寿险精算数学公式
life insurance 精算公式
life insurance 精算公式摘要：1.精算公式的概述2.精算公式的分类3.精算公式的应用4.精算公式的实例正文：【1.精算公式的概述】精算公式，是精算学中对保险产品的费率、准备金、赔付等关键指标进行科学计算的公式。
精算公式主要运用于寿险、健康险等保险产品的设计、定价和风险管理中，其核心目标是在保障保险消费者权益的同时，实现保险公司的稳健经营。
【2.精算公式的分类】精算公式主要分为以下几类：1) 费率公式：主要用于计算保险产品的保费，包括纯保费、附加保费等。
2) 准备金公式：主要用于计算保险公司的负债准备金，包括未到期责任准备金、未决赔款准备金等。
3) 赔付公式：主要用于计算保险产品的赔付概率和赔付金额，包括死亡率、疾病发生率、理赔率等。
【3.精算公式的应用】精算公式在保险行业的各个环节中都有广泛应用，包括：1) 产品设计：通过精算公式，保险公司可以科学地设计保险产品的费率、保险金额、保障期限等关键指标，以满足消费者的需求和实现公司的盈利目标。
2) 风险管理：精算公式可以帮助保险公司评估保险产品的风险水平，制定相应的风险管理策略，确保公司的稳健经营。
3) 监管合规：精算公式是保险监管部门对保险公司进行监管的重要工具，可以评估保险公司的偿付能力、风险水平等指标，确保保险市场的稳定和健康发展。
【4.精算公式的实例】以人寿保险为例，精算公式主要包括以下几个方面：1) 费率公式：纯保费=保险金额×保险期限×死亡率× v^t，其中v 为贴现因子，t 为保险期限。
2) 准备金公式：未到期责任准备金=纯保费×未到期责任准备金率× v^t，其中未到期责任准备金率为保险公司规定的准备金提取比例。
寿险精算公式集合
第一章 生命表函数与生命表构造生存函数 定义 意义：新生儿能活到 岁的概率 与分布函数的关系 与密度函数的关系 新生儿将在x 岁至z 岁之间死亡的概率 未来寿命定义：已经活到x 岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为未来寿命，记作T(x)。
分布函数：基本函数 未来寿命的生存函数特别： ：x 岁的人至少能活到x+1岁的概率 ：x 岁的人将在1年内去世的概率 ：X 岁的人将在x+t 岁至x+t+u 岁之间去世的概率整值未来寿命定义：未来存活的完整年数，简记 概率函数11Pr(())Pr(()1)k x k x kx k xk x x k xk K X k k T x k q q p p p q q +++==≤<+=-=-=⋅=未来寿命的期望与方差期望未来寿命：()x 未来寿命的期望值(均值),简记00(())(1)ox tx tx e E T x td p p dt∞∞==-=⎰⎰未来寿命的方差2220(())(())(())2o tx xVar T x E T x E T x t p dt e ∞=-=⋅-⎰整值未来寿命的期望与方差期望整值未来寿命：()x 整值未来寿命的期望值(均值),简记xe 1(())x kx x k k xk k e E K x k p q p ∞∞++====⋅⋅=∑∑整值未来寿命的方差22210(())()()(21)k x x k Var K x E K E K k p e ∞+==-=+⋅-∑死亡效力)Pr()(x X x S ≥=x )(1)(x F x S -=)()(x S x f '-=Pr()()()x X z s x s z <≤=-Pr(())()()()()t x q T X t pr x X x t X x s x s x t s x =≤=<≤+>-+=t x p Pr(())Pr()()()t x p T x t X x t X t s x t s x =>=>+>+=0()x p s x =x px q x t u q xt u x t x t x t u xt u q q q p p ++=-=-()x (),()1,0,1,K X k k T x k k =≤<+=定义：()x 的瞬时死亡率，简记()()ln[()]()()x s x f x s x s x s x μ''=-==-死亡效力与生存函数的关系0()exp{}exp{}xs x ttxsxs x ds p ds μμ+=-=-⎰⎰死亡效力与密度函数的关系0()()exp{}xx x s f x s x ds μμμ=⋅=⋅-⎰ 死亡效力表示未来寿命的密度函数()g t T ()()F ()1()()()()f ()()()()tx x t T tx x ts x s x tt p s x s x t d d s x s x t t G t p dt dt s x s x μμ++-+=-=⎡⎤+-+====⋅⎢⎥⎣⎦关寿命分布的参数模型De Moivre 模型(1729)1()1 , 0xxxs x x μωωω=-=-≤≤Gompertze 模型(1825) ()exp{(1)} , B 0,c 1,0xx xBc s x B c x μ==-->>≥Makeham 模型(1860)()exp{(1)} , B 0,A -B,c 1,0xx xA Bc s x AxB c x μ=+=--->≥>≥ Weibull 模型(1939)1()exp{} , 0,0,0nx n kx s x kx k n x μ+==->>≥ 参数模型的问题：至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
保险精算课程三(寿险精算)
x
xn
x
xh
2.终身寿险的年缴纯保费
h Px
Ax ax:h|
Mx Nx Nxh
3.两全保险的年缴纯保费
P h x：n|
Ax:n| ax:h |
Mx
M xn Dxn Nx Nxh
课堂练习:
1.某人30岁投保20年期，延期10年，5年限期缴费的定期 人寿险,保险金额为100000元，求年缴纯保险费?
