( y1 py1 qy1 ) 2 y1 py1 2 y1
e i cos i sin
可以把两个特解改写为
e r1 x e x e ix ex cos x iex sin x e r2 x e x e ix ex cos x iex sin x
然后，很容易验证
y1 ex cos x,
y py qy 0 y1 * k （常数） 的两个特解，而且 ，则 y c1 y1 c 2 y 2 y2
是其通解，其中 c1 与 c 2 为任意常数。 【证】 首先来证明 y* c1 y1 c 2 y 2 是齐次方程的解，
常微分方程常见形式及解法
常微分方程常见形式及解法
常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODEs）是一种
用来描述动态系统的极其重要的数学工具，它包括了以下几种形式：
一阶常微分方程：它可以表示为 y'+P(x)y=Q(x)的形式，是最基
本的常微分方程，它的解法主要是利用积分的方法。
二阶常微分方程：它可以表示为y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x)的形式，
是有两个未知函数的微分方程，它的解法大致可分为两类：一是通过
分离变量的方法，将二阶常微分方程分解为两个一阶方程，然后再用
一阶方程的解法来求解；二是利用特殊转换，将二阶方程转换为常系
数线性微分方程，再利用矩阵相关方法解决。
高阶常微分方程：它可以表示为y^(n)+P(x)y'^(n-
1)+...+Q(x)y=R(x)的形式，包含了一阶和二阶常微分方程的特点，它
的解法也是分成两步：首先将高阶常微分方程归纳到低阶常微分方程，再利用上述方法对低阶常微分方程求解。
另外，还有一些常见形式的常微分方程，如常系数线性微分方程、拉普拉斯微分方程、Fredholm微分方程等，它们的解法可以采用矩阵
相关方法或者Green函数求解法来解决。
常微分方程各种解的定义、关系及判定方法
常微分方程各种解的定义、关系及判定方法嘿，咱今儿就来聊聊常微分方程各种解的那些事儿！啥是常微分方程的解呢？简单说，就是能让这个方程成立的那个函数呗！就好像是一把钥匙开一把锁，这个解就是能完美契合方程的那个存在。
常微分方程的解有好多类型呢！比如说通解，这就像是一个大家族，里面包含了好多可能的解。
它呀，就像一个大宝藏，各种可能性都在里面藏着呢！还有特解，这可就是从通解这个大家族里挑出来的那个特别的存在呀，独一无二的哟！那通解和特解之间是啥关系呢？这就好比一棵大树和它上面的一个特别的果子。
通解是整棵大树，有着各种各样的分支和可能，而特解就是那一个被选中的果子，有着自己独特的位置和特点。
你说神奇不神奇？那怎么来判定这些解呢？这可得有点真本事啦！就像警察抓小偷，得有敏锐的洞察力和判断力。
咱得看看这个函数代到方程里是不是正好合适，是不是能严丝合缝地对上。
这可不是随便就能搞定的事儿，得仔细琢磨，认真分析呢！比如说，有些方程一眼看上去就挺复杂，那找解的时候可得瞪大眼睛，不能放过任何一个细节。
就跟找宝藏似的，得一点点去挖掘，去探索。
有时候可能找了半天也没找到，别急呀，耐心点，说不定下一秒就柳暗花明又一村了呢！再想想，要是没有这些解，那常微分方程不就成了没头苍蝇啦？有了这些解，才能让方程变得有意义，才能让我们更好地理解和研究各种现象呀！这不就跟人得有目标有方向一样嘛，不然不就瞎转悠啦？而且哦，研究常微分方程的解可不仅仅是理论上好玩，在实际生活中也大有用处呢！比如说在物理、工程等领域，那可是解决实际问题的得力助手呀！没有这些解，那些复杂的系统怎么能运行得起来呢？咱可不能小瞧了这常微分方程各种解的定义、关系和判定方法，这可是知识的宝库呀！就像一把钥匙，能打开好多扇门，让我们看到更广阔的世界。
总之呢，常微分方程的解就像是数学世界里的小精灵，有着各种奇妙的本领和特点。
我们要好好去研究它们，去发现它们的奥秘，让它们为我们所用，为我们的生活和学习增添更多的精彩！你说是不是这个理儿？。
第十五章常微分方程的解法
-179-第十五章 常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。
如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如22x y dxdy+=，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。
