77知识讲解 直接证明与间接证明(提高)

直接证明与间接证明

【学习目标】

1. 掌握用综合法证题的思路和特点。

2. 掌握用分析法证题的思路和叙述方式．

3．掌握间接证明中的常用方法——反证法的思维过程和特点．

【要点梳理】

要点一、综合法证题

1．定义：

一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.

2．综合法的的基本思路：执因索果

综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题．

综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．

3．综合法的思维框图：

用P 表示已知条件，1i Q i =（，2，3，...，n）为定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则

综合法可用框图表示为： 11223...n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒

（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）

要点诠释

（1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；

（2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达

推理的思维轨迹；

（3）因用综合法证明命题“若A 则D”的思考过程可表示为：

故要从A 推理到D ，由A 推演出的中间结论未必唯一，如B 、B 1、B 2等，可由B 、B 1、B 2进一

步推演出的中间结论则可能更多，如C 、C 1、C 2、C 3、C 4等等． 所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”．

4．综合法证明不等式时常用的不等式

（1）a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时取“=”号）；

（2）2

a b ab +≥（a ，b ∈R*，当且仅当a=b 时取“=”号）； （3）a 2≥0，|a|≥0，(a －b)2≥0；

（4）

2b a a b +≥（a ，b 同号）；2b a a b

+≤-（a ，b 异号）； （5）a ，b ∈R ，2221()2a b a b +≥+， （6）不等式的性质

定理1 对称性：a ＞b ⇔b ＜a 。

定理2 传递性：a b a c b c >⎫⇒>⎬>⎭

。 定理3 加法性质：a b a c b c c R >⎫⇒+>+⎬∈⎭

。 推论 a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭

。 定理4 乘法性质：

0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭。 推论1 00a b ac bc c d >>⎫⇒>⎬>>⎭

。 推论2 0*n n a b a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭

。

定理5 开方性质：

0*a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭ 要点二、分析法证题

1．定义：

一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.

2．分析法的基本思路：执果索因

分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。

3．分析法的思维框图：

用1

23i P i =L （，，，）表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，Q 所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：

11223...Q P P P P P ⇐→⇐→⇐→→得到一个明显成立的条件

（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）

4．分析法的格式：

要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。

要点诠释：

（1）分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件．

（2）由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述．

5．综合法与分析法的横向联系

（1）综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用．

分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁．

我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程．分析法一般用于综合法难以实施的时候．

（2）有些不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”．

分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．

命题“若P则Q”的推演过程可表示为：

要点三、反证法证题

间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法．

1．反证法定义：

一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.