(完整版)排列组合问题经典题型解析含答案
(完整版)经典排列组合问题100题配超详细解析

1.n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---等于A .5569nn A --B .1555n A -C .1569n A -D .1469n A -【答案】C【解析】根据排列数的定义可知,(55)(56)(69)n n n ---中最大的数为69-n,最小的数为55—n ,那么可知下标的值为69—n ,共有69—n-(55—n )+1=15个数,因此选择C2.某公司新招聘8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门,则不同的分配方案共有( ) A. 24种 B. 36种 C 。
38种 D 。
108种 【答案】B【解析】因为平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门,那么特殊元素优先考虑,分步来完成可知所有的分配方案有36种,选B3.n ∈N *,则(20-n )(21—n )……(100-n)等于( )A .80100n A - B .nn A --20100 C .81100n A -D .8120n A -【答案】C【解析】因为根据排列数公式可知n ∈N *,则(20-n )(21—n)……(100—n)等于81100n A -,选C4.从0,4,6中选两个数字,从3.5。
7中选两个数字,组成无重复数字的四位数。
其中偶数的个数为 ( ) A 。
56 B. 96 C. 36 D 。
360 【答案】B【解析】因为首先确定末尾数为偶数,那么要分为两种情况来解,第一种,末尾是0,那么其余的有A 35=60,第二种情况是末尾是4,或者6,首位从4个人选一个,其余的再选2个排列即可 433⨯⨯,共有96种5.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有 ( )A. 280种B. 240种 C 。
排列组合常见题型及解答

排列组合常见题型 一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个是底数,哪个是指数【例1】 (1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?(2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?(3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法?【解析】:(1)43(2)34 (3)34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有( )A 、38 B 、83 C 、38A D 、38C【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有38种 不同的结果。
所以选A二.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.【例1】A,B,C,D,E 五人并排站成一排,如果A,B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有【解析】:把A,B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A 种 【例2】(2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( )A. 360B. 188C. 216D. 96【解析】: 间接法 6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,22223242C A A A =432,其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144,符合条件的排法故共有288三.相离问题插空法 :元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是【解析】:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法数是52 563600A A【例2】书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有种不同的插法(数字作答)【解析】:111789A A A=504【例3】高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是【解析】:不同排法的种数为5256A A=3600【例4】某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
排列组合典型题大全包括答案

排列组合典型题大全一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客〞,能重复的元素看作“店〞,那么通过“住店法〞可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数【例 1】〔1〕有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?(2〕有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?(3〕将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒,那么有多少种不同投法?【解析】:〔1〕34〔 2〕43〔 3〕43【例2】把 6 名实习生分配到7 个车间实习共有多少种不同方法?【解析】:完成此事共分 6 步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7 种不同方案,第二步:将第二名实习生分配到车间也有7 种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有76 种不同方案.【例3】 8 名同学争夺 3 项冠军,获得冠军的可能性有〔〕A、83 B、38 C、A8 3 D、3C8【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8 名学生看作8 家“店〞,3 项冠军看作 3 个“客〞,他们都可能住进任意一家“店〞,每个“客〞有8 种可能,因此共有83种不同的结果。
所以选 A1、 4 封信投到 3 个信箱当中,有多少种投法?2、 4 个人争夺 3 项冠军,要求冠军不能并列,每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还,问最后有多少种情况?3、 4 个同学参加 3 项不同的比赛(1〕每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果?(2〕每项竞赛只许一名同学参加,有多少种不同的结果?4、 5 名学生报名参加 4 项比赛,每人限报 1 项,报名方法的种数有多少?又他们争夺这 4 项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少?5、甲乙丙分10 瓶汽水的方法有多少种?6、〔全国 II文〕5位同学报名参加两个课外活动小组, 每位同学限报其中的一个小组, 那么不同的报名方法共(A)10 种(B) 20 种(C) 25 种(D) 32种7、 5 位同学报名参加并负责两个课外活动小组,每个兴趣小组只能有一个人来负责,负责人可以兼职,那么不同的负责方法有多少种?8、 4 名不同科目的实习教师被分配到 3 个班级,不同的分法有多少种?思考: 4 名不同科目的实习教师被分配到 3 个班级,每班至少一个人的不同的分法有多少种?二.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列 .【例 1】A, B,C , D , E五人并排站成一排,如果A, B 必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有【解析】:把 A, B 视为一人,且B固定在A的右边,那么此题相当于4 人的全排列, A44 24 种例 2. 7 人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻 , 共有多少种不同的排法 .解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合经典题型及解析

