东京大学校内考真题2012 数学 解答
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,含答案)
2
2
2
2
2
为 1、 2 的方差，则（
）
A． D 1 D 2
B
．D 1 D 2
C． D 1 D 2
D
． D 1 与 D 2的大小关系与 x1、 x2、 x 3、 x4 的取值有关
【答案】 A
18．设 an
1n sin ， Sn
n 25
a1 a 2
a n ，在 S1 , S2 , , S100 中，正数的个数是（
.
【答案】 1
10．如图，在极坐标系中，过点 M ( 2,0) 的直线 l 与极轴的夹角
若将 l 的极坐标方程写成
f ( ) 的形式，则 f ( )
.
，
6
1
【答案】
sin( ) 6
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项
目完全相同的概率是
（结果用最简分数表示） .
2012 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（上海卷，含答案）
一．填空题
1．计算：
3-i =
1+i
【答案】 1-2i
（ i 为虚数单位） .
2．若集合 A { x | 2x 1 0} ， B { x || x 1| 2} ，则 A B
.
【答案】
1 ,3
2
2 cos x
3．函数 f (x)
的值域是
c2
1
3
二、选择题（ 20 分）
15．若 1 2i 是关于 x 的实系数方程 x2 bx c 0 的一个复数根，则（
）
A． b 2,c 3 B ． b 2,c 3 C ． b 2,c 1 D ． b 2, c 1
2012年高考理科数学试题及答案-全国卷2
2012年高考数学试题（理） 第1页【共10页】2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)理 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合A =｛1, 2， 3， 4， 5},B ={(x ,y ）｜ x ∈A ， y ∈A , x —y ∈A },则B 中所含元素的个数为（ ）A 。
3B. 6C. 8D 。
102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A. 12种B. 10种C 。
9种D 。
8种3。
下面是关于复数iz +-=12的四个命题中,真命题为( ）P 1： |z |=2， P 2: z 2=2i ， P 3： z 的共轭复数为1+i ， P 4： z 的虚部为-1 。
A 。
P 2，P 3B 。
P 1,P 2C 。
P 2，P 4D. P 3,P 44。
设F 1，F 2是椭圆E ： 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点，12PF F △是底角为30º的等腰三角形,则E 的离心率为（ ）A 。
21B 。
32C.43D 。
545。
已知｛a n }为等比数列，a 4 + a 7 = 2，a 5 a 6 = 8，则a 1 + a 10 =（ ）A. 7B. 5C. —5D. —76. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2）和实数a 1， a 2，…,a N ,输入A 、B ,则（ ) A 。
A +B 为a 1， a 2，…，a N 的和B 。
2B A +为a 1， a 2，…，a N 的算术平均数C 。
A 和B 分别是a 1， a 2,…，a N 中最大的数和最小的数D 。
A 和B 分别是a 1， a 2,…，a N 中最小的数和最大的数 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）2012年高考数学试题（理） 第2页【共10页】A 。
东京大学入学考试题目证明tan1无理数
东京大学入学考试题目证明tan1无理数一道日本高考数学题，正切值的和角公式应用，证明tan1°为
无理数
这个公式，毫无疑问最好是大家能把它背诵下来。
那么证明tan1°的值为无理数，该怎么做呢？
不知道它怎么做，过分怪异的结论，要记得尝试反证法
我们假设tan1°为有理数，
根据和角公式，tan2°=tan（1+1）°=（tan1°+tan1°）/(1-tan1°*tan1°），其结果是有理数，
tan3°=tan（2+1）°=(tan2°+tan1°）（1-tan2°*tan1°），上面证明了tan2°为有理数，又因为刚开始假设的tan1°也是有理数，所以这个式子的值也是有理数
......以此类推，到了tan30°，也是个有理数
然而我们都知道tan30°=3^0.5/3,这个东西是个无理数
所以，根据前面的假设tan1°是有理数，推导出来了荒谬的结论：tan30°是有理数
这个结论是错的。
因此我们假设的东西是不行的。
所以，tan1°不能为有理数
所以，tan1°是无理数。
证明完毕。
东京大学研究生入学考试试题
Examinee’s No.Department of Systems Innovation,School of Engineering, The University of Tokyo2013 Entrance Examination and Answer SheetsMathematical Problems Designed to TestAbility to Think LogicallyMonday, August 27, 2012 13:00 - 15:30Notice:1.Do not open this booklet until the start of the examination.2.If you find missing or badly printed pages, please raise your hand to let thesupervisor know.3.Write your examinee’s number on top of this sheet. Do not write your examinee’snumber or your name anywhere else in this booklet.4.Write the answer including the outline of your solution below the question.5.Sheets for calculation are distributed separately. After examination, they must bereturned.6.There are 20 questions in total. Choose and answer 15 questions out of 20.Check the question numbers of the questions you have selected in the bottom row below. Please note that you cannot answer more than 15 questions.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Q. 1Suppose a coin-flipping game between two players, A and B. The probability that the coin lands heads up is p (0<p<1). In case a head appears, player A gets one point and player B loses one point. In case a tail appears, player B gets one point and player A loses one point. When either one of the players lose all their points, the game ends and the player having points becomes the winner. When the initial points of A and B are m and n respectively, calculate the probability that player A wins. Note that m and n are positive integers.Q. 240 matchsticks of the same length are arranged asshown in the right figure. The figure includes 16 squares with a side of 1 matchstick; 9 squares with a side of 2 matchsticks; 4 squares with a side of 3 matchsticks; and 1 square with a side of 4 matchsticks. Now, remove 9 matchsticks so that there are no squares, and then draw the figure as a result. Note that you cannot move the remaining matchsticks to other places.Q. 3A traveler visited a village where an honest tribe and a liar tribe live. The honest tribe always tells the truth, and the liar tribe always tells lies. Answer the following questions.(1)Five villagers are getting together, and each villager said the following:Villager A said, “Only one of us belongs to the liar tribe”.Villager B said, “Two of us belong to the liar tribe”.Villager C said, “Three of us belong to the liar tribe”.Villager D said, “Four of us belong to the liar tribe”.Villager E said, “All of us belong to the liar tribe”.Decide whether each villager is a member of the honest tribe or the liar tribe. Describe your reasoning.