§1 常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=0)(),(y a y bx a y x f dxdy(1)在下面的讨论中，我们总假定函数),(y x f 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L ，使得|||),(),(|y y L y x f y x f -≤-这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
所谓数值解法，就是求问题（1）的解)(x y 在若干点b x x x x a N =<<<<= 210处的近似值),,2,1(N n y n =的方法，),,2,1(N n y n =称为问题（1）的数值解，n n n x x h -=+1称为由n x 到1+n x 的步长。
今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i ）用差商近似导数若用向前差商hx y x y n n )()(1-+代替)('n x y 代入（1）中的微分方程，则得),1,0())(,()()(1 =≈-+n x y x f hx y x y n n n n化简得))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+如果用)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为)(1+n x y 的近似值，记为1+n y ，则有),1,0(),(1 =+=+n y x hf y y n n n n （2）这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题 ⎩⎨⎧==+=+)(),1,0(),(01a y y n y x hf y y n n n n （3）得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出 ,,21y y 。
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第四章常微分方程数值解[课时安排]6学时[教学课型]理论课[教学目的和要求]了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。
[教学重点与难点]重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。
难点：R—K方法，预估-校正公式。
[教学内容与过程]4.1 引言本章讨论常微分方程初值问题(4.1.1)的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有(4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一.假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点上求的近似.通常取，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截断误差，计算稳定性以及数值解的收敛性与整体误差等问题.4.2 简单的单步法及基本概念4.2.1 Euler法、后退Euler法与梯形法求初值问题(4.1.1)的一种最简单方法是将节点的导数用差商代替，于是(4.1.1)的方程可近似写成(4.2.1)从出发，由(4.2.1)求得再将代入(4.2.1)右端，得到的近似，一般写成(4.2.2) 称为解初值问题的Euler法.Euler法的几何意义如图4-1所示.初值问题(4.1.1)的解曲线y=y(x)过点，从出发，以为斜率作一段直线，与直线交点于，显然有，再从出发，以为斜率作直线推进到上一点，其余类推，这样得到解曲线的一条近似曲线，它就是折线.Euler法也可利用的Taylor展开式得到，由(4.2.3) 略去余项，以，就得到近似计算公式(4.2.2).另外，还可对(4.1.1)的方程两端由到积分得(4.2.4)若右端积分用左矩形公式，用，，则得(4.2.2).如果在(4.2.4)的积分中用右矩形公式，则得(4.2.5)称为后退(隐式)Euler法.若在(4.2.4)的积分中用梯形公式，则得(4.2.6)称为梯形方法.上述三个公式(4.2.2)，(4.2.5)及(4.2.6)都是由计算，这种只用前一步即可算出的公式称为单步法，其中(4.2.2)可由逐次求出的值，称为显式方法，而(4.2.5)及(4.2.6)右端含有当f对y非线性时它不能直接求出，此时应把它看作一个方程，求解，这类方法称为稳式方法.