排列组合经典题型及解析1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法有( ) A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种解析:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种,答案:D .2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是( ) A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52563600A A =种,选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.`例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法有( ) A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种解析:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即551602A =种,选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是( )A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有21110872520C C C =种, … 选C .(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有( ) A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案:A .6.全员分配问题分组法:例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种解析:把四名学生分成3组有24C 种方法,再把三组学生分配到三所学校有33A 种,故共有234336C A =种方法.说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( )A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种,答案:B .7.名额分配问题隔板法:例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:①若甲乙都不参加,则有派遣方案48A 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有38A 方法,所以共有383A ;③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种,共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计. 例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( ) A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种 ]解析:按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有55A 个,1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个,合并总计300个,选B. (2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种解析:被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素;由此可知,从A 中任取2个元素的取法有214C ,从A 中任取一个,又从A 中任取一个共有111486C C ,两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.(3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种 解析:将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集,能被4整除的数集{}4,8,12,100A =;能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =,能被4除余2的数集{}2,6,,98C =,能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =,易见这四个集合中每一个有25个元素;从A 中任取两个数符合要;从,B D 中各取一个数也符合要求;从C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案解析:设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。
(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

g a o o 2. ! ①;②;③;④[解析] 因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2 28步,那么共有C=28种走法.6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有( )A.24种B.36种 C.38种D.108种[解析] 本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有213种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C种分法,然132后再分到两部门去共有C A种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组213人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C种13213方法,由分步乘法计数原理共有2C A C=36(种).7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )A.33 B.34 C.35 D.36123[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C·A=12个;1233②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C·A+A=18个;13③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) A.72 B.96 C.108 D.144213223[解析] 分两类:若1与3相邻,有A·C A A=72(个),若1与3不相邻有forsos的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选。
排列组合典型题大全附答案解析

排列组合典型题大全一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数【例1】(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?(2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?(3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法?【解析】:(1)43(2)34(3)34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有()A、38 B、83 C、38A D、3C8【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有38种不同的结果。
所以选A1、4封信投到3个信箱当中,有多少种投法?2、4个人争夺3项冠军,要求冠军不能并列,每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还,问最后有多少种情况?3、4个同学参加3项不同的比赛(1)每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果?(2)每项竞赛只许一名同学参加,有多少种不同的结果?4、5名学生报名参加4项比赛,每人限报1项,报名方法的种数有多少?又他们争夺这4项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少? 5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种?6、(全国II 文)5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共 (A)10种(B) 20种(C) 25种(D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组,每个兴趣小组只能有一个人来负责,负责人可以兼职,则不同的负责方法有多少种?8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级,不同的分法有多少种?思考:4名不同科目的实习教师被分配到3个班级,每班至少一个人的不同的分法有多少种?二.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有【解析】:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合常见题型及解答

A.70B.140C.280D.840 答案 :( A )
【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有( )
(A)30种 (B)90种 (C)180种 (D)270种
【解析】:把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒模型可使问题容易解决.
【例7】 3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种?
③若乙参加而甲不参加同理也有 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另两个城市有 种,共有 方法.所以共有不同的派遣方法总数为 种
【例10】 四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
【解析】:先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有 种,再排:在四个盒中每次排3个有 种,故共有 种.
【例1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
【解析】:除甲乙外,其余5个排列数为 种,再用甲乙去插6个空位有 种,不同的排法数是
【例2】 书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有 种不同的插法(数字作答)
【解析】:
【例3】 高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是
排列组合常见题型
一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个是底数,哪个是指数
排列组合经典例题(含解析)