(2)The traveler met two other villagers, and asked “Do you two belong to the same tribe?” Fromthe answer of each villager, it is possible to judge their tribes. Describe your reasoning.Q. 4Solve the following equation. Note that x is a real number.Q. 5As shown in the figure, an object is created as an assembly of cubes by repeating the following procedure n times. The procedure starts from a cube with a side of length L.Procedure:For all cubes, create 27 smaller cubes by dividing each side equally into three segments. Then remove a smaller cube in the center and 6 smaller cubes in the middle of each face.Answer the following questions.(1)After repeating the procedure n times, calculate the volume of the created object.(2)After repeating the procedure n times, calculate the surface area of the created object.Q. 6Supposing and n is a natural number, prove the following formula.Note that .Q. 7N is an integer and . Answer how many N s satisfy the condition that N2−1 is a multiple of 280.Q. 8Obtain the volume of the intersection between two cylinders: and.Q. 9Obtain the general form of function which satisfies the following equation, .Q. 10Obtain the integer numbers a, b, and c that satisfy the following equation,,where c > a > 0 and c > b > 0.Q. 11Obtain the volume of the spherical ring that has a cylindrical hole with the height of 12cm. Note that the center of the sphere is on the central axis of the cylinder.Q. 12Answer the following questions about the equation:. (1) Draw the curve expressed by the equation in the coordinate system (,)(cos ,sin )X Y r r θθ=.(2) Obtain the length of the curve.Q. 13There are two bags arranged in a row. One bag contains 2 white and 8 black balls and the other contains 6 white and 4 black balls. The first person picked a white ball out of the left bag and the second person picked a black ball out of the right bag. Note that each person picks only one ball and the balls which have been picked out are not returned to the bags.Answer the following questions.(1)When the third person picks a ball out of the left bag, obtain the probability that the ball iswhite.(2)When the third person picks a ball out of the right bag, obtain the probability that the ball iswhite.Q. 14Answer the following questions. You may use the following formulas., ,(1) Rewrite as a fourth-order polynomial in m.(2) Find a formula for .Q. 15The following Cartesian coordinates define the vertices of a regular icosahedron (each face is an equilateral triangle) with edge-length 2:(double sign in any order),where . The orthogonal projection of this icosahedrononto a plane containing one of its faces is depicted in the right figure. Obtain the edge-length AB of the outermost regular hexagon of the projection.Q. 16Let us make a formula equal to 10, using each of 4 numbers once in a given combination, arithmetic operations (＋−×÷), and parentheses. For example, (7−2)×6÷3 is a formula for a combination (2, 3, 6, 7), and (9×9＋9)÷9 for (9, 9, 9, 9).(1) Find a formula equal to 10 for a combination (1, 1, 9, 9).(2) Find a formula equal to 10 for a combination (1, 1, 5, 8).Q. 17We want to measure the mass of any object less than or equal to 1kg in 1g increments with a balance. The object is put on one side and several weights on the other side. Find the minimum number of weights to be prepared and show one example of the combination of their weights. Note that you can use weights in 1g increments.Q. 18Obtain the following double integral within the bounded closed region, 1:2222≤+b y a x D (x , y , a ,and b are real numbers and a >0, b >0).Q. 19Let x, u, and v be real numbers; a and τbe real constants. Solve the following simultaneous differential equations to obtain u and v.The boundary conditions are as follows.Q. 20E1 to E7indicate single-digit even figures; O1 to O4 indicate single-digit odd figures. Find each figure to satisfy the following multiplication. Note that the same number may be used more than once.20。
2012考研数学一真题及详解
2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题及答案一、选择题：共8小题，每题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上。
1、曲线221x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。
解：（C ）：22211lim lim 1111x x x x x x x→∞→∞++==--，可得有一条水平渐近线1y =；222112lim 1lim 1x x x x x x →→+==∞--，可得有一条铅直渐近线1x =；22111(1)1lim lim lim 1(1)(1)12x x x x x x x x x x x x →-→-→-++===--+-，可得1x =-不是铅直渐近线，故答案为（C ）。
2、设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)y =（ ） （A ）1(1)(1)!n n ---；（B ）(1)(1)!n n --；（C ）1(1)!n n --；（D ）(1)!n n -。
解：（A ）：(0)(11)(12)(1)0y n =---= ；则22000()(0)(1)(2)()(2)()'(0)lim lim lim0x x nx x nx x x x y x y e e e n x e e n y x x x→→→------===- 1(12)(1)(1)(1)!n n n -=--=-- 。
故答案为（A ）。
