77知识讲解 直接证明与间接证明(提高)
直接证明和间接证明
直接证明和间接证明例如，我们要证明一个分数小于1的正数与其倒数相乘的结果一定小于1、我们可以直接证明如下：设分数为a/b，其中a和b均为正整数。
则有a<b，因此，a/b<b/b，即a/b<1又因为倒数的定义为1/a，即倒数为1除以该数，所以可知a/b *1/a = a/ba = 1/b，而1/b小于1因此，我们可以得出结论：一个小于1的正数与其倒数相乘的结果一定小于1间接证明是通过反证法（或称间接推理）推导出结论的证明方法。
它包括以下步骤：首先，假设要证明的结论不成立；其次，根据该假设推导出与已知事实矛盾的结论；最后，得出假设的结论非真，因此原结论为真。
间接证明的特点是通过推理和推导推翻假设，从而得到结论。
例如，我们要证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，即可表示为a/b的形式，其中a和b是整数，且a和b没有公因数。
则根号2=a/b，即2=(a/b)^2，即2b^2=a^2根据等式两边平方数的性质可知，a^2必为偶数。
那么，根据整数的性质可知，a也必为偶数，即a=2c，其中c为整数。
将a=2c代入等式2b^2=a^2中，得到2b^2=(2c)^2，化简得到b^2=2c^2依据同样的推理，b也是偶数，与假设a和b之间没有公因数相矛盾。
因此，假设根号2是有理数的假设不成立，根号2是无理数。
总结来说，直接证明是通过逻辑推理和数学定义直接得出结论，而间接证明是通过反证法推导出结论。
这两种证明方法在数学中应用广泛，可以灵活运用于各类数学问题的证明中。
无论是选择直接证明还是间接证明，重要的是要严谨、清晰地阐述证明的过程和推理的逻辑，以确保结论的正确性。
直接证明与间接证明课件
基础知识梳理
2．间接证明 反证法：假设原命题 不成立 ，经 过正确的推理，最后得出 矛盾 ，因此 说明假设错误，从而证明了原命题成 立，这样的证明方法叫反证法．
三基能力强化
用反证法证明命题：若整系数一元 二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数 根，那么a、b、c中至少有一个是偶数 时，下列假设中正确的是( ) A．假设a、b、c都是偶数 B．假设a、b、c都不是偶数 C．假设a、b、c至多有一个偶数 D．假设a、b、c至多有两个偶数 答案：B
基础知识梳理
综合法和分析法有什么区别与联系？ 分析法的特点是：从“未知”看“需知”， 逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻 求它的充分条件； 综合法的特点是：从“已知”看“可知”， 逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻 找它的必要条件． 分析法与综合法各有其特点，有些具体 的待证命题，用分析法或综合法均能证明出 来，往往选择较简单的一种．
直接证明与间接证明
基础知识梳理
1．直接证明 (1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公 理、定理等，经过一系列的推理证明 ，最后推导 出所要证明的结论 成立 ，这种证明方法叫综合 法． ②框图表示：
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (其 中 P 表示条件，Q 表示要证结论)．
课堂互动讲练
一般地，含有根号、绝对值的等式 或不等式，若从正面不易推导时，可以 考虑用分析法．
课堂互动讲练
反证法体现了正难则反的思维方法，用反证 法证明问题的一般步骤是： (1)分清问题的条件和结论； (2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反 面成立(否定结论)； (3)从假定和条件出发，经过正确的推理，导 出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的 事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)； (4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因 是“假设”错误．既然结论的反面不成立，从而证 明了原结论成立(结论成立)．
直接证明与间接证明ppt课件
知能迁移2 已知a>0,求证: a21 2a12.
a2
a
证明 要证 a212a12,
a2
a
只要证a2 1 2a1 2.
a2
a
a0,故只要(证a2 1 2)2 (a1 2)2,
a2
a
即a2 1 4 a2 1 4
a2
a2
a2 2 1 2 2(a 1) 2,
a2
a
从而只要证2 a2 1 2( 1),
2分
只需 1 (six 1 证 n six 2明 n ) ta x 1 n x 2, 2co x 1 c s o x 2 s 2
只需证si明 nx1(x2) sinx1(x2) . 2coxs1coxs2 1cosx1(x2)
4分
由于 x1、x 2(0,π2),故x1x2(0,π).