N x N x1 Dx
S x N x N x1
(Ia) x
Sx Dx
( Ia) x
S x 1 Dx
( Ia) x:n |
S x 1
S x n1 Dx
nN x n1
作业：
1.某人30岁(女)时投保寿险,约定45岁前死亡给付保险金 150000元,40岁至60岁之间死亡给付保险金为100000 元,60岁以后给付保险金50000元,求趸缴纯保险费?
(In| A)x (IA)1x:n| n|Ax
Rx Rxn nM xn N M xn
Dx
Dx
标准递减也可以看作：
A1 x:n |
A1 x:n 1|
A1 x:n 2|
A1 x:1|
nM x [Rx1 Rxn1 ] Dx
课堂练习
（x）=30，定期寿险保单。第一年死亡给付1000元， 第二年死亡给付1200元，第三年1400元，这样依次按 200元比例递增，n=20，求保险金的精算现值：
x:n |
Dx
Ax:n|
Mx
M xn Dx
Dxn
Ax
Mx Dx
m| Ax
M xm Dx
A1 x :n|
Mx
M Dx
寿险精算 第五讲 均衡纯保费
]
Pr[(1 v)10000vK 1 1 1vK 1] Pr[((1 v)10000 1)vK 1 1]
Pr[vK 1
1
] Pr[(K 1) ln v ln(
1
)]
(1 v)10000 1)
(1 v)10000 1)
Pr[K 1 ln(
1
) / ln v] Pr[K ln(
• 厘定过程：
(1)
L
l(T
)
vt
P(
Ax
)a k
1
(2)E(L) 0 Ax P( Ax )ax
0
P( Ax )
Ax ax
Mx ， Nx
(3)Var(L)
(1
P )2[
2
Ax
( Ax
)2
]
• 在UDD 假设条件下:
Ax
i
Ax
P(
Ax
)
i
Ax ax
i
Px
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
50.12
K 1
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
EL
E
v
K
1
1
Px d
Px d
Ax
1
Px d
Px d
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
（3）趸缴纯保费终身寿险 趸缴纯保费终身寿险，是在签单时一次将保费缴清的终
身寿险，为限期缴清的特殊情形
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费
《寿险精算数学》 --03均衡纯保费 第三章 均衡纯保费
§3.1 均衡纯保费计算的平衡原理 3.1.1 人寿保险模型的种类
完全离散净均衡保费
死亡年末给付
寿险精算学-ch2
未来寿命的生存函数示意图
• t p0 =S0 (t)
• 1 px 简记为 px
特别符号
• t u qx t px tu px
• tu px t px u pxt
未来寿命生存函数的性质
• 定理1： 0 px 1
•
定理2：
d dt
t
px
0
,t 0
•
定理3：
lim
t x
t
px
0
• 由于死亡是必然发生的, 所以还可以得到如下两个引理:
• 在新生婴儿时期寿命的密度函数有一个递减趋势。 这是 因为新生婴儿是脆弱的,各种先天不足都会在刚出生时暴 露, 所以新生婴儿阶段死亡概率是偏高的。 经过医学治疗 和自然淘汰, 婴儿死亡率迅速下降。
• 青少年时期是人一生中死亡率最低的一段时期。 这段时 期是人类的健康黄金期。
• 从40 岁左右开始, 随着年龄的增长, 人的器官逐渐老化, 开 始罹患各种疾病,身体进入失效期, 死亡率开始递增。 60 岁前后进入加速失效期, 80 岁前后达到死亡率的顶峰。
– 中老年时期属于人类的加速失效时期。 在这段时间里, 身体各器 官逐渐老化,开始罹患各种疾病。 通常一种疾病治好了, 不久又会 产生另外一种疾病。 人类进入加速失效期之后, 健康维持成本将 变得越来越大。
例2.5
• 假设某人群每10万个新生婴儿, 能活到40 岁的人数为 97369, 能活到85 岁的人数为33851, 而在85~86 岁这一年 死亡的人数为3758。
• 所以本例中, 40 岁的人在85 岁时未来寿命的密度函数和 死亡力函数（以年为最小计量单位） 为：
f40 (45)
3758 97369
0.0386
第二章： 人寿保险的精算现值(趸缴纯保费)
fT
(t)
1（均匀分布） 70
A1 30:10
10 t
0
fT
(t)dt
10 (1 0.1)t 1 dt 1
0
70 70
10 (1.1)tdt 0.092099
0
A 2 1
（2） 30:10
10 2t
0
fT
(t)dt
1 70
10 (1.1)2tdt 0.063803