3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ ）（A ）若极限(,)(0,0)(,)lim ||||x y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（B ）若极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)(,)lim||||x y f x y x y →+存在；（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在。
东京大学入学考试-数学
日本东京大学入学考试数学试题翻译整理：亡灵之诗；原文来自：百度日语吧。
未附答案。
由于知识浅薄，如有疏漏，敬请见谅，欢迎批评指教。
本卷共2页，有3道大题。
标准解答时间为2小时。
第1问直角坐标系xOy 上有曲线C ：xy 2=4，在曲线上取一点P 0（x 0，y 0）（y 0＞0）。
在过P 0的切线与C 的交点上另取一点P 1（x 1，y 1）（不取P 0）。
再从过P 1的切线与C 的交点中另取一点P 2（x 2，y 2）（不取P 1）。
回答下列问题。
（1）用含有y 0的值写出P 1，P 2的坐标。
（2）设△P 0 P 1 P 2的面积为T ，由线段P 0 P 1 、P 1 P 2以及曲线C 围成的面积为S ，求T S 的值。
（3）求使∠P 0 P 1 P 2为直角的y 0的值。
（4）使用第（3）小问求出的y 0的值，求△P 0 P 1 P 2外接圆的面积。
第2问回答下列问题。
（1）对应由实数组成的矩阵A=(a b b c)（a 2+b 2≠0）， 有B=(a b −b a )(a b b c )(a b −b a)−1 如果矩阵B 以B=(r s s t) 的形式表示，请用a ，b ，c 表示出r+t ，rt-s 2。
（2）根据之前第（1）小问，证明r 2+s 2≥a 2+b 2。
（3）实数数列a n ，b n ，c n （n=0，1，2，…）符合如下规则： 当n=0时(a 0b 0b 0c 0) = (1112)， 当n ≥1时(a n b n b nc n ) = (a n−1b n−1−b n−1a n−1)(a n−1b n−1b n−1c n−1)(a n−1b n−1−b n−1a n−1)−1 （i ）试证明： lim n→∞b n =0 （ii ）求lim n→∞a n ，lim n→∞c n 的值。
第3问设自然数N ≥2。
满足x 1≤…≤x N （即由小到大）的实数x 1，…，x N ，与实数数列k n ，p n ，q n （n=0，1，2…）按如下规定对应。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题 解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ． 【答案】 {}6,4,2,1【解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合A 和集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是1 ，2，4，6，所以答案为{}6,4,2,1.【点评】本题重点考查集合的运算.容易出错的地方是审错题目，把并集运算看成交集运算.属于基本题，难度系数较小.2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为50，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：1510350=⨯人，答案 15 . 【点评】本题主要考查统计部分知识：抽样方法问题，分层抽样的具体实施步骤.分层抽样也叫做“按比例抽样”，也就是说，要根据每一层的个体数的多少抽取，这样才能够保证样本的科学性与普遍性，这样得到的数据才更有价值、才能够较精确地反映总体水平，本题属于容易题，也是高考热点问题，希望引起重视．3. 设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 【答案】8【解析】据题i ii i i i i i bi a 3551525)21)(21()21)(711(21711+=+=+-+-=--=+，所以 ,3,5==b a 从而8=+b a .【点评】本题主要考查复数的基本运算和复数相等的条件运用，属于基本题，一定要注意审题，对于复数的除法运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，再者，需要注意分母实数化的实质.4．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ． 【解析】将1k =带入0=0不满足， 将2k =带入40-<不满足， 将3k =带入20-<不满足， 将4k =带入00=不满足， 将5k =带入40>满足， 所以5k =.【答案】5【点评】置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的k 的常考题目，要准确理解循环结构流程图的执行过程．5. 函数()f x 的定义域为 ▲ ． 【答案】(【解析】 由题意6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，根据题意得到 0log 216≥-x ，同时，x ＞0 ，解得21log 6≤x ，解得6≤x ，又x ＞0，所以函数的定义域为：(. 【点评】本题主要考查函数基本性质、对数函数的单调性和图象的运用.本题容易忽略x ＞0这个条件，因此，要切实对基本初等函数的图象与性质有清晰的认识，在复习中应引起高度重视.本题属于基本题，难度适中.6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】53 【解析】组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为53. 【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．【答案】36cm【解析】如图所示，连结AC 交BD 于点O ，因为 平面D D BB ABCD 11⊥，又因为BD AC ⊥，所以，D D BB AC 11平面⊥，所以四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，根据题意3cm AB AD ==，所以223=AO ，又因为BD =，12cm AA =，故矩形D D BB 11的面积为2，从而四棱锥D D BB A 11-的体积316cm 32V =⨯=.【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面的位置D A BC 11D 1A1B关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，这是解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵活运用.本题属于中档题，难度适中.8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为 ▲ ． .8. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为 ▲ ． 【答案】2【解析】22450m m e mm ⎧++==⎪⎨⎪>⎩，解得2m = 【点评】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质.这是大纲中明确要求的，在对本部分复习时要注意：侧重于基本关系和基本理论性质的考查，从近几年的高考命题趋势看，几乎年年都有所涉及，要引起足够的重视.本题属于中档题，难度适中.9．如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB AF AE BF的值是 ▲ ． 【解析1】以A 为坐标原点，AB,AD 所在直线分别为x 轴和y 轴建立 平面直角坐标系，则由题意知：点B ，点E),设点F (,)a b ，所以AB =u u u r ，(,)AF a b =u r； 由条件解得点(1,2)F ，所以AE =uu u r，()12BF -uu u r ；所以AE BF =uu u r g 【答案】2【解析2】根据题意,→→→+=DF BC AF 所以()cos0AB AF AB BC DF AB BC AB DF AB DF AB DF →→→→→→→→→→→→→→∙=∙+=∙+∙=∙=⋅︒==从而得到1=→DF ，又因为→→→→→→+=+=CF BC BF DF AD AE ,，所以2180cos 00)()(2=⋅+++=+∙+=∙︒→→→→→→→→→CF DF BC CF BC DF AD BF AE .【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决．设法找到1=→DF ，这是本题的解题关键，本题属于中等偏难题目.10. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ．【答案】10- .【解析】因为1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 的周期为2，所以)21()223()21(-=-=f f f ，根据0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，得到223-=+b a ，又)1()1(-=f f ，得到02,221=++=+-b a b a 即，结合上面的式子解得4,2-==b a ，所以103-=+b a .【点评】本题重点考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的周期性将式子化简为)21()223()21(-=-=f f f 然后借助于分段函数的解析式解决.属于中档题，难度适中.11. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(πα+的值为 ▲ ．【答案】50217 【解析】根据4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2571251621)6(cos 2)32cos(2=-⨯=-+=+παπα，因为0)32cos( πα+，所以 25242571)32sin(2=⎪⎭⎫⎝⎛-=+πα，因为502174sin )32cos(4cos )32sin(]4)32sin[()122sin(=+-+=-+=+ππαππαππαπα. 