排列与组合习题1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为() A.40B.50C.60D.70[解析]先分组再排列,一组2人一组4人有C26=15种不同的分法;两组各3人共有C36A22=10种不同的分法,所以乘车方法数为25×2=50,故选 B.2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A.36种B.48种C.72种D.96种[解析]恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A33A24=72种排法,故选 C.3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有()A.6个B.9个C.18个D.36个[解析]注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C13=3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有A22×C23=6(种)排法,所以共有3×6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有() A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人[解析]设男生有n人,则女生有(8-n)人,由题意可得C2n C18-n=30,解得n=5或n=6,代入验证,可知女生为2人或3人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有()A.45种B.36种C.28种D.25种[解析]因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C28=28种走法.6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有()A.24种B.36种C.38种D.108种[解析]本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C13种分法,然后再分到两部门去共有C13A22种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C13种方法,由分步乘法计数原理共有2C13A22C13=36(种).7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A.33 B.34 C.35 D.36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33=12个;②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33+A33=18个;③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选 A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A.72 B.96 C.108 D.144[解析]分两类:若1与3相邻,有A22·C13A22A23=72(个),若1与3不相邻有A33·A33=36(个)故共有72+36=108个.9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()A.50种B.60种C.120种D.210种[解析]先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25=120种,故选 C.10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班,有A25=20(种)排法,其余5人再进行排列,有A55=120(种)排法,所以共有20×120=2400(种)安排方法.11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答)[解析]由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C49·C25·C33=1260(种)排法.12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).[解析]先将6名志愿者分为4组,共有C26C24A22种分法,再将4组人员分到4个不同场馆去,共有A44种分法,故所有分配方案有:C26·C24A22·A44=1 080种.13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答).[解析]5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.若1、3同色,2有2种种法,若1、3不同色,2有1种种法,∴有4×3×2×(1×2+1×1)=72种.14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(A)12种(B)18种(C)36种(D)54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选 B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有A.504种B.960种C.1008种D.1108种解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号共有4414222AA A 种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43313134422A A A AA 种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是(A )72(B )96(C )108(D )144w_w_w.k*s 5*u.co*m解析:先选一个偶数字排个位,有3种选法w_w_w.k*s 5*u.co*m①若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,32232A A=24个②若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,共32222A A=12个算上个位偶数字的排法,共计3(24+12)=108个答案:C17. 在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10B.11C.12D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。
(完整版)排列组合高考真题及答案

1 •将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6张卡片放入3个不同的信圭寸中•若每个信封放2张,其中标号为1, 2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(力72 种但)18 种(C) 36 种(D)54种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识,考察考生分析问题的能力•【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有4种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有圧'种方法,共有'M “种,故选B.2某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班,每天安排2人,每人值班1天•若6位员工中的甲不值14日,乙不值16日,则不同的安排方法共有(A) 30种但)36种(C) 42种解析:法一:所有排法减去甲值14日或乙值(D) 48种16日,再加上甲值14日且乙值16日的排法即C; C: 2C; C: C:C3=42法二:分两类甲、乙同组,贝y只能排在15 S,有C: =6种排法3•某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲' 乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号 共有2A 2A 4A :种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有 4A22 ( A44 A31A31A33) 种方法故共有IOO8种不同的排法 4.8名学生和2位第师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为 (A)A8√∖92 (B) Aδ8C92 (C) A88A72 (D) Aδ8C72 答案:A5•由 1、2、3、4、 5、 6组成没有重复数字且1、 3都不与5相邻的六位偶 的个数是(A) 72 (B) 96 (C) 108 (D) 144 解析:先选一个偶数字排个位,有3种选法①若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,3A; A;二24个②若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,共3A∣A2 = 12个 算上个位偶数字的排法,共计3 (24+ 12) = 108个答案:C6. 如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要求每个点涂 一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法用(A) 288 种(B) 264 种(C) 240 种(D) 168 种A. 504 种B.960种 C. 1008 种 D.【答案】D【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想,属于难题。
(完整版)排列组合练习试题和答案解析