此时可将(4.2.5)或(4.2.6)写成不动点形式的方程这里对式(4.2.5)有，对(4.2.6)则，g与无关，可构造迭代法(4.2.7)由于对y满足条件(4.1.2)，故有当或，迭代法(4.2.4)收敛到，因此只要步长h足够小，就可保证迭代(4.2.4)收敛.对后退Euler法(4.2.5)，当时迭代收敛，对梯形法(4.2.6)，当时迭代序列收敛.例4.1用Euler法、隐式Euler法、梯形法解取h=0.1，计算到x=0.5，并与精确解比较.解本题可直接用给出公式计算.由于，Euler法的计算公式为n=0时，.其余n=1,2,3,4的计算结果见表4-1.对隐式Euler法，计算公式为解出当n=0时，.其余n=1,2,3,4的计算结果见表4-1.表4-1 例4.1的三种方法及精确解的计算结果对梯形法，计算公式为解得当n=0时，.其余n=1,2,3,4的计算结果见表4-1.本题的精确解为，表4-1列出三种方法及精确解的计算结果.4.2.2 单步法的局部截断误差解初值问题(4.1.1)的单步法可表示为(4.2.8)其中与有关，称为增量函数，当含有时，是隐式单步法，如(4.2.5)及(4.2.6)均为隐式单步法，而当不含时，则为显式单步法，它表示为(4.2.9)如Euler法(4.2.2)，.为讨论方便，我们只对显式单步法(4.2.9)给出局部截断误差概念.定义2.1设y(x)是初值问题(4.1.1)的精确解，记(4.2.10)称为显式单步法(4.2.9)在的局部截断误差.之所以称为局部截断误差，可理解为用公式(4.2.9)计算时，前面各步都没有误差，即，只考虑由计算到这一步的误差，此时由(4.2.10)有局部截断误差(4.2.10)实际上是将精确解代入(4.2.9)产生的公式误差，利用Taylor展开式可得到.例如对Euler法(4.2.2)有，故它表明Euler法(4.2.2)的局部截断误差为，称为局部截断误差主项.定义2.2 设是初值问题(4.1.1)的精确解，若显式单步法(4.2.9)的局部截断误差，是展开式的最大整数，称为单步法(4.2.9)的阶，含的项称为局部截断误差主项.根据定义，Euler法(4.2.2)中的=1故此方法为一阶方法.对隐式单步法(4.2.8)也可类似求其局部截断误差和阶，如对后退Euler法(4.2.5)有局部截断误差故此方法的局部截断误差主项为，也是一阶方法.对梯形法(4.2.6)同样有它的局部误差主项为，方法是二阶的.4.2.3 改进Euler法上述三种简单的单步法中，梯形法(4.2.6)为二阶方法，且局部截断误差最小，但方法是隐式的，计算要用迭代法.为避免迭代，可先用Euler法计算出的近似，将(4.2.6)改为(4.2.11)称为改进Euler法，它实际上是显式方法.即(4.2.12)右端已不含.可以证明，=2,故方法仍为二阶的，与梯形法一样，但用(4.2.11)计算不用迭代.例4.2用改进Euler法求例4.1的初值问题并与Euler法和梯形法比较误差的大小.解将改进Euler法用于例4.1的计算公式当n=0时，.其余结果见表4-2.表4-2 改进Euler法及三种方法的误差比较从表4-2中看到改进Euler法的误差数量级与梯形法大致相同，而比Euler法小得多，它优于Euler法.讲解：求初值问题（4.1.1）的数值解就是在假定初值问题解存在唯一的前提下在给定区间上的一组离散点上求解析解的一组近似为此先要建立求数值解的计算公式，通常称为差分公式，简单的单步法就是由计算下一步，构造差分公式有三种方法，一是用均差（即差商）近似，二是用等价的积分方程（4.2.4）用数值积分方法，三是用函数的Taylor展开，其中Taylor展开最有普遍性，可以得到任何数值解的计算公式及其局部截断误差。
计算公式是微分方程的一种近似，局部截断误差的概念就是刻划这种逼迫的好坏。
当为微分方程的解，即，而用，定义局部截断误差，它表示用精确解代入计算公式（4.2.9）产生的公式误差为越大表明公式逼近微分方程的精度越高，因此就定义为公式的阶，通常的公式才能用于计算初值问题（4.1.1）的数值解。
利用Taylor展开时，只要将的表达式在处展开成Taylor公式就可得到不同公式的局部截断误差。
如4.2.2所给出的Euler法。
后退Euler法和梯形法，它们只需用一元函数的Taylor展开，与后面4.5节的多步法完全一致，而通常单步法（4.2.9）的一般情况则需要用二元函数的Taylor展开，才能得到公式的具体形式和局部截断误差。