0
Var(Z) 2A1 (A1 )2 0.055321
A1 xm:n
A1 x:m
Ax
1 m:n
A1 x:m
A xm:n
例 3．设生存函数 s(x) 1 x , (0 x 100) ，年利率 i 0.1，保额 1。 100
计算：（1）
A1 30:10
（2）Var(Z )
解：（1）
fT
(t)
s(x t) s(x)
1 100
x
,
代入
x 30 ,
Ax E(T ) E( K S ) E( K 1S1)
E( K 1)E( S1) Ax E[(1 i)1S ]
S ~U (0,1) Ax
1(1 i)1s ds i
0
Ax
例1． 证明：在 UDD 假设下： A1 i A1
x:n
x:n
证明：
A1 x:n
n
t
0
t
px xt dt
（1）
m m px
n
t
0
t
pxmxmt dt
A1 x:m
A1 xm:n
A1
（2） m x:n
mn mn px
m m px n n pxm
寿险精算公式集合
x kxn
Weibull 模型(1939) s( x) exp{kxn1} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题： 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差。 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。 生命表起源 生命表的定义：根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所 组成的汇总表. 生命表的发展历史：1662 年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表 的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。1693 年，Edmund Halley,《根据 Breslau 城出 生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死 亡年龄的分布。人们因而把 Halley 称为生命表的创始人。 生命表的特点：构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方 法） 生命表的构造 原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）
0
整值未来寿命的期望与方差
期 望 整 值 未 来 寿 命 ： (x) 整 值 未 来 寿 命 的 期 望 值 ( 均 值 ), 简 记
e ex E ( K ( x))
k k px qxk
p k 1
x
x
k 0
k 0
பைடு நூலகம்
Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k 1 px ex2
d
。计算下面各值：（1）
30
,
20
寿险精算-第一讲-寿险精算概述与利息理论..
六. 保单准备金
保单准备金：为将来的赔付或返还而储备的款 项。
利息理论
第一节 基本概念
汉英名词对照
积累值（终值A）
Accumulated value
现实值（现值P or 本金S） Present value
实质利率
Effective annual rate
单利
Simple interest
一.精算的概念
➢ 精算师的作用：“在给金融投资等问题提供专 家的、恰如其分的解答方面，尤其是解释不确 定的未来事件方面，发挥精算行业的作用并提 高它的声誉。” ——摘自英国精算行业业务报告
金融问题 不确定的 未来的
精算面对的是 “金融”问题。
从非常简单的问题，如确定在一项抵押下每 月的投资是多少，
对趸缴保费的保单，保费收入是确定的。而有些保单， 其保费的缴纳不是采用期初趸缴的形式，而是在一段 时间里多次缴纳，具体的某笔保费缴纳与否取决于被 保险人是否处于生存正态，也就是说，寿险公司的保 费收入取决于被保险人的未来生存时间，保费收入的 现值和保险给付支出的现值都是随机变量，但保费的 大小不是随机变量，是预期现值的函数。为了解这个 方程，我们要假定被保险人的死亡率和未来可实现利 率的值。
二.本课程的研究内容和主要组成 主要研究： 寿险所承保标的的出险规律 寿险产品承诺的给付或赔付的精算现值 趸缴和分期缴付的净保费 责任准备金的提存等
二. 本课程的研究内容和主要组成 主要组成部分：
➢ 利息理论 ➢ 生命表 ➢ 保费厘定 ➢ 保单价值和准备金
三. 利息理论
➢ 利率是重要的经济杠杆之一，它无时无刻不在影响着人们的投 资行为和消费行为，进而影响着国民经济的整体运行。利率也 是我们最为熟悉的经济变量之一。本课将要探讨的主要内容就