∴cos x1cos x2>0,sin(x1+x2)>0,
f
(x1)
f
(x2)]
f
(x1
x2 2
).
12分
探究提分高析法是数学中常用到的一种直接证明 方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从 结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设 所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结 论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的 命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命 题的已知条件时命题得证.
D.既不充分也不必要条件
解析 分析法证明的本质是证明结论的充分条
件成立，即② ①，所以①是②的必要条件.
题型分类 深度剖析
题型一 综合法
【例1】 设a,b,c>0,证明：a2b2c2abc. bca
思维启迪 本题因为有三项分式，不主张用分
直接证明与间接证明
直接证明与间接证明知识点：一、直接证明1、综合法（1）定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）综合法的特点：综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.2、分析法（1）定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。
（2）分析法的特点：分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.二、间接证明反证法1、定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.2、反证法的特点：反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.３、反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.４反证法主要适用于以下两种情形：（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；（2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.例题讲解：一、选择题：1．命题“对于任意角θ，cos4θ－s in4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法答案：B2．已知x1>0，x1≠1且x n＋1＝x n·(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2，…)，试证：“数列{x n}对任意的正整数n，都满足x n>x n＋1，”当此题用反证法否定结论时应为()A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1，且x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0解析：根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{x n }对任意的正整数n ，都满足x n >x n ＋1”的否定为“存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1”，故选B. 答案：B3．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 解析：因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0，故选D. 答案：D4．已知a 、b 是非零实数，且a >b ，则下列不等式中成立的是( )A.b a<1 B ．a 2>b 2 C ．|a ＋b |>|a －b | D.1ab 2>1a 2b 解析：b a <1⇔b －a a<0⇔a (a －b )>0. ∵a >b ，∴a －b >0.而a 可能大于0，也可能小于0，因此a (a －b )>0不一定成立，即A 不一定成立；a 2>b 2⇔(a －b )(a ＋b )>0，∵a －b >0，只有当a ＋b >0时，a 2>b 2才成立，故B 不一定成立；|a ＋b |>|a －b |⇔(a ＋b )2>(a －b )2⇔ab >0，而ab <0也有可能，故C 不一定成立；由于1ab 2>1a 2b ⇔a －b a 2b 2>0⇔(a －b )·a 2b 2>0. ∵a ，b 非零，a >b ，∴上式一定成立，因此只有D 正确．故选D.答案：D5．(2009·杭州市模拟)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b ∈(0，＋∞)，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( ) A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤BC ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：因为当a ，b ∈(0，＋∞)时，a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，且函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，在R 上为减函数，所以A ≤B ≤C ，故选A.答案：A6．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( ) A ．aB ．bC ．cD ．不能确定解析：易得1＋x >2x >2x .∵(1＋x )(1－x )＝1－x 2<1，又0<x <1，即1－x >0.∴1＋x <11－x.答案：C 二、填空题：7．否定“任何三角形的外角都至少有两个钝角”其正确的反设应是________． 解析：本题为全称命题，其否定为特称命题．答案：存在一个三角形，它的外角至多有一个钝角8．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b 2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________． 解析：y 2＝(a ＋b )2＝a ＋b ＝2(a ＋b )2>(a ＋b )22＝x 2.答案：x <y 9．已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________． 解析：因为a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝b a ＋9a b ＋10≥16(当且仅当b a ＝9a b，即b ＝3a 时取等号)，a ＋b ≥μ恒成立⇔μ≤(a ＋b )min ，所以μ≤16.又μ∈(0，＋∞)，故0<μ≤16.答案：(0,16]10．(原创题)如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________． 解析：∵a a ＋b b >a b ＋b a ⇔(a －b )2·(a ＋b )>0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b三、解答题：11．