一、排列与组合
1.从9人中选派2人参加某一活动,有多少种不同选法?
2.从9人中选派2人参加文艺活动,1人下乡演出,1人在本地演出,有多少种不同选派方法?
3.现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的方案,那么男、女同学的人数是
4.有编号为1、2、3的3个盒子和10个相同的小球,现把10个小球全部装入3个盒子中,使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数,这种装法共有
A.9种B.12种C.15种D.18种
5.将7只相同的小球全部放入4个不同盒子,每盒至少1球的方法有多少种?
6.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队,参加市中学数学应用题竞赛活动,使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种?
由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.
12.从5部不同的影片中选出4部,在3个影院放映,每个影院至少放映一部,每部影片只放映一场,共有种不同的放映方法(用数字作答)。
五、元素与位置——位置分析
1.7人争夺5项冠军,结果有多少种情况?
2. 75600有多少个正约数?有多少个奇约数?
(2)甲乙必须站两端,丙站中间,有多少种不同排法?
2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数?
3.由数字1,2,3,4,5,6,7所组成的没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排列起来,第379个数是
A.3761 B.4175 C.5132 D.6157
4.设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有
cxy排列组合经典例题解析

排列组合问题经典题型与通用方法解析版1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法有( )A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种,答案:D .2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是( )A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52563600A A =种,选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法有( )A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即551602A =种,选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是( )A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有21110872520C C C =种,选C .(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有( )A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种 D 、444128433C C C A 种答案:A .6.全员分配问题分组法:例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?解析:把四名学生分成3组有24C 种方法,再把三组学生分配到三所学校有33A 种,故共有234336C A =种方法.说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( )A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案:B .7.名额分配问题隔板法:例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:①若甲乙都不参加,则有派遣方案48A 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有38A 方法,所以共有383A ;③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种,共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计. 例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( )A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析:按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有55A 个,1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个,合并总计300个,选B.(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?解析:被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素;由此可知,从A 中任取2个元素的取法有214C ,从A 中任取一个,又从A 中任取一个共有111486C C ,两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.(3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种? 解析:将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集,能被4整除的数集{}4,8,12,100A =;能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =,能被4除余2的数集{}2,6,,98C =,能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =,易见这四个集合中每一个有25个元素;从A 中任取两个数符合要;从,B D 中各取一个数也符合要求;从C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种. 10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?解析:设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。
(完整版)排列组合经典练习(带答案)

排列与组合习题1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为() A.40B.50C.60D.70[解析]先分组再排列,一组2人一组4人有C26=15种不同的分法;两组各3人共有C36A22=10种不同的分法,所以乘车方法数为25×2=50,故选B.2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A.36种B.48种C.72种D.96种[解析]恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A33A24=72种排法,故选C.3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有()A.6个B.9个C.18个D.36个[解析]注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C13=3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有A22×C23=6(种)排法,所以共有3×6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有() A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人[解析]设男生有n人,则女生有(8-n)人,由题意可得C2n C18-n=30,解得n=5或n=6,代入验证,可知女生为2人或3人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有()A.45种B.36种C.28种D.25种[解析]因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C28=28种走法.6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有()A.24种B.36种C.38种D.108种[解析]本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C13种分法,然后再分到两部门去共有C13A22种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C13种方法,由分步乘法计数原理共有2C13A22C13=36(种).7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A.33 B.34 C.35 D.36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33=12个;②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33+A33=18个;③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A.72 B.96 C.108 D.144[解析]分两类:若1与3相邻,有A22·C13A22A23=72(个),若1与3不相邻有A33·A33=36(个)故共有72+36=108个.9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()A.50种B.60种C.120种D.210种[解析]先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25=120种,故选C.10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班,有A25=20(种)排法,其余5人再进行排列,有A55=120(种)排法,所以共有20×120=2400(种)安排方法.11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答)[解析]由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C49·C25·C33=1260(种)排法.12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).[解析]先将6名志愿者分为4组,共有C26C24A22种分法,再将4组人员分到4个不同场馆去,共有A 44种分法,故所有分配方案有:C 26·C 24A 22·A 44=1 080种. 13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答).[解析] 5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.若1、3同色,2有2种种法,若1、3不同色,2有1种种法,∴有4×3×2×(1×2+1×1)=72种.14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(A )12种 (B )18种 (C )36种 (D )54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种 解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 (A )72 (B )96 (C ) 108 (D )144 解析:先选一个偶数字排个位,有3种选法①若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,32232A A =24个②若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,共32222A A =12个算上个位偶数字的排法,共计3(24+12)=108个 答案:C17. 在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。
排列组合经典例题(含解析)