【点评】本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度稍高.12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 【答案】34 【解析】根据题意228150x y x +-+=将此化成标准形式为：()1422=+-y x ，得到，该圆的圆心为M ()0,4半径为1 ，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d ，即可，所以有21242≤+-=k k d ，化简得0)43(≤-k k 解得340≤≤k ，所以k 的最大值是34 . 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是对若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，这句话的理解，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d 即可，从而将问题得以转化.本题属于中档题，难度适中.13. 已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ． 【答案】9【解析】根据函数0)(2≥++=b ax x x f ，得到042=-b a ，又因为关于x 的不等式()f x c <，可化为：20x ax b c ++-<，它的解集为()6,+m m ，设函数c b ax x x f -++=2)(图象与x 轴的交点的横坐标分别为21,x x ，则6612=-+=-m m x x ，从而，36)(212=-x x ，即364)(21221=-+x x x x ，又因为a x x cb x x -=+-=2121,，代入得到 9=c .【点评】本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大.14. 已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]7,e【解析】根据条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，()cbc c b c a ln ln ln =-≤，得到 ln ,1ac b a be c c c≥≥>，得到c b <.又因为b a c ≤-35，所以35a b c +<，由已知a c b -≤4，得到4a b c +>.从而b b a ≤+4，解得31≥a b . 【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大.二、解答题15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值． 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形，考查运算求解能力和推理论证能力.【解析】(1) ∵AB AC ∙ =3BA BC ∙，∴cos 3cos AB AC A BA BC B ∙=∙，即cos 3cos AC A BC B =，由正弦定理sin sin AC BCB A=，∴sin cos 3sin cos B A A B =， 又∵0A B π<+<，∴cos 0A >,cos 0B >，∴tan 3tan B A =，（2）∵c o s C =0C π<<，∴s i n C ∴t a n C =2，∴t a n [()]A B π-+=2，∴tan()2A B +=-，即tan tan 21tan tan A B A B +=--，由（1）得24tan 213tan A A =--，解得tan A =1或13-， ∵cos 0A >，∴tan 1A =，∴4A π=.【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒等变形以及向量共线成立的条件．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两角和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中.16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．【答案及解析】【命题意图】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力. 【证明】（1）∵111ABC A B C -是直棱柱， ∴1CC ⊥面ABC ， ∵AD ⊂面ABC ， ∴1CC ⊥AD ，∵AD ⊥DE ，1CC ⊂面11BCC B ，DE ⊂面11BCC B ，1CC DE E ⋂=， ∴AD ⊥面11BCC B ， ∵AD ⊂面ADE ， ∴面ADE ⊥面11BCC B . (2) ∵11A B =11AC ，F 为11B C 的中点， ∴1A F ⊥11B C ， ∵1CC ⊥面111ABC ，且1A F ⊂面111A B C ， ∴1CC ⊥1A F ， ∵1CC ⊂面11BCC B ，11B C ⊂面11BCC B ，1CC ∩11B C =1C ， ∴1A F ⊥面11BCC B ， 由（1）知，AD ⊥面11BCC B ， ∴1A F ∥AD. ∵AD ⊂面ADE ，1A F ⊄面ADE ， ∴1A F ∥面ADE..【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化．17. （本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【答案及解析】能力.【解析】（1）令0y =，得221(1)020kx k x -+=，由实际意义和题设条件知0x >，0k >，故2201k x k =+=201k k+≤202=10，当且仅当k =1时取等号. (2) ∵a ＞0，∴炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2=221(1)20ka k a -+成立 ⇔关于k 的方程22220640a k ak a -++=有正根 ⇔判别式222(20)4(64)0a a a ∆=--+≥⇔6a ≤.∴当a 不超过6（千米）时，可击中目标.【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，要注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数学模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中． 18．（本小题满分16分）已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 【答案及解析】【命题意图】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查运算求解能力、运用数形结合思想、分类讨论思想方法分析与解决问题的能力.【解析】（1）由题设知()f x '=232x ax b ++，且(1)f '-=320a b -+=，(1)320f a b '=++=， 解得a =0，3b =-.(2)由（1）知()f x =33x x -，∵2()2(1)(2)f x x x +=-+， ∴()0g x '=的根为1231,2x x x ===-， 于是()g x 的极值点只可能是1或－2.当2x <-时，()g x '＜0，当－2＜x ＜1时，()g x '＞0，故－2是()g x 的极值点，当－2＜x ＜1或x ＞1时，()g x '＞0，故1不是()g x 的极值点. ∴()g x 的极值点为－2. (3)令()f x t =，则()()h x f t c =-，先讨论关于x 的方程()f x =d 的根的情况，d ∈[－2,2]. 当|d |=2时，由（2）可知，()f x =－2的两个不同的根为1和－2，注意到()f x 是奇函数， ∴()f x =2的两个不同的根为－1和2.当|d |＜2时，∵(1)(2)20f d f d d --=-=->，(1)(2)20f d f d d -=--=--<， ∴－2，－1，1，2都不是()f x =d 的根，由（1）知()f x '=3(1)(1)x x +-. ①当x ∈（2，+∞）时，()0f x '>，于是()f x 是单调增函数，∴()f x ＞(2)f =2，此时()f x =d 无实根，同理，()f x =d 在（－∞，－2）上无实根. ② 当x ∈（1,2）时，()f x '＞0，于是()f x 是单调增函数，∵(1)0f d -<，(2)0f d ->，()y f x d =-的图像不间断，∴()f x =d 在（1,2）内唯一实根，同理，()f x =d 在（―2，―1）内有唯一实根. ③ 当x ∈（－1,1）时，()f x '＜0，故()f x 是单调减函数，又∵(1)0f d -->，(1)0f d -<，()y f x d =-的图像不间断， ∴()f x =d 在（－1,1）内唯一实根，由上可知：当|d |=2时，()f x =d 有两个不同的根1x ，2x 满足|1x |=1，|2x |=2； 当|d |＜2时，()f x =d 有三个不同的根3x ，4x ，5x 满足|i x |＜2，i =3,4,5， 现考虑函数()y h x =的零点.(ⅰ)当|c |=2时，()f t c =有两个不同根1t ，2t 满足1||1t =，2||2t =，而1()f x t =有三个不同的根，()f x =2t 有两个不同的根，故()y h x =有5个零点.(ⅱ)当|c |＜2时，()f t c =有三个不同根345,,t t t 满足||i t ＜2，i =3,4,5，而()f x =i t （i =3,4,5）有三个不同根，故()y h x =有9个零点.综上可知，当|c |=2时，函数()y h x =有5个零点；当|c |＜2时，故()y h x =有9个零点.【点评】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用.考查较全面系统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解．本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大．19. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i）若12AF BF -=，求直线1AF 的斜率；（ii ）求证：12PF PF +是定值．础知识，考查运算求解能力和推理论证能力.