已知a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.证明：∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1， ∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ca ＋1ab <1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c. 12．已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1.求证： a ＋12＋b ＋12≤2. 证明：要证 a ＋12＋b ＋12≤2.只要证：a ＋12＋b ＋12＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4， ∵由已知知a ＋b ＝1，故只要证：(a ＋12)(b ＋12)≤1， 只要证：(a ＋12)(b ＋12)≤1，只要证：ab ≤14， ∵a >0，b >0,1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，故原不等式成立． 13．(2010·浦东模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 分别为三内角A ，B ，C 的对边．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 解：要证明1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，只需证明a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，只需证明c a ＋b ＋a b ＋c＝1，只需证明c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )·(b ＋c )，只需证明c 2＋a 2＝ac ＋b 2.∵△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，∴B ＝60°，则余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，∴c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立．故原命题成立，得证．。
直接证明与间接证明_分析法
直接证明与间接证明_分析法直接证明和间接证明是逻辑学中的两种证明方法。
直接证明是通过事实和逻辑推理直接得出结论的方法，而间接证明则是通过反证法来达到证明的目的。
下面将从分析法的角度来探讨直接证明和间接证明的特点和应用。
首先，直接证明是一种简洁明确的证明方法。
它通过逐步展示事实和推理过程，直接地得出结论。
直接证明要求每一步的推理都是严谨和合乎逻辑的，不允许出现漏洞和错误。
直接证明的优点在于它的证明过程清晰明了，逻辑性强，容易理解和接受。
对于一些简单的问题，直接证明是最常见和最有效的证明方法。
其次，直接证明适用于一些直观的、已知的情况。
例如，要证明一个三角形的三个内角之和等于180度，可以通过直接证明来达到目的。
我们可以利用平行线和同位角的性质，逐步推导出对应角相等，从而得出结论。
这种情况下，我们有直观的几何图形和一些已知的性质，通过推理和演绎可以直接得出结论。
然而，直接证明也有一定的局限性。
对于一些复杂的问题，直接证明可能会变得更加困难和繁琐。
有时候，问题本身的复杂性以及需要证明的结论的复杂性会导致直接证明的推理过程变得更加难以理解和掌握。
在这种情况下，间接证明就可以派上用场。
间接证明是一种通过反证法推导出结论的方法。
它假设待证命题的否定是成立的，然后通过推理和推导得出矛盾的结论，从而证明了原命题的正确性。
间接证明的优点在于它能够化复杂的问题为简单的矛盾，通过推理和演绎来证明原命题的正确性。
它可以避免直接证明中的复杂推理和繁琐的计算。
间接证明适用于一些复杂、难以直接证明的问题。
例如，欧几里得几何中的数学定理费马大定理就是一个典型的间接证明的例子。
费马大定理认为不存在任何正整数n大于2的整数解(x,y,z)，使得x^n+y^n=z^n成立。
然而，这个定理的直接证明非常困难。
数学家费马通过间接证明的方法证明了该定理的正确性，从而为数学界做出了重大贡献。
总结起来，直接证明和间接证明是逻辑学中两种常见的证明方法。
直接证明与间接证明
分析法与综合法分析法与综合法是两种思路截然相反的证明方法,既对立又统一.用综合法证题前往往可用分析法寻找解题思路,即所谓的分析.因此分析法既可用于寻找解题思路,也可以是完整的证明过程.在解决较为复杂的问题时,往往是两种方法相互结合使用.有些问题从正面解决有困难，或不好解决时，我们往往考虑反证法。
绝不放过你------反正我有法1.直接证明(1)综合法①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.综合法是一种由因导果的证明方法.②证明步骤用符号表示为: ()()结论已知n p p p p ⇒⇒⇒⇒......210。
(2)分析法①从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件或定理、定义、公理等)为止的证明方法.②证明步骤用符号表示为:B (结论) ⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A (已知).2.间接证明反证法:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出假设与已知矛盾或与某个真命题矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.综合法的应用例1：设a 、b 、c 三数成等比数列,而x 、y 分别为a 、b 和b 、c 的等差中项,试证: 2=+yc x a 思路分析：运用综合法进行证明有关问题时,常常先把已知条件“翻译”成一些字母或数字关系式,再找它们与所要求证命题之间的关系,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的结论.解析：依题意,a 、b 、c 三数成等比数列,即cb b a =， 由比例性质有:c b b b a a +=+，又由题设: 2,2c b y b a x +=+=， 所以()222222=++=+++=+++=+cb c b c b c c b b c b c b a a y c x a ，原题得证. 点评：巧妙利用比例的性质是解决本例的关键.变式练习：已知a 、b 、c 都是实数，求证：()ca bc ab c b a c b a ++≥++≥++222231。
第六章 第六节 直接证明与间接证明46页PPT
(2)分析法 分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因 的思维 方法．即是从 特征结论出发，一步一步寻求结论成立 的 充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事 实．分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠 拢 “已知”．
[思考探究] 综合法和分析法有什么区别和联系？
提示：分析法是执果索因，一步步寻求上一步成立的 充分条件，仅是充分条件，而不需要充要条件.综合法 是由因导果.因此分析法的证明过程，恰好是综合法的 分析、思考的逆过程.