排列与组合习题1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为() A.40B.50C.60D.70[解析]先分组再排列,一组2人一组4人有C26=15种不同的分法;两组各3人共有C36A22=10种不同的分法,所以乘车方法数为25×2=50,故选 B.2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A.36种B.48种C.72种D.96种[解析]恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A33A24=72种排法,故选 C.3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有()A.6个B.9个C.18个D.36个[解析]注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C13=3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有A22×C23=6(种)排法,所以共有3×6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有() A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人[解析]设男生有n人,则女生有(8-n)人,由题意可得C2n C18-n=30,解得n=5或n=6,代入验证,可知女生为2人或3人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有()A.45种B.36种C.28种D.25种[解析]因为10÷8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C28=28种走法.6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有()A.24种B.36种C.38种D.108种[解析]本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C13种分法,然后再分到两部门去共有C13A22种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C13种方法,由分步乘法计数原理共有2C13A22C13=36(种).7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A.33 B.34 C.35 D.36[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33=12个;②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33+A33=18个;③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13=3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选 A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A.72 B.96 C.108 D.144[解析]分两类:若1与3相邻,有A22·C13A22A23=72(个),若1与3不相邻有A33·A33=36(个)故共有72+36=108个.9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()A.50种B.60种C.120种D.210种[解析]先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C16,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A25种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25=120种,故选 C.10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班,有A25=20(种)排法,其余5人再进行排列,有A55=120(种)排法,所以共有20×120=2400(种)安排方法.11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答)[解析]由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C49·C25·C33=1260(种)排法.12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).[解析]先将6名志愿者分为4组,共有C26C24A22种分法,再将4组人员分到4个不同场馆去,共有A44种分法,故所有分配方案有:C26·C24A22·A44=1 080种.13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答).[解析]5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.若1、3同色,2有2种种法,若1、3不同色,2有1种种法,∴有4×3×2×(1×2+1×1)=72种.14. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(A)12种(B)18种(C)36种(D)54种【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封,每个信封两个有种方法,共有种,故选 B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有A.504种B.960种C.1008种D.1108种解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号共有4414222AA A 种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有)(43313134422A A A AA 种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是(A )72(B )96(C )108(D )144w_w_w.k*s 5*u.co*m解析:先选一个偶数字排个位,有3种选法w_w_w.k*s 5*u.co*m①若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,32232A A=24个②若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,共32222A A=12个算上个位偶数字的排法,共计3(24+12)=108个答案:C17. 在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10B.11C.12D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。
(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一.基本原理1.加法原理:做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列,所个不同元素中取出列,叫做从1.公式:1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定:0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三.组合:从n 个不同元素中任取m (m ≤n )个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。
1. 公式: ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定:组合数性质:.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……,, ①;②;③;④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注:若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四.处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题) ②有序还是无序 ③分步还是分类。
排列组合典型例题(带详细答案)