例如对改进Euler法，其局部截断误差由（4.2.12）可得要求出它的结果就要用到二元函数的Taylor展开，将在4.3节再作介绍。
4.3 Runge-Kutta方法4.3.1 显式 Runge-Kutta法的一般形式上节已给出与初值问题(4.1.1)等价的积分形式(4.3.1)只要对右端积分用不同的数值求积公式近似就可得到不同的求解初值问题(4.1.1)的数值方法，若用显式单步法(4.3.2)当，即数值求积用左矩形公式，它就是Euler法(4.2.2)，方法只有一阶，若取(4.3.3)就是改进Euler法，这时数值求积公式是梯形公式的一种近似，计算时要用二个右端函数f的值，但方法是二阶的.若要得到更高阶的公式，则求积分时必须用更多的f值，根据数值积分公式，可将(4.3.1)右端积分表示为注意，右端f中还不能直接得到，需要像改进Euler法(4.2.11)一样，用前面已算得的f值表示为(4.3.3)，一般情况可将(4.3.2)的表示为(4.3.4)其中这里均为待定常数，公式(4.3.2)，(4.3.4)称为r级的显式Runge-Kutta法，简称R-K方法.它每步计算r个f值(即)，而ki 由前面(i-1)个已算出的表示，故公式是显式的.例如当r=2时，公式可表示为(4.3.5)其中.改进Euler法(4.2.11)就是一个二级显式R-K方法.参数取不同的值，可得到不同公式.4.3.2 二、三级显式R-K方法对r=2的显式R-K方法(4.3.5)，要求选择参数，使公式的阶p尽量高，由局部截断误差定义(4.3.6)令，对(4.3.6)式在处按Taylor公式展开，由于将上述结果代入(4.3.6)得要使公式(4.3.5)具有的阶p=2,即，必须(4.3.4)即由此三式求的解不唯一.因r=2，故，于是有解(4.3.8)它表明使(4.3.5)具有二阶的方法很多，只要都可得到二阶R-K方法.若取，则，则得改进Euler法(4.2.11)，若取，则得，此时(4.3.5)为(4.3.9)其中称为中点公式.后退Euler法(4.2.11)及中点公式(4.3.9)是两个常用的二级R-K方法，注意二级R-K方法只能达到二阶，而不可能达到三阶.因为r=2只有4个参数，要达到p=3则在(4.3.6)的展开式中要增加3项，即增加三个方程.加上(4.3.4)的三个方程求4个待定参数是无解的.当然r=2,p=2的R-K方法(4.3.5)当取其他数时，也可得到其他公式，但系数较复杂，一般不再给出.对r=3的情形，要计算三个k值，即其中将按二元函数在处按Taylor公式展开，然后代入局部截断误差表达式，可得可得三阶方法，其系数应满足方程4.3.10)这是8个未知数6个方程的方程组，解也是不唯一的，通常.一种常见的三级三阶R-K方法是下面的Kutta三阶方法：(4.3.11)4.3.3 四阶R-K方法及步长的自动选择利用二元函数Taylor展开式可以确定(4.3.4)中r=4,p=4的R-K方法，经典的四阶R-K 方法是：(4.3.12)它的局部截断误差，故p=4,这是最常用的四阶R-K方法，数学库中都有用此方法求解初值问题的软件.这种方法的优点是精度较高，缺点是每步要算4个右端函数值，计算量较大.例4.3用经典四阶R-K方法解例4.1的初值问题，仍取h=0.1，计算到，并与改进Euler法、梯形法在处比较其误差大小.解用四阶R-K方法公式(4.3.12)，此处，于是当n=0时于是，按公式(4.3.12)可算出此方法误差：改进Euler法误差：梯形法误差：可见四阶R-K方法的精度比二阶方法高得多.用四阶R-K方法求解初值问题(4.1.1)精度较高，但要从理论上给出误差的估计式则比较困难.那么应如何判断计算结果的精度以及如何选择合适的步长h?通常是通过不同步长在计算机上的计算结果近似估计.设在处的值,当时，的近似为，于是由四阶R-K方法有若以为步长，计算两步到，则有于是得即或(4.3.13)它给出了误差的近似估计.如果(ε为给定精度)，则认为以为步长的计算结果满足精度要求，若，则还可放大步长.因此(4.3.13)提供了自动选择步长的方法.讲解：求初值问题（4.1.1）的单步法主要是指Runge-Kutta法，本节主要讨论显式R－K方法，建立具体的计算公式使用的是Taylor展开，形如（4.3.4）的显式R－K方法，当r＝1时就是Euler法，因此只要讨论的计算公式，在r确定后如何推导公式都是一样的，只是r越大计算越复杂，为了掌握了解公式来源，只要以r＝2为例推导计算公式即可。