life insurance 精算公式
life insurance 精算公式（最新版）目录1.精算公式的定义与作用2.精算公式的分类3.常见精算公式及其应用4.精算公式在保险行业的重要性正文精算公式是精算学中至关重要的一部分，它在保险行业内扮演着举足轻重的角色。
精算公式能够帮助保险公司对保险产品的费率、责任准备金、现金价值等关键参数进行科学合理的测算，从而确保公司的稳健发展和顾客的利益。
精算公式主要分为两大类：第一类是寿险精算公式，第二类是财产险精算公式。
寿险精算公式主要包括净保费、责任准备金、现金价值等指标的计算方法；财产险精算公式则主要涉及费率、赔付率、风险保额等参数的测算。
在寿险精算公式中，常见的有净保费的测算、责任准备金的计算以及现金价值的预测。
净保费的测算主要是根据被保险人的年龄、性别、健康状况等因素，综合考虑保险产品的保障范围和保障期限，从而得出合理的保费。
责任准备金的计算则是根据被保险人的死亡率、退保率等风险因素，预先储备一定的资金，以应对可能的赔付。
现金价值的预测则是根据保险产品的现金价值增长规律，预测被保险人在未来某一时期的现金价值。
在财产险精算公式中，常见的有费率的测算、赔付率的计算以及风险保额的预测。
费率的测算主要是根据保险产品的种类、保障范围、保险期限等因素，综合考虑被保险人的风险水平，从而得出合理的费率。
赔付率的计算则是根据历史赔付数据，分析赔付的概率和金额，从而得出合理的赔付率。
风险保额的预测则是根据被保险人的风险水平、保障需求等因素，预测被保险人在未来某一时期的风险保额。
精算公式在保险行业具有重要的意义。
一方面，精算公式能够帮助保险公司科学合理的测算保险产品的关键参数，从而提高产品的竞争力，促进公司的发展；另一方面，精算公式能够帮助保险公司有效的管理风险，确保公司的稳健经营，维护顾客的利益。
总的来说，精算公式是保险行业的重要组成部分，其在保险产品的开发、风险管理以及公司运营等方面发挥着关键的作用。
寿险精算学
4、趸缴纯保费的厘定
4.2厘定原则
保费净均衡原则 解释 所谓净均衡原则(it is net because it has not been loaded)， 即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金 的期望现时值(expectation of the present value of the net premium equals expectation of the present value of the payment)。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是 在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值
4、趸缴纯保费的厘定
4.3基本符号
—— 的人。 ( x 投保年龄 ) ——人的极限年龄 ——保险金给付函数。 t —— 贴现函数。 v t ——保险给付金在保单生效时的现时值 t
b
z
x
zt bt vt
4、趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义
在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值
net single premium paid at the monent of death
死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定
net single premium paid at the end of the year of death
递归方程 recursion equations 计算基数 commutation functions
非延期保险non-deferred
insurance 两全保险 endowment insurance
保障期是否有限
定期寿险 term year
寿险精算的实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景寿险精算是保险业中一项重要的工作，它通过对大量历史数据的分析，预测未来风险，计算保险费率，确保保险公司的稳健经营。
本实验旨在通过寿险精算的基本理论和方法，了解寿险精算的过程，提高对寿险产品的认识。
二、实验目的1. 掌握寿险精算的基本理论和方法；2. 熟悉寿险精算实验的基本步骤；3. 提高对寿险产品的认识；4. 培养数据分析能力。
三、实验内容1. 寿险精算基本理论2. 寿险精算实验步骤3. 寿险产品计算与分析四、实验过程1. 寿险精算基本理论寿险精算主要包括以下几个部分：（1）生存概率：指在一定时期内，一定年龄的人存活下来的概率。