【解析】(1)设题设知222a b c =+，c e a=，由点（1，e ）在椭圆上，得22221c a a b+=1，解得2b =1，于是221c a =-， 又点（e ，2）在椭圆上，∴22234e a b +=1，即241314a a -+=，解得2a =2， ∴所求椭圆方程的方程是222x y +=1； （2）由（1）知1F (－1,0),2F (1,0), ∵1AF ∥2BF ，∴可设直线1AF 的方程为：1x my +=，直线2BF 的方程为：1x my -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，120,0y y >>，由221111121x y x my⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得2211(2)210m y my +--=，解得122m y m =+， 故1AF 221)2m m +++， ① 同理，2BF =221)2m m +-+， ② （ⅰ）由①②得1AF －2BF =222m +，解得222m +=2得2m =2， （第19题）∵0m >，∴m ，∴直线1AF的斜率为1m =（ⅱ）∵1AF ∥2BF ， ∴211BF PB PF AF =, ∴12111PB PF BF AF PF AF ++=, ∴11112AF PF BF AF BF =+,由B点在椭圆知12BF BF +=∴11212)AF PF BF AF BF =+,同理22112)BF PF AF AF BF =+,∴12PF PF +=11111212))AF BF BF AF AF BF AF BF +++=12122AF BF AF BF + 由①②知，1AF +2BF，1AF ×2BF =2211m m ++，∴12PF PF +=12PF PF +是定值.【点评】本题主要考查椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系．本题注意解题中，待定系数法在求解椭圆的标准方程应用，曲线和方程的关系.在利用条件2621=-BF AF 时，需要注意直线1AF 和直线2BF平行这个条件.本题属于中档题． 20. （本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：1n a n *+=∈N ．（1）设11n n n b b n a *+=+∈N ，，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1n n nbb n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质、基本不等式等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力.【解析】(1)有题设知，1n a +1nb +，∴1n n b b +=2211()()n n n nb b a a ++-=1， ∴数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是公差为1的等差数列；（2）∵n a ＞0，n b ＞0，∴2()2n n a b +≤22n n a b +＜2()n n a b +，∴1＜1n a +①设等比数列{n a }的公比为q ，由n a ＞0知q ＞0，下面证q =1，当q ＞1时，则1a =2a q ＜2an＞1log q 时，1n a +=1n a q当0＜q ＜1时，则1a =2a q ＞2a ＞1，故当n ＞11log q a 时，1n a +=1n a q ＜1，与①矛盾，综上，q =1，故n a =1a （n ∈*N ），所以1＜1a∵1n b +n n b a1n b (n ∈*N )，∴{n b }11a1a ＞1， 于是1b ＜2b ＜3b ， 又由1a=1n a +=得n b11b ，2b ，3b 至少有两项相同，矛盾，故1an b11b【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根式的互化.数列通项公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是有关数列的综合题；从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点 、重点问题，在训练时，要引起足够的重视.绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ(附加题)A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD = DC ，连结AC ，AE ，DE ． 求证：E C ∠=∠．【命题意图】本题主要考查三角形和圆的基础知识，考查推理论证能力.【解析】连结OD ，∵BD=DC ，O 是AB 的中点， ∴OD ∥AC ， ∴∠ODC=∠C ， ∵OB=OD ， ∴∠ODB=∠B ，∴∠B=∠C ，∵点A,E,B,D 都在圆O 上，且D,E 为圆O 上位于AB 异侧的两点， ∴∠B 和∠E 是同弧所对的圆周角， ∴∠B=∠E, ∴∠E=∠C.【点评】本题主要考查圆的基本性质，等弧所对的圆周角相等，同时结合三角形的基本性质考查．本题属于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的主要思想方法为等量代换法，属于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本性质的题目居多，在练习时，要有所侧重． B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．【命题意图】本题主要考查矩阵的基础知识，考查运算求解能力.【解析】∵1A A E -=,∴11()A A --=, ∵1A -=13441122⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， ∴11()A A --==2321⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴矩阵A 的特征多项式为()f λ=2321λλ----=234λλ--，令()f λ=0，解得A 得特征值1λ=－1，2λ=4.【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题．C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线()sin 3ρθπ-=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【命题意图】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力.【解析】在sin()3πρθ-=中令θ=0，得ρ=1，∴圆C 的圆心坐标为（1,0）. ∵圆C 经过点()4Pπ，, ∴圆C 的半径， ∴圆C 过极点，∴圆C 的极坐标方程为2cos ρ=.【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线23)3sin(-=-πθρ与极轴的交点，考查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）（第21-A 题）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <． 【答案与解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的基础知识，考查推理论证能力. 【证明】∵3|||3||2()(2)|y y x y x y ==+--≤2|||2|x y x y ++-， ∵11|||2|36x y x y +<-<，，∴3||y ＜215366+=， ∴5||18y <.【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．【命题意图】本题主要考查概率分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力. 【解析】（1）若两条棱相交，则交点必为正方形8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，∴共有238C 对相交棱， ∴(0)P ξ==232128C C =411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为16对，故(P ξ==2126C =111, (1)1(0)(P P P ξξξ==-=-=4111111--=611. ∴随机变量ξ的分布列是【点评】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事件的基本运算．本题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布列和期望的求解，在列分布列时，要注意ξ的取值情况，不要遗漏ξ的取值情况． 23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…，n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若n P x A ∈ð，则2n P x A ∉ð．（1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．【命题意图】本题主要考查集合概念和运算、计数原理等基础知识，考查探究能力. 【解析】(1)当n =4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故(4)4f =.(2)任取偶数n x P ∈，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x =2km ∙，其中m 是奇数，k ∈*N .由条件知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数； 若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数；于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定，设n Q 是n P 中所有奇数的集合，因此()f n 等于n Q 的子集的个数，当n 为偶数（或奇数）时，n P 中奇数的个数是2n （或12n +），∴2122,()2,nn n f n n +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数. 【点评】本题重点考查集合的概念、组成、元素与集合的基本关系、集合的基本运算—补集和函数的解析式的求法.本题属于中档题，难度适中.。
2012数值分析试题及答案
2
2
2
2
2
2
R[ f ] 0 f (x)dx 0 p1 (x)dx 0 f (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 p1(x)dx
2 f (4) ( x ) (x 1 )2 (x 1 )2 dx f (4) () 2 (x2 1)2 dx
所以，迭代矩阵为 M D 1 (D A) .