例1用O到9这10个数字•可组成多少个没有重复数字的四位偶数?例2三个女生和五个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法?(4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法?例3排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种?(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种?例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法.例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员,每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种?例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表•如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择•若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法?例7 7名同学排队照相.(1)若分成两排照,前排3人,后排4人,有多少种不同的排法?(2)若排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法?(3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法?(4)若排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法?例8计算下列各题:(1) A15 ;⑵A6;例9 a,b,c,d,e,f六人排一列纵队,限定a要排在b的前面(a与b可以相邻,也可以不相邻),求共有几种排法.例10八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有多少种安排办法?例11计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且不彩画不放在两端,那么不同陈列方式有例12由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数的个数共有()•例13用1,2,3,4,5 ,这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有()•例14用0、1、2、3、4、5共六个数字,组成无重复数字的自然数,(1)可以组成多少个无重复数字的3位偶数?(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数?1、解法1当个位数上排“ O”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有A个;当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有A4 A A I(个)•「•没有重复数字的四位偶数有Ag + A;.A;'A2 =504 + 1792 =22962、解:(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合一起共有六个元素,然成一排有A6种不同排法•对于其中的每一种排法,三个女生之间又都有A对种不同的排法,因此共有A(6 Aa =4320种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个空档,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻•由于五个男生排成一排有A5种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位置中3 5 3选出三个来让三个女生插入都有A6种方法,因此共有A A6 = 14400种不同的排法.(3)解法1:(位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2个,有As种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有Af种排法,所以共有A A=14400种不同的排法... 8 2 6(4)3个女生和5个男生排成一排有A种排法,从中扣去两端都是女生排法 A A种,就能得到两端不都是女生的排法种数•因此共有A; - A;∙A65 = 36000种不同的排法.3、解:(1)先排歌唱节目有A)种,歌唱节目之间以及两端共有6个位子,从中选4个放入舞蹈节目,共有A64中方法,所以任两个舞蹈节目不相邻排法有: A A = 43200.(2)先排舞蹈节目有A:中方法,在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位,恰好供5个歌唱节目放入。
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排列组合问题经典题型与通用方法1. 相邻问题捆绑法 : 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列 .例 1.A,B,C, D, E五人并排站成一排,如果A, B必须相邻且 B 在 A 的右边,则不同的排法有()A 、 60 种B 、 48 种 C、 36 种D、 24 种2. 相离问题插空排 : 元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2. 七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是( )A 、 1440 种B 、 3600 种C 、 4820 种D 、 4800 种3. 定序问题缩倍法 : 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法 .例 3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排, 如果 B 必须站在 A 的右边( A, B可以不相邻)那么不同的排法有 ()A 、 24 种B 、 60 种C 、 90 种 D、 120 种4. 标号排位问题分步法 : 把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成 .例 4. 将数字 1,2,3,4 填入标号为 1, 2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填 数字均不相同的填法有( ) A 、 6 种 B 、 9 种 C 、 11 种 D 、 23 种5. 有序分配问题逐分法 : 有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法 . 例 5. ( 1)有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需一人承担,从 10 人中选出 4 人承担这三项任务, 不同的选法种数是( ) A 、 1260 种 B 、 2025 种 C、 2520 种 D、 5040 种( 2) 12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4 人,则不同的分配方案有( )A 、 C 124C 84C 44 种B 、 3C 124C 84 C 44 种 C 、 C 124C 84 A 33 种 DC 124 C 84C 44、A 33种6. 全员分配问题分组法 :例 6. ( 1)4 名优秀学生全部保送到3 所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?( 2)5 本不同的书,全部分给4 个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()A 、 480 种B、 240 种C、120 种D、 96 种第 1 页 共 9 页7.名分配隔板法 :例 7: 10 个三好学生名分到7 个班,每个班至少一个名,有多少种不同分配方案?8. 限制条件的分配分法:例8. 某高校从某系的 10 名秀生中 4 人分到西部四城市参加中国西部开建,其中甲同学不到川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?9.多元分法:元素多,取出的情况也多种,可按果要求分成不相容的几情况分数再相加。
(完整版)排列组合习题_[含详细答案解析]
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圆梦教育中心排列组合专项训练1.题 1 (方法对比,二星)题面:(1)有 5 个插班生要分配给 3 所学校,每校至少分到一个,有多少种不同的分配方法?(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校,每校至少分到一个名额,有多少种不同的名额分配方法?解析:“名额无差别”——相同元素问题(法1)每所学校各分一个名额后,还有 2 个名额待分配,21 可将名额分给 2 所学校、1 所学校,共两类:C32C31(种)(法 2 ——挡板法)2 相邻名额间共 4 个空隙,插入 2 个挡板,共:C426(种)注意:“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别,且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别,元素无差别)题面:有10 个运动员名额,分给7 个班,每班至少一个, 有多少种分配方案?答案:C96详解:因为10 个名额没有差别,把它们排成一排。
相邻名额之间形成9 个空隙。
在9 个空档中选 6 个位置插个隔板,可把名额分成7 份,对应地分给7 个班级,每一种插板6方法对应一种分法共有C96种分法。
题面:完美WORD 格式由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z 之值, 故解的个数为 C 9 2=36 (个)。
2.题 2 (插空法,三星)题面:某展室有9 个展台,现有3 件展品需要展出,要求每件展品独自占用1 个展台,并且3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有 ______________________________ 种;如果进一步要求3 件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法有____ 种.答案:60,48 同类题一题面:6 男 4 女站成一排,任何 2 名女生都不相邻有多少种排法?答案:A66·A47种.详解:任何 2 名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有A66·A47种不同排法.题面:有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A.36 种B.48 种C.72 种D.96 种答案: C. 详解:恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A 33A24=72 种排法,故选 C.求方程X+Y+Z=10 的正整数解的个数。
排列组合常见题型及解答