（2）死亡概率：指在一定时期内，一定年龄的人死亡的概率。
（3）生存人数：指在一定时期内，一定年龄的人存活下来的总人数。
（4）死亡人数：指在一定时期内，一定年龄的人死亡的总人数。
（5）保费：指保险公司为承保一定风险而向投保人收取的费用。
2. 寿险精算实验步骤（1）收集数据：收集寿险产品相关的历史数据，如生存概率、死亡概率、保费等。
（2）分析数据：对收集到的数据进行整理、分析，了解寿险产品的风险和收益。
（3）计算保费：根据寿险精算的基本理论，计算寿险产品的保费。
（4）评估风险：评估寿险产品的风险，确保保险公司的稳健经营。
3. 寿险产品计算与分析以某保险公司的一款终身寿险产品为例，进行以下计算与分析：（1）计算生存概率根据生命表，计算该产品在60岁时的生存概率为0.8。
（2）计算死亡概率根据生命表，计算该产品在60岁时的死亡概率为0.2。
（3）计算保费根据生存概率、死亡概率和利率等因素，计算该产品的保费为每年10000元。
（4）评估风险通过计算该产品的生存人数和死亡人数，评估保险公司的风险。
五、实验结果与分析1. 生存概率为0.8，说明该产品的风险较低。
2. 死亡概率为0.2，说明该产品的收益较高。
3. 保费为每年10000元，符合市场行情。
4. 通过评估风险，确保保险公司的稳健经营。
保险精算知识点公式总结
保险精算知识点公式总结保险精算是保险行业中非常重要的一个领域，它主要是通过利用数学、统计学、金融学等知识和方法，对保险产品的风险进行评估，确定保费水平，制定保险产品设计和管理策略，对保险公司的财务和风险进行监控等方面进行评估和分析。
在这个过程中，有些公式是非常重要的，它们在保险精算中起着至关重要的作用。
接下来，我们将对这些公式进行总结和介绍。
1. 保费计算公式保费是保险公司向被保险人收取的费用，用以承担被保险人因意外事故或自然灾害而遭受的损失。
保费的计算是通过对风险的评估和分析后确定的。
在实际的保费计算中，通常会采用以下公式：保费 = 风险成本 + 经营成本 + 利润要求其中，风险成本是指保险公司为承担被保险人风险而支付的成本；经营成本是保险公司的运营成本，包括员工薪酬、办公费用等；利润要求是保险公司的盈利要求。
2. 保险赔付率计算公式保险赔付率是指保险公司的赔付成本与保费收入的比率，它是衡量保险公司盈利能力的重要指标。
保险赔付率的计算公式如下：保险赔付率 = 赔款总额 / 保费收入其中，赔款总额是指在一定时期内保险公司为被保险人承担的赔款总额；保费收入是指在同一时期内保险公司所收到的保费总额。
3. 风险价值计算公式风险价值是指保险产品所承担的风险的价值，是对风险的衡量和评估。
在实际操作中，通常会采用以下公式进行计算：风险价值 = 预期损失 × 风险发生频率其中，预期损失是指风险事件发生时预期的损失金额；风险发生频率是指风险事件发生的频率。
4. 保险资产负债表计算公式保险资产负债表是保险公司的财务报表，用以展示保险公司在某一时点上的资产和负债情况。
在计算保险资产负债表时，通常会采用以下公式：资产总额 = 货币资金 + 应收账款 + 存货 + 投资负债总额 = 应付账款 + 应交税费 + 长期借款 + 应付利息其中，货币资金是指保险公司在一定时期内所持有的现金和银行存款；应收账款是指应收保费和应收代位求偿款；存货是指保险公司所持有的股票、债券等金融产品；投资是指保险公司的长期投资。
寿险精算
.0596 .0652 .0714 .0781 .0855 .0936 .1024
66 67 68 69 70 71 72
例
假定有两位老人今年都是65岁。甲老人是今 年刚刚体检合格购买的保险，乙老人是10年 前购买的保险，至今仍在保障范围内。使用 上面给出的选择－终极生命表估计两位老人 分别能活到73岁的概率。
x5 .0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 65
q[ x ]
q[ x ]1
q[ x ] 2 q[ x ] 3
q[ x ] 4
qx 5
.0191 .0209 .0228 .0249 .0273 .0298 .0326
.0272 .0297 .0324 .0354 .0387 .0424 .0464
3、 30.5 UDD
q30 1 1 0.5q30 69.5
69 ) 70 q30 1 30.5 Balducci p30 0.5q30 69.5
30.5 CF ln( p30 ) ln(
二、选择-终极生命表
在对被保险人依一定的健康标准加以选择后，一组被保险人的死亡率不仅 随年龄而变动，而且随已投保年限长短变动。以 q[ x ] n 表示 x岁加入保险， 经过n年在x n岁的死亡概率，有 q[ x ] q[ x 1]1 q[ x 2 ] 2 这一差异可以忽略不计。