当 A 是严格对角占优矩阵， 0.5 时，由于
n
| aij |
(M ) M max | j1 | 1，所以，迭代格式收敛.
1in
2aii
三、（12 分）说明方程 x cosx 0 有唯一根，并建立一个收敛的迭代格式，使
42 ，则 A 的 Doolittle 分解式是( A 13
10 10
2 －2
)，Crout
… …
○
分解式是（
A 13
－02
1 0
12
）.
… … …
3.解线性方程组
xx11
4x2 9x2
2 1
的
Jacobi
迭代矩阵的谱半径
（B)
(
2/3
).
… 封
4.迭代格式 xk1 xk3 3xk2 3xk , k 0,1,2,... 求根 1是( 3 )阶收敛的.
… …
5.设 f (x) sin x ，用以 xi i, i 0,1,2 为节点的二次插值多项式近似 sin1.5 的值，
aii
(bi
n
aij
x
(k j
)
2012年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解【圣才出品】
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【考点】求曲线的渐近线
【解析】因为
x2 x
lim
x1 x2 1
所以，由定义可知，x＝1 为曲线的垂直渐近线。
又
lim
x1
x2 x x2 1
1 2
所以 x＝－1 不是曲线的渐近线。
因为
lim
x
x2 x2
x 1
1
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i 1
n sin
1 n
绝对收敛知
1
lim n
n
n sin n 0
从而
lim
n
3
n2
sin
1 n
0
即 α＞3/2。综上知，α 的取值范围为 3/2＜α＜2。
5．设 α1＝（0，0，c1）T，α2＝（0，1，c2）T，α3＝（1，－1，c3）T，α4＝（－1， 1，c4）T，其中 c1，c2，c3，c4 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）。
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2012 年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求。）
1．曲线 y＝（x2＋x）/（x2－1）渐近线的条数为（ ）。
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X1 X2 | X3 X4 2|
X1 X2
2
( X3 X 4 2)2
2 2
X1 X2 2
( X3 X4 2)2 2
2012年考研数学真题(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx y x e ee n =---L ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13(C) 25 (D) 45 (8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B) 12 (C) 12- (D)1-二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)2x =⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数 (18)已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
2012大纲卷理科数学试题与解答
2。
所以 PD ( 2, 2, 2) ， 平面 PBC 的法向量为 m (1, 1, 2) ， 所以 PD 与平面 PBC 所
| PD m | 1 ，所以 PD 与平面 PBC 所成角为 . 成角的正弦值为 6 | PD | | m | 2
2012 年普通高等学校招生大纲卷理科数学（必修+选修Ⅱ）
一、选择题 （1）复数
1 3i 1 i
（B） 2 i （C） 1 2i （D） 1 2i
（A） 2 i
（2）已知集合 A {1,3, m} ， B {1, m} ， A B A ，则 m （A） 0 或 3 （B） 0 或 3 （C） 1 或 3 （D） 1 或 3
（ Ⅱ ） 设 平 面 PAB 的 法 向 量 为 n ( x, y , z ) ， 又 AP (0, 0, 2), AB ( 2, a, 0) ， 由
2 n AP 0, n AB 0 得 n (1, , 0) ， 设 平 面 PBC 的 法 向 量 为 m ( x, y, z ) ， 又 a 2 BC ( 2, a, 0), CP ( 2 2, 0, 2) ，由 m BC 0, m CP 0 ，得 m (1, , 2) ，由于 a
P( 0) P( A1 A2 A3 ) 0.6 0.6 0.4 0.144 ；
P ( 1) P ( A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ) 0.4 0.6 0.4 0.6 0.4 0.4 0.6 0.6 0.6 =
日本东大高考数学试卷
一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列各数中，哪个是实数？A. √-1B. √4C. √-9D. √02. 若a、b、c是等差数列的连续三项，且a+b+c=18，则a+b的值为：A. 9B. 10C. 11D. 123. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f(x)在x=1处的导数值为：A. 0B. 1C. 2D. 34. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=x的对称点为：A. (3,2)B. (2,3)C. (3,3)D. (2,2)5. 下列各函数中，哪个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^4二、填空题（每题10分，共30分）6. 若等比数列的首项为2，公比为3，则第5项为______。
7. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(2) = 4，则b = ______。
8. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长度为______。
三、解答题（每题20分，共60分）9. （15分）解下列不等式：2x - 5 > 3x + 2。
10. （15分）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求f(x)的极值。
11. （20分）已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，求证：三角形ABC是直角三角形。
四、附加题（20分）12. （20分）设a、b、c是等差数列的连续三项，且a+b+c=18，若a^2 + b^2 + c^2 = 90，求a、b、c的值。
---注意：以上试卷仅为示例，实际考试内容可能会有所不同。
2012年研究生入学考试数学一二三试题及解答(合并整理)
