大学物理—刚体的动轴转动

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麦克斯韦分布
2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
t 0 2 1 g dt R d 0 0 3 2
F1
转动 平面
F
F2
r F1 只能引起轴的
变形, 对转动无贡献。 注 （1）在定轴动问题 中，如不加说明，所指的 力矩是指力在转动平面内 的分力对转轴的力矩。
r
（2） M Z rF2 sin F2d
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。
F123麦克来自韦分布例 2: 一半径为 R ，质量为 m 匀质圆盘，平放 在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘 面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？

d r dr
R
e
解 : 因摩擦力不是集中作用于一点，而是分布 在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积 分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质 元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
a m2 G2
a
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式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮 边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即
麦克斯韦分布
a r
从以上各式即可解得
m 2 m1 g M r / r m 2 m1 g M / r a
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
1. 刚体的角动量
图为以角速度绕定轴oz 转动的一根均匀细棒。
L
z

ri
O
Li
把细棒分成许多质点，其中第 i 个质点的质量为 mi 当细棒以转动时，该 质点绕轴的半径为 ri
Liz
Ri mi
它相对于o点的位矢为 Ri则 mi
9
对o点的角动量为：
因 vi Ri
，所以 Li 的大小为 Li mi Ri v i
1
麦克斯韦分布
所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个 刚体的运动。 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中 都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动， 这一直线就叫做转轴。 3. 刚体的定轴转动 定轴转动： 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运 动，且在相同时间内转过相同的角度。 特点： (1) 角位移，角速度和角加速度均相同；
1 m1 2m 2 m g M / r 2 T1 m1 g a 1 m 2 m1 m 2
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1 m2 2m1 m g＋M / r 2 T2 m1 g－a 1 m 2 m1 m 2
Lz Li cos mi Ri v i cos mi ri v i
m r
2 i i
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式中 mi ri2 叫做刚体对 Oz 轴的转动惯量， 用J表示。
麦克斯韦分布
刚体转动惯量：
J mi ri2
刚体绕定轴的角动量表达式：
Lz J
0
0=21500/60=50 rad/s，
在t=50S 时刻 =0 ，代入
方程=0+αt 得
4
O a
an
v
r
at
0 50 rad/s 2 3.14 rad/s 2 t 50 麦克斯韦分布
从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转 数N 分别为
1 2 1 2 0 0 t at 50 50 50 2 2 1250 rad
F r sin f r sin (m r
i 1 i i i i 1 i i i i 1
N
N
N
N
2
i i
)
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
f r sin
i 1 i i
i
0
得到：
F r sin (m r
按转动惯量的定义有
J ri2 mi
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式
J r 2dm
dm —质元的质量
区别： 平动： 平动动能
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r—质元到转轴的距离
1 2 mv 2 1 2 J 2
线动量
mv
J
转动： 转动动能
角动量
麦克斯韦分布
§4-3
1.力矩
力矩
刚体定轴转动定律
v v r sin r sin 900
和 构成的平面，如 图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为
v 的方向垂直于
2
r 78.5m / s
r
at ar 3.14m / s
3
2
2
an r 6.16 10 m / s 边缘上该点的加速度 a an al 其中 a l 的方向 与 v 的方向相反，a n 的方向指向轴心，a 的大小
i 1 i i i i 1
N
N
2
i i
)
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表 示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚 体转动惯量，以J 表示。于是得到
d M J J dt
讨论： （1） M 一定，J 惯性大小的量度；
刚体定轴 转动定律
转动惯量是转动
β
（2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正；
麦克斯韦分布
a m2 m1 g M / r 1 r m2 m1 m r 2 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令 m=0 、 M=0 时，有
2m1m2 T1 T2 g m2 m1
m2 m1 a g m2 m1
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测 量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、 r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度 a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体 的 m1 和 m2 相近，从而使它们的加速度 a 和速度 v 都 较小，这样就能角精确地测出a来。
F 对O 点的力矩： M r F
Z
M rF sin
M
转 动 平 面
F
MZ
M

r
F
O r
A
M 沿Z 轴分量为 F 对Z 轴力矩 M Z
力不在转动平面内
M r F r ( F1 F2 ) r F1 r F2
Fi f i mi ai
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
Fi sin i f i sin i mi ai mi ri
用 ri 乘以上式左右两端：
Fi ri sin i f i ri sin i mi ri
2
设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上 述类似方程，将N 个方程左右相加，得：
（3）J 和质量分布有关； （4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。 例 1: 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳 的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图所示。设滑轮的质量为 m ，半径为 r ，所受的 摩擦阻力矩为 m 。绳与滑轮之间无相对滑动。试求 物体的加速度和绳的张力。 解:滑轮具有一定的转动惯量。在转动中受到 阻力矩的作用，两边的张力不再相等，设物体1这 边绳的张力为T1、 T1’(T1’= T1) ，
2. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点 的动能之和。设刚体中第i个质点的质量为 mi ， 速度为 vi ,则该质点的动能为： 1 m i v i2 2 刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。 设质点 mi 离轴的垂直距离为 ri ，则它的线速度
麦克斯韦分布
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vi ri
6
为
麦克斯韦分布
2 a a t2 a n (6.16 10 3 ) 2 3.14 2 m / s 2
a的方向几乎和 an 相同。
6.16 10 3 m / s 2
例2:一飞轮在时间t内转过角度＝at+bt3-ct4 ,式中a、 b、c 都是常量。求它的角加速度。 解：飞轮上某点角位置可用表示为 ＝at+bt3-ct4 将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为
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麦克斯韦分布
此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
M
rdmg g rreddr ge d r dr
2 R 2 0 0
2 geR 3 3
因m=eR2，代入得
2 M mgR 3
根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度.
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动
1. 刚体 刚体是一种特殊的质点系，无论它在多大外力 作用下，系统内任意两质点间的距离恒保持不变。 2.平动和转动 刚体最简单的运动形式是平动和转动。 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直 线，在运动中始终保持平行，这种运动叫平动。 刚体平动时，在任意一段时间内，刚体中各质 点的位移相同。且在任何时刻，各质点的速度和加 速度都相同。
1250 N ＝ 625转 2 2
（2）t=25s 时飞轮的角速度为
0 t 50 25rad/s 25rad/s 78.5rad/s
的方向与0相同 ；
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麦克斯韦分布
（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。 由 v r
d (at bt 3 ct 4 ) a 3bt 2 4ct 3 dt
角加速度是角速度对t的导数，因此得