即a2＋ ≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.
用反证法证明问题的一般步骤为： (1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面
(否定命题)成立；(否定结论) (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的
推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定 义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾) (3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于 “反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定 了结论成立．(结论成立)
解析：a＝lg2＋lg5＝1， ∵x<0，∴b＝ex<1， ∴a>b.
答案：A
3.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么 a、
b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 ( )
A.a、b都能被5整除
B.a、b都不能被5整除
C.a、b不都能被5整除
D.a不能被5整除
解析：用反证法证明命题应先否定结论. 答案：B
2．反证法 (1)定义：
一般地，由证明p⇒q转向证明： q⇒r⇒…⇒t.t与 假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定 q 为 假，推出q为真的方法，叫做反证法．
(2)所谓矛盾主要是指： ①与假设矛盾； ②与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论 矛盾； ③与公认的简单事实矛盾．
直接证明与间接证明
趣味 数学
求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ， n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
归纳总结：
三个步骤：反设—归谬—存真
反设： 注意原结论的反面要全面、正确、准确
归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）与假设自相矛盾。
存真： 格式规范不能少
趣味 数学
证明：素数有无穷多个
证明：假设素数是有限的，假设素数只有 有限的n个，最大的一个素数是p， 设q为所有素数之积加上1，那么，
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件 下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的 证明方法叫做反证法。
反证法是最常见的间接证法
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假 反设 设结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾；
反设
则 y1(x1 y1) x1(x1 y1) x1 y1 ，
∴
x12
y12
x1 y1
0 ，即 (x1
y1 )2 2
3 4
y12
0，
但是
y1
0
，即 (x1
y1 )2 2
3 4
高中数学知识点精讲精析 直接证明与间接证明
2.2 直接证明与间接证明1．直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。
综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（或顺推证法、由因导果法）。
分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。
2．间接证明是相对于直接证明说的，反证法是间接证明常用的方法。
3．反证法假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
1．用直接证法和反证法分别证明：如果a >b >0，那么；【解析】 （1）假设不大于，则或者<,或者=．∵a >0，b>0，∴<<，<， a <b ；=a =b .这些都同已知条件a > b >0矛盾，∴.证法二（直接证法），∵a >b>0,∴a - b >0 即，∴，∴．2．设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…． （Ⅰ）求a 1，a 2；（Ⅱ）猜想｛a n ｝的通项公式． 【解析】(Ⅰ)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12．当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 1＝16．(Ⅱ)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，S n 2－2S n ＋1－a n S n ＝0．当n ≥2时，a n ＝S n －S n－1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0 ，①由(Ⅰ)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23．3． 已知0,,≠∈b a R b a 且，则在①ab b a ≥+222；②2≥+b aa b ； ③2)2(b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+ 这四个式子中，恒成立的个数是 （ ）A 1个B 2个C 3个D 4个 答案：C 。
数学证明中的直接证明与间接证明
数学证明中的直接证明与间接证明数学证明是数学领域中的重要内容，通过逻辑推理和严格的论证，以确保数学理论的正确性和可信度。
数学证明通常可以分为直接证明和间接证明两种形式。