A. (−1)n−1(n −1)! B. (−1)n (n −1)! C. (−1)n−1n! D. (−1)n n!
【解析】 f ′(0) = lim f (x) − f (0) = lim (ex −1)(e2x − 2)"(enx − n) = lim(e2x − 2)"(enx − n) = (−1)n−1(n −1)!
X1
− X2 2σ
~
N (0,1);
又 X3 + X 4 − 2 ~ N (0, 2σ 2 )
⇒ X3 + X 4 − 2 ~ N (0,1) 2σ
⇒
⎛ ⎜⎝
X3
+
X4 2σ
−
2
⎞2 ⎟⎠
~
χ 2 (1),
所以，
2012 硕士研究生入学考试数学一二三试题及解答（合并整理） 第 3 页 共 11 页
北京理工大学珠海学院 数理学院
A. 若极限 lim f (x, y) 存在，则 f (x, y) 在 (0,0) 处可微 x→0 | x | + | y |
y→0
B.
若极限
lim
x→0 y→0
f( x2
x, +
y) y2
存在，则
f (x, y) 在 (0,0) 处可微
C. 若 f (x, y) 在 (0,0) 处可微, 则极限 lim f (x, y) 存在
【解析】由于{Sn}单增，所以当{Sn}有界时，必有{Sn} 收敛，从而
lim
n→∞
an
=
lni→m∞(Sn
−
Sn−1 )
=
0,
即{an} 收敛；
但当{Sn}不收敛，{an} 仍可以收敛，如
2012年国际大学生数学竞赛试题解答第一天
(Proposed by Ilya Bogdanov and Grigoriy Chelnokov, MIPT, Moscow) Solution. For n = 1 the only matrix is (0) with rank 0. For n = 2 the determinant of such a matrix is negative, so the rank is 2. We show that for all n ≥ 3 the minimal rank is 3. Notice that the first three rows are linearly independent. Suppose that some linear combination of them, with coefficients c1 , c2 , c3 , vanishes. Observe that from the first column one deduces that c2 and c3 either have opposite signs or both zero. The same applies to the pairs (c1 , c2 ) and (c1 , c3 ). Hence they all must be zero. It remains to give an example of a matrix of rank (at most) 3. For example, the matrix 02 12 22 . . . (n − 1)2 (−1)2 n 02 12 . . . (n − 2)2 2 = = ( i − j ) . . . . .. . . . . i,j =1 . . . . . (−n + 1)2 (−n + 2)2 (−n + 3)2 . . . 02 1 1 12 1 2 22 2 2 = . (1 , 2 , . . . , n2 ) (1, 2, . . . , n) + . (1, 1, . . . , 1) − 2 . . . . . . . 1 n n2 is the sum of three matrices of rank 1, so its rank cannot exceed 3. Problem 3. Given an integer n > 1, let Sn be the group of permutations of the numbers 1, 2, . . . , n. Two players, A and B, play the following game. Taking turns, they select elements (one element at a time) from the group Sn . It is forbidden to select an element that has already been selected. The game ends when the selected elements generate the whole group Sn . The player who made the last move loses the game. The first move is made by A. Which player has a winning strategy? (Proposed by Fedor Petrov, St. Petersburg State University) Solution. Player A can win for n = 2 (by selecting the identity) and for n = 3 (selecting a 3-cycle). We prove that B has a winning strategy for n ≥ 4. Consider the moment when all permitted moves lose immediately, and let H be the subgroup generated by the elements selected by the players. Choosing another element from H would not lose immediately, so all elements of H must have been selected. Since H and any other element generate Sn , H must be a maximal subgroup in Sn . If |H | is even, then the next player is A, so B wins. Denote by ni the order of the subgroup generated by the first i selected elements; then n1 |n2 |n3 | . . . . We show that B can achieve that n2 is even and n2 < n!; then |H | will be even and A will be forced to make the final – losing – move. Denote by g the element chosen by A on his first move. If the order n1 of g is even, then B may choose the identical permutation id and he will have n2 = n1 even and n2 = n1 < n!. If n1 is odd, then g is a product of disjoint odd cycles, so it is an even permutation. Then B can chose the permutation h = (1, 2)(3, 4) which is another even permutation. Since g and h are elements of the alternating group An , they cannot generate the whole Sn . Since the order of h is 2, B achieves 2|n2 .