一.可重复的摆列求幂法:重复摆列问题要划分两类元素:一类能够重复,另一类不可以重复,把不能重复的元素看作“客” ,能重复的元素看作“店” ,则经过“住店法”可顺利解题,在这种问题使用住店办理的策略中,重点是在正确判断哪个是底数,哪个是指数【例 1】( 1)有 4 名学生报名参加数学、物理、化学比赛,每人限报一科,有多少种不一样的报名方法(2)有 4 名学生参加抢夺数学、物理、化学比赛冠军,有多少种不一样的结果(3)将 3 封不一样的信投入 4 个不一样的邮筒,则有多少种不一样投法【分析】:(1)( 2)( 3)【例 2】把6名实习生疏派到7 个车间实习共有多少种不一样方法【分析】:达成此事共分 6 步,第一步;将第一名实习生疏派到车间有7 种不一样方案,第二步:将第二名实习生疏派到车间也有7 种不一样方案,挨次类推,由分步计数原理知共有种不一样方案 .【例 3】 8 名同学抢夺 3 项冠军,获取冠军的可能性有()A、B、C、D、【分析】:冠军不可以重复,但同一个学生可获取多项冠军,把8 名学生看作8 家“店”, 3 项冠军看作 3 个“客”,他们都可能住进随意一家“店” ,每个“客”有 8 种可能,所以共有种不一样的结果。
所以选 A二.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,看作一个大元素参加摆列.【例 1】 A,B,C,D,E五人并排站成一排,假如A,B 一定相邻且 B 在 A 的右侧,那么不一样的排法种数有【分析】:把 A,B 视为一人,且 B 固定在 A 的右侧,则此题相当于 4 人的全摆列,种【例 2】( 2009 四川卷理) 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两头, 3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不一样排法的种数是()A. 360B. 188C. 216D. 96【分析】:间接法 6位同学站成一排, 3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,,此中男生甲站两头的有,切合条件的排法故共有288三.相离问题插空法:元素相离(即不相邻)问题,可先把无地点要求的几个元素全摆列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两头.【例 1】七人并排站成一行,假如甲乙两个一定不相邻,那么不一样的排法种数是【分析】:除甲乙外,其余 5 个摆列数为种,再用甲乙去插 6 个空位有种,不一样的排法数是【例 2】书架上某层有 6 本书,新买 3 本插进去,要保持原有 6 本书的次序,有种不一样的插法(数字作答)【分析】:【例 3】高三(一)班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目, 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不一样排法的种数是【分析】:不一样排法的种数为=3600【例 4】某工程队有 6 项工程需要独自达成,此中工程乙一定在工程甲达成后才能进行,工程丙必须在工程乙达成后才能进行,有工程丁一定在工程丙达成后立刻进行。
排列组合问题经典题型与通用方法解析版(1)