死亡均匀分布假设
t qx y
S0 ( x y ) S0 ( x y t ) tqx S0 ( x y ) 1 yqx
(0≤t≤１, 0≤y≤１,0≤t+y≤１)
x t
S0 '( x t ) S0 ( x) S0 ( x 1) qx S0 ( x t ) S0 ( x) t[ S0 ( x) S0 ( x 1)] 1 tqx
保险精算概念公式
：x 岁死亡概率
表示x 岁的一批人在x ~ x + n 岁之间的死亡人数。
表示x 岁的人群在x ~ x + n 岁的死亡概率
表示 x 岁的人继续存活n 年的概率
表示x 岁的人继续存活n 年并在第n + l 年死亡的概率，或x 岁的人在x + n ~ x + n+1岁死亡的概率
表示x 岁的人在x + n ~ x + n + m 岁之间死亡的概率（或者x 岁的人存活到
x+n 岁并在x+n ~ x+n+m 岁之间死亡的概率
：x 岁的人生存的人年数
但通常0岁组死亡人数的分布很不均匀，一般用下面经验公式计算：
这间接说明0 ~ 1岁之间的婴儿死亡率高于其他年龄段的死亡率
x
q x n d
x n q
x
n
x x x
x n
x n l l l l d q +-=
=
x
n
p x
n x x n l l p +=
x n q x
n
x n x n x n x x n x n x x n x n l d l l l l l q p q +++++++=-⋅=⋅=1x m n q
x n x n x n m x n x n m m
x n x n
x m x n
n m x x n x
x
l l l l l d q p q l l l l ++++++++++--=
⋅=⋅==x L
1
00724.0276.0l
l L +=x
T。
第2章 《寿险精算》
A(1) A(0) a(1) 1 i d A(1) a(1) 1 i
i d (1 i)
可解释为：在年末应付的利息是年初可 付利息的累积值。
1 1 d v 表明1-d在利率i下经过1年累积为1 1 i
1 (1 i) t
1 1 i
1
0
1 i
1
1 1 d
n
例：某人希望通过等额的年度存款在10年后 攒够10万元，在年度实质利率8%的情况下， 问每年末需存入多少钱才能达到其要求。若 存款改为每年年初进行，其他条件不变，计 算每年需存入的款项。 例：某人在银行存入10000元，计划分4年等 额支取完，每年末支取一次，银行的年度实 质利率为7%。计算该人每次可支取的金额。
2.2.2 连续年金
2.2.3 永续年金
2.2.4 变额年金
2.2.1 等额支付的年金
1.期末付n期年金的现值和终值
1
0 1
1
2
…
…
n
1
n-1
1
n
金额
时期
an i
1 v an v v v i n n 1 v (1 i) 1 n n sn an (1 i) (1 i) i i
2.1.2 单利和复利
• 单利：只在本金上计算利息
A(n) A(0)(1 i1 i2 in)
常数利率时
A(t ) A(0)(1 it )
• 复利：利上生利的计息方式
A(n) A(0)(1 i1)(1 i2)(1 in)
常数利率时
A(t ) A(0)(1 i )t
I (1) 50 i1 A(0) 1000 5% I (2) 50 i2 A(1) 1050 4.762%
保险精算课件第3章寿险精算现值
4.2 死亡即付的人寿保险
死亡即付就是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公 司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险 赔付。
死亡即刻赔付时刻是一个连续型随机 变量，它距保单生效日的时期长度就等于 被保险人签约时的剩余寿命。
1.终身寿险 对(x) 的1单位元终身寿险，死亡即付现值 随机变量为
死亡时存活的整数年数，这时的变额寿险称为 标准递增的变额寿险。
标准递增的终身寿险
Z (K 1)vK 1, K 0,1, 2,
1
…
11
…
x x+1 x+2
…
1…
1
1…
…
1
1…
1
1…
x+n-1 x+n
其精算现值以 (IA)x 表示，有
(IA)x E(Z ) (k 1)vk1k qx k 0
k 0
qx
1 lx
x 1
d xk v k 1
k 0
●赔付现值随机变量的方差：
Var(Z ) E(Z 2 ) [E(Z )]2
E(Z 2)
v2(k1) k qx
e q 2 (k 1) kx
k 0
k 0
E(Z 2) 相当于以计算趸缴净保费利息力
Ax E(Z )
0
vt
t
px
x t dt
v k 1 t
k
t
px
x t dt
k 0
v1 sk
0
sk
px
xsk ds