本文将介绍直接证明和间接证明的含义、特点以及应用。
一、直接证明直接证明是一种常用的证明方法，它通过逻辑的推理和论证，直接从已知的命题出发，推导出所要证明的结论。
直接证明通常遵循以下步骤：1. 确定所要证明的命题或结论。
2. 列出已知条件和前提条件。
3. 运用逻辑推理、定义和定理等数学原理，一步一步地推导出结论。
4. 分析并验证证明过程中的每一步是否严谨、正确。
5. 结束证明，得出所要证明的命题。
直接证明的特点是逻辑性强、推理过程直观，并且能够根据已知条件直接得出结论。
因此，直接证明在数学证明中广泛应用于各个领域。
例如，我们来证明一个简单的数学定理：两个偶数的和是偶数。
定理：若a和b为偶数，则a+b为偶数。
证明：设a=2m，b=2n，其中m和n为整数。
则a+b=2m+2n=2(m+n)。
由于m和n为整数，所以m+n也是整数。
因此，a+b=2(m+n)为偶数。
证毕。
二、间接证明间接证明是一种通过反证法推导出结论的证明方法。
它假设所要证明的结论为假，通过运用逻辑推理和推导，得出与已知条件或已知结论相矛盾的结论，从而推断出所要证明的结论为真。
间接证明通常遵循以下步骤：1. 确定所要证明的命题或结论。
2. 假设所要证明的命题为假。
3. 运用逻辑推理和推导，推出与已知条件或已知结论相矛盾的结论。
4. 推断出所要证明的命题为真。
5. 结束证明，得出所要证明的命题。
间接证明的特点是通过对反证假设进行逻辑推理，将所要证明的结论转化为与已知条件相矛盾的结论。
它常常用于证明一些与质数、无理数、等级等有关的命题。
例如，我们来证明一个著名的数学定理：根号2是一个无理数。
定理：根号2是一个无理数。
证明：假设根号2是一个有理数，可以表示为根号2=p/q，其中p 和q互质。
[高三数学]直接证明与间接证明
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(2) 证明：我们只需证明：对于随机选取的 a,b∈{1,2,…n}, 方程 1 2 x +2ax+b=0无实数根概率1-Pn＜ 若方程x2+2ax+b=0无实 n n .因此，满足a2 数根，则Δ=4a2-4b＜0,即a2＜b.由b≤n知a＜
＜b的有序数组(a,b)的组数小于 n n ,从而，方程x2+2ax+b=0无 1 1 实数根的概率1-Pn＜n n = ， 所以Pn＞1. n n n2
高考总复习.理科.数学
第二章 推理与证明
第二节 直接证明与间接证明
高考总复习.理科.数学
课前自主学案
高考总复习.理科.数学
知识梳理
1．直接证明 已知条件 （1）综合法：从题设的____________ 出发，运用一系列有关 已确定真实的命题 作为推理的依据，逐步推演而得到要证明 _______________ 的结论，这种证明方法叫做综合法 . 综合法的推理方向是由 已知 求证 由因索果 ____________ 到 ____________ ，表现为 ____________ ，综 合法的解题步骤用符号表示是：_____________________. P0(已知) P1 P2 … Pn(结论) 顺推 特点:“由因导果”，因此综合法又叫____________ 法． 结论 （ 2 ） 分 析 法 ： 分 析 法 的 推 理 方 向 是 由 ____________ 到 题设 ____________ ，论证中步步寻求使其成立的 ____________ ， 充分条件 如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，从而使命题得 执果索因 证，表现为____________，分析法的证题步骤用符号表示为 _____________________________. B(结论) B1 B2 … Bn A(已知)
直接证明与间接证明-PPT精选文档
因为……所以……或由……得……
要证……只需证……即证……
2.间接证明
反证法：假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的
推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证 明方法叫反证法．
考基联动
考向导析
限时规范训练
联动思考
综合法和分析法有什么区别与联系？ 提示：分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理， 实际上是寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向 “未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点， 有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种．
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
考基联动
考向导析
限时规范训练
迁移发散 1 1 1 1．设 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证： ＋ ＋ ≥8. a b ab 证明：∵a＋b＝1， 1 1 1 a＋b a＋b a＋b ∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ a b ab a b ab b a a＋b ＝1＋ ＋1＋ ＋ ≥2＋2 a b ab ＝2＋2＋4＝8. a＋b ba ·＋ a b a＋b2 2
考基联动
考向导析
限时规范训练
考向二 分析法
|a|＋|b| 【例 2】 已知非零向量 a，b，且 a⊥b，求证： ≤ 2. |a＋b| 证明：a⊥b⇔a· b＝0， 要证 |a|＋|b| ≤ 2， |a＋b|
只需证|a|＋|b|≤ 2|a＋b|， 只需证|a| ＋2|a||b|＋|b| ≤2(a ＋2a· b＋b ) 只需证|a|2 ＋2|a||b|＋|b|2 ≤2a2 ＋2b2 ， 只需证|a| ＋|b| －2|a||b|≥0， 即(|a|－|b|)2 ≥0， 上式显然成立，故原不等式得证．
第五节 直接证明与间接证明
3．已知x＞0，y＞0，x＋y＝2，求证：1＋1x1＋1y≥4.