排列组合问题经典题型与通用方法解析版1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法有()A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种,答案:D .2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是()A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52563600A A =种,选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法有()A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即551602A =种,选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是()A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有21110872520C C C =种,选C .(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有()A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案:A .6.全员分配问题分组法:例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?解析:把四名学生分成3组有2 4C 种方法,再把三组学生分配到三所学校有33A 种,故共有234336C A =种方法.说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案:B .7.名额分配问题隔板法:例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:①若甲乙都不参加,则有派遣方案48A 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有38A 方法,所以共有383A ;③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种,共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计.例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析:按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有55A 个,1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个,合并总计300个,选B .(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?解析:被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A = 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A = 共有86个元素;由此可知,从A 中任取2个元素的取法有214C ,从A 中任取一个,又从A 中任取一个共有111486C C ,两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.(3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?解析:将{}1,2,3,100I = 分成四个不相交的子集,能被4整除的数集{}4,8,12,100A = ;能被4除余1的数集{}1,5,9,97B = ,能被4除余2的数集{}2,6,,98C = ,能被4除余3的数集{}3,7,11,99D = ,易见这四个集合中每一个有25个元素;从A 中任取两个数符合要;从,B D 中各取一个数也符合要求;从C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ?=+-?例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?解析:设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:()()()()n I n A n B n A B --+?43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。
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排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排,如果,A B必须相邻且B在A的右边,则不同的排法有()A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是()A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(,A B可以不相邻)那么不同的排法有()A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()A、6种B、9种C、11种D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是()A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有()A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()A、480种 B、240种 C、120种 D、96种7.名额分配问题隔板法:例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()A、210种 B、300种 C、464种 D、600种(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?(3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式⋃=+-⋂n A B n A n B n A B()()()()例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。
例11.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。
例12.(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是()A、36种B、120种C、720种D、1440种(2)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有()A、140种B、80种C、70种D、35种14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法. 例14.(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?(2)9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同的分组方法?15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中,只有一部分合条件,可以从总数中减去不符合条件数,即为所求.例15.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有( )A 、70种B 、64种C 、58种D 、52种(2)四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有( ) A 、150种 B 、147种 C 、144种 D 、141种16.圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分,下列n 个普通排列:12323411,,,;,,,,,;,,,n n n n a a a a a a a a a a a -在圆排列中只算一种,因为旋转后可以重合,故认为相同,n 个元素的圆排列数有!n n种.因此可将某个元素固定展成单排,其它的1n -元素全排列.例16.有5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法?17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有nm 种方法. 例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?18.复杂排列组合问题构造模型法:例18.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例19.设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法?20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例20.(1)30030能被多少个不同偶数整除?(2)正方体8个顶点可连成多少队异面直线?21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例21.(1)圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个?(2)某城市的街区有12个全等的矩形组成,其中实线表示马路,从A 到B 的最短路径有多少种?22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题(贺卡问题,信封问题)记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式: 用A 、B 、C……表示写着n 位友人名字的信封,a 、b 、c……表示n 份相应的写好的信纸。
把错装的总数为记作f(n)。
假设把a 错装进B 里了,包含着这个错误的一切错装法分两类:(1)b 装入A 里,这时每种错装的其余部分都与A 、B 、a 、b 无关,应有f(n-2)种错装法。
(2)b 装入A 、B 之外的一个信封,这时的装信工作实际是把(除a 之外的) 份信纸b 、c……装入(除B 以外的)n -1个信封A 、C……,显然这时装错的方法有f(n-1)种。
总之在a 装入B 的错误之下,共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。
a 装入C ,装入D……的n -2种错误之下,同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法,因此:得到一个递推公式: f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)},分别带入n=2、3、4等可推得结果。
也可用迭代法推导出一般公式: )!1)1(!31!21!111(!)(n n n f n -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=排列组合问题经典题型与通用方法解析版1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,则不同的排法有( ) A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种解析:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A =种,答案:D .2.相离问题插空排:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是( ) A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有26A 种,不同的排法种数是52563600A A =种,选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果B 必须站在A 的右边(,A B 可以不相邻)那么不同的排法有( )A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析:B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即551602A =种,选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是( )A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有21110872520C C C =种, 选C .(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有( ) A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案:A .6.全员分配问题分组法:例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?解析:把四名学生分成3组有24C 种方法,再把三组学生分配到三所学校有33A 种,故共有234336C A =种方法.说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( ) A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案:B .7.名额分配问题隔板法:例7:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:①若甲乙都不参加,则有派遣方案48A 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有38A 方法,所以共有383A ;③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种,共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计.例9(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( ) A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种解析:按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有55A 个,1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个,合并总计300个,选B.(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?解析:被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素;由此可知,从A 中任取2个元素的取法有214C ,从A 中任取一个,又从A 中任取一个共有111486C C ,两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.(3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?解析:将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集,能被4整除的数集{}4,8,12,100A =;能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =,能被4除余2的数集{}2,6,,98C =,能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =,易见这四个集合中每一个有25个元素;从A 中任取两个数符合要;从,B D 中各取一个数也符合要求;从C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?解析:设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。