(解析版)2012年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(江苏卷)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ． 解析：由已知，集合{124}A =，，，{246}B =，，，所以A B = {1,2,4,6}. 答案：{1,2,4,6},2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 解析：由已知，高二人数占总人数的310，所以抽取人数为3501510⨯=. 答案：153．设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 解析：由已知，2117i 117i i 2515i 2515ii ===53i 12i (12i)(12i 1-4i 5a b --+++==+--+（）(1+2））. ∴538a b +=+=.答案：8.4．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ． 解析：将1k =带入0=0不满足， 将2k =带入40-<不满足， 将3k =带入20-<不满足， 将4k =带入00=不满足， 将5k =带入40>满足， 所以5k =. 答案：5.5．函数()f x 的定义域为 ▲ ．解析：由题意6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，所以x ∈.答案：6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．解析：满足条件的数有1，-3，33-，53-，73-，93-；所以63105p ==. 答案：35. 7．如图，在长方体1111ABCD ABC D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．解析：12632V =⨯=.答案：6.8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为 ▲ ．解析：22450m m e mm ⎧++==⎪⎨⎪>⎩，解得2m =. 答案：2.9．如图，在矩形ABCD中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB AF A E B F的值是 ▲ ．解析：以A 为坐标原点，AB,AD 所在直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系， 则由题意知：点B ，点E),设点F (,)a b ，所以AB =u u u r ，(,)AF a b =u u u r；由条件解得点(1,2)F ，所以)AE =u u u r，()1BF uu u r；所以AE BF =u u u r u u u rg10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ． 解析：因为2T =，所以(1)(1)f f -=，求得20a b +=.由13()()22f f =，2T =得11()()22f f =-，解得322a b +=-. DABC1 1D 1A1B（第7题）（第9题）联立20322a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得24a b =⎧⎨=-⎩所以310a b +=-.答案10-11．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．解析:Q α为锐角，2663πππα∴<+<，4cos 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭Q ，3sin 65απ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭；12cos 66sin 22sin 253αααππ⎛π⎛⎫∴+= ⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎝，sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 12343434ααααπππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭..12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ．解析：圆C 的圆心为(4,0)，半径为1；由题意，直线2y k x =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；故存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤；而m i n AC 即为点C 到直线2y k x =-2≤，解得403k ≤≤，即k 的最大值是43. 答案：4313．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．解析：由值域为[0)+∞，得240a b =-=V ，即24a b =；2222()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫∴=++=++=+ ⎪⎝⎭，2()2a f x x c ⎛⎫∴=+< ⎪⎝⎭解得2a x +<Q 不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，)()622a a∴+-+=，解得9c =. 答案：914．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ．答案：[,7]e二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC ⋅=⋅． （1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos 5C =求A 的值． 解析：16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC ABC -中，1111AB AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11BC 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//AF 平面ADE ． 解析：17．（本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解析：1A1C（第16题）FDCAB E1B18．（本小题满分16分） 若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 解析：19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和2e ⎛ ⎝⎭，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若12AF BF -，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．解析：（第19题）20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：1n a n *+∈N ．（1）设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1n n nbb n a *+∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．解析：绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD = DC ，连结AC ，AE ，DE ．求证：E C ∠=∠． 解析：B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．解析：21-A 题）C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()4Pπ，，圆心为直线()sin 3ρθπ-=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 解析：D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <． 解析：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．解析：23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…，n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若n P x A ∈ð，则2n P x A ∉ð．（1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．解析：。
2012考研真题及答案
2012考研真题及答案2012年的考研真题是许多考生备战考研的重要资料，了解这些真题并熟悉其中的答案对于备考考研的同学来说是至关重要的。
在本文中，将为您介绍2012年的考研真题及其答案。
第一部分：数学一2012年的考研数学一科目主要涵盖了数学分析、高等代数和概率论等内容。
以下是部分考题及其答案的概要。
题一：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。
解析：根据罗尔定理，由于f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么在[a,b]上有f(a)=f(b)。
根据拉格朗日中值定理，存在一点ξ∈(a,b)，使得f' ( ξ )=(f(b)-f(a))/(b-a)。
所以，f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。
题二：已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-3^n+4^n-5^n，求证数列{a_n}是等差数列。
解析：我们可以通过数学归纳法来证明这个结论。
当n=1时，a_1=2-3+4-5=-2。
当n=k时，假设a_k=2^k-3^k+4^k-5^k成立。
当n=k+1时，我们需要证明a_(k+1) =2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)也成立。
根据等差数列的性质，我们有a_(k+1)-a_k = (2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)) - (2^k-3^k+4^k-5^k)。
化简后可得a_(k+1)-a_k= -2 × 3^k + 3^(k+1) -2 × 5^k + 5^(k+1)。
通过整理和变换，我们得到a_(k+1)-a_k = -3^k (2-3) + 5^k (5-2) = 0。
因此，数列{a_n}是等差数列。
通过以上两道题目，我们可以看出2012年考研数学一科目的难度适中，考察了数学分析和代数的基本概念和推导方法。
2012年GCT数学真题及解析(B卷)
F1 B1 A2 90 , 则该椭圆的离心率
1 11 2 1 5 2
A.
B.
C.
D.
【解析】 选 C 由题意可得
2 F1 A2 F1 B12 A2 B12
(a c) 2 b2 c2 a 2 b2 c 2 a 2 2(a 2 c 2 ) 3a 2 c 2 c 2 ac a 2 0 c c ( )2 1 0 a a c 1 5 e a 2
B.
）.
A.
x 1 x 1 1 x 1 x
x 1 x 1 1 x 1 x
C.
D.
【解析】 选 A 由题意可设 t x 1 ，则 x t 1 ， f (t ) ln 由 f ( g ( x)) ln x ，可得
t 1 ， t 1
f ( g ( x)) ln
4ac b 2 2 b c b 2 4ac ( )2 4 4a a a a 3 b 2 4ac 2 3, b 2 4ac 12
故选 D.
14.一个棱长为 4 分米的密封的正方体盒子里（壁厚忽略不计）放有一个半径为 1 分米的球，若盒子随意翻 动，则该盒子的内表面接触不到球的那部分面积是（ A.24 C.72 【解析】 选 C 对于每一个面上球体能接触到的面积为以 2 为边长的正方形，故可以接触的面积为 4，则可接触的总面积为 B.60 D.96 ）平方分米.
A.
）.
3 2 3 3
B.
3 2
C.
D. 3
【解析】 选 C 由题意可得
1 1 sin( f (2012) f (2) ) sin( f (2) f (2) ) 3 6 6 2 2 11 3 cos( g (3 ) 2 g ( ) ) cos( g ( ) 2 g ( ) ) cos( 2 ) cos( ) 3 3 2 2 3 6