证明：1＋1x1＋1y＝1＋1x＋1y＋x1y＝1＋x＋xyy＋x1y. ∵x＋y＝2，x＞0，y＞0， ∴1＋1x1＋1y＝1＋x3y，2≥2 xy，即x1y≥1， 当且仅当x＝y＝1时取等号． ∴1＋1x1＋1y≥4.
考点二 间接证明：反证法(应用之翼会迁移)
[过关集训] 1．若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，则在a＋b,2 ab，a2＋b2和2ab
中最大的是________．
解析：因为0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，所以a＋b＞ 2 ab ，a2＋b2＞2ab，a＋b－(a2＋b2)＝a(1－a)＋b(1－b)＞ 0，所以a＋b最大．
答案：a＋b
[典例] 等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝5＋ 2 ，S3＝9
＋3 2.
(1)求an以及Sn；
(2)设bn＝
Sn n
，证明数列{bn}中不存在不同的三项成等比数
列．
[解题指导] 第(1)问
求什么 要求等差数列的an及Sn，想到求数列的 想什么 首项和公差 给什么 给出a3＝5＋ 2 ，S3＝9＋3 2 ，可以列 用什么 出关于首项和公差的两个方程 差什么 找什么 解方程得出首项和公差即可写出an及Sn
所以m2－np和2m－(n＋p)均为有理数， 所以m2－np＝0,2m－(n＋p)＝0， 所以(n＋p)2＝4np， 所以(n－p)2＝0所以n＝p与n≠p矛盾， 所以数列{bn}中不存在不同的三项成等比数列．
[解题方略] 1．用反证法证明问题的步骤
2．注意点 (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，否定结论要全 面． (2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条 件，且必须依据这一条件进行推证； (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与 假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是 明显的．
77知识讲解直接证明与间接证明(提高)
【学习目标】1. 掌握用综合法证题的思路和特点。
2. 掌握用分析法证题的思路和叙述方式.要点一、综合法证题1 .定义:般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推 导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法2 .综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫 顺推证法”或由因导果法”它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步 的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题.综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法.3 .综合法的思维框图:用P 表示已知条件，Q i （i 1, 2, 3,. , n ）为定义、定理、公理等， Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为:直接证明与间接证明3.掌握间接证明中的常用方法【要点梳理】反证法的思维过程和特点.|P Qi | Q iQ 2（已知） 要点诠释(1) (2) Q 2 Q 3 （逐步推导结论成立的必要条件） Q n Q（结论）从 已知”看 可知”逐步推出 朱知”由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件;用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达 推理的思维轨迹；因用综合法证明命题 若A 则D”的思考过程可表示为:i-Cc —D故要从A 推理到D ，由A 推演出的中间结论未必唯一，如 B 、B 1、B 2等，可由B 、B 1、B 2进步推演出的中间结论则可能更多，如C 、C 1、C 2、C 3、C 4等等.所以如何找到切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的瓶颈”.4.综合法证明不等式时常用的不等式(1) a^+b 2》2ab(当且仅当a=b 时取“ =号); (2)T ab (a , b € R*,当且仅当 a=b 时取 “ =号)； 2(3) a 2》0 |a| 绞 C)(a — b)2》0(6)不等式的性质b a（4）b a2 （a , b 同号）；b a--2 （a , b 异号）;a b （5）a, be R, a 2b 2扣b ）2,定理对称性:a > bbv a 。
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直接证明与间接证明【学习目标】1. 掌握用综合法证题的思路和特点。
2. 掌握用分析法证题的思路和叙述方式．3．掌握间接证明中的常用方法——反证法的思维过程和特点．【要点梳理】要点一、综合法证题1．定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2．综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题．综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．3．综合法的思维框图：用P 表示已知条件，1i Q i =（，2，3，...，n）为定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： 11223...n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）要点诠释（1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；（2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹；（3）因用综合法证明命题“若A 则D”的思考过程可表示为：故要从A 推理到D ，由A 推演出的中间结论未必唯一，如B 、B 1、B 2等，可由B 、B 1、B 2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C 、C 1、C 2、C 3、C 4等等． 所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”．4．综合法证明不等式时常用的不等式（1）a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时取“=”号）；（2）2a b ab +≥（a ，b ∈R*，当且仅当a=b 时取“=”号）； （3）a 2≥0，|a|≥0，(a －b)2≥0；（4）2b a a b +≥（a ，b 同号）；2b a a b+≤-（a ，b 异号）； （5）a ，b ∈R ，2221()2a b a b +≥+， （6）不等式的性质定理1 对称性：a ＞b ⇔b ＜a 。
定理2 传递性：a b a c b c >⎫⇒>⎬>⎭。
定理3 加法性质：a b a c b c c R >⎫⇒+>+⎬∈⎭。
推论 a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭。
定理4 乘法性质：0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭。
推论1 00a b ac bc c d >>⎫⇒>⎬>>⎭。
推论2 0*n n a b a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭。
定理5 开方性质：0*a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭ 要点二、分析法证题1．定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.2．分析法的基本思路：执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。
3．分析法的思维框图：用123i P i =L （，，，）表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，Q 所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：11223...Q P P P P P ⇐→⇐→⇐→→得到一个明显成立的条件（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）4．分析法的格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。
要点诠释：（1）分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件．（2）由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述．5．综合法与分析法的横向联系（1）综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用．分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁．我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程．分析法一般用于综合法难以实施的时候．（2）有些不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”．分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．命题“若P则Q”的推演过程可表示为：要点三、反证法证题间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法．1．反证法定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.2．反证法的基本思路：假设——矛盾——肯定”①分清命题的条件和结论．②做出与命题结论相矛盾的假设．③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．3．反证法的格式：用反证法证明命题“若p 则q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：⌝−−−→−−→−−→推理“若p则q”导致逻“若p则q”肯定条件p,辑矛盾为假命题否定结论q 为真命题要点诠释：（1）反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.(2) 反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.4．反证法的一般步骤：（1）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；（2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．要点诠释：（1）结论的反面即结论的否定，要特别注意：“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是”，不是“都不是”；“都有”的反面为“不都有”，即“至少有一个没有”，不是“都没有”；“都不是”的反面是“部分是或全部是”，即“至少有一个是”，不是“都是”；“都没有”的反面为“部分有或全部有”，即“至少有一个有”，不是“都有”（2）归谬的主要类型：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾（自相矛盾）；③与定义、定理、公理、事实矛盾．5．宜用反证法证明的题型：① 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等；② 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.要点诠释：反证法体现出正难则反的思维策略（补集的思想）和以退为进的思维策略，故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独特的效果．【典型例题】【高清课堂：例题1】类型一、利用综合法证明有关命题例1．如果,a b 都是正数，且a b ≠，求证：664224a b a b a b +>+．【思路点拨】当不等式左右结构形式不易直接用公式时，考虑比差法。
【解析】 因为664224()a b a b a b +-+422422()()a a b b b a =-+-＝()2244()a b a b --＝()22222()a b a b +-，又因为0,0a b >>且a b ≠，所以()22222()a b a b +-0>，即664224a b a b a b +>+．【总结升华】比差法属于综合法的一种，利用综合法时，从已知出发，进行运算和推理得到要证明的结论。
本题首先做差，然后对差式分解因式，判断各因式的正负，进而判断出差值为正。
举一反三：【变式1】 已知a ，b 是正数，且a+b=1，求证：114a b +≥。
【答案】证法一：∵a ，b ∈R ，且a+b=1，∴a b +≥12≤， ∴1114a b a b ab ab++==≥。
证法二：∵a ，b ∈R +，∴0a b +=>，110a b +≥>， ∴11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭。
又a+b=1，∴114a b+≥。
证法三：1111224a b a b b a a b a b a b a b b a +++=+=+++≥+⋅=。
当且仅当a=b 时，取“=”号。
【变式2】求证：5321232log 19log 19log 19++< 【答案】待证不等式的左端是3个数和的形式，右端是一常数的形式，而左端3个分母的真数相同，由此可联想到公式，1log log a b b a=转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式. ∵1log log a b b a =，∴左边∵，∴5321232log 19log 19log 19++<. 例2．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n+1=4a n +2（n=1，2，…），a 1=1。
（1）设b n =a n+1－2a n （n=1，2，…），求证：数列{b n }是等比数列。
（2）设2n n na c =（n=1，2，…）， 求证：数列{c n }是等差数列。
【思路点拨】根据等比数列的定义变形。
【解析】（1）∵S n+1=4a n +2，∴S n+2=4a n+1+2，两式相减，得S n+2―S n+1=4a n+1―4a n （n=1，2，3，…）,即a n+2=4a n+1―4a n ，变形得a n+2―2a n+1=2(